91aplikasi integral 2

7.2.2 Metoda Cincin
a. Daerah

D  ( x, y ) | a  x b , g ( x)  y h( x)

diputar terhadap sumbu x
h(x)
D
g(x)
a

b

Daerah D
? Volume benda putar
MA1114 KALKULUS I

Benda putar
1

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan

Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.
h(x)

Jika irisan berbentuk persegi panjang
dengan tinggi h(x)-g(x) dan alasx diputar
terhadap sumbu x akan diperoleh suatu
cincin dengan tebal x dan jari –jari luar h(
dan jari-jari dalam g(x).

D
g(x)
a
h(x)

x

b

sehingga

V  (h 2 ( x)  g 2 ( x))x

x
g(x)

b

V  (h 2 ( x)  g 2 ( x))dx
a

MA1114 KALKULUS I

2

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika
daerah D yang dibatasi oleh y  x 2 , sumbu x, dan
garis x=2 diputar terhadap garis y=-1
Jika irisan diputar terhadap garis y=1
Akan diperoleh suatu cincin dengan
Jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar1  x 2

Sehingga

y x 2

D
1

V  (( x 2  1) 2  12 )x

1 x2
x

2

 ( x 4  2 x 2  1  1)x
y=-1

 ( x 4  2 x 2 )x

Volume benda putar :

2

V  x 4  2 x 2 dx  ( 15 x 5  23 x 3 |02 )  ( 325  163 )  186
15 
0

MA1114 KALKULUS I

3

Catatan :
-Metoda cakram/cincin
Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar
- Metoda kulit tabung

Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar
Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan
menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan
menghasilkan hasil yang sama
Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi

Oleh parabola
x = 2, dan sumbu x diputar terhadap
y ,garis
x2
a. Garis y = 4
b. Garis x = 3
MA1114 KALKULUS I

4

a. Sumbu putar y = 4
(i) Metoda cincin

y=4

2

(4  x )

Jika irisan diputar terhadap garis y=4

akan diperoleh cincin dengan
2
Jari-jari dalam =rd (4  x )

Jari-jari luar = rl 4

4

y x 2

Sehingga
D

V  ((4) 2  (4  x 2 ) 2 )x

x 2

 (8 x 2  x 4 )x

Volume benda putar

2

V  (8 x 2  x 4 )dx  ( 83 x 3 
0

MA1114 KALKULUS I

1
5

x 5 ) |02  ( 643 
5

32
5

)  224
15 

b. Sumbu putar x=3

(i) Metoda cincin

x=3

Jika irisan diputar terhadap garis x=3
diperoleh cincin dengan
Jari-jari dalam = rd 1
Jari-jari luar = rl 3 

y x 2

y

1
y

3

D

y

Sehingga

y

2

3

y ) 2  (1) 2 )y

V  ((3 

 (8  6 y  y )y

Volume benda putar
4

V  (8  6 y  y )dy  (8 y  4 y 3 / 2  8 | 04 ) 8

0

MA1114 KALKULUS I

6

D. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di
batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap
sumbu x
1.

2

y  x dan y 4 x

y2.= sin x, y = cos x, x = 0 , x = /4
3.

y  x 3 dan y  x, di kuadran 1

4.

y  x 2 , dan y  x

5.

y  x , dan y  x

MA1114 KALKULUS I

7

E. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di
batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap
sumbu y
1.

2

y  x dan y 4 x

y 2.
= -x+1, y = x2, dan x = 0 di kuadran 1
3.

y  x 3 dan y  x, di kuadran 1

4.

y  x 2 , dan y  x

5.

y  x , dan y  x

MA1114 KALKULUS I

8

7.2.3 Metoda Kulit Tabung
DiketahuiD  ( x, y ) | a  x b , 0  y  f ( x )
Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar

f(x)
D
a

b

Daerah D

Benda putar
Volume benda putar ?

MA1114 KALKULUS I

9

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan
Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

f(x)
D

x

a

x

Jika irisan berbentuk persegi panjang
dengan tinggi f(x) dan alas x serta berjarak
x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y
akan diperoleh suatu kulit tabung dengan
tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal x
b

sehingga

x

V 2 x f ( x) x
f(x)
x

b

V 2 xf ( x)dx
MA1114 KALKULUS I

a

10

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika
daerah D yang dibatasi oleh y  x 2 , sumbu x, dan
garis x=2 diputar terhadap sumbu y
2

Jika irisan dengan tinggi x ,tebal x
dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadap
sumbu y akan diperoleh kulit tabung
2
dengan tinggi x , tebal x dan jari
jari x

y x 2

x2

D
x

x

2

Sehingga

V 2 x x 2 x 2 x 3 x
Volume benda putar
2

 4 2
V 2 x dx  x | 0 8
2
0
3

MA1114 KALKULUS I

11

Catatan :
-Metoda cakram/cincin
Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar
- Metoda kulit tabung

Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar
Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan
menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan
menghasilkan hasil yang sama
Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi
Oleh parabola
x = 2, dan sumbu x diputar terhadap
y ,garis
x2
a. Garis y = 4
b. Garis x = 3
MA1114 KALKULUS I

12

(ii) Metoda kulit tabung

y=4
4 y

y x

Jari-jari = r = 4  y

2

Tinggi = h = 2  y

y

y

D 2

Jika irisan diputar terhadap garis y=4
akan diperoleh kulit tabung dengan

y

2

Tebal = y
Sehingga

V 2 (4  y )(2 

y )y

2 (8  4 y  2 y  y y )y

Volume benda putar
4

V 2 (8  4 y  2 y  y y )dy 2 (8 y 
0

MA1114 KALKULUS I

8
3

y 3 / 2  y 2  52 y 5 / 2 ) | 04  224
15 
13

(ii) Metoda kulit tabung

x=3
Jika irisan diputar terhadap garis x=3
diperoleh kulit tabung dengan
Tinggi = h = x 2

y x 2

x
D

x 2 3-x

x

Jari-jari = r = 3-x
Tebal = x

2

Sehingga

V 2 (3  x) x 2 x

3

2 (3x 2  x 3 )x

Volume benda putar
2

V 2 (3x 2  x 3 )dx 2 ( x 3 

1
4

x 4 ) | 02 2 (8  4) 8

0

MA1114 KALKULUS I

14

F. Daerah D dibatasi oleh kurvay  x dan garis x = 2y.
Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :
(1) sumbu x
(2) garis x = -1
(3) garis y = 4

(4) sumbu y
(5) garis y = -2
(6) garis x = 4

G. Daerah D dibatasi oleh parabol y 4 x  x 2 dan garis x+ y = 4.
Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :
(1) sumbu x
(2) garis x = 6

(3) sumbu y
(4) garis y = -1

MA1114 KALKULUS I

15

7.3 Panjang Kurva
Persamaan parameter kurva dibidang
x = f(t)
y = g(t)

, a t b

(1)

Titik A(f(a),g(a)) disebut titik pangkal kurva dan titik B(f(b),g(b)) disebut
titik ujung dari kurva.

Definisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulus
jika
(i) f ' dan g ' kontinu pada [a,b]
Kurva tidak berubah sekonyong-konyong
(ii) f ' dan g 'tidak secara bersamaan nol pada (a,b)
MA1114 KALKULUS I

16

Misal diberikan kurva dalam bentuk parameter (1), akan dihitung
panjang kurva
Langkah
1. Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagian

a t o  t1  t 2  ...  t n b
Qi  1

●

Qi

Qo

●

a t1

● ●
ti 1 ti

●
t n 1 b

●
Q1●

●

Partisi pada [a,b]
Paritisi pada kurva

MA1114 KALKULUS I

Qn

●

17

2. Hampiri panjang kurva

si panjang busur Qi  1Qi
Qi

si

wi panjang tali busurQi  1Qi

Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busur
wi
Qi  1

x i

y i

si wi
 (xi ) 2  (y i ) 2

 [ f (t i )  f (t i  1 )]2  [ g (t i )  g (t i  1 )]2

Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk
turunan, terdapat tˆi , t i  (t i  1 , t i sehingga
)

f (t i )  f (t i  1 )  f ' (t i )t

g (t i )  g (t i  1 )  g ' (tˆi )t
MA1114 KALKULUS I

18

dengan t i t i  t i  1
sehingga

wi  [ f ' (ti )ti ]2  [ g ' (tˆi )ti ]2
 [ f ' (ti )]2  [ g ' (tˆi )]2 ti
Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang tali busur
n

L  [ f ' (ti )]2  [ g ' (tˆi )]2 ti
i 1

Dengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperoleh
b

L  [ f ' (t )]2  [ g ' (t )]2 dt
a

MA1114 KALKULUS I

19

Ctt:
Jika persamaan kurva y=f(x),a  x b
f  1b

L
f



1

2

2

[ f ' (t )]  [ g ' (t )] dt


a

 [
a

 a
b

b

2

dx 2 dy 2
]  [ ] dt
dt
dt

b

2

dx 2
 dy 
 dy 
( ) (1    ) dt  1    dx
dt
 dx 
 dx 
a

Jika persamaan kurva x=g(y),c  y d
g1d 

L

2

2

[ f ' (t )]  [ g ' (t )] dt



g 1 c

d

 [
c

d


c

dx 2 dy 2
]  [ ] dt
dt
dt

2
2
d



dy 2   dx 
dx
( )    1 dt  1    dy

dt   dy 
 dy 
c


MA1114 KALKULUS I

20

Contoh : Hitung panjang kurva
1.

x t 3 , y t 2 ; 0 t 4
x' (t ) 3t 2 , y ' (t ) 2t
Panjang kurva
4

4

4

L   (3t 2 ) 2  (2t ) 2 dt   9t 4  4t 2 dt   t 2 (9t 2  4)dt
4

4
2

 t 9t  4 dt
0

0

0

0

2

 t (9t  4)
0

 181 23 (9t 2  4) 3 / 2 | 04

1/ 2

d (9t 2  4)
18t

 271 (40 40  8)  271 (80 10  8)

MA1114 KALKULUS I

21

2.

y 2x 3 / 2

antara x =1/3 dan x=7

Jawab :

dy
3x1 / 2
dx
7



L   1  3x
1/ 3



1/ 2 2

7

dx   1  9 x dx  19
1/ 3

7
1/ 2
(
1

9
x
)
d (1  9 x)


1/ 3

 272 (1  9 x) 3 / 2 |17/ 3  272 (512  8) 37 13

MA1114 KALKULUS I

22

E. Hitung panjang kurva berikut
1.

x 4 sin t , y 4 cos t  5; 0 t 
2

3

2. x 3t  2, y 2t  1 / 2; 1 t 4

1 2
y

( x  2) 3 / 2 , 0  x 1
3.
3
4.

x

1
y ( y  3), 0  y 9
3
2

5. y ln(1  x ), 0  x 1 / 2

x 2 ln x
6. y 

, 2  x 4
2
4
MA1114 KALKULUS I

23