1. Rata-rata Hitung - UKURAN GEJALA PUSAT2
UKURAN GEJALA PUSAT (UGP)
Pengertian:
Rata-rata (average) ialah suatu nilai yang mewakili suatu kelompok data. Nilai
ini disebut juga ukuran gejala pusat karena pada umumnya mempunyai
kecenderungan terletak di tengah-tengah dan memusat ke dalam suatu
kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai data.
Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan ialah:
1. Mayor Means terdiri dari:
¾ Rata-rata hitung (Arithmetic means)
¾ Median
Quartile
Decile
Percentile
¾ Modus
2. Minor Means, terdiri dari:
¾ Rata-rata ukur (Geometric means)
¾ Rata-rata Harmonis (Harmonic Means)
¾ Rata-rata Tertimbang
¾ Rata-rata Kuadratis
¾ Rata-rata dari Rata-rata (rata-rata gabungan)
Pengukuran nilai rata-rata dapat dilakukan dengan menggunakan data populasi
maupun data sampel, dan dari data yang belum dikelompokkan maupun yang sudah
dikelompokkan.
1. Rata-rata Hitung
9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mempunyai nilai
merata atau yang mempunyai nilai dengan sebaran nilai yang relatif kecil
9 Tidak dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari suatu DF terbuka.
9 Tidak dapat dipakai untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif.
9 Tidak dapat digunakan untuk kelompok data yang mempunyai data ekstrim.
9 Data yang digunakan adalah data yang mempunyai skala pengukuran interval atau
rasio.
9 Harganya unik atau hanya mempunyai satu nilai.
2. Rata-rata Tertimbang
Apabila dari sebuah populasi berukuran N, diukur variabel yang mempunyai tingkat
pengukuran interval/rasio dengan hasil pengukuran X1, X2, …XN. Masing-masing
hasil pengukuran mempunyai bobot B1, B2, … BN, maka rata-rata didefinisikan
sebagai rata-rata tertimbang.
3. Median
9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mempunyai nilai
ekstrim.
9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari suatu DF terbuka atau tertutup.
9 Dapat dipakai untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif.
4. Modus
Adalah suatu bilangan atau keterangan yang mempunyai frekuensi tertinggi atau
bilangan yang sering muncul.
9 Dapat digunakan untuk data yang mempunyai skala pengukuran minimal adalah
nominal.
9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang menunjukkan keadaan
yang ‘merajalela’.
Quartile
Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan
bilangan atau deretan keterangan menjadi empat bagian yang sama.
Decile
Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan
bilangan atau deretan keterangan menjadi sepuluh bagian yang sama.
Percentile
Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan
bilangan atau deretan keterangan menjadi seratus bagian yang sama.
Rara-rata Ukur
Rata-rata ukur biasanya digunakan untuk mengukur tingkat perubahan (rate of
change) atau pengrata-rataan rasio. Digunakan bila perbandingan tiap dua data
berurutan tetap atau hampir tetap. Skala pengukuran yang digunakan minimal adalah
interval
RUMUS-RUMUS UGP
A. Ungrouped Data (n ≤ 30)
1. Rata-rata Hitung
Populasi
∑ Xi
µ=
N
Sampel
∑ Xi
X=
n
Contoh :
Nilai ujian dari 5 orang mahasiswa yang diambil sebagai sampel dari sebuah populasi
adalah 80, 80, 75, 95, 100. Tentukan rata-rata nilai ujian kelima orang mahasiswa
tersebut.
80 + 80 + 75 + 95 + 100 430
x=
=
= 86
5
5
data di atas merupakan data yang belum dikelompokkan.
2. Rata-rata tertimbang
n
X=
∑X b
i i
i =1
n
∑b
b = timbangan
i
i =1
Contoh :
Seorang peneliti ingin memperoleh keterangan berapa persen pada rata-ratanya
penduduk dewasa yang buta aksara di desa A, B, C dan D. data untuk keperluan itu,
diperoleh dan disajikan pada tabel berikut:
Desa
% Buta Aksara
(Xi)
11
8
3
16
38
A
B
C
D
Jumlah Penduduk
(Bi)
3843
2100
1968
2940
10851
Xi.Bi
(%)
42273
16800
5904
47040
112017
n
X=
∑X b
i =1
n
i i
∑b
i =1
112017
=
= 10,3232%
10851
i
3. Median (Me)
Populasi :
Letak Median = ½(N + 1)
Sampel :
Letak Median = ½(n + 1)
Urutkan data dari data terkecil ke terbesar letakkan median pada urutan
½(N + 1).
Contoh:
Data: 2, 8, 17, 23, 30, 35, 36, 42
n =8
Letak Median = ½(n + 1) = ½(8 + 1) = 4,5
Besar Median = 23 + ½ (30-23)=23 + 3,5 = 26,5
4. Quartile (Qi)
Qi = i.
Letak
i = 1 s/d 3
(n + 1)
5. Decile (Di)
i = 1 s/d 9
Letak
Di = i.
4
(n + 1)
6. Percentile (Pi)
i = 1 s/d 99 Letak
Pi = i.
10
(n + 1)
100
Contoh:
Data: 2, 8, 17, 23, 30, 35, 36, 42
n =8
(
n + 1) 1. (8 + 1)
Letak Q1 = Qi = i.
= 2,25
=
4
4
Besar Q1 = 8 + ¼ (17-8) = 10,25
Letak Q3 =
Qi
(
n + 1) 3. (8 + 1)
= i.
=
= 6,75
4
4
Besar Q3 = 35 + 0,75(36-35) = 35,75
Letak D3 =
Di = i.
(n + 1) = 3 (8 + 1)
10
Besar D3 = 8 + 0,7 (17-8) = 14,3
10
= 2,7
Letak P25 =
Pi = i.
(n + 1) = 25 (8 + 1)
100
100
= 2,25
Besar P25 = 8 + 0,25 (17-8) = 10,25
7. Modus (Mo)
Bilangan yang sering terjadi (sering muncul) dalam suatu deretan bilangan data.
Contoh :
Status Perkawinan
Tidak Kawin
Kawin
Janda / duda
Cerai
Maka modus status perkawinan adalah :
Daerah
A
B
1341
906
692
2934
118
131
98
102
Daerah A adalah Tidak Kawin
Daerah B adalah Kawin
8. Rata-rata Ukur (Mg)
Mg = n X 1. X 2 ... X n
Atau
log Mg =
∑ log
Xi
n
dimana
mg = rata-rata ukur
Dari 6 buah bilangan :
12,0 23,2 48,1 95,0 200 394,2
Rata-rata ukur :
mg = 6 (12 )(23,2 )(48,1)(95)(200 )(394,2 ) =
logMg =
68,163
log(12) + ...+ log(394,2) 11,0012845
3
=
= 1,83354742
1
6
6
mg = 68,163
9. Rata-rata pertumbuhan penduduk
Pt = Po(1 + r )
t
Po
Pt
t
r
dan
r=t
Pt
−1
Po
= Kuantitas pada periode 0 (periode awal)
= Kuantitas pada periode ke t
= Periode
= Pertumbuhan
Contoh:
Catatan di suatu daerah, jumlah penduduk berdasarkan perubahan:
Tahun
1985
1986
1987
1988
1989
Pertumbuhan (%)
2
1,5
-1
1,3
-0,2
Pertanyaan :
Berdasarkan data di atas, berapa perkiraan jumlah penduduk tahun 1990 bila pada
tahun 1985 terdapat satu juta orang?
Jawab :
mg = 5 (1,02)(1,015)(0,99)(1,013)(0,998) = 1,007
atau 0,7%
maka, dik:
Po
= 1.000.000
r
= 0,007
t
=5
Pt = Po(1 + r ) = 1000000(1 + 0,007 )
t
atau 1.035.493 orang
5
=1.035.493,4
10. Rata-rata Gabungan
n
χ gab =
∑n x
i =1
n
i i
∑n
i =1
i
Contoh:
Sebuah sampel yang berukuran 200 telah dibagi menjadi 3 bagian:
Bagian I terdiri dari 60 objek : rata-ratanya 40,8
Bagian II terdiri dari 105 objek : rata-ratanya 36,7
Bagian III terdiri dari 35 objek : rata-ratanya 29,9
Tentukan rata-rata gabungan dari 3 bagian di atas
Dik:
x = 40,8
n1 = 60
n2 = 105
x = 36,7
n3= 35
x = 29,9
n
χgab
∑n x (60x40,8) +(105x36,7) +(35x29,9)
=
=
= 30,63
60+105+35
n
∑
i=1
n
i=1
i i
i
11. Rata-rata Harmonis
H=
n
⎛ 1
Σ⎜⎜
⎝ Xi
⎞
⎟⎟
⎠
Contoh (Lihat Buku Sudjana “Metoda Statistika” hal 75)
B Grouped Data (n > 30 data dalam DF)
1. Rata-rata Hitung
n
∑fX
X=
∑f
i
i =1
Cara panjang
i
dengan Xi = nilai tengah kelas.
i
n
X = X0
Cara Pendek
∑fu
+
∑f
i i
i =1
Ci
i
Digunakan untuk mempermudah perhitungan. Caranya:
¾ Membuat transformasi di salah satu kelas = 0. Dengan cara:
ui =
Bisa diambil pada nilai frekuensi yang terbesar. Atau
¾ Ci adalah interval kelas
¾ X0 adalah titik tengah kelas dimana ui = 0
Contoh :
Nilai Ujian
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
Xi
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
fi
5
8
15
37
25
10
100
fi.Xi
172,5
356,0
817,5
2386,5
1862,5
845,0
6440,0
n
∑f X
X=
∑f
i =1
Cara Panjang :
i
i
i
=
6440
= 64,40
100
Xi − X0
Ci
Nilai Ujian
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
Xi
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
fi
5
8
15
37
25
10
100
ui
-3
-2
-1
0
1
2
ui.fi
-15
-16
-15
0
25
20
-1
Cara Pendek
n
X = X0
∑f u
−1
+
C = 64,5 + .10= 64,5 − 0,1= 64,4
100
∑f
i=1
i i
i
i
2. Median
Letak Me = ½ n menunjukkan kelas median
i N −F
Me = Li + 2
Ci
f
L
= Tepi batas bawah kelas Median
N
= Jumlah Data
C
= Panjang Kelas Me
F
= Jumlah Frekuensi sebelum frekuensi kelas median
f
= Frekuensi kelas Me
Contoh :
Nilai ujian untuk 100 orang mahasiswa statistika adalah :
Nilai Ujian
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
Xi
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
fi
5
8
15
37
25
10
100
f kumulatif
5
13
28
65
90
100
Letak kelas Me adalah = 100/2 = 50 ada pada kelas ke-4 (60-69)
i N −F
50 − 28
Me = Li + 2
Ci = 59,5 +
.10 = 65.44595
f
37
3. Quartile
i N −F
Qi = LQi + 4
CiQi
f Qi
4. Decile
i
Di = LDi + 10
N −F
f Di
CiDi
5. Percentile
N −F
100
Pi = LPi +
CiPi
f Pi
i
Contoh untuk Q, D dan P (dari contoh Me):
Kuartil Pertama (Q1) :
Letak kelas Q1 adalah = 100/4 = 25 ada pada kelas ke-3 (50-59)
1 N −F
25 − 13
Q1 = LQ1 + 4
.10 = 57,5
C1Q1 = 49,5 +
15
f Q1
Desil keenam (D6) :
Letak kelas D6 adalah = 100(6/10)= 60
ada pada kelas ke-4 (60-69)
6
D6 = LD 6 + 10
N−F
f D6
CD 6 = 69,5 +
60 − 28
.10 = 68,14865
37
Persentil 10 (P10) :
Letak kelas P10 adalah = 100(10/100)= 10 ada pada kelas ke-2 (40-49)
6. Modus
P10 = L p10 +
10
N −F
10 − 5
100
.10 = 45,75
C p10 = 39,5 +
8
f p10
b1
C
Mo = Li +
b1 + b2
L
= Tepi batas bawah kelas modus. Kelas
modus adalah kelas dengan frekuensi
terbanyak
C
= Panjang kelas/interval kelas
b1
= beda frekuensi kelas modus dengan
frekuensi sebelumnya
b2
= beda frekuensi kelas modus dengan
frekuensi sesudahnya
Contoh :
Data berikut adalah nilai ujian statistika dari 100 orang mahasiswa
Nilai Ujian
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
fi
5
8
15
37
25
10
100
Xi
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
fi.Xi
172,5
356,0
817,5
2386,5
1862,5
845,0
6440
Modus dari nilai ujian ke 100 orang mahasiswa tersebut adalah:
Mo = Li +
(37 − 15)
b1
C = 59,5 +
.10 = 65,97
(37 − 15) + (37 − 25)
b1 + b2
7. Rata-rata ukur
Mg = X 1 . X 2 ... X n
n
f1
f2
Nilai Ujian
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
f
∑
log Mg =
mg = 63,02
Xi
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
i
fn
atau
fi
log X i
Σf i
5
8
15
37
25
10
100
log Mg =
∑f
log Xi
1,537819
1,64836
1,736397
1,80956
1,872156
1,926857
i
log X i
Σf i
fi log Xi
7,689095
13,18688
26,04595
66,95371
46,80391
19,26857
179,9481
179,9481
=
= 1,799481
100
8. Rata-rata Harmonis
H=
Σf i
⎛ fi
Σ⎜⎜
⎝ Xi
⎞
⎟⎟
⎠
Contoh (Lihat Buku Sudjana “Metoda Statistika” hal 76)
Soal Satu
Pengawas kualitas di perusahaan industri batere memilih 21 buah batere secara acak
guna diuji daya tahannya. Hasil pengujian tersebut dinyatakan dalam jam sebagai
berikut:
158 242 127 184 213 135 140 220 193 131
281 242 242 281 192 200 130 111 160 217 217
Pertanyaan:
a. Carilah rata-rata hitung, median, modus dari daya tahan batere tersebut.
b. Kesimpulan apakah yang bisa saudara tarik dari ketiga rata-rata tersebut.
Soal Dua
Umur
Banyaknya Mahasiswa
18-20
50
21-25
750
26-30
100
jumlah
900
Hitung rata-rata hitungnya dengan metoda UGP yang paling tepat.
Soal Tiga
Suatu penelitian dilakukan terhadap 100 peti barang dalam rangka meneliti barang
rusak dalam tiap peti.
Didapat data sebagai berikut:
Tabel XX
Barang yang Rusak
Banyaknya barang rusak
Banyaknya peti
Dalam tiap peti
Kurang dari 4
20
5–9
39
10 – 14
23
15 – 19
11
20 – 24
7
Sumber: Fiktif
Pertanyaan:
a.
b.
Berapa rata-rata banyaknya barang rusak dalam tiap peti (gunakan metoda UGP
yang paling tepat)
Jika dinyatakan, setiap peti diijinkan keluar gudang jika hanya berisi barang rusak
paling banyak 12 barang, berapa jumlah peti yang memenuhi syarat tersebut?
Soal Empat
PT. ABCDEF melaksanakan penarikan pegawai baru sebanyak 50 orang. Suatu tes
mata pelajaran Matematik telah dilaksanakan dan didapat hasil sebagai berikut:
Nilai
Jumlah
52-58
3
59-65
7
66-72
9
73-79
18
80-86
7
87-93
6
Untuk diterima sebagai pegawai ditentukan nilai tes matematik tertinggi paling sedikit
66. Berapa orang calon pegawai yang dapat diterima dan berapa yang tidak dapat
diterima.
Soal Lima
Jumlah uang saku yang diterima sekelompok pelajar perbulannnya, tersaji
dalam distribusi frekuensi berikut :
(dalam ribuan Rupiah)
Besarnya uang
Jumlah mahasiswa
saku
< 30
8
30 – 39
15
40 – 49
22
50 – 59
25
60 – 69
15
70 – 79
10
> 79
5
TOTAL
100
a) Berapa rata-rata uang saku yang diberikan oleh para orang tua mereka
dalam setiap bulannya ?
b) Bila ditetapkan 15% dari kelompok pelajar tersebut dianggap kurang
mampu dan akan mendapat beasiswa dari POMA, maka tentukanlah
batas maksimal uang saku perbulan yang diterima kelompok tersebut
agar berhak menerima beasiswa itu.
c) Selanjutnya Poma sepakat memungut sumbangan untuk membantu
pendirian Lab Komputer dari 25% kelompok pelajar yang dianggap lebih
mampu. Berapakah jumlah minimal uang saku yang diterima oleh mereka
yang termasuk dalam kelompok orang tuanya lebih mampu? Berapakah
rata-rata uang saku yang sebagian besar diterima oleh kelompok pelajar
tersebut di atas?
Soal Enam
Berikut ini data mengenai nilai ekspor Indonesia tahun 1981 s/d 1986 pada
sektor industri yang didapatkan dari BPS dalam jutaan US.
Tahun
Nilai Eks
1981
2.598
1982
2.800
1983
3.141,4
1984
3.896,5
1985
4.164,8
1986
4.419,3
A. Hitunglah rata-rata nilai ekspor Indonesia tiap tahunnya pada periode
1983 – 1986
B. Berapa rata-rata tingkat pertambahan ekspor Indonesia tiap tahunnya
menurut data di atas.
C. Bila rata-rata tingkat pertambahan dianggap tetap, dalam berapa
tahunkah nilai ekspor berjumlah dua kali lipat dari nilai ekspor tahun
1981.
Distribusi Frekuensi untuk Interval Kelas Berbeda:
Untuk menggunakan formulasi kodding u, digunakan formulasi :
ui =
Xi − X0
I
dimana :
XI
: titik tengah kelas interval ke-i
X0
: titik tengah kelas interval dimana uI dihargakan nol.
I
: panjang kelas interval yang dibuat standar
Contoh:
Nilai Ujian
fi
Xi
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
5
8
15
37
25
10
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
ui =
X i − 64,5
10
-3
-2
-1
0
1
2
fi ui
-15
-16
-15
0
25
20
34,5 − 64,5
= −3
10
44,5 − 64,5
=
= −2
10
54,5 − 64,5
=
= −1
10
84,5 − 64,5
=
=2
10
ui =
Contoh lainnya :
Dengan menggunakan I = 25 dan dan X0 = 174,5
Kelas
100
125
150
200
300
fi
-124
-149
-199
-299
-324
Xi
15
20
35
18
12
100
ui =
112
137
174,5
249,5
312
X i − 174 ,5
25
-2,5
-1,5
0
3
5,5
fi ui
Ci
-37,5
-30
0
54
66
52,5
25
25
50
100
25
n
∑f u
52,5
X=X +
.25=174,5+13,125
C =174,5 +
100
f
∑
i=1
i i
0
i
i
=187,625
Dengan menggunakan I = 50 dan X0 = 174,5
Kelas
100
125
150
200
300
fi
-124
-149
-199
-299
-324
Xi
15
20
35
18
12
100
112
137
174,5
249,5
312
ui =
X i − 174 ,5
50
-1,25
-0,75
0
1,5
2,75
fi ui
-18,75
-15
0
27
33
26,25
Ci
25
25
50
100
25
n
∑f u
26,25
X =X +
C =174,5+
.50=174,5+13,125
100
∑f
i=1
i i
0
i
i
=187,625
Pengertian:
Rata-rata (average) ialah suatu nilai yang mewakili suatu kelompok data. Nilai
ini disebut juga ukuran gejala pusat karena pada umumnya mempunyai
kecenderungan terletak di tengah-tengah dan memusat ke dalam suatu
kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai data.
Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan ialah:
1. Mayor Means terdiri dari:
¾ Rata-rata hitung (Arithmetic means)
¾ Median
Quartile
Decile
Percentile
¾ Modus
2. Minor Means, terdiri dari:
¾ Rata-rata ukur (Geometric means)
¾ Rata-rata Harmonis (Harmonic Means)
¾ Rata-rata Tertimbang
¾ Rata-rata Kuadratis
¾ Rata-rata dari Rata-rata (rata-rata gabungan)
Pengukuran nilai rata-rata dapat dilakukan dengan menggunakan data populasi
maupun data sampel, dan dari data yang belum dikelompokkan maupun yang sudah
dikelompokkan.
1. Rata-rata Hitung
9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mempunyai nilai
merata atau yang mempunyai nilai dengan sebaran nilai yang relatif kecil
9 Tidak dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari suatu DF terbuka.
9 Tidak dapat dipakai untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif.
9 Tidak dapat digunakan untuk kelompok data yang mempunyai data ekstrim.
9 Data yang digunakan adalah data yang mempunyai skala pengukuran interval atau
rasio.
9 Harganya unik atau hanya mempunyai satu nilai.
2. Rata-rata Tertimbang
Apabila dari sebuah populasi berukuran N, diukur variabel yang mempunyai tingkat
pengukuran interval/rasio dengan hasil pengukuran X1, X2, …XN. Masing-masing
hasil pengukuran mempunyai bobot B1, B2, … BN, maka rata-rata didefinisikan
sebagai rata-rata tertimbang.
3. Median
9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mempunyai nilai
ekstrim.
9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari suatu DF terbuka atau tertutup.
9 Dapat dipakai untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif.
4. Modus
Adalah suatu bilangan atau keterangan yang mempunyai frekuensi tertinggi atau
bilangan yang sering muncul.
9 Dapat digunakan untuk data yang mempunyai skala pengukuran minimal adalah
nominal.
9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang menunjukkan keadaan
yang ‘merajalela’.
Quartile
Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan
bilangan atau deretan keterangan menjadi empat bagian yang sama.
Decile
Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan
bilangan atau deretan keterangan menjadi sepuluh bagian yang sama.
Percentile
Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan
bilangan atau deretan keterangan menjadi seratus bagian yang sama.
Rara-rata Ukur
Rata-rata ukur biasanya digunakan untuk mengukur tingkat perubahan (rate of
change) atau pengrata-rataan rasio. Digunakan bila perbandingan tiap dua data
berurutan tetap atau hampir tetap. Skala pengukuran yang digunakan minimal adalah
interval
RUMUS-RUMUS UGP
A. Ungrouped Data (n ≤ 30)
1. Rata-rata Hitung
Populasi
∑ Xi
µ=
N
Sampel
∑ Xi
X=
n
Contoh :
Nilai ujian dari 5 orang mahasiswa yang diambil sebagai sampel dari sebuah populasi
adalah 80, 80, 75, 95, 100. Tentukan rata-rata nilai ujian kelima orang mahasiswa
tersebut.
80 + 80 + 75 + 95 + 100 430
x=
=
= 86
5
5
data di atas merupakan data yang belum dikelompokkan.
2. Rata-rata tertimbang
n
X=
∑X b
i i
i =1
n
∑b
b = timbangan
i
i =1
Contoh :
Seorang peneliti ingin memperoleh keterangan berapa persen pada rata-ratanya
penduduk dewasa yang buta aksara di desa A, B, C dan D. data untuk keperluan itu,
diperoleh dan disajikan pada tabel berikut:
Desa
% Buta Aksara
(Xi)
11
8
3
16
38
A
B
C
D
Jumlah Penduduk
(Bi)
3843
2100
1968
2940
10851
Xi.Bi
(%)
42273
16800
5904
47040
112017
n
X=
∑X b
i =1
n
i i
∑b
i =1
112017
=
= 10,3232%
10851
i
3. Median (Me)
Populasi :
Letak Median = ½(N + 1)
Sampel :
Letak Median = ½(n + 1)
Urutkan data dari data terkecil ke terbesar letakkan median pada urutan
½(N + 1).
Contoh:
Data: 2, 8, 17, 23, 30, 35, 36, 42
n =8
Letak Median = ½(n + 1) = ½(8 + 1) = 4,5
Besar Median = 23 + ½ (30-23)=23 + 3,5 = 26,5
4. Quartile (Qi)
Qi = i.
Letak
i = 1 s/d 3
(n + 1)
5. Decile (Di)
i = 1 s/d 9
Letak
Di = i.
4
(n + 1)
6. Percentile (Pi)
i = 1 s/d 99 Letak
Pi = i.
10
(n + 1)
100
Contoh:
Data: 2, 8, 17, 23, 30, 35, 36, 42
n =8
(
n + 1) 1. (8 + 1)
Letak Q1 = Qi = i.
= 2,25
=
4
4
Besar Q1 = 8 + ¼ (17-8) = 10,25
Letak Q3 =
Qi
(
n + 1) 3. (8 + 1)
= i.
=
= 6,75
4
4
Besar Q3 = 35 + 0,75(36-35) = 35,75
Letak D3 =
Di = i.
(n + 1) = 3 (8 + 1)
10
Besar D3 = 8 + 0,7 (17-8) = 14,3
10
= 2,7
Letak P25 =
Pi = i.
(n + 1) = 25 (8 + 1)
100
100
= 2,25
Besar P25 = 8 + 0,25 (17-8) = 10,25
7. Modus (Mo)
Bilangan yang sering terjadi (sering muncul) dalam suatu deretan bilangan data.
Contoh :
Status Perkawinan
Tidak Kawin
Kawin
Janda / duda
Cerai
Maka modus status perkawinan adalah :
Daerah
A
B
1341
906
692
2934
118
131
98
102
Daerah A adalah Tidak Kawin
Daerah B adalah Kawin
8. Rata-rata Ukur (Mg)
Mg = n X 1. X 2 ... X n
Atau
log Mg =
∑ log
Xi
n
dimana
mg = rata-rata ukur
Dari 6 buah bilangan :
12,0 23,2 48,1 95,0 200 394,2
Rata-rata ukur :
mg = 6 (12 )(23,2 )(48,1)(95)(200 )(394,2 ) =
logMg =
68,163
log(12) + ...+ log(394,2) 11,0012845
3
=
= 1,83354742
1
6
6
mg = 68,163
9. Rata-rata pertumbuhan penduduk
Pt = Po(1 + r )
t
Po
Pt
t
r
dan
r=t
Pt
−1
Po
= Kuantitas pada periode 0 (periode awal)
= Kuantitas pada periode ke t
= Periode
= Pertumbuhan
Contoh:
Catatan di suatu daerah, jumlah penduduk berdasarkan perubahan:
Tahun
1985
1986
1987
1988
1989
Pertumbuhan (%)
2
1,5
-1
1,3
-0,2
Pertanyaan :
Berdasarkan data di atas, berapa perkiraan jumlah penduduk tahun 1990 bila pada
tahun 1985 terdapat satu juta orang?
Jawab :
mg = 5 (1,02)(1,015)(0,99)(1,013)(0,998) = 1,007
atau 0,7%
maka, dik:
Po
= 1.000.000
r
= 0,007
t
=5
Pt = Po(1 + r ) = 1000000(1 + 0,007 )
t
atau 1.035.493 orang
5
=1.035.493,4
10. Rata-rata Gabungan
n
χ gab =
∑n x
i =1
n
i i
∑n
i =1
i
Contoh:
Sebuah sampel yang berukuran 200 telah dibagi menjadi 3 bagian:
Bagian I terdiri dari 60 objek : rata-ratanya 40,8
Bagian II terdiri dari 105 objek : rata-ratanya 36,7
Bagian III terdiri dari 35 objek : rata-ratanya 29,9
Tentukan rata-rata gabungan dari 3 bagian di atas
Dik:
x = 40,8
n1 = 60
n2 = 105
x = 36,7
n3= 35
x = 29,9
n
χgab
∑n x (60x40,8) +(105x36,7) +(35x29,9)
=
=
= 30,63
60+105+35
n
∑
i=1
n
i=1
i i
i
11. Rata-rata Harmonis
H=
n
⎛ 1
Σ⎜⎜
⎝ Xi
⎞
⎟⎟
⎠
Contoh (Lihat Buku Sudjana “Metoda Statistika” hal 75)
B Grouped Data (n > 30 data dalam DF)
1. Rata-rata Hitung
n
∑fX
X=
∑f
i
i =1
Cara panjang
i
dengan Xi = nilai tengah kelas.
i
n
X = X0
Cara Pendek
∑fu
+
∑f
i i
i =1
Ci
i
Digunakan untuk mempermudah perhitungan. Caranya:
¾ Membuat transformasi di salah satu kelas = 0. Dengan cara:
ui =
Bisa diambil pada nilai frekuensi yang terbesar. Atau
¾ Ci adalah interval kelas
¾ X0 adalah titik tengah kelas dimana ui = 0
Contoh :
Nilai Ujian
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
Xi
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
fi
5
8
15
37
25
10
100
fi.Xi
172,5
356,0
817,5
2386,5
1862,5
845,0
6440,0
n
∑f X
X=
∑f
i =1
Cara Panjang :
i
i
i
=
6440
= 64,40
100
Xi − X0
Ci
Nilai Ujian
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
Xi
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
fi
5
8
15
37
25
10
100
ui
-3
-2
-1
0
1
2
ui.fi
-15
-16
-15
0
25
20
-1
Cara Pendek
n
X = X0
∑f u
−1
+
C = 64,5 + .10= 64,5 − 0,1= 64,4
100
∑f
i=1
i i
i
i
2. Median
Letak Me = ½ n menunjukkan kelas median
i N −F
Me = Li + 2
Ci
f
L
= Tepi batas bawah kelas Median
N
= Jumlah Data
C
= Panjang Kelas Me
F
= Jumlah Frekuensi sebelum frekuensi kelas median
f
= Frekuensi kelas Me
Contoh :
Nilai ujian untuk 100 orang mahasiswa statistika adalah :
Nilai Ujian
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
Xi
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
fi
5
8
15
37
25
10
100
f kumulatif
5
13
28
65
90
100
Letak kelas Me adalah = 100/2 = 50 ada pada kelas ke-4 (60-69)
i N −F
50 − 28
Me = Li + 2
Ci = 59,5 +
.10 = 65.44595
f
37
3. Quartile
i N −F
Qi = LQi + 4
CiQi
f Qi
4. Decile
i
Di = LDi + 10
N −F
f Di
CiDi
5. Percentile
N −F
100
Pi = LPi +
CiPi
f Pi
i
Contoh untuk Q, D dan P (dari contoh Me):
Kuartil Pertama (Q1) :
Letak kelas Q1 adalah = 100/4 = 25 ada pada kelas ke-3 (50-59)
1 N −F
25 − 13
Q1 = LQ1 + 4
.10 = 57,5
C1Q1 = 49,5 +
15
f Q1
Desil keenam (D6) :
Letak kelas D6 adalah = 100(6/10)= 60
ada pada kelas ke-4 (60-69)
6
D6 = LD 6 + 10
N−F
f D6
CD 6 = 69,5 +
60 − 28
.10 = 68,14865
37
Persentil 10 (P10) :
Letak kelas P10 adalah = 100(10/100)= 10 ada pada kelas ke-2 (40-49)
6. Modus
P10 = L p10 +
10
N −F
10 − 5
100
.10 = 45,75
C p10 = 39,5 +
8
f p10
b1
C
Mo = Li +
b1 + b2
L
= Tepi batas bawah kelas modus. Kelas
modus adalah kelas dengan frekuensi
terbanyak
C
= Panjang kelas/interval kelas
b1
= beda frekuensi kelas modus dengan
frekuensi sebelumnya
b2
= beda frekuensi kelas modus dengan
frekuensi sesudahnya
Contoh :
Data berikut adalah nilai ujian statistika dari 100 orang mahasiswa
Nilai Ujian
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
fi
5
8
15
37
25
10
100
Xi
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
fi.Xi
172,5
356,0
817,5
2386,5
1862,5
845,0
6440
Modus dari nilai ujian ke 100 orang mahasiswa tersebut adalah:
Mo = Li +
(37 − 15)
b1
C = 59,5 +
.10 = 65,97
(37 − 15) + (37 − 25)
b1 + b2
7. Rata-rata ukur
Mg = X 1 . X 2 ... X n
n
f1
f2
Nilai Ujian
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
f
∑
log Mg =
mg = 63,02
Xi
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
i
fn
atau
fi
log X i
Σf i
5
8
15
37
25
10
100
log Mg =
∑f
log Xi
1,537819
1,64836
1,736397
1,80956
1,872156
1,926857
i
log X i
Σf i
fi log Xi
7,689095
13,18688
26,04595
66,95371
46,80391
19,26857
179,9481
179,9481
=
= 1,799481
100
8. Rata-rata Harmonis
H=
Σf i
⎛ fi
Σ⎜⎜
⎝ Xi
⎞
⎟⎟
⎠
Contoh (Lihat Buku Sudjana “Metoda Statistika” hal 76)
Soal Satu
Pengawas kualitas di perusahaan industri batere memilih 21 buah batere secara acak
guna diuji daya tahannya. Hasil pengujian tersebut dinyatakan dalam jam sebagai
berikut:
158 242 127 184 213 135 140 220 193 131
281 242 242 281 192 200 130 111 160 217 217
Pertanyaan:
a. Carilah rata-rata hitung, median, modus dari daya tahan batere tersebut.
b. Kesimpulan apakah yang bisa saudara tarik dari ketiga rata-rata tersebut.
Soal Dua
Umur
Banyaknya Mahasiswa
18-20
50
21-25
750
26-30
100
jumlah
900
Hitung rata-rata hitungnya dengan metoda UGP yang paling tepat.
Soal Tiga
Suatu penelitian dilakukan terhadap 100 peti barang dalam rangka meneliti barang
rusak dalam tiap peti.
Didapat data sebagai berikut:
Tabel XX
Barang yang Rusak
Banyaknya barang rusak
Banyaknya peti
Dalam tiap peti
Kurang dari 4
20
5–9
39
10 – 14
23
15 – 19
11
20 – 24
7
Sumber: Fiktif
Pertanyaan:
a.
b.
Berapa rata-rata banyaknya barang rusak dalam tiap peti (gunakan metoda UGP
yang paling tepat)
Jika dinyatakan, setiap peti diijinkan keluar gudang jika hanya berisi barang rusak
paling banyak 12 barang, berapa jumlah peti yang memenuhi syarat tersebut?
Soal Empat
PT. ABCDEF melaksanakan penarikan pegawai baru sebanyak 50 orang. Suatu tes
mata pelajaran Matematik telah dilaksanakan dan didapat hasil sebagai berikut:
Nilai
Jumlah
52-58
3
59-65
7
66-72
9
73-79
18
80-86
7
87-93
6
Untuk diterima sebagai pegawai ditentukan nilai tes matematik tertinggi paling sedikit
66. Berapa orang calon pegawai yang dapat diterima dan berapa yang tidak dapat
diterima.
Soal Lima
Jumlah uang saku yang diterima sekelompok pelajar perbulannnya, tersaji
dalam distribusi frekuensi berikut :
(dalam ribuan Rupiah)
Besarnya uang
Jumlah mahasiswa
saku
< 30
8
30 – 39
15
40 – 49
22
50 – 59
25
60 – 69
15
70 – 79
10
> 79
5
TOTAL
100
a) Berapa rata-rata uang saku yang diberikan oleh para orang tua mereka
dalam setiap bulannya ?
b) Bila ditetapkan 15% dari kelompok pelajar tersebut dianggap kurang
mampu dan akan mendapat beasiswa dari POMA, maka tentukanlah
batas maksimal uang saku perbulan yang diterima kelompok tersebut
agar berhak menerima beasiswa itu.
c) Selanjutnya Poma sepakat memungut sumbangan untuk membantu
pendirian Lab Komputer dari 25% kelompok pelajar yang dianggap lebih
mampu. Berapakah jumlah minimal uang saku yang diterima oleh mereka
yang termasuk dalam kelompok orang tuanya lebih mampu? Berapakah
rata-rata uang saku yang sebagian besar diterima oleh kelompok pelajar
tersebut di atas?
Soal Enam
Berikut ini data mengenai nilai ekspor Indonesia tahun 1981 s/d 1986 pada
sektor industri yang didapatkan dari BPS dalam jutaan US.
Tahun
Nilai Eks
1981
2.598
1982
2.800
1983
3.141,4
1984
3.896,5
1985
4.164,8
1986
4.419,3
A. Hitunglah rata-rata nilai ekspor Indonesia tiap tahunnya pada periode
1983 – 1986
B. Berapa rata-rata tingkat pertambahan ekspor Indonesia tiap tahunnya
menurut data di atas.
C. Bila rata-rata tingkat pertambahan dianggap tetap, dalam berapa
tahunkah nilai ekspor berjumlah dua kali lipat dari nilai ekspor tahun
1981.
Distribusi Frekuensi untuk Interval Kelas Berbeda:
Untuk menggunakan formulasi kodding u, digunakan formulasi :
ui =
Xi − X0
I
dimana :
XI
: titik tengah kelas interval ke-i
X0
: titik tengah kelas interval dimana uI dihargakan nol.
I
: panjang kelas interval yang dibuat standar
Contoh:
Nilai Ujian
fi
Xi
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
5
8
15
37
25
10
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
ui =
X i − 64,5
10
-3
-2
-1
0
1
2
fi ui
-15
-16
-15
0
25
20
34,5 − 64,5
= −3
10
44,5 − 64,5
=
= −2
10
54,5 − 64,5
=
= −1
10
84,5 − 64,5
=
=2
10
ui =
Contoh lainnya :
Dengan menggunakan I = 25 dan dan X0 = 174,5
Kelas
100
125
150
200
300
fi
-124
-149
-199
-299
-324
Xi
15
20
35
18
12
100
ui =
112
137
174,5
249,5
312
X i − 174 ,5
25
-2,5
-1,5
0
3
5,5
fi ui
Ci
-37,5
-30
0
54
66
52,5
25
25
50
100
25
n
∑f u
52,5
X=X +
.25=174,5+13,125
C =174,5 +
100
f
∑
i=1
i i
0
i
i
=187,625
Dengan menggunakan I = 50 dan X0 = 174,5
Kelas
100
125
150
200
300
fi
-124
-149
-199
-299
-324
Xi
15
20
35
18
12
100
112
137
174,5
249,5
312
ui =
X i − 174 ,5
50
-1,25
-0,75
0
1,5
2,75
fi ui
-18,75
-15
0
27
33
26,25
Ci
25
25
50
100
25
n
∑f u
26,25
X =X +
C =174,5+
.50=174,5+13,125
100
∑f
i=1
i i
0
i
i
=187,625