Bab 3 Bagian 3 - Volume

Bab 3
Bagian 3
VOLUME BENDA PUTAR

INTRODUCTION

•Bola lampu di samping dapat

dipandang sebagai benda putar
jika kurva di atasnya diputar
menurut garis horisontal.
•Pada pokok bahasan ini akan

dipelajari juga penggunaan
integral untuk menghitung volume
benda putar.

Suatu daerah jika di putar mengelilingi

garis tertentu sejauh 360º, maka akan
terbentuk suatu benda putar. Kegiatan

pokok dalam menghitung volume
benda putar dengan integral adalah:
1. Partisi,

2. Aproksimasi,
3. Jumlahkan,
4. Ambil limitnya
5. Nyatakan dalam integral tentu.
Gb. 4

Dalam menentukan volume benda putar yang harus
diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi
jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka

metode yang digunakan untuk menentukan volume
benda putar dibagi menjadi :
1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung
y

y

y

4
3
0

x

2
x
1
x
2

1

0

1

2

Metode Cakram

Metode cakram yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan
volume mentimun dengan memotongmotongnya sehingga tiap potongan
berbentuk cakram.

y
x

Bentuk

cakram

di

samping

dapat

dianggap sebagai tabung dengan jari-jari

f (x)

r = f(x), tinggi h = x. Sehingga

a

x

x

volumenya dapat diaproksimasi sebagai
V  r2h atau V   f(x)2x.

y
h=x

Dengan cara jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam integral

r  f(x)

diperoleh:
V    f(x)2 x

x

0

V = lim   f(x)2 x

a

v    [ f (x)]2dx
0

x

Contoh 7.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi
sumbu x sejauh 360º.
Jawab

y
y

1. Gambarlah daerahnya

y  x2 1

2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan

x

h=x

1

bentuk partisi
4. Aproksimasi volume
partisi yang diputar,
jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan
dalam bentuk integral.

r  x2 1

x2 1
x

2

x

x

x

V  r2h
V  (x2 + 1)2 x

V   (x2 + 1)2 x

y

V = lim  (x2 + 1)2 x
2

V    (x 2  1)2 dx

h=x

0
r  x2 1

2

V    (x 4  2 x 2  1) dx

x

0
2
3
5
2
1



V 
x  x x
3
5
0

V   ( 32  16  2  0)  1311 
5

3

15

x

Contoh 8.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y =
x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

y

Jawab

y  x2

1. Gambarlah daerahnya
2

2. Buatlah sebuah partisi

y

y

3. Tentukan ukuran dan bentuk

y

partisi

x
y

4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil

r

limitnya, dan nyatakan dalam

y

h=y

bentuk integral.

y
x

V  r2h

V  (y)2 y

y

V   y y
V = lim  y y

2
r y

2

V 

 ydy

h=y

0

2

y

V    ydy

x

0

V 



1
2

y2

V   ( 21  4  0)

V  2



2
0

Metode Cincin

Metode cincin yang digunakan
dalam menentukan volume benda
putar dapat dianalogikan seperti
menentukan volume bawang
bombay dengan memotongmotongnya yang potongannya
berbentuk cincin.

Menghitung volume benda putar

dengan menggunakan metode
cincin dilakukan dengan
memanfaatkan rumus volume

Gb. 5

cincin seperti gambar di
samping, yaitu V= (R2 – r2)h

R
r
h

Contoh 9.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah
yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar
mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Jawab

1. Gambarlah daerahnya

y

y

y  x2

2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan

y = 2x
4

x

bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk
integral.

x

2x
x2
x

2

x

V  (R2 – r2) h
V   [ (2x)2 – (x2)2 ] x
V   (4x2 – x4) x

y

y = 2x

V    (4x2 – x4) x
V = lim  

(4x2

–

x4)

y  x2

4

x

x

2

V    (4 x 2  x 4 ) dx
0

V 





4 x3  1 x5 2
3
5
0

V   ( 32  32)
3
5
V   (160 96 )
15
V  64 
15

y

R=2x

r=x2
2

x

x
x

Metode Kulit Tabung

Metode kulit tabung yang digunakan

untuk menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti menentukan
volume roti pada gambar disamping.

r
r

h

h

V = 2rhΔr
2r

Δr

Contoh 10.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Jawab

1. Gambarlah daerahnya

y

y  x2

2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.
4. Aproksimasi volume partisi yang

diputar, jumlahkan, ambil limitnya,
dan nyatakan dalam bentuk integral.

4
3

x

2
x2

1

x
0

x

1

2

y

4
x

3

y

r=x

y  x2

2

4
1
3

x

x
1

2

2

0

1

2

x2

1

2

V  2  x 3 dx

x
0

h = x2

x

1

2

0



V  2rhx

1x
V  2 4

V  2(x)(x2)x

V  8

V   2x3x
V = lim  2x3x

4



2
0

Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi

secara

horisontal

mengelilingi

dan

sumbu

sebuah

y,

maka

partisi

diputar

partisi

tersebut

membentuk cincin. Volume benda putar tersebut

dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut.
V  (R2 – r2)y

y

y  x2

V  (4 - x2)y

y

4

V   (4 – y)y

4

V = lim  (4 – y)y

3
3

R=2

4

2

V    4  y  dx

1

V   4y 

2
r=x

y

0



1
x
0
x

1

2

x

-2

-1

0

1

2

1
2

V  (16  8)

V  8

y

2



4
0

Exercise
Soal 1.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
2

A
B

x

2

dx

0
4

y

4

x

0

2

D

 (4

dy

4

E

 (4

y  x2

 x 2 ) dx
4

0

0

C

Y

 x 2 ) dx

0
2

dx

0

2

X

Soal 1.

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan
dalam bentuk integral sebagai ....
2

A

B

2
 x dx

2
 (4  x ) dx

0

4

4

y

4

C

D

dy

x

E

y  x2

x

2

0

0

Y

4

 (4

4 - x2

 x ) dx
2

0
2

dx

0

0

x

Jawaban
 L  (4 – x2) x
L   (4 – x2) x
L = lim  (4 – x2) x
2

L   (4  x 2 ) dx
0

( Jawaban D )

2

X

Soal 2.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

4,5 satuan luas

D

Y

9 1/3 satuan luas

y  4  x2
B

6 satuan luas

C

7,5 satuan luas

E

10 2/3 satuan luas

0

X

Soal 2.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

4,5 satuan luas

D

Y

9 1/3 satuan luas

x

y  4  x2
B

6 satuan luas

C

7,5 satuan luas

E

10 2/3 satuan luas

-2

2

0

x

Jawaban
 L  (4 – x2) x
L   (4 –

x 2)

x

L = lim  (4 – x2) x



L  4x  x

2

2

3



2
2

L  (8  83)  (8  83)
L

L   (4  x 2 ) dx

1
3

32
3

 10

2
3

( Jawaban E )

X

Latihan

Penggunaan
IntegralIntegral
Penggunaan
Soal 3.

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
Y

A 5 satuan luas

D

B

E 10 1/3 satuan luas

7 2/3 satuan luas

y  2x

9 1/3 satuan luas

C 8 satuan luas
0

X

y  8  x2

Soal 3.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
Y

A 5 satuan luas

D

B

E 10 1/3 satuan luas

7 2/3 satuan luas

y  2x

9 1/3 satuan luas

C 8 satuan luas
0

2

X

y  8  x2

Jawaban
 L  (8 – x2 -2x) x

L  16  83  4

2

L   (8  x 2  2x) dx
0



L  8x  x  x
1
3

3

2



2
0

L

28
3

 9 31

( Jawaban D )

Soal 4.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah ….
A

2,5 satuan luas

D

10 2/3 satuan luas

B

4,5 satuan luas

E

20 5/6 satuan luas

C

6 satuan luas

Soal 4.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah ….
A

2,5 satuan luas

B

4,5 satuan luas

Y

D

10 2/3 satuan luas
1

E

20 5/6 satuan luas

X

0

C

6 satuan luas

-2

x  y2

x 2y

Jawaban
 L  [(2 – y ) – y2 ] y

L  (2 

1

L   (2  y  x 2 ) dy

L 

2



L  2y  y  y
1
2

2

1
3

3



1
2

1
2

 31)  (4  2  83)

9
 4,5
2

( Jawaban B )

Soal 5.

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
Y
4

4

A

v    x dx
0

D

v  2  x x dx

E

v  2  (16  y) dy

4

B

v    x 2 dx
0
2

C

v    y dy
0

0

y X

2

2

0

0

4

X

Soal 5.

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y

sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral
yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
Y

4

D

v  2  x x dx

E

v  2  (16  y ) dy

4

A

v    x dx

B

v    x 2 dx

0
4
0

C

0

y X

2

2

0

0

2

v    y dy
0

Jawaban
 V  2xx x
4

V  2  x x dx
0

( Jawaban D )

4

X

Soal 6.

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A

4 satuan volum

D

Y

12 satuan volum

y X

2

B

C

6 satuan volum

8 satuan volum

E

15 satuan volum
0

4

X

Soal 6.

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X

sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A

4 satuan volum

D

Y

12 satuan volum

y X

2

B

C

6 satuan volum

E

15 satuan volum
0

8 satuan volum

Jawaban
 V  (x)2 x
4

V    x dx
0

V 



V  8

1
2

x

2



4

0

( Jawaban C )

4

X