Metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan gelombang air dangkal dan elastik

PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL DAN ELASTIK

TESIS

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Magister Pendidikan Program Studi Magister Pendidikan Matematika

Oleh :

Paskalia Siwi Setianingrum NIM: 151442011

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL DAN ELASTIK

TESIS

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Magister Pendidikan Program Studi Magister Pendidikan Matematika

Oleh :

Paskalia Siwi Setianingrum NIM: 151442011

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

METODE ITERASI VARIASIONAL

T]NTTJK

MEI{YELNSAIKAN

PERSAMAAN GELOMBANG

NRI}ANGKAL

DAI\T

ELASTIK

Oleh:

Pasknlia Siwi Setianingrum

1{Il}I:

l5l4420ll

Telnh disetujui oleh :

Dosen Pembimbing

I t I

i

W

PERSAMAAN GELOMBAIIG AIR DANGKAL

DAFI ELASTIK

Dipersiapkm

&n ditfis

oleh

Paskalia Siwi Setianirgrum

Nllvt

l5l4H,20ll

dip€rbhar*alr Panitia Feryqii

rda

'!! P G

--*i

Stnman

ir= ilE inusAndy Ketua Sekretaris Anggota Anggota Anggota :t

&Ae,M.si.

.ga 1

. -- 3_tk-.,"

Dr.

Dr'Hmgki.Itdie,MSi

Yogy*rt4

24 Februari _20lz Fakultas Kegmran dan

Ilmupdidikan

!

If you want to find the secrets of the universe, think in terms of energy, frequency, and vibration.

~ Nikola Tesla ~

“eseora g ya g berhe ti belajar adalah ora g la jut usia eskipu u ur ya asih

remaja. Seseorang yang tidak pernah berhenti belajar akan selamanya menjadi

pe uda . – Henry Ford -

J.E.N.I.U.S

adalah 1% inspirasi dan 99% keringat.

Hiduplah seaka ka u aka ati besok, belajarlah seaka ka u aka hidup sela a ya . –

Mahatma Gandhi –

Matematika adalah ratu dari ilmu dan ilmu hitung (aritmetika) adalah ratu dari matematika. Ia sering berkenan merendahkan diri menyumbang kepada astronomi dan ilmu alam lainnya,

tetapi dalam semua hubungan ia berhak mendapat peringkat pertama. ~ C.F. Gauss ~

Dengan penuh rasa syukur dan terima kasih, kupersembahkan tesis ini untuk Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menyertaiku

Bapakku dan Ibuku tercinta yang memberikan doa, dukungan dan cinta Kakakku yang memotivasi diriku

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tesis yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 24 Februari 2017

Penulis,

ABSTRAK

Paskalia Siwi Setianingrum, 2017. Metode Iterasi Variasional Untuk Menyelesaikan Persamaan Gelombang Air Dangkal Dan Elastik. Tesis. Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan secara matematis. Suatu model matematika perlu diselesaikan untuk menemukan solusi dari masalah-masalah nyata. Solusi analitis model matematika umumnya sulit ditemukan jika model matematika mengandung banyak variabel dan rumit. Oleh karena itu, dengan metode pendekatan analitis dapat diperoleh solusi dari model matematika.

Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan gelombang air dangkal dan elastik. Solusi iterasi dari metode iterasi variasional semakin lama akan konvergen menuju solusi eksak. Solusi yang dihasilkan dari beberapa persamaan gelombang berupa pendekatan analitis yang dihitung dengan bantuan Software Maple dan Software MATLAB. Tujuan penelitian ini adalah untuk menghasilkan solusi persamaan gelombang air dangkal, persamaan gelombang elastik, dan mengetahui analisis konvergensi solusi iterasi dari persamaan gelombang difusi.

Metode iterasi variasional telah berhasil menyelesaikan persoalan tentang persamaan gelombang nonlinear dimensi satu karena memiliki nilai galat yang semakin kecil (mendekati nol). Persamaan gelombang air dangkal dan penyederhanaannya serta persamaan gelombang elastik dan penyederhanaannya memiliki solusi yang konvergen menuju solusi eksak. Kekonvergenan masing-masing persamaan gelombang berbeda-beda karena persamaan gelombang yang berbeda dan nilai awal yang dipilih berbeda. Persamaan gelombang difusi telah terbukti konvergen berdasarkan analisis konvergensinya.

ABSTRACT

Paskalia Siwi Setianingrum, 2017. Variational Iteration Methods for Solving Shallow Water and Elastic Wave Equations. Thesis. Master of Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

Real problems in daily life can be modelled mathematically. A mathematical model needs to be solved in order to find solutions to the real problems. Analytical solution of mathematical models are generally hard to find if mathematical models consist of many variable and complicated. Therefore, solution of mathematical models can be find using analytical approximation method.

Variational iteration method can be used for solving one dimension of nonlinear wave equations. The solution of variational iteration method will convergent to exact solution. The iteration solution from some wave equations are in form of approximation analyticly which can be calculated by Maple Software and by MATLAB Sofware. The goals of this thesis is proceed solution shallow water wave equation, the elastics wave equation and know convergence analytical of iteration solution difussion wave equations.

Variational iteration method has been successful to solve one dimension of nonlinear wave equation problems because has small error. The shallow water wave equations and its simplification, the elastics equation and its simplification has convergent solution to exact solution. Each wave equation has different convergence because the wave equations and initial condition is different. The diffusion wave equation has been give proceed of convergent based on convergence analytical.

LEMBAR PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Paskalia Siwi Setianingrum

Nomor Mahasiswa : 151442011

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma suatu karya ilmiah yang berjudul :

METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL DAN ELASTIK beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma baik untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas dan mempublikasikan di internet atau media lain untuk keperluan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal 24 Februari 2017

Yang menyatakan

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS

Sebagian hasil tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi internasional dan/atau dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut: [1]. P. S. Setianingrum. dan S. Mungkasi, “Variational iteration method used to

solve steady state problems of shallow water flows,“ AIP Conference

Proceedings, Volume 1746, Nomor Artikel 020057, Tahun 2016, (terindeks

scopus), Laman Artikel: http://dx.doi.org/10.1063/1.4953982

[2]. P. S. Setianingrum dan S. Mungkasi, “Variational iteration method used to solve the-one dimensional acoustics equation” diterima dan akan terbit dalam Journal of Physics: Conference Series (terindeks scopus), Laman Jurnal: http://iopscience.iop.org/journal/1742-6596

Selain itu, sebagian hasil lain sedang dalam persiapan untuk dikembangkan menjadi artikel ilmiah yang disusun oleh pembimbing (Sudi Mungkasi) dan penulis (Paskalia Siwi Setianingrum).

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yesus Kristus karena berkat rahmat dan kasih-Nya sehingga tesis dengan judul “Metode Iterasi Variasional untuk Menyelesaikan Persamaan Gelombang Air Dangkal dan Elastik” ini dapat penulis selesaikan. Penulis menyusun tesis ini untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Magister Pendidikan pada Program Studi Magister Pendidikan Matematika.

Selama penyusunan tesis ini penulis telah melalui berbagai macam kesulitan yang dialami. Akan tetapi dari semua itu telah penulis lalui dengan adanya dukungan dari banyak pihak sehingga kesulitan yang penulis alami dapat teratasi. Oleh karena itu, pada kesempatan ini dengan sepenuh hati penulis ingin mengucapkan terima kasih banyak kepada beberapa pihak yang telah membantu, diantaranya :

1. Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang senantiasa menjaga dan menyertai setiap perjalanan penulis dalam penyusunan tesis ini hingga selesai.

2. Universitas Sanata Dharma yang telah memberikan bantuan berupa beasiswa kepada penulis untuk menempuh Program Magister Pendidikan Matematika selama kuliah.

3. Kedua orang tua penulis yaitu Bapak Agustinus Sajimin, S.Pd. dan Ibu Sri Lugiwiyatun, S.Pd. yang senantiasa memberi dukungan lewat doa, memberi semangat, kasih sayang dan perhatian dari awal studi sampai selesai penyusunan tesis ini.

4. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing tesis yang dengan kesabaran hati bersedia membimbing penulis dari awal penyusunan hingga penyelesaian tesis ini. Terima kasih atas segala dukungan, kritik maupun saran selama ini.

5. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku dekan FKIP Universitas Sanata Dharma yang telah mengesahkan penulisan tesis ini.

6. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program Studi Magister Pendidikan Matematika yang telah bersedia memberikan bimbingan, masukan dan saran selama penulis berkuliah di Universitas Sanata Dharma ini.

7. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si., selaku dosen penguji tesis yang telah memberikan saran yang baik dan membangun untuk penulis.

8. Segenap dosen Magister Pendidikan Matematika, khususnya dosen-dosen yang telah mengajar, mendidik, membagikan ilmu kepada penulis hingga penulis kaya akan ilmu pengetahuan terkait dengan matematika selama masa kuliah. 9. Pendamping setia penulis yaitu Erasmus Jala, A.Md. yang telah mendoakan

penulis, membantu penulis dengan penuh kesabaran, mendukung, memotivasi, mendampingi penulis selama kuliah dan pada saat penyusunan tesis sampai selesai.

10. Segenap staf perpustakaan Universitas Sanata Dharma karena telah memberikan pelayanan yang baik selama penulis meminjam referensi untuk belajar selama kuliah dan selama penyusunan tesis ini.

11. Segenap staf sekretariat JPMIPA yang telah membantu memberikan pelayanan dengan baik.

12. Teman baik penulis yaitu Mas Billy Arifa Tengger, M.Sc. karena telah membantu penulis dalam memahami materi tesis ini.

13. Kakak Andreas Yudha Fery Nugroho, S.Psi. dan Mba Erlin yang memberi semangat kepada penulis.

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii

HALAMAN PENGESAHAN ... iii

HALAMAN MOTTO ... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ... viii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ... ix

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS ... x

KATA PENGANTAR ... xi

DAFTAR ISI ... xiii

DAFTAR SIMBOL ... xvi

DAFTAR GAMBAR ... xviii

BAB I : PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang Masalah ... 1

B. Tinjauan Pustaka ... 3

C. Rumusan Masalah ... 5

D. Tujuan Penulisan ... 5

E. Manfaat Penulisan ... 6

F. Batasan Masalah ... 6

G. Metode Penulisan ... 7

H. Sistematika Penulisan ... 9

I. Kebaruan Penelitian ... 10

BAB II : LANDASAN TEORI ... 11

B. Kalkulus Variasi ... 12

C. Pemodelan Matematika ... 13

D. Persamaan Diferensial Parsial ... 14

E. Gelombang ... 16

F. Metode Iterasi Variasional ... 17

G. Teorema Titik Tetap Banach ... 20

H. Ruang Metrik dan Ruang Vektor Bernorma ... 21

I. Ruang Hilbert ... 22

J. Barisan Konvergen dan Deret Konvergen ... 22

K. Barisan Cauchy ... 22

L. Ruang Hasil Kali Dalam ... 24

BAB III : METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN BEBERAPA PERSAMAAN GELOMBANG ... 25

A. Persamaan Gelombang Air Dangkal ... 25

B. Persamaan Gelombang Difusi ... 30

C. Persamaan Gelombang Gravitasi ... 33

D. Persamaan Gelombang Kinematik ... 36

E. Persamaan Gelombang Elastik ... 39

F. Persamaan Gelombang Akustik ... 43

BAB IV : KONVERGENSI METODE ITERASI VARIASIONAL ... 48

A. Pendekatan Alternatif Metode Iterasi Variasional ... 48

B. Analisis Konvergensi ... 50

C. Pendekatan Metode Iterasi Variasional dan Hasil Konvergensi ... 55

D. Contoh Penggunaan Konvergensi Metode Iterasi Variasional pada Persamaan Gelombang Difusi ... 56

BAB V : ASPEK PENDIDIKAN ... 58

A. Pelajar SMA ... 59

C. Refleksi Pengalaman Penelitian Bidang Matematika ... 63

BAB V : PENUTUP ... 68

D. Kesimpulan ... 68

E. Saran ... 69

DAFTAR SIMBOL

A, B, C, ..., Z : suatu fungsi a, b, c, ..., z : suatu fungsi

: turunan variasional

λ : suatu pengali Lagrange yang dapat diidentifikasi secara optimal dengan teori variasional

� : suatu fungsi � : massa jenis

: regangan

∞ : jumlah tak terhingga ∈ : elemen/anggota ≠ : tidak sama dengan < : lebih kecil dari

: lebih kecil dari atau sama dengan : lebih besar dari atau sama dengan > : lebih besar dari

! : faktorial ⋮ : dan seterusnya

: gabungan

�̃ : suatu variasi terbatas ℎ̃ : suatu variasi terbatas

ỹ : suatu variasi terbatas � : turunan parsial

∑ : jumlahan dari suatu deret atau barisan

ξ : suatu fungsi

ℕ : natural number (bilangan asli)

ℝ : real number (bilangan real)

∀ : untuk semua, setiap

∃ : beberapa, ada, terdapat, sebagian ‖ ‖ : norm dari

∎ : akhir dari suatu bukti + : operasi penjumlahan - : operasi pengurangan

: integral . : perkalian

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 3.1 Grafik hasil iterasi ℎ �, dan �, pada

Persamaan Gelombang Air Dangkal. ... 29 Gambar 3.2 Grafik hasil iterasi konsentrasi polutan � �, pada

Persamaan Gelombang Difusi. ... 32 Gambar 3.3 Grafik hasil iterasi ℎ �, dan � �, pada

Persamaan Gelombang Gravitasi. ... 35 Gambar 3.4 Grafik hasil iterasi ℎ �, pada Persamaan

Gelombang Kinematik. ... 39 Gambar 3.5 Grafik hasil iterasi �, dan �, pada Persamaan

Gelombang Elastik. ... 42 Gambar 3.6 Grafik hasil iterasi �, dan �, pada Persamaan

BAB I

PENDAHULUAN

A.Latar Belakang Masalah

Masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan secara matematis. Masalah nyata yang terjadi terkait dengan peristiwa alam yang disebabkan oleh gelombang air dapat disimulasikan dan dicari solusinya. Suatu model matematika perlu diselesaikan untuk menemukan solusi dari masalah-masalah nyata. Solusi eksak atau solusi analitis dari model matematika umumnya sulit ditemukan jika model matematika mengandung banyak variabel dan rumit. Oleh karena itu, dengan metode pendekatan analitis dapat diperoleh solusi dari model matematika.

Sebagian besar fenomena yang muncul dalam matematika dapat dijelaskan dengan persamaan diferensial terutama Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Banyak metode yang dapat menyelesaikan permasalahan tentang persamaan diferensial parsial seperti metode volume hingga, metode beda hingga, metode heun, metode deret taylor, metode euler dan lain-lain. Hal-hal yang terkait tentang fenomena fisik yaitu masalah fluida dapat dijelaskan dengan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial parsial menjadi alat yang berguna untuk merepresentasikan fenomena alam terkait suatu model matematika. Oleh karena itu beberapa persamaan gelombang dalam penulisan tesis ini berbentuk persamaan diferensial parsial.

Fluida merupakan salah satu dari sekian banyak masalah fisis yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Contoh bencana yang terjadi di Indonesia yang terkait dengan masalah fluida misalnya bencana tsunami yang terjadi di Aceh tahun 2004, bobolnya tanggul Situ Gintung di Ciputat, Tangerang Selatan yang terjadi pada tahun 2009 dan bencana banjir yang kerap terjadi di beberapa tempat di Indonesia. Bencana alam tersebut disebabkan oleh gelombang air.

Gelombang air yang dapat dimodelkan secara matematis yaitu dengan persamaan air dangkal serta penyederhanannya berupa persamaan gelombang gravitasi, persamaan gelombang difusi dan persamaan gelombang kinematik. Selain gelombang air, gelombang elastik dapat pula dimodelkan secara matematis yaitu persamaan gelombang elastik dan penyederhanannya yaitu persamaan gelombang akustik.

Salah satu metode yang dapat menyelesaikan persamaan gelombang air dangkal serta penyederhanaannya dan persamaan gelombang elastik serta penyederhanannya adalah Metode Iterasi Variasional (MIV) dikembangkan oleh Ji-Huan He (2007). Dalam tesis ini, penulis hanya fokus pada menyelesaikan persamaan air dangkal dan penyederhanaanya serta persamaan gelombang elastik dan penyederhanaanya dengan menggunakan metode iterasi variasional. Jadi, dalam sebagian tesis ini penulis membahas sesuatu yang baru dan belum pernah dikerjakan oleh orang lain dengan menggunakan metode iterasi variasional. Solusi yang dihasilkan dari persamaan-persamaan gelombang tersebut berupa solusi pendekatan analitis menuju solusi eksak.

B.Tinjauan Pustaka

Berikut ini adalah diagram sebagai gambaran dari hal-hal yang dibahas dalam penulisan tesis.

Persamaan diferensial parsial dibagi dua jenis berdasarkan ekspresi variabel bebas dan turunan-turunannya

Persamaan diferensial parsial linear

Persamaan diferensial parsial non linear

Persamaan diferensial parsial non linear orde satu

Persamaan gelombang Persamaan gelombang air dangkal Persamaan gelombang elastik Persamaan gelombang difusi Persamaan gelombang gravitasi Persamaan gelombang kinematik Persamaan gelombang akustik

Analisis konvergensi dengan menggunakan Teorema titik

tetap Banach

Metode iterasi variasional Oleh He (2007)

Oleh Abdou dan Soliman (2005)

Oleh Setianingrum dan Mungkasi (2016) Oleh Setianingrum (2016)

Oleh LeVeque (2002)

Oleh Odibat (2010)

Oleh Martins, Leandro dan Djordjevic (2002)

Keterangan diagram

1. : pengelompokkan persamaan-persamaan

2. : persamaan yang diselesaikan oleh penulis dalam tesis 3. : orang yang menyelesaikan persamaan

4. : hubungan antara persamaan yang satu dengan yang lain

Penelitian yang terkait dengan tujuan penulisan yaitu karya He (2007). Penelitian ini membahas tentang konsep dasar dari metode iterasi variasional. Konsep dasar yang dibahas dalam artikel jurnal ini terdiri dari konsep pengali umum Lagrange, syarat stasioner dan variasi terbatas. Konsep dasar tersebut menjadi hal penting dan mendasar dalam mempelajari metode iterasi variasional. Metode yang digunakan dalam penulisan ini menggunakan metode iterasi variasional. Konsep dasar metode iterasi variasional menjadi pedoman penting dalam proses menemukan solusi iterasi yang dihasilkan dari suatu persamaan gelombang.

Referensi lainnya yang terkait dengan tujuan penulisan adalah karangan LeVeque (2002). Di dalam artikel ini terdapat persamaan gelombang elastik dimensi satu dan persamaan gelombang akustik dimensi satu. Penulis menggunakan persamaan gelombang tersebut dengan beberapa asumsi untuk menemukan solusi dengan menggunakan metode iterasi variasional.

Referensi lainnya yang terkait dengan tujuan penulisan adalah karya Martins, Leandro, dan Djordjevic (2002). Di dalam artikel ini terdapat persamaan gelombang gravitasi dari permasalahan bendungan bobol. Penulis

menggunakan persamaan gelombang tersebut dengan beberapa asumsi untuk menemukan solusi dengan menggunakan metode iterasi variasional.

C.Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dipaparkan di atas, maka dapat dirumuskan pokok-pokok masalah yang akan dibahas dalam penulisan ini adalah:

1. Bagaimana solusi persamaan gelombang air dangkal dan penyederhanaannya dengan menggunakan metode iterasi variasional? 2. Bagaimana solusi persamaan gelombang elastik dan penyederhanaannya

dengan menggunakan metode iterasi variasional?

3. Bagaimana konvergensi metode iterasi variasional pada persamaan diferensial parsial nonlinear?

D.Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah yang telah dipaparkan di atas, maka tujuan penulisan ini adalah:

1. Untuk menghasilkan solusi persamaan gelombang air dangkal dan penyederhanaannya dengan menggunakan metode iterasi variasional.

2. Untuk menghasilkan solusi persamaan gelombang elastik dan penyederhanaannya dengan menggunakan metode iterasi variasional.

3. Untuk mengetahui konvergensi metode iterasi variasional pada persamaan diferensial parsial nonlinear.

E.Manfaat Penulisan

Berdasarkan tujuan penulisan yang telah dipaparkan di atas, maka manfaat penulisan ini adalah:

1. Manfaat bagi penulis sendiri adalah dapat mengetahui keberhasilan metode iterasi variasional dalam menyelesaikan beberapa persamaan gelombang dan mengetahui syarat agar suatu persamaan dapat konvergen menuju solusi eksak.

2. Manfaat bagi mahasiswa jurusan Pendidikan Matematika adalah dapat mengenalkan dan memberikan informasi baru tentang penyelesaian beberapa persamaan gelombang menggunakan metode iterasi variasional. 3. Manfaat untuk ilmu pengetahuan dan teknologi adalah dapat memberikan

kontribusi baru tentang penggunaan metode iterasi variasional dalam menyelesaikan beberapa persamaan gelombang.

4. Manfaat bagi masyarakat adalah dapat mengetahui bahwa penelitian bidang matematika dapat diterapkan dalam kehidupan nyata (tidak hanya teori yang tergambar secara abstrak).

F. Batasan Masalah

Batasan masalah dari penulisan tesis ini adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan beberapa persamaan gelombang berupa metode iterasi variasional dengan nilai awal yang diberikan. Persamaan diferensial parsial dalam penulisan ini berorde satu agar tidak terlalu luas dan lebih fokus. Dalam hal ini, variabel bebas dalam x (variabel ruang) dan t (variabel waktu) yang

bertujuan agar pembahasan pada penulisan ini tidak terlalu luas dan memfokuskan pada variabel x dan t saja sehingga dapat mempermudah bagi para pembaca untuk memahami penulisan ini. Persamaan gelombang dalam penulisan tesis ini berdimensi satu (bergantung pada variabel ruang dan waktu) dan bersifat nonlinear (perkalian antara suatu fungsi dan turunannya).

G.Metode Penelitian

Metode penulisan yang digunakan oleh penulis adalah metode studi pustaka yaitu mempelajari dan memahami materi yang diperoleh dari referensi-referensi terkait dengan metode iterasi variasional, mengumpulkan informasi dan menyusun tulisan ini menjadi suatu bentuk penulisan yang runtut dan jelas sehingga dapat mempermudah pembaca. Langkah-langkah yang dilakukan oleh penulis sebagai berikut

1. Mencari referensi tentang metode iterasi variasional, persamaan gelombang air dangkal dan elastik.

2. Memahami materi tentang persamaan gelombang air dangkal. Mencari solusi persamaan gelombang air dangkal dengan menggunakan langkah-langkah metode iterasi variasional. Menghitung iterasi persamaan gelombang air dangkal dengan bantuan Software Maple dan menggambar grafik dengan bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat dilihat perilaku gelombang air dangkal terhadap ruang dan waktu.

3. Meemahami materi tentang persamaan gelombang difusi. Mencari solusi dari persamaan gelombang difusi dengan menggunakan langkah-langkah

metode iterasi variasional. Menghitung iterasi dari persamaan gelombang difusi dengan bantuan Software Maple dan menggambar grafik dengan bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat dilihat perilaku gelombang difusi terhadap ruang dan waktu.

4. Memahami materi tentang persamaan gelombang gravitasi. Mencari solusi dari persamaan gelombang gravitasi dengan menggunakan langkah-langkah metode iterasi variasional. Menghitung iterasi dari persamaan gelombang gravitasi dengan bantuan Software Maple dan menggambar grafik dengan bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat dilihat perilaku gelombang gravitasi terhadap ruang dan waktu.

5. Memahami materi tentang persamaan gelombang kinematik. Mencari solusi dari persamaan gelombang kinematik dengan menggunakan langkah-langkah metode iterasi variasional. Menghitung iterasi dari persamaan gelombang kinematik dengan bantuan Software Maple dan menggambar grafik dengan bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat dilihat perilaku gelombang kinematik terhadap ruang dan waktu.

6. Memahami materi tentang persamaan gelombang elastik. Mencari solusi dari persamaan gelombang elastik dengan menggunakan langkah-langkah metode iterasi variasional. Menghitung iterasi dari persamaan gelombang elastik dengan bantuan Software Maple dan menggambar grafik dengan bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat dilihat perilaku gelombang elastik terhadap ruang dan waktu.

7. Memahami materi tentang persamaan gelombang akustik. Mencari solusi dari persamaan gelombang akustik dengan menggunakan langkah-langkah metode iterasi variasional. Menghitung iterasi dari persamaan gelombang akustik dengan bantuan Software Maple dan menggambar grafik dengan bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat dilihat perilaku gelombang akustik terhadap ruang dan waktu.

8. Menganalisis kekonvergenan dari persamaan gelombang difusi karena persamaan gelombang difusi telah terlihat solusi iterasinya konvergen menuju solusi eksak dengan sangat cepat.

H.Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan tesis ini adalah sebagai berikut:

Bab pertama yaitu Pendahuluan yang memuat latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, batasan masalah, metode penelitian, sistematika penulisan, tinjauan pustaka dan kebaruan penelitian.

Bab kedua yaitu Landasan Teori yang memuat teori-teori dasar yang terkait dengan isi penulisan sehingga dapat memudahkan pembaca dalam memahami pembahasan tesis ini.

Bab ketiga yaitu Metode Iterasi Variasional untuk menyelesaikan persamaan gelombang air dangkal dan elastik. Pada bab ketiga dibahas penyelesaian beberapa persamaan gelombang dengan menggunakan metode iterasi variasional. Solusi iterasi yang dihasilkan oleh setiap persamaan

gelombang konvergen menuju solusi eksak dengan waktu yang berbeda-beda karena bergantung pada nilai awal yang dipilih.

Bab keempat yaitu Konvergensi Metode Itrerasi Variasional pada persamaan diferensial parsial nonlinear. Pada bab keempat ini terdapat tiga teorema yang mendasari konvegensi metode iterasi variasional dan analisis konvergensi sebagai bukti bahwa suatu persamaan gelombang konvergen dengan beberapa syarat.

Bab kelima atau bab terakhir yaitu Penutup yang terdiri dari kesimpulan saran penulis dan pembaca untuk mengembangkan topik tesis.

I. Kebaruan Penelitian

Dalam sebagian penulisan tesis ini, penulis membahas ide baru yang belum pernah dikerjaan oleh orang lain yaitu menyelesaikan penyederhanaan dari persamaan gelombang air dangkal yaitu persamaan gelombang gravitasi, persamaan gelombang difusi, persamaan gelombang kinematik serta persamaan gelombang elastik dan penyederhanaannya yaitu persamaan gelombang akustik dengan menggunakan metode iterasi variasional. Selain membahas hal tersebut, penulis menganalisis konvergensi metode iterasi variasional pada persamaan gelombang difusi yang memiliki kekonvergenan sangat cepat dibuktikan dengan galat yang menuju nol.

BAB II

LANDASAN TEORI

Dalam bab ini akan dibahas pengertian dari fungsi, kalkulus variasi, pemodelan matematika, konsep dasar persamaan diferensial parsial, gelombang, dan metode iterasi variasional serta hal-hal yang mendukung pembahasan tesis tentang persamaan-persamaan gelombang.

A.Fungsi

Bahasan tentang fungsi ini berasal dari referensi buku karangan Gelfand dan Fomin (1963). Dalam bahasan ini akan dijelaskan definisi fungsi.

Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan antara satu variabel dengan variabel lain. Suatu fungsi dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien, dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap bentuk fungsi tetapi tidak demikian halnya dengan konstanta. Suatu fungsi yang secara konkret dinyatakan dalam bentuk persamaan dapat mengandung suatu konstanta ataupun tidak. Walaupun suatu persamaan tidak mengandung konstanta, tidak akan mengurangi arti dari suatu fungsi.

Fungsi banyak digunakan dalam beberapa cabang ilmu sains untuk menyajikan model matematis dari fenomena di dunia nyata. Salah satu contoh penggunaan fungsi untuk mendeskripsikan fenomena di dunia nyata adalah gerak peluru. Dalam ilmu fisika, lintasan gerak peluru dilukiskan dalam bentuk parabola

yang merupakan bentuk dari fungsi kuadrat. Dengan memahami kemampuan meriamnya dan pengetahuan tentang lintasan pelurunya, seorang prajurit dapat menghitung posisi meriam atau sudut tembakan agar peluru tepat mengenai sasaran.

Contoh jenis fungsi yang termasuk dalam fungsi aljabar yaitu fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang memiliki pangkat terbesar pada variabelnya adalah pangkat dua. Fungsi memiliki bentuk hampir sama dengan persamaan tetapi berbeda pada bentuk penulisannya. Bentuk umum fungsi kuadrat = + + dengan , , suatu bilangan real dan ≠ .

B.Kalkulus Variasi

Bahasan tentang kalkulus variasi ini berasal dari referensi buku karangan Gelfand dan Fomin (1963). Dalam bahasan ini akan dijelaskan tentang kalkulus variasi terkait dengan syarat stasioner dari metode iterasi variasional.

Kalkulus variasi adalah cabang matematika yang berhubungan dengan fungsi dari fungsi-fungsi yang berbeda dari kalkulus biasa, yakni berhubungan dengan fungsi-fungsi dari bilangan-bilangan. Fungsi yang demikian misalnya dapat dibentuk sebagai integral yang melibatkan sebuah fungsi sembarang dan turunannya. Hal yang ingin dicapai pada kalkulus variasi adalah fungsi-fungsi yang dapat mencapai nilai maksimum atau minimum.

Kunci dari kalkulus variasi adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan Euler-Lagrange berhubungan dengan syarat stasioner dari suatu fungsional sebagaimana dapat dicari nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi.

Analisis perubahan kecil yang terjadi yang mendekati solusi yang diduga haruslah memenuhi sebuah syarat yakni turunan pertama bernilai nol. Syarat perlu itu belum termasuk syarat cukup. Pengujian kedua dilakukan dengan melihat turunan keduanya memiliki nilai yang lebih besar atau lebih kecil dari nol.

C.Pemodelan Matematika

Bahasan tentang kalkulus variasi ini berasal dari referensi buku karangan Haberman (1977). Dalam bahasan ini akan dijelaskan tentang pemodelan matematika dan langkah-langkah untuk memodelkan masalah nyata.

Untuk keperluan analisis, biasanya suatu sistem digambarkan ke dalam suatu model. Model adalah representasi dari suatu sistem yang dikembangkan untuk tujuan pemecahan masalah dari sistem yang ada berdasarkan dasar teori. Pemodelan dapat didefinisikan sebagai proses pembentukan model dari suatu sistem tersebut dengan menggunakan bahasa formal tertentu. Pemodelan matematika merupakan proses untuk menjelaskan suatu masalah nyata secara matematis. Hasil dari pemodelan tersebut berupa persamaan matematika itu sendiri. Dalam menurunkan model matematika diperlukan asumsi-asumsi agar penurunan matematis lebih mudah dilakukan, tetapi faktor-faktor yang paling dominan dari masalah nyata harus tetap dilibatkan.

Dalam pemodelan matematika terdapat langkah-langkah yang perlu dilakukan agar suatu model sesuai terhadap masalah nyata. Langkah pertama yaitu menemukan masalah nyata yang terdapat di sekitar kehidupan sehari-hari. Langkah kedua yaitu mencatat faktor-faktor apa saja yang mempengaruhi masalah

nyata. Langkah ketiga yaitu memilih faktor-faktor yang paling dominan, dengan bantuan dari bidang ilmu yang lain maka dicari hubungan matematika dengan faktor-faktor yang paling dominan. Langkah keempat yaitu menyusun model matematika dari masalah nyata. Langkah kelima yaitu menguji (validasi) kesesuaian model terhadap masalah nyata. Jika model matematika sudah sesuai terhadap masalah nyata maka dapat diperoleh solusi dari masalah nyata.

D.Persamaan Diferensial Parsial

Bahasan tentang persamaan diferensial parsial ini berasal dari referensi buku karangan Wazwaz (2009) dan Aryati (2011). Dalam bahasan ini akan dijelaskan tentang definisi persamaan diferensial parsial dan hal-hal yang terkait dengan persamaan diferensial parsial.

Persamaan diferensial parsial telah berkembang pesat dalam menyelesaikan permasalahan tentang fluida. Persamaan diferensial parsial memiliki bentuk parsial di dalam persamaannya baik persamaan diferensial parsial linear maupun nonlinear. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang memuat variabel terikat (variabel yang belum diketahui) dan turunan parsialnya (memuat lebih dari satu variabel bebas). Berbeda dengan persamaan diferensial biasa, variabel terikat pada persamaan diferensial parsial, = , atau = , , bergantung lebih dari satu variabel terikat. Jika = , , maka fungsi u bergantung pada variabel bebas x, dan pada variabel waktu t. Bagaimanapun juga, jika =

, , , maka fungsi u bergantung pada variabel ruang x, y, dan pada variabel waktu t.

Diketahui bahwa sebagian besar fenomena yang muncul dalam bidang fisika, matematika, dan bidang teknik dapat dijelaskan dengan persamaan diferensial parsial. Seperti contoh berikut di bidang fisika yaitu aliran panas dan fenomena perambatan gelombang dapat dijelaskan oleh persamaan diferensial parsial. Dalam bidang ekologi, sebagian besar model dari populasi dapat dijelaskan oleh persamaan diferensial parsial. Bahan reaktif dari dispersi kimia pula dapat dijelaskan dengan persamaan diferensial parsial. Sebagai tambahan, fenomena fisik dinamika fluida, mekanika kuantum, listrik, plasma fisika, pergerakan gelombang air dangkal, dan beberapa model lainnya dapat dijelaskan oleh persamaan diferensial parsial.

Persamaan diferensial parsial telah menjadi alat yang berguna untuk menggambarkan fenomena alam yang berasal dari ilmu pengetahuan dan rekayasa model. Dewasa ini telah terdapat metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan tentang persamaan diferensial parsial. Metode dekomposisi Adomian dan metode iterasi variasional yang baru-baru dikembangkan telah terbukti handal, akurat dan efektif baik untuk solusi analitik dan solusi numerik. Dalam beberapa kasus, kedua metode tersebut telah terbukti dapat konvergen menuju solusi eksak. Kedua metode tersebut membutuhkan nilai awal untuk mendapatkan solusinya.

Order suatu persamaan diferensial adalah order tertinggi dari semua turunan yang terdapat pada persamaan diferensial. Berdasarkan variabel bebasnya, persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi persamaan diferensial linear dan nonlinear. Suatu persamaan diferensial dikatakan linear apabila variabel-variabel

terikat dan semua turunan dalam persamaan diferensialnya muncul dalam bentuk linear, memenuhi syarat berikut ini

1. variabel-variabel terikat dan semua turunannya muncul derajat satu. 2. tidak ada perkalian antara variabel-variabel terikat atau turunannya.

3. tidak ada fungsi transenden (fungsi non-aljabar) dari variabel-variabel terikat atau turunannya.

Suatu persamaan diferensial dikatakan nonlinear apabila terdapat salah satu syarat tersebut tidak dipenuhi.

E.Gelombang

Pada bahasan tentang gelombang berikut ini berasal dari referensi buku karangan Prasetio, dkk (1992). Dalam bahasan ini akan dijelaskan tentang gelombang dan perambatan gelombang.

Di negara kita, negara Indonesia kerap terjadi bencana alam yang disebabkan oleh air. Misalnya bencana banjir, bencana tsunami, bencana bobolnya waduk atau bendungan. Bencana yang disebabkan oleh air biasanya karena pengaruh besarnya gelombang. Saat terjadi bencana tsunami, gelombang air laut sangat tinggi sekali hingga menghantam daerah di sekitarnya.

Gelombang merupakan getaran yang merambat sehingga dapat dipandang sebagai perpindahan momentum dari suatu titik di dalam ruang ke titik lain tanpa perpindahan materi. Terdapat berbagai macam gelombang seperti gelombang air, gelombang bunyi, gelombang cahaya, gelombang elektromagnetik, gelombang

transversal, gelombang longitudinal, dan lain-lain. Dalam sebagian penulisan tesis ini akan membahas perilaku dari gelombang air pada persamaan gelombang air dangkal dan penyederhanaannya serta gelombang bunyi pada persamaan gelombang elastik dan penyederhanaannya.

Dalam ilmu gelombang dikatakan bahwa gelombang itu merambat. Oleh karena ciri khas suatu gerakan adalah hadirnya besaran kecepatan, maka dalam hal ini gelombang memiliki kecepatan rambat . Dengan demikian, gelombang adalah getaran yang merambat. Gelombang memiliki panjang gelombang dan memiliki arah rambat gelombang.

F. Metode Iterasi Variasional

Pada bahasan tentang metode iterasi variasional berikut ini berasal dari referensi buku karangan Wazwaz (2009). Dalam bahasan ini akan dijelaskan tentang keunggulan penggunaan metode iterasi variasional.

Metode iterasi variasional telah berkembang pesat baru-baru ini. Metode iterasi variasional telah dikembangkan oleh Ji-Huan He (2007), seorang ahli matematika dari China yang telah menangani berbagai macam rekayasa ilmiah tentang permasalahan linear dan nonlinear, homogen dan nonhomogen. Hal ini pula menunjukkan bahwa metode iterasi variasional efektif dan dapat diandalkan untuk menemukan solusi analitik. Keunggulan dari metode ini adalah memberikan hasil yang konvergen menuju solusi eksak. Metode iterasi variasional tidak perlu penanganan khusus pada masalah nonlinear karena metode ini dapat menyelesaikan persamaan yang panjang dan rumit dengan tingkat keakuratan

yang tinggi. Pada kasus tertentu, penggunaan metode iterasi variasional dapat memberikan solusi pendekatan analitis menuju solusi eksak dengan bantuan beberapa iterasi. Tetapi dalam kasus tertentu pula, telah terlihat bahwa solusi analitiknya konvergen menuju solusi eksak hanya dengan sedikit iterasi saja.

Terdapat beberapa konsep dasar dari metode iterasi variasional yaitu pengali Lagrange umum, kondisi stasioner, fungsi koreksi dan variasi terbatas. Konsep-konsep dasar tersebut yang dapat membentuk rumus iterasi. Metode iterasi variasional dapat menghasilkan solusi pendekatan analitik sehingga efektif dan efisien digunakan dalam kondisi apapun bersama nilai awal yang diberikan.

Diberikan Persamaan Diferensial (PD) berikut:

� + � = , (2.1)

dimana � adalah operator linear, � adalah operator non-linear, dan adalah suatu bentuk suku non-homogen.

Dengan menggunakan metode iterasi variasional dapat dibentuk suatu fungsi koreksi dari persamaan (2.1) yaitu sebagai berikut:

₊ = + ∫ � � { � � + �ũ � − � } �, (2.2)

dimana � adalah suatu pengali Lagrange yang dapat diidentifikasi secara optimal dengan teori variasional, dan ̃ adalah suatu variasi terbatas yang melambangkan bahwa ̃ = .

Dengan menggunakan teknik integral parsial berikut ini, dapat diperoleh nilai pengali Lagrange � �

∫ � � ′′ � �= � � ′ � − �′ _{� � + ∫ �}" _{� � �. (2.4)}

Berikut ini contoh penggunaan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial non-homogen

+ = , , = , , = . (2.5)

Solusi

Dari persamaan (2.5), dapat dibentuk suatu fungsi koreksi seperti pada persamaan (2.2) sebagai berikut

+ , = , + ∫ � � � �_��,� + �ũ�_� ,� − ũ , � �. (2.6)

Dari persamaan (2.6), dapat diperoleh kondisi stasioner sebagai berikut

, � : {�

′ _{= , .7a}

+ � = , .7b dan memberikan nilai pengali Lagrange yaitu

� � = − . (2.8) Sekarang, kita substitusikan persamaan (2.8) ke persamaan (2.6) sehingga membentuk rumus iterasi sebagai berikut

+ , = , − ∫ � �_���, + � �_��, − �, �, . (2.9)

Kita dapat memilih , = , = dari persamaan (2.10). Substitusikan , = , = ke persamaan (2.9) dan kita peroleh pendekatan iterasi sebagai berikut

, = ,

, = , − ∫ � _��,� + � _� ,� − , � �

= + ,

, = , − ∫ � _��,� + � _� ,� − , � �

= + +

! ,

, = , − ∫ (� _� , + � _� , − , ) ,

= + +

! + !

=

, = + + _! + _! + .

Jadi, secara umum hasil dari iterasi tersebut dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut

, = lim_→∞ , .

Solusi eksak dari persamaan (2.3) adalah

, = .

G.Teorema Titik Tetap Banach

Bahasan tentang Teorema Titik Tetap Banach ini berasal dari referensi buku karangan Kreyszig (1989). Dalam bahasan ini akan dibahas tentang definisi dari Teorema Titik Tetap Banach.

Teorema Titik Tetap Banach merupakan teorema ketunggalan dari suatu titik tetap pada suatu pemetaan yang disebut kontraksi dari ruang metrik lengkap ke dalam dirinya sendiri. Ruang Banach sendiri memiliki arti yaitu ruang vektor bernorma yang lengkap (jika barisan Cauchy konvergen).

Teorema Titik Tetap Banach memberikan syarat cukup suatu fungsi dari ruang metrik lengkap terhadap dirinya sendiri yang memiliki titik tetap tunggal. Teorema Titik Tetap Banach diterapkan untuk menjamin eksistensi dan ketunggalan penyelesaian persamaan diferensial linear orde satu. Setiap pemetaan kontraksi di ruang metrik lengkap hanya mempunyai titik tetap tunggal.

H.Ruang Metrik dan Ruang Vektor Bernorma

Bahasan tentang ruang metrik dan ruang vektor bernorma ini berasal dari referensi buku karangan Muslikh (2012).

Ruang metrik memperluas konsep jarak. Definisi dari metrik bermanfaat untuk mengetahui aplikasi yang lebih umum dari konsep jarak.

Ruang metrik (X;d) adalah himpunan X dan metrik pada X (fungsi jarak pada X) didefinisikan sebagai fungsi ∶ �×� → ℝ, yang memenuhi:

a. ; untuk setiap , ∈ �, dengan ≠ .

b. ; = untuk setiap � �, jika dan hanya jika = . c. ; = ; untuk setiap , ∈ �.

d. ; ; + ; untuk setiap , , ∈ �.

Ruang metrik � disebut ruang metrik lengkap jika setiap barisan Cauchy di � merupakan barisan konvergen di �.

Ruang vektor bernorma adalah ruang vektor X dengan pemetaan ∥ ∥: � → ₊, dengan sifat-sifat

a. ∥ ∥ untuk setiap ∈ �.

b. ∥ ∥ = jika dan hanya jika = ∈ � .

c. ∥ ∥ = | | ∥ ∥ untuk setiap ∈ � dan skalar a.

d. ∥ + ∥ ∥ ∥ +∥ ∥ untuk setiap , ∈ �.

I. Ruang Hilbert

Bahasan tentang ruang Hilbert ini berasal dari referensi diktat Suryawan (2014).

Ruang Hilbert adalah ruang hasil kali dalam yang lengkap (ruang metriknya lengkap). Ruang Hilbert pula merupakan suatu ruang vektor bernorma yang lengkap yang normanya itu diinduksi dari hasil kali dalam. Ruang hasil kali dalam seringkali disebut ruang pra-Hilbert.

J. Barisan Konvergen dan Deret Konvergen

Teori tentang barisan konvergen dan deret konvergen ini berasal dari referensi diktat Sukarjono (2008). Dalam bahasan ini akan dipaparkan tentang definisi barisan dan deret serta barisan konvergen dan deret konvergen.

Barisan adalah suatu pemetaan yang berkorespondensi satu-satu dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan real. Barisan dapat dikatakan sebagai suatu aturan yang mengawankan setiap bilangan asli dengan bilangan real

secara tunggal. Barisan biasanya ditulis dengan lambang atau atau dan sebagainya. Barisan merupakan himpunan unsur-unsur yang telah diurutkan menurut urutan bilangan asli seperti = , , , … , , … .

Barisan dikatakan konvergen jika terdapat dengan sifat ∈ ℝ untuk setiap bilangan > terdapat bilangan asli ℕ sehingga untuk setiap bilangan asli

� ℕ berlaku | − | < .

Deret bisa dikatakan jumlahan dari suatu barisan. Misalkan terdapat suatu barisan bilangan real = , , , … , , … , kemudian bilangan-bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya menjadi suatu deret yang biasanya ditulis dengan lambang . Jadi, = + + + + = ∑ ₌ .

Deret ∑ ₌ dikatakan konvergen apabila lim

→∞ ada. Tetapi jika lim→∞

tidak ada (atau ∞) maka deret divergen. Jika lim

→∞ = , maka S disebut deret itu

konvergen ke jumlah S.

K.Barisan Cauchy

Bahasan tentang barisan Cauchy dan barisan konvergen ini berasal dari referensi buku karangan Soematri (2012).

Barisan di ruang metrik � = �; disebut barisan Cauchy jika untuk setiap > terdapat bilangan � � ℕ sehingga untuk bilangan asli , > � berlaku ; > .

L.Ruang Hasil Kali Dalam

Bahasan tentang ruang hasil kali dalam ini berasal dari referensi buku karangan Anton (1987).

Untuk memahami definisi ruang hasil kali dalam maka perlu diketahui definisi dari hasil kali dalam. Misalkan V adalah sebuah ruang vektor. Hasil kali dalam (inner product) adalah suatu fungsi (operasi) yang memetakan sepasang vektor ⃗ , ∈ � dengan sebuah bilangan real yang ditulis dengan ⃗ , dan memenuhi sifat-sifat berikut untuk setiap ⃗ , , ⃗⃗ ∈ �

1. ⃗ , = ,⃗⃗⃗ ⃗ (aksioma simetris)

2. ⃗ + , ⃗⃗ = ⃗ , ⃗⃗ + , ⃗⃗ (aksioma aditif/penjumlahan)

3. �⃗ , = � ⃗ , untuk setiap � ∈ ℝ (aksioma kehomogenan)

4. ⃗ , ⃗ dan ⃗ , ⃗ = jika dan hanya jika ⃗ = ⃗ (aksioma kepositifan)

Suatu ruang vektor � disebut sebagai ruang hasil kali dalam (inner product

space) apabila V adalah sebuah ruang vektor yang dilengkapi dengan suatu hasil

kali dalam. Suatu ruang hasil kali dalam adalah lengkap jika setiap barisan Cauchy dalam V konvergen ke suatu titik dalam V.

BAB III

METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK

MENYELESAIKAN BEBERAPA PERSAMAAN GELOMBANG

Pada bab ini akan dibahas tentang solusi pendekatan analitik dari persamaan gelombang air dangkal serta penyederhanaannya yaitu persamaan gelombang difusi, persamaan gelombang gravitasi dan persamaan gelombang kinematik serta persamaan gelombang elastik serta penyederhanaannya yaitu persamaan gelombang akustik.

A.Persamaan Gelombang Air Dangkal

Pada bab sebelumnya telah dipaparkan pengertian singkat tentang gelombang, maka di bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik dengan menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang air dangkal. Referensi pada bagian ini dikaji ulang dari Mungkasi dan Wiryanto (2016), Setianingrum dan Mungkasi (2016) serta buku karangan Wazwaz (2009).

Suatu model matematika yang terkenal untuk aliran air di tempat terbuka adalah persamaan Saint-Venant (sistem Saint-Venant), juga dikenal sebagai persamaan gelombang air dangkal. Persamaan gelombang air dangkal diturunkan dari hukum kekekalan massa dan momentum. Persamaan ini berpengaruh pada gelombang air dan aliran air, seperti aliran air dalam suatu saluran, banjir, gelombang laut, dan tsunami. Persamaan gelombang air dangkal tidak memiliki

solusi analitik yang dapat ditulis dalam bentuk eksplisit. Oleh karena itu, metode pendekatan sangat diperlukan dalam menyelesaikan permasalahan tersebut.

Gelombang air dangkal adalah gelombang yang terjadi pada permukaan air dangkal dimana panjang gelombangnya cukup besar dibandingkan kedalamannya. Persamaan gelombang air dangkal merupakan suatu sistem persamaan diferensial parsial nonlinear orde satu. Dinamika dari fenomena gelombang air dangkal dapat diketahui melalui solusi persamaan diferensial parsial. Solusi yang diperoleh bermanfaat untuk memprediksi arah aliran air, kecepatan aliran air, luas daerah dampak air yang datang dan rute penyelamatan untuk lari ke daerah yang lebih aman sehingga harapannya, pemodelan beserta solusi persamaan gelombang air dangkal bermanfaat bagi penelitian di bidang lain untuk membuat sistem peringatan dini (early warning systems) bencana yang disebabkan oleh aliran air.

Pemodelan persamaan gelombang air dangkal memiliki asumsi bahwa skala vertikal lebih kecil dari skala horizontal, yaitu kedalaman air laut lebih kecil dibandingkan dengan panjang perairan laut. Bidang aplikasi persamaan gelombang air dangkal dapat dilakukan untuk melihat aliran pasang surut di muara atau di daerah pantai, sungai, dan waduk. Persamaan air dangkal atau

Shallow Water Equation (SWE) berlaku untuk fluida homogen yang memiliki

massa jenis konstan, tidak kental, tidak dapat ditekan dan mengalir secara tidak berotasi.

Persamaan yang akan digunakan untuk memodelkan masalah dalam bahasan penulisan ini adalah persamaan gelombang air dangkal dimensi satu (bergantung pada variabel ruang dan waktu). Hal ini dilakukan untuk menyederhanakan

permasalahan sehingga mempermudah dalam perhitungan. persamaan gelombang air dangkal dimensi satu sangat relevan untuk menentukan aliran sungai.

Diberikan persamaan gelombang air dangkal sebagai berikut

{

ℎ + ℎ�+ ℎ � = ,

+ ℎ�+ � = −��,

(3.1)

di sini fungsi ℎ �, adalah kedalaman atau ketinggian air, fungsi �, adalah kecepatan aliran air, � � adalah topografi, t adalah variabel waktu dan x adalah variabel ruang.

Diasumsikan kondisi awal dari persamaan (3.1) sebagai berikut

ℎ �, = + _{+ exp −� , �,}exp −� _{= ℎ �, , � � = − + exp −� .}exp −� (3.2)

Dari persamaan (3.2) berarti permukaan air mendatar secara horisontal memiliki persamaan ℎ �, + � � = , dan debit air selalu konstan dimanapun memiliki persamaan �, . ℎ �, = .

Dengan menggunakan metode iterasi variasional, dapat dibentuk suatu fungsi koreksi dari sistem persamaan (3.1) sebagai berikut

ℎ�+ �, = ℎ� �, + ∫ � � ℎ��� + ũ�ℎ��+ ℎ�ũ�� ��, (3.3) �+ �, = � �, + ∫ � �� ��+ ℎ��+ �ũ��− �′ � ��, (3.4)

dimana � dan � adalah pengali Lagrange; ũ_�� dan ℎ̃_�� adalah variasi terbatas. Teknik integral parsial seperti pada persamaan (2.3) dan (2.4) sangat diperlukan untuk memperoleh kondisi stasioner sebagai berikut

�′ _{� = , (3.5a)}

+ � � |�=� = , (3.5b)

�′ _{� = , (3.6a)}

+ � � |�=� = , (3.6b)

Persamaan (3.5a) dan (3.6a) adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan (3.5b) dan (3.6b) adalah syarat batas. Dari syarat batas tersebut diperoleh nilai pengali Lagrange � = � = − . Subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan (3.3) dan (3.4) sehingga memberikan rumus iterasi variasional sebagai berikut

ℎ�+ �, = ℎ� �, − ∫ ℎ��� + �ℎ��+ ℎ� �� ��, (3.7)

�+ �, = � �, − ∫� ��+ ℎ��+ � �� − �′ � ��. (3.8)

Dengan menggunakan rumus iterasi variasional (3.7) dan (3.8) dapat diperoleh nilai pendekatan pertama dan kedua dari solusi analitik berikut

ℎ �, = + _{+ex −�}ex −�2₂ (3.9)

�, =

+ ex −�_{+ex −�}22

(3.10)

ℎ �, = ℎ �, (3.11)

�, = − � ∗ exp −� − exp − � −_{+ 3exp −�}exp −� − + exp −� (3.12)

ℎ �, = − _{+ 3exp −� + exp −�} − exp −3� ∗ �

− exp − � ∗ � − 3 exp −3� ∗ + exp −� ∗ �

− exp − � − 5 exp − � ∗ − exp −3�

− exp −� ∗ − exp − � − exp −� −

(3.13)

�, = − _{+ ex −�}2 − − exp − � − exp − � ∗ � +

exp −5� ∗ � + exp −3� ∗ � + exp − � ∗ � +

� ∗ exp − � ∗ + exp −3� ∗ � + 57 exp − � ∗ � +

exp − � ∗ � − exp −5� ∗ � + exp −3� ∗ � +

exp − � ∗ � − 37 exp − � ∗ � + � ∗ exp −� ∗ −

7 exp − � − 7 exp −5� − exp −3� ∗ � +

7 exp − � ∗ � − 5 exp − � − exp −5� ∗ −

3 exp − � ∗ − 7 exp −3� ∗ − 3 exp − � ∗ −

exp −3� − 7 exp −� + exp −� ∗ � +

exp −�

Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.

(a) ℎ �, (b) �,

Gambar 3.1. Grafik hasil iterasi ℎ �, dan �, pada persamaan gelombang air dangkal.

Grafik pada Gambar 3.1 diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga. Dari grafik tersebut dapat diamati bahwa jika variabel waktu semakin membesar, maka perilaku grafik menunjukkan tidak realistis secara fisik karena permukaan air akan semakin menuju tak hingga. Oleh karena itu, saat waktu membesar solusi dari iterasi variasional tidak akurat. Agar solusi iterasi variasional lebih akurat maka dibutuhkan iterasi yang lebih besar. Iterasi yang dihasilkan dari persamaan gelombang air dangkal akan konvergen menuju solusi eksak dengan waktu yang sangat lambat. Dalam kasus ini, metode iterasi variasional hanya berlaku untuk variabel waktu yang kecil.

B.Persamaan Gelombang Difusi

Pada bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik dengan menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang difusi. Referensi pada bagian ini dikaji ulang dari buku karangan Wazwaz (2009).

Difusi merupakan suatu peristiwa perpindahan molekul-molekul dari konsentrasi tinggi ke konsentrasi rendah. Proses difusi akan terjadi terus-menerus hingga seluruh partikel tersebar luas secara merata atau mencapai keadaan kesetimbangan dimana perpindahan molekul tetap terjadi walaupun tidak ada perbedaan konsentrasi.

Pokok bahasan yang akan dibahas dalam penulisan ini tentang bentuk difusi sederhana. Difusi sederhana terjadi secara spontan jika molekul suatu zat sama dengan kerapatannya dalam suatu ruangan. Contoh penerapan dalam kehidupan sehari-hari misalnya satu semprotan parfum akan menyebar ke seluruh ruangan (difusi gas di dalam medium udara) dan molekul dari sesendok gula akan menyebar ke seluruh volume air di dalam suatu gelas meskipun tanpa diaduk (difusi zat padat di dalam medium air).

Persamaan yang akan digunakan untuk memodelkan masalah difusi tersebut adalah persamaan gelombang difusi dimensi satu (bergantung pada variabel ruang dan waktu). Persamaan gelombang difusi adalah suatu bentuk penyederhanaan dari persamaan gelombang air dangkal dengan beberapa asumsi. Penyederhanaan dilakukan untuk memudahkan perhitungan. Persamaan gelombang difusi dimensi satu sangat relevan untuk menentukan konsentrasi dari polutan. Perbedaan konsentrasi yang ada pada kedua larutan yang mengalami difusi disebut gradien

konsentrasi. Difusi dapat terjadi ketika molekul dan ion yang terlarut dalam air bergerak secara acak dengan konstan.

Diberikan persamaan gelombang difusi sebagai berikut

��+ �� = � ��� + � (3.15)

di sini fungsi � �, adalah konsentrasi polutan, fungsi t adalah variabel waktu dan x adalah variabel ruang (posisi).

Diasumsikan kondisi awal dari persamaan (3.15) sebagai berikut

� �, = � = . (3.16)

Dengan menggunakan langkah-langkah pada metode iterasi variasional, dapat dibentuk suatu fungsi koreksi dari sistem persamaan (3.15)

��+ �, = �� �, + ∫ � � [� �_���,� +� ̃�_���,� − �̃� �, � �

2_̃��,�

��2 − �]

�

��, (3.17) dimana � adalah pengali Lagrange; �̃_�� adalah suatu variasi terbatas. Teknik integral parsial seperti pada persamaan (2.3) dan (2.4) sangat diperlukan untuk memperoleh kondisi stasioner berikut

�′ _{� = , (3.18a)}

+ � � |�=� = . (3.18b)

Persamaan (3.18a) adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan (3.18b) adalah syarat batas. Kita peroleh nilai pengali Lagrange yaitu � = − . Subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan (3.17) sehingga membentuk rumus iterasi

��+ �, = �� �, − ∫ [� �_���,� +� �_���,� − �� �, � �

2 _{� �,�}

��2 − �]

Dengan menggunakan rumus iterasi variasional (3.19) dapat diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, ketiga dan keempat dari solusi analitik berikut

� �, = (3.20)

� �, = � + (3.21)

� �, = � + − (3.22)

� �, = � + − (3.21)

� �, = � + − (3.22)

Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.

(a) � �, dimensi tiga (b) � �, dimensi dua

Gambar 3.2. Grafik hasil iterasi konsentrasi polutan � �, pada persamaan gelombang difusi.

Grafik pada Gambar 3.2a diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga dan untuk Gambar 3.2b diperoleh dengan bantuan Sofware MATLAB dimensi dua. Gradien menggambarkan perubahan konsentrasi polutan (q) terhadap perubahan posisi (x). Dari Gambar 3.2b terlihat bahwa konsentrasi polutan membentuk garis lurus yang artinya bahwa semakin waktu bertambah maka gradien konsentrasi polutan akan semakin besar. Pada grafik tersebut masing-masing garis lurus tidak berpotongan tetapi saling bersilangan sehingga tidak ada

titik potong sehingga semakin waktu bertambah maka perubahan posisi (x) akan semakin cepat.

C.Persamaan Gelombang Gravitasi

Bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik dengan menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang gravitasi. Referensi pada bagian ini dikaji ulang oleh Martins, Leandro, dan Djordjevic (2016), serta dari buku karangan Wazwaz (2009).

Persamaan Saint-Venant atau sering dikenal sebagai persamaan gelombang air dangkal dapat disederhanakan menjadi beberapa persamaan gelombang. Persamaan gelombang gravitasi dimensi satu (bergantung pada variabel waktu dan ruang) merupakan bentuk penyerhanaan dari persamaan gelombang air dangkal dengan mengabaikan suku konvektif dan mengabaikan gesekan topografi serta kemiringan topografi. Tujuan dari penyederhanaan adalah untuk kepentingan kepraktisan, penghitungan komputasi lebih cepat dan dapat menggambarkan masalah nyata secara fisik. Persamaan gelombang air dangkal merupakan suatu persamaan yang dapat dimodelkan secara matematis dari fenomena fisik aliran air dimensi satu.

Gelombang gravitasi merupakan suatu riak gangguan di alam semesta berbentuk gelombang lengkung yang bergerak semakin menjauhi sumbernya. Gelombang gravitasi memerlukan medium untuk merambat. Gelombang gravitasi dihasilkan oleh obyek di alam semesta ini yang bergerak dengan kecepatan dan arah tertentu.

Diberikan persamaan gelombang gravitasi sebagai berikut

{_� ℎ�+ �� = ,

�+� ℎ � = . (3.23)

dengan fungsi ℎ �, adalah kedalaman atau ketinggian air, � �, adalah debit/volume air, � adalah percepatan gravitasi, t adalah variabel waktu dan x

adalah variabel ruang.

Diasumsikan kondisi awal dari persamaan (3.23) sebagai berikut

ℎ �, = . sech . � and � �, = . (3.24) Dari persamaan (3.24) dapat dibentuk menjadi suatu fungsi koreksi yaitu

ℎ�+ �, = ℎ� �, + ∫ � � [�ℎ� �,�

�� + � ̃� �,�

�� ] �

��, (3.25)

��+ �, = �� �, + ∫ � � [� � �,�

�� + �ℎ̃� �, �

�ℎ̃� �,�

�� ] �

�� , (3.26) di sini� dan � adalah pengali Lagrange; �̃�� dan ℎ̃�� adalah variasi terbatas. Dapat disusun kondisi stasioner dari persamaan (3.25) dan (3.26) menjadi

�′ _{� = , (3.27a)}

+ � � |�=� = , (3.27b)

dan

�′ _{� = , (3.28a)}

+ � � |�=� = , (3.28b)

Persamaan (3.27a) dan (3.28a) adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan (3.27b) dan (3.28b) merupakan syarat batas. Subtitusi nilai pengali Lagrange � = � = − ke dalam fungsi koreksi persamaan (3.25) dan (3.26). Berikut rumus iterasi variasionalnya

ℎ�+ �, = ℎ� �, − ∫ [� �ℎ�_���,� +� �_���,�]��, (3.29) ��+ �, = �� �, − ∫ [� � �_���,� + �ℎ� �, � �ℎ�_���,�]��. (3.30)

Dengan menggunakan rumus iterasi variasional (3.29) dan (3.30) dapat diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, dan ketiga dari solusi analitik berikut

ℎ �, = . sech . � (3.31)

� �, = (3.32)

ℎ �, = . sech . � (3.33)

� �, = . 3 sech . � tanh . � (3.34)

ℎ �, =_{c sh . �} . cosh . � + . 5 cosh . � − .

(3.35)

� �, = . 3 sech . � tanh . � (3.36)

ℎ �, =_{c sh . �} . cosh . � + . 5 cosh . � − .

(3.37)

� �, = cosh . � sinh . � . 3 cosh . � 8

+ . 3 35 7 cosh . �

− . 7 cosh . �

+ . 3 3 5

+ . 5 cosh . �

− . 5 cosh . �

(3.38)

Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.

_(c) ℎ �, _{dimensi dua (d)} � �, _{dimensi dua}

Gambar 3.3. Grafik hasil iterasi ℎ �, dan � �, pada persamaan gelombang gravitasi.

Grafik pada Gambar 3.3 diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga. Dari Grafik (3.3a) dapat diamati bahwa kedalaman/ketinggian ℎ mencapai titik maksimum di 0,1 saat � = . Jika waktu bertambah maka kedalaman/ketinggiannya akan semakin tinggi (merambat ke kiri dan kanan). Dari Grafik (3.3b) menggambarkan bahwa saat debit/volume berkurang maka perambatan gelombang ke arah kiri dan pada saat debit/volume bertambah maka perambatan gelombang ke arah kanan.

D.Persamaan Gelombang Kinematik

Paparan berikut ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik dengan menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang kinematik. Referensi pada bagian ini dikaji ulang dari buku karangan Miller (1984) dan buku karangan Wazwaz (2009).

Model gelombang kinematik dapat digunakan untuk menghitung aliran air di sepanjang bidang atau papan pipa saluran air terhadap waktu dan ruang. Salah satu contoh penerapan gelombang kinematik dalam kehidupan sehari-hari adalah misalnya saat terjadi turun hujan, air hujan jatuh ke permukaan atap rumah yang posisinya miring kemudian air hujan tersebut menetes ke bawah. Pada saat turun hujan tersebut, aliran air mengalir di sepanjang atap tersebut kemudian semakin lama semakin berkumpul di titik posisi yang paling rendah dari atap rumah sehingga ketinggian air di titik tertinggi atap berbeda dengan ketinggian air di titik terendah atap rumah.

Persamaan gelombang kinematik merupakan bentuk penyederhanaan dari persamaan saint-venant atau yang lebih dikenal sebagai persamaan gelombang air dangkal. Persamaan gelombang kinematik dimensi satu (bergantung pada variabel waktu dan ruang) disederhanakan dengan mengabaikan suku gravitasi dari persamaan gelombang air dangkal. Penyederhanaan ini dilakukan agar perhitungan lebih mudah dan dapat mengetahui perilaku dari grafik persamaan gelombang kinematik.

Diberikan persamaan gelombang kinematik sebagai berikut

ℎ�+ ℎ2ℎ�= � (3.39) dimana fungsi ℎ �, adalah ketinggian atau kedalaman gelombang, fungsi t

adalah variabel waktu dan x adalah variabel ruang (posisi). Diasumsikan kondisi awal dari persamaan (3.39) sebagai berikut

Fungsi koreksi dari sistem persamaan (3.39) dapat disusun dengan menggunakan langkah-langkah pada metode iterasi variasional

ℎ�+ �, = ℎ� �, + ∫ � � [�ℎ�_���,� + ℎ̃� �, �

2

�ℎ̃� �,�

�� − �] �

��, (3.41) dengan � adalah pengali Lagrange; ℎ̃_�� adalah variasi terbatas. Untuk memperoleh kondisi stasioner berikut dapat dilakukan dengan teknik integral parsial

�′ _{� = , (3.42a)}

+ � � |�=� = . (3.42b)

Persamaan (3.42a) adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan (3.42b) merupakan syarat batas. Subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan (3.41) sehingga diperoleh rumus iterasi variasional sebagai berikut

ℎ�+ �, = ℎ� �, − ∫ [�ℎ�_���,� + (ℎ� �, � )

2_�ℎ

� �,�

�� − �] �

��. (3.43) Dengan menggunakan rumus iterasi variasional (3.43) dapat diperoleh nilai pendekatan pertama dan kedua dari solusi analitik berikut

ℎ �, = _(3.44)

ℎ �, = � + _(3.45)

ℎ �, = � + − ��+ .��− ��+_�2 +

(3.46)

(a) ℎ �, dimensi tiga (b) ℎ �, dimensi dua

Gambar 3.4. Grafik hasil iterasi ℎ �, pada persamaan gelombang kinematik. Grafik pada Gambar 3.4a diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga dan untuk Gambar 3.4b diperoleh dengan bantuan Sofware MATLAB dimensi dua. Gradien menggambarkan perubahan ketinggian gelombang ℎ terhadap perubahan posisi (x). Dari Gambar 3.4b terlihat bahwa ketinggian gelombang membentuk garis lurus yang artinya bahwa semakin waktu bertambah maka gradien ketinggian gelombang akan semakin besar. Pada grafik tersebut masing-masing garis lurus tidak berpotongan tetapi saling bersilangan sehingga tidak ada titik potong sehingga semakin waktu bertambah maka perubahan posisi (x) akan semakin cepat.

E.Persamaan Gelombang Elastik

Bahasan pada bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik dengan menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang elastik. Referensi pada bagian ini dikaji ulang dari buku karangan Timoshenko,

Goodier, dan Sebayang (1984), buku karangan Wazwaz (2009) serta LeVeque (2002).

Hampir semua bahan teknik memiliki sifat tertentu yaitu elastisitas

(elasticity). Apabila gaya luar menghasilkan perubahan bentuk tidak melebihi

batas tertentu, maka perubahan bentuk hilang sesudah gaya dilepas. Suatu benda dikatakan benar-benar elastis secara sempurna apabila benda kembali semula secara utuh sesudah gaya dilepas. Salah satu contoh aplikasi gelombang elastik yaitu dapat diamati bahwa tangan kita menekan penggaris pada bagian tengahnya kemudian akan kembali ke posisi semula saat dilepaskan.

Persamaan yang akan digunakan untuk memodelkan masalah dalam bahasan penulisan ini adalah persamaan gelombang elastik nonlinear. Persamaan gelombang elastik yang dibahas dalam penulisan ini adalah bentuk penyederhanaan dari artikel karangan LeVeque (2002) dengan beberapa asumsi.

Secara umum, persamaan gelombang elastik nonlinear sebagai berikut

{

_{� �} � �, −_{�, − � � �, , �}� �, = ,

� = ,

(3.47)

dengan � �, adalah regangan, �, adalah kecepatan, � � adalah massa jenis dan � �, � adalah tegangan. Dari persamaan (3.47) terdapat hubungan � =

�. yang melambangkan momentum dan � �, � = � � � yang melambangkan hubungan tegangan dan regangan. Diasumsikan � � = dan � � � = agar mempermudah perhitungan dan menjadi lebih sederhana sehingga menjadi bentuk berikut

{ ��− � = ,

�− � + � � = .

Diasumsikan kondisi awal dari persamaan (3.48) sebagai berikut

� �, = . sech . � dan �, = . (3.49)

Suatu fungsi koreksi dari sistem persamaan (3.48) dapat dibentuk menjadi

��+ �, = �� �, + ∫ � � [� ���_���,� −�ũ�_���,� ]��, (3.50)

�+ �, = � �, + ∫ � � [� � �_���,� −��̃�_���,� − �̃� �, � ��̃�_���,�]��. (3.51)

dimana � dan � adalah pengali Lagrange; ̃_�� dan �̃_�� adalah variasi terbatas. Kondisi stasioner persamaan (3.50) dan (3.51) dapat diperoleh sebagai berikut

�′ _{� = , (3.52a)}

+ � � |�=� = , (3.52b)

dan

�′ _{� = , (3.53a)}

+ � � |�=� = , (3.53b)

Persamaan (3.52a) dan (3.53a) adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan (3.52b) dan (3.53b) merupakan syarat batas. Subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan (3.50) dan (3.51) sehingga diperoleh rumus iterasi variasional sebagai berikut

��+ �, = �� �, − ∫ [� ���_���,� −� �_���,� ]��, (3.54)

�+ �, = � �, − ∫ [� � �_���,� −���_���,� − �� �, � ���_���,� ]��. (3.55)

Dengan menggunakan rumus iterasi variasional (3.54) dan (3.55) dapat diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, dan ketiga dari solusi analitik berikut

� �, = . sech . � _(3.56)

� �, = . sech . � (3.58)

�, = − . sech . � tanh . � − . sech . � tanh . � (3.59)

� �, = . �2c sh . � + c sh . � − �_{c sh . �} 2c sh . � 2− �2 (3.60)

�, = − . sech . � tanh . � − . sech . � tanh . � (3.61)

� �, = . �2c sh . � + c sh . � − �_{c sh . �} 2c sh . � 2− �2 (3.62)

�, = − . _{cosh . �}3 333( 3 5 cosh . �

+ 3 cosh . � 8

+ 7 75 cosh . �

− 5 5 cosh . � 8

− cosh . �

+ 3 375 cosh . � 8

− 75 cosh . �

+ cosh . � − 5 cosh . �

+ 5 cosh . � + 5 sinh . � )

(3.63)

Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.

c � �, dimensi dua (d) �, dimensi dua Gambar 3.5. Grafik hasil iterasi � �, dan �, pada persamaan gelombang

elastik.

Grafik pada Gambar 3.5 diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga. Dari Grafik (3.5a) dapat diamati bahwa regangan � mencapai titik maksimum di 0,1 saat � = . Jika waktu bertambah maka regangan akan semakin tinggi (merambat ke kiri dan kanan). Dari Grafik (3.5b) menggambarkan bahwa saat kecepatan berkurang maka perambatan gelombang ke arah kiri dan pada saat kecepatan bertambah maka perambatan gelombang ke arah kanan.

F. Persamaan Gelombang Akustik

Paparan pada bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik dengan menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang akustik. Referensi pada bagian ini dikaji ulang dari buku karangan Wazwaz (2009) dan artikel karangan LeVeque (2002).

Persamaan gelombang elastik adalah suatu pemodelan untuk perambatan gelombang. Persamaan gelombang elastik dapat disederhanakan menjadi persamaan gelombang akustik dengan beberapa asumsi. Akustik termasuk

gelombang bunyi. Model dari persamaan gelombang akustik berupa perubahan tekanan dan kecepatan dari suatu sistem. Salah satu penerapan persamaan gelombang akustik dalam kehidupan sehari-hari yang sering kita lakukan misalnya saat kita berbicara dalam satu ruangan yang sama, kita dapat mendengarkan suara orang yang sedang berbicara merupakan suatu bentuk perambatan gelombang bunyi.

Persamaan yang akan digunakan untuk memodelkan masalah dalam bahasan penulisan ini adalah persamaan gelombang akustik dimensi satu (bergantung pada variabel ruang dan waktu). Persamaan gelombang akustik yang dibahas dalam penulisan ini adalah bentuk penyederhanaan dari artikel karya LeVeque (2002) dengan beberapa asumsi.

Secara umum, persamaan gelombang akustik dimensi satu sebagai berikut

{

_{� �}+ � �₊ � = ,

� = ,

(3.64) di sini �, adalah tekanan, �, adalah kecepatan, � � adalah massa jenis dan � � adalah koefisien dari satuan tegangan (kelembaman). Diasumsikan

� � = dan � � = agar mempermudah perhitungan dan menjadi lebih sederhana sehingga menjadi bentuk berikut

{

+₊ � = ,

� = .

(3.65)

Diasumsikan kondisi awal dari persamaan (3.65) sebagai berikut

�, = . sech . � dan �, = . (3.66)

Fungsi koreksi dari sistem persamaan (3.65) dapat disusun dengan menggunakan langkah-langkah metode iterasi variasional diperoleh

�+ �, = � �, + ∫ � � [� � �_���,� +�ũ�_���,�]��, (3.67) �+ �, = � �, + ∫ � � [� � �_���,� +� ̃�_���,� ]��. (3.68)

dengan � dan � adalah pengali Lagrange; ̃_�� dan �̃�� adalah variasi terbatas. Kondisi stasioner persamaan (3.67) dan (3.68) sebagai berikut

�′ _{� = , (3.69a)}

+ � � |�=� = , (3.69b)

dan

�′ _{� = , (3.70a)}

+ � � |�=� = , (3.70b)

Persamaan (3.69a) dan (3.70a) adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan (3.69b) dan (3.70b) termasuk ke dalam syarat batas. Sekarang, subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan (3.67) dan (3.68) diperoleh rumus iterasi variasionalnya yaitu

�+ �, = � �, − ∫ [� � �_���,� +� �_���,� ]��, (3.71) �+ �, = � �, − ∫ [� � �_���,� +� �_���,� ]��. (3.72)

Dengan menggunakan rumus iterasi variasional (3.71) dan (3.72) dapat diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, dan ketiga dari solusi analitik berikut

�, = . sech . � _(3.73)

�, = _(3.74)

�, = . sech . � (3.75)

�, = . sech . � tanh . � (3.76)

Penulis memilih judul penelitian tentang metode iterasi variasional untuk menyelesaikan beberapa persamaan gelombang karena penulis ingin meneruskan penelitian dosen pembimbing yang berkaitan dengan air. Penelitian ini termasuk ke dalam penelitian payung karena persamaan yang diselesaikan sama dengan peneliti lainnya tetapi menggunakan metode yang berbeda. Dengan menggunakan metode yang berbeda tersebut diperoleh solusi yang dan kesimpulan yang sama. Jika sudah sama, maka hasil yang diperoleh dari masing-masing metode sudah tepat. Beberapa persamaan gelombang perlu dianalisis kekonvergenannya agar kita mengetahui berapa hasil konvergensinya. Solusi dari persamaan gelombang ini bersifat pendekatan analitis karena perhitungannya dengan manual tetapi proses membuat grafik persamaan menggunakan bantuan software maple maupun matlab.

Penulis menemukan kesulitan saat mencari bahan referensi tentang analisis konvergensi untuk metode iterasi variasional. Penulis tak pernah lelah untuk mencari referensi kemanapun hingga akhirnya penulis mendapatkan suatu artikel dari jurnal internasional yang cocok dengan analisis konvergensi. Perlahan demi perlahan, penulis mencoba memahami isi artikel sebagai bahan tesis. Penulis merasa kesulitan saat mempelajari analisis konvergensi karena terdapat tiga teorema yang terkait dengan hasil konvergensi.

Selama penelitian dilakukan, penulis mendapatkan dua kali kesempatan untuk mempresentasikan bagian dari tesis ini di International Conference. Pada kesempatan pertama, penulis merasa kurang percaya diri karena merasa masih belum siap. Dengan latihan dan persiapan yang maksimal, penulis berani mencoba

untuk mempresentasikan artikel. Kesempatan ini pula menjadikan penulis untuk terus mencari tahu hal baru dan mencari banyak referensi untuk melengkapi penelitian. Motivasi dari dosen pembimbing membuat penulis untuk terus berkarya dan membuat artikel yang dapat dipublikasikan ke jurnal berindeks Scopus.

Pada kesempatan kedua, penulis merasa lebih tenang untuk mempresentasikan artikel. Pengalaman pertama presentasi dalam seminar internasional membuat penulis untuk tampil lebih percaya diri. Hal baru yang diperoleh penulis pada kesempatan kedua ini adalah penulisan artikel menggunakan program Latex. Waktu yang sangat singkat penulis gunakan untuk belajar mengetik artikel dengan menggunakan program Latex. Penulis merasa kesulitan dalam mengetik karena banyak program yang dibuat agar menjadi tulisan yang rapi dan bagus. Tentunya dengan bantuan dosen pembimbing, penulis dapat menyelesaikan semua artikel kedua ini. Awalnya penulis membutuhkan waktu yang cukup lama untuk mengetik artikel dengan menggunakan program Latex tetapi seiring berjalannya waktu, penulis merasa sangat terbantu karena hasil ketikan lebih rapi mulai dari grafik, persamaan, kalimat dalam paragraf maupun nomor pada persamaan tersusun rapi.

Refleksi pengalaman di atas telah penulis bagikan kepada para pembaca agar terus berkarya dan tak mudah menyerah terhadap setiap tantangan yang ada. Semangat dan kesadaran dari dalam diri sangat diperlukan untuk melakukan penelitian agar mencapai kesimpulan sesuai dengan yang diharapkan. Semoga refleksi pengalaman yang penulis bagikan dapat bermanfaat untuk orang lain.

68

BAB VI

PENUTUP

A.Kesimpulan

Pada bagian ini penulis mengambil kesimpulan dari pembahasan yang telah dibahas pada bab-bab sebelumnya. Adapun kesimpulan yang diperoleh adalah sebagai berikut.

Metode iterasi variasional telah berhasil menyelesaikan persamaan gelombang yaitu persamaan gelombang air dangkal dan persamaan gelombang elastik karena memiliki solusi iterasinya memiliki galat yang menuju nol. Solusi persamaan gelombang air dangkal, persamaan gelombang gravitasi dan persamaan gelombang elastik konvergen menuju solusi eksak dengan sangat lambat. Solusi persamaan gelombang kinematik dan persamaan gelombang akustik konvergen menuju solusi eksak dengan lambat. persamaan gelombang difusi telah konvergen menuju solusi eksak dengan cepat. Kekonvergenan yang berbeda-beda dari beberapa persamaan gelombang berpengaruh pada kondisi awal yang dipilih. Solusi yang dihasilkan dengan metode iterasi variasional pada beberapa persamaan gelombang berupa solusi pendekatan analitis yang dihitung dengan bantuan Software Maple dan MATLAB. Hasil analisis konvergensi untuk persamaan gelombang difusi telah terbukti konvergen menuju solusi eksak karena galatnya semakin menuju nol.

B.Saran

Berdasarkan pembahasan pada tesis ini, penulis memiliki saran agar penelitian ini terus dikembangkan oleh penulis-penulis lain maupun para pembaca. Hal yang perlu dikembangkan untuk penulisan tesis selanjutnya adalah menggunakan metode iterasi variasional pada persamaan gelombang dimensi dua maupun dimensi tiga.

DAFTAR PUSTAKA

Aryati, L. (2011). Diktat Pengantar Persamaan Diferensial Parsial. Yogyakarta: FMIPA UGM.

Anton, H. (1987). Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga.

Bartle, R. G & Sherbert, D. R. (1992). Introduction to Real Analysis. New York: John Wiley.

Gelfand, I. M & Fomin, S. V. (1963). Calculus of Variations. New Jersey: Prentice-Hall.

Haberman, R. (1977). Mathematical Models: Mechanical Vibrations, Population Dynamics, and Traffic Flow. New Jersey: Prentice-Hall.

He, J. H., ”Variational iteration method-Some recent results and new

intrepretations, “Journal of Computational and Applied Mathematics, 207,

pp 3-17, 2007.

Kreyszig, E. (1989). Introductory Functional Analysis with Application. Florida: Robert E. Krieger Publishing Company.

LeVeque, R. J., “Finite-volume methods for non-linear elasticity in heterogeneous

media,”International Journal for Numerical Methods in Fluids, 40 93, 2002.

Martins, R., dkk., “Analytical solution of the classical dam-break problem for the

gravity wave-model equations, “Journal of Hydraulic Engineering, 10.1061, 2016.

Mungkasi, S. & Wiryanto, L. H., “On the relevance of a variational iteration

method for solving the shallow water equations, “AIP Conference

Proceedings, 1707, 050010 2016.

Odibat, Z. M., “A study on the convergence of variational iteration

method,”Journal of Mathematical and Computer Modelling, 10.1016, 2009.

Prasetio, L., dkk. (1992). Mengerti Fisika. Yogyakarta: Andi Offset Yogyakarta. Setianingrum, P. S. & Mungkasi, S., “Variational iteration method used to solve

steady state problems of shallow water flows, “AIP Conference

Proceedings, 1746 020057, 2016.

Setianingrum, P. S. & Mungkasi, S., “Variational iteration method used to solve the-one dimensional acoustics equation” (akan terbit).

Shakarchi, R. & Stein, E. M. (2005). Real Analysis : Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton: Princeton University Press.

Soematri, R. (2012). Analisis I. Tangerang: Universitas Terbuka.

Sukardjono. (2008). Diktat Barisan dan Deret. Yogyakarta: FKIP USD. Timoshenko, S. P., dkk. (1984). Teori Elastisitas. Jakarta: Erlangga.

Wazwaz, A. M. (2009). Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory. New York: Springer.