Implementasi Metode Elemen Hingga Dalam Aliran Persoalan Darah Pada Pembuluh Darah
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1. Fluida
2.1.1 Pengertian Fluida
Fluida didefinisikan sebagai zat yang berdeformasi terus-menerus selama
dipengaruhi suatu tegangan geser. Tegangan (gaya per satuan luas) geser
terbentuk apabila sebuah gaya tangensial bekerja pada sebuah permukaan,
(Munson, et al, 2003).
Apabila benda-benda padat biasa seperti baja atau logam-logam lainnya
dikenai oleh suatu tegangan geser, mula-mula benda ini akan berdeformasi
(biasanya sangat kecil), tetapi tidak akan terus-menerus berdeformasi (mengalir).
Namun, cairan yang biasa seperti air, minyak, dan udara memenuhi definisi dari
sebuah fluida artinya, zat-zat tersebut akan mengalir apabila padanya bekerja
sebuah tegangan geser.
2.1.2 Jenis – Jenis Fluida
Cairan : Fluida yang cenderung mempertahankan volumenya karena terdiri atas
molekul-molekul tetap rapat dengan gaya kohesif yang relatif kuat dan fluida
cairan praktis tak compressible.
Gas : Fluida yang volumenya tidak tertentu karena jarak antar molekulmolekul besar dan gaya kohesifnya kecil sehingga gas akan memuai bebas sampai
tertahan oleh dinding yang mengukungnya. Pada fluida gas, gerakan momentum
antara molekulnya sangat tinggi, sehingga sering terjadi tumbukan antar molekul.
Fluida pada dasarnya terbagi atas dua kelompok besar berdasarkan sifatnya,
yaitu fluida cairan dan fluida gas. Fluida diklasifikasikan atas 2, yaitu:
1.
Fluida Newtonian : fluida – fluida yang menunjukkan hubungan linier
antara tegangan geser dan gradien kecepatan ( laju perubahan bentuk yang
diakibatkan). Kebanyakan fluida biasa, seperti udara, air dan minyak.
Universitas Sumatera Utara
7
2.
Fluida non-Newtonian : fluida yang tegangan gesernya tidak berhubungan
secara linier terhadap laju regangan geser (laju perubahan bentuk sudut),
seperti Dilatan dan pseudoplastik
Berbagai jenis fluida non-newtonian dibedakan dengan bagaimana viskositas
nyatanya berubah dengan laju geseran.
1.
Untuk fluida yang mengencer akibat geseran (shear thinning fluids),
viskositas nyatanya berkurang dengan meningkatnya laju geseran-semakin
kuat fluida mengalami geseran, maka fluida tersebut semakin encer
(viskositasnya berkurang).misalnya, cat lateks tidak menetes dari kuas
karena laju geserannya kecil dan viskositas nyatanya besar. Namun, cat
tersebut mengalir mulus pada dinding karena lapisan tipis cat antara dinding
dengan kuas mengakibatkan laju geseran yang besar dan viskositas nyata
yang kecil.
2.
Untuk fluida yang mengental akibat geseran (shear thickening fluids),
viskositas nyatanya meningkat dengan peningkatan laju geseran-semakin
kuat fluida mengalami geseran, maka semakin kental tersebut (viskositasnya
bertambah). Seperti campuran air-tepung jagung (maizena) dan campuran
air-pasir (“quicksand”).
Jadi, sulitnya memisahkan sebuah benda dari
campuran air-pasir akan semakin meningkat tajam jika kecepatan
pemisahan meningkat.
2.1.3
Pergerakan Fluida
Secara umum, fluida dikenal memiliki kecenderungan untuk bergerak atau
mengalir. Sangat sulit untuk mengekang fluida agar tidak bergerak. Tegangan
geser yang sangat kecil saja sudah menyebabkan fluida bergerak. Demikian pula
halnya, suatu kesetimbangan dari tegangan (tekanan) normal akan menyebabkan
fluida bergerak.
Universitas Sumatera Utara
8
Gambar 2.1: Tempat Kedudukan Partikel Yang Dinyatakan Dengan Vektor
Posisinya.
Untuk menggambarkan suatu aliran fluida harus ditentukan berbagia
parameter, tidak hanya sebagai fungsi koordinat ruang (misalnya x, y, z) tetapi
juga sebagai fungsi waktu, t.
Contohnya untuk menyatakan temperatur, T didalam sebuah ruang, maka
medan temperaturnya adalah T = T (x, y, z, t). Pada seluruh ruangan pada suatu
waktu sepanjang siang atau malam.
Salah satu variabel yang paling penting dari pergerakan fluida adalah
kecepatannya, yaitu:
�
� = �(�, �, �, �)�̂ + �(�,
�, �, �)�̂ + �(�, �, �, �)��
(2.1)
Dimana �, �, dan � merupakan komponen vektor kecepatan dalam arah �, �, dan
�. Kecepatan sebuah partikel adalah laju perubahan per satuan waktu dari vektor
posisi partikel tersebut.
Dari gambar 2.1, posisi partikel A diberikan oleh vektor posisi �� , yang
merupakan fungsi dari waktu (jika partikel bergerak), yaitu
2.1.4. Jenis – Jenis Aliran Fluida
�� �
��
= ��
2.1.4.1. Berdasarkan Kemampuan Menahan Tekanan :
Fluida incompressible (tidak termampatkan), yaitu fluida yang tidak dapat
dikompressi atau volumenya tidak dapat ditekan menjadi lebih kecil sehingga
massa jenis, � nya konstan. Fluida compressible (termampatkan), yaitu fluida
Universitas Sumatera Utara
9
yang dapat dikompressi atau volumenya dapat ditekan menjadi lebih kecil
sehingga massa jenis, � nya tidak konstan.
2.1.4.2. Berdasarkan Sifat Alirannya :
Fluida bersifat Turbulen, dimana alirannya mengalami pergolakan (berputarputar). Fluida bersifat Laminar (stream line), dimana alirannya memiliki lintasan
lapisan batas yang panjang, sehingga dikatakan juga aliran berlapis-lapis.
2.1.4.3. Berdasarkan Sifat Kekentalannya
Aliran kental (viscous) dan aliran tak kental (inviscid) : Pada fluida yang mengalir
terdapat perpindahan massa, momentum, energi dari suatu tempat ke tempat lain.
Perpindahan pada skala molekul menimbulkan fenomena difusi massa, viskositas,
dan konduksi termal. Semua aliran molekul memperlihatkan efek phenomena
transport, aliran ini disebut dengan aliran viskous sedangkan pada aliran inviscid
aliran diasumsikan tidak ada gesekan konduksi panas dan diffusi.
2.2. Darah
Darah adalah jaringan ikat dengan sel-sel yang tersuspensi dalam plasma. Tubuh
manusia pada umumnya mengandung 4 sampai 6 L darah. Jika sampel darah
diambil, sel-sel darah dapat dipisahkan dari plasma unsur seluler yang berkisar
sekitar 45% dari volume darah akan mengendap didalam alat sentrifuge yang
diputar dengan kecepatan tertentu. Plasma darah mengandung sekitar 90% air.
Didalamnya terdapat berbagai zat yang berpindah-pindah dari satu bagian tubuh
ke bagian yang lain, yang meliputi nutrien, produk buangan metabolisme, gas-gas
respirasi, dan hormon.
Terdapat tiga unsur sel yang tersebar diseluruh plasma darah: sel darah
merah (eritrosit), yang mengangkut oksigen, sel darah putih, yang berfungsi
dalam pertahanan tubuh, dan keping darah adalah bagian-bagian sel yang terlibat
dalam penggumpalan darah.
Universitas Sumatera Utara
10
2.2.1. Sistem Peredaran Darah Pada Manusia
Sistem peredaran darah atau sistem kardiovaskular adalah suatu sistem organ yang
berfungsi memindahkan zat ke dan dari sel. Sistem ini juga menolong stabilisasi
suhu dan pH tubuh.
Ada dua jenis sistem peredaran darah: sistem peredaran darah terbuka, dan
sistem peredaran darah tertutup. sistem peredaran darah, yang merupakan juga
bagian dari kinerja jantung dan jaringan pembuluh darah (sistem kardiovaskuler)
dibentuk. Sistem ini menjamin kelangsungan hidup organisme, didukung oleh
metabolisme
setiap
sel
dalam
tubuh
dan
mempertahankan
sifat kimia dan fisiologis cairan tubuh.
1.
Pertama, darah mengangkut oksigen dari paru-paru ke sel dan karbon
dioksida dalam arah yang berlawanan (lihat respirasi).
2.
Kedua, yang diangkut dari nutrisi yang berasal pencernaan seperti lemak,
gula dan protein dari saluran pencernaan dalam jaringan masing-masing
untuk mengonsumsi, sesuai dengan kebutuhan mereka, diproses atau
disimpan.
Metabolit yang dihasilkan atau produk limbah (seperti urea atau asam urat)
yang kemudian diangkut ke jaringan lain atau organ-organ ekskresi (ginjal dan
usus besar). Juga mendistribusikan darah seperti hormon, sel-sel kekebalan tubuh
dan bagian-bagian dari sistem pembekuan dalam tubuh.
Pembuluh
nadi atau arteri adalah pembuluh
membawa darah dari jantung.
Fungsi
ini
darah berotot
bertolak
belakang
yang
dengan
fungsi pembuluh balik yang membawa darah menuju jantung.
Sistem sirkulasi sangat penting dalam mempertahankan hidup. Fungsi
utamanya
adalah
menghantarkan oksigen dan nutrisi ke
semua sel,
serta
mengangkut zat buangan seperi karbon dioksida. Pada negara berkembang,
kejadian kematian utama disebabkan oleh stroke pada sistem pembuluh nadi,
misalnya arterosklerosis.
Universitas Sumatera Utara
11
2.2.2. Penyempitan Pembuluh Darah Arteri
Aorta adalah arteri terbesar dalam tubuh. Arteri adalah pembuluh yang membawa
darah dari jantung. Berfungsi untuk membawa dan mendistribusikan darah yang
kaya oksigen ke seluruh arteri. Didalam aorta darah mengalir lebih dari seribu kali
lebih cepat (rata-rata sekitar 30 cm/detik) dibandingkan didalam kapiler (sekitar
0,026 cm/detik). Untuk memahami mengapa aliran darah mengalami penurunan
kecepatan, perlu dipertimbangkan hukum kontinuitas, yaitu hukum mengenai
aliran cairan melalui pipa. Jika diameter suatu pipa berubah sepanjang pipa
tersebut, cairan akan mengalir lebih cepat melalui segmen yang lebih sempit
dibandingkan dengan ketika cairan mengalir melewati segmen yang lebih lebar.
Volume aliran perdetik harus konstan disepanjang pipa tersebut, dengan demikian
cairan mengalir lebih cepat ketika luas penampang menyempit.
Cairan memberikan suatu gaya yang disebut tekanan hidrostatik terhadap
permukaan yang mengadakan kontak dengan cairan tersebut, dan tekanan inilah
yang menggerakkan cairan melalui pipa tersebut. Gaya hidrostatik yang diberikan
oleh darah terhadap dinding pembuluh darah disebut tekanan darah. Tekanan
darah adalah gaya utama yang mendorong darah dari jantung melalui arteri dan
arteriola kehamparan kapiler. Cairan selalu mengalir dari daerah bertekanan tinggi
ke daerah bertekanan rendah.
Gambar 2.2 Pembuluh Darah Arteri
Universitas Sumatera Utara
12
2.3. Medan Percepatan
Percepatan adalah laju perubahan kecepatan terhadap waktu dari sebuah partikel.
secara umum, kecepatan partikel dinyatakan dengan �� untuk partikel A, adalah
sebuah fungsi dari lokasinya dan waktu.
�� = �� (�� , �) = �� (�� (�), �� (�), �� (�), �)
(2.2)
Dimana �� = �� (�), �� = �� (�), �� = �� (�) mendefinisikan lokasi dari partikel
yang sedang bergerak.
Dengan menggunakan fakta bahwa komponen kecepatan partikel diberikan oleh:
�� =
�� �
��
, �� =
�� �
��
, dan �� =
Dengan menggunakan dalil rantai turunan, maka
�� =
�� �
(2.3)
��
���
���
���
���
+ ��
+ ��
+ ��
��
��
��
��
(2.4)
Gambar 2.3 : Kecepatan dan posisi dari partikel A pada waktu t.
Sehingga, medan percepatan dapat dituliskan secara umum sebagai:
�=
��
��
��
��
+�
+�
+ �
��
��
��
��
Persamaan 2.3 dapat ditulis menjadi � =
Dimana operator
��
��
(2.5)
.
�( )
�( )
�( )
�( )
�( )
≡
+ �
+ �
+ �
��
��
��
��
��
(2.6)
Universitas Sumatera Utara
13
Disebut sebagai turunan material atau turunan substansial. Turunan material
digunakan untuk menggambarkan laju perubahan terhadap waktu dari sebuah
partikel. Notasi ringkas yang sering digunakan untuk operator turunan material
adalah
�( )
�( )
=
+ ( � . �)()
��
��
∇ adalah operator gradien,
�( )
�̂ +
�( )
( � . �)() = �
�( )
+ �
∇( ) =
Sehingga,
��
��
��
�̂ +
�( )
��
�( )
��
(2.7)
��
+ �
(2.8)
�( )
(2.9)
��
2.4. Kontinuitas Massa
Persamaan kontinuitas adalah pernyataan bahwa massa kekal. Jumlah massa
dalam sebuah sistem adalah konstan. Persamaan kontinuitas diturunkan dari
persamaan kekekalan massa.
Maka
persamaan
differensial
untuk
kekekalan
massa
(persamaan
kontinuitas) dengan massa jenis, � dan vektor kecepatan arusnya, v. Persamaan
kontinuitas dapat dituliskan adalah
�� �(��) �(��) �(��)
+
+
+
=0
��
��
��
��
(2.10)
Persamaan ini berlaku untuk aliran yang tunak dan tak tunak, dan fluida mampumampat ataupun tak mampu-mampat. Dalam notasi vektor dapat dituliskan,
��
+ �. � � = 0
��
(2.11)
Untuk fluida tak mampu-mampat (incompressible), massa jenis fluida, � konstan.
Persamaan (2.10) dapat disederhanakan menjadi
∇.� = 0
(2.12)
Universitas Sumatera Utara
14
��
Atau
��
+
��
��
+
��
��
=0
Hal ini sesuai dengan menyatakan bahwa tidak terdapat dilatasi (pembesaran) dari
volume lokal.
2.5. Persamaan – Persamaan Gerak
Persamaan gerak diperoleh dengan penerapan hukum kedua Newton untuk
turunan volume (�� �� ��) pada massa ��.
�� = �� �
(2.13)
Gaya resultan , ��, yang bekerja pada massa differensial adalah kombinasi dari
gaya permukaan resultan (��� ) dan gaya badan (��� )
�� = ��� + ���
(2.14)
��� = �� �
(2.15)
��� = ���� �̂ + ���� �̂ + ���� ��
(2.16)
Dimana komponen – komponennya:
���� = �� ��
(2.17 a)
���� = �� ��
(2.17 b)
���� = �� ��
(2.17 c)
����
����
����
���� = �
+
+
� �� �� ��
��
��
��
(2.18 b)
���� = �
����
����
����
+
+
� �� �� ��
��
��
��
���� = �
(2.18 a)
����
����
����
+
+
� �� �� ��
��
��
��
(2.18 c)
Dimana � adalah pernyataan vektor percepatan gravitasi, � adalah tegangan
normal, dan � adalah tegangan geser.
Dalam bentuk komponen, persamaan (2.12) dapat ditulis dalam bentuk
��� = �� ��
��� = �� ��
(2.19 a)
(2.19 b)
Universitas Sumatera Utara
15
��� = �� ��
(2.19 c)
Dimana �� = � �� �� ��, sehingga
��� +
����
����
����
��
��
��
��
+
+
= ��
+�
+�
+ �
�
��
��
��
��
��
��
��
��� +
����
����
����
��
��
��
��
+
+
= ��
+�
+�
+ �
�
��
��
��
��
��
��
��
��� +
����
����
����
��
��
��
��
+
+
= ��
+�
+�
+ �
�
��
��
��
��
��
��
��
(2.20 a)
(2.20 b)
(2.20 c)
Dimana volume elemen �� �� �� saling meniadakan
Gambar 2.4: gaya – gaya permukaan dalam arah x yang bekerja pada elemen
fluida
Untuk fluida yang didalamnya tidak terdapat tegangan geser (tanpa gesekan /
inviscid / nonviskos), tegangan normal pada sebuah titik tidak tergantung pada
arahnya, artinya ��� = ��� = ��� . Dalam hal ini, tekanan didefinisikan sebagai
negatif dari tegangan normal, sehingga
−� = ��� = ��� = ���
(2.21)
Universitas Sumatera Utara
16
2.6. Hubungan Tegangan-Deformasi
Untuk fluida Newtonian tak mampu-mampat, diketahui bahwa tegangan
berbanding lurus terhadap laju deformasi dan dapat dinyatakan dalam koordinat
Cartesius sebagai (untuk tegangan normal)
��
��
��
= −� + 2�
��
(2.22)
��� = −� + 2�
���
��� = −� + 2�
(untuk tegangan geser)
(2.23)
��
��
(2.24)
�� ��
+
�
�� ��
(2.25)
�� ��
��� = ��� = � �
+
�
��
��
(2.27)
��� = ��� = � �
��� = ��� = � �
�� ��
+
�
��
��
(2.26)
Dimana p adalah tekanan yang merupakan negatif dari rata-rata tiga tegangan
1
normal, artinya −� = �3� ���� + ��� + ��� �
2.7.
Persamaan Navier-Stokes
Tegangan yang telah didefinisikan sebelumnya dapat disubstitusikan kedalam
persamaan diferensial gerakan dan disederhanakan dengan menggunakan
persamaan kontinuitas untuk mendapatkan
��
��
��
��
��
�2 � �2 � �2 �
��
+�
+�
+ �
�=−
+ ��� + � � 2 + 2 + 2 �
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
�2 � �2 � �2 �
� �
+�
+�
+ �
�=−
+ ��� + � � 2 + 2 + 2 �
��
��
��
��
��
��
��
��
(2.28 a)
(2.28 b)
Universitas Sumatera Utara
17
��
��
��
��
��
�2 � �2 � �2 �
��
+�
+�
+ �
�=−
+ ��� + � � 2 + 2 + 2 �
��
��
��
��
��
��
��
��
(2.28 c)
Suku-suku percepatan berada di ruas kiri dan suku-suku gaya diruas kanan.
Persamaan (2.26) disebut sebagai persamaan Navier-Stokes , dinamakan demikian
untuk menghormati ahli matematika Prancis, L.M.H Navier (1758-1836) dan ahli
mekanika Inggris Sir G.G.Stokes (1819-1903), yang menemukan rumus-rumus
tersebut. Persamaan Navier-Stokes dianggap sebagai persamaan differensial
pengatur dari gerakan fluida Newtonian tak mampu-mampat.
2.8. Potensial Kecepatan
Komponen kecepatan dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi skalar ∅(�, �, �, �)
�=
�∅
��
,
�=
�∅
��
,
�=
�∅
��
(2.29)
Dimana ∅ disebut sebagai potensial kecepatan. Untuk suatu fluida tak mampu
mampat dari kekekalan massa bahwa
� .� = �
Dan oleh karena itu untuk aliran tak mampu-mampat, tak berotasi (dengan
� = �∅)
∇2 ∅ =
Disebut persamaan Laplace
�∅ � 2 ∅ � 2 ∅
+
+
�� 2 �� 2
�� 2
(2.30)
2.9. Fungsi Arus
Fungsi arus didefinisikan sebagai
�=
��
��
, dan � = −
Sehingga persamaan kontinuitas dengan
datar, sehingga
��
v
��
= 0 terpenuhi untuk semua aliran
��
��
(2.31)
Universitas Sumatera Utara
18
�� ��
−
=0
�� ��
(2.32)
Dan dinyatakan dalam fungsi arus
�2� �2�
+
=0
�� 2
�� 2
(2.33)
Tiga sifat dari fungsi arus adalah:
•
•
•
Fungsi arus memiliki nilai konstan di sepanjang streamline
Streamline dan garis potensial konstan berpotongan pada sudut siku-siku
Selisih fungsi-fungsi arus diantara dua garis arus adalah laju aliran �
persatuan kedalaman diantara kedua garis arus, sehingga � = �2 − �1
Untuk sebuah aliran tak-berotasi pada bidang, dapat menggunakan baik itu
potensial kecepatan atau fungsi arus, keduanya harus memenuhi persamaan
Laplace dua-dimensi.
2.10. Metode Elemen Hingga
Metode elemen hingga (MEH) adalah metode numerik yang digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan teknik dan problem matematis suatu gejala phisis
(Susatio, 2004).
Konsep dasar metode elemen hingga adalah:
1.
Menjadikan elemen – elemen diskrit untuk memperoleh simpangansimpangan dan gaya-gaya anggota dari suatu struktur
2.
Menggunakan elemen-elemen kontinu untuk memperoleh solusi pendekatan
terhadap permasalahan mekanika fluida, perpindahan panas, dan mekanika
solid
Langkah untuk menyelesaikan permasalahan fisik dengan metode elemen
hingga, yaitu:
Solusi dari masalah kontinum umum dengan metode elemen hingga selalu
mengikuti proses secara bertahap. Berkenaan dengan permasalahan struktural
statis, tahapannya sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
19
1.
Struktur dibagi menjadi elemen-elemen diskrit (diskritisasi),
2.
Pilih interpolasi yang tepat atau model perpindahan (displacement),
3.
Turunkan elemen matriks kekakuan dan vektor beban (gaya),
4.
Merakit persamaan elemen untuk mendapatkan persamaan ekulibrium
keseluruhan,
Karena struktur yang terdiri dari beberapa elemen hingga, elemen
individual matriks kekakuan dan vektor beban yang akan dirakit dengan
cara yang sesuai dan persamaan ekuilibrium keseluruhan telah
dirumuskan sebagai
���⃗ = P
�⃗
[�]Φ
(2.34)
���⃗ adalah vektor perpindahan
di mana [�] adalah matriks kekakuan,Φ
nodal, dan �P⃗ adalah vektor dari gaya nodal untuk struktur lengkap.
5.
Memecahkan untuk perpindahan nodal tidak diketahui,
6.
Hitung elemen strain dan tekanan.
2.11. Diskritisasi Domain
Langkah awal dari metode elemen hingga adalah membagi daerah/ benda dalam
bagian – bagian kecil (disebut elemen). Langkah ini disebut sebagai diskritisasi.
Objek satu dimensi dibagi ke segmen garis pendek. Badan dua-dimensi dapat
dibagi menjadi segitiga, persegi panjang, segi- empat atau sub daerah lain yang
sesuai.
Gambar 2.5 : Elemen Satu -Dimensi
Universitas Sumatera Utara
20
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 2.6 : Elemen Dua-Dimensi
(a)
(b)
Universitas Sumatera Utara
21
(c)
Gambar 2.7 : Elemen Tiga –Dimensi
(a)
(b)
Gambar 2.8 : elemen axisimetri
2.12. Fungsi Interpolasi (Elemen Simpleks Dua Dimensi)
Metode elemen hingga didasarkan atas konsep pendekatan dari fungsi – fungsi
kontinu (seperti temperatur, tekanan, dan perpindahan) ke model diskrit. Bentuk
yang sering digunakan dari fungsi interpolasi adalah bentuk polinomial. Derajat
dari polinomial dipilih bergantung pada banyaknya item yang diketahui dari
fungsi kontinu pada setiap elemen. Terdapat tiga macam fungsi interpolasi yang
dipakai dalam metode elemen hingga, yaitu: simpleks, kompleks, dan multipleks
(Susatio, 2004).
Elemen simpleks adalah pendekatan yang dilakukan dengan polinomial
yang terdiri dari suku konstan dan suku linier. Banyaknya koefisien dalam
Universitas Sumatera Utara
22
polinomial sama dengan dimensi dari koordinat ruang yang ada ditambah satu
(Susatio, 2004).
Titik-titik tertentu dalam elemen-elemen, seperti sudut-sudut elemen segitiga,
ditunjuk sebagai titik nodal. Biasanya, polinomial digunakan sebagai fungsi
interpolasi karena mudah untuk didiferensialkan dan diintegralkan. Setiap fungsi
interpolasi polinomial akan selalu kontinu dalam suatu elemen., sehingga kondisi
tersebut berlaku untuk batas antar elemen. Elemen simpleks memiliki polinomial
linier (Allaire, 1985).
Elemen axisimetri terbentuk dari suatu luasan yang diputar disekitar sumbu yang
terletak pada luasan tersebut. Untuk elemen simpleks axisimetri adalah elemen
segitiga dengan fungsi interpolasi linier berbentuk
� (�, �) = �1 + �2 � + �3 �
(2.35)
� (�, �) = �4 + �5 � + �6 �
(2.36)
Banyaknya koefisien �� adalah 6, yang sama dengan jumlah derajat kebebasan
elemen.
Displacement nodal adalah:
��
�
�
��
� �� �
|�| = � �� � = �
� ��
��
��
��
(2.37)
Evaluasi u pada node i:
�(�� , �� ) = ��
= �1 + �2 �� + �3 ��
Bentuk umum dari fungsi displacment dinyatakan dalam bentuk matriks adalah:
�1
�2
�
� + �2 � + �3 �
�
1 � � 0 0 0 �3 �
[�] = � � = � 1
�
�
=
�
�4 + �5 � + �6 �
�
0 0 0 1 � � ��4 �
�5
�6
Universitas Sumatera Utara
23
(2.38)
Dengan mensubsitusikan koordinat nodal pada persamaan 2.36, maka besarnya a
masing-masing adalah
−1
��
� �� �
��
(2.39)
−1
��
� �� �
��
(2.40)
�1
1
�
� 2 � = �1
�3
1
��
��
��
��
�� �
��
�4
1
�
� 5 � = �1
�6
1
��
��
��
��
�� �
��
Untuk invers matriks pada persamaan 2.37 dan 2.38, dihasilkan
�1
1
�
� 2� =
2�
�3
�1
1
�
� 2� =
2�
�3
��
���
��
��
���
��
��
��
��
��
��
��
��
�� �
��
��
�� �
��
��
� �� �
��
(2.41)
��
� �� �
��
(2.42)
dimana:
�� = �� �� − �� ��
�� = �� �� − �� ��
�� = �� �� − �� ��
�� = �� − ��
�� = �� − ��
�� = �� − ��
�� = �� - ��
�� = �� - ��
�� = �� - ��
2.13. Menurunkan Elemen Matriks dan Vektor
Matriks karakteristik dan vektor karakteristik dari elemen hingga dapat diturunkan
menggunakan pendekatan berikut
Universitas Sumatera Utara
24
2.13.1. Direct Approach (Pendekatan Langsung)
Metode ini ditunjukkan bersama dengan beberapa contoh dari bagian yang
berbeda. Metode ini didasari oleh penggunaan penalaran fisik untuk membangun
sifat elemen, yakni matriks karakteristik dan vektor dalam bentuk variabel yang
bersangkutan. Karena pendekatan menggunakan prinsip dasar dari ilmu teknik,
hal itu membantu memahami secara fisik dari metode elemen hingga.
Bagaimanapun, metode ini hanya sesuai untuk masalah sederhana, kesulitan yang
muncul dapat diatasi dengan menggunakan metode untuk masalah yang kompleks
dengan memasukkan dua dan tiga dimensi elemen hingga. Sehingga metode
langsung ini tidak digunakan dalam analisis elemen hingga dari masalah yang
paling praktis.
2.13.2. Varitional Approach (Pendekatan Variasi)
Pada metode ini, analisis elemen hingga diartikan sebagai pendekatan untuk
menyelesaikan masalah varisional. Karena banyak masalah fisik dan teknik dapat
di rumuskan dalam bentuk varisional, metode elemen hingga mudah diterapkan
untuk menemukan solusi pendekatannya. Pendekatan varisional paling banyak
diggunakan dalam literatur untuk merumuskan persamaan elemen hingga.
Keterbatasan utama dari metode ini adalah bahwa ia memerlukan masalah fisik
atau teknik untuk dinyatakan dalam bentuk varitional, yang tidak mungkin dalam
semua kasus.
2.13.3. Weight Residual Approach (Pendekatan Residu Bobot)
Dalam metode ini, elemen matriks dan vektor di turunkan secara langsung dalam
persamaan differensial umum tanpa bergantung dari masalah tanpa tergantung
pada pernyataan varisional dari masalah. Metode ini menawarkan prosedur yang
paling umum untuk menurunkan persamaan elemen hingga dan dapat diterapkan
untuk hampir semua masalah praktis ilmu pengetahuan dan rekayasa. Dalam
pendekatan residu bobot, prosedur penurunan, seperti metode Galerkin dan
metode kuadrat kecil (Least Square) dapat digunakan untuk menurunkan
persamaan elemen.
Universitas Sumatera Utara
25
2.14. Formula Weak
Persamaan weak form biasanya dalam bentuk integral dan memerlukan
kontinuitas lemah pada variabel bidang. Karena kebutuhan yang lebih
lemah pada variabel bidang dan bentuk integral dari persamaan yang
mengatur, formulasi didasarkan pada weak form yang diharapkan
mengarah pada suatu himpunan persamaan untuk sistem diskrit yang
menghasilkan hasil yang lebih akurat, terutama untuk sistem yang
melibatkan geometri yang kompleks. Oleh karena itu, jenis weak form dari
formulasi adalah lebih disukai untuk mendapatkan suatu solusi pendekatan.
Dengan demikian, metode elemen hingga, berdasarkan weak form dari
formulasi seperti prinsip energi atau pendekatan residual tertimbang, telah
menjadi sangat populer.Contoh berikut menunjukkan keuntungan dari
formulasi weak form.
Contoh:
Persamaan yang mengatur defleksi balok, �(�), diberikan oleh
��
�4 �
= �(�)
�� 4
(C.1)
di mana �(�) adalah gaya didistribusikan sepanjang balok. Untuk balok
kantilever dikenakan beban akhir dan momen akhir seperti yang
ditunjukkan pada Gambar 2.9, mencari defleksi balok menggunakan
metode Galerkin dengan solusi diasumsikan
�
�(�) = ��(�) = �(3� 2 � − � 3 )
(C.2)
di mana �(�) adalah fungsi trial dan � adalah konstanta. Juga,
menunjukkan keuntungan dari formulasi weak.
3.
Gambar 2.10. Kantilever beam dikenakan beban dan momen
4.
Universitas Sumatera Utara
26
Solusi:
Karena beban didistribusikan �(�) = 0 untuk balok yang ditunjukkan pada
Gambar 2.9, persamaan yang mengatur (governing equation) menjadi
��
�4 �
=0
�� 4
(C.3)
Dalam metode Galerkin, konstanta �dalam solusi diasumsikan ditemukan
dengan menggunakan hubungan
�
� �(�)�(�) = 0
(C.4)
0
di mana �(�) adalah residu dan �(�) = 3� 2 � − � 3 adalah fungsi
bobot/tertimbang yang diberikan oleh persamaan (C.2). Persamaan (C.4)
dapat ditulis kembali sebagai
�
� ��
0
�4 �
�
�(�) = 0
�� 4
(C.5)
Karena turunan keempat �
�(�) adalah nol, akan dikurangi orde turunan
tertinggi �
�(�) dengan mengintegrasikan per bagian (integral by parts)
persamaan (C.5):
�
�
�
�� �3 �
�3 �
�
���(�) 3 � − � ��
�� = 0
�� �� 3
�� 0
(C.6)
0
Integrasi suku kedua di sisi kiri dari persamaan (C.6) per bagian
menghasilkan persamaan
�
�
�
�
�2 � �2 �
�� �2 �
�3 �
�
�
� �� 2
�� = �−���(�) 3 � + ��
� �
2
�� ��
�� �� 2 0
�� 0
(C.7)
0
Kondisi batas mengasilkan
�(� = 0) = 0,
��
�2 �
�
(� = 0) = 0, �� 2 (� = 1) = �0 ,
��
��
�
�3 �
�� 3 (� = �) = �0
��
(C.8)
Universitas Sumatera Utara
27
Dengan menggunakan dua kondisi pertama persamaan (C.8), persamaan
(C.7) dapat dinyatakan sebagai
�
�
�2 � �2 �
�� �2 �
�3 �
�
�
� �� 2
��
=
���(�)
�
−
��
�
�� �� 2
�� �� 2 �
�� 3 �
(C.9)
0
Dari persamaan (C.2) dan Gambar 2.9 diperoleh
�(�) = 2� 3 ,
��
�2 �
�
�3 �
�
(�) = 3� 2 , �� 2 (�) = �0 , �� 3 (�) = �0
��
��
��
(C.10)
Integral pada persamaan (C.9) dapat dihitung dengan hubungan pada
persamaan (C.2) sebagai
�
�
�2 � �2 �
�
� �� 2
�� = � ��(6� − 6�)� (6� − 6�) �� = (12�� � 3 )�
�� �� 2
(C.11)
0
0
Gunakan persamaan (C.10) dan (C.11) pada persamaan (C.9), konstanta C
dapat ditemukan sebagai berikut:
�=
�0
�0
+
�� 4���
(C.12)
Maka, solusi pendekatan untuk defleksi balok menjadi
�0
�0
�
�(�) = � +
� (3� 2 � − � 3 )
�� 4���
(C.13)
yang menghasilkan defleksi pada ujung bebas (� = �) sebagai
�0 � 3 �0 � 2
�
�(�) =
+
3��
3��
(C.14)
2.15. Metode Galerkin
Dalam hal ini bobot �� dipilih menjadi fungsi yang diketahui �� (�) dari fungsi
trial dan � integral berikut residu tertimbang ditetapkan sama dengan nol:
� �� � �� = 0
(2.41)
�
Persamaan (2.40) menyatakan � persamaan simultan di � tidak diketahui,
�1 , �2 , … , �� . Metode ini umumnya memberikan solusi pendekatan terbaik.Berikut
ini penurunan persamaan elemen hingga menggunakan pendekatan residu
tertimbang dengan metode Galerkin:
Universitas Sumatera Utara
28
Misalkan persamaan diferensial pengatur (governing) dari masalah ekuilibrium
diberikan oleh
�(�) = �
dan kondisi batas
�� (�) = g � ,
dalam �
� = 1, 2, … , �
(2.42)
pada �
(2.43)
Metode Galerkin mengharuskan
� �� ��� − �� �� �� = 0 ,
� = 1, 2, … , �
�
(2.44)
di mana fungsi trial �� dalam solusi pendekatan
�
� = � �� ��
(2.45)
�=1
diasumsikan memenuhi kondisi batas persamaan (2.42). Perhatikan bahwa ��
didefinisikan atas seluruh domain dari persoalan. Persamaan (2.43) dapat berlaku
untuk elemen � sebagai
(�)
� ���� (�) � − � (�) ���
� (�)
∙ �� (�) = 0,
� = 1, 2, … , �
(2.46)
di mana model interpolasi diambil dalam bentuk standar seperti
���⃗ (�) = � ��(�) Φ�(�)
� (�) = �� (�) �Φ
(2.47)
�
Persamaan (2.45) memberikan persamaan elemen hingga yang diperlukan untuk
elemen khusus. Persamaan elemen ini harus dirakit untuk mendapatkan sistem
atau persamaan secara keseluruhan.
Universitas Sumatera Utara
29
2.16. Software Comsol
Comsol adalah software simulasi elemen hingga, yang pada dasarnya dapat
mensimulasikan berbagai aplikasi fisika dan teknik, seperti mensimulasikan
perpindahan panas melalui struktur yang kompleks, kristal fotonik pada skala
nano, lentur mekanik balok, aliran cairan, proses elektrokimia, fisika plasma dan
lainnya. Comsol Multiphysics 4.2 merupakan ekspansi yang signifikan dari
aplikasi software, fitur dan fungsi. Keuntungan utama dalam menggabungkan
simulasi komputer dan analisis prinsip-prinsip utama adalah bahwa penggguna
dapat mencoba banyak pendekatan yang berbeda untuk solusi dari masalah yang
sama yang diperlukan untuk mendapatkan solusi yang benar (atau setidaknya
mendekati benar).
Gambar 2.9 : Comsol multiphysics versi 4.2
Universitas Sumatera Utara
LANDASAN TEORI
2.1. Fluida
2.1.1 Pengertian Fluida
Fluida didefinisikan sebagai zat yang berdeformasi terus-menerus selama
dipengaruhi suatu tegangan geser. Tegangan (gaya per satuan luas) geser
terbentuk apabila sebuah gaya tangensial bekerja pada sebuah permukaan,
(Munson, et al, 2003).
Apabila benda-benda padat biasa seperti baja atau logam-logam lainnya
dikenai oleh suatu tegangan geser, mula-mula benda ini akan berdeformasi
(biasanya sangat kecil), tetapi tidak akan terus-menerus berdeformasi (mengalir).
Namun, cairan yang biasa seperti air, minyak, dan udara memenuhi definisi dari
sebuah fluida artinya, zat-zat tersebut akan mengalir apabila padanya bekerja
sebuah tegangan geser.
2.1.2 Jenis – Jenis Fluida
Cairan : Fluida yang cenderung mempertahankan volumenya karena terdiri atas
molekul-molekul tetap rapat dengan gaya kohesif yang relatif kuat dan fluida
cairan praktis tak compressible.
Gas : Fluida yang volumenya tidak tertentu karena jarak antar molekulmolekul besar dan gaya kohesifnya kecil sehingga gas akan memuai bebas sampai
tertahan oleh dinding yang mengukungnya. Pada fluida gas, gerakan momentum
antara molekulnya sangat tinggi, sehingga sering terjadi tumbukan antar molekul.
Fluida pada dasarnya terbagi atas dua kelompok besar berdasarkan sifatnya,
yaitu fluida cairan dan fluida gas. Fluida diklasifikasikan atas 2, yaitu:
1.
Fluida Newtonian : fluida – fluida yang menunjukkan hubungan linier
antara tegangan geser dan gradien kecepatan ( laju perubahan bentuk yang
diakibatkan). Kebanyakan fluida biasa, seperti udara, air dan minyak.
Universitas Sumatera Utara
7
2.
Fluida non-Newtonian : fluida yang tegangan gesernya tidak berhubungan
secara linier terhadap laju regangan geser (laju perubahan bentuk sudut),
seperti Dilatan dan pseudoplastik
Berbagai jenis fluida non-newtonian dibedakan dengan bagaimana viskositas
nyatanya berubah dengan laju geseran.
1.
Untuk fluida yang mengencer akibat geseran (shear thinning fluids),
viskositas nyatanya berkurang dengan meningkatnya laju geseran-semakin
kuat fluida mengalami geseran, maka fluida tersebut semakin encer
(viskositasnya berkurang).misalnya, cat lateks tidak menetes dari kuas
karena laju geserannya kecil dan viskositas nyatanya besar. Namun, cat
tersebut mengalir mulus pada dinding karena lapisan tipis cat antara dinding
dengan kuas mengakibatkan laju geseran yang besar dan viskositas nyata
yang kecil.
2.
Untuk fluida yang mengental akibat geseran (shear thickening fluids),
viskositas nyatanya meningkat dengan peningkatan laju geseran-semakin
kuat fluida mengalami geseran, maka semakin kental tersebut (viskositasnya
bertambah). Seperti campuran air-tepung jagung (maizena) dan campuran
air-pasir (“quicksand”).
Jadi, sulitnya memisahkan sebuah benda dari
campuran air-pasir akan semakin meningkat tajam jika kecepatan
pemisahan meningkat.
2.1.3
Pergerakan Fluida
Secara umum, fluida dikenal memiliki kecenderungan untuk bergerak atau
mengalir. Sangat sulit untuk mengekang fluida agar tidak bergerak. Tegangan
geser yang sangat kecil saja sudah menyebabkan fluida bergerak. Demikian pula
halnya, suatu kesetimbangan dari tegangan (tekanan) normal akan menyebabkan
fluida bergerak.
Universitas Sumatera Utara
8
Gambar 2.1: Tempat Kedudukan Partikel Yang Dinyatakan Dengan Vektor
Posisinya.
Untuk menggambarkan suatu aliran fluida harus ditentukan berbagia
parameter, tidak hanya sebagai fungsi koordinat ruang (misalnya x, y, z) tetapi
juga sebagai fungsi waktu, t.
Contohnya untuk menyatakan temperatur, T didalam sebuah ruang, maka
medan temperaturnya adalah T = T (x, y, z, t). Pada seluruh ruangan pada suatu
waktu sepanjang siang atau malam.
Salah satu variabel yang paling penting dari pergerakan fluida adalah
kecepatannya, yaitu:
�
� = �(�, �, �, �)�̂ + �(�,
�, �, �)�̂ + �(�, �, �, �)��
(2.1)
Dimana �, �, dan � merupakan komponen vektor kecepatan dalam arah �, �, dan
�. Kecepatan sebuah partikel adalah laju perubahan per satuan waktu dari vektor
posisi partikel tersebut.
Dari gambar 2.1, posisi partikel A diberikan oleh vektor posisi �� , yang
merupakan fungsi dari waktu (jika partikel bergerak), yaitu
2.1.4. Jenis – Jenis Aliran Fluida
�� �
��
= ��
2.1.4.1. Berdasarkan Kemampuan Menahan Tekanan :
Fluida incompressible (tidak termampatkan), yaitu fluida yang tidak dapat
dikompressi atau volumenya tidak dapat ditekan menjadi lebih kecil sehingga
massa jenis, � nya konstan. Fluida compressible (termampatkan), yaitu fluida
Universitas Sumatera Utara
9
yang dapat dikompressi atau volumenya dapat ditekan menjadi lebih kecil
sehingga massa jenis, � nya tidak konstan.
2.1.4.2. Berdasarkan Sifat Alirannya :
Fluida bersifat Turbulen, dimana alirannya mengalami pergolakan (berputarputar). Fluida bersifat Laminar (stream line), dimana alirannya memiliki lintasan
lapisan batas yang panjang, sehingga dikatakan juga aliran berlapis-lapis.
2.1.4.3. Berdasarkan Sifat Kekentalannya
Aliran kental (viscous) dan aliran tak kental (inviscid) : Pada fluida yang mengalir
terdapat perpindahan massa, momentum, energi dari suatu tempat ke tempat lain.
Perpindahan pada skala molekul menimbulkan fenomena difusi massa, viskositas,
dan konduksi termal. Semua aliran molekul memperlihatkan efek phenomena
transport, aliran ini disebut dengan aliran viskous sedangkan pada aliran inviscid
aliran diasumsikan tidak ada gesekan konduksi panas dan diffusi.
2.2. Darah
Darah adalah jaringan ikat dengan sel-sel yang tersuspensi dalam plasma. Tubuh
manusia pada umumnya mengandung 4 sampai 6 L darah. Jika sampel darah
diambil, sel-sel darah dapat dipisahkan dari plasma unsur seluler yang berkisar
sekitar 45% dari volume darah akan mengendap didalam alat sentrifuge yang
diputar dengan kecepatan tertentu. Plasma darah mengandung sekitar 90% air.
Didalamnya terdapat berbagai zat yang berpindah-pindah dari satu bagian tubuh
ke bagian yang lain, yang meliputi nutrien, produk buangan metabolisme, gas-gas
respirasi, dan hormon.
Terdapat tiga unsur sel yang tersebar diseluruh plasma darah: sel darah
merah (eritrosit), yang mengangkut oksigen, sel darah putih, yang berfungsi
dalam pertahanan tubuh, dan keping darah adalah bagian-bagian sel yang terlibat
dalam penggumpalan darah.
Universitas Sumatera Utara
10
2.2.1. Sistem Peredaran Darah Pada Manusia
Sistem peredaran darah atau sistem kardiovaskular adalah suatu sistem organ yang
berfungsi memindahkan zat ke dan dari sel. Sistem ini juga menolong stabilisasi
suhu dan pH tubuh.
Ada dua jenis sistem peredaran darah: sistem peredaran darah terbuka, dan
sistem peredaran darah tertutup. sistem peredaran darah, yang merupakan juga
bagian dari kinerja jantung dan jaringan pembuluh darah (sistem kardiovaskuler)
dibentuk. Sistem ini menjamin kelangsungan hidup organisme, didukung oleh
metabolisme
setiap
sel
dalam
tubuh
dan
mempertahankan
sifat kimia dan fisiologis cairan tubuh.
1.
Pertama, darah mengangkut oksigen dari paru-paru ke sel dan karbon
dioksida dalam arah yang berlawanan (lihat respirasi).
2.
Kedua, yang diangkut dari nutrisi yang berasal pencernaan seperti lemak,
gula dan protein dari saluran pencernaan dalam jaringan masing-masing
untuk mengonsumsi, sesuai dengan kebutuhan mereka, diproses atau
disimpan.
Metabolit yang dihasilkan atau produk limbah (seperti urea atau asam urat)
yang kemudian diangkut ke jaringan lain atau organ-organ ekskresi (ginjal dan
usus besar). Juga mendistribusikan darah seperti hormon, sel-sel kekebalan tubuh
dan bagian-bagian dari sistem pembekuan dalam tubuh.
Pembuluh
nadi atau arteri adalah pembuluh
membawa darah dari jantung.
Fungsi
ini
darah berotot
bertolak
belakang
yang
dengan
fungsi pembuluh balik yang membawa darah menuju jantung.
Sistem sirkulasi sangat penting dalam mempertahankan hidup. Fungsi
utamanya
adalah
menghantarkan oksigen dan nutrisi ke
semua sel,
serta
mengangkut zat buangan seperi karbon dioksida. Pada negara berkembang,
kejadian kematian utama disebabkan oleh stroke pada sistem pembuluh nadi,
misalnya arterosklerosis.
Universitas Sumatera Utara
11
2.2.2. Penyempitan Pembuluh Darah Arteri
Aorta adalah arteri terbesar dalam tubuh. Arteri adalah pembuluh yang membawa
darah dari jantung. Berfungsi untuk membawa dan mendistribusikan darah yang
kaya oksigen ke seluruh arteri. Didalam aorta darah mengalir lebih dari seribu kali
lebih cepat (rata-rata sekitar 30 cm/detik) dibandingkan didalam kapiler (sekitar
0,026 cm/detik). Untuk memahami mengapa aliran darah mengalami penurunan
kecepatan, perlu dipertimbangkan hukum kontinuitas, yaitu hukum mengenai
aliran cairan melalui pipa. Jika diameter suatu pipa berubah sepanjang pipa
tersebut, cairan akan mengalir lebih cepat melalui segmen yang lebih sempit
dibandingkan dengan ketika cairan mengalir melewati segmen yang lebih lebar.
Volume aliran perdetik harus konstan disepanjang pipa tersebut, dengan demikian
cairan mengalir lebih cepat ketika luas penampang menyempit.
Cairan memberikan suatu gaya yang disebut tekanan hidrostatik terhadap
permukaan yang mengadakan kontak dengan cairan tersebut, dan tekanan inilah
yang menggerakkan cairan melalui pipa tersebut. Gaya hidrostatik yang diberikan
oleh darah terhadap dinding pembuluh darah disebut tekanan darah. Tekanan
darah adalah gaya utama yang mendorong darah dari jantung melalui arteri dan
arteriola kehamparan kapiler. Cairan selalu mengalir dari daerah bertekanan tinggi
ke daerah bertekanan rendah.
Gambar 2.2 Pembuluh Darah Arteri
Universitas Sumatera Utara
12
2.3. Medan Percepatan
Percepatan adalah laju perubahan kecepatan terhadap waktu dari sebuah partikel.
secara umum, kecepatan partikel dinyatakan dengan �� untuk partikel A, adalah
sebuah fungsi dari lokasinya dan waktu.
�� = �� (�� , �) = �� (�� (�), �� (�), �� (�), �)
(2.2)
Dimana �� = �� (�), �� = �� (�), �� = �� (�) mendefinisikan lokasi dari partikel
yang sedang bergerak.
Dengan menggunakan fakta bahwa komponen kecepatan partikel diberikan oleh:
�� =
�� �
��
, �� =
�� �
��
, dan �� =
Dengan menggunakan dalil rantai turunan, maka
�� =
�� �
(2.3)
��
���
���
���
���
+ ��
+ ��
+ ��
��
��
��
��
(2.4)
Gambar 2.3 : Kecepatan dan posisi dari partikel A pada waktu t.
Sehingga, medan percepatan dapat dituliskan secara umum sebagai:
�=
��
��
��
��
+�
+�
+ �
��
��
��
��
Persamaan 2.3 dapat ditulis menjadi � =
Dimana operator
��
��
(2.5)
.
�( )
�( )
�( )
�( )
�( )
≡
+ �
+ �
+ �
��
��
��
��
��
(2.6)
Universitas Sumatera Utara
13
Disebut sebagai turunan material atau turunan substansial. Turunan material
digunakan untuk menggambarkan laju perubahan terhadap waktu dari sebuah
partikel. Notasi ringkas yang sering digunakan untuk operator turunan material
adalah
�( )
�( )
=
+ ( � . �)()
��
��
∇ adalah operator gradien,
�( )
�̂ +
�( )
( � . �)() = �
�( )
+ �
∇( ) =
Sehingga,
��
��
��
�̂ +
�( )
��
�( )
��
(2.7)
��
+ �
(2.8)
�( )
(2.9)
��
2.4. Kontinuitas Massa
Persamaan kontinuitas adalah pernyataan bahwa massa kekal. Jumlah massa
dalam sebuah sistem adalah konstan. Persamaan kontinuitas diturunkan dari
persamaan kekekalan massa.
Maka
persamaan
differensial
untuk
kekekalan
massa
(persamaan
kontinuitas) dengan massa jenis, � dan vektor kecepatan arusnya, v. Persamaan
kontinuitas dapat dituliskan adalah
�� �(��) �(��) �(��)
+
+
+
=0
��
��
��
��
(2.10)
Persamaan ini berlaku untuk aliran yang tunak dan tak tunak, dan fluida mampumampat ataupun tak mampu-mampat. Dalam notasi vektor dapat dituliskan,
��
+ �. � � = 0
��
(2.11)
Untuk fluida tak mampu-mampat (incompressible), massa jenis fluida, � konstan.
Persamaan (2.10) dapat disederhanakan menjadi
∇.� = 0
(2.12)
Universitas Sumatera Utara
14
��
Atau
��
+
��
��
+
��
��
=0
Hal ini sesuai dengan menyatakan bahwa tidak terdapat dilatasi (pembesaran) dari
volume lokal.
2.5. Persamaan – Persamaan Gerak
Persamaan gerak diperoleh dengan penerapan hukum kedua Newton untuk
turunan volume (�� �� ��) pada massa ��.
�� = �� �
(2.13)
Gaya resultan , ��, yang bekerja pada massa differensial adalah kombinasi dari
gaya permukaan resultan (��� ) dan gaya badan (��� )
�� = ��� + ���
(2.14)
��� = �� �
(2.15)
��� = ���� �̂ + ���� �̂ + ���� ��
(2.16)
Dimana komponen – komponennya:
���� = �� ��
(2.17 a)
���� = �� ��
(2.17 b)
���� = �� ��
(2.17 c)
����
����
����
���� = �
+
+
� �� �� ��
��
��
��
(2.18 b)
���� = �
����
����
����
+
+
� �� �� ��
��
��
��
���� = �
(2.18 a)
����
����
����
+
+
� �� �� ��
��
��
��
(2.18 c)
Dimana � adalah pernyataan vektor percepatan gravitasi, � adalah tegangan
normal, dan � adalah tegangan geser.
Dalam bentuk komponen, persamaan (2.12) dapat ditulis dalam bentuk
��� = �� ��
��� = �� ��
(2.19 a)
(2.19 b)
Universitas Sumatera Utara
15
��� = �� ��
(2.19 c)
Dimana �� = � �� �� ��, sehingga
��� +
����
����
����
��
��
��
��
+
+
= ��
+�
+�
+ �
�
��
��
��
��
��
��
��
��� +
����
����
����
��
��
��
��
+
+
= ��
+�
+�
+ �
�
��
��
��
��
��
��
��
��� +
����
����
����
��
��
��
��
+
+
= ��
+�
+�
+ �
�
��
��
��
��
��
��
��
(2.20 a)
(2.20 b)
(2.20 c)
Dimana volume elemen �� �� �� saling meniadakan
Gambar 2.4: gaya – gaya permukaan dalam arah x yang bekerja pada elemen
fluida
Untuk fluida yang didalamnya tidak terdapat tegangan geser (tanpa gesekan /
inviscid / nonviskos), tegangan normal pada sebuah titik tidak tergantung pada
arahnya, artinya ��� = ��� = ��� . Dalam hal ini, tekanan didefinisikan sebagai
negatif dari tegangan normal, sehingga
−� = ��� = ��� = ���
(2.21)
Universitas Sumatera Utara
16
2.6. Hubungan Tegangan-Deformasi
Untuk fluida Newtonian tak mampu-mampat, diketahui bahwa tegangan
berbanding lurus terhadap laju deformasi dan dapat dinyatakan dalam koordinat
Cartesius sebagai (untuk tegangan normal)
��
��
��
= −� + 2�
��
(2.22)
��� = −� + 2�
���
��� = −� + 2�
(untuk tegangan geser)
(2.23)
��
��
(2.24)
�� ��
+
�
�� ��
(2.25)
�� ��
��� = ��� = � �
+
�
��
��
(2.27)
��� = ��� = � �
��� = ��� = � �
�� ��
+
�
��
��
(2.26)
Dimana p adalah tekanan yang merupakan negatif dari rata-rata tiga tegangan
1
normal, artinya −� = �3� ���� + ��� + ��� �
2.7.
Persamaan Navier-Stokes
Tegangan yang telah didefinisikan sebelumnya dapat disubstitusikan kedalam
persamaan diferensial gerakan dan disederhanakan dengan menggunakan
persamaan kontinuitas untuk mendapatkan
��
��
��
��
��
�2 � �2 � �2 �
��
+�
+�
+ �
�=−
+ ��� + � � 2 + 2 + 2 �
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
�2 � �2 � �2 �
� �
+�
+�
+ �
�=−
+ ��� + � � 2 + 2 + 2 �
��
��
��
��
��
��
��
��
(2.28 a)
(2.28 b)
Universitas Sumatera Utara
17
��
��
��
��
��
�2 � �2 � �2 �
��
+�
+�
+ �
�=−
+ ��� + � � 2 + 2 + 2 �
��
��
��
��
��
��
��
��
(2.28 c)
Suku-suku percepatan berada di ruas kiri dan suku-suku gaya diruas kanan.
Persamaan (2.26) disebut sebagai persamaan Navier-Stokes , dinamakan demikian
untuk menghormati ahli matematika Prancis, L.M.H Navier (1758-1836) dan ahli
mekanika Inggris Sir G.G.Stokes (1819-1903), yang menemukan rumus-rumus
tersebut. Persamaan Navier-Stokes dianggap sebagai persamaan differensial
pengatur dari gerakan fluida Newtonian tak mampu-mampat.
2.8. Potensial Kecepatan
Komponen kecepatan dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi skalar ∅(�, �, �, �)
�=
�∅
��
,
�=
�∅
��
,
�=
�∅
��
(2.29)
Dimana ∅ disebut sebagai potensial kecepatan. Untuk suatu fluida tak mampu
mampat dari kekekalan massa bahwa
� .� = �
Dan oleh karena itu untuk aliran tak mampu-mampat, tak berotasi (dengan
� = �∅)
∇2 ∅ =
Disebut persamaan Laplace
�∅ � 2 ∅ � 2 ∅
+
+
�� 2 �� 2
�� 2
(2.30)
2.9. Fungsi Arus
Fungsi arus didefinisikan sebagai
�=
��
��
, dan � = −
Sehingga persamaan kontinuitas dengan
datar, sehingga
��
v
��
= 0 terpenuhi untuk semua aliran
��
��
(2.31)
Universitas Sumatera Utara
18
�� ��
−
=0
�� ��
(2.32)
Dan dinyatakan dalam fungsi arus
�2� �2�
+
=0
�� 2
�� 2
(2.33)
Tiga sifat dari fungsi arus adalah:
•
•
•
Fungsi arus memiliki nilai konstan di sepanjang streamline
Streamline dan garis potensial konstan berpotongan pada sudut siku-siku
Selisih fungsi-fungsi arus diantara dua garis arus adalah laju aliran �
persatuan kedalaman diantara kedua garis arus, sehingga � = �2 − �1
Untuk sebuah aliran tak-berotasi pada bidang, dapat menggunakan baik itu
potensial kecepatan atau fungsi arus, keduanya harus memenuhi persamaan
Laplace dua-dimensi.
2.10. Metode Elemen Hingga
Metode elemen hingga (MEH) adalah metode numerik yang digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan teknik dan problem matematis suatu gejala phisis
(Susatio, 2004).
Konsep dasar metode elemen hingga adalah:
1.
Menjadikan elemen – elemen diskrit untuk memperoleh simpangansimpangan dan gaya-gaya anggota dari suatu struktur
2.
Menggunakan elemen-elemen kontinu untuk memperoleh solusi pendekatan
terhadap permasalahan mekanika fluida, perpindahan panas, dan mekanika
solid
Langkah untuk menyelesaikan permasalahan fisik dengan metode elemen
hingga, yaitu:
Solusi dari masalah kontinum umum dengan metode elemen hingga selalu
mengikuti proses secara bertahap. Berkenaan dengan permasalahan struktural
statis, tahapannya sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
19
1.
Struktur dibagi menjadi elemen-elemen diskrit (diskritisasi),
2.
Pilih interpolasi yang tepat atau model perpindahan (displacement),
3.
Turunkan elemen matriks kekakuan dan vektor beban (gaya),
4.
Merakit persamaan elemen untuk mendapatkan persamaan ekulibrium
keseluruhan,
Karena struktur yang terdiri dari beberapa elemen hingga, elemen
individual matriks kekakuan dan vektor beban yang akan dirakit dengan
cara yang sesuai dan persamaan ekuilibrium keseluruhan telah
dirumuskan sebagai
���⃗ = P
�⃗
[�]Φ
(2.34)
���⃗ adalah vektor perpindahan
di mana [�] adalah matriks kekakuan,Φ
nodal, dan �P⃗ adalah vektor dari gaya nodal untuk struktur lengkap.
5.
Memecahkan untuk perpindahan nodal tidak diketahui,
6.
Hitung elemen strain dan tekanan.
2.11. Diskritisasi Domain
Langkah awal dari metode elemen hingga adalah membagi daerah/ benda dalam
bagian – bagian kecil (disebut elemen). Langkah ini disebut sebagai diskritisasi.
Objek satu dimensi dibagi ke segmen garis pendek. Badan dua-dimensi dapat
dibagi menjadi segitiga, persegi panjang, segi- empat atau sub daerah lain yang
sesuai.
Gambar 2.5 : Elemen Satu -Dimensi
Universitas Sumatera Utara
20
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 2.6 : Elemen Dua-Dimensi
(a)
(b)
Universitas Sumatera Utara
21
(c)
Gambar 2.7 : Elemen Tiga –Dimensi
(a)
(b)
Gambar 2.8 : elemen axisimetri
2.12. Fungsi Interpolasi (Elemen Simpleks Dua Dimensi)
Metode elemen hingga didasarkan atas konsep pendekatan dari fungsi – fungsi
kontinu (seperti temperatur, tekanan, dan perpindahan) ke model diskrit. Bentuk
yang sering digunakan dari fungsi interpolasi adalah bentuk polinomial. Derajat
dari polinomial dipilih bergantung pada banyaknya item yang diketahui dari
fungsi kontinu pada setiap elemen. Terdapat tiga macam fungsi interpolasi yang
dipakai dalam metode elemen hingga, yaitu: simpleks, kompleks, dan multipleks
(Susatio, 2004).
Elemen simpleks adalah pendekatan yang dilakukan dengan polinomial
yang terdiri dari suku konstan dan suku linier. Banyaknya koefisien dalam
Universitas Sumatera Utara
22
polinomial sama dengan dimensi dari koordinat ruang yang ada ditambah satu
(Susatio, 2004).
Titik-titik tertentu dalam elemen-elemen, seperti sudut-sudut elemen segitiga,
ditunjuk sebagai titik nodal. Biasanya, polinomial digunakan sebagai fungsi
interpolasi karena mudah untuk didiferensialkan dan diintegralkan. Setiap fungsi
interpolasi polinomial akan selalu kontinu dalam suatu elemen., sehingga kondisi
tersebut berlaku untuk batas antar elemen. Elemen simpleks memiliki polinomial
linier (Allaire, 1985).
Elemen axisimetri terbentuk dari suatu luasan yang diputar disekitar sumbu yang
terletak pada luasan tersebut. Untuk elemen simpleks axisimetri adalah elemen
segitiga dengan fungsi interpolasi linier berbentuk
� (�, �) = �1 + �2 � + �3 �
(2.35)
� (�, �) = �4 + �5 � + �6 �
(2.36)
Banyaknya koefisien �� adalah 6, yang sama dengan jumlah derajat kebebasan
elemen.
Displacement nodal adalah:
��
�
�
��
� �� �
|�| = � �� � = �
� ��
��
��
��
(2.37)
Evaluasi u pada node i:
�(�� , �� ) = ��
= �1 + �2 �� + �3 ��
Bentuk umum dari fungsi displacment dinyatakan dalam bentuk matriks adalah:
�1
�2
�
� + �2 � + �3 �
�
1 � � 0 0 0 �3 �
[�] = � � = � 1
�
�
=
�
�4 + �5 � + �6 �
�
0 0 0 1 � � ��4 �
�5
�6
Universitas Sumatera Utara
23
(2.38)
Dengan mensubsitusikan koordinat nodal pada persamaan 2.36, maka besarnya a
masing-masing adalah
−1
��
� �� �
��
(2.39)
−1
��
� �� �
��
(2.40)
�1
1
�
� 2 � = �1
�3
1
��
��
��
��
�� �
��
�4
1
�
� 5 � = �1
�6
1
��
��
��
��
�� �
��
Untuk invers matriks pada persamaan 2.37 dan 2.38, dihasilkan
�1
1
�
� 2� =
2�
�3
�1
1
�
� 2� =
2�
�3
��
���
��
��
���
��
��
��
��
��
��
��
��
�� �
��
��
�� �
��
��
� �� �
��
(2.41)
��
� �� �
��
(2.42)
dimana:
�� = �� �� − �� ��
�� = �� �� − �� ��
�� = �� �� − �� ��
�� = �� − ��
�� = �� − ��
�� = �� − ��
�� = �� - ��
�� = �� - ��
�� = �� - ��
2.13. Menurunkan Elemen Matriks dan Vektor
Matriks karakteristik dan vektor karakteristik dari elemen hingga dapat diturunkan
menggunakan pendekatan berikut
Universitas Sumatera Utara
24
2.13.1. Direct Approach (Pendekatan Langsung)
Metode ini ditunjukkan bersama dengan beberapa contoh dari bagian yang
berbeda. Metode ini didasari oleh penggunaan penalaran fisik untuk membangun
sifat elemen, yakni matriks karakteristik dan vektor dalam bentuk variabel yang
bersangkutan. Karena pendekatan menggunakan prinsip dasar dari ilmu teknik,
hal itu membantu memahami secara fisik dari metode elemen hingga.
Bagaimanapun, metode ini hanya sesuai untuk masalah sederhana, kesulitan yang
muncul dapat diatasi dengan menggunakan metode untuk masalah yang kompleks
dengan memasukkan dua dan tiga dimensi elemen hingga. Sehingga metode
langsung ini tidak digunakan dalam analisis elemen hingga dari masalah yang
paling praktis.
2.13.2. Varitional Approach (Pendekatan Variasi)
Pada metode ini, analisis elemen hingga diartikan sebagai pendekatan untuk
menyelesaikan masalah varisional. Karena banyak masalah fisik dan teknik dapat
di rumuskan dalam bentuk varisional, metode elemen hingga mudah diterapkan
untuk menemukan solusi pendekatannya. Pendekatan varisional paling banyak
diggunakan dalam literatur untuk merumuskan persamaan elemen hingga.
Keterbatasan utama dari metode ini adalah bahwa ia memerlukan masalah fisik
atau teknik untuk dinyatakan dalam bentuk varitional, yang tidak mungkin dalam
semua kasus.
2.13.3. Weight Residual Approach (Pendekatan Residu Bobot)
Dalam metode ini, elemen matriks dan vektor di turunkan secara langsung dalam
persamaan differensial umum tanpa bergantung dari masalah tanpa tergantung
pada pernyataan varisional dari masalah. Metode ini menawarkan prosedur yang
paling umum untuk menurunkan persamaan elemen hingga dan dapat diterapkan
untuk hampir semua masalah praktis ilmu pengetahuan dan rekayasa. Dalam
pendekatan residu bobot, prosedur penurunan, seperti metode Galerkin dan
metode kuadrat kecil (Least Square) dapat digunakan untuk menurunkan
persamaan elemen.
Universitas Sumatera Utara
25
2.14. Formula Weak
Persamaan weak form biasanya dalam bentuk integral dan memerlukan
kontinuitas lemah pada variabel bidang. Karena kebutuhan yang lebih
lemah pada variabel bidang dan bentuk integral dari persamaan yang
mengatur, formulasi didasarkan pada weak form yang diharapkan
mengarah pada suatu himpunan persamaan untuk sistem diskrit yang
menghasilkan hasil yang lebih akurat, terutama untuk sistem yang
melibatkan geometri yang kompleks. Oleh karena itu, jenis weak form dari
formulasi adalah lebih disukai untuk mendapatkan suatu solusi pendekatan.
Dengan demikian, metode elemen hingga, berdasarkan weak form dari
formulasi seperti prinsip energi atau pendekatan residual tertimbang, telah
menjadi sangat populer.Contoh berikut menunjukkan keuntungan dari
formulasi weak form.
Contoh:
Persamaan yang mengatur defleksi balok, �(�), diberikan oleh
��
�4 �
= �(�)
�� 4
(C.1)
di mana �(�) adalah gaya didistribusikan sepanjang balok. Untuk balok
kantilever dikenakan beban akhir dan momen akhir seperti yang
ditunjukkan pada Gambar 2.9, mencari defleksi balok menggunakan
metode Galerkin dengan solusi diasumsikan
�
�(�) = ��(�) = �(3� 2 � − � 3 )
(C.2)
di mana �(�) adalah fungsi trial dan � adalah konstanta. Juga,
menunjukkan keuntungan dari formulasi weak.
3.
Gambar 2.10. Kantilever beam dikenakan beban dan momen
4.
Universitas Sumatera Utara
26
Solusi:
Karena beban didistribusikan �(�) = 0 untuk balok yang ditunjukkan pada
Gambar 2.9, persamaan yang mengatur (governing equation) menjadi
��
�4 �
=0
�� 4
(C.3)
Dalam metode Galerkin, konstanta �dalam solusi diasumsikan ditemukan
dengan menggunakan hubungan
�
� �(�)�(�) = 0
(C.4)
0
di mana �(�) adalah residu dan �(�) = 3� 2 � − � 3 adalah fungsi
bobot/tertimbang yang diberikan oleh persamaan (C.2). Persamaan (C.4)
dapat ditulis kembali sebagai
�
� ��
0
�4 �
�
�(�) = 0
�� 4
(C.5)
Karena turunan keempat �
�(�) adalah nol, akan dikurangi orde turunan
tertinggi �
�(�) dengan mengintegrasikan per bagian (integral by parts)
persamaan (C.5):
�
�
�
�� �3 �
�3 �
�
���(�) 3 � − � ��
�� = 0
�� �� 3
�� 0
(C.6)
0
Integrasi suku kedua di sisi kiri dari persamaan (C.6) per bagian
menghasilkan persamaan
�
�
�
�
�2 � �2 �
�� �2 �
�3 �
�
�
� �� 2
�� = �−���(�) 3 � + ��
� �
2
�� ��
�� �� 2 0
�� 0
(C.7)
0
Kondisi batas mengasilkan
�(� = 0) = 0,
��
�2 �
�
(� = 0) = 0, �� 2 (� = 1) = �0 ,
��
��
�
�3 �
�� 3 (� = �) = �0
��
(C.8)
Universitas Sumatera Utara
27
Dengan menggunakan dua kondisi pertama persamaan (C.8), persamaan
(C.7) dapat dinyatakan sebagai
�
�
�2 � �2 �
�� �2 �
�3 �
�
�
� �� 2
��
=
���(�)
�
−
��
�
�� �� 2
�� �� 2 �
�� 3 �
(C.9)
0
Dari persamaan (C.2) dan Gambar 2.9 diperoleh
�(�) = 2� 3 ,
��
�2 �
�
�3 �
�
(�) = 3� 2 , �� 2 (�) = �0 , �� 3 (�) = �0
��
��
��
(C.10)
Integral pada persamaan (C.9) dapat dihitung dengan hubungan pada
persamaan (C.2) sebagai
�
�
�2 � �2 �
�
� �� 2
�� = � ��(6� − 6�)� (6� − 6�) �� = (12�� � 3 )�
�� �� 2
(C.11)
0
0
Gunakan persamaan (C.10) dan (C.11) pada persamaan (C.9), konstanta C
dapat ditemukan sebagai berikut:
�=
�0
�0
+
�� 4���
(C.12)
Maka, solusi pendekatan untuk defleksi balok menjadi
�0
�0
�
�(�) = � +
� (3� 2 � − � 3 )
�� 4���
(C.13)
yang menghasilkan defleksi pada ujung bebas (� = �) sebagai
�0 � 3 �0 � 2
�
�(�) =
+
3��
3��
(C.14)
2.15. Metode Galerkin
Dalam hal ini bobot �� dipilih menjadi fungsi yang diketahui �� (�) dari fungsi
trial dan � integral berikut residu tertimbang ditetapkan sama dengan nol:
� �� � �� = 0
(2.41)
�
Persamaan (2.40) menyatakan � persamaan simultan di � tidak diketahui,
�1 , �2 , … , �� . Metode ini umumnya memberikan solusi pendekatan terbaik.Berikut
ini penurunan persamaan elemen hingga menggunakan pendekatan residu
tertimbang dengan metode Galerkin:
Universitas Sumatera Utara
28
Misalkan persamaan diferensial pengatur (governing) dari masalah ekuilibrium
diberikan oleh
�(�) = �
dan kondisi batas
�� (�) = g � ,
dalam �
� = 1, 2, … , �
(2.42)
pada �
(2.43)
Metode Galerkin mengharuskan
� �� ��� − �� �� �� = 0 ,
� = 1, 2, … , �
�
(2.44)
di mana fungsi trial �� dalam solusi pendekatan
�
� = � �� ��
(2.45)
�=1
diasumsikan memenuhi kondisi batas persamaan (2.42). Perhatikan bahwa ��
didefinisikan atas seluruh domain dari persoalan. Persamaan (2.43) dapat berlaku
untuk elemen � sebagai
(�)
� ���� (�) � − � (�) ���
� (�)
∙ �� (�) = 0,
� = 1, 2, … , �
(2.46)
di mana model interpolasi diambil dalam bentuk standar seperti
���⃗ (�) = � ��(�) Φ�(�)
� (�) = �� (�) �Φ
(2.47)
�
Persamaan (2.45) memberikan persamaan elemen hingga yang diperlukan untuk
elemen khusus. Persamaan elemen ini harus dirakit untuk mendapatkan sistem
atau persamaan secara keseluruhan.
Universitas Sumatera Utara
29
2.16. Software Comsol
Comsol adalah software simulasi elemen hingga, yang pada dasarnya dapat
mensimulasikan berbagai aplikasi fisika dan teknik, seperti mensimulasikan
perpindahan panas melalui struktur yang kompleks, kristal fotonik pada skala
nano, lentur mekanik balok, aliran cairan, proses elektrokimia, fisika plasma dan
lainnya. Comsol Multiphysics 4.2 merupakan ekspansi yang signifikan dari
aplikasi software, fitur dan fungsi. Keuntungan utama dalam menggabungkan
simulasi komputer dan analisis prinsip-prinsip utama adalah bahwa penggguna
dapat mencoba banyak pendekatan yang berbeda untuk solusi dari masalah yang
sama yang diperlukan untuk mendapatkan solusi yang benar (atau setidaknya
mendekati benar).
Gambar 2.9 : Comsol multiphysics versi 4.2
Universitas Sumatera Utara