MicrosoftWord LATIHAN Jayanti NyimasIndaKusumawati

LATIHAN 5.3
1.

=

Misalkan

,

dan misalkan

> 0 untuk setiap

: →

adalah fungsi kontinu sehingga

∈ . Buktikan terdapat

> 0 sehingga

≥

,∀ ∈ .
Bukti :
=

,

: →

adalah interval tertutup dan

Teorema maksimum minimum, maka

kontinu pada . Menurut

memiliki m = titik minimum absolut
=

dan M = titik maksimum absolut. Ambil

. Karena

> 0, maka

> 0.
Jadi ∃
2.

=

=

Misalkan =

≤
,

,∀ ∈

dan misalkan : →

dan g: →

adalah fungsi kontinu

=g

mempunyai sifat jika

pada .
:

Tunjukkan bahwa himpunan
∈

→

dan

!,

maka

!

∈ :
∈ .

Bukti :
→

Karena
dan g

!,

Oleh

karena

lim g

=g
=

Misalkan
∀

, gkontinu pada

dan

konvergen ke g

"

maka

konvergen ke

"

.

=g

,∀ ∈ #

,

maka

"

= lim

=

"

Jadi kita peroleh
3.

∈ .

∈ , maka

Karena

"

∈ .

,

: →

dan

)

∈ , ∃ ' ∈ , sehingga (

Buktikan : ∃ + ∈ , ∃

kontinu pada

' (≤ (

, sedemikian sehingga

(

*

+ =0

Bukti :
Kita konstruksi

Ambil :

)

∈

∈ ,
)

,

- → 0 dengan cara sebagai berikut :

>0
*

∈

*

=

1
2

>0

......
1
Analisis Real, 2011
Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)

∈

=
∈ ,

Sehingga kita peroleh
⊆

sehingga ,

Karena

kontinu dan

∃

1

1

1
2

=

0)

,

>0

)

0)

- → 0 karena

- → 0. Di sisi lain
→ +, maka ,

1

2

1

1

∈ =

,

, maka

→+∈ .

1

-→

+ .

Dengan demikian kita peroleh :
0 = lim

=

1

+

Ilustrasi lain :
∈ ,∃

)
*

∈ ,∃

3

*

∈ ,
(

∈ ,

(

*

(≤

1
(
2

3

1
(
2

(≤

*

)

(≤

(

1
(
4

)

(

..........
0)

∈ ,∃
∈ ,

∈ ,
0≤(

(

(≤
(≤

→0
4.

2

1

2

0)

1

0)

(

(
)

)

(

(

Tunjukkan bahwa setiap polinomial berderajat ganjil dengan koefisien real
paling sedikit memiliki satu akar real.
Bukti ;
Misalkan polinom berderajat ganjil 5

=

".

+

).

0)

+ ⋯+

Kita perhatikan kasus :
i) Untuk n = ganjil,

"

> 0.
lim 5

8→

lim 5

=−

lim 5

=−

8→0

ii) Untuk

"

=

0,

5

)

> 0 dan ∃

Karena 5 kontinu di
Jadi

"

akar dari 5

*

< 0,

5

maka 5 kontinu di
"

*
*, )