DIFRAKSI CAHAYA MELALUI CELAH PRINSIP HUYGENS-FRESNEL

  Difraksi adalah deviasi dari perambatan cahaya atau • pembelokan arah rambat cahaya.

  Efek difraksi adalah karakteristik dari fenomena • gelombang, apakah bunyi, atau cahaya dimana muka- muka gelombangnya dibelokkan.

E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002

DIFRAKSI CAHAYA MELALUI CELAH PRINSIP HUYGENS-FRESNEL

E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002

• Prinsip Huygens-Fresnel : setiap titik dari muka-muka gelombang yang tidak terganggu, pada saat tertentu bertindak sebagai sumber muka-muka gelombang speris kedua (frekuensinya sama dengan sumber primer). Amplitudo medan optik (listrik/magnet) di suatu titik merupakan superposisi dari muka-muka gelombang speris tadi.
• Jika panjang gelombang ( ) lebih

  λ

  besar dibandingkan dengan lebar celah (d), maka gelombang akan disebar keluar dengan sudut yang cukup besar.

• Dalam beberapa kasus klasik, fenomena interferensi dan difraksi sulit dibedakan.

E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002

DIFRAKSI CELAH TUNGGAL (SINGLE SLIT)

E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002

SUSUNAN LINIER DARI SUMBER OSILATOR YANG KOHEREN

• Setiap sumber titik memancarkan medan listrik (radiasi) yang memiliki jarak r terhadap titik amat/observasi ; titik P.
• Masing-masing sumber memancarkan medan listrik yang sama :

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E r E r E r E r E r

  = = = =

  1

  2

  3 N

• Maka medan listrik di titik P merupakan penjumlahan medan-medan yang dipancarkan setiap sumber osilator

  ( ) ( ) ( ) i kr t i kr t i kr t ₁ − ω − ω − ω _{2 3}

  ( ) ( ) ( ) E E r e E r e E r e

  = + + ( ) i kr t _N − ω

  ... ( ) E r e

  ( ) ( ) ( ) ] ...

  ) 1 [ ( ^{1 1 3 1}

²

¹ r r ik r r ik r r ik ikr t i _N

  E e e e e e r E − − − −

  ω ( ) ( ) ( )

• =

  θ θ θ

  ) sin 1 ( ..... sin

  2 sin

  1

  1

  3

  1

  2 N d r r d r r d r r

  N − = − = −

  = −

• Maka beda fasa antara sumber-sumber yang berurutan adalah :

  θ δ θ δ sin sin kd knd k

  = = Λ = Di dalam medium dengan indeks bias n

  ( ) ( ) ( ) ( )

  δ δ δ

  1 ...

  2

  1

  1

  3

  1

  2 − = − = −

  = − N r r k r r k r r k

  N Di udara (n = 1)

• Maka medan listrik di titik P :

  2

  1 i t i i i N

  − −

  ω δ δ δ

  1 ( )

  ( ) [ 1 ... ] E E r e e e e e

  =

• ikr

  i N δ

  1 e

  − ( ) i _{iN iN / 2 iN / 2 iN / 2} δ

  δ δ δ − δ

  1 e

  − ( )

  1

  e e e e − −

  ( ) _{i i /} = _{2 i / 2 i / 2} −

  δ δ δ δ

  1

  e e e e − − _{iN / 2 iN /} ( ) _{2 i / 2}

  − δ δ δ

  sin / 2 sin /

  2

  e N e e N δ

  δ ( ) ( )

  = = _{i / 2} δ

  sin / 2 sin /

  2

  e

δ δ

  ( ) ( )

    sin /

  2 N _{i N 1 / 2} δ

  − δ ( ) e

  =

    sin /

  2

  δ

   

    sin /

  2 N

  1 / 2 ] δ i t i kr N

  − − δ ω _{1 ( )}

• [

  ( ) E E r e e

  =   sin /

  2 δ

   

• − =

  ( ) ( ) ( ) ( )

  I P P = = =

  I EE E

  I N E

  δ δ N

  2 δ δ

  2

  2

  2

  2

  2

  1 ~

  2 / sin 2 / sin 2 / sin 2 / sin

  Intensitas /rapat fluks di titik P :

  N r d R t kR i

  N E e r E maka

  θ ω

  1 ₁ δ δ

  2

  1

  :

sin

  − 2 / sin 2 / sin

    =

  ( )    

  ( ) ( )

  Jika didefinisikan R adalah jarak dari titik pusat sumbu ke titik P adalah :

• 2

  I adalah rapat fluks/intensitas dari berbagai sumber di titik P

  ( ) ( ) 2 / sin 2 / sin

  δ

  δ δ δ δ δ

  I I

  I I P = = =

  Intensitas di titik P sebagai fungsi dari sudut

  θ

  (

  = kd sin

  2

  θ

  )

  

( )

( ) ] sin [ 2 / sin

  ] sin [ 2 / sin

  2

  2 θ θ kd N kd

  2 δ

  2

  2

  P

  2 δ δ

  N

  I I P =

  Untuk N = 0 (tak ada sumber) → I

  P

  = 0 N = 1 (satu sumber) → I

  = I N = 2

  2

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  2 / cos

  4 2 / sin 2 / cos

  2 / sin

  4 2 / sin sin

  2

  2

  I I P =

• Bagian yang mengalami fluktuasi akibat difraksi adalah

  2 2 -1

  sin [N(kd/2)sin ] yang dimodulasi oleh sin [(kd/2)sin ] ,

  θ θ karena bagian terakhir ini berubah sangat lambat/kecil.

  2 sin /

2 N

  δ ( )

  I I =

  P

  2 sin /

  2 δ

  ( )

• Puncak maksimum terjadi jika :
₂

  sin /

2 N

  δ ² ( )

  ⇒

  2 N m ₂ = δ = π sin /

  2 δ

  ( ) sin

  2 kd m

  = θ π _m

  2 π sin

  2 d m

  θ = π Sistem akan memancarkan _m λ

  radiasi maksimum dalam arah

  sin d m

  = θ λ _{m 2} tegak lurus terhadap susunan antena/celah (array), yaitu pada

  I N

  I _maks =

  m = 0 ( =0 dan )

  θ π

• Jika sudut

  θ

  bertambah, maka

  δ

  = kd sin

  θ

  bertambah dan akan mencapai minimum sampai 0 pada N

  δ

  /2 =

  π .

• Jika lebar celah d >

  λ

  , maka hanya ada satu nilai maksimum (m = 0 atau orde ke-nol)

  Penerapan sistem radiasi antena

• Jika kita memiliki sistem beberapa antena (array), dimana masing- masing memancarkan radiasi, maka perbedaan fasa :

  kd =

• sin

  δ θ ε

  = pergeseran fasa antar sumber

  ε

  radiasi maksimum terjadi pada :

  ⇒ sin / sin

  2 d m k kd m

  = − = = θ λ ε δ θ π m m

  maka puncak radiasi maksimum dapat diatur dengan nilai

  ε Catatatan antena parabola hanya memancarkan

  :

  /memantulkan radiasi dalam arah lurus dan pola radiasinya tidak simetris di sekitar sumbunya. y D/2 y

  ∆

  r

  i P

  R z x

• D/2 Gambar diatas melukiskan sumber osilasi ideal (sumber kedua dari Prinsip Huygens-Fresnel untuk celah sempit yang panjang, dimana lebar celah jauh lebih kecil dari panjang gelombang, disinari oleh gelombang bidang) .
• Masing-masing titik memancarkan gelombang (

  ω ε sin

  ∆

  E i i i i

  D N y kr t r

    =

     

    ∆ −

  ( )    

  y :

  = kekuatan sumber (source strength)

  wavelets

  ε

  ε sin

    = ω

     

  E −

  ( ) kr t r

  ) speris :

• Gelombang yang dipancarkan oleh tiap elemen
• Jika jumlah elemen (N) mendekati tak hingga, dan jika output total harus berhingga, maka jumlah sumber osilator harus mendekati nol.
• Sehingga didefinisikan kekuatan sumber persatuan panjang :
• maka medan total di titik P akibat dari M segmen :

  ∑ =

  = ∫

  D D L = −

  2 / 2 / y r r dy r kr t E

  ( ) ) ( sin

  1

  ω ε sin

    =

     

  E ∆ −

  L M i i y kr t r

  ( )( ) i i i

  

∞ →

=

  1 ε ε

  ( ) N D N L lim

• Untuk sumber kontinu M →∞ :

  − ω ε

DIFRAKSI FRAUNHOFER

  

Difraksi dimana gelombang datang dan yang keluar

dari celah tetap planar atau linier.

1. CELAH TUNGGAL

• Jika jarak celah ke layar (R) >> lebar celah (D), maka r(y) linier dan ( /R) pada titik amat P konstan sepanjang

  ε L elemen dy.

  ε L sin dE t kr dy

  = − ω

  ( ) R

sin ...

r R y

  = − θ

• Suku ketiga dst dapat diabaikan, karena kontribusi terhadap fasa kecil, sehingga r linier terhadap y (DIFRAKSI FRAUNHOFER).
• Untuk lebar celah D (dari –D/2 sampai D/2), maka :

  /

2 D

  ε L sin sin

  E t k R y dy = − −

  ω θ ( )

  [ ] ∫

  R /

  2 − D sin / 2 sin

  D kD ε

  θ L ( )

  [ ] sin t kR

  = ω −

  ( )

/

2 sin

  R kD θ

  ( )

• Jika kita definisikan :

  2

  I I = =

  ( ) ( ) 1 sinc

  = 0

  θ

  Maksimum utama terjadi pada

  β β ε θ

  I L T ω

  I R D E

    = = kR t

  =    

  2 = −

  

2

  2

  2

  ( ) θ β sin 2 / kD

  1

  2

  2 / 1 sin sinc sinc

  ( ) ( ) ( )

  Distribusi intensitas :

  β ε sin sinc sin sin

  ω β ε ω β

    =

     

  L L − = −

  D kR t R D E

  ( ) ( ) ( ) kR t R

  Maka :

  =

  θ β Intensitas minima terjadi jika sin

  β

  = 0, atau pada nilai : ,...

  3 , 2 , π π π β ± ± ± =

• • Jika celah memiliki dimensi panjang l dan lebar

  b (b<<l), maka :

  ( ) ( ) ( ) θ β

  

β θ

sin 2 / sinc

  2 kb

  I I = =

• Intensitas minima terjadi pada : ,...

  3 ,

2 ,

1 sin

  ± ± ± =

=

m m b m

  λ θ

2. CELAH GANDA

  X E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002

• Jika masing-masing celah memiliki dimensi lebar b dan panjang l (b << l), dan kedua celah dipisahkan oleh jarak

  a, maka medan :

  2 a b /

  2    

• b /

  ε ε L L

      E F z dz F z dz

  =

( ) ( )

•  R   R 

  ∫ ∫

  b / 2 a b /

  2 −

  − sin sin

  F z t k R z = − −

  ω θ ( ) ( )

  

[

]

    b

  ε L

    sinc sin sin

  2 E t kR t kR

  = − − + +

  β ω ω α ( ) ( )

  [ ]

   R  / 2 sin ka

  = α β

  ( )  2  b

  ε

    sinc cos sin E t kR

  = −

• L

  β α ω α ( )

   R 

• Distribusi intensitas menjadi :

  2

  2 sinc cos

  I

  4I θ = β α

  ( )

• Maxima utama terjadi pada =0, yaitu = 0 : I(0)=4I

  θ α = β

• Minima terjadi pada :

  , 2 , 3 ,...

  β = ± π ± π ± π Celah tunggal

3. CELAH BANYAK

E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002

  b / 2 a b /

  2 2 a b /

  2

        ε ε ε

  L E   F z dz   F z dz   F z dz

  = ∫ ∫

• L L

  ( ) ( ) ( )

  ∫  R   R   R  b / 2 a b /

  2 2 a b /

  2 −

  

−

−

  1 a b /

  2 −

• N

  ( )  

  ε L

  ...   F z dz

  ( ) ∫

   R  N 1 a b /

  2 − −

  ( ) sin sin

  F z t k R z = − −

  ω θ ( ) [ ( ) ] Penurunan rumus dapat dilihat di buku E.

  Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002, hal. 460

  2 sin  

  N

  2 α sin  

  I I c θ = β

  ( ) sin  

  α

  2 ⇒

  I N

  I = =

  θ ( )

  2  sin 

  N 2 α sin  

  I I c =

  

θ β

( ) sin  

  α

• Maksima utama terjadi jika :

   sin  N

  α ⇒

  , , ,

  2 ,...

  

N

= = ± ±

  α π π sin  

  α sin ; , 1 , 2 ,... atau a m m

  = = ± ± θ λ _m

• Minima terjadi jika :

   sin  N

  α   ,

  = sin  

  α

  2

  1

  1 N N −

• , , ,..., ,

  π π π π ( ) ( )

  = ± ± ± ± α

  N N N N

• Diantara maksima, terdapat (N-1) minima.
• Untuk nilai N yang besar, maka kecil

  α

  sehingga : ₂

  sin ≈

  α α

  maka puncak maksima kedua (subsider pertama) :

  3 /

2 N

  = α π

  2

  2 sinc

  2  

  I I   ≈ β

  3   π Pola difraksi celah banyak dengan jarak antar celah a = 4b dan N = 6

4. CELAH PERSEGI

E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002

• Jika adalah kekuatan sumber persatuan luas dan dS

  ε A

  adalah elemen luas, maka berlaku :

    ε i t kr

  − A ω

  ( )   dE e dS

  =  r 

  2

  2

  2 r

  X Y y Z z = − − + +

  ( ) ( ) [

  ] 1 /

  2

  2

  2

  2

  2 1 / 2 / r R y z R Yy Zz R

  = − + + +

  ( ) [ ( )

  ]

• Jika R sangat besar dibandingkan dimensi apertur atau celah, maka :

  1 /

  2

  1 2 / r R Yy Zz R

  = − ( )

• 2

  [ ]

  1 / R Yy Zz R deret Binomial

  = − ( )

• 2

  [ ]

• Maka distribusi intensitas :

  Penurunan rumus dapat

  2

  2 dilihat di buku E.

  , sinc ' sinc '

  I Y Z

  I = α β

  ( ) ( ) Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002, hal. 460

  ' /

  2 kaZ R

  = α

  ' /

  2 kbY R

  = β

• I(0) adalah intensitas pada Y = Z = 0
• Maksima utama terjadi pada ’ ’ = 0

  α = β

  Distribusi intensitas Distribusi medan

E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002

4. CELAH LINGKARAN

E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002

  ( ) ( ) φ ρ ρ

• −

  φ ρ φ ρ ε ω d d dS

  Y q q Z y z dS e R e E

apertur

R Zz Yy ik kR t i A

  = Φ = Φ =

  = = =

∫∫

  ; sin cos ; sin cos ~

  /

  Maka fungsi integralnya menjadi :

  ( ) ( ) ( ) φ ρ ρ ε

  ρ π φ φ ρ

  ω d d e R e E a R q k i kR t i A

  ∫ ∫ = = Φ −

  − =

  2 / cos ~

• −

  Fungsi Bessel jenis pertama :

  ( ) ( ) dv e i

  J u v u mv i m m

  ∫

  = π

  π

  2 cos

  2 Fungsi Bessel orde ke-nol (m=0) : ( )

  J dv e u v iu

  ∫ =

  π π

  2 cos

  2

  1

  ( ) ( )

  J u u u J u du d u m m m m

  R d q k J R e E a kR t i

  A /

  2 ~ ∫

  − =

  Sifat umum fungsi Bessel

  ( ) [ ]

  ( ) ( ) ( ) ' ' '

  −

  ρ ρ ρ π ε ω

1 J du u u u uJ m

  ∫ =

  1

  1

  Maka :

  ( ) ( )

  J dw w w kq R R d q k J

  R kaq w w a

  ∫ ∫ = =

  = =    

    =

  /

  2 /

  ρ ρ ρ ρ ρ

  ⇒ = =

  ( ) ( )

  2 / /

  I A ε

  2 A R

  2

  2

  2

  ( )

  Intensitas di titik pusat (q = 0) :

  A = luas lingkaran (celah)

  I A ε

  R kaq R kaq J A R

    =

  2    

  2

  R kaq J kaq R a

  2

  1

  2

  

( )

  Distribusi intensitas I = ½ EE*

  ω

  − π ε

    =

  2    

  1

  2 ~

  /

  R e E kR t i A

  =

  Distribusi intensitas Distribusi medan

E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002

• Jika R konstan sepanjang polar difraksi, maka berlaku :

  θ

  θ θ θ ka J ka

   =

  2   

  1 sin sin

  2

  ( ) ( ) ( )

  = q/R, maka :

  I I

  = R kaq R kaq J

    

  2   

  1 / /

  2

  ( ) ( )

• Karena sin

  I I

• Karena memiliki sumbu simetri, maka pusat maksimum membentuk “AIRY DISK/RING) terhadap maksimum selanjutnya (ditemukan oleh George Biddel Airy 1801- 1892)

  Cincin gelap pertama yang mengelilingi pusat maksimum berkaitan dengan J (u).

  1 J (u) = 0, jika u = kaq/R = 3,83

  1 Dimana q adalah jarak dari

  1

  pusat ke cincin gelap pertama :

  R λ

  Airy ring dari lingkaran 1 .

  22 q

  =

  1 d = 0,5 mm

  2 a

  Jika sebuah lensa difokuskan ke layar dengan panjang fokus

  f R , maka : ≈ f

  λ 1 .

  22 q

  ≈

  1 D

  D = diameter celah (2a)

  d = 1,0 mm

PENERAPAN PADA RESOLUSI SISTEM PENCITRAAN

• Jarak antara titik pusat dengan cincin minimum pertama adalah :
• Jika

  ∆θ

  adalah sudut yang terukur, maka :

• Airy ring/disk akan menyebar sepanjang sudut

  ∆θ .

  D f q

  λ 22 .

  1

  1 ≈

  

θ θ

λ θ

  ∆ ≈ ∆ = ≈ ∆ / sin 22 .

  1

  1 f q D

  Jika >> , maka citra ∆φ ∆θ akan dapat dibedakan (resolusi)

E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002

• Batas resolusi terjadi jika :
• Jika

  ∆

  l adalah jarak pusat-ke pusat bayangan/citra, maka limit resolusi :

  ( ) D

  / 22 .

  1 min

  λ θ ϕ = ∆ = ∆ ( )

  D f / 22 .

  1 min

  λ = ∆ ( ) ( ) min min

• Resolving power untuk sistem pembentukan citra secara umum didefinisikan :

  1

  1 ∆ ∆ atau

  ϕ

• Jika

  ∆φ

  lebih kecil dari

  ∆θ , maka citra akan overlap.

E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002

  Akibatnya citra atau image akan buram (blur)

E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002

DIFRAKSI GRATING

  

Suatu piranti atau alat optik yang terdiri dari

serangkaian apertur, digunakan untuk mengubah

atau menghasilkan panjang gelombang yang

didifraksikan dengan cara mengatur perioda atau

jarak antar celah atau sudut cahaya datang

Contoh : Laser Bragg.

  Grating Transmisi

  Orde ke-m

  D θ m

  C

  a

  B θ i A sin sin

  AB CD a − = θ − θ

  ( m i )

  A C D B i

  θ m

  θ

  a Orde ke-m

  ( ) i m CD a AB

  θ θ sin sin

  − = − Grating Refleksi Persamaan grating :

  sin a m

  = θ λ m

  m = 0 (orde nol tidak dibelokkan ( = 0).

  θ

  Semakin besar m (orde), sudut defleksi semakin besar.

  Secara umum, untuk grating transmisi dan refleksi, berlaku :

  sin sin a m

  θ − θ = λ ( m i )

  Maka untuk mengubah panjang gelombang ( ), dapat

  λ

  dilakukan dengan mengubah jarak grating/perioda (a) atau sudut cahaya datang ( ).

  θ i