Modul Pembelajaran MATRIKS SMA Kelas 12

MA T E MA T I K A

3Matriks
GRACE
PRIMAYANTI
Apakah Anda mengenal istilah kriptografi ? Ya, ini mungkin menjadi istilah yang
baru bagi kalian. Secara umum kriptografi dapat diartikan sebagai ilmu dan
seni penyandian yang bertujuan untuk menjaga keamanan dan kerahasiaan
suatu pesan. William Stallings mendefinisikan kriptografi sebagai “the art and
science of keeping messages secure”. Dengan adanya tulisan yang
tersembunyi ini, orang-orang yang tidak mengetahui bagaimana tulisan
tersebut disembunyikan tidak akan mengetahui bagaimana cara membaca
maupun menerjemahkan tulisan tersebut. Kriptografi mau tidak mau harus
diakui mempunyai peranan yang paling penting dalam peperangan sehingga
algoritma kriptografi berkembang cukup pesat pada saat Perang Dunia I dan
Perang Dunia II. Menurut catatan sejarah, terdapat beberapa algoritma
kriptografi yang pernah digunakan dalam peperangan, diantaranya adalah
ADFVGX yang dipakai oleh Jerman pada Perang Dunia I, Sigaba/M-134 yang
digunakan oleh Amerika Serikat pada Perang Dunia II, Typex oleh

Inggris, dan Purple oleh Jepang. Selain itu Jerman juga mempunyai mesin

legendaris yang dipakai untuk memecahkan sandi yang dikirim oleh pihak
musuh dalam peperangan yaitu, Enigm a< /i>.

Di dalam dunia spionase dan militer pesan-pesan yang dikirim1
seringkali ditulis dengan menggunakan kode-kode rahasia. Hanya
penerima yang sah yang memiliki kuncinya sehingga dapat membuka
sandi itu. Tulisan rahasia semacam ini biasa disebut kriptogram.

Dalam pembelajaran kali ini, kita akan fokus dalam memahami materi mengenai :


Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu
matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain.



Menentukan determinan dan invers matriks 2 x 2.



Menggunakan determinan dan invers dalam menyelesaikan sistem persamaan linear
dua variabel.

2

A. MENGENAL BENTUK DAN CIRI MATRIKS
1. Bentuk dan Ciri Matriks
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang
apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Mengubah persoalan ke
dalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah
diselesaikan yaitu dengan menampilkan data atau keterangan-keterangan tersebut dalam
bentuk tabel atau daftar. Misalnya tabel hasil kuis matematika Adi, Ado, dan Ade.
Judul
Baris

Adi
Ado
Ade

Kuis 1

70
65
70

Kuis 2
60
75
75

Kuis 3
85
80
85

Judul

Jika data dari tabel
Kolomdi atas hanya dituliskan dalam bilangan saja, kemudian
susunan lambang bilangan itu diberi tanda kurung, maka akan diperoleh:
70 60 85

Susunan bilangan
65 75 80
berbentuk persegi
70 75 85
panjang
Perhatikan contoh yang lain berikut ini,

[

]

Persamaan

Judul
Baris

Ko

Koefi

efisien

sien

y

x
3 x+5 y =8
x− y=−5

3
1

5
-1

Judul
Kolombilangan saja kemudian disusun lambang bilangan itu
Bila dituliskan dalam

dengan tanda kurung, maka diperoleh :
3 5
1 −1

[

]

Susunan bilangan
berbentuk persegi

Perhatikan susunan bilangan dari kedua data tersebut.
70 60 85
3 5
65 75 80 dan
1 −1
70 75 85
Dari contoh sebelumnya dapat disimpulkan bahwa kelompok bilangan yang

[

]

[

]

disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi dan persegi panjang yang terdiri atas
baris-baris dan kolom disebut matriks.
3

Agar berbatas, maka bagian pinggir-pinggir dari kelompok bilangan itu dibubuhi
dengan tanda kurung (kurung biasa atau kurung siku). Nama dari suatu matriks
biasanya dilambangkan dengan menggunkan huruf besar atau huruf kapital, seperti A,
B, C, . . ., dan seterusnya.

CONTOH 1
2

Perhatikan kelompok bilangan berikut dan identifikasi apakah merupakan matriks.

a. Kelompok bilangan

3 0
1 −3

5 2
4 1

merupakan matriks sebab susunannnya berbentuk persegi dan tersusun atas baris dan kolom.
b. Kelompok bilangan
2

0 merupakan bukan matriks sebab susunannya berbentuk segitiga dan
3

c.

tersusun atas baris dan kolom yang tidak jelas.

Kelompok bilangan

1 0 0
0 1 0
0 0 1

0 −1 1
1 −1 0

merupakan matriks sebab susunannnya berbentuk persegi dan persegi panjang dan tersusun
atas baris dan kolom.

. Baris, Kolom, Elemen, dan Ordo Matriks
Ada beberapa istilah dalam matriks diantaranya sebagai berikut :
a. Baris dari suatu matriks adalah bagian susunan bilangan yang dituiskan mendatar
atau horisontal dalam matriks. Perhatikan matriks berikut ini.
1 0 9
A= 2 −9 5
Baris 1
4 0 2
Baris 2

b. Kolom dari suatu matriks adalah
Baris 3 bagian yang dituliskan tegak atau vertikal dalam

[

]

matriks. Perhatikan matriks berikut ini.
1 0 9
A= 2 −9 5
4 0 2

[

]

Kolom2

c. Elemen atau unsur suatu
matriksKolom3

adalah bilangan-bilangan (real atau kompleks)
kolom 1
yang menyusun matriks itu. Perhatikan matriks berikut ini.

4

[

1 0 9
A= 2 −9 5
4 0 2

]

Elemen pada baris kedua kolom kedua
Elemen pada baris ketiga kolom pertama

d. Ordo atau ukuran dari suatu matriks ditentukan oleh banyak baris dan banyak
kolom dari matriks itu. Banyak elemen atau banyak unsur dari suatu matriks
ditentukan leh hasil kali banyak baris dengan kolom dari matriks itu.
Misalkan matriks A terdiri dari m baris dan n kolom, maka matriks itu berordo
m× n

dengan

dapat dituliskan sebagai
(m× n)

A m × n . Banyak elemen matriks A itu sama

buah. Oleh karena itu matriks A yang berordo

m× n

dapat

disajikan sebagai berikut.

[

a11 a12 a13 … … a1 n
a21 a21 a21 … … a2 n
A m × n= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯
a m 1 a m 2 a m 3 … … amn

]

Banyak baris = m

Banyak kolom = n

dengan amn

adalah elemen matriks pada baris ke- m dan kolom ke- n .

3. Jenis Matriks
Matriks memiliki jenis-jenis berdasarkan bentuk maupun pola eleman di dalamnnya,
yaitu:
a. Matriks Baris
Misalkan suatu matriks berordo m× n dengan nilai m=1, sehingga
diperolah matriks yang berordo 1× n . Matriks 1× n terdiri atas satu baris
dan memuat n elemen. Matriks yang berciri seperti ini disebut matriks baris.
0 0 0 10 1
Misalnya matriks Q =¿ 2] dan matriks P1 ×2=[8−4]
1 ×7

b. Matriks Kolom atau Matriks Lajur

Jika suatu matriks berordo m× n dengan nilai n=1 , sehingga dierolah
matriks yang berordo m× 1 . Matriks m× 1 terdiri ats satu kolom dan
memuat m elemen. Matriks yang berciri seperti ini disebut matriks kolom
atau matrik lajur.
5

[]

1
5
Misalnya matriks G5 ×1= −2
0
6
c. Matriks Persegi
Misalkan suatu matriks berordo

matriks berordo n ×n

dan matriks

[]

2
H 3 ×1= 4
1

m× n dengan nilai m=n , sehingga diperoleh

dan untuk selanjutnya disingka dengan matriks berordo

n saja. Pada matriks berordo n, banyak baris = banyak kolom. Matriks yang
berciri demikian disebut sebagai matriks persegi berordo n.
1 0 0
Misalnya matriks T 3 × 3=T 3= 0 1 0
0 0 1

[ ]

[ ]

1 0 1 9 6
1 0 3 5 5
dan matriks K 5 ×5=K 5= 3 −2 6 −1 3
4 5 8 3 2
7 7 0 4 1
Dalam matriks persegi, elemen-elemen yang terletak pada garis hubung elemen

a11 dengan elemen ann dinamakan diagonal utama, sedangkan elemenelemne yang terletak pada garis hubung elemen an 1 dengan elemen a1 n
dinamakan sebagai diagonal samping. Diagonal utama dan diagonal samping dari
suatu matriks persegi dapat ditampilkan dalam bentuk bagan berikut ini :
a11 a12 a13 … … a1 n
Diagonal samping
a 21 a21 a21 … … a2 n
⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯
an 1 an 2 an 3 … … ann

[

d. Matriks Segitiga

]

Diagonal utama

Misalkan suatu matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks yang
berada di bawah diagonal utama atau di atas diagonal utama semuanya bernilai
nol. Matriks yang berciri demikian dinamakan matriks segitiga.
9 −1 8 3
0 6 5 −1
Misalnya matriks G=
0 0 2 8
0 0 0 4

[ ]

6

[ ]

9 0 00
5 6 00
Dan matriks T =
2 3 20
1 −4 5 4
e. Matriks Diagonal atau Matriks Identitas
Misalkan suatu matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks yang
berada di bawah dan di atas diagonal utama semuanya bernilai nol. Ini berarti
bahwa elemen-elemn matriks semuanya bernilai nol, terkecuali elemen-elemn
yang terletak pada diagonal utama. Matriks yang berciri demikian dinamakan
matriks diagonal, sebagaimana matriks berikut ini :
1 0 0
A= 0 1 0 dan matriks B= 1 0
0 3
0 0 1
Jika suatu matriks diagonal berordo n dengan elemen-elemen pada diagonal

[ ]

[ ]

utama semuanay berniali 1, maka matriks diagonal semacam ini dinamakan
matriks identitas atau matriks satuan. Matriks identitas ordo
dilambangkan dengan

In

n

dan matriks ini akan sering dijumpai dalam

pembahasan selanjutnya. Berikut ini adalah contoh matriks identitas.
I 2 = 1 0 matriks identitas berordo dua
0 1
1 0 0
dan I 3 = 0 1 0 matriks identitas berordo tiga
0 0 1
f. Matriks Datar dan Matriks Tegak
Misalkan suatu matriks berordo m× n dengan mn

maka banyak

baris lebih banyak dibandingkan dengan banyak kolom, sehingga susunan
eleman-elemennya membentuk persegi panjang tegak. Matriks yang berciri
demikian disebut matriks tegak. Berikut ini contoh matriks tegak dan matriks
datar.

[

P= 2 4 5
9 0 7

]

merupakan matriks datar karena jumlah baris (m) < dari
jumlah kolom (n) (m = 2 dan n = 3 )

7

[ ]

0 −1
Q= 1 0
0 −1

merupakan matriks tegak karena jumlah baris (m) > dari jumlah

kolom (n) (m = 3 dan n = 2 )
g. Martriks Transpos
Transpos dari suatu matriks A ditulis A t atau

A

'

adalah suatu matriks yang

diperoleh dengan cara mengubah setiap baris dari matriks A menjadi kolom pada
'
A . Transpos dari matriks A berordo

matriks

m× n

adalah sebuah matriks

'

-

berordo n ×m , yang disusun sebagai berikut :
Baris pertama matriks A ditulis menjadi kolom pertama dalam matriks A '
Baris kedua matriks A ditulis menjadi kolom kedua dalam matriks A '
Baris ketiga A ditulis menjadi kolom ketiga dalam matriks A ' , . . .

-

demikian seterusnya
Baris ke-m matriks A ditulis menjadi kolom ke-m dalam matriks

A

Tentukan transpos matriks-matriks berikut.
2 5
4 3
0 −7
A= 6 −1
a.
b. B=
−6
9
8 4
10 8

[]

[

'

A.

CONTOH 2

]

c.

[ ]

1 −2 0 3
C= −2 8 9 0
0 9 14
3 0 41
Jawab :

[]

, maka transpos matriks A adalah

[

]

a.

2 5
4 3
A= 6 −1
8 4
10 8

b.

B= 0 −7 , maka transpos matriks B adalah B ' = 0 −6 ,
−6 9
−7 9
Dari contoh di atas pada bagian c, kita melihat bahwa matriks C=C ' , jenis matriks

[

A ' = 2 4 6 8 10
5 3 −1 4 8

[

]

]

yang seperti ini disebut matriks simetris atau mariks setangkup. Dengan demikian
didefinisikan matriks setangkup sebagai berikut.

8

Misalkan matriks

A

adalah matriks persegi berordo

n . Matriks

A

disebut matriks

simetris atau matriks setangkup jika dan hanya jika elemne-elemen yang letaknya simetris
terhadap diagonal utama bernilai sama, ditulis:

aij =a ji

dengan i≠ j .

4 x + y =12
−6 x−3 y =9

9

L A T I

H A N 1

3. Tuliskanlah
ordo dan banyaknya
Misalkan diketahui
matriks elemen dari matriks-matriks berikut ini.
a.

A= [ 0 4 5 2−1 ]
Berapa banyak baris dan kolom matriks ?

Sebutkan
pada baris pertama, baris kedua, dan baris ketiga.
0 elemen-elemen
0 0
B= 1 elemen-elemen
b.Sebutkan
1 1
pada kolom pertama, kolom kedua, kolom ketiga, kolom
0 0 0
keempat, dan kolom kelima.

[ ]
[]

Tulisakan ordo matriks !
15
Tentukanlah
C=
c.
−7 matriks-matriks koefisien dari sistem-sistem persamaan berikut ini. Buatlah
23
matriksnya.
a.

[ ]
1 0 3 9 10

1. Diketahui
matriks – matriks :
0 1 −4 5 −2

d.

( )

(

)

5 12 0 11 dan B= −2 2
D= 2A=
−2 −2
7 6 31 1 23
b.
Tentukan
X berordo
−9 0 8 0 matriks
1
4
1
9
2
−3
persamaan berikut ini.

2× 2

yang memenuhi persamaan-

a.
AX =B
b.
4. Misalkan QXA=B
adalah suatu matriks berordo m× n . Buatlah sebuah contoh matriks Q,
2. Jika X adalah matriks persegi berordo 2× 2 , tentukanlah X

jika diketahui :

pada tiap persamaan matriks berikut ini.

( ) ()
( )( )

( ) (
( )(

)
)

3 2=5
4 3 X = 1 −5
c.
a. m=0a. danX 4n=10
3
6
9 6
1 6
3 2 = ¿−1 2
3 7 = 1 −5
d. X
b. m=4b. danX 5n=6
3
5
2
2 5
1 6
3. Misalkan A dan B adalah matriks-matriks persegi berordo 2× 2
c. m=5 dan n=5
2 −3
dengan B=
. Tentukan matriks A , jika :
d. m=6 dan n=2 −2 1
a.
AB=A t
t
BA=dari
A matriks-matriks berikut ini.
5. Tentukanb.
transpos
2 4
1 −2
7 10
4. Diketahui matriks A=
, B=
, dan C=
. Jika
3 1
1 2
−7 9
4 3
a. A=
2 M1= A+ B dan MX=Ct , tentukan matriks X .
3 7
1 2
5. Diketahui matriks A=
dan B=
. Jika
−5 2
−3 5
3 2 1
b. B= 1 A 2+ B 33 X T =B , tentukan matriks X .
0 1 0

(

( )

[ ]

(

[ ]

[

−3 4 3
c. C=
0 1 2

)

]

(

)

)

(

(

)

)

10

6.

Dikehui matriks

AXB=C ,

Jika

( )

A= 2 0
1 4

,

( )

B= 1 3
4 2

, dan

(

C= 26 18
21 33

)

.

tentukan mat

4. Kesamaan Dua Matriks
Dua matriks yaitu matriks A dan B dikatakan sama yaitu A= B, jika dan hanya jika :
o Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B
o Semua elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai
yang sama, aij =a ji , untuk semua nilai i dan
Perhatikan matriks-mariks berikut ini.
Matriks-matriks mana sajakah yang sama ?
0 2
E= −3 4
F= 4 −1 3
2 0 6
7 1

[ ]
[

[

1 3 4
H= −2 0 2
6 7 5

]

j .

CONTOH 3

[

1 3 4
G= −2 0 2
6 7 5

]

]

[]

7 10
5 6
J = 0 −8
1 5
−3 8
8 1

[ ]

0 2
I = −3 4
7 1

Jawab :
o Matriks

E dan

F ,

E dan G ,

E dan

H ,

E dan J

tidak sama

karena memiliki ordo yang berbeda begitu pun eleman yang seletak.
o Matriks E dan I adalah matriks yang sama karena memiliki ordo yang sama
yaitu 3 ×2 dan elemen yang seletak sama.
o Matriks F dan G , F dan H , F

dan

I , dan

F

dan J

tidak

sama karena memiliki ordo yang berbeda begitu pun eleman yang seletak.
o Matriks G dan H adalah matriks yang sama karena memiliki ordo yang sama
yaitu 3 ×3 dan elemen yang seletak sama
o Matriks G dan I , G dan J , H
dan J

dan

I ,

H

dan J , dan

I

tidak sama karena memiliki ordo yang berbeda begitu pun eleman yang

seletak.

11

Pada matriks yang sama elemen
yang seletak adalah sama, yaitu

Kesamaan dua matriks dapat digunkakan untuk menentukan nilai peubah atau
variabel yang ada pada elemen-elemen matriks. Perhatikan contoh berikut ini.

CONTOH
1. Misalkan diketahui matriks P dan Q sebagai berikut.
2 3
b 3
P=matriks-matriks
Q= yang
b !
sama dengan
matriks
, ?tentukan nilai a dan 4
Dari
berikut
ini,
manakah
sama
1 a
1 −4

[ ]

Jawab :

[ ][

[

L A T I

]

H A N 2

]

2 3=b 3
Tentukan
dari matriks yang sama berikut ini.
1 nilai
a dan
1 −4
Pada matriks yang sama elemen
yang seletak adalah sama, yaitu

a=−4

Jadi, nilai a=−4 dan b=2 .
2. Tentukan nilai a dan b jika diketahui matriks jika diketahui matriks M dan
Diketahui matriks-matriks:
N adalah sama.
dan a+2 6
4
6
M=
dan N=
, karena matriks M dan N adalah sama
−5
9
−5
2
b−1
Tentukan transpos dari matriks atau

[

]

[

]

maka:
Jika
, carilah nilai dan .
Jika diberikan persamaan matriks berikut ini.
 a+2=4 (eleman yang seletak adalah sama)
a=4−2
a=2
Maka hitunglah nilai
 2 b−1=9 (eleman yang seletak adalah sama)
2 b=9+1
Jika , maka
tentukan harga dan .
2 b=10
Diketahui
b=5 dan . Jika menyatakan matriks transpos dari , maka tentukan nilai yang
a=2 .dan b=5 , sehingga diperoleh
Jadi nilai
memenuhi
persamaan
M = 2+2 6 = 4 6
−5 9 −5 9

[

dan

][

[

]

][

6
N= 4
= 4 6
−5 2(5)−1 −5 9

]
Terlihat kesamaan dua
matriks

12

13

B. OPERASI PADA MATRIKS
Sebelumnya kita telah mengenal dan mmpelajari operasi-operasi hitung dalam
matematika. Begitu pun dalam matriks, kita akan mempelajari bagaimana operasi
hitung pada matriks dan aturan-aturan (sifat-sifat) yang beraku diantaranya
penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan perpangkatan.
1. Penjumlahan pada Matriks
a. Definisi Penjumlahan pada matriks
Dua buah matriks dapat dijumlahkan jika keduanya memiliki ordo yang
sama. Penjumalahan pada matriks dilakukan dengan cara menjumlahkan elemaneleman yang seletak dari masing-masing matriks tersebut.
Misalkan A dan B adalah matriks-matriks berordo
aij

elemen-eleman elemen
A

dan matriks

B

a ji . Jika matriks

dan

C=A + B ,

atau

maka matriks

dengan eleman-eleman ditentukan oleh :
c ij =aij +bij , untuk semua i dan

C

[

]

dengan

adalah jumlah matriks

C

juga berordo

m× n

j .

CONTOH
5

1. Diketahui matriks-matriks :

P= 1 0 1
2 −5 3

m× n

[

Q= 10 2 −1
a.
dan
−8 5 6
Tentukan penjumlahan matriks P dan matriks Q .

]

Jawab :
Jumlah matriks

P dan matriks Q adalah
1+10
0+2 1+(−1)
P+Q=
= 11 2 0
−6 0 9
2+(−8) −5+5
3+ 6

[

Jadi, jumlah matriks

b.

[ ]

D= a b
c d

][

[

P+Q= 11 2 0
−6 0 9
dan

[ ]

D dan matriks

D dan matriks

[

][

b. Matriks Nol

[

E .

E adalah

D+ E= a+e b+ f = a+ e b+ f
c + g d+ h
c+ g d +h
Jadi, jumlah matriks

]

E= e f
g h

Tentukan penjumlahan matriks
Jawab :
Jumlah matriks

]

]

D+ E= a+e b+f
c + g d+h

]
14

Matriks Nol adlah matriks yang setiap elemannya 0. Matriks nol biasanya
dinyatakan dengan O. Misalnya :

[ ]

0 0
O
=
dan
0 0
3X 2
0 0
Pada penjumlahan matriks dengan salah satu matriks adalah matriks nol maka

[ ]

O 2 X 2= 0 0
0 0

hasilnya adalah matriks bukan nol, ditunjukkan sebaga berikut :
A +O= A
2 −3 + 0 0 = 2 −3
9 1
0 0
9 1
A +O= A+ O= A
Maka berlaku juga
c. Lawan suatu Matriks
Jika A dan B adalah dua matriks berordo sama, dan

[

][ ][

maka B

]

A + B=B+ A=O ,

A ditulis B=−A .
m n
Misalnya matriks M =
, maka lawan matriks M adalah
p o
−M = −m −n , maka bila dijumlahkan diperoleh :
−p −o
 M + (−M )= m n + −m −n
p o −p −o
m+(−m) n+(−n)
 M + (−M )=
p+(− p) o+(−o)
disebut lawan

[ ]

[

]

[ ][

[




]

]

[ ]

0 0
0 0
M + (−M )=O , sehingga dapat dilihat penjumlahan antara M
M + (−M )=¿

dan

−M adalah matriks nol (O)
M+ (−M )=O
Matriks
dari matriks

–M

sering juga disebut sebagai invers penjumlahan (invers aditif)

M .

15

SIFAT PENJUMLAHAN
MATRIKS
A , B , dan C

Misalkan matriks

adalah matriks berukuran

m× n , maka:
A + B=B+ A

o

(sifat komutatif), sehingga kita dapat

o

menukar urutan operasi.
( A + B ) +C= A+(B+ C) (sifat asosiatif), sehingga kita

o

dapat menuliskan A + B+C tanpa mempunayai arti lain.
A +O=O+ A= A , terdapat sebuah matriks nol yang

berukuran m× n .
o
A + B=O , dengan matriks B

dsiebut lawan atau

negatif matriks A, ditulis B=−A .
2. Pengurangan Matriks
Dengan pemahaman tentang lawan suatu matriks kita dapat menyatakan
pengurangan matriks sebagai penjumlahan matriks. Jika
dua matriks yang berordo sama, maka pengurangan matriks

A

dan
A

B

merupakan

dengan

B

dapat

dinyatakan sebagai berikut.
A−B=A + (−B )
dengan −B

adalah lawan dari matriks B .

CONTOH
6
1. Diketahui

[ ]

A= a b
c d

[ ]

p q
dan G=
r s

. Tentukan matriks

A−G .

Jawab :





A−G= A+ (−G )
A−G= a b − p q
c d
r s
A−G= a b + −p −q
c d −r −s

[ ][ ]
[ ][ ]

[

a+(− p) b+(−q)
A−G=
c +(−r ) d+(−s)
a− p b−q

]

16

Misalkan

A

dan

B

adalah matriks-matriks yang berordo

masing mempunyai eleman-eleman
pengurangan matriks

A

aij

dengan matriks

dan
B

m× n

bij . Jika matriks
C=A−B ,

atau

dan masing-

C

adalah hasil

maka matriks

C

berordo m× n dengan elemen-eleman ditentukan oleh :
ij−¿ bij
¿
, untuk semua i dan j .
c¿
¿
Pengurangan dua matriks seringkali dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan
X + A=B ,

matriks berbentuk
diketahui, sedangkan

X

dengan

A

dan

B

adalah matriks-matriks yang

adalah matriks yang dipertanyakan. Dari

X + A=B , maka

X =B−A
Jadi, matriks

X

merupakan pengurangan matriks B

dengan matriks

A.

17

L A T I

H A N 3

Diketahui matriks dan . Tentukan matriks yang diwakili oleh
d. g.
e. h. )
f. i.
Diketahui , , , dan . Tentukan matriks yang diwakili oleh :
b. c. d.
3. Tentukan nilai dan yang memenuhi persamaan berikut !
a.
b.
c.
4. Tentukan matriks dari operasi matriks berikut !
a.
b.
c.
d.

18

[

]

[

]

P= 5 −2 , Q= 2 −1
dan penjumlahan kedua matriks menghasilkan
9 −4
x x+ y
matriks identitas, maka tentukan nilai dari x− y .
6. Bila diketahui suatu matriks berordo 3 dengan elemen pada baris pertama dan kolom
5. Jika

[ ]

a b c
¿
pertama adalah satu sama dengan matrik G
d e f , maka tentukanlah hasil
g h i
penjumlahan dan pengurangan nilai dari a , b , c , d , e , f , g , h , dan i .

3. Perkalian Matriks
a. Perkalian Skalar dengan Suatu Matriks
Sebuah matriks dengan ordo m× n dapa dikalian dengan sebuah bilangan real
tertentu. Bila real ini selanjutnya disebut dengan skalar. Agar lebih memahami perkalian
matriks dengan skalar, maka perhatikan definisi berikut :
Misalkan k ∈ R dan A= [ aij ] adalah suatu matriks yang berordo
Perkalian bilangan
berordo

m× n

bilangan real

k

k

dengan matriks

A

adalah suatu matriks baru yang juga

yang diperolah dengan mengalikan setiap elemen pada
dan diberi matriks

m× n

m× n .

sedemikian sehingga

A

dengan

kA=[k aij ] . Dari

definisi diperoleh sifat-sifat perkalian matriks yang penting kita ingat.

Jika k , l∈ R ,

SIFAT PERKALIAN
MATRIKS
matriks-matriks A=[aij ] dan B=[b ij ]
Dengan k Skalar

berordo

m× n , maka dalam perkalian matriks berlaku sifat-sifat berikut :
o
o
o
o

( k +l ) A=kA+lA
( k −l ) A=kA−lA
k ( lA )=( kl ) A
IA= A

19

CONTOH
1. Diketahui matriks-matriks berikut.
7
P= 3 1 dan Q= 18 5
2 4
7 2
Tentukanlah matriks X berordo 2× 2 yang memenuhi persamaan
3 X +2 Q=4 P.
Jawab :
3 X +2 Q=4 P
 3 X +2 18 5 = 4 3 1
7 2
2 4
 3 X + 36 10 = 12 4
14 4
8 16
 3 X= 12−36 4−10
8−14 16−4
1
1 −24 −6
 3 X= −24 −6 , maka
3 X=
−6 12
3
3 −6 12
 X = −8 −2 , jadi matriks X = −8 −2 ,
−2 Matriks
4
b. Perkalian
dengan Matriks −2 4

[ ]
[

[
[
[

[

[ ]

] [ ]
][ ]
]
]
( ) ( )[
]
]
[ ]

Apabila matriks matriks
matriks B=[b ij ]

A=[aij ]

m× n

adalah matriks yang berordo

adalah matriks yang berordo

p× q , maka perkalian matriks

dan
A

dan B

yang dinotasikan dengan AB dapat dilakukan apabila n= p .
a11 a12 a13 … … a1 n
a11 a12 a13 … … a1 q
a21 a21 a21 … … a2 n
a21 a21 a21 … … a 2 q
A= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
B=
dan
⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯
…
…
am 1 am 2 am 3
amn
a p 1 a p 2 a p 3 … … a pq

[

Hasil kali matriks

] [

AB

didefinisikan sebagai matriks

]

c
[¿ ¿ij ]
C=¿

yang berordo

m× q dengan eleman baris ke −i dan kolom ke − j adalah :
c ij =ai 1 b1 j +a i 2 b2 j+ ai 3 b3 j +. ..+aip b1 n
dengan i=1,2,3, … , m dan j=1,2,3,… , n

Dari definisi perkalian matriks dengan matriks di atas, maka dapat disimpulkan bahwa
dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan
banyaknya baris matriks kedua.

20

[

]

CONTOH

[]

3 4
1
1. Diketahui A=
dan B=
.
8
−1 2
0
a. Tentukanlah AB dan BA .
b. Apakah AB=BA ?
Jawab :
3 ( 1 )+ 4 (0)
AB = 3 4 1 =
= 3
a.
−1 2 0
−1 ( 1 ) +2(0) −1
Berdasarkan definisi perkalian matriks dengan matriks, perkalian BA

][ ] [

[

][ ]

dapat diselesaikan karena banyaknya kolom dari matriks
b.

B

tidak

tidak sama

dengan nbanyaknya baris pada matriks A .
AB=BA
Dari bagian a dapat kita lihat bahwa AB=BA , yang berarti bahwa
perkalian matriks tidak bersifat komutatif.

SIFAT PERKALIAN
MATRIKS
DENGAN MATRIKS
AB ≠ BA , yaitu tidak berlaku sifat komutatif.
a
a
2. Untuk sembarang k ∈ R , [¿ ¿ij ] , dan [¿ ¿ij ] , maka
A=¿
B=¿
( kA ) B=k ( AB )
( Ak ) B= A ( kB )
( AB ) k = A ( Bk )
a
a
c
3. Untuk [¿ ¿ij ] , [¿ ¿ij ], dan [¿ ¿ij ] , maka :
A=¿
B=¿
C=¿
A ( BC )=( AB ) C , jika AB dan BC terdefinisikan
a.
1.

a.
b.
c.

atau memenuhi sifat asosiatif,
A ( B+ C )= AB+ AC , jika AB , AC , dan B+ C
b.
terdifinisikan.
Sifat ini biasanya disebut sifat distributif kiri perkalian
c.

terhadapat penjumlahan.
( A + B ) C= AC+ BC , jika

AC , BC , dan

A +B

terdifinisikan.
21

Sifat ini biasanya disebut sifat distributif kanan perkalian
terhadapat penjumlahan.
4. Dalam perkalian matriks yang hanya memuat matriks-matriks
persegi dengan ordo yang sama, terdapat sebuah matriks
identitas yakni matriks satuan I, yang bersifat IA= AI= A
5. a. Jika AB=O , belum tentu A=O atau O= A
b. Jika AB=AC , belum tentu B=C
6. Jika p dan q adalah bilangan-blangan real serta A dan
B

adalah matriks-matriks maka berlaku hubungan

( pA ) ( qB ) =( pq )( AB )

22

7. Jika

A

t

dan B t

berturut-turut adalah transpos dari matriks

L A T I

H A N 4

Tentukan hasil dari perkalian-perkalian matriks berikut ini !

Tentukan matriks dari persamaan berikut !

Diketahui matriks-matriks :
dan
Tentukan )(B)
Tentukan dan
Periksa apakah

A

AB
dan matriks B , maka berlaku hubungan (¿¿ t )=B t A t
¿

4. Diketahui f ( x , y ) =2 x 2 +3 xy ,

[

A= 2 −1
3 4

]

[

−2 1
, dan B=
3 2

]

dengan

adalah matriks identitas. Tentukan matriks yang bersesuaian dengan :
a. f ( A , B )
c. f ( A , 3 I )
b. f ( 2 B , A )
d. f ( A , 0 )
−1 2
0 −1
5. Jika A=
dan B=
, tentukan apakah ( AB )2 =A 2 B2 dan
−3 1
3 2

[

]

A
(¿ ¿ 2−B )=( A−B ) (A−B)
2

[

]

I

23

4. Perpangkatan Matriks
Misalkan A adalah suatu matriks persegi, maka :
A 2= AA
3
2
2
A = A A=A A
A 4 = A3 A= A A3 dan seterusnya
n
n−1
n−1
A = A A=A A
Sama halnya dalam perpangkatan pada operasi biasanya yang merupakan perkalian
berulang dari suatu bilangan, dalam hal ini perpangkatan matriks adalah perkalian
berulang suatu matriks.
Misalkan diketahui suatu matriks

[

A= 1 0
2 −1

]

, maka akan ditentukan matriks

dari hasil perpangkatan yaitu A 2 + A .

A 2 + A= 1 0 1 0 + 1 0
2 −1 2 −1 2 −1
1 ( 1 ) +0 ( 2 )
1 ( 0 )+ 0 (1 )
1 0

A 2 + A=
+
2 (1 )+ (−1 ) 2 2 ( 0 ) + (−1 )(−1 ) 2 −1

[

][

][

]

[

][ ]

[ ][
[ ]

]

A 2 + A= 1 0 + 1 0
0 2 2 −1

A 2 + A= 2 0
2 −1
2 0
Jadi hasil dari A 2 + A adalah
2 −1


[

]

.

AKU
BERANI
Diketahui matriks-matriks berikut.
dan
Perlihatkan bahwa persamaan dapat dinyatakan sebagai Kemudian gunakan hasil ini
untuk menetukan matriks
Dengan cara yang sama, tentukanlah matriks yang memenuhi !

C. DETERMINAN SUATU MATRIKS
24

Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang
A

disebut deteminan. Determinan dari suatu matriks persegi

dinotasikan dengan

¿ A∨¿ atau det A .
1. Determinan Matriks Berordo 2× 2
Misalkan matriks A adalah matriks persegi yang berordo 2× 2 yang ditulis :
A= a b
c d
Hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dikurangi dengan hasil kali

[ ]

Diagonal sekunder

elemen-elemen pada diagonal sekunder, yaitu (ad−bc) disebut determinan matriks
A , sehingga dapat dituliskan sebagai berikut: Diagonal utama
| A|= a b =( ad−bc)
c d
2. Determinan matriks berordo 3 ×3
Sama halnya dengan matriks persegi berordo 2× 2 , matriks persegi berordo

| |

3 ×3

juga mempunyai determinan. Dalam menentukan determinan matriks

kita dapat menggunakan dua cara.

3 ×3 ,

Perhatikan cara berikut untuk menentukan

determinan matriks 3 ×3 .

Cara Pertama: metode kofaktor
Nilai determinan matriks persegi

3 ×3

adalah penjumlahan dari hasil kali

semua elemen suatu baris atau kolom matriks tersebut dengan kofaktor masingmasing.

A mn∨¿

Jika

adalah

minor

amn

dari

matriks

A , maka

(−1 )m+n∨ A mn∨¿ disebut kofaktor amn ditulis α mn .
m+n
α mn=(−1 ) ∨A mn∨¿

Misalkan

|

[

a11 a12 a13
A= a21 a22 a23
a31 a32 a33

]

|

a11 a 12 a13
A= a21 a 22 a23
a31 a 32 a33

|

|

maka determinan matriks

kofaktor

|

|

A

adalah

|

Minor

|

a22 a 23
a
a
a
a
+ a12 (−1)1+2 21 23 +a13 (−1)1 +3 21 22
a32 a 33
a31 a33
a31 a32
det ( A )=a11 ( a 22 . a33−a 23. a32) −a12 ( a21 a33−a 23 . a31 ) +a13 ( a21 . a32−a22 a31 )
1+1
det ( A )=a11 (−1)

25

a
a
¿
13
.
a
.
a
(¿
21
32 )+ ( a13 .a 22 a31 )
det
( ¿ ¿ 12. a 21 a33 )+ ( a12 . a 23 . a31 ) +¿
( A )=( a11 . a22 . a33) −( a 11 . a23. a32 )−¿
a
(¿ ¿ 13. a 21 . a32)+ ( a13 . a22 a31 )
( a 12 . a23 .a 31) +¿
¿
det
a
¿
12.
a 21 a33 )
(¿
( a11 . a 22 . a33 ) +( a 11 .a 23. a32) + ¿
( A )=¿
Cara Kedua: metode Sarrus
a11 a12 a13
A=
a21 a22 a23 maka determinan matriks
Misalkan
a31 a32 a33

[

|

]

|

a11 a12 a13
a 21 a22 a23
a 31 a32 a33

seperti berikut :
a11 a 12
det A= a21 a 22
a31 a 32
Setiap elemen-elemen

|

A

adalah

kemudian kolom 1 dan 2 dituliskan ulang dibelakang kolom 3

| ||

a13 a 11
a23 a21
a33 a31
diagonal

| |

a12 a11 a12 a13 a11 a 12
a22 = a21 a22 a23 a21 a 22
a32 a31 a32 a33 a31 a 32
utama dikalikan dan dikurangi dengan elemen-elemen

diagonal sekundernya, sehingga seperti mencari determinan matriks ordo

2× 2 ,

diperoleh nilai determinan matriks 3 ×3 , yaitu :
a
( ¿ ¿ 13. a 21 . a32)+ ( a13 . a22 a31 )
( a 12 . a23 .a 31) +¿
¿
det
a
(¿ ¿ 12. a 21 a33 )
( a11 . a 22 . a33 ) + ( a 11 .a 23. a32) + ¿
A=¿
Untuk lebih memahami bagaimana menentukan nilai determinan dari suatu matriks
persegi maka perhatikan contoh berikut.

26

CONTOH 9

8.

|

|

1+a 2−b2
2 ab
−2 b
3
2
2
=( 1+a2 +b 2 )
2 ab
1−a +b
2a
2b
−2 a
1−a 2−b2

L A T I

H A N 5

Dengan menggunkan sifat determinan, buktikan pesamaan di atas.
Tentukan determinan dari matriks-matriks berikut !
1. Tentukan nilai determinan dari matriks berikut :
c. , jika
P= 1 −2
a.
d., jika
−1 2
Tentukan nilai jika matriks-matriks
ini merupakan matriks singular !
3 2 berikut
0
b. Q= 1 6 −4
c.
2 −2 1
d. D
Jawab :
Tentukan nilai yang
memenuhi
1 −2 persamaan berikut !
P=
a.
−1 2
1 −2
det P=¿ P∨¿
−1 2
 dari
|P|=1.2−
(−1 )(−2 ) berikut !
Tentukan determinan
matrks-matriks
 |P|=2−2=0 , jadi nilai determinan matriks P=0 . Matriks yang memiliki

[

]

[

[

]

]
|

|

nilai detreminan 0 disebut juga matriks singular.
3 2
0
Jika determinanb dari
adalah
. Q=matriks
1 6 −4 maka tentukanlah nilai dari !
2 −2 1
Tentukan determinan dari
Cara pertama: metode kofaktor
b.
1+1 6
−4 −2 (−1 )1 +2 1 −4 + 0 (−1 )1 +3 1 −6
det Q=3 (−1 )
Buktikan bahwa
−2 1
2 1
−2 −2
−4
6.1 — (¿) (−2 )
 det
¿
1. ( 1 ) −( 2 ) (−4 ) +0 (1.(−2)−(2.6))
Q=3 ¿
 det Q=3 (−2 )−2 ( 9 ) +0
 det Q=−24
Cara Kedua: metode sarrus
det Q= { (3.6 .1 ) +2 (−4 ) 2 ) + 0.1(−2)}−{( 2.6 .0 ) + (−2 ) (−4 ) ( 3 ) +1.1 .2}
 det Q=( 18−16 )− ( 24+2 )
 det Q=2−26
27
 det Q=−24

[

]

|

|

|

|

|

|

D. INVERS MATRIKS
1. Definisi Invers Matriks
A

Jika

dan B

AB=I =BA

sehingga berlaku
o Matriks
−1

adalah dua matriks persegi berordo sama sedemikian

A

I

dengan

merupakan matriks identitas, maka :

disebut invers matriks B

dan diberi notasi

−1

B ( A=B )
o Matriks � disebut invers matriks
Notasi

A

−1

A
1
A

tidak diartikan sebagai

A−1 ( B= A−1 )

dan diberi notasi

sebab dalam aljabar matriks tidak

didefinisikan adanya operasi pembagian.

[ ]
[ ][ ] [ ]
[ ][ ] [ ]

[

]

A= 3 2 dan B= 5 −2 .
7 5
−7 3
Kalikan B dari kiri oleh A , sehingga :
AB= 3 2 5 −2 = 1 0 =I
7 5 −7 3
0 1
Kalikan B dari kanan oleh A , sehingga :
BA= 5 −2 3 2 = 1 0 =I
−7 3 7 5
0 1
Dari kedua perkalian matriks di atas diperolah bahwa
Misalkan matriks

B

disebut invers dari

A

dan ditulis dengan

bahwa A disebut invers dari B
2. Invers Matriks 2× 2
Jika
A

A

[

]

−1

. Dapat pula dikatakan

dan ditulis B−1 .

adalah matriks berordo dua yaitu

| A|=ad−bc ≠ 0 ,

A

AB =BA =I . Sehingga

maka

invers

[

[ ]

A= a b
c d
dari

dengan determinan

matriks

A

adalah

]

1
d −b
d −b
, dengan
adalah matriks adjoint dari A .
ad−bc −c a
−c a
Catatan : Jika determinan suatu matriks A=0 atau merupakan

A−1=

matriks singular, maka matriks A tidak mempunyai invers.
Untuk membuktikan bahwa A−1 adalah invers dari matriks
cukup dibuktikan dengan mengalikan
berikut ini :
o
Jika matriks

A

A , maka

−1
−1
AA = A A=I . Perhatikan pembuktian

dikalikan dari kanan dengan matriks

A−1 , maka

diperoleh hubungan :

28

[ ]{

]}

[

1
d −b
AA−1= a b
c d ad−bc −c a
1
a b d −b

AA−1=
ad−bc c d −c a
1
ad−bc
0

AA−1=
ad−bc
0
ad−bc

AA −1= 1 0
0 1
−1

AA =I
Untuk membuktikan bahwa matriks A dikalikan dari kiri dengan matriks


[ ][
[

]

]

[ ]

I

akan sama dengan

A

−1

adalah benar, kamu dapat membuktikannya seperti langkah

pembuktian sebelumnya. Buktikan bahwa

A

−1

A=I

!

SIFAT INVERS MATRIKS

1. Berdasarkan uraian di atas maka untuk menentukan

[

] [

]

[

]

invers dari suatu matriks
2 dapat
dengan 5langkah2 k +3 berordo
−12 , B=
1 dilakukan
1 ,
11
Diketahui matriks A=
dan C=
. Nilai
6
7
−5
−2
−1
−2
langkah :
o memenuhi
Elemen-elemen
pada −1
diagonal
untama
k yang
, adalah
. . . . dipertukarkan
A + B=C
o Tanda elemen-elemen dari diaonal sekunder diganti dengan
(EBTANAS 1998)
Jawab :
lawannya
−1
−1
terlebih dua
dahulu
tentukan
dapat menyelesaikan
A
C 2 sehingga
2.+ B=C
Dalam , perkalian
matriks
berordo
dengan invers
A−1 dan
persamaan
yaitu
, berlaku
:
B−1tersebut
C
−1
o
( AB) =B−1 A−1
det ¿
A
¿

B¿
o¿
1 ¿
−1
C = ¿
¿
1
−1
−2 −11
 C =
5
( 5 (−2 )−11.(−1) )1 2 k=−6
1
AKU
CONTOH
 C−1= −2 −11
1 1
5
BERANI
 C−1= −2 −11
Buktikan bahwa dalam1 perkalian
dua matriks berordo 2 dengan invers dan ,
5

[

[

[

]

]

]

berlaku :
Sehingga diperoleh nilai k

[
[

yang memenuhi persamaan

] [ ][
][
]

]

A + B=C−1 adalah

2 k + 3 −12 +¿
1
1 = −2 −11
6
7
−5 −2
1
5
2 k + 4 −11 = −2 −11 telah diketahi bahwa dua matriks yang sama

1
−5
1
5
29
memiliki elemen yang seleak juga sama, sehingga diperoleh:
 2 k +4=−2
 2 k=−2−4


10



k =−3 , jadi nilai k yang memenuhi persamaan tersebut adalah k =−3 ,

sehingga matriks

[

][

][

2(−3)+ 3 −12 −3 −12
A= 2 k +3 −12 =
=
6
7
6
7
6
7

L A T I

]

H A N 6

Diketahui matriks dan . Matriks adalah matriks singular. Tentukan nilai !
(EBTANAS 1996)
Buktikan apakah matriks dan berikut adalah saling invers.
dan
dan
Tentukan invers matriks-matriks berikut ini !
c.
d.
Selesaikan soal-soal berikut !
Diketahui . Tentukan nilai yang memenuhi persamaan det (det (.
Diketahui matriks dan . Jika , tentukan det
Tentukan jika matriks berikut merupakan matriks singular !
b.
Misalkan A adalah matriks non-singular , maka tentukan apakah sama dengan
Jika A adalah matriks setangkup berordo 2, maka tentukan det

30

3. PENYELESAIAN PERSAMAAN MATRIKS
A dan B

Misalkan
dan B

adalah matriks tak-singular yaitu determinan matriks tidak sama dengan
¿ B∨¿

( | A|≠ 0 ,
B

X

≠0

) yang mempunyai invers matriks
X

, dan misal terdapat matriks

−1

A

adalah matriks-matriks persegi berordo 2, dan

A

atau

−1

AX =B , maka

sedemikian sehingga

dapat ditentukan dengan mengalikan kedua ruas dengan persamaan dari kiri

dengan

A

−1

. Perhatikan langkah-langkah penyelesaian berikut ini :
A dan B

Diketahui matriks

adalah matriks-matriks persegi berordo 2,

maka perhatikan persamaan yang ditulis :
A X =B




A

−1

A

( AX

(Karena sifat invers

X =A B
A

−1

)

X

A−1 )
−1



dan

A

( setiap ruas dikalikan dengan persamaan kiri invers

−1

AX= A B

yaitu

adalah perkalian dua matriks

A

−1

A

A X=X ), sehingga diperoleh penyelesaian matriks

XA=B , maka

Demikiaan juga dengan persamaan

X

= I, maka
−1

X =A B

dapat ditentukan

dengan mengalikan kedua ruas dengan persamaan dari kanan dengan

A

−1

,

maka penyelesaiannya sebagai berikut :
( XA



XA=B



XA A =B A

−1

kanan invers

−1

dan

X

)

( setiap ruas dikalikan dengan dengan persamaan

A

yaitu

A X=X ),

X =B A

A

−1

X =B A
A

adalah perkalian dua matriks

−1

A

−1

)

(Karena sifat invers

sehingga

diperoleh

A

−1

A

= I, maka

penyelesaian

matriks

−1

Oleh karena perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif maka
−1

A B

AX =B

tidak sama dengan

BA

−1

. Dengan demikian, penyelesaian matriks

tidak sama dengan penyelesaian persamaan matriks

XA=B .

31

CONTOH 11
Tentukan matriks
Jawab: Misal

[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
X

A= 1 1
2 4

1 1 X= 2 2
2 4
−1 4

sehingga diperoleh:

[

][ ]



[



2 −1
I X= 1 1 2 2
−1 4
2 2



5
X= 3
2

][

[

]

A−1=

, dengan

2 −1
2 −1
1 1 X=
2 2
1 1
1 1
2 4
−1 4
2 2
2 2

[ ][
[ ]

]

1 1
X= 2 2 .
2 4
−1 4
2 2
dan B=
, maka dapat dituliskan
−1 4

pada persamaan

]

AX =B ,

[ ]

2 −1
1 4 −2
= 1 1
2 1 1
2 2

[

]

(Kalikan kedua ruas dari kiri
−1

(Sifat

A ¿
−1
AA =I ¿

(Sifat

XI =X ¿

0
3

,

L A T I

H A N 6

Diketahui matriks – matriks :
dan
Tentukan matriks berordo yang memenuhi persamaan- persamaan berikut ini.

Misalkan dan adalah matriks-matriks persegi berordo dengan . Tentukan matriks , jika :
Diketahui matriks-matriks:
dan Jika adalah matriks persegi berordo , tentukan matriks yang memenuhi persamaan
dan .
Diketahui matriks , , dan . Jika dan , tentukan matriks .
Diketahui matriks dan . Jika tentukan matriks
Diketahui matriks , , dan . Jika tentukan matriks

32

4. PENERAPAN MATRIKS PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN
LINEAR
1. Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan Metode Invers Matriks
Penggunaan lain dari invers matriks adalah untuk menentukan penyelesaian
atau himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan lienar dua variabel
(SPLDV). Secara umum, penyelesaian SPLDV dengan menggunakan metode
invers matriks dapat dikerjakan dengan algoritma sebagai berikut:
Sistem persamaan linear dua variabel secara umum berbentuk

Bentuk umum ini dapat kita nyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut.

[

] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ] []

a1 x +b 1 y
c
a b1 x
c
= 1 ⇔ 1
= 1
a2 x +b 2 y
c2
a2 b 21 y
c2

Misalkan

A=

a1 b1
; X= x ;
y
a2 b21

[]
c1
c2

dan

B=

tersebut

dapat

, maka persamaan

matriks di atas dapat ditulis sebagai :
AX =B
Sehingga

sistem

persamaan

linear

diselesaikan

dengan

menggunakan persamaan matriks dalam bentuk
−1

AX =B ⟹ X =A B

Dari persamaan di atas, kita dapat mencari penyelesaian matriks seperti
yang telah kita pelajari sebelumnya, maka tentukan
A=

[

a1 b1
a2 b21

A

−1

diperoleh :

]
[

]



A−1=

1 b2 −b1
| A| −a2 a 1



A−1=

1
b 2 −b 1
a1 b2−a2 b1 −a2 a1

[

, dengan | A|=determinan A

]

, dengan a1 b2−a2 b1 ≠ 0
33

Kemudian kalikan matriks yang diperoleh pada langkah 1 dengan invers
matriks koefisiennya, diperoleh :
A−1

[ ][ ] [ ]
a1 b1 x
c
= A−1 1
a2 b2 y
c2

[

][ ] [ ]
( )[ ]
[
]
[]
[
]

[

][ ]

1
b2 −b1 a1 b1 x
1
b2 −b 1 c 1
=
a1 b 2−a 2 b1 −a2 a1 a2 b2 y a1 b2−a2 b 1 −a2 a1 c 2



1
b 2 c 1−b 1 c 2
1 0 x =
0 1 y a1 b2 −a2 b1 −a 2 c 1 +a1 c 2



1
b2 c 1−b1 c 2
x =
y a1 b2−a2 b1 −a2 c 1+ a1 c 2



Tetapkan nilai

x

y

dan nilai

dengan mengacu pada persamaan matriks

yang diperoleh, maka diperoleh :
b 2 c 1 −b 1 c 2
a1 b2−a2 b 1
−a c + a c
y= 2 1 1 2
a 1 b2 −a2 b1

x=

CONTOH 12
1.

[ ]

[]

[

]

3 1 buku
x
18000
HavilaMisalkan
dan Haryati
suatu
toko yang
sama.
Bila persamaan:
A=membeli
, X =dan tas
danpadaB=
sehingga
diperoleh
3 3
y
30000
Havila membeli 3 buku dengan
harga x dan sebuah tas dengan harga y ,
AX =B
−1
sedangkan Haryati membeliX 3=A
bukuB dan 3 tas yang masing-masing memiliki
1
−1
3 −1
3 3
Rp18000 dan harga
= tas Havila adalah
harga x A=
dan y . Harga
, maka
bukuA dan
1 3
3 ( 3 )−(1)( 3) −3 3
buku dan tas Haryati bila dijumlah yaitu Rp30.000 , dengan menggunakan

[ ]

[

[

]

]

matriks tentukan−1harga1 buku
3 dan
−1tas tersebut.
 A =
9−3 −3 3
Jawab:
Dari permasalan−1di atas
dapat tuliskan dalam model matematika:
1 3kita−1
 A =
6 −3 3

......................(1)
3 x+ y =18000
1 −1

......................(2)
3 y+ 3 y=30000
6
A−1= 2
disubstitusi ke persamaan X =A−1 B , sehingga
−1 ini1 dapat dituliskan dalam bentuk matriks,
Dari persamaan
2 18000
2
3 1 x =
3 3 y 30000
diselesaikan dengan metode invers matriks sebagai berikut:
1 −1
6 18000
 X= 2
−1 1 30000

[

[

[][ ] [ ]]
[ ][

]

]

34

L A T I

H A N 8

Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan matriks.
Diberikan sistem persamaan berikut.

Ubah sistem persamaan ke bentuk matriks
Tentukan invers matriks koefisien A.
Gunakan untuk menetukan penyelesaian jika dan
Gunakan untuk menetukan penyelesaian jika dan

3.

f ( x )24
=ax+b
Suatu 1.fungsi
linear
bernilai
2 dan
bernilai
Doni
membeli
liter ,bensin
dan75untuk
liter oli x=¿
dengan
harga

−2

x=−1 . Sedangkan Fida membayar Rp 381.000,00
Rp 258.000,00.
untuk
untuk 18rumus
liter bensin
dan 10! liter oli. Tentukan harga
a. Tentukan
fungsi tersebut
bensin dan
( 3 ) lliternya.
b. Tentukan
nilaioli ftiap
dan f (−2 ) !

2.

4.

Doni membeli 24 liter bensin dan 5 liter oli dengan harga Rp 258.000,00.
Sedangkan Fida membayar Rp 381.000,00 untuk 18 liter bensin dan 10 liter oli.
Tentukan harga bensin dan oli tiap lliternya.

5. Pada tahun ajaran baru, Ali mewakili beberapa temannya untuk membeli 5 buah
buku matematika dan 4 buah buku biologi. Ali harus membayar sejumlah Rp
241.000,00. Pada saat yang hampir bersamaan, Badi mewakili teman-teman
yang lainnya, membeli 10 buah buku biologi. Badu harus membayar sejumlah
Rp 434.000,00. Misalkan bahwa harga satu buah buku matematika adalah
rupiah dan harga satu buah buku biologi adalah � rupiah.

x

35
a. Buatlah model matematika dari masalah di atas dalam bentuk SPLDV
dalam variabel

x dan varabel

y

3. Menentukan Penyelesaian SPLDV dan SPLTV dengan Metode Determinan
Matriks
Penggunaan lain dari determinan matriks adalah untuk menentukan
penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan lienar dua
variabel (SPLDV) dan juga sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) agar menjadi
lebih mudah. Secara umum, penyelesaian SPLDV dan SPLTV dengan menggunakan
metode determinan matriks dapat dikerjakan dengan algoritma sebagai berikut:
Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) secara umum berbentuk

Dengan menggunakan eliminansi, bentuk umum ini dapat kita nyatakan dalam
bentuk matriks sebagai berikut :

(
=
Sehingga

x dapat dituliskan sebagai pembagian determinan sebagai berikut :

36

x=



| |
| |
c1 b1
c2 b2
a1 b1
a2 b2

Dx
D
Sama halnya dengan menetukan nilai
ditentukan sebagai berikut :
x=



x , nilai dari variabel

y

dapat

(
y=

y=



| |
| |
c1 a1
c2 a2

a 1 b1
a 2 b2
D
y= y
D



Penyelesaian x dan y dapat dinyatakan dengan notasi determinan, yaitu
dengan menentapkan D , D x , dan D y sebagai berikut :

| |
a1 b 1
a2 b 2



D=



Dx =¿

merupakan determinan dari koefisien-koefisien variabel

| |
c1 b1
c2 b2

merupakan determinan

D

pertamanya diganti oleh konstanta-konstanta c 1 dan c 2
c 1 a1
D y =¿

merupakan determinan D
c 2 a2

| |

x dan y

dengan bagian kolom

dengan bagian kolom

pertamanya diganti oleh konstanta-konstanta c 1 dan c 2
Hubungan inilah yang dikenal sebagai Aturan Cramer atau Kaidah Cramer
bagi sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dan berlaku juga pada sistem
persamaan lienar tiga variabel (SPLTV).
Bila diketahui sistem persamaan lienar tiga variabel

37

Maka penyelesaian sistem persamaan tiga variabel (SPLTV) tersebut adalah :

x=

| | | |
| | | |
d1 b1 c1
d2 b2 c2
d3 b3 c3
a 1 b1 c 1
a 2 b2 c 2
a 3 b3 c 3

,

y=

a 1 d 1 c1
a 2 d 2 c2
a3 d3 c3
a1 b 1 c 1
a2 b 2 c 2
a3 b 3 c 3

, dan

z=

| |
| |
a1 b1 d 1
a2 b2 d 2
a3 b3 d3
a1 b 1 c 1
a2 b 2 c 2
a3 b 3 c 3

CONTOH 13
Tentukan penyelesaian SPLDV di bawah ini dengan menggunakan metode
determinan.

Jawab :

| |

D= 4 5 =( 4 ) (3 )−( 2 ) ( 5 )=2
2 3

| |

Dx = 17 5 =( 17 )( 3 )−( 11 ) ( 5 )=−4
11 3

| |

D y = 4 17 =( 4 ) (11 )−( 2 ) ( 17 ) =10
2 11

 x=

D x −4
=
=−2
D
2



D y 10
= =5
D
2

y=

Jadi penyelesaian SPLDV tersebut adalah

x=−2

dan

y=5

atau himpunan

HUBUNGAN
DETERMINAN PADA
PENYELESAIAN
SPLDV&SPLTV
Misalkan diketahui SPLDV berikut :
38

1.
2.

D≠ 0 , maka himpunan penyeesaian tepat memiliki satu anggota.
D=0 , D x ≠ 0 , dan D y ≠ 0 , maka himpunna penyelesaian tidak memiliki

anggota.
D=D x = D y =0 , maka himpunan penyelesain memiliki anggota yang tak
3.
hingga banyaknya.
4.
x− y=−1
Hal ini juga berlaku pada penyelasain sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV).

L A T I

H A N 8

Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode determinan.
2

b.
Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan metode determinan (Cramer).

2 berikut ini.
Perhatikan SPLDV

4

Himpunan penyelesaian SPLDV tersebut tidak mempunyai anggota.
a) Carilah hubungan antara p dan q , syarat bagi p , serta syarat bagi q
b) Jika p dan q masing-masing merupakan bilangan asli, carilah pasangan nilai
p dan q sehingga himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota.
4. Suatu hari Ana dan Ane pergi ke sebuah toko yang sama. Ana ingin membeli 4 buah

kotak makan dengan harga

p dan 14 botol minum dengan harga

q

tetapi karena
39

uangnya kurang sebesar Rp 42.000 maka ia meminjam uang Ane. Pada saat itu Ane
membawa uang sebesar Rp 50.000 dan ia hanya membeli 1 kotak makan dan 2 gelas
sehingga sisa pembelian Ane tepat menutupi kekurangan uang Ana dan ia masih
mendapat kemablian uang sebesar Rp 2000. Berapakah harga kotak makan dan botol
minum tersebut ? (Gunakan aturan Cramer untuk menentukan harga kotak makan dan
botol minum)
5. Diketahui

Dengan

6.

x=

p

| |
3 1
2 −3

.

Tentukan nilai

p.

Lusi mempunyai uang Rp150.000,00 lebihnya dari uang Sinta. Jika tiga kali uang
Lusi ditambah dua kali uangnya Sinta jumlahnya adalah Rp950.000,00. Tentukan

7.

besar masing-masing uang Lusi dan Sinta!
Irfan dan Roni bekerja di pabrik kaos bagian menyablon logo. Irfan dapat menyablon
300 kaos setiap jam, sedangkan Roni dapat menyablon 200 kaos setiap jam. Lama
waktu mengerjakan Irfan dan Roni tidak sama. Jumlah jam kerja Irfan dan Roni
adalah 50 jam dengan banyak kaos yang telah disablon sebanyak 12.400 kaos.

8.

Sudut suatu segitiga yang berukuran sedang adalah 300 lebih besar daripada sudut
yang terkecil. Sudut yang terbesar 100 lebih besar daripada sudut sedang. Berapakah
besar tiap-tiap sudut?

9.

Tomi dan Budi secara bersamaan membutuhkan waktu 12 menit untuk mencuci
sepeda motor. Budi dan Benny secara bersamaan membutuhkan waktu 15 menit uk
mencuci sepeda motor yang sama.

Tentukan berapa menit yang diperlukan oleh Tomi, Budi, dan Benny untuk mencuci
sepeda motor ang sama secara bersama-sama.
10. Pada suatu taman ria ada 3 jenis wahana bermain: Jolly, Adventure dan Thrill. Karcis masuk
gratis jika membeli satu paket tiket, termasuk 10 tiket untuk tiap-tiap wahana. Atau Anda
dapat membayar Rp50.000,00untuk karcis masuk dan kemudian membeli tiket untuk
masing-masing wahana secara tersendiri. Noah, Rita, dan Carey memutuskan untuk
40
membayar karcis masuk dan membeli tiket secara individu. Noah membayar
Rp195.500,00 untuk 7 wahana Jolly, 3 wahana Adventure dan 9 wahana Thrill. Rita
membayar Rp130.000,00 untuk 9 wahana Jolly, 10 wahana Adventure. Carey membayar

1.
1. Jika matriks

[

][

x
❑

log a
log (4 a−14) log b 1
=
log a 1
log (b−4 )
1

]

maka

x=¿ . . . .

a. 1
b. 4
c. 6
d. 10
6
e.
(UM-UGM 2007)
10
2. Bilangan dari semua kemungkinan matriks ordo 3 ×3 dengan elemen yang hanya
terdiri oleh 0 atau 1 adalah . . . .
a. 27
b. 18
c. 81
d. 512
e. 1536
(Highly order thingking question by
Vidhyarian Institute)
3. Diberikan

A=

[

a11 a12
a21 a22

]

dengan | A|=−10.

Maka nilai dari a11 c 11 + a12 c 12

adalah . . . . ( c 11 dan c 12 adalah kofaktor a11 dan a12 ¿
2
a. 2 | A|
b. −| A|
c. | A|
d. | A|
e.
0
(Highly order thingking
question by CBSE)
4. Jumlah dari ketiga bilangan adalah 2. Jika bilangan kedua dikurangkan bilangan
pertama, diperoleh sama dengan 3. Dengan menambahkan dua kali bilangan kedua
dan bilangan ketiga diperoleh sama dengan 0. Bila dinyatakan dalam sistem aljabar
dan menggunakan matriks, maka masing-masing bilangan yang digunakan
adalah . . .
a. x=1, y=– 2, z=1
b. x=−1, y =– 2, z=1
c. x=1, y=2, z=−1
d. x=−1, y =– 2, z=−2
e. x=1, y=2, z=−2
(Highly order thingking question by CBSE)

5. Diketahui bahwa

x=−9 adalah salah satu akar dari

| |

x 3 7
2 x 2 =0 , maka akar7 6 x

akar yang lain adalah . . . .
x 2=2 atau x 3=7
a.
41

x 2=2 atau x 3=−7
x 2=−2atau x3 =7
x 2=−2atau x3 =−7

b.
c.
d.

(Highly order thingking question by
CBSE)
6. Asumsikan

X ,Y ,Z,W

dan

2× n , 3× k , 2× p ,n × 3, dan
7 X−5 Z

P adalah matriks-matriks yang berordo
p× k . Jika n= p maka ordo dari matriks

adalah .. . .
(Highly order thingking question by
Vidhyarian Institute)

7. Jika

A=

[

0

−tan

α
tan
2

perlihatkan bahwa

α
2

0

]

dan I adalah matriks identitas berordo 2, maka

[

I + A=(I −A ) cos α −sin α
sin α cos α

]

.

(Highly order thingking question by CBSE)

[

[ ]

n−1

n−1

n−1

]

3
3
3
n
n−1
n−1
maka buktikan bahwa A = 3
3
3 n−1 .
3n−1 3n−1 3 n−1
(Highly order thingking question by PISA)
1 −4 ,
9. Misalkan A=
buktikan dengan induksi matematika bahwa :
1 −3
A n= 1+ 2n −4 n
n
1−2 n
(Highly order thingking question by TIMMS)
10. Suatu rangkaian listrik terdiri dari dua baterai (6 V dan 9 V) dan tiga resistor (47 ohm,
1 1 1
A=
8. Jika
1 1 1
1 1 1

[

[

]
]

470 ohm, dan 280 ohm). Baterai-baterai tersebut menghasilkan aliran arus listrik pada
rangkaian. Misal x, y dan z mempresentasikan arus dalam ampere yang mengalir
melewati masing-masing resistor. Voltasi yang melewati masing-masing resistor
adalah arus listrik dikalikan dengan resistansinya ( V= IR). Hal tersebut menghasilkan
dua persamaan loop pada rangkaian sebagai berikut:
47x + 470y = 6
280z + 470y = 9
42

43

Arus listrik yang mengalir ke masing-masing titik pada rangkaian harus mengalir
keluar. Jadi, di persimpangan A, x + z – y = 0. Tentukan arus yang mengalir melalui
masing-masing resistor!

Sumber: Discovering Algebra, an Investigative Approach

44