Path Hamil- Ton Pada Digraph Cayley
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan disampaikan materi-materi berkaitan dengan graph khususnya
digraph Cayley, yang merupakan landasan bagi pembahasan pada bab III.
Digraph sangat banyak digunakan dalam menyelesaikan permasalahan yang
timbul dimana saja. Penggunaan digraph dianggap bisa memodelkan masalah
yang ada. Hal ini menimbulkan ketertarikan penulis untuk menggali dan meneliti
lebih banyak lagi tentang digraph. Pada dasarnya digraph memiliki banyak hal
yang bisa diteliti, seperti digraph-digraph yang khusus yang berkaitan dengan
verteks, edge dan degree. Salah satu digraph khusus yang diangkat pada tesis ini
adalah digraph Cayley.
Sebuah digraph D adalah sebuah objek yang terdiri dari:
1. Sebuah himpunan berhingga dan tak kosong V yang unsur-unsurnya disebut
titik dari digraph D;
2. Bersama dengan sebuah himpunan A yang merupakan himpunan bagian
dari himpunan V × V . Unsur himpunan A disebut busur dari digraph D.
Masalah menemukan cycle Hamilton di graph Cayley disarankan untuk pertama kalinya oleh Rapaport (1959). Rapaport termotivasi oleh bel berdering dan
problem catur dari kesatria. Seperti yang tercantum dalam versi Lovasz yang
diusulkan oleh banyak orang, Lovasz awalnya dipahami sebagai kasus khusus dari
yang lain, maka masalah di teori graph yang meminta apakah semua lintasan terpanjang dalam graph terhubung sederhana harus memiliki titik umum. Dalam
kasus khusus graph titik-transitif ini akan berarti bahwa semua lintasan terpanjang tersebut harus memiliki setiap verteks yang sama, dan dengan demikian
memiliki lintasan Hamilton. Masalah ini kemudian terbukti memiliki jawaban
negatif.
4
Universitas Sumatera Utara
5
Lovasz (1970) mengemukakan sebuah penelitian yaitu misalkan sebuah konstuksi terbatas, tehubung di graph yang tak berarah yang simetri dan yang tidak
memiliki jalan sederhana yang berisi semua verteks. Graph adalah simetris untuk
setiap dua verteks x dan y. Lovasz memiliki pemetaan automorphism s ke y. Secara tradisional, namun pertanyaannya dinyatakan dalam positif, yang biasanya
disebut sebagai dugaan Lovasz. Dalam pandangan Lovasz kenyataan ini hanya
mencerminkan bahwa hambatan Hamiltoncity tidak dipahami, dan memang graph
titik-transitif dapat memberikan ajang pengujian untuk kekuatan hambatan tersebut. Kelas yang paling umum dalam grup terbatas yang dugaan Lovasz terbukti
termasuk kelompok komutatif, p-kelompok, beberapa (tetapi tidak semua) kelompok dihedral, dan ekstensi khusus tertentu.
Akan diteliti bagaimana mendapatkan digraph Cayley yang mempunyai dan
yang tidak mempunyai path Hamilton, namun akan diperiksa apakah hasil ini
sejalan dengan hasil penelitian yang telah dilakukan sebelumnya.
Universitas Sumatera Utara
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan disampaikan materi-materi berkaitan dengan graph khususnya
digraph Cayley, yang merupakan landasan bagi pembahasan pada bab III.
Digraph sangat banyak digunakan dalam menyelesaikan permasalahan yang
timbul dimana saja. Penggunaan digraph dianggap bisa memodelkan masalah
yang ada. Hal ini menimbulkan ketertarikan penulis untuk menggali dan meneliti
lebih banyak lagi tentang digraph. Pada dasarnya digraph memiliki banyak hal
yang bisa diteliti, seperti digraph-digraph yang khusus yang berkaitan dengan
verteks, edge dan degree. Salah satu digraph khusus yang diangkat pada tesis ini
adalah digraph Cayley.
Sebuah digraph D adalah sebuah objek yang terdiri dari:
1. Sebuah himpunan berhingga dan tak kosong V yang unsur-unsurnya disebut
titik dari digraph D;
2. Bersama dengan sebuah himpunan A yang merupakan himpunan bagian
dari himpunan V × V . Unsur himpunan A disebut busur dari digraph D.
Masalah menemukan cycle Hamilton di graph Cayley disarankan untuk pertama kalinya oleh Rapaport (1959). Rapaport termotivasi oleh bel berdering dan
problem catur dari kesatria. Seperti yang tercantum dalam versi Lovasz yang
diusulkan oleh banyak orang, Lovasz awalnya dipahami sebagai kasus khusus dari
yang lain, maka masalah di teori graph yang meminta apakah semua lintasan terpanjang dalam graph terhubung sederhana harus memiliki titik umum. Dalam
kasus khusus graph titik-transitif ini akan berarti bahwa semua lintasan terpanjang tersebut harus memiliki setiap verteks yang sama, dan dengan demikian
memiliki lintasan Hamilton. Masalah ini kemudian terbukti memiliki jawaban
negatif.
4
Universitas Sumatera Utara
5
Lovasz (1970) mengemukakan sebuah penelitian yaitu misalkan sebuah konstuksi terbatas, tehubung di graph yang tak berarah yang simetri dan yang tidak
memiliki jalan sederhana yang berisi semua verteks. Graph adalah simetris untuk
setiap dua verteks x dan y. Lovasz memiliki pemetaan automorphism s ke y. Secara tradisional, namun pertanyaannya dinyatakan dalam positif, yang biasanya
disebut sebagai dugaan Lovasz. Dalam pandangan Lovasz kenyataan ini hanya
mencerminkan bahwa hambatan Hamiltoncity tidak dipahami, dan memang graph
titik-transitif dapat memberikan ajang pengujian untuk kekuatan hambatan tersebut. Kelas yang paling umum dalam grup terbatas yang dugaan Lovasz terbukti
termasuk kelompok komutatif, p-kelompok, beberapa (tetapi tidak semua) kelompok dihedral, dan ekstensi khusus tertentu.
Akan diteliti bagaimana mendapatkan digraph Cayley yang mempunyai dan
yang tidak mempunyai path Hamilton, namun akan diperiksa apakah hasil ini
sejalan dengan hasil penelitian yang telah dilakukan sebelumnya.
Universitas Sumatera Utara