Path Hamil- Ton Pada Digraph Cayley

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Dalam matematika Cayley Graph juga dikenal dengan nama Cayley Colour Graph.
Konsep ini diperkenalkan oleh Arthur Cayley. Digraph Cayley pada kelompok G
−−→
dengan generator set S, di notasikan Cay(G, S) adalah digraph dengan himpunan
titik G dan busur dari g untuk gs dan s ǫ S. Sejumlah peneliti telah menyelidiki
keberadaan dan penghitungan path Hamilton di digraph Cayley.
Cayley (1878) menyatakan digraph Cayley menyediakan metode grup visualisasi dan properti. Sifat seperti komutatif, dan tabel perkalian grup dapat diperoleh kembali dari digraph Cayley. Sebuah graph berarah atau digraph adalah
himpunan titik berhingga yang disebut verteks dan himpunan busur yang disebut
menghubungkan beberapa verteks ke verteks yang lain.
Menemukan cycle Hamilton dalam graph adalah masalah yang menarik
dalam kombinatorik, ilmu komputer dan pengapliksiannya. Itu adalah salah satu
masalah NP-lengkap klasik, dan dengan demikian tidak diharapkan memiliki solusi sederhana. Sejak 1969 perhatian besar diterima oleh dugaan Lovasz yang
menyatakan bahwa setiap graph yang bersifat transitive memiliki lintasan Hamilton.
Untuk menentukan bahwa sebuah graph adalah cycle Hamilton atau tidak,
pastinya lebih sulit dari pada menentukan itu Eulerian. Cycle dalam graph akan
terbagi menjadi dua yaitu Euler dan Hamilton. Eulerian adalah sebuah cycle
dalam graph yang memastikan bahwa dirinya telah melewati semua edges yang

ada dalam graph tersebut. Sebuah verteks dilewati sebanyak apapun tidak menjadi masalah dalam pengerjaannya. Tetapi pada Hamilton sebuah cycle dalam
graph yang memastikan bahwa dirinya telah melewati semua verteks dalam graph
tersebut tepat satu kali, kecuali verteks awal didatangi dua kali. Jika sebuah
verteks itu telah dilewati dua atau lebih dalam suatu cycle maka siklus tersebut
tidak dapat dikatakan sebagai cycle Hamilton.

1
Universitas Sumatera Utara

2
1.2 Perumusan Masalah
Andai diberikan suatu permasalahan mengenai digraph Cayley. Setiap digraph
Cayley yang terhubung dari beberapa grup komutatif mempunyai path Hamilton.
Sehingga masalah dalam penelitian ini akan dicari suatu digraph Cayley yang
tidak mempunyai path Hamilton.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan kondisi dimana digraph Cayley
yang tidak mempunyai path Hamilton dan yang mempunyai path Hamilton.
1.4 Manfaat Penelitian
Hasil yang diperoleh pada penelitian ini sangat penting dalam penentuan digraph

Cayley yang mempunyai dan yang tidak mempunyai path Hamilton dan nantinya
diharapkan akan berguna untuk pengaplikasiannya terhadap penyelesaian masalah yang ada.
1.5 Metode Penelitian
Penelitian yang penulis lakukan merupakan studi literatur untuk mengidentifikasi
permasalahan digraph Cayley yang mempunyai dan yang tidak mempunyai path
Hamilton. Untuk menghadapi persoalan yang ada di tesis ini, maka penulis
mempunyai beberapa langkah untuk menyelesaikannya. Adapun langkah-langkah
dalam menyelesaikan penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengumpulkan informasi dari literatur-literatur mengenai digraph Cayley;
2. Mempelajari teori-teori yang berkaitan dengan digraph Cayley dan path
Hamilton. Dalam hal ini dimulai dengan teori graph kemudian mempelajari
tentang digraph dan graph Hamilton;
3. Mengkaji digraph Cayley yang mempunyai path Hamilton kemudian dicari
yang tidak mempunyai path hamiltonnya dan menunjukkan hasil dari penelitian yang diharapkan akan didapat. Berdasarkan pembahasan mengenai

Universitas Sumatera Utara

3
ada atau tidak adanya lintasan Hamilton pada digraph Cayley dapat diambil kesimpulan Cay(G, S) mempunyai sebuah lintasan Hamilton, jika G

adalah suatu grup komutatif berhingga, maka S adalah himpunan sebarang
(tidak kosong) dari generator untuk G.

Universitas Sumatera Utara