supplement1. 439KB Jun 05 2011 09:30:50 PM
Supplement 1: Analyti
Formulae for the Loop
Polynomial CoeÆ
ients
William J. Wedemeyer, Harold A. S
heraga
This rst supplement gives the seventeen loop polynomial
oeÆ
ients R0 R16 [
orresponding to equation (7) of the text℄ as analyti
formulae in the
known quantities P00 P22 and Q00 Q44 . These lengthy formulae were
generated using the software pa
kage Maple and are in
luded for
ompleteness. However, the
oeÆ
ients R0 -R16
an be
al
ulated more eÆ
iently by
omputer, e.g., with the programs given in the se
ond supplement.
1
Contents
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
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ient
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ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
3
4
5
6
8
12
17
24
31
39
46
53
58
62
64
65
66
2
The R0 CoeÆ
ient
R0
= Q00 Q04 P014 + P002 Q202 P022 + P004 Q204
2Q02 P003 Q04 P02 + P002 Q02 Q04 P012 + Q200 P024 +
Q00 P012 Q02 P022 4Q00 P012 P00 Q04 P02 + 2Q00 P002 P022 Q04
2Q00 P00 P023 Q02
3
The R1 CoeÆ
ient
R1
=
P00 Q11 Q04 P013 + 4P003 P10 Q204 4Q00 P012 P00 Q04 P12
4Q00 P012 P10Q04 P02 6Q00 P00 P022 Q02 P12 + 4Q00 P002 P02Q04 P12 +
4Q00 P10 P022 P00 Q04 6P002 Q02 P10Q04 P02 2Q02 P003 Q04 P12 +
2P002 Q202 P02P12 Q00P013 Q13 P02 + 4Q00 P013 Q04 P11 +
2P00 P10Q202 P022 + 2Q00 P012 Q02 P02 P12 2Q00 P10 P023 Q02
Q00 P01 Q11 P023 + 3Q00 P01 P00 P022 Q13 8Q00 P01 P11 P00 Q04 P02 +
4Q200 P023 P12 + 2P00 P10Q02 Q04 P012 P00Q11 P01 Q02 P022 +
3Q11 P01 P002 Q04 P02 P002 Q02 P01 Q13 P02 + 2P002 Q02 P01Q04 P11
P003 Q13 Q04 P01 + 2Q00 P01 P11 Q02 P022
4
The R2 CoeÆ
ient
R2
= 2P004 Q04 Q24 + 2Q00 Q20 P024 + Q20 Q04 P014 +
P002 Q202 P122 + 6Q200 P022 P122 + 4P003 P20 Q204
2Q00 P00 P023 Q22 6Q00 P00P022 Q02 P22 + 4Q00 P002 P02 Q04 P22 +
2Q00 P002 P122 Q04 6Q00 P10P022 Q02 P12 + 8Q00 P10P02 P00Q04 P12 +
2Q00 P002 P022 Q24 + 4Q00 P00 P022 P20 Q04 + 2Q00 P102 P022 Q04
2Q00 P20 P023 Q02 6P00P102 Q02 Q04 P02 2P00 Q11 P01Q02 P02 P12 +
Q20 P012 Q02 P022 4Q20 P012 P00 Q04 P02 P00 Q11 P11 Q02 P022
2Q20 P00 P023 Q02 2Q11 P002 P022 Q13 + P00 Q11 P012 Q13 P02 +
6P00 Q11 P01P10 Q04 P02 3P00 Q11 P012 Q04 P11 + 2P002 Q02 Q22 P022 +
P002 Q02 Q24 P012 + P003 Q213 P02 + 3Q11 P01 P002 Q04 P12 +
3Q11 P11 P002 Q04 P02 2Q02P003 Q24 P02 P003 Q13 Q04 P11
2Q22 P003 Q04 P02 + P002 Q02 P112 Q04 P002 Q02 P11 Q13 P02
P002 Q02 P01 Q13 P12 + 2P002 Q02 P01 Q04 P21 + 2P002 Q202 P02 P22 +
P002 Q22 Q04 P012 3P002 P10 Q13 Q04 P01 6P002 Q02 P10 Q04 P12 +
2P00 P20Q202 P022 2Q02P003 Q04 P22 6P002 Q02 P20Q04 P02 +
4P00 P10Q202 P02 P12 2P00 P10Q02 P01 Q13 P02 + 4P00P10 Q02 P01Q04 P11 +
P102 Q202 P022 + 4Q200 P023 P22 + 6P002 P102 Q204 +
Q00 Q24 P014 + P00 Q211 P023 + 2Q20 P002 P022 Q04
Q00 P013 Q13 P12 + 4Q00 P013 Q04 P21 3Q00 P01 Q11 P022 P12 +
6Q00 P01 P00P02 Q13 P12 + 4Q00P01 P11 Q02 P02P12 P10Q11 P01 Q02 P022
P10 Q11 Q04 P013 + P102 Q02 Q04 P012 + 2P00 P20 Q02 Q04 P012
4Q00 P012 P20Q04 P02 + 3Q00 P01P10 P022 Q13 Q00 P11 Q11 P023 +
3Q00 P11 P00P022 Q13 4Q00P112 P00 Q04 P02 + Q00 P112 Q02 P022
6Q00 P00 P02Q02 P122 8Q00P01 P11 P00Q04 P12 8Q00P01 P11 P10Q04 P02
8Q00 P01 P21P00 Q04 P02 + 2Q00P01 P21 Q02 P022 + Q00 P012 Q22 P022 +
Q00 P012 Q02 P122 + 6Q00 P012 P112 Q04 + 2Q00 P012 Q02 P02 P22
4Q00 P012 P00Q04 P22 3Q00P012 P11 Q13 P02 4Q00 P012 P10 Q04 P12
4Q00 P012 P00Q24 P02
5
The R3 CoeÆ
ient
R3
= 4Q200 P02 P123 P20 Q11 P01Q02 P022 P20Q11 Q04 P013 +
2P102 Q202 P02P12 P102 Q02 P01 Q13 P02 + 2P102 Q02 P01 Q04 P11 +
2P10 P20Q02 Q04 P012 + 2P10P20 Q202 P022 2P103 Q02 Q04 P02
6P002 Q22 P10Q04 P02 P002 Q22 P01 Q13 P02 + 2P002 Q22 P01 Q04 P11
2Q22 P003 Q04 P12 + 2P002 Q202 P12P22 + 3Q20 P01 P00P022 Q13
4Q20 P012 P10Q04 P02 3P002 P10 Q13 Q04 P11 + 12P002 P10P20 Q204
3Q00 P01 P112 Q13 P02 8Q00P01 P11 P10Q04 P12 8Q00P01 P11 P00Q24 P02
8Q00 P01 P11P20 Q04 P02 + 4Q00P01 P21 Q02 P02P12 + 2Q00 P012 Q22 P02 P12 +
2Q00 P012 Q02 P12P22 3Q00P012 P11 Q13 P12 + 12Q00 P012 P11 Q04 P21
3Q00 P012 P21Q13 P02 4Q00P012 P00 Q24 P12 3P002 P20 Q13 Q04 P01 +
8P003 P10Q04 Q24 + 2P002 Q02 P01Q24 P11 + P10 Q211 P023
P002 Q02 P01 Q33 P02 2Q02 P003 Q24 P12 P003 Q13 Q04 P21
P003 Q33 Q04 P01 + 4P00 P20 Q202 P02 P12 8Q00 P11 P21 P00 Q04 P02 +
2Q00 P11 P21Q02 P022 + 3Q00 P21P00 P022 Q13 + 3Q00 P11P10 P022 Q13
6Q00 P00 P022 Q22 P12 12Q00P00 P02Q02 P12 P22 2Q00 P00 P123 Q02 +
4Q00 P002 P12Q04 P22 2Q00P10 P023 Q22 6Q00 P10 P02Q02 P122
6Q00 P10 P022 Q02 P22 + 8Q00 P10P02 P00 Q04 P22 + 4Q00 P002 P02Q24 P12 +
8Q00 P00 P02P20 Q04 P12 + 4Q00P00 P022 P10Q24 + 3Q00 P01 P00P022 Q33 +
2Q00 P01 P11Q22 P022 + 4Q00 P01P11 Q02 P02 P22 8Q00 P01P11 P00 Q04P22 +
4P00 P103 Q204 + P003 Q213 P12 P003 Q13 Q24 P01 +
6P00 Q11 P01P20 Q04 P02 2P00 Q11 P01Q02 P02 P22 4Q00 P012 P10Q04 P22
4Q00 P012 P20Q04 P12 4Q00P012 P10 Q24 P02 8Q00 P01P21 P00 Q04 P12
8Q00 P01 P21P10 Q04 P02 + 3Q00P01 P00 P122 Q13 + 6Q00 P01 P10P02 Q13 P12 +
3Q00 P01 P20P022 Q13 3Q00P11 Q11 P022 P12 + 6Q00 P11 P00P02 Q13 P12 +
2Q00 P112 Q02 P02P12 4Q00P112 P00 Q04 P12 4Q00 P112 P10 Q04 P02
2P00 P10Q02 P01 Q13 P12 + 4P00P10 Q02 P01Q04 P21 + 12Q200P022 P12 P22 +
4P00 P10Q02 Q22 P022 + 2P00P10 Q02 Q24 P012 + 2P00P10 Q02 P112 Q04
2P00 P10Q02 P11 Q13 P02 + 8Q00Q20 P023 P12 Q00 P013 Q13 P22
Q00 P013 Q33 P02 + 4Q00 P013 Q24 P11 Q00 P01 Q31 P023 +
6
4Q00 P01 P113 Q04 3Q00 P01Q11 P022 P22 3Q00 P01 Q11 P02P122 +
6Q00 P01 P00P02 Q13 P22 Q00 P21 Q11 P023 + 4Q00P00 P122 P10Q04 +
4Q00 P102 P02Q04 P12 + 4Q00 P10P022 P20 Q04 6Q00 P20 P022 Q02 P12
2P00 P20Q02 P01 Q13 P02 + 4P00P20 Q02 P01Q04 P11 6P00P102 Q02 Q04P12
12P00 P10Q02 P20 Q04 P02 3P00P102 Q13 Q04 P01 + 3Q11P11 P002 Q04 P12 +
P10 Q11 P012 Q13 P02 3P10 Q11 P012 Q04 P11 P10 Q11 P11 Q02 P022
2P10 Q11 P01Q02 P02 P12 4P00 Q11 P10P022 Q13 P00Q31 P01 Q02 P022 +
4P002 Q02 Q22 P02P12 P002 Q02 P11 Q13 P12 + 2P002 Q02 P11 Q04 P21
P002 Q02 P21 Q13 P02 6P002 Q02 P10 Q04 P22 6P002 Q02 P20 Q04 P12
6P002 Q02 P10Q24 P02 + 3P002 P10 Q213 P02 + 2P00P10 Q202 P122 +
4P00 P10Q202 P02 P22 + 2P00P10 Q22 Q04 P012 P002 Q02 P01Q13 P22 +
3P102 Q11 P01Q04 P02 + 2Q20 P01P11 Q02 P022 + 4Q20 P013 Q04 P11 +
6P00 Q11 P01P10 Q04 P12 + P00Q11 P012 Q13 P12 + 4Q20P002 P02 Q04 P12
4Q11 P002 P02Q13 P12 6Q20P00 P022 Q02 P12 2Q20 P10P023 Q02
P00 Q11 P01 Q22 P022 P00 Q11 P01 Q02 P122 3P00 Q11 P01 P112 Q04 +
3Q11 P01 P002 Q04 P22 + 3Q11 P01P002 Q24 P02 P00 Q31 Q04 P013 +
2Q20 P012 Q02 P02P12 3P00Q11 P012 Q04 P21 + 3Q31 P01 P002 Q04 P02 +
3Q11 P21 P002 Q04 P02 + 2Q00 P01P11 Q02 P122 8Q20 P01 P11P00 Q04 P02 +
4Q20 P10 P022 P00 Q04 P00Q11 P21 Q02 P022 + 6P00Q11 P11 P10Q04 P02
2P00 Q11 P11Q02 P02 P12 4Q20 P012 P00Q04 P12 Q20 P013 Q13 P02 +
2P00 Q11 P01P11 Q13 P02 P00 Q11 Q24 P013 Q20 P01 Q11 P023 +
3P00 Q211 P022 P12
7
The R4 CoeÆ
ient
R4
= Q20 Q24 P014 + P202 Q202 P022 + Q200 P124 +
2Q00 Q40 P024 + Q220 P024 + 2P004 Q04 Q44 +
P004 Q224 4Q20 P012 P00 Q24 P02 + 8P003 P20 Q04 Q24
6P002 Q02 P20Q24 P02 2P00P10 Q02 P21Q13 P02 2P00P10 Q02 P01Q13 P22
Q00 P01 Q11 P123 6Q00 P01 Q11 P02 P12 P22 3Q00 P01 Q31 P022 P12 +
Q00 P012 Q22 P122 + 6P00 Q11 P21 P10 Q04 P02 + 6P00 Q11 P11 P20 Q04 P02
3P00 Q11 P012 Q24 P11 P00Q11 P11 Q22 P022 P00 Q11 P11Q02 P122 +
P00 Q11 P012 Q33 P02 3Q20 P01 Q11 P022 P12 + 6P00 Q11 P01 P10 Q24 P02
6P00 Q11 P01P11 Q04 P21 + 2P00Q11 P01 P21Q13 P02 4Q20P012 P00 Q04P22
2P00 Q11 P01Q22 P02 P12 8Q20 P01 P21P00 Q04 P02 8Q20 P01 P11P10 Q04 P02 +
P104 Q204 2P00 Q11 P21 Q02 P02 P12 + 2Q20 P012 Q02 P02 P22 +
P00 Q11 P112 Q13 P02 3Q20 P012 P11 Q13 P02 + 6P00 Q11 P01 P10 Q04 P22 +
6P00 Q11 P01P20 Q04 P12 + 2P00Q11 Q31 P023 4Q40 P012 P00Q04 P02
8Q20 P01 P11P00 Q04 P12 + 2Q20P01 P21 Q02 P022 + 6Q200 P022 P222 +
4Q20 P01 P11Q02 P02 P12 + Q40 P012 Q02 P022 4Q20P112 P00 Q04 P02 +
3Q20 P11 P00P022 Q13 2Q20P20 P023 Q02 + 4Q20 P002 P02 Q04 P22
6Q20 P10 P022 Q02 P12 + 8Q20 P10P02 P00 Q04 P12 + 6Q20 P01 P00P02 Q13 P12
6Q20 P00 P02Q02 P122 + 3Q20 P01P10 P022 Q13 6Q20 P00 P022 Q02 P22 +
2Q20 P002 P022 Q24 + P002 Q202 P222 + Q00 P012 Q02 P222 +
6Q00 P012 P112 Q24 + 6Q00 P012 P212 Q04 8Q00 P01 P11P20 Q04 P12
8Q00 P01 P11P10 Q24 P02 + 2Q00P01 P21 Q22 P022 + Q00 P012 Q42 P022
8Q00 P01 P11P00 Q24 P12 + 4Q00P01 P11 Q22 P02P12 + 4Q00 P01P11 Q02 P12P22
3Q00 P01 P112 Q13 P12 6Q00P01 P11 P21Q13 P02 Q00 P013 Q33 P12 +
4Q00 P013 Q24 P21 + 12Q00 Q20 P022 P122 + 6Q00 P01 P00P02 Q33 P12 +
12Q00 P01 P112 Q04 P21 8Q00 P01 P11P10 Q04 P22 + 2Q00P01 P21 Q02 P122 +
2Q00 P012 Q22 P02P22 3Q00P012 P11 Q13 P22 3Q00 P012 P11 Q33 P02
Q00 P113 Q13 P02 2P00 P10 Q02 P11 Q13 P12 + 4P00 P10 Q02 P11 Q04 P21 +
8Q00 Q20 P023 P22 2P00P10 Q02 P01 Q33 P02 6P00P102 Q22 Q04 P02 +
12Q200 P02 P122 P22 + 8P00P10 Q02 Q22 P02P12 + 12P00P20 P102 Q204 +
8
4P00 P20Q202 P02 P22 + 2P00P20 Q202 P122 + 3P002 P10Q213 P12 +
4P00 P10Q02 P01 Q24 P11 + 4P00P10 Q202 P12P22 + 4P00P10 Q22 P01 Q04P11 +
2P002 Q02 P01Q24 P21 6P002 Q02 P10 Q24 P12 6P002 Q02 P20 Q04 P22
3P002 P20Q13 Q04 P11 + Q00 P114 Q04 4Q20 P012 P20Q04 P02
3P002 P10Q13 Q04 P21 3P002 P10 Q13 Q24 P01 3P002 P10 Q33 Q04 P01 +
12P002 P102 Q04 Q24 + 3P002 P20Q213 P02 6P002 Q22 P10 Q04P12
2Q22 P003 Q24 P02 2Q42 P003 Q04 P02 P003 Q13 Q24 P11
P003 Q33 Q04 P11 6P002 Q22 P20 Q04 P02 + P002 Q42 Q04 P012
P002 Q22 P11 Q13 P02 P002 Q22 P01 Q13 P12 2Q22 P003 Q04 P22
P002 Q02 P11 Q13 P22 P002 Q02 P11 Q33 P02 P002 Q02 P21 Q13 P12
P002 Q02 P01 Q33 P12 + 6P00 Q31 P01 P10 Q04 P02 4P00 Q11 P20 P022 Q13 +
4P002 Q02 Q22 P02P22 + 2P003 Q13 Q33 P02 + 2P002 Q22 P01Q04 P21 +
P002 Q22 Q24 P012 + P002 Q22 P112 Q04 2Q20 P00 P023 Q22
Q20 P11 Q11 P023 + 6P002 P202 Q204 + 3Q31 P11 P002 Q04 P02 +
P002 Q222 P022 + 3Q11 P11 P002 Q24 P02 + 3Q11 P21 P002 Q04 P12 +
P003 Q213 P22 + 6P00 Q11 P11 P10 Q04 P12 2P00 Q11 P11 Q02 P02 P22 +
4Q20 P013 Q04 P21 + 3Q00 P11 P00P022 Q33 3Q00 P11Q11 P022 P22
3Q00 P11 Q11 P02P122 + 6Q00 P11P00 P02 Q13 P22 + Q20 P012 Q22 P022 +
Q20 P112 Q02 P022 2Q40 P00 P023 Q02 + 2Q20 P002 P122 Q04 +
2Q40 P002 P022 Q04 2P00P10 Q22 P01 Q13 P02 + P102 Q202 P122 +
Q40 Q04 P014 + 3Q00 P01 P10 P122 Q13 + 6Q00 P01 P20 P02 Q13 P12 +
Q00 P112 Q22 P022 + Q00 Q44 P014 8Q00 P01 P21 P20 Q04 P02 +
6Q00 P01 P00P12 Q13 P22 Q00 P11 Q31 P023 8Q00 P01 P21P00 Q24 P02 +
6Q00 P01 P10P02 Q13 P22 + 3Q00P01 P10 P022 Q33 + Q00 P112 Q02 P122
4Q00 P012 P00Q44 P02 4Q00P012 P20 Q24 P02 + 4Q00 P01 P21Q02 P02 P22
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3Q00 P012 P21Q13 P12 4Q00P012 P00 Q24 P22 8Q00 P01P21 P10 Q04 P12 +
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P00 Q11 P012 Q13 P22 2Q11 P002 P122 Q13 Q20 P013 Q13 P12
P00 Q11 P113 Q04 + 3P00 Q211 P02 P122 + 3P00 Q211 P022 P22
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9
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6Q00 P21 P00P02 Q13 P12 4Q00 P212 P00Q04 P02 4Q00P112 P00 Q24 P02
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3Q11 P01 P002 Q24 P12 4Q11P002 P02 Q13 P22 2P00Q31 P01 Q02 P02 P12
8P00 Q11 P10P02 Q13 P12 4Q20 P012 P10Q04 P12 P00Q31 P11 Q02 P022 +
P00 Q31 P012 Q13 P02 3P00 Q31 P012 Q04 P11 2P00 Q11 P01 Q02 P12 P22 +
2P00 Q11 P01P11 Q13 P12 + 4Q20P00 P022 P20Q04 8Q00 P21P11 P00 Q04P12
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8Q00 P00 P12P10 Q04 P22 + 2P00P20 Q22 Q04 P012 3P10Q11 P012 Q04 P21
2P10 Q11 P11Q02 P02 P12 + 3P102 Q11 P11 Q04 P02 P10 Q11 P21Q02 P022
P10 Q11 P01 Q22 P022 2P102 Q11 P022 Q13 + 3Q31 P01 P002 Q04 P12
6P00 P10P20 Q13 Q04 P01 6P00 P202 Q02 Q04 P02 P10Q11 Q24 P013 +
P10 Q11 P012 Q13 P12 6P00 P102 Q02 Q24 P02 + 3P00 P102 Q213 P02
3P00 P102 Q13 Q04 P11 + 3P10Q211 P022 P12 + 2P00P20 Q02 Q24 P012 +
2P00 P20Q02 P112 Q04 2P00P20 Q02 P11Q13 P02 + 2Q00 P202 P022 Q04
2P00 P20Q02 P01 Q13 P12 + 4P00P20 Q02 P01Q04 P21 6P00P102 Q02 Q04P22
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4Q00 P102 P02Q04 P22 + 8Q00 P10P02 P20 Q04 P12 6Q00 P10P022 Q22 P12
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6Q00 P11 P10P02 Q13 P12 + 3Q00P11 P20 P022 Q13 + 3Q00 P21 P10P022 Q13
P103 Q13 Q04 P01 + P202 Q02 Q04 P012 + P102 Q02 Q24 P012 +
P102 Q02 P112 Q04 P102 Q02 P11 Q13 P02 P102 Q02 P01 Q13 P12 +
2P102 Q02 P01Q04 P21 + 2P102 Q02 Q22 P022 + 4P10 P20Q202 P02 P12
10
2P10 P20Q02 P01 Q13 P02 + 4P10P20 Q02 P01Q04 P11 2P103 Q02 Q04 P12
6P102 Q02 P20Q04 P02 3P20Q11 P012 Q04 P11 P20 Q11 P11Q02 P022
2P20 Q11 P01Q02 P02 P12 + 2P102 Q202 P02 P22 + P102 Q22 Q04 P012
P10 Q31 P01 Q02 P022 P10 Q31 Q04 P013 + P20 Q11 P012 Q13 P02
P10 Q11 P01 Q02 P122 3P10 Q11 P01 P112 Q04 2P10 Q11 P01 Q02 P02 P22 +
2P10 Q11 P01P11 Q13 P02 + 3P102 Q11 P01 Q04 P12 + 6P10 Q11 P01P20 Q04 P02
11
The R5 CoeÆ
ient
R5
=
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6P10 Q11 P11P20 Q04 P02 P20 Q11 Q24 P013 6Q20 P10 P022 Q02 P22 +
3Q20 P01 P00P122 Q13 + 2Q20 P01P11 Q02 P122 + 3Q20 P01P00 P022 Q33 +
8Q20 P00 P02P20 Q04 P12 + 4Q20P01 P11 Q02 P02P22 + 4Q200 P123 P22
6P00 P10P20 Q13 Q04 P11 P00 Q11 Q44 P013 + 6P00Q211 P02 P12P22
P00 Q11 P21 Q02 P122 + 2P102 Q02 P11 Q04 P21 + 6Q20 P01 P10 P02 Q13 P12
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P102 Q02 P01 Q33 P02 + 2P10 P20 Q202 P122 + 2P102 Q02 P01 Q24 P11
P102 Q22 P01 Q13 P02 + 2P102 Q22 P01 Q04 P11 + 4P102 Q02 Q22 P02 P12
2P103 Q02 Q24 P02 + 4P00 P20Q02 P11 Q04 P21 2P00 P20Q02 P21 Q13 P02
2P00 P20Q02 P01 Q13 P22 6P00 P102 Q02 Q24 P12 + P00 Q211 P123
P00 Q11 P01 Q42 P022 3Q20 P012 P11 Q13 P12 2P20 Q11 P01 Q02 P02 P22 +
2P20 Q11 P01P11 Q13 P02 P20 Q31 Q04 P013 + 2Q20P11 P21 Q02 P022
2P20 Q11 P11Q02 P02 P12 + 4Q20P013 Q24 P11 Q20 P013 Q13 P22 +
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12
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P002 Q22 P01 Q33 P02 P002 Q22 P01 Q13 P22 P002 Q22 P21 Q13 P02 +
6P00 Q11 P21P10 Q04 P12 2P00 Q11 P01Q22 P02 P22 P00 Q11 P01Q22 P122 +
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2P00 Q11 P01P11 Q33 P02 P003 Q13 Q44 P01 P002 Q02 P01Q33 P22
P002 Q02 P21 Q33 P02 + 4Q220 P023 P12 + 2P00 Q11 P01 P11 Q13 P22 +
2Q20 P012 Q02 P12P22 + 8Q20 P10P02 P00 Q04 P22 + 8Q00 P00 P02P20 Q24 P12 +
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3Q11 P01 P002 Q44 P02 + 3Q11 P01P002 Q24 P22 + 3Q11 P21P002 Q24 P02 +
3Q11 P21 P002 Q04 P22 + 3Q11 P11P002 Q24 P12 + 3Q31 P11P002 Q04 P12 +
3Q31 P21 P002 Q04 P02 + 3Q31 P01P002 Q04 P22 3Q20 P01 Q11 P022 P22
6P102 Q02 P20Q04 P12 3P102 P20 Q13 Q04 P01 2P10P20 Q02 P11 Q13 P02
2P10 P20Q02 P01 Q13 P12 + 4P10P20 Q02 P01Q04 P21 2P103 Q02 Q04 P22 +
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13
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2P10 P20Q02 P112 Q04 3Q20P01 Q11 P02 P122 + 3P10 Q211 P02P122 +
3P10 Q211 P022 P22 + 2P10Q11 Q31 P023 2Q00 P10P023 Q42 +
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P103 Q213 P02 + 6P00 Q31 P11 P10 Q04 P02 Q20 P21 Q11 P023
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14
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2P102 Q202 P12P22 + 3Q00 P11P10 P022 Q33 3Q00 P21 Q11 P02P122
2P103 Q22 Q04 P02 2P00P10 Q02 P11 Q33 P02 + 6Q20 P11 P00P02 Q13 P12
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P10 Q11 P012 Q33 P02 8Q20 P01 P11 P00 Q04 P22 + P10 Q11 P012 Q13 P22 +
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P10 Q11 P112 Q13 P02 P10 Q11 P11 Q02 P122 8Q00 P01 P11 P00 Q24 P22 +
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15
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6Q00 P11 P00P12 Q13 P22 + 6Q00P11 P10 P02Q13 P22 P20Q11 P01 Q22 P022
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4Q00 P21 P11Q02 P02 P22 8Q00 P21 P11P00 Q04 P22 P10 Q31 P11Q02 P022 +
6Q00 P21 P00P02 Q13 P22 + 3Q00P21 P00 P022 Q33 8Q00 P01P21 P00 Q24P12 +
3Q00 P01 P00P222 Q13 + 6Q00 P21P10 P02 Q13 P12 + 3Q00 P21 P20P022 Q13
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P20 Q31 P01 Q02 P022
16
The R6 CoeÆ
ient
R6
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8Q20 P00 P02P20 Q04 P22 + 2Q20P002 P022 Q44 + 3Q20 P01P10 P122 Q13 +
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2Q20 P002 P222 Q04 12Q20 P10P02 Q02 P12P22 + 4Q20 P002 P02 Q24 P22 +
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6Q20 P01 P00P02 Q33 P12 6Q20 P10 P022 Q22 P12 8Q20P01 P21 P00Q24 P02
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17
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2Q20 Q40 P024 3Q40 P012 P11Q13 P02 8Q20 P01P11 P10Q24 P02
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Q20 P012 Q22 P122 3Q20 P01 Q31 P022 P12 2P00 Q11 P21 Q22 P02 P12
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Q20 P112 Q22 P022 2Q40 P20 P023 Q02 + 4Q20 P01 P11 Q02 P12 P22 +
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P00 Q11 P113 Q24 2Q31 P002 P122 Q13 + 3Q31 P01 P002 Q24 P12 +
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22
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23
The R7 CoeÆ
ient
R7
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24
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2P00 Q11 P11Q22 P12 P22 2P00 Q11 P11Q42 P02 P12 + P00Q11 P112 Q33 P12
3P00 Q11 P112 Q24 P21 3P00Q11 P012 Q44 P21 + 2Q20 P012 Q42 P02P12 +
2Q20 P012 Q22 P12P22 P00Q11 P213 Q04 + 3P00Q211 P12 P222 +
12P00 Q11 Q31P02 P12 P22 + 2P00 Q11 Q31 P123 + 3Q31P01 P002 Q44 P02
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4Q40 P012 P20Q04 P12 3Q40P012 P21 Q13 P02 4Q40 P012 P00 Q24 P12
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25
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3Q31 P21 P002 Q24 P02 + 3Q31 P11P002 Q24 P12 + 3Q11 P11P002 Q44 P12 +
3Q11 P21 P002 Q24 P22 + 3Q11 P21P002 Q44 P02 + 3Q11 P01P002 Q44 P22
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P10 Q31 P012 Q13 P22 + P10 Q31 P012 Q33 P02 3P10 Q31 P012 Q24 P11
P10 Q31 P11 Q22 P022 P10 Q31 P11 Q02 P122 2P10 Q31 P11 Q02 P02 P22 +
P10 Q31 P112 Q13 P02 + 3P102 Q31 P11 Q04 P12 + 6P10 Q31 P11 P20 Q04 P02
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P20 Q11 P012 Q33 P12 3P20 Q11 P012 Q24 P21 2P20 Q11 P11 Q22 P02 P12
2P20 Q11 P11Q02 P12 P22 + P20Q11 P112 Q13 P12 3P20 Q11 P112 Q04 P21 +
2P20 Q11 P11P21 Q13 P02 + 3P202 Q11 P11 Q04 P12 P20 Q11 P21Q22 P022
29
P20 Q11 P21 Q02 P122 2P20 Q11 P21 Q02 P02 P22 + 3P202 Q11 P21 Q04 P02
P20 Q11 P01 Q22 P122 P20 Q11 P01 Q42 P022 P20 Q11 P01 Q02 P222
3P20 Q11 P01P112 Q24 3P20Q11 P01 P212 Q04 2P20Q11 P01 Q22 P02 P22 +
2P20 Q11 P01P11 Q13 P22 + 2P20Q11 P01 P11Q33 P02 + 2P20Q11 P01 P21Q13 P12 +
3P202 Q11 P01Q04 P22 + 3P202 Q11 P01 Q24 P02 P20 Q31 Q24 P013 +
P20 Q31 P012 Q13 P12 3P20 Q31 P012 Q04 P21 2P20 Q31 P11 Q02 P02 P12
P20 Q31 P21 Q02 P022 P20 Q31 P01 Q22 P022 P20 Q31 P01 Q02 P122
3P20 Q31 P01P112 Q04 2P20Q31 P01 Q02 P02P22 + 2P20Q31 P01 P11 Q13P02 +
3P202 Q31 P01Q04 P02 + 2P102 Q222 P02 P12 P102 Q22 P11 Q13 P12 +
2P102 Q22 P11Q04 P21 P102 Q22 P21 Q13 P02 P102 Q22 P01Q13 P22
P102 Q22 P01 Q33 P02 + 2P102 Q22 P01 Q24 P11 2P103 Q22 Q04 P22
6P102 Q22 P20Q04 P12 2P103 Q22 Q24 P02 P102 Q42 P01 Q13 P02 +
2P102 Q42 P01Q04 P11 2P103 Q42 Q04 P02 + 4P102 Q02 Q42 P02 P12
P102 Q02 P11 Q33 P12 + 2P102 Q02 P11 Q24 P21 P102 Q02 P21 Q13 P22
P102 Q02 P21 Q33 P02 P102 Q02 P01 Q33 P22 + 2P10 P20 Q202 P222 +
2P10 P20Q222 P022 + 2P10P20 Q22 Q24 P012 + 2P10P20 Q22 P112 Q04
2P10 P20Q22 P11 Q13 P02 2P10 P20Q22 P01 Q13 P12 + 4P10P20 Q22 P01Q04 P21 +
2P10 P20Q42 Q04 P012 + 4P10P20 Q02 Q22 P122 + 4P10P20 Q02 Q42 P022 +
2P10 P20Q02 Q44 P012 + 2P10P20 Q02 P112 Q24 + 2P10P20 Q02 P212 Q04 +
8P10 P20Q02 Q22 P02 P22 2P10 P20Q02 P11 Q13 P22 2P10 P20Q02 P11 Q33 P02
2P10 P20Q02 P21 Q13 P12 2P10 P20Q02 P01 Q33 P12 + 2P102 Q02 P01 Q44P11
2P103 Q02 Q24 P22 6P102 Q02 P20 Q24 P12 2P103 Q02 Q44 P02 +
2P103 Q13 Q33 P02 P103 Q13 Q24 P11 P103 Q33 Q04 P11 +
8P103 P20Q04 Q24 + 3P102 P20Q213 P12 3P102 P20 Q13 Q04 P21
3P102 P20Q13 Q24 P01 3P102 P20 Q33 Q04 P01 + 4P10 P20Q02 P01 Q24 P21
6P10 P202 Q02 Q04 P22 6P10P202 Q02 Q24 P02 + 3P10 P202 Q213 P02
3P10 P202 Q13 Q04 P11 + 2P202 Q202 P12 P22 P202 Q22 P01 Q13 P02 +
2P202 Q22 P01Q04 P11 + 4P202 Q02 Q22 P02 P12 + 2P202 Q02 P11 Q04 P21
P202 Q02 P21 Q13 P02 P202 Q02 P01 Q13 P22 P202 Q02 P01 Q33 P02 +
2P202 Q02 P01Q24 P11 2P203 Q02 Q04 P12
30
The R8 CoeÆ
ient
R8
= P00 Q211 P223 2P00 P10Q42 P11 Q13 P12 + 4P00P10 Q42 P11Q04 P21
3P10 Q31 P01P212 Q04 2P10Q31 P01 Q22 P02P22 + P003 Q233 P22 +
P102 Q222 P122 2P00 Q31 P01 Q22 P12 P22 + 2P104 Q04 Q44 +
P002 Q222 P222 + P20 Q231 P023 + P203 Q213 P02 +
Q40 Q44 P014 + 2Q00 Q40 P124 + Q20 P114 Q24
4Q00 P212 P00Q24 P22 4Q00P112 P00 Q44 P22 P002 Q22 P21Q33 P12 +
P002 Q242 P022 + P202 Q202 P222 + Q40 P114 Q04 +
6Q220 P022 P222 2P00P10 Q22 P21 Q33 P02 + 3P102 Q31 P21Q04 P12 +
6P002 P202 Q224 2Q31 P002 P122 Q33 + 2P00 P20Q22 Q44
Formulae for the Loop
Polynomial CoeÆ
ients
William J. Wedemeyer, Harold A. S
heraga
This rst supplement gives the seventeen loop polynomial
oeÆ
ients R0 R16 [
orresponding to equation (7) of the text℄ as analyti
formulae in the
known quantities P00 P22 and Q00 Q44 . These lengthy formulae were
generated using the software pa
kage Maple and are in
luded for
ompleteness. However, the
oeÆ
ients R0 -R16
an be
al
ulated more eÆ
iently by
omputer, e.g., with the programs given in the se
ond supplement.
1
Contents
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
The R
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
CoeÆ
ient
3
4
5
6
8
12
17
24
31
39
46
53
58
62
64
65
66
2
The R0 CoeÆ
ient
R0
= Q00 Q04 P014 + P002 Q202 P022 + P004 Q204
2Q02 P003 Q04 P02 + P002 Q02 Q04 P012 + Q200 P024 +
Q00 P012 Q02 P022 4Q00 P012 P00 Q04 P02 + 2Q00 P002 P022 Q04
2Q00 P00 P023 Q02
3
The R1 CoeÆ
ient
R1
=
P00 Q11 Q04 P013 + 4P003 P10 Q204 4Q00 P012 P00 Q04 P12
4Q00 P012 P10Q04 P02 6Q00 P00 P022 Q02 P12 + 4Q00 P002 P02Q04 P12 +
4Q00 P10 P022 P00 Q04 6P002 Q02 P10Q04 P02 2Q02 P003 Q04 P12 +
2P002 Q202 P02P12 Q00P013 Q13 P02 + 4Q00 P013 Q04 P11 +
2P00 P10Q202 P022 + 2Q00 P012 Q02 P02 P12 2Q00 P10 P023 Q02
Q00 P01 Q11 P023 + 3Q00 P01 P00 P022 Q13 8Q00 P01 P11 P00 Q04 P02 +
4Q200 P023 P12 + 2P00 P10Q02 Q04 P012 P00Q11 P01 Q02 P022 +
3Q11 P01 P002 Q04 P02 P002 Q02 P01 Q13 P02 + 2P002 Q02 P01Q04 P11
P003 Q13 Q04 P01 + 2Q00 P01 P11 Q02 P022
4
The R2 CoeÆ
ient
R2
= 2P004 Q04 Q24 + 2Q00 Q20 P024 + Q20 Q04 P014 +
P002 Q202 P122 + 6Q200 P022 P122 + 4P003 P20 Q204
2Q00 P00 P023 Q22 6Q00 P00P022 Q02 P22 + 4Q00 P002 P02 Q04 P22 +
2Q00 P002 P122 Q04 6Q00 P10P022 Q02 P12 + 8Q00 P10P02 P00Q04 P12 +
2Q00 P002 P022 Q24 + 4Q00 P00 P022 P20 Q04 + 2Q00 P102 P022 Q04
2Q00 P20 P023 Q02 6P00P102 Q02 Q04 P02 2P00 Q11 P01Q02 P02 P12 +
Q20 P012 Q02 P022 4Q20 P012 P00 Q04 P02 P00 Q11 P11 Q02 P022
2Q20 P00 P023 Q02 2Q11 P002 P022 Q13 + P00 Q11 P012 Q13 P02 +
6P00 Q11 P01P10 Q04 P02 3P00 Q11 P012 Q04 P11 + 2P002 Q02 Q22 P022 +
P002 Q02 Q24 P012 + P003 Q213 P02 + 3Q11 P01 P002 Q04 P12 +
3Q11 P11 P002 Q04 P02 2Q02P003 Q24 P02 P003 Q13 Q04 P11
2Q22 P003 Q04 P02 + P002 Q02 P112 Q04 P002 Q02 P11 Q13 P02
P002 Q02 P01 Q13 P12 + 2P002 Q02 P01 Q04 P21 + 2P002 Q202 P02 P22 +
P002 Q22 Q04 P012 3P002 P10 Q13 Q04 P01 6P002 Q02 P10 Q04 P12 +
2P00 P20Q202 P022 2Q02P003 Q04 P22 6P002 Q02 P20Q04 P02 +
4P00 P10Q202 P02 P12 2P00 P10Q02 P01 Q13 P02 + 4P00P10 Q02 P01Q04 P11 +
P102 Q202 P022 + 4Q200 P023 P22 + 6P002 P102 Q204 +
Q00 Q24 P014 + P00 Q211 P023 + 2Q20 P002 P022 Q04
Q00 P013 Q13 P12 + 4Q00 P013 Q04 P21 3Q00 P01 Q11 P022 P12 +
6Q00 P01 P00P02 Q13 P12 + 4Q00P01 P11 Q02 P02P12 P10Q11 P01 Q02 P022
P10 Q11 Q04 P013 + P102 Q02 Q04 P012 + 2P00 P20 Q02 Q04 P012
4Q00 P012 P20Q04 P02 + 3Q00 P01P10 P022 Q13 Q00 P11 Q11 P023 +
3Q00 P11 P00P022 Q13 4Q00P112 P00 Q04 P02 + Q00 P112 Q02 P022
6Q00 P00 P02Q02 P122 8Q00P01 P11 P00Q04 P12 8Q00P01 P11 P10Q04 P02
8Q00 P01 P21P00 Q04 P02 + 2Q00P01 P21 Q02 P022 + Q00 P012 Q22 P022 +
Q00 P012 Q02 P122 + 6Q00 P012 P112 Q04 + 2Q00 P012 Q02 P02 P22
4Q00 P012 P00Q04 P22 3Q00P012 P11 Q13 P02 4Q00 P012 P10 Q04 P12
4Q00 P012 P00Q24 P02
5
The R3 CoeÆ
ient
R3
= 4Q200 P02 P123 P20 Q11 P01Q02 P022 P20Q11 Q04 P013 +
2P102 Q202 P02P12 P102 Q02 P01 Q13 P02 + 2P102 Q02 P01 Q04 P11 +
2P10 P20Q02 Q04 P012 + 2P10P20 Q202 P022 2P103 Q02 Q04 P02
6P002 Q22 P10Q04 P02 P002 Q22 P01 Q13 P02 + 2P002 Q22 P01 Q04 P11
2Q22 P003 Q04 P12 + 2P002 Q202 P12P22 + 3Q20 P01 P00P022 Q13
4Q20 P012 P10Q04 P02 3P002 P10 Q13 Q04 P11 + 12P002 P10P20 Q204
3Q00 P01 P112 Q13 P02 8Q00P01 P11 P10Q04 P12 8Q00P01 P11 P00Q24 P02
8Q00 P01 P11P20 Q04 P02 + 4Q00P01 P21 Q02 P02P12 + 2Q00 P012 Q22 P02 P12 +
2Q00 P012 Q02 P12P22 3Q00P012 P11 Q13 P12 + 12Q00 P012 P11 Q04 P21
3Q00 P012 P21Q13 P02 4Q00P012 P00 Q24 P12 3P002 P20 Q13 Q04 P01 +
8P003 P10Q04 Q24 + 2P002 Q02 P01Q24 P11 + P10 Q211 P023
P002 Q02 P01 Q33 P02 2Q02 P003 Q24 P12 P003 Q13 Q04 P21
P003 Q33 Q04 P01 + 4P00 P20 Q202 P02 P12 8Q00 P11 P21 P00 Q04 P02 +
2Q00 P11 P21Q02 P022 + 3Q00 P21P00 P022 Q13 + 3Q00 P11P10 P022 Q13
6Q00 P00 P022 Q22 P12 12Q00P00 P02Q02 P12 P22 2Q00 P00 P123 Q02 +
4Q00 P002 P12Q04 P22 2Q00P10 P023 Q22 6Q00 P10 P02Q02 P122
6Q00 P10 P022 Q02 P22 + 8Q00 P10P02 P00 Q04 P22 + 4Q00 P002 P02Q24 P12 +
8Q00 P00 P02P20 Q04 P12 + 4Q00P00 P022 P10Q24 + 3Q00 P01 P00P022 Q33 +
2Q00 P01 P11Q22 P022 + 4Q00 P01P11 Q02 P02 P22 8Q00 P01P11 P00 Q04P22 +
4P00 P103 Q204 + P003 Q213 P12 P003 Q13 Q24 P01 +
6P00 Q11 P01P20 Q04 P02 2P00 Q11 P01Q02 P02 P22 4Q00 P012 P10Q04 P22
4Q00 P012 P20Q04 P12 4Q00P012 P10 Q24 P02 8Q00 P01P21 P00 Q04 P12
8Q00 P01 P21P10 Q04 P02 + 3Q00P01 P00 P122 Q13 + 6Q00 P01 P10P02 Q13 P12 +
3Q00 P01 P20P022 Q13 3Q00P11 Q11 P022 P12 + 6Q00 P11 P00P02 Q13 P12 +
2Q00 P112 Q02 P02P12 4Q00P112 P00 Q04 P12 4Q00 P112 P10 Q04 P02
2P00 P10Q02 P01 Q13 P12 + 4P00P10 Q02 P01Q04 P21 + 12Q200P022 P12 P22 +
4P00 P10Q02 Q22 P022 + 2P00P10 Q02 Q24 P012 + 2P00P10 Q02 P112 Q04
2P00 P10Q02 P11 Q13 P02 + 8Q00Q20 P023 P12 Q00 P013 Q13 P22
Q00 P013 Q33 P02 + 4Q00 P013 Q24 P11 Q00 P01 Q31 P023 +
6
4Q00 P01 P113 Q04 3Q00 P01Q11 P022 P22 3Q00 P01 Q11 P02P122 +
6Q00 P01 P00P02 Q13 P22 Q00 P21 Q11 P023 + 4Q00P00 P122 P10Q04 +
4Q00 P102 P02Q04 P12 + 4Q00 P10P022 P20 Q04 6Q00 P20 P022 Q02 P12
2P00 P20Q02 P01 Q13 P02 + 4P00P20 Q02 P01Q04 P11 6P00P102 Q02 Q04P12
12P00 P10Q02 P20 Q04 P02 3P00P102 Q13 Q04 P01 + 3Q11P11 P002 Q04 P12 +
P10 Q11 P012 Q13 P02 3P10 Q11 P012 Q04 P11 P10 Q11 P11 Q02 P022
2P10 Q11 P01Q02 P02 P12 4P00 Q11 P10P022 Q13 P00Q31 P01 Q02 P022 +
4P002 Q02 Q22 P02P12 P002 Q02 P11 Q13 P12 + 2P002 Q02 P11 Q04 P21
P002 Q02 P21 Q13 P02 6P002 Q02 P10 Q04 P22 6P002 Q02 P20 Q04 P12
6P002 Q02 P10Q24 P02 + 3P002 P10 Q213 P02 + 2P00P10 Q202 P122 +
4P00 P10Q202 P02 P22 + 2P00P10 Q22 Q04 P012 P002 Q02 P01Q13 P22 +
3P102 Q11 P01Q04 P02 + 2Q20 P01P11 Q02 P022 + 4Q20 P013 Q04 P11 +
6P00 Q11 P01P10 Q04 P12 + P00Q11 P012 Q13 P12 + 4Q20P002 P02 Q04 P12
4Q11 P002 P02Q13 P12 6Q20P00 P022 Q02 P12 2Q20 P10P023 Q02
P00 Q11 P01 Q22 P022 P00 Q11 P01 Q02 P122 3P00 Q11 P01 P112 Q04 +
3Q11 P01 P002 Q04 P22 + 3Q11 P01P002 Q24 P02 P00 Q31 Q04 P013 +
2Q20 P012 Q02 P02P12 3P00Q11 P012 Q04 P21 + 3Q31 P01 P002 Q04 P02 +
3Q11 P21 P002 Q04 P02 + 2Q00 P01P11 Q02 P122 8Q20 P01 P11P00 Q04 P02 +
4Q20 P10 P022 P00 Q04 P00Q11 P21 Q02 P022 + 6P00Q11 P11 P10Q04 P02
2P00 Q11 P11Q02 P02 P12 4Q20 P012 P00Q04 P12 Q20 P013 Q13 P02 +
2P00 Q11 P01P11 Q13 P02 P00 Q11 Q24 P013 Q20 P01 Q11 P023 +
3P00 Q211 P022 P12
7
The R4 CoeÆ
ient
R4
= Q20 Q24 P014 + P202 Q202 P022 + Q200 P124 +
2Q00 Q40 P024 + Q220 P024 + 2P004 Q04 Q44 +
P004 Q224 4Q20 P012 P00 Q24 P02 + 8P003 P20 Q04 Q24
6P002 Q02 P20Q24 P02 2P00P10 Q02 P21Q13 P02 2P00P10 Q02 P01Q13 P22
Q00 P01 Q11 P123 6Q00 P01 Q11 P02 P12 P22 3Q00 P01 Q31 P022 P12 +
Q00 P012 Q22 P122 + 6P00 Q11 P21 P10 Q04 P02 + 6P00 Q11 P11 P20 Q04 P02
3P00 Q11 P012 Q24 P11 P00Q11 P11 Q22 P022 P00 Q11 P11Q02 P122 +
P00 Q11 P012 Q33 P02 3Q20 P01 Q11 P022 P12 + 6P00 Q11 P01 P10 Q24 P02
6P00 Q11 P01P11 Q04 P21 + 2P00Q11 P01 P21Q13 P02 4Q20P012 P00 Q04P22
2P00 Q11 P01Q22 P02 P12 8Q20 P01 P21P00 Q04 P02 8Q20 P01 P11P10 Q04 P02 +
P104 Q204 2P00 Q11 P21 Q02 P02 P12 + 2Q20 P012 Q02 P02 P22 +
P00 Q11 P112 Q13 P02 3Q20 P012 P11 Q13 P02 + 6P00 Q11 P01 P10 Q04 P22 +
6P00 Q11 P01P20 Q04 P12 + 2P00Q11 Q31 P023 4Q40 P012 P00Q04 P02
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8
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9
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8Q00 P00 P12P10 Q04 P22 + 2P00P20 Q22 Q04 P012 3P10Q11 P012 Q04 P21
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P102 Q02 P112 Q04 P102 Q02 P11 Q13 P02 P102 Q02 P01 Q13 P12 +
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10
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P10 Q31 P01 Q02 P022 P10 Q31 Q04 P013 + P20 Q11 P012 Q13 P02
P10 Q11 P01 Q02 P122 3P10 Q11 P01 P112 Q04 2P10 Q11 P01 Q02 P02 P22 +
2P10 Q11 P01P11 Q13 P02 + 3P102 Q11 P01 Q04 P12 + 6P10 Q11 P01P20 Q04 P02
11
The R5 CoeÆ
ient
R5
=
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P00 Q11 P21 Q02 P122 + 2P102 Q02 P11 Q04 P21 + 6Q20 P01 P10 P02 Q13 P12
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2P00 Q11 P01P11 Q33 P02 P003 Q13 Q44 P01 P002 Q02 P01Q33 P22
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2Q20 P012 Q02 P12P22 + 8Q20 P10P02 P00 Q04 P22 + 8Q00 P00 P02P20 Q24 P12 +
4Q00 P00 P022 P10 Q44 + 4Q20 P10P022 P20 Q04 P002 Q02 P21 Q13 P22 +
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P002 Q02 P11 Q33 P12 + 6P00 Q11 P01 P20 Q04 P22 + 4P002 Q02 Q42 P02 P12 +
4P002 Q02 Q22 P12P22 6P002 Q42 P10 Q04 P02 4P00Q31 P10 P022 Q13
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3Q11 P21 P002 Q04 P22 + 3Q11 P11P002 Q24 P12 + 3Q31 P11P002 Q04 P12 +
3Q31 P21 P002 Q04 P02 + 3Q31 P01P002 Q04 P22 3Q20 P01 Q11 P022 P22
6P102 Q02 P20Q04 P12 3P102 P20 Q13 Q04 P01 2P10P20 Q02 P11 Q13 P02
2P10 P20Q02 P01 Q13 P12 + 4P10P20 Q02 P01Q04 P21 2P103 Q02 Q04 P22 +
4P20 P103 Q204 2Q02 P003 Q44 P12 + 6P00 Q11 P01P20 Q24 P02
13
Q20 P01 Q31 P023 + 4Q20 P01 P113 Q04 + 4P10 P20 Q202 P02 P22 +
2P10 P20Q22 Q04 P012 + 4P10P20 Q02 Q22 P022 + 2P10P20 Q02 Q24 P012 +
2P10 P20Q02 P112 Q04 3Q20P01 Q11 P02 P122 + 3P10 Q211 P02P122 +
3P10 Q211 P022 P22 + 2P10Q11 Q31 P023 2Q00 P10P023 Q42 +
3Q00 P01 P20P022 Q33 2P00P10 Q02 P01Q33 P12 3Q00P01 P212 Q13 P02 +
6P00 Q31 P01P10 Q04 P12 4Q00 P012 P10Q44 P02 4Q00P012 P20 Q24 P12 +
4P00 P10Q22 P01 Q04 P21 4Q00 P012 P10Q24 P22 2P00P10 Q22 P01Q13 P12
3Q00 P012 P21Q33 P02 + 8P00P103 Q04 Q24 + 3P00 P102 Q213 P12
2Q00 P20 P123 Q02 3Q00 P012 P21 Q13 P22 + 12Q00P012 P11Q24 P21
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2Q00 P01 P11Q42 P022 + 2Q00 P01P11 Q22 P122 + 3P002 P10 Q213 P22
3Q00 P01 Q31 P02P122 + 8Q00 P10P02 P20 Q04 P22 12Q00P20 P02 Q02 P12P22 +
8P00 P20Q02 Q22 P02 P12 + 4Q20P01 P21 Q02 P02P12 4Q40P012 P10 Q04P02
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4P00 P20Q202 P12 P22 2P00 Q31 P11Q02 P02 P12 + 2P00P10 Q22 P112 Q04 +
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P103 Q213 P02 + 6P00 Q31 P11 P10 Q04 P02 Q20 P21 Q11 P023
6P002 Q02 P10Q44 P02 6P002 Q02 P20 Q24 P12 + 6P00 Q11 P01P10 Q24 P12
6P002 Q02 P10Q24 P22 + 2P00P10 Q202 P222 + 2P002 Q02 P01 Q44 P11 +
2P00 Q31 P01P11 Q13 P02 2P00 Q31 P01Q02 P02 P22 4Q20 P012 P20Q04 P12
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14
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2P102 Q202 P12P22 + 3Q00 P11P10 P022 Q33 3Q00 P21 Q11 P02P122
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P10 Q11 P012 Q33 P02 8Q20 P01 P11 P00 Q04 P22 + P10 Q11 P012 Q13 P22 +
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P10 Q11 P112 Q13 P02 P10 Q11 P11 Q02 P122 8Q00 P01 P11 P00 Q24 P22 +
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15
P10 Q31 P012 Q13 P02 6Q00 P11 Q11 P02 P12 P22 + 6Q00 P01 P20 P02 Q13 P22
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8Q00 P01 P21P10 Q24 P02 + 3Q00P01 P00 P122 Q33 4P102 Q11 P02 Q13 P12
8Q00 P01 P21P20 Q04 P12 8Q00 P01 P21P10 Q04 P22 + 3P102 Q11 P01 Q24P02 +
3P102 Q11 P01Q04 P22 + 3P102 Q11 P21 Q04 P02 3P20 Q11 P01P112 Q04 +
6Q00 P11 P20P02 Q13 P12 4Q00 P212 P00Q04 P12 P20Q11 P01 Q02 P122 +
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4Q00 P21 P11Q02 P02 P22 8Q00 P21 P11P00 Q04 P22 P10 Q31 P11Q02 P022 +
6Q00 P21 P00P02 Q13 P22 + 3Q00P21 P00 P022 Q33 8Q00 P01P21 P00 Q24P12 +
3Q00 P01 P00P222 Q13 + 6Q00 P21P10 P02 Q13 P12 + 3Q00 P21 P20P022 Q13
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P20 Q31 P01 Q02 P022
16
The R6 CoeÆ
ient
R6
= P102 Q202 P222 + P202 Q202 P122 + 6Q00 P21P00 P02 Q33 P12 +
4Q00 P21 P11Q02 P12 P22 + P002 Q222 P122 + Q20 P114 Q04 +
4Q200 P02 P223 + 6P002 P102 Q224 + P00Q231 P023 +
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4P00 P203 Q204 + 2P104 Q04 Q24 3P10Q11 P012 Q24 P21 +
4P003 P20Q224 + P102 Q222 P022 + 3P00Q211 P122 P22 +
3P202 Q11 P11Q04 P02 + 6Q200 P122 P222 + P10 Q211 P123
6P002 Q22 P10Q24 P12 2P102 Q11 P122 Q13 + 4Q40 P01P11 Q02 P02P12 +
Q40 Q24 P014 8Q00 P01 P11 P10 Q44 P02 + P003 Q233 P02 +
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P10 Q31 P21 Q02 P022 4Q20 P112 P20 Q04 P02 2P00 P10 Q02 P21 Q33 P02
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2Q20 P002 P122 Q24 3P00P202 Q13 Q04 P11 6Q20 P00 P02Q22 P122
6Q20 P01 Q11 P02P12 P22 8Q20 P01 P21P20 Q04 P02 + 3Q20P01 P10 P022 Q33 +
8Q20 P00 P02P20 Q04 P22 + 2Q20P002 P022 Q44 + 3Q20 P01P10 P122 Q13 +
6Q20 P01 P00P12 Q13 P22 + 6Q20P01 P10 P02Q13 P22 + 4Q20 P01P11 Q22 P02P12 +
2Q20 P002 P222 Q04 12Q20 P10P02 Q02 P12P22 + 4Q20 P002 P02 Q24 P22 +
8Q20 P00 P02P10 Q24 P12 2Q20 P00 P023 Q42 6Q20 P00P02 Q02 P222 +
6Q20 P01 P00P02 Q33 P12 6Q20 P10 P022 Q22 P12 8Q20P01 P21 P00Q24 P02
8Q20 P01 P21P10 Q04 P12 + 2Q40P102 P022 Q04 + 2Q40 P002 P022 Q24 +
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6Q20 P00 P122 Q02 P22 + 4Q20 P00P022 P20 Q24 + 3Q20 P21P10 P022 Q13
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6Q40 P00 P022 Q02 P22 + 4Q40 P002 P02 Q04 P22 + 8Q40 P10P02 P00Q04 P12 +
4Q40 P013 Q04 P21 + 6Q40 P01 P00P02 Q13 P12 Q40 P013 Q13 P12
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17
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Q20 P112 Q02 P122 + 6Q20 P11 P00 P02 Q13 P22 3Q20 P11 Q11 P02 P122
3Q20 P11 Q11 P022 P22 8Q40P01 P21 P00Q04 P02 + Q40 P012 Q22 P022
8Q20 P01 P11P00 Q24 P12 + 2Q20P01 P21 Q22 P022 3Q20 P01P112 Q13 P12 +
12Q20 P01 P112 Q04 P21 6Q20 P01 P11P21 Q13 P02 8Q40 P01 P11P00 Q04 P12 +
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2Q20 P102 P022 Q24 + 2Q20 P102 P122 Q04 2Q20 P10 P123 Q02 +
6Q20 P01 P20P02 Q13 P12 + 4Q20P102 P02 Q04 P22 + 4Q20 P00 P122 P20 Q04 +
2Q20 Q40 P024 3Q40 P012 P11Q13 P02 8Q20 P01P11 P10Q24 P02
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6Q40 P012 P112 Q04 + 2Q40 P012 Q02 P02P22 + 2Q40 P01 P21Q02 P022
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2P00 Q11 P01P21 Q13 P22 2P00 Q11 P01Q22 P12 P22 2P00 Q11 P01Q42 P02 P12 +
6P00 Q11 P21P10 Q04 P22 + 6P00Q11 P21 P20Q04 P12 + 6P00Q11 P21 P10Q24 P02 +
Q20 P012 Q22 P122 3Q20 P01 Q31 P022 P12 2P00 Q11 P21 Q22 P02 P12
2P00 Q11 P21Q02 P12 P22 + P00Q11 P212 Q13 P02 + 6P00Q11 P11 P20Q24 P02 +
Q20 P112 Q22 P022 2Q40 P20 P023 Q02 + 4Q20 P01 P11 Q02 P12 P22 +
6Q20 P012 P112 Q24 + Q40 P112 Q02 P022 Q40 P11 Q11 P023 +
3Q40 P01 P10P022 Q13 Q20 P013 Q33 P12 4Q40P012 P20 Q04 P02 +
2Q20 P01 P21Q02 P122 4Q40P012 P00 Q24 P02 4Q40 P012 P10 Q04 P12 +
6Q20 P012 P212 Q04 + 4Q20 P11 P21Q02 P02 P12 + 4Q20 P013 Q24 P21
3Q20 P012 P11Q13 P22 + 6P00Q11 P01 P10 Q44 P02 + 6P00 Q11 P01P10 Q24 P22 +
6P00 Q11 P01P20 Q24 P12 2Q11 P002 P122 Q33 2Q11 P002 P222 Q13
4Q31 P002 P02Q13 P22 2Q31P002 P022 Q33 4Q11 P002 P02Q33 P22
2P00 Q31 P01Q22 P02 P12 2P00 Q31 P01Q02 P12 P22 + 2P00Q31 P01 P11Q13 P12
6P00 Q31 P01P11 Q04 P21 + 2P00Q31 P01 P21Q13 P02 4Q20P012 P20 Q04P22 +
Q20 P012 Q02 P222 + 6Q20 P21 P00 P02 Q13 P12 8Q20 P21 P11 P00 Q04 P12
3Q20 P21 Q11 P022 P12 8P00Q11 P10 P02Q33 P12 8P00Q11 P10 P12Q13 P22 +
6P00 Q31 P21P10 Q04 P02 2P00 Q31 P21Q02 P02 P12 + 6P00Q31 P11 P20Q04 P02 +
18
2P002 Q02 Q42 P122 + 2P00 Q11 P11P21 Q13 P12 + 6P00Q11 P11 P10Q24 P12
Q20 P01 Q11 P123 3P00 Q11 P11 P212 Q04 2P00 Q11 P11 Q22 P02 P22 +
P00 Q11 P112 Q13 P22 + P00 Q11 P112 Q33 P02 3P00 Q11 P012 Q44 P11
P00 Q11 P11 Q22 P122 P00 Q11 P11 Q42 P022 + 2Q20 P012 Q22 P02 P22 +
3P00 Q211 P02P222 + 6P00Q11 Q31 P022 P22 + 6P00Q11 Q31 P02 P122
P00 Q11 P113 Q24 2Q31 P002 P122 Q13 + 3Q31 P01 P002 Q24 P12 +
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3Q11 P11 P002 Q44 P02 + 3Q11 P21P002 Q24 P12 + 3Q11 P01P002 Q44 P12
P002 Q42 P01 Q13 P12 + 2P002 Q42 P01 Q04 P21 6P002 Q42 P10 Q04 P12 +
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P002 Q22 P21 Q13 P12 P002 Q22 P01 Q33 P12 + 2P002 Q22 P01 Q24 P21
2Q22 P003 Q24 P22 2Q22 P003 Q44 P02 2Q42 P003 Q04 P22
2Q42 P003 Q24 P02 + 2P002 Q22 Q42 P022 + P002 Q22 Q44 P012 +
P002 Q22 P112 Q24 + P002 Q22 P212 Q04 4Q20 P012 P00 Q44 P02
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23
The R7 CoeÆ
ient
R7
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4Q40 P102 P02Q04 P12 + 4Q40 P10P022 P20 Q04 + 8Q40 P00P02 P20Q04 P12 +
4Q40 P00 P022 P10 Q24 + 4Q40 P00P122 P10 Q04 6Q40 P00 P022 Q22 P12
4Q20 P112 P20Q04 P12 4Q20P112 P10 Q04 P22 4Q20 P112 P00 Q24 P12 +
3Q40 P11 P10P022 Q13 Q40 P01Q31 P023 6Q40P10 P022 Q02 P22
3Q40 P01 Q11 P022 P22 + 2Q40 P01P11 Q22 P022 Q40 P013 Q13 P22
Q40 P013 Q33 P02 Q40 P21 Q11 P023 + 4Q20 P113 Q04 P21
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24
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25
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3Q31 P21 P002 Q24 P02 + 3Q31 P11P002 Q24 P12 + 3Q11 P11P002 Q44 P12 +
3Q11 P21 P002 Q24 P22 + 3Q11 P21P002 Q44 P02 + 3Q11 P01P002 Q44 P22
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3Q20 P01 P212 Q13 P02 + 6Q20 P11P10 P02 Q13 P22 + 3Q20 P11 P10P022 Q33 +
6Q20 P11 P00P12 Q13 P22 8Q20 P21 P11P20 Q04 P02 4Q20 P012 P10Q44 P02 +
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3Q00 P01 P20P122 Q33 + 3Q00 P01P20 P222 Q13 + 4Q00 P11P213 Q04
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28
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4Q00 P212 P10Q04 P22 4Q00P212 P20 Q04 P12 4Q00 P212 P10 Q24 P02 +
3Q00 P21 P00P122 Q33 + 3Q00 P21P00 P222 Q13 + 6Q00 P21P10 P02Q33 P12 +
6Q00 P21 P10P12 Q13 P22 + 6Q00P21 P20 P02Q13 P22 + 3Q00 P21P20 P022 Q33 +
3Q00 P21 P20P122 Q13 12Q00P00 P02Q42 P12 P22 6Q00 P00 P12Q22 P222
P203 Q13 Q04 P01 + 4P00 P20 Q02 P01 Q44 P11 6P00 P202 Q02 Q24 P12 +
3P00 P202 Q213 P12 3P00P202 Q13 Q04 P21 3P00P202 Q13 Q24 P01
3P00 P202 Q33 Q04 P01 + 3P10Q211 P02 P222 + 3P10Q211 P122 P22 +
6P10 Q11 Q31 P022 P22 + 6P10Q11 Q31 P02 P122 P10 Q11 P113 Q24 +
P10 Q11 P012 Q33 P22 3P10 Q11 P012 Q44 P11 P10 Q11 P11 Q22 P122
P10 Q11 P11 Q42 P022 P10 Q11 P11 Q02 P222 3P10 Q11 P11 P212 Q04
2P10 Q11 P11Q22 P02 P22 + P10Q11 P112 Q13 P22 + P10Q11 P112 Q33 P02 +
2P10 Q11 P11P21 Q13 P12 + 3P102 Q11 P11 Q24 P12 + 6P10 Q11 P11P20 Q04 P22 +
6P10 Q11 P11P20 Q24 P02 2P10 Q11 P21Q22 P02 P12 2P10 Q11 P21Q02 P12 P22 +
P10 Q11 P212 Q13 P02 + 3P102 Q11 P21 Q04 P22 + 6P10 Q11 P21 P20 Q04 P12 +
3P102 Q11 P21Q24 P02 2P10Q11 P01 Q22 P12P22 2P10Q11 P01 Q42 P02P12 +
2P10 Q11 P01P11 Q33 P12 6P10 Q11 P01P11 Q24 P21 + 2P10Q11 P01 P21Q13 P22 +
2P10 Q11 P01P21 Q33 P02 + 3P102 Q11 P01 Q24 P22 + 6P10 Q11 P01P20 Q24 P12
4P102 Q11 P02Q33 P12 4P102 Q11 P12 Q13 P22 8P10Q11 P20 P02 Q13 P22
4P10 Q11 P20P022 Q33 4P10Q11 P20 P122 Q13 P10 Q31 P113 Q04 +
P10 Q31 P012 Q13 P22 + P10 Q31 P012 Q33 P02 3P10 Q31 P012 Q24 P11
P10 Q31 P11 Q22 P022 P10 Q31 P11 Q02 P122 2P10 Q31 P11 Q02 P02 P22 +
P10 Q31 P112 Q13 P02 + 3P102 Q31 P11 Q04 P12 + 6P10 Q31 P11 P20 Q04 P02
2P10 Q31 P21Q02 P02 P12 + 3P102 Q31 P21 Q04 P02 2P10Q31 P01 Q22 P02P12
2P10 Q31 P01Q02 P12 P22 + 2P10Q31 P01 P11Q13 P12 6P10Q31 P01 P11Q04 P21 +
2P10 Q31 P01P21 Q13 P02 + 3P102 Q31 P01 Q04 P22 + 6P10 Q31 P01P20 Q04 P12 +
3P102 Q31 P01Q24 P02 4P102 Q31 P02 Q13 P12 4P10Q31 P20 P022 Q13 +
6P20 Q211 P02P12 P22 + 6P20Q11 Q31 P022 P12 P20 Q11 Q44 P013 +
P20 Q11 P012 Q33 P12 3P20 Q11 P012 Q24 P21 2P20 Q11 P11 Q22 P02 P12
2P20 Q11 P11Q02 P12 P22 + P20Q11 P112 Q13 P12 3P20 Q11 P112 Q04 P21 +
2P20 Q11 P11P21 Q13 P02 + 3P202 Q11 P11 Q04 P12 P20 Q11 P21Q22 P022
29
P20 Q11 P21 Q02 P122 2P20 Q11 P21 Q02 P02 P22 + 3P202 Q11 P21 Q04 P02
P20 Q11 P01 Q22 P122 P20 Q11 P01 Q42 P022 P20 Q11 P01 Q02 P222
3P20 Q11 P01P112 Q24 3P20Q11 P01 P212 Q04 2P20Q11 P01 Q22 P02 P22 +
2P20 Q11 P01P11 Q13 P22 + 2P20Q11 P01 P11Q33 P02 + 2P20Q11 P01 P21Q13 P12 +
3P202 Q11 P01Q04 P22 + 3P202 Q11 P01 Q24 P02 P20 Q31 Q24 P013 +
P20 Q31 P012 Q13 P12 3P20 Q31 P012 Q04 P21 2P20 Q31 P11 Q02 P02 P12
P20 Q31 P21 Q02 P022 P20 Q31 P01 Q22 P022 P20 Q31 P01 Q02 P122
3P20 Q31 P01P112 Q04 2P20Q31 P01 Q02 P02P22 + 2P20Q31 P01 P11 Q13P02 +
3P202 Q31 P01Q04 P02 + 2P102 Q222 P02 P12 P102 Q22 P11 Q13 P12 +
2P102 Q22 P11Q04 P21 P102 Q22 P21 Q13 P02 P102 Q22 P01Q13 P22
P102 Q22 P01 Q33 P02 + 2P102 Q22 P01 Q24 P11 2P103 Q22 Q04 P22
6P102 Q22 P20Q04 P12 2P103 Q22 Q24 P02 P102 Q42 P01 Q13 P02 +
2P102 Q42 P01Q04 P11 2P103 Q42 Q04 P02 + 4P102 Q02 Q42 P02 P12
P102 Q02 P11 Q33 P12 + 2P102 Q02 P11 Q24 P21 P102 Q02 P21 Q13 P22
P102 Q02 P21 Q33 P02 P102 Q02 P01 Q33 P22 + 2P10 P20 Q202 P222 +
2P10 P20Q222 P022 + 2P10P20 Q22 Q24 P012 + 2P10P20 Q22 P112 Q04
2P10 P20Q22 P11 Q13 P02 2P10 P20Q22 P01 Q13 P12 + 4P10P20 Q22 P01Q04 P21 +
2P10 P20Q42 Q04 P012 + 4P10P20 Q02 Q22 P122 + 4P10P20 Q02 Q42 P022 +
2P10 P20Q02 Q44 P012 + 2P10P20 Q02 P112 Q24 + 2P10P20 Q02 P212 Q04 +
8P10 P20Q02 Q22 P02 P22 2P10 P20Q02 P11 Q13 P22 2P10 P20Q02 P11 Q33 P02
2P10 P20Q02 P21 Q13 P12 2P10 P20Q02 P01 Q33 P12 + 2P102 Q02 P01 Q44P11
2P103 Q02 Q24 P22 6P102 Q02 P20 Q24 P12 2P103 Q02 Q44 P02 +
2P103 Q13 Q33 P02 P103 Q13 Q24 P11 P103 Q33 Q04 P11 +
8P103 P20Q04 Q24 + 3P102 P20Q213 P12 3P102 P20 Q13 Q04 P21
3P102 P20Q13 Q24 P01 3P102 P20 Q33 Q04 P01 + 4P10 P20Q02 P01 Q24 P21
6P10 P202 Q02 Q04 P22 6P10P202 Q02 Q24 P02 + 3P10 P202 Q213 P02
3P10 P202 Q13 Q04 P11 + 2P202 Q202 P12 P22 P202 Q22 P01 Q13 P02 +
2P202 Q22 P01Q04 P11 + 4P202 Q02 Q22 P02 P12 + 2P202 Q02 P11 Q04 P21
P202 Q02 P21 Q13 P02 P202 Q02 P01 Q13 P22 P202 Q02 P01 Q33 P02 +
2P202 Q02 P01Q24 P11 2P203 Q02 Q04 P12
30
The R8 CoeÆ
ient
R8
= P00 Q211 P223 2P00 P10Q42 P11 Q13 P12 + 4P00P10 Q42 P11Q04 P21
3P10 Q31 P01P212 Q04 2P10Q31 P01 Q22 P02P22 + P003 Q233 P22 +
P102 Q222 P122 2P00 Q31 P01 Q22 P12 P22 + 2P104 Q04 Q44 +
P002 Q222 P222 + P20 Q231 P023 + P203 Q213 P02 +
Q40 Q44 P014 + 2Q00 Q40 P124 + Q20 P114 Q24
4Q00 P212 P00Q24 P22 4Q00P112 P00 Q44 P22 P002 Q22 P21Q33 P12 +
P002 Q242 P022 + P202 Q202 P222 + Q40 P114 Q04 +
6Q220 P022 P222 2P00P10 Q22 P21 Q33 P02 + 3P102 Q31 P21Q04 P12 +
6P002 P202 Q224 2Q31 P002 P122 Q33 + 2P00 P20Q22 Q44