Pertemuan 6 Integral 2 6.1 Pendahuluan - 6 Integral 2

  

Pertemuan 6

Integral 2

  6.1 Pendahuluan

  Pada pertemuan sebelumnya, kita telah mempelajari hubungan antara Jumlahan Riemann dan proses integrasi. Kita temukan pula bahwa untuk sebuah fungsi kontinu pada sebagai norm dari partisi

  [ ], limit dari | | mendekati nol adalah nilai ∫ ( ) ( ) ( ) dimana sembarang antiderivative dari . Kita terapkan hal ini untuk menghitung luas area diantara sumbu- dan grafik ( ) untuk , dan menghitung luas area diantara dua buah kurva.

  Sekarang kita akan mencoba menerapkan integral untuk menemukan volume, panjang bidang kurva, pusat massa, luas permukaan perputaran, tekanan dan daya cairan. Di sini kita gunakan limit dari Jumlahan Riemann fungsi-fungsi kontinu pada interval tertutup, yakni integral tertentu yang dapat dihitung dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus.

  6.2 Volume Sebuah Benda

  Pada bab ini kita akan mendefinisikan volume dari sebuah bangun yang beririsan dengan daerah suatu bidang.

  Definisi 6.1 Volume

  Volume dari sebuah bangun dari area terintegrasi beririsan,

  ( ) dari ke

  adalah integral

   dari ke , ∫ ( )

  Contoh 6.1 Volume dari sebuah piramida

  Sebuah piramida dengan tinggi 3 m memiliki alas persegi dengan panjang sisi 3 m. Bidang irisan piramida tegak lurus dengan tinggi m dari titik puncaknya adalah sebuah persegi dengan panjang sisi m. Tentukan volume dari piramida!

  Jawaban

  1. Kita gambarkan piramida dengan tingginya sepanjang sumbu- dan titik puncaknya berada di titik pusat dan termasuk bidang irisannya. Perhatikan gambar berikut.

Gambar 6.1 Bidang irisan piramida pada Contoh 6.1 adalah persegi-persegi

  th

  ed, p.398) (Thomas’s Calculus, 11

  2. Bidang irisannya pada adalah persegi dengan panjang sisi m. Jadi, luas areanya adalah

  ( ) 3. Persegi-perseginya terletak pada bidang dari hingga .

  4. Integrasikan untuk memperoleh volumenya: ∫ ( ) ∫

  ] Contoh 6.2 Volume sebuah benda Sebuah benda dibentuk dari sebuah tabung dengan jari-jari 3 dan dua bidang datar. Salah satu bidang tegak lurus dengan sumbu dari tabung. Bidang kedua memotong bidang pertama pada sudut dari pusat tabung. Temukan volume dari benda tersebut! Jawaban Kita gambarkan benda dan bidang irisannya terhadap sumbu-

  . Perhatikan Gambar 6.2 di

Gambar 6.2 Bangun pada Contoh 6.2

  th

  ed, p.398) (Thomas’s Calculus, 11

  Bidang irisan pada adalah persegi panjang dengan area ( ) ( √ ) √

  Persegi panjang-persegi panjang tersebut berjalan dari hingga , sehingga , ambil

  ∫ ( ) ∫ √

  ⁄

  ) ] (

  ⁄

  ( ) □

  Solid of revolution: Metode Disk Bangun yang dibentuk dengan merotasi suatu daerah bidang pada suatu sumbu dalam bidangnya disebut sebagai solid of revolution. Volumenya diberikan sebagai berikut.

  ∫ ( ) ∫ [ ( )] Contoh 6.3 Solid of revolution Daerah diantara kurva

  √ , dan sumbu- diputar terhadap sumbu- untuk membentuk sebuah bangun. Tentukan volumenya! Jawaban Kita gambarkan bangun yang dibentuk seperti pada gambar berikut.

Gambar 6.3 Daerah (a) dan bangun dari perputaran (b) untuk Contoh 6.3

  th

  ed, p.400) (Thomas’s Calculus, 11

  Volumenya adalah ∫ [ ( )]

  ∫ [√ ] ] □

  ∫ Contoh 6.4 Volume sebuah bola Lingkaran diputar terhadap sumbu- untuk membentuk sebuah bola. Tentukan volumenya!

  Jawaban Kita bayangkan bola tersebut dipotong dalam irisan-irisan tipis dengan bidang yang tegak lurus sumbu-

  . Perhatikan Gambar 6.4 di bawah.

Gambar 6.4 Bola yang dibentuk dengan memutar lingkaran pada sumbu- .

  Radiusnya adalah ( ) √

  th

  ed, p.400) (Thomas’s Calculus, 11

  Luas area bidang irisan pada titik diantara dan adalah ( ) (

  ) Sehingga volumenya adalah

  ∫ ( ) ∫ ( ) [ ]

  Contoh 6.5 Solid of revolution (rotasi pada garis )

  Temukan volume sebuah bangun yang dibentuk dengan memutar daerah yang dibatasi oleh √ dan garis pada garis ! Jawaban Perhatikan gambar berikut.

Gambar 6.5 Daerah (a) dan bangun revolusi (b) untuk Contoh 6.5

  th

  ed, p.401) (Thomas’s Calculus, 11

  Volume bangun tersebut adalah ∫ [ ( )]

  ∫ [√ ] ∫ [ √ ]

  ⁄

  [ ] □ Contoh 6.6 Rotasi pada sumbu- Temukan volume sebuah bangun yang dibentuk dengan memutar daerah diantara sumbu- dan kurva

  ⁄ , pada sumbu- ! Jawaban Perhatikan gambar ilustrasi berikut.

Gambar 6.6 Daerah (a) dan bagian dari bangun revolusi (b) untuk Contoh 6.6

  th

  ed, p.402) (Thomas’s Calculus, 11

  Volume bangun adalah ∫ [ ( )]

  ) ∫ ( ∫ [ ] [ ] □

  Contoh 6.7 Rotasi pada sumbu vertikal Temukan volume dari bangun yang dibentuk dengan memutar daerah diantara parabola dan garis pada garis ! Jawaban Perhatikan gambar berikut. Perhatikan bahwa bidang irisan tegak lurus terhadap garis .

Gambar 6.7 Daerah (a) dan bangun revolusi (b) untuk Contoh 6.7

  th

  ed, p.402) (Thomas’s Calculus, 11

  Volume bangun adalah

  √

  ∫ [ ( )]

  √ √

  )] ∫ [ (

  √ √

  ] ∫ [

  √ √

  ∫ [ ]

  √ √

  [ ]

  √ √

  □ Solid of revolution: Metode Washer Jika daerah yang diputari untuk membentuk suatu bangun tidak dibatasi atau beririsan dengan sumbu putar, maka bangun tersebut memiliki lubang di tengahnya. Perhatikan

Gambar 6.8 berikut.Gambar 6.8 Bidang irisan dari bangun revolusi yang dibentuk memiliki lubang di tengahnya

  th

  ed, p.403) (Thomas’s Calculus, 11

  Volume untuk bangun seperti demikian adalah ∫ ( ) ∫ ([ ( )] [ ( )]

  ) Contoh 6.8 Bidang irisan metode washer (rotasi pada sumbu-

  ) Daerah yang dibatasi oleh kurva dan garis diputar terhadap sumbu- untuk membentuk sebuah bangun solid. Tentukan volume dari bangun tersebut! Jawaban

1. Pertama, kita gambarkan daerah dan kurva sebagaimana yang dimaksud dalam contoh soal.

Gambar 6.9 Daerah untuk Contoh 6.8

  th

  ed, p.403) (Thomas’s Calculus, 11

  2. Temukan jari-jari luar dan dalam dari washer yang terbentuk dari ruas garis dari daerah tersebut jika diputar terhadap sumbu- .

  Outer radius: ( )

  Inner radius: ( )

Gambar 6.10 Saat daerah diputar sepanjang sumbu- diperoleh sebuah washer

  th

  ed, p.403) (Thomas’s Calculus, 11

  3. Temukan batasan integral dengan mencari koordinat- dari titik-titik beririsan antara kurva dan garis pada Gambar 6.10 sebelumnya.

  ( )( )

4. Hitung integral volumenya:

  ∫ ([ ( )] [ ( )] ) ( ) )

  ∫ (( ) ∫ ( ) [ ] □

  Contoh 6.9 Bidang irisan metode washer (rotasi pada sumbu- )

  Daerah yang dibatasi parabola dan garis pada kuadran pertama diputar terhadap sumbu- untuk membentuk sebuah bangun. Tentukan volume bangun tersebut! Jawaban Perhatikan gambar berikut. Jari-jari dari washer yang dibentuk dari ruas garis adalah ⁄ . ( ) √ ( )

Gambar 6.11 (a) Daerah yang diputar terhadap sumbu-

  , (b) washer yang terbentuk

  th

  ed, p.404) (Thomas’s Calculus, 11

  Garis dan parabola beririsan pada dan , jadi batasan integrasi adalah dan . Kita integrasikan untuk menemukan volume:

  ∫ ([ ( )] [ ( )] )

  [ ] ) ∫ ([√ ]

  ) [ ] □ ∫ (

  Solid of revolution: Metode Shell Volume dari sebuah bangun yang dibentuk dengan memutar daerah diantara sumbu- dan grafik dari sebuah fungsi kontinu

  ( ) , terhadap garis vertikal adalah ∫ ( )( )

  Contoh 6.10 Selubung silinder yang berputar terhadap sumbu- Daerah yang dibatasi oleh kurva

  √ , sumbu- , dan garis diputar sepanjang sumbu- untuk menghasilkan sebuah bangun. Tentukan volume bangun tersebut! Jawaban Perhatikan gambar berikut.

Gambar 6.12 (a) Daerah, ukuran selubung, dan interval dari integrasi, (b) shell yang diputar

  th

  ed, p.412) (Thomas’s Calculus, 11

  Variabel ketebalan selubung adalah , sehingga batasan integrasi untuk rumus shell adalah dan . Volumenya adalah

  ∫ ( )( ) ∫ ( )(√ )

  ⁄ ⁄

  [ ] □ ∫

  Contoh 6.11 Selubung silinder yang berputar terhadap sumbu- Daerah yang dibatasi oleh kurva

  √ , sumbu- , dan garis diputar sepanjang sumbu- untuk menghasilkan sebuah bangun. Tentukan volume bangun tersebut!

  Jawaban Perhatikan gambar di bawah.

Gambar 6.13 (a) Daerah, ukuran selubung, dan interval dari integrasi, (b) shell yang diputar

  th

  ed, p.413) (Thomas’s Calculus, 11

  Kali ini, variabel ketebalan selubung adalah , sehingga batasan integrasinya untuk rumus shell adalah dan . Volume dari bangun tersebut adalah

  ∫ ( )( ) ∫ ( )( )

  ) ∫ ( [ ] .□

6.3 Panjang Suatu Kurva

  Definisi 6.2 Panjang suatu kurva parametric

  Jika suatu kurva

   terdefinisi secara parameter dengan ( ) dan ( ) ,

  dimana

   dan kontinu dan tidak berurutan nol pada [ ], dan ditelusuri tepat sekali

  saat

   naik dari ke , maka panjang dari adalah integral tertentu ∫ √[ ( )] [ ( )]

  Contoh 6.12 Keliling sebuah lingkaran dan . Jawaban Saat bergerak dari ke , lingkaran ditelusuri tepat satu kali, sehingga kelilingnya adalah

  ∫ √( ( ) )

  Kita tahu bahwa dan ( ( )

  ( ) )

  Sehingga ∫ √ [ ]

  Contoh 6.13 Menerapkan rumus parametric untuk panjang suatu kurva Temukan panjang dari asteroid berikut jika dan .

Gambar 6.14 Astroid Contoh 6.13

  th

  ed, p.419) Jawaban Karena bentuk kurva simetri terhadap sumbu koordinat, panjangnya empat kali panjang kurva pada kuadran pertama. Jadi

  ( [ ( )] )

  ( [ ( )] )

  √( ( √ ( ) ) )

  √ | |

  Oleh karenanya,

  ⁄

  Panjang kurva pada kuadran pertama ∫

  ⁄

  ∫

  ⁄

  ] Panjang dari asteroid adalah

  ( ⁄ ) □ Rumus untuk panjang dari

  ( )

  Jika

   kontinu dan terdiferensiasi pada interval tertutup [ ], panjang dari kurva ( )

  dari

   ke adalah ∫ √ ( ∫ √ [ ( )]

  ) Temukan panjang dari kurva √

  ⁄

  Jawaban Kita gunakan persamaan di atas dengan

  , dan √

  ⁄

  √

  ⁄ ⁄

  √

  ⁄

  ( ( √ ) )

  Panjang kurva dari hingga adalah ∫ √ ( ∫ √

  )

  ⁄

  ] ( )

  Rumus untuk panjang dari ( )

  Jika

   kontinu dan terdiferensiasi pada interval tertutup [ ], panjang dari kurva ( )

  dari

   ke adalah ∫ √ ( ∫ √ [ ( )]

  ) Contoh 6.15 Panjang suatu grafik yang memiliki diskontinuitas pada

  ⁄

  ⁄

  Temukan panjang dari kurva dari ⁄ ) ( hingga .

  Jawaban Turunannya

  ⁄ ⁄

  ( ( ) ) ( ) tidak terdefinisi pada

  , sehingga kita tidak dapat menemukan panjang kurva dengan cara seperti pada Contoh 6.14 sebelumnya.

  Untuk itu, kita tulis kembali persamaan untuk mengekspresikan sebagai :

  ⁄

  ( )

  ⁄ ⁄ ⁄

  Kurva yang akan dicari panjangnya juga merupakan grafik dari dari hingga . Turunannya

  ⁄ ⁄

  ( ) kontinu pada [ ]. Sehingga dengan persamaan di atas diperoleh

  ∫ √ ( ∫ √

  )

  ⁄

  ] ( )

  ( √ )

6.4 Momen dan Titik Pusat Massa

  Momen, massa, dan titik pusat massa dari suatu batang tipis sepanjang sumbu- dengan fungsi density

  ( ) Momen pada titik pusat:

  ∫ ( ) Massa:

  ∫ ( ) Titik pusat massa: ̅

  Contoh 6.16 Batang tipis dengan density konstan Tunjukkan bahwa pusat massa dari suatu batang kecil dengan density konstan terletak pada titik tengah dari kedua ujungnya! Jawaban Kita modelkan batang tersebut sebagai bagian dari sumbu- dari ke (Gambar 6.15).

Gambar 6.15 Pusat massa dari suatu batang kecil terletak pada titik tengah diantara kedua ujungnya

  th

  ed, p.427) (Thomas’s Calculus, 11

  Tujuan kita adalah menunjukkan bahwa ̅ ( ) ⁄ , titik tengah diantara dan .

  Kuncinya adalah density-nya memiliki suatu nilai konstan, sehingga memungkinkan kita untuk melihat fungsi ( ) dalam integral pada persamaan di atas sebagai suatu konstan

  (misal ), dengan hasil

  ∫ ∫ [ ] ) (

  ∫ ∫ [ ] ( ) )

  ( ̅

  ( ) Contoh 6.17 Variable-Density Rod Sebuah batang tipis dengan panjang 10 m makin tebal dari kiri ke kanan, sehingga density- nya bukan konstan, melainkan

  ⁄ ) kg/m. Tentukan titik pusat massa! ( ) ( Jawaban Moment dari batang pada titik pusat adalah

  ∫ ( ) ∫ ( ∫ ( ) )

  [ ] Massa batang adalah

  ∫ ( ) ∫ ( [ ) ]

  Pusat massa terletak pada ̅

  Momen, massa, dan titik pusat massa dari suatu bidang tipis menutupi suatu daerah dalam bidang- Momen pada titik pusat:

  ∫ ( ) Massa:

  ∫ ( ) Titik pusat massa:

  ̅ Contoh 6.18 Constant-density wire Tentukan titik pusat massa dari sebuah kabel dengan density konstan berbentuk seperti setengah lingkaran dengan jari-jari

  ! Jawaban Kita modelkan kabel dengan setengah lingkaran (Gambar 6.16).

  √

Gambar 6.16 (a) Dimensi dan variabel digunakan untuk menemukan titik pusat massa, (b)

  Pusat massa tidak terletak pada kabel

  th

  ed, p.433) (Thomas’s Calculus, 11

  Distribusi massa simetri terhadap sumbu- , sehingga ̅ . Untuk menemukan , kita imajinasikan kabel dibagi menjadi segmen-segmen pendek. Setiap segmen (Gambar 6.16a) memiliki

  Panjang: Massa: Jarak dari titik pusat massa ke sumbu-

  : ̃ Dengan demikian,

  ∫ ∫ ̃ [ ]

  ̅ ∫

  ∫ Pusat massa terletak pada sumbu simetri pada titik

  ⁄ ), sekitar dua per tiga ke atas ( dari titik pusat (Gambar 6.16b).□

6.5 Area Permukaan Revolusi dan Teorema Pappus

  Definisi 6.3 Luas permukaan revolusi terhadap sumbu-

  Jika fungsi

  ( ) kontinu terdiferensiasi pada [ ], luas permukaan yang dibentuk

  dengan memutar kurva

  ( ) sekitar sumbu- adalah ∫ √ ( ∫ ( )√ ( ( ))

  ) Contoh 6.19 Menerapkan rumus luas permukaan Temukan luas permukaan yang dibentuk dengan memutar kurva

  √ , terhadap sumbu- (Gambar 6.17).

Gambar 6.17 Ilustrasi Contoh 6.19

  th

  ed, p.438) (Thomas’s Calculus, 11

  Jawaban Diketahui

  √ √

  √ ( √ ( ) )

  √

  √

  √ √

  √

  Dengan substitusi, √

  ∫ √ ∫ √

  √

  ⁄

  ] ( ) ( √ √ ) □

  Luas permukaan revolusi terhadap sumbu-

  Jika ( ) kontinu terdiferensiasi pada [ ], luas permukaan yang dibentuk dengan memutar kurva

  ( ) sekitar sumbu- adalah ∫ √ ( ∫ ( )√ ( ( ))

  ) Contoh 6.20 Menemukan luas perputaran terhadap sumbu- Ruas garis

  , diputar terhadap sumbu- untuk membentuk kerucut seperti pada Gambar 6.18. Tentukan luas permukaan selubungnya (tidak termasuk luas alasnya)!

Gambar 6.18 Ilustrasi Contoh 6.20

  th

  ed, p.439) (Thomas’s Calculus, 11

  Jawaban Kita tahu dengan geometri sederhana bahwa

  √ Kita ambil

  √ ( ) √ √ (

  ) dan diperoleh ∫ √ ( ∫ ( )√

  ) ]

  √ [ √ ( ) √ □ Luas permukaan revolusi untuk kurva parametrik Jika sebuah kurva

  ( ) ( ) , ditelusuri tepat satu kali saat naik dari ke , maka luas permukaan yang dibentuk dengan memutar kurva terhadap sumbu koordinat adalah

  1. Perputaran terhadap sumbu- ( ): ∫ √( (

  ) )

  2. Perputaran terhadap sumbu- ( ):

  ∫ √( ( ) )

  Contoh 6.21 Menerapkan rumus luas permukaan Parameter standar dari sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 dengan pusat

  ( ) dalam bidang- adalah

  Gunakan parameter ini untuk menemukan luas permukaan yang dibentuk dengan memutar lingkaran terhadap sumbu- (Gambar 6.19).

Gambar 6.19 Ilustrasi Contoh 6.21

  th

  ed, p.440) (Thomas’s Calculus, 11

  Jawaban Kita evaluasi rumus

  ∫ √( ( ) )

  ( ) ∫ ( )√( ) ∫ ( ) [ ] □

  Teorema 6.1 Teorema Pappus untuk volume

  

Jika daerah suatu bidang diputar sekali terhadap sebuah garis dalam bidang tersebut yang

tidak memotong melalui titik interior daerah, maka volume dari bangun yang terbentuk

sama dengan luas daerah dikali jarak yang dilalui pusat daerah selama perputaran. Jika adalah jarak dari sumbu putar ke pusat, maka

  Contoh 6.22 Volume sebuah torus (donut)

  Volume dari sebuah torus (donut) yang dibentuk dengan memutar sebuah cakram lingkaran dengan jari-jari terhadap suatu sumbu dalam bidangnya pada jarak dari pusatnya adalah

  ( )( )

Gambar 6.20 Dengan Teorema Pappus pertama, kita dapat menemukan volume sebuah torus tanpa harus menggunakan integral

  th

  ed, p.443) (Thomas’s Calculus, 11

  Teorema 6.2 Teorema Pappus untuk luas permukaan

  

Jika suatu busur dari kurva diputar sekali terhadap sebuah garis dalam bidang yang tidak

memotong interior busur, maka luas permukaan yang dibentuk oleh busur sama dengan

panjang busur dikali jarak yang dilalui pusat busur selama perputaran. Jika

   adalah jarak

  dari sumbu putar ke pusat, maka

  Contoh 6.23 Luas permukaan sebuah torus (donut) Luas permukaan dari donut pada Contoh 6.22 adalah

  ( )( )

6.6 Terapan Nyata

  Definisi 6.4 Usaha

  Usaha yang dilakukan oleh sebuah daya variabel

  ( ) sepanjang sumbu- dari ke adalah ∫ ( )

  Contoh 6.24 Menekan per Tentukan usaha yang diperlukan untuk menekan per dari panjang aslinya 1 kaki ke panjang 0.75 kaki jika konstanta usaha adalah . Jawaban Kita ilustrasikan per yang tidak ditekan sepanjang sumbu- dengan satu ujungnya pada titik pusat dan titik ujung lainnya pada . Perhatikan Gambar 6.21 berikut.

Gambar 6.21 Usaha yang diperlukan untuk menahan sebuah per naik secara linear saat

  per makin ditekan

  th

  ed, p.449) (Thomas’s Calculus, 11

  Hal ini memungkinkan kita untuk menggambarkan usaha yang diperlukan dalam menekan per dari ke dengan rumus . Untuk menekan per dari ke , usaha akan naik dari

  ( ) ke ( ) Usaha yang dilakukan pada interval ini adalah ] ft-lb.□

  ∫ Contoh 6.25 Mengangkat dengan tali dan kaleng Suatu kaleng 5-lb diangkat dari tanah ke udara dengan menarik 20 ft tali dengan kecepatan tetap (Gambar 6.22). Bobot tali 0.08 lb/ft. Berapa banyak usaha yang digunakan untuk mengangkat kaleng dan tali?

Gambar 6.22 Ilustrasi Contoh 6.25

  th

  ed, p.450) (Thomas’s Calculus, 11

  Jawaban Kaleng memiliki bobot tetap sehingga usaha untuk mengangkatnya adalah ft-lb.

  Bobot dari tali berubah tergantung kenaikan kaleng, karena semakin sedikit tali yang tergantung. Saat kaleng ft dari tanah, sisa bagian dari tali yang masih ditarik memiliki bobot

  ( ) ( ) lb. Sehingga usaha untuk mengangkat tali adalah ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) [ ] ft-lb.

  Total usaha untuk mengangkat kaleng dan tali adalah ft-lb.□

6.7 Tekanan dan Daya Cairan

  Persamaan tekanan-kedalaman Dalam sebuah cairan yang tenang, tekanan pada kedalaman adalah density bobot cairan dikali : Daya cairan pada suatu permukaan kedalaman konstan Integral daya cairan terhadap suatu bidang datar Misalkan bahwa sebuah bidang datar tenggelam secara vertikal dalam cairan dengan density bobot dari ke pada sumbu- . Misal ( ) adalah panjang dari garis horizontal diukur dari kiri ke kanan sepanjang permukaan bidang pada tingkat

  . Maka daya yang dikeluarkan cairan terhadap salah satu sisi bidang datar adalah ∫ ( ) ( )

  Contoh 6.26 Menerapkan integral untuk daya cairan Sebuah bidang segitiga dengan alas 6 ft dan tinggi 3 ft tenggelam secara vertikal, 2 ft ke bawah permukaan sebuah kolam renang. Temukan daya yang dikeluarkan oleh air melawan salah satu permukaan bidang tersebut! Jawaban Kita gunakan sistem koordinat untuk mengilustrasikan permasalahan di atas. Perhatikan Gambar 6.23 berikut.

Gambar 6.23 Ilustrasi Contoh 6.26

  th

  ed, p.457) (Thomas’s Calculus, 11

  Permukaan kolam terletak sepanjang garis dan rusuk atas bidang segitiga sepanjang garis

  . Rusuk sisi kanan bidang sepanjang garis , dengan titik kanan atas pada ( ). Panjang dari strip pada level adalah

  ( ) Kedalaman strip di bawah permukaan adalah

  ( ). Daya yang dikeluarkan oleh air melawan salah satu sisi bidang adalah ∫ ( ) ( )

  ∫ ( ) ∫ ( ) [ ] lb.□

  Daya cairan dan centroids Daya cairan dengan density bobot terhadap salah satu sisi dari bidang datar yang tenggelam adalah hasil kali dari

  , jarak ̅ dari pusat bidang ke permukaan cairan, dan luas bidang: ̅

  Contoh 6.27 Menemukan daya cairan

  Gunakan persamaan di atas untuk menemukan daya pada Contoh 6.26. Jawaban Titik pusat dari segitiga terletak pada sumbu-

  , satu per tiga jalan dari alas ke puncak segitiga, sehingga ̅ . Luas segitiga adalah

  ( )( ) ( )( ) Dengan demikian,

  ̅ ( )( )( )