07 Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat

SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN
KUADRAT

D. Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat
Bentuk umum sistem persamaan linier dan kuadrat :

y = ax + b
y = ax2 + bx + c

Dalam grafik cartesius, titik potong antara garis dan parabola merupakan
penyelesaian sistem persamaan itu.
Metoda menyelesaikan sistem persamaan ini adalah metoda substitusi dan eliminasi
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh berikut ini :
01. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 + 5x – 4 dan y = 3x + 4
Jawab
y=y
x2 + 5x – 4 = 3x + 4
x2 + 5x – 4 – 3x – 4 = 0
x2 + 2x – 8 = 0
(x + 4)(x – 2) = 5
x1 = –4 dan x2 = 2

Untuk x1 = –4 maka y1 = 3x1 + 4 = 3(–4) + 4 = –8
Untuk x2 = 2 maka y2 = 3x2 + 4 = 3(2) + 4 = 10
Jadi H = {(–4, –8), (2, 10)}
02. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 + 2x + 5 dan 3x + 2y = 7
Jawab
y = x2 + 2x + 5 dan 3x + 2y = 7
Sehingga : 3x + 2y = 7
3x + 2(x2 + 2x + 5) = 7
3x + 2x2 + 4x + 10 = 7
2x2 + 7x + 3 = 0
(2x + 1)(x + 3) = 5
x1 = –1/2 dan x2 = –3
Untuk x1 = –1/2 maka 3x1 + 2y1 = 7
3(–1/2) + 2y1 = 7
–3/2 + 2y1 = 7
2y1 = 17/2 maka y1 = 17/4

Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat

1

Untuk x2 = –3 maka 3x2 + 2y2 = 7
3(–3) + 2y2 = 7
–9 + 2y2 = 7
2y2 = 16
y2 = 8
Jadi H = {(–1/2, 17/4), (–3, 8)}
Jika ditinjau dari gambar grafiknya, maka terdapat tiga macam kemungkinan
penyelesaian sistim persamaan linier dan kuadrat.

Q

P
P

Ketiga macam penyelesaian ini diperoleh dari analisa diskriminan (D) hasil substitusi
persamaan linier dan kuadrat, yakni :
untuk D > 0 mempunyai dua titik penyelesaian
untuk D = 0 mempunyai satu titik penyelesaian
untuk D < 0 tidak mempunyai titik penyelesaian

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh berikut ini :
03. Jika sistem persamaan y = x2 – 4x + 3p dan y = 2x + 3 mempunyai satu titik
penyelesaian, maka tentukanlah nilai p
Jawab
y = 2x + 3
x2 – 4x + 3p = 2x + 3
x2 – 4x + 3p – 2x – 3 = 0
x2 – 6x + 3p – 3 = 0
Syarat : D = b2 – 4ac = 0
(–6)2 – 4(1)(3p – 3) = 0
36 – 4(3p – 3) = 0
36 – 12p + 12 = 0
–12p + 48 = 0
–12p = –48
p=4
Sistem persamaan linier dan kuadrat banyak dipakai dalam kehidupan sehari-hari,
antara lain dalam bidang fisika. Beberapa diantaranya akan diuraikan pada contoh
soal berikut ini :

Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat

2

01. Keliling sebuah persegi panjang adalah 18 cm. Jika panjang dan lebarnya
bertambah 2 cm, maka luas persegipanjang tersebut menjadi 42 cm2. Carilah
ukuran persegi panjang tersebut
Jawab
Misalkan panjang persegi panjang = p dan lebarnya = l, maka
Keliling = 2 (p + l) = 18
p+l=9
l = 9 – p ............................................................................ (1)
Setelah panjang dan lebar ditambah 2, maka luas persegi panjang menjadi
Luas = (p + 2) (l + 2) = 42 ...................................................................... (2)
Substitusikan persamaan (1) ke (2) diperoleh
(p + 2) (9 – p + 2) = 42
(p + 2) (11 – p) = 42
11p – p2 + 22 – 2p = 42
11p – p2 + 22 – 42 = 0
p2 – 9p – 20 = 0
(p – 4)(p – 5) = 0

Jadi p = 5 cm dan l = 9 – 5 = 4 cm
02. Seorang pengendara sepeda motor akan menempuh jarak 120 km. Jika ia
menambah kecepatannya 10 km/jam maka ia akan sampai ke tempat tujuan 6 jam
lebih cepat. Tentukanlah kecepatan semula kendaraan bermotor itu
Jawab
Misalkan kecepatan motor tersebut v km/jam, jarak yang ditempuh s km dan waktu
tempuh selama t jam, maka berlaku hubungan :
120
s
v =
, sehingga v =
……………………………………………….. (1)
t
t
Jika ia menambah kecepatannya 10 km/jam maka ia akan sampai ke tempat
tujuan 6 jam lebih cepat. Diperloleh hubungan
120
v + 10 =
…………………………………………………………… (2)
t6

120
120
+ 10 =
Substitusi (1) ke (2) didapat
t6
t
120  10t
120
=
t
t6
10(12 + t)(t – 6) = 120t
12t – 72 + t2 – 6t = 12t
t2 – 6t – 72 = 0
(t – 12)(t + 6) = 0
t = 12 jam
120
Jadi kecepatan semula kendaraan itu = v =
= 10 km/jam
12

Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat

3

03. Pada temperatur konstant, tekanan (p) dan volume (V) dari suatu gas diketahui
memenuhi hubungan atau persamaan pV = k, dimana k adalah suatu bilangan
konstant/tetap. Perkalian dari tekanan (dalam N/m2) dan volume (m3) suatu gas
tertentu adalah 20 N.m. Dengan menjaga temperatur tetap, ketika tekanan
dinaikkan sebesar 5 N/m2, ternyata volume gas berkurang sebesar 2 m3.
Tentukan tekanan dan volume gas semula
Jawab
Diketahui persamaan pV = 20
20
V=
............................................................ (1)
p
Dan persamaan (p + 5)(V – 2) = 20
pV – 2p + 5V – 10 = 20
pV – 2p + 5V – 30 = 0 ................................................ (2)

Substitusikan (1) ke (2) diperoleh

 20 
 20 
p   – 2p + 5   – 30 = 0
 p 
 p 
100
20 – 2p +
– 30 = 0
p

2p2 + 10p – 100 = 0
p2 + 5p – 50 = 0
(p + 10)(p – 5) = 0
Maka p = 5 N/m2 dan V =

20
= 4 m3
5

04. Diketahui jumlah dua bilangan adalah 9. Jika jumlah kuadrat kedua bilangan itu
adalah 41, maka tentukanlah selisih kedua bilangan tersebut
Jawab
Misalkan kedua bilangan itu adalah x dan y, maka
x+y = 9
y = 9 – x ….…………………………………………………… (1)
x2 + y2 = 41 ……………………………………………………. (2)
Jika disubstitusikan (1) ke (2) diperoleh :
x2 + (9 – x)2 = 41
x2 + 81 – 2x + x2 = 41
2x2 – 2x + 40 = 0
x2 – x + 20 = 0
(x – 4)(x – 5) = 0
Untuk x = 4 diperoleh y = 9 – 4 = 5
Untuk x = 5 diperoleh y = 9 – 5 = 4
Jadi kedua bilangan itu adalah 4 dan 5, sehingga selisihnya : 5 – 4 = 1

Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat

4