Tegangan Pada Massa Tanah

13/12/2011

Kuliah ke 9

Tegangan Pada Massa Tanah










Pada tanah yang harus mendukung pondasi dengan berbagai bentuk
umumnya terjadi kenaikan tegangan .
Kenaikan tegangan pada tanah tersebut tergantung pada beban per
satuan luas dimana pondasi berada, kedalaman tanah di bawah
pondasi dimana tegangan tersebut di tinjau, dan faktor-faktor lainnya.
Kenaikan tegangan vertikal yang terjadi pada tanah akibat beban

pondasi perlu juga dihitung agar besarnya penurunan tanah yang
akan terjadi dapat diperkirakan.
Prosedur perhitungan penurunan tanah ini akan di bahas lebih lanjut.
Berikut ini akan dibahas prinsip-prinsip perhitungan besarnya
kenaikan tegangan vertikal pada tanah yang diakibatjan oleh
berbagai macam pembebanan berdasarkan pada teori elastis.
Walaupun tanah secara aslinya sebagaian besar tidak elastis penuh
, tidak homogen, perhitungan untuk memperkirakan besarnya
kenaikan tegangan vertikal umumnya memberikan hasil yang cukup
baik untuk maksud-maksud praktis di lapangan.

1

13/12/2011

Tegangan Normal dan Tegangan
Geser pada Sebuah Bidang


Pada gambar (a) berikut terlihat sebuah contoh dua dimensi

dari suatu elemen tanah yang menerima tegangan normal
dan tegangan geser dimana σy > σx.
 Untuk menentukan besarnya
tegangan normal dan tegangan
geser pada sebuah bidang EF
yang membentuk sudut θ
terhadap bidang AB, kita perlu
meninjau diagram benda bebas
(free-body) EFB sebagaimana
terlihat pada gambar (b)
berikut.

Tegangan Normal dan Tegangan Geser pada
Sebuah Bidang
 Misalkan σn adalah tegangan normal
dan τn adalah tegangan geser pada
bidang EF.
 Dari analisa geometri didapat :
EB = EF cos θ dan
FB = EF sin θ

 Dengan
menjumlahkan
komponen
gaya-gaya yang bekerja pada elemen
tersebut dalam arah N , diperoleh :

σn EF = σx FB sin θ + σy EB cos θ + τxy FB cos θ + τxy EB sin θ
σn EF = σx EF sin2 θ + σy EF cos2 θ + 2 τxy EF sin θ cos θ
σn = σx sin2 θ + σy cos2 θ + 2 τxy sin θ cos θ
n 

 y  x
2



 y  x
2

cos 2   xy sin 2

…. persamaan (1)

2

13/12/2011

Tegangan Normal dan Tegangan Geser pada
Sebuah Bidang
 Dengan menjumlahkan komponen
gaya-gaya yang bekerja pada
elemen tersebut dalam arah T
, (tegak lurus arah N) diperoleh :

τn EF = – σx FB cos θ + σy EB sin θ + τxy FB sin θ – τxy EB cos θ
τn EF = – σx EF sin θ cos θ + σy EF cos θ sin θ + τxy EF sin θ sin θ
– τxy EF cos θ cos θ
τn = σy sin θ cos θ – σx sin θ cos θ – τxy (cos2 θ – sin2 θ)
n 

 y  x
2

sin 2   xy cos 2

…. persamaan (2)

Tegangan Normal dan Tegangan Geser pada
Sebuah Bidang
 Dari persamaan (2) dapat diketahui bahwa harga θ dapat
ditentukan sedemikian rupa sehingga τn menjadi = 0.
 Dengan memasukkan harga τn = 0 pada persamaan (2), didapat :

 y  x
2

sin 2   xy cos 2

tan 2 

2 xy

 y  x

2 xy
sin 2

cos 2  y   x
… persamaan (3)

 Untuk setiap harga τxy, σx dan σx persamaan di atas
menghasilkan dua harga θ yang selisihnya 900.
 Ini berarti terdapat dua bidang yang tegak lurus satu sama lainnya
dimana tegangan geser pada bidang-bidang tersebut , τn = 0.
 Bidang-bidang tersebut dinamakan bidang utama (principal
planes).

3

13/12/2011

Tegangan Normal dan Tegangan Geser pada
Sebuah Bidang
 Tegangan normal yang bekerja pada bidang utama ini disebut
tegangan utma (principal stress).
 Besarnya tegangan utama ini dapat ditentukan dengan
memasukkan persamaam (3) ke persamaan (1) yang
menghasilkan :

 
n

1



 y  x
2

)

(

Tegangan Utama Besar (Major Principal Stress) :
2

 σy  σx 
2
 
  xy
2



….. Persamaan (4)

Tegangan Utama Kecil (Minor Principal Stress) :

n

3



2

)

(

 

 y  x

2

 σy  σx 
2
 
  xy

2



….. Persamaan (5)

Tegangan Normal dan Tegangan Geser pada Sebuah Bidang
 Tegangan normal dan tegangan geser yang bekerja pada sembarang
bidang juga dapat ditentukan dengan menggambar sebuah lingkaran
Mohr, seperti terlihat pada gambar berikut :

 Perjanijian tanda yang dipakai dalam lingkaran Mohr adalah sbb :
o Tegangan normal tekan dianggap positif;
o Tegangan geser dianggap positif apabila tegangan geser yang
bekerja pada sisi-sisi elemen tegangan bujur sangkar yang
berhadapan berotasi berlawanan arah perputaran jarum jam.

4

13/12/2011

TEGANGAN NORMAL DAN TEGANGAN GESER
PADA SEBUAH BIDANG
 Untuk bidang AD dan BC pada elemen tanah
dalam gambar, tegangan normalnya adalah +

σx dan tegangan gesernya adalah + τxy.
 Untuk bidang AB dan DC, tegangan
normalnya adalah + σy dan tegangan
gesernya adalah -

τxy.

)

R
O

(

 Titik R dan M mewakili keadaan
tegangan pada bidang-bidang AD dan
AB.
 Titik O merupakan titik perpotongan
antara sumbu tegangan normal dan
garis RM dan sebagai titik pusat
lingkaran.
 Jari-jari lingkaran Mohr OR adalah :
2

 σy  σx 
2
 
  xy
2



TEGANGAN NORMAL DAN TEGANGAN GESER
PADA SEBUAH BIDANG
 Tegangan pada bidang EF dapat
ditentukan dengan memutar sebuah sudut
sebesar 2 θ (2 x besar sudut yang dibentuk
oleh bidang EF terhadap bidang AB pada
arah berlawanan jarum jam seperti pada
gambar sebelah kiri)
dalam
arah
berlawanan jarum jam dari titik M pada
keliling lingkaran Mohr menuju titik Q.
 Absis dan ordinan titik
N
merupakan tegangan normal σn
dan dan tegangan geser τn pada
bidang EF.
 Karena ordinat (tegangan geser) di
titik N dan S = 0, maka titik-titik
tersebut
mewakili
tegangan-tegangan pada bidang
utama.
 Absis titik N adalah σ1 (pers
4), dan absis titik S adalah σ3 (pers
5).

5

13/12/2011

TEGANGAN NORMAL DAN TEGANGAN GESER
PADA SEBUAH BIDANG
 Pada kasus tertentu, yaitu bila bidang-bidang AB dan AD
merupakan bidang-bidang utama besar dan kecil, tegangan
normal dan tegangan geser pada bidang EF menunjukkan
bahwa σy = σ1 dan σx = σ3 sebagaimana terlihat pada gambar (a)
di bawah, sehingga :

n 

 y  x
2

n 



 y  x

 y  x
2

2

cos 2

sin 2

 Bentuk lingkaran Mohr untuk
kondisi tegangan seperti ini
diberikan pada gambar (b).
 Absis dan ordinat titik Q
menunjukkan besarnya tegangan
normal dan tegangan geser pada
bidang EF.

Metode Kutub Untuk Menentukan Tegangan
Tegangan-tegangan Pada Sebuah Bidang
Terdapat cara lain untuk menentukan tegangan-tegangan pada sebuah
bidang dengan menggunakan lingkaran Mohr, yaitu Metode Kutub (Pole
Methode), atau Metode Pusat Bidang (Origin of Plane Methode).
 Metode-metode ini ditunjukkan pada gambar berikut :


 Pada gambar (a) terlihat sebuah
contoh suatu elemen tanah yang
menerima tegangan normal dan
tegangan geser dimana σy > σx.
 Gambar (b) merupakan lingkaran
Mohr untuk tegangan-tegangan
yang terjadi pada elemen tanah
tersebut.
 Dengan metode kutub, kita dapat
menarik garis dari sebuah titik
tertentu pada lingkaran Mohr
sejajar terhadap bidang dimana
tegangan-tegangan tersebut
bekerja.

6

13/12/2011

Metode Kutub Untuk Menentukan Tegangan
Tegangan-tegangan Pada Sebuah Bidang
 Titik perpotongan garis ini
dengan lingkaran Mohr disebut
titik kutub.
 Titik ini hanya ada satu untuk
semua kedudukan tegangan
pada elemen yang ditinjau.
 Misalnya titik M pada lingkaran
Mohr gambar (b) menunjukkan
tegangan-tegangan pada bidang
AB.
 Garis MP ditarik sejajar dengan
bidang AB
 Jadi P merupakan titik kutub (pusat bidang) pada kondisi elemen tersebut.
 Bila kita ingin mendapatkan tegangan-tegangan pada bidang EF, kita hanya
perlu menarik sebuah garis dari titik kutub tersebut sejajar dengan bidang EF.
 Titik perpotongan garis ini dengan lingkaran Mohr adalah titik Q.
 Koordinan titik Q merupakan tegangan yang bekerja pada bidang EF. (Catatan:
dengan ilmu ukur sudut dapat diketahui besar sudut QOM adalah 2 x besar
sudut QPM).

Contoh Soal


Bila diketahui bahwa tegangan-tegangan pada sebuah elemen tanah
adalah seperti pada gambar dibawah ini, tentukan :
a. Tegangan

utama besar (x1)
b. Tegangan utama kecil (x3)
c. Tegangan normal dan tegangan
geser pada bidang DE.
Gunakan cara metode kutub



Penyelesaian :
Pada bidang AD : tegangan normal = + 150 kN/m2
tegangan geser = - 50 kN/m2





Pada bidang AB : tegangan normal = + 50 kN/m2
tegangan geser = + 50 kN/m2

7

13/12/2011

Contoh Soal


Dengan menggambar lingkaran Mohr seperti pada gambar (b), didapat :
a. Tegangan utama besar = 170,7 kN/m2
b. Tegangan utama kecil = 29,3 kN/m2
c. NP adalah garis yang ditarik sejajar
bidang CB.





Pada lingkaran Mohr :
 Titik P merupakan titik kutub.
 Garis PQ ditarik sejajar DE yang ada pada gambar (a)
 Koordinat titik Q menggambarkan besarnya tegangan-tegangan yang
bekerja pada bidang DE.
Jadi :
tegangan normal = 164 kN/m2
tegangan geser
= - 29,9 kN/m2

Tegangan--tegangan Yang Dihasilkan Oleh
Tegangan
Beban Terpusat
Boussinesq (1883) telah memecahkan masalah yang berhubungan dengan
penentuan tegangan-tegangan pada sembarang titik pada sebuah media yang
homogen, elastis, dan isotropis.
 Media tersebut berupa ruang yang luas tak terhingga dan pada permukaannya
bekerja sebuah beban terpusat (beban titik) sebagaimana terlihat pada
gambar berikut :
 Rumus Boussinesq untuk tegangan normal
pada titik A yang diakibatkan oleh beban
terpusat P adalah :


 3x 2 z
 x2  y2
y 2 z 
 3 2 
 5  1  2   2
 Lr L  z  L r  
 L

p x 

P
2

p y 

 y2  x2
P 3 y 2 z
x2 z 
 3 2 
 5  1  2   2
2  L
 Lr L  z  L r  
dimana :

p z 

z3
3P z 3 3P

5
2 L 2 r 2  z 2





5/ 2

r 

x2  y2

L

x2  y2  z2 

r2  z2

  angka Poisson

8

13/12/2011

Tegangan--tegangan Yang Dihasilkan Oleh
Tegangan
Beban Terpusat
Persamaan Δpx dan Δpy, merupakan tegangan-teganaan
normal dalam arah horizontal yang besarnya tergantung
pada angka poisson (μ)medianya.
Sedangkan tegangan arah vertikal Δpz, tidak tergantung
pada angka poisson (μ).
Hubungan untuk Δpz, kemudian dapat dituliskan lagi dalam
bentuk sebagai berikut :






pz 

P
z2

 3

 2 

1

 r / z  

2 5/2

dimana : I I 

3
2


P
  2 II
z

1

 r / z  

2 5/2

Contoh Soal
Terdapat sebuah beban terpusat P = 1000 lb seperti gambar berikut :


Gambarkan grafik variasi kenaikan tegangan
vertikal Δpz terhadap kedalaman yang
diakibatkan oleg beban terpusat di bawah
permukaan tanah dimana x = 3 ft dan y = 4 ft.



Penyelesaian :

r  x 2  y 2  32  4 2  5 ft
Δpz (lb/ft2)
r/z

II

0

Δpz

r

z

5

0

-

0

0

2

2,5

0,003

0,75

4

1,25

0,045

2,81

6

0,83

0,129

3,58

1

2

3

4

0

Kedalaman z (ft)



-4
-8
-12

8

0,63

0,207

3,23

10

0,5

0,273

2,73

12

0,42

0,318

2,21

16

0,31

0,38

1,48

-20

20

0,25

0,411

1,03

-24

-16

9

13/12/2011

Tegangan Vertika yang Diakibatkan oleh
Beban Garis


Gambar berikut ini menunjukkan sebuah beban garis yang lentur
dengan panjang tak terhingga dan intensitas beban q per satuan
panjang pada suatu masa tanah yang semi-tak terhingga.
 Kenaikan (perubahan) tegangan vertikal Δp
di dalam massa tanah tersebut dapat
dihitung dengan menggunakan rumus :

p 



2q

 z  x / z 2  1

p

q / z  

2

 x / z 

2

1



2

atau



2

 Persamaan Δp/(q/z) adalah suatu bentuk persamaan tanpa dimensi.
 Dengan persamaan tersebut, variasi Δp/(q/z) terhadap x/z dapat dihitung.
 Hal ini sebagaimana terlihat pada gambar berikut :

Tegangan Vertika yang Diakibatkan oleh
Beban Garis

 Harga Δp yang dihitung dari persamaan Δp/(q/z) adalah
merupakan tambahan tegangan pada tanah yang
disebabkan oleh beban garis.
 Harga Δp tersebut tidak termasuk tekanan akibat tanah di
atas titik A.

10

13/12/2011

Contoh Soal
 Pada gambar (a) terlihat dua buah
beban garis di atas tanah.
 Tentukan kenaikan tegangan di
titik A
 Penyelesaian :
Dari
gambar
(b)
kenaikan
tegangan total di A adalah :

p 

2q



 z  x / z 2  1



2

 p   p1   p 2

 p1 




2 q1

 z  x1 / z   1
2

2 500



  4 5 /

 12 ,12 lb/ft


2
4
2

p2 



1

2



2





2q2

 z  x 2 / z 2  1
2 1000



  4 10 /

 3 ,03 lb/ft


2
4



2

1

 p   p1   p 2
 p  12 ,12  3 ,03



2

 p  15 ,15 lb/ft

2

2

11