Implementasi Metode Elemen Hingga Dalam Aliran Persoalan Darah Pada Pembuluh Darah

DAFTAR PUSTAKA

Allaire, E.Paul. 1985. Basic Of The Finite Element Method :Usa. Wm. C. Brown. Brenner, C.S, And L. Ridgway Scott. 2008. The Mathematical Theory Of Finite

Element Methods. Springer, Usa.

Campbell, N.A, J.B. Reece, Dan L.G. Mitchell, 2004. Biologi. Erlangga, Jakarta. Elad, David dan Shmuel Einav. 2004. Standart Handbook of Biomedical

Engineering and Design. Mc.Graw-Hill.

Logan,Daryl L. 2007.Fourth Edition, A First Course In The Finite Element

Method. Thomson. Canada

Maktar, M.F.I., 2011. “Fluida Structure Interactioin of Blood Vessel Using Comsol” (Laporan Penelitian). Malaysia: Universiti Kebangsaan Malaysia Munson, B.R., D.F. Young, Dan T.H. Okii Shi, 2003. Mekanika Fluida.

Erlangga, Jakarta.

Potter, Merle C. And Wiggert, David C.2011. Schaum’s Outlines Mekanika Fluida. Penerbit Erlangga. Jakarta.

Rao, Singiresu S. 2011. Fifth Edition, The Finite Element Method Is Engineering. British Library. USA.

Susatio,Yerri. 2004. Dasar-Dasar Metode Elemen Hingga. Andi Offset. Yogyakarta.

BAB 3

ANALISIS DAN PERANCANGAN 3.1. Perancangan Geometri

Pada dinding pembuluh terdiri dari beberapa lapisan terpisah dari bahan yang berbeda dengan sifat mekanik yang berbeda . Bahan tersebut terdiri dari sel-sel endotel , sel otot halus dan kumpulan ekstracellular kolagen dan elastin . Hal ini menunjukkan bahwa dinding pembuluh memiliki respon regangan - tegangan yang tidak nonlinear namun dalam penelitian ini, model dianggap mampu mengatasi beberapa keterbatasan sudut pandang numerik dan komputasi.

Untuk model penelitian ini, parameter dan material yang digunakan berdasarkan data pada laporan penelitian “Fluida Structure Interactioin of Blood Vessel Using Comsol” Maktar,M.F.I (2011) dan model aliran darah dalam pembuluh darah (2D-Axisymmetric).

Tabel 3.1. Parameter Yang Digunakan Untuk Geometri Pembuluh Darah nama Nilai Keterangan

r0 2.05 mm Radius pembuluh darah

h0 0.2 mm Ketebalan dinding pembuluh darah L 30 mm Panjang pembuluh darah

p0 11865 Pa Rata-rata tekanan darah

K 0.362 Amplitude

�1 0.5125mm Radius plak pada pembuluh darah untuk penyempitan 25%

�2 1.025 mm Radius plak pada pembuluh darah untuk penyempitan 50%

�3 1.5375 mm Radius plak pada pembuluh darah untuk penyempitan 75%

Tabel 3.2. Material Properties Darah

Properties Nilai

Massa jenis 1000 �� �⁄ 3

Tabel 3.3. Material Properties Pembuluh Darah

Properties Nilai

Massa jenis � = 1200kg/�3

Lame constant λ = 8.22. 106 Pa

Lame constant �= 1.67. 105 Pa

Dengan Comsol digambarkan model pembuluh darah yang sesuai, berikut gambar pembuluh darah beserta mesh dengan elemen segitiga sebagai berikut:

Gambar 3.1 : Model Geometri Pembuluh Darah

Gambar 3.1 menunjukkan bahwa model geometri pembuluh darah terdiri atas bagian yang padat adalah dinding pembuluh darah dan bagian yang cair yaitu darah.

3.2. Tahapan Analisis

3.2.1. Memaparkan hubungan-hubungan pergerakan aliran darah pada persamaan Navier-Stokes

Persamaan Navier Stokes didasarkan atas hukum gerakan Newton dan hukum gesekan viskos dari Newton yang telah diperluas. Sejauh ini tidak dibatasi dengan massa jenis yang konstan maupun viskositas yang konstan. Persamaan Navier-stokes yang dinyatakan secara ringkas dalam notasi vektor sebagai:

� ���_�� + � .∇�� = −∇�+ ��+ �∇2� (3.1)

Bersama dengan persamaan kontinuitas

∇.�= 0 (3.2)

3.2.2. Menentukan kondisi awal dan batas

Untuk persoalan aliran darah dalam penelitian ini yaitu: fluida yang tak mampu-mampat (Incompressible fluid), aliran laminar (Laminar flow)

3.2.3. Simulasi Dan Visualisasi Model Dengan Comsol Mutiphysics 4.2

Comsol Mutiphysics 4.2 adalah software untuk analisis Metode Elemen Hingga. Dalam penelitian ini ada beberapa variasi bentuk penyempitan pembuluh darah yang akan dilihat distribusi tekanan aliran darah didalamnya. Variasinya adalah sebagai berikut

1. Pada Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan

outlet

inlet

Gambar 3.2. model geometri dari Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan

Gambar 3.2 merupakan model geometri yang menunjukkan bahwa tidak ada nya plak (plaque) yang terdapat disisi dinding pembuluh darah. Dari model geometri juga ditunjukkan arah dari aliran darah dari inlet (aliran masuk) lalu outlet (aliran keluar).

2. Pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 25% outlet

Gambar 3.3 Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan sebesar 25%

Gambar 3.3 menunjukkan bahwa adanya plak (plaque) yang terdapat disisi dinding pembuluh darah dengan bentuk setengah lingkaran. Plak (plaque) yang berukuran 0.5212 mm merupakan 25% dari radius pembuluh darah. Dari model geometri juga ditunjukkan arah dari aliran darah dari inlet (aliran masuk) lalu outlet (aliran keluar) yang sama dengan pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan.

3. Pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 50%

outlet

inlet

Gambar 3.4. Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan sebesar 50%

Gambar 3.4 model geometri dari pembuluh darah yang menunjukkan bahwa adanya plak (plaque) yang terdapat disisi dinding pembuluh darah. Plak (plaque) yang berukuran 1.025 mm merupakan 50% dari radius pembuluh darah. Dari model geometri juga ditunjukkan arah dari aliran darah dari inlet (aliran masuk) lalu outlet (aliran keluar) yang sama dengan pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan.

4. Pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 75%

outlet

inlet

Gambar 3.5. Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan sebesar 75%

Gambar 3.5 menunjukkan bahwa adanya plak (plaque) yang terdapat disisi dinding pembuluh darah. Plak (plaque) yang berukuran 1.5375 mm merupakan 75% dari radius pembuluh darah dengan bentuk setengah lingkaran. Dari model geometri juga ditunjukkan arah dari aliran darah dari inlet (aliran masuk) lalu outlet (aliran keluar) yang sama dengan pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan.

BAB 4 PEMBAHASAN 4.1. Persamaan Dasar Dalam Dinamika Fluida

Berdasarkan masalah pergerakan fluida (darah) dalam pembuluh darah, fluida yang akan dibahas dengan sifat sebagai berikut:

1. Incompressible fluid ( fluida tak mampu-mampat) 2. Laminar flow (aliran laminar)

Persamaan Navier-Stokes dalam penelitian ini adalah

� ��������_�� + (�.��)�= �.�−��+� ���_{�����} +���_{�����}���� (4.1) �∇. �= 0

(4.2) dengan nilai batas:

inlet: �₌ �_0, �� ���_{����� +} ���_{�����}���� �_{= 0} (4.3) outlet: �= �₀, �� ���_{�����} + ���_{�����}���� �= 0

(4.4) inlet: aliran masuk

outlet: aliran keluar

Solusi elemen hingga terhadap masalah aliran yang ideal (aliran tak kental tak mampu-mampat) Contoh umum yang masuk dalam kategori ini adalah aliran di sekitar silinder, mengalir keluar dari sebuah lubang, dan mengalir di sekitar sebuah airfoil. Dua dimensi potensial aliran (aliran irrotattional) masalah dapat dirumuskan dalam hal potensi kecepatan, persamaan yang mengatur untuk masalah dua dimensi diberikan oleh

�2_ɸ

��2 +

�2_ɸ

��2 = 0

(4.5)

Dengan komponen kecepatannya adalah:

� = �ɸ

�� ,�= �ɸ ��

(4.6)

Dan kecepatan aliran dinyatakan sebagai � =�� �� ,�= − �� �� (4.8)

Dalam bentuk umum, pilihan antara kecepatan dan fungsi aliran di rumuskan dalam analisis elemen hingga tergantung pada kondisi batas, yang lebih spesifik. Jika geometrinya sederhana, dapat dinyatakan bahwa tidak ada keunggulan yang satu dengan lainnya. Jika fluida ideal, gerakannya tidak menembus ke dalam atau terpisah dari permukaan dan meninggalkan ruang kosong.

Hal ini memberikan kondisi batas yang merupakan komponen dari kecepatan normal fluida ke permukaan harus sesuai dengan komponen dari kecepatan permukaan ke arah yang sama.

Karena ��⃗.��⃗ = ��⃗_�.��⃗

Atau

��� + ��� = ����+ ���� (4.9) Dimana ��⃗ adalah kecepatan dari fluida, ��⃗_� adalah kecepatan kondisi batas, dan ��⃗ merupakan komponen yang ditarik normal keluar batas (arah cosinus). Jika batas ditetapkan sebagai ( ��⃗_� = 0), maka tidak akan ada aliran sehingga tidak ada kecepatan yang tegak lurus ke batasnya. Hal ini mengakibatkan batasnya dianggap sebagai garis arus karena tidak adanya kecepatan fluida yang tegak lurus ke garis arus. Jika tedapat sebuah garis yang sejajar dengan simetris ke arah alirannya, garis tersebut juga merupakan garis arus.

Jika ��⃗_� = 0, maka persamaan (4.9), (4.8) dan (4.6) menunjukkan kondisi ��

�� = ��

�� ��− ��

�� �� = 0

(4.10) �ɸ �� = �ɸ �� �� − �ɸ

�� �� = 0

(4.11)

�2_�

��2 +

�2_�

��2 = 0

Persamaan (4.10) menyatakan derivatif tangensial dari fungsi arus sepanjang kondisi batas yang ditentukan adalah nol, dimana persamaan (4.11) menyatakan bahwa fungsi potensial (kecepatan normal dari batas yang ditentukan) adalah nol.

4.2. Formulasi Fungsi Potensial

Masalah nilai batas untuk potensial aliran dapat dinyatakan sebagai berikut:

4.2.1. Bentuk Persamaan Differensial

Untuk menentukan kecepatan potensial ɸ(x, y) menunjukkan wilayah S yang dikelilingi oleh kurva C, sehingga:

�2_{ɸ =} �2ɸ ��2+

�2_ɸ

��2 = 0 di S

(4.12) Dengan kondisi batas:

Kondisi Dirichlet

ɸ= ɸ0 pada �1 (4.13)

Kondisi Neumann:

�� = �ɸ_�� = �ɸ_�� ��+ �ɸ_�� �� = �0 pada �2 (4.14)

Dimana �= �1+ �2 dan �0ditentukan dari kecepatan normal ke batas

permukaan.

4.2.2. Bentuk Variasi

Menentukan kecepatan potensial ɸ(x, y) yang meminimalkan bentuk fungsi � = 1

2 ∬� ��

�ɸ ���

2

+ ��ɸ

���

2

�.�� − ∫_�2�0ɸ��2

(4.15)

4.3. Solusi Elemen Hingga

Langkah untuk menentukan solusi elemen hingga adalah sebagai berikut: Langkah 1: memilih tipe elemen dan diskritisasi

Gambar : Diskritisasi Padatan Axisimetri Menjadi Elemen Segitiga

Langkah 2: pemilihan fungsi displacement

�� = 1

2� (��+ ���+���)

�� = 1

2� ��� + ���+����

�� = 1

2� (�� + ���+���)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.39) dan (2.40) ke persamaan (2.35), maka:

[�] =�� (�,�)

� (�,�)�= �

�� 0 ��

0 �_� 0

0 �_� 0

�� 0 ��� _�

� ��

��

��

��

��

��

� �

Dengan simbol ditulis:

Langkah 3: mendapatkan hubungan strain-displacement dan hubungan stress-strain |�| = _�� �2 �6 �1

� + �2+

�3�

� �3+�5

�� � �� �� �� ��� �= �

0 1 0 0 0 0

1

� 1 ��

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0

� � � �1 �2 �3 �4 �5 �6 � �

Subsitusikan nilai �₁,�₂, … sehingga membentuk persamaan:

[�] = 1 2�

⎣ ⎢ ⎢

⎡ �₀� _�0 ��

� 0

��+ ���+��� 0 �� + ���+���

0 �_� 0

�� 0 ��

0 �_�+ �_��+�_�� 0 �_� �_� �_� �_� �_� �_�⎦⎥ ⎥ ⎤ � � �� �� �� �� �� �� � �

Dalam bentuk ringkas ditulis:

[�] = [�� �� ��] � � �� �� �� �� �� �� � � dimana: ��= 1 2� ⎣ ⎢ ⎢ ⎢

⎡ �₀� _�0

�

��

� + ��+ ���

� 0

�_� �_�⎦⎥

⎥ ⎥ ⎤

Sehingga bentuk umumnya menjadi

[�] = [�] |�| dimana:

[�] = [�� �� ��]

Stress didefinisikan sebagai:

[�] = [�] [�] |�|

Langkah 4: menurunkan matrik kekakuan elemen dan persamaan kesetimbangan

[�] = �[�]� [�] [�]��

� atau

[�] = 2� � [�]� [�] [�] �����

�

Untuk menghitung matriks kekakuan elemen [K] dapat dilakukan dengan 3 cara yaitu:

1. Integrasi numerik (Gaussian Quadrature)

2. Perkalian matriks dari mengintegralkan bentuk yang ada 3. Menghitung matrik [B] pada pusat elemen r, z dimana

-4.4. Simulasi Dengan Comsol Multiphysics

Mesh pada pembuluh darah yang dengan elemen segiempat (dua dimensi) untuk diskritisasi elemen diperoleh masing-masing daerah dalam bentuk segitiga untuk mendapatkan estimasi nilai-nilai yang akurat

Gambar 4.1 menunjukkan bahwa ukuran mesh yang terbentuk pada daerah cair (aliran darah) lebih besar dari pada mesh yang ada di daerah padat yaitu dinding pembuluh darah pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan

Gambar 4.2. mesh pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 25%

Gambar 4.2 menunjukkan bahwa mesh terbentuk pada daerah cair (aliran darah) , daerah padat (dinding pembuluh darah) dan pada plak (plaque) yang terjadi di pembuluh darah sebesar 25% dari radius pembuluh darah. Ukuran mesh yang terbentuk pada daerah cair (aliran darah) lebih besar dari pada mesh yang ada di daerah padat yaitu dinding pembuluh dan di daerah plak (plaque) pembuluh darah

Gambar 4.3 mesh pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 50%

Gambar 4.3 menunjukkan bahwa mesh terbentuk pada daerah cair (aliran darah) , daerah padat (dinding pembuluh darah) dan pada plak (plaque) yang terjadi di pembuluh darah sebesar 50% dari radius pembuluh darah. Ukuran mesh yang terbentuk pada daerah cair (aliran darah) lebih besar dari pada mesh yang ada di daerah padat yaitu dinding pembuluh dan di daerah plak (plaque) pembuluh darah

Gambar 4.4 mesh pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 75%

Gambar 4.4 menunjukkan bahwa mesh terbentuk pada daerah cair (aliran darah) , daerah padat (dinding pembuluh darah) dan pada plak (plaque) yang terjadi di pembuluh darah sebesar 75% dari radius pembuluh darah. Ukuran mesh yang terbentuk pada daerah cair (aliran darah) lebih besar dari pada mesh yang ada di daerah padat yaitu dinding pembuluh dan di daerah plak (plaque) pembuluh darah

4.5. Tekanan Pada Pembuluh Darah

Tekanan merupakan gaya per satuan luas permukaan. Tekanan yang terjadi pada variasi dari penyempitan pembuluh darah akan dijelaskan dalam bentuk 2Dimensi-Axisimetri.

4.5.1. Tekanan Pada Permukaan Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan

Gambar 4.5 Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan Gambar 4.5 menunjukkan bentuk tekanan yang terjadi pada pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan. Masing-masing warna yang ditunjukkan oleh gambar memiliki nilai tekanan yang berbeda. Gambar 4.5 menunjukkan kondisi tekanan darah yang terjadi di detik 0.002. Tekanan paling rendah ditunjukkan oleh warna biru dan tekanan yang paling tinggi terjadi di tunjukkan oleh warna merah. Pada gambar di tunjukkan bahwa tekanan tertinggi sebesar 75.039 Pa dan tekanan yang terendah sebesar 5.8996 Pa.

4.5.2. Tekanan Pada Permukaanpembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan Sebesar 25%

Gambar 4.6 Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan Gambar 4.6 menunjukkan bentuk tekanan yang terjadi pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 25%. Gambar 4.6 menunjukkan kondisi tekanan darah yang terjadi pada detik 3. Tekanan paling rendah ditunjukkan oleh warna biru dan tekanan yang paling tinggi terjadi di tunjukkan oleh warna merah. Pada gambar di tunjukkan bahwa tekanan tertinggi sebesar 11799 Pa dan tekanan yang terendah sebesar 11780 Pa

4.5.3. Tekanan Pada Permukaanpembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan Sebesar 50%

Gambar 4.7 menunjukkan bentuk tekanan yang terjadi pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 50%. Gambar 4.7 menunjukkan kondisi tekanan darah yang terjadi pada detik 3. Tekanan paling rendah ditunjukkan oleh warna biru dan tekanan yang paling tinggi terjadi di tunjukkan oleh warna merah. Pada gambar di tunjukkan bahwa tekanan tertinggi sebesar 11800 Pa dan tekanan yang terendah sebesar 11778 Pa.

4.5.4. Tekanan Pada Permukaanpembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan Sebesar 75%

Gambar 4.8 Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan Gambar 4.8 menunjukkan bentuk tekanan yang terjadi pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 75%. Gambar 4.8 menunjukkan kondisi tekanan darah yang terjadi pada detik 3. Tekanan paling rendah ditunjukkan oleh warna biru dan tekanan yang paling tinggi terjadi di tunjukkan oleh warna merah. Pada gambar di tunjukkan bahwa tekanan tertinggi sebesar 11800 Pa dan tekanan yang terendah sebesar 11781 Pa.

4.6. Distribusi Tekanan

Dengan bantuan Comsol akan dilihat bagaimana distribusi tekanan aliran darah pada pembuluh darah dengan variasi bentuk penyempitan yang telah dijelaskan pada BAB 3. Dalam penelitian ini visualisasi model aliran darah dalam interval waktu t = 0 detik sampai t = 3 detik. Namun, dalam pembahasannya hanya akan diambil t = 0.18 detik, t = 0.36 detik, t = 1.18 detik, dan t = 3 detik. Yang menjadi parameter perubahan tekanan adalah pada titik diantara besar penyempitan dan aliran darah yang keluar.

4.6.1. Pada pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan

Gambar 4.9. Aliran tekanan pada pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan

Dari gambar 4.9 menunjukkan perubahan masing-masing tekanan darah pada setiap waktu. Di waktu 0.18 detik menunjukkan bahwa tekanan yang terjadi sebesar 5857 Pa. Pada waktu 0.36 detik , tekanan terjadi sebesar 8904 Pa. Ketika waktu 1.18 detik, tekanan nya adalah 11450 Pa. Dan pada waktu 3 detik, tekanannya berubah menjadi 11790 Pa.

4.6.2. Pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 25%

Gambar 4.10. Aliran tekanan pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 25%

Dari gambar 4.10 menunjukkan perubahan masing-masing tekanan darah pada setiap waktu. Di waktu 0.18 detik menunjukkan bahwa tekanan yang terjadi sebesar 5864 Pa. Pada waktu 0.36 detik , tekanan terjadi sebesar 8906 Pa. Ketika waktu 1.18 detik, tekanan nya adalah 11446 Pa. Dan pada waktu 3 detik, tekanannya berubah menjadi 11785 Pa.

4.6.3. Pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 50%

Gambar 4.11. Aliran Tekanan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan Sebesar 50%

Dari gambar 4.11 menunjukkan perubahan masing-masing tekanan darah pada setiap waktu. Di waktu 0.18 detik menunjukkan bahwa tekanan yang terjadi sebesar 5859 Pa. Pada waktu 0.36 detik , tekanan terjadi sebesar 8896 Pa. Ketika waktu 1.18 detik, tekanan nya adalah 11483 Pa. Dan pada waktu 3 detik, tekanannya berubah menjadi 11781 Pa.

4.6.4. Pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 75%

Gambar 4.12: Aliran Tekanan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan Sebesar 75%

Dari gambar 4.12 menunjukkan perubahan masing-masing tekanan darah pada setiap waktu. Di waktu 0.18 detik menunjukkan bahwa tekanan yang terjadi sebesar 5860 Pa. Pada waktu 0.36 detik , tekanan terjadi sebesar 8892 Pa. Ketika waktu 1.18 detik, tekanan nya adalah 11443 Pa. Dan pada waktu 3 detik, tekanannya berubah menjadi 11781 Pa.

Dalam tabel berikut akan di tampilkan data distribusi tekanan yang terjadi pada variasi penyempitan pembuluh darah

Tabel Besar Tekanan Yang Terjadi Di Pembuluh Darah

Waktu (s) Penyempitan

0% 25% 50% 75%

0,18 5857 Pa 5864 Pa 5859 Pa 5860 Pa 0,36 8904 Pa 8906 Pa 8908 Pa 8892 Pa 1,18 11450 Pa 11446 Pa 11483 Pa 11443 Pa

Gambar 4.13. Distribusi Tekanan Aliran Pada Pembuluh Darah

Dapat dilihat bahwa distribusi tekanan aliran darah pada setiap penyempitan pembuluh darah, tidak mengalami perubahan yang signifikan. Besarnya tekanan pada setiap variasi penyempitan pembuluh darah memiliki nilai yang hampir sama sehingga masing-masing grafik dari besarnya tekanan di variasi penyempitan pembuluh darah saling berhimpit menyebabkan hanya satu garis yang terlihat pada grafik.

4.7. Tegangan Pada Pembuluh Darah

Tegangan sebagai suatu respon resistif (perlawanan) internal dari suatu material terhadap tekanan eksternal yang diterjadi. Tegangan yang terjadi di dalam pembuluh darah akan diperhatikan dalam bentuk 2Dimensi-Axisimetri. Dalam hal ini, tegangan yang terjadi akan di perlihatkan pada waktu 3 detik.

4.7.1.Tegangan Pada Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan

Gambar 4.14 Tegangan Pada Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan

Dapat diperhatikan bahwa tegangan terjadi pada di bagian dalam seluruh dinding pembuluh darah adalah konstan yaitu sebesar 14937 Pa. Tidak ada perubahan tegangan di bagian dalam dinding pembuluh darah.

4.7.2.Tegangan Yang Terjadi Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan Sebesar 25%

Gambar 4.15. Tegangan Yang Terjadi Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan Sebesar 25%

Dapat diperhatikan bahwa tegangan terjadi pada di bagian dalam seluruh dinding pembuluh darah memiliki nilai-nilai yang berbeda. Tegangan yang terjadi paling

besar ketika sebelum dan sesudah aliran darah melewati plak (Plaque) yaitu sebesar 14932 Pa. Tegangan yang terjadi pada plak (plaque) hanya sebesar 6289Pa.

4.7.3.Tegangan Yang Terjadi Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan Sebesar 50%

Gambar 4.16. Tegangan Yang Terjadi Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan Sebesar 50%

Dapat diperhatikan bahwa tegangan terjadi pada di bagian dalam seluruh dinding pembuluh darah memiliki nilai-nilai yang berbeda. Tegangan yang terjadi paling besar ketika sebelum dan sesudah aliran darah melewati plak (Plaque) yaitu sebesar 15334 Pa. Tegangan yang terjadi pada plak (plaque) hanya sebesar 4644Pa.

4.7.4.Tegangan Yang Terjadi Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan Sebesar 75%

Gambar 4.17. Tegangan Yang Terjadi Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan Sebesar 75%

Dapat diperhatikan bahwa tegangan terjadi pada di bagian dalam seluruh dinding pembuluh darah memiliki nilai-nilai yang berbeda. Tegangan yang terjadi paling besar ketika sebelum dan sesudah aliran darah melewati plak (Plaque) yaitu sebesar 15968 Pa. Tegangan yang terjadi pada plak (plaque) hanya sebesar 8203Pa. Untuk memperlihatkan perubahan tegangan yang terjadi pada variasi penyempitan pembuluh darah, digambarkan dalam grafik berikut.

Grafik menunjukkan bahwa tegangan terbesar terjadi pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 75%. Dalam hal ini, kasus penyempitan sebesar 75% dari radius pembuluh darah adalah penyempitan terbesar. Untuk pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan tidak mengalami perubahan tekanan. Hal ini ditunjukkan oleh garis lurus didalam grafik. Pada penyempitan sebesar 25% dan 50% dari pembuluh darah mengalami perubahan di setiap titik. Sehingga dapat disimpulkan bahwa, semakin besar plak (plaque) atau penyempitan yang terjadi, maka semakin besar pula tegangannya.

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN 5.1. Kesimpulan

Hasil penelitian memperlihatkan distribusi tekanan aliran darah dari variasi bentuk pembuluh darah. Hasil simulasi Comsol menunjukkan bahwa tekanan yang terjadi dari variasi bentuk pembuluh darah tidak mengalami perubahan yang signifikan. Namun, untuk tegangan yang terjadi pada variasi bentuk pembuluh darah menunjukkan bahwa semakin besar plak (plaque) atau penyempitan yang timbul di pembuluh darah maka semakin tinggi tegangan aliran darah yang terjadi. Sehingga disimpulkan bahwa plak (plaque) atau penyempitan yang semakin membesar tidak terlalu mengubah besar tekanan yang terjadi, namun sangat berpengaruh pada tegangan dalam pembuluh darah.

5.2. Saran

Dalam penelitian ini membatasi penyelesaian persoalan aliran darah dengan metode elemen hingga dan penurunan elemen matriks dan vektor dengan menggunakan metode Galerkin, ada banyak metode lainnya yang dapat digunakan. Untuk penelitian selanjutnya, diharapkan menggunakan metode yang berbeda.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1. Fluida

2.1.1 Pengertian Fluida

Fluida didefinisikan sebagai zat yang berdeformasi terus-menerus selama dipengaruhi suatu tegangan geser. Tegangan (gaya per satuan luas) geser terbentuk apabila sebuah gaya tangensial bekerja pada sebuah permukaan, (Munson, et al, 2003).

Apabila benda-benda padat biasa seperti baja atau logam-logam lainnya dikenai oleh suatu tegangan geser, mula-mula benda ini akan berdeformasi (biasanya sangat kecil), tetapi tidak akan terus-menerus berdeformasi (mengalir). Namun, cairan yang biasa seperti air, minyak, dan udara memenuhi definisi dari sebuah fluida artinya, zat-zat tersebut akan mengalir apabila padanya bekerja sebuah tegangan geser.

2.1.2 Jenis – Jenis Fluida

Cairan : Fluida yang cenderung mempertahankan volumenya karena terdiri atas molekul-molekul tetap rapat dengan gaya kohesif yang relatif kuat dan fluida cairan praktis tak compressible.

Gas : Fluida yang volumenya tidak tertentu karena jarak antar molekul-molekul besar dan gaya kohesifnya kecil sehingga gas akan memuai bebas sampai tertahan oleh dinding yang mengukungnya. Pada fluida gas, gerakan momentum antara molekulnya sangat tinggi, sehingga sering terjadi tumbukan antar molekul.

Fluida pada dasarnya terbagi atas dua kelompok besar berdasarkan sifatnya, yaitu fluida cairan dan fluida gas. Fluida diklasifikasikan atas 2, yaitu:

1. Fluida Newtonian : fluida – fluida yang menunjukkan hubungan linier antara tegangan geser dan gradien kecepatan ( laju perubahan bentuk yang diakibatkan). Kebanyakan fluida biasa, seperti udara, air dan minyak.

2. Fluida non-Newtonian : fluida yang tegangan gesernya tidak berhubungan secara linier terhadap laju regangan geser (laju perubahan bentuk sudut), seperti Dilatan dan pseudoplastik

Berbagai jenis fluida non-newtonian dibedakan dengan bagaimana viskositas nyatanya berubah dengan laju geseran.

1. Untuk fluida yang mengencer akibat geseran (shear thinning fluids), viskositas nyatanya berkurang dengan meningkatnya laju geseran-semakin kuat fluida mengalami geseran, maka fluida tersebut semakin encer (viskositasnya berkurang).misalnya, cat lateks tidak menetes dari kuas karena laju geserannya kecil dan viskositas nyatanya besar. Namun, cat tersebut mengalir mulus pada dinding karena lapisan tipis cat antara dinding dengan kuas mengakibatkan laju geseran yang besar dan viskositas nyata yang kecil.

2. Untuk fluida yang mengental akibat geseran (shear thickening fluids), viskositas nyatanya meningkat dengan peningkatan laju geseran-semakin kuat fluida mengalami geseran, maka semakin kental tersebut (viskositasnya bertambah). Seperti campuran air-tepung jagung (maizena) dan campuran air-pasir (“quicksand”). Jadi, sulitnya memisahkan sebuah benda dari campuran air-pasir akan semakin meningkat tajam jika kecepatan pemisahan meningkat.

2.1.3 Pergerakan Fluida

Secara umum, fluida dikenal memiliki kecenderungan untuk bergerak atau mengalir. Sangat sulit untuk mengekang fluida agar tidak bergerak. Tegangan geser yang sangat kecil saja sudah menyebabkan fluida bergerak. Demikian pula halnya, suatu kesetimbangan dari tegangan (tekanan) normal akan menyebabkan fluida bergerak.

Gambar 2.1: Tempat Kedudukan Partikel Yang Dinyatakan Dengan Vektor Posisinya.

Untuk menggambarkan suatu aliran fluida harus ditentukan berbagia parameter, tidak hanya sebagai fungsi koordinat ruang (misalnya x, y, z) tetapi juga sebagai fungsi waktu, t.

Contohnya untuk menyatakan temperatur, T didalam sebuah ruang, maka medan temperaturnya adalah T = T (x, y, z, t). Pada seluruh ruangan pada suatu waktu sepanjang siang atau malam.

Salah satu variabel yang paling penting dari pergerakan fluida adalah kecepatannya, yaitu:

�=�(�,�,�,�)�̂+ �(��,�,�,�)�̂+ �(�,�,�,�)�� (2.1)

Dimana �,�, dan � merupakan komponen vektor kecepatan dalam arah �,�, dan

�. Kecepatan sebuah partikel adalah laju perubahan per satuan waktu dari vektor posisi partikel tersebut.

Dari gambar 2.1, posisi partikel A diberikan oleh vektor posisi �_�, yang merupakan fungsi dari waktu (jika partikel bergerak), yaitu ���

��

=

�

� 2.1.4. Jenis – Jenis Aliran Fluida

2.1.4.1. Berdasarkan Kemampuan Menahan Tekanan :

Fluida incompressible (tidak termampatkan), yaitu fluida yang tidak dapat dikompressi atau volumenya tidak dapat ditekan menjadi lebih kecil sehingga massa jenis, � nya konstan. Fluida compressible (termampatkan), yaitu fluida

yang dapat dikompressi atau volumenya dapat ditekan menjadi lebih kecil sehingga massa jenis, � nya tidak konstan.

2.1.4.2. Berdasarkan Sifat Alirannya :

Fluida bersifat Turbulen, dimana alirannya mengalami pergolakan (berputar-putar). Fluida bersifat Laminar (stream line), dimana alirannya memiliki lintasan lapisan batas yang panjang, sehingga dikatakan juga aliran berlapis-lapis.

2.1.4.3. Berdasarkan Sifat Kekentalannya

Aliran kental (viscous) dan aliran tak kental (inviscid) : Pada fluida yang mengalir terdapat perpindahan massa, momentum, energi dari suatu tempat ke tempat lain. Perpindahan pada skala molekul menimbulkan fenomena difusi massa, viskositas, dan konduksi termal. Semua aliran molekul memperlihatkan efek phenomena transport, aliran ini disebut dengan aliran viskous sedangkan pada aliran inviscid aliran diasumsikan tidak ada gesekan konduksi panas dan diffusi.

2.2.Darah

Darah adalah jaringan ikat dengan sel-sel yang tersuspensi dalam plasma. Tubuh manusia pada umumnya mengandung 4 sampai 6 L darah. Jika sampel darah diambil, sel-sel darah dapat dipisahkan dari plasma unsur seluler yang berkisar sekitar 45% dari volume darah akan mengendap didalam alat sentrifuge yang diputar dengan kecepatan tertentu. Plasma darah mengandung sekitar 90% air. Didalamnya terdapat berbagai zat yang berpindah-pindah dari satu bagian tubuh ke bagian yang lain, yang meliputi nutrien, produk buangan metabolisme, gas-gas respirasi, dan hormon.

Terdapat tiga unsur sel yang tersebar diseluruh plasma darah: sel darah merah (eritrosit), yang mengangkut oksigen, sel darah putih, yang berfungsi dalam pertahanan tubuh, dan keping darah adalah bagian-bagian sel yang terlibat dalam penggumpalan darah.

2.2.1. Sistem Peredaran Darah Pada Manusia

Sistem peredaran darah atau sistem kardiovaskular adalah suatu sistem berfungsi memindahkan zat ke dan dari suhu dan pH tubuh.

Ada dua jenis sistem peredaran darah: sistem peredaran darah terbuka, dan sistem peredaran darah tertutup. sistem peredaran darah, yang merupakan juga bagian dari kinerja dibentuk. Sistem ini menjamin kelangsungan hidup organisme, didukung oleh metabolisme setiap sel dalam tubuh dan mempertahankan sifat

1. Pertama, darah mengangkut oksigen dari paru-paru ke sel dan karbon dioksida dalam arah yang berlawanan (lihat

2. Kedua, yang diangkut dari nutrisi yang berasal pencernaan seperti lemak, gula dan protein dari saluran pencernaan dalam jaringan masing-masing untuk mengonsumsi, sesuai dengan kebutuhan mereka, diproses atau disimpan.

Metabolit yang dihasilkan atau produk limbah (seperti yang kemudian diangkut ke jaringan lain atau organ-organ ekskresi usus besar). Juga mendistribusikan darah seperti hormon, sel-sel kekebalan tubuh dan bagian-bagian dari sistem pembekuan dalam tubuh.

Pembuluh nadi atau arteri adalah membawa fungsi

utamanya adalah menghantarkan mengangkut zat buangan seperi kejadian kematian utama disebabkan oleh misalnya

2.2.2. Penyempitan Pembuluh Darah Arteri

Aorta adalah arteri terbesar dalam tubuh. Arteri adalah pembuluh yang membawa darah dari jantung. Berfungsi untuk membawa dan mendistribusikan darah yang kaya oksigen ke seluruh arteri. Didalam aorta darah mengalir lebih dari seribu kali lebih cepat (rata-rata sekitar 30 cm/detik) dibandingkan didalam kapiler (sekitar 0,026 cm/detik). Untuk memahami mengapa aliran darah mengalami penurunan kecepatan, perlu dipertimbangkan hukum kontinuitas, yaitu hukum mengenai aliran cairan melalui pipa. Jika diameter suatu pipa berubah sepanjang pipa tersebut, cairan akan mengalir lebih cepat melalui segmen yang lebih sempit dibandingkan dengan ketika cairan mengalir melewati segmen yang lebih lebar. Volume aliran perdetik harus konstan disepanjang pipa tersebut, dengan demikian cairan mengalir lebih cepat ketika luas penampang menyempit.

Cairan memberikan suatu gaya yang disebut tekanan hidrostatik terhadap permukaan yang mengadakan kontak dengan cairan tersebut, dan tekanan inilah yang menggerakkan cairan melalui pipa tersebut. Gaya hidrostatik yang diberikan oleh darah terhadap dinding pembuluh darah disebut tekanan darah. Tekanan darah adalah gaya utama yang mendorong darah dari jantung melalui arteri dan arteriola kehamparan kapiler. Cairan selalu mengalir dari daerah bertekanan tinggi ke daerah bertekanan rendah.

2.3. Medan Percepatan

Percepatan adalah laju perubahan kecepatan terhadap waktu dari sebuah partikel. secara umum, kecepatan partikel dinyatakan dengan �_� untuk partikel A, adalah

sebuah fungsi dari lokasinya dan waktu.

�� = ��(��,�) = �� (��(�),��(�),��(�),�) (2.2)

Dimana �_� = �_�(�), �_� = �_�(�), �_� = �_�(�) mendefinisikan lokasi dari partikel yang sedang bergerak.

Dengan menggunakan fakta bahwa komponen kecepatan partikel diberikan oleh:

�� = ��_���, �� = ��_���, dan �� = ��_��� (2.3)

Dengan menggunakan dalil rantai turunan, maka

�� = ��_��� +�� ��_��� +�� ��_���+ �� ��_��� (2.4)

Gambar 2.3 : Kecepatan dan posisi dari partikel A pada waktu t. Sehingga, medan percepatan dapat dituliskan secara umum sebagai:

�= �� �� +�

�� ��+�

�� ��+ �

�� ��

(2.5)

Persamaan 2.3 dapat ditulis menjadi

�

=

�� ��

.

Dimana operator

�( ) �� ≡

�( ) �� + �

�( ) �� + �

�( ) �� + �

�( ) ��

Disebut sebagai turunan material atau turunan substansial. Turunan material digunakan untuk menggambarkan laju perubahan terhadap waktu dari sebuah partikel. Notasi ringkas yang sering digunakan untuk operator turunan material adalah �( ) �� = �( ) �� + ( � .�)() (2.7)

∇ adalah operator gradien

,

∇( ) = �( )

�� �̂+ �( )

�� �̂+ �( )

�� ��

(2.8)

Sehingga

,

( � .�)() = � �( ) �� + � �( ) �� + � �( ) �� (2.9)

2.4. Kontinuitas Massa

Persamaan kontinuitas adalah pernyataan bahwa massa kekal. Jumlah massa dalam sebuah sistem adalah konstan. Persamaan kontinuitas diturunkan dari persamaan kekekalan massa.

Maka persamaan differensial untuk kekekalan massa (persamaan kontinuitas) dengan massa jenis, � dan vektor kecepatan arusnya, v. Persamaan kontinuitas dapat dituliskan adalah

�� �� + �(��) �� + �(��) �� + �(��) �� = 0

(2.10) Persamaan ini berlaku untuk aliran yang tunak dan tak tunak, dan fluida mampu-mampat ataupun tak mampu-mampu-mampat. Dalam notasi vektor dapat dituliskan,

��

�� + �.��= 0

(2.11) Untuk fluida tak mampu-mampat (incompressible), massa jenis fluida, � konstan. Persamaan (2.10) dapat disederhanakan menjadi

Atau ��

�� +

��

�� +

��

�� = 0

Hal ini sesuai dengan menyatakan bahwa tidak terdapat dilatasi (pembesaran) dari volume lokal.

2.5. Persamaan – Persamaan Gerak

Persamaan gerak diperoleh dengan penerapan hukum kedua Newton untuk turunan volume (������) pada massa ��.

��= ��� (2.13)

Gaya resultan , ��, yang bekerja pada massa differensial adalah kombinasi dari gaya permukaan resultan (��_�) dan gaya badan (��_�)

�� =��_�+ ��_� (2.14)

��� =��� (2.15)

��� = �����̂+ �����̂+ ���� �� (2.16)

Dimana komponen – komponennya:

���� = ���� (2.17 a)

���� = ���� (2.17 b)

���� = ���� (2.17 c)

���� = ���_���� + ��_���� + ��_{�� �}�� ������

(2.18 a)

���� = ���_���� + ��_���� + ��_{�� �}�� ������

(2.18 b)

���� = ���_���� + ��_���� + ��_{�� �}�� ������

(2.18 c)

Dimana � adalah pernyataan vektor percepatan gravitasi, � adalah tegangan normal, dan � adalah tegangan geser.

Dalam bentuk komponen, persamaan (2.12) dapat ditulis dalam bentuk

��� =���� (2.19 a)

��� = ���� (2.19 c)

Dimana ��= �������, sehingga

���+ ��_���� + ��_���� + ��_���� = � ���_�� +� ��_��+� ��_��+ � ��_���

(2.20 a)

��� + ��_���� + ��_���� + ��_���� = � ���_�� +� ��_��+� ��_��+ � ��_��� (2.20 b) ��� + ��_���� + ��_���� + ��_���� = � ���_�� +� ��_��+� ��_�� + � ��_{�� �} (2.20 c)

Dimana volume elemen ������ saling meniadakan

Gambar 2.4: gaya – gaya permukaan dalam arah x yang bekerja pada elemen fluida

Untuk fluida yang didalamnya tidak terdapat tegangan geser (tanpa gesekan / inviscid / nonviskos), tegangan normal pada sebuah titik tidak tergantung pada arahnya, artinya �_�� = �_�� = �_�� . Dalam hal ini, tekanan didefinisikan sebagai negatif dari tegangan normal, sehingga

2.6. Hubungan Tegangan-Deformasi

Untuk fluida Newtonian tak mampu-mampat, diketahui bahwa tegangan berbanding lurus terhadap laju deformasi dan dapat dinyatakan dalam koordinat Cartesius sebagai (untuk tegangan normal)

��� = −�+ 2���_�� (2.22)

��� = −�+ 2���_�� (2.23)

��� = −�+ 2���_�� (2.24)

(untuk tegangan geser)

��� = ��� = � ���_��+ ��_��� (2.25) ��� = ��� = � ���_��+ ��_��� (2.26) ��� = ��� = � ���_�� + ��_��� (2.27)

Dimana p adalah tekanan yang merupakan negatif dari rata-rata tiga tegangan normal, artinya −�= �1

3� ���� +��� +����

2.7. Persamaan Navier-Stokes

Tegangan yang telah didefinisikan sebelumnya dapat disubstitusikan kedalam persamaan diferensial gerakan dan disederhanakan dengan menggunakan persamaan kontinuitas untuk mendapatkan

� ���_�� +� �� ��+� �� ��+ � �� ���=− �� ��+��� +� � �2_�

��2+

�2_�

��2+

�2_�

��2�

(2.28 a) � ��� �� +� �� ��+� �� ��+ � �� ���=− �� ��+���+� � �2_�

��2+

�2_�

��2+

�2_�

��2�

� ���_�� +� �� �� +� �� �� + � �� �� �=− �� ��+���+� � �2_�

��2 +

�2_�

��2 +

�2_�

��2�

(2.28 c)

Suku-suku percepatan berada di ruas kiri dan suku-suku gaya diruas kanan. Persamaan (2.26) disebut sebagai persamaan Navier-Stokes , dinamakan demikian untuk menghormati ahli matematika Prancis, L.M.H Navier (1758-1836) dan ahli mekanika Inggris Sir G.G.Stokes (1819-1903), yang menemukan rumus-rumus tersebut. Persamaan Navier-Stokes dianggap sebagai persamaan differensial pengatur dari gerakan fluida Newtonian tak mampu-mampat.

2.8. Potensial Kecepatan

Komponen kecepatan dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi skalar ∅(�,�,�,�)

�= �∅ �� , �= �∅ �� , � = �∅ �� (2.29)

Dimana ∅ disebut sebagai potensial kecepatan. Untuk suatu fluida tak mampu mampat dari kekekalan massa bahwa

� .�=�

Dan oleh karena itu untuk aliran tak mampu-mampat, tak berotasi (dengan

�= �∅)

∇2_∅= �∅

��2+

�2_∅

��2 +

�2_∅

��2

(2.30)

Disebut persamaan Laplace

2.9. Fungsi Arus

Fungsi arus didefinisikan sebagai

� = ��

��, dan �= − ��

�� v (2.31)

Sehingga persamaan kontinuitas dengan ��

�� = 0 terpenuhi untuk semua aliran

�� �� −

�� ��= 0

(2.32)

Dan dinyatakan dalam fungsi arus

�2_�

��2 +

�2_�

��2 = 0

(2.33)

Tiga sifat dari fungsi arus adalah:

• Fungsi arus memiliki nilai konstan di sepanjang streamline

• Streamline dan garis potensial konstan berpotongan pada sudut siku-siku

• Selisih fungsi-fungsi arus diantara dua garis arus adalah laju aliran � persatuan kedalaman diantara kedua garis arus, sehingga � = �₂− �₁

Untuk sebuah aliran tak-berotasi pada bidang, dapat menggunakan baik itu potensial kecepatan atau fungsi arus, keduanya harus memenuhi persamaan Laplace dua-dimensi.

2.10. Metode Elemen Hingga

Metode elemen hingga (MEH) adalah metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan teknik dan problem matematis suatu gejala phisis (Susatio, 2004).

Konsep dasar metode elemen hingga adalah:

1. Menjadikan elemen – elemen diskrit untuk memperoleh simpangan-simpangan dan gaya-gaya anggota dari suatu struktur

2. Menggunakan elemen-elemen kontinu untuk memperoleh solusi pendekatan terhadap permasalahan mekanika fluida, perpindahan panas, dan mekanika solid

Langkah untuk menyelesaikan permasalahan fisik dengan metode elemen hingga, yaitu:

Solusi dari masalah kontinum umum dengan metode elemen hingga selalu mengikuti proses secara bertahap. Berkenaan dengan permasalahan struktural statis, tahapannya sebagai berikut:

1. Struktur dibagi menjadi elemen-elemen diskrit (diskritisasi),

2. Pilih interpolasi yang tepat atau model perpindahan (displacement), 3. Turunkan elemen matriks kekakuan dan vektor beban (gaya),

4. Merakit persamaan elemen untuk mendapatkan persamaan ekulibrium keseluruhan,

Karena struktur yang terdiri dari beberapa elemen hingga, elemen individual matriks kekakuan dan vektor beban yang akan dirakit dengan cara yang sesuai dan persamaan ekuilibrium keseluruhan telah dirumuskan sebagai

[�]Φ���⃗= P��⃗ (2.34)

di mana [�] adalah matriks kekakuan,Φ���⃗ adalah vektor perpindahan nodal, dan P��⃗ adalah vektor dari gaya nodal untuk struktur lengkap. 5. Memecahkan untuk perpindahan nodal tidak diketahui,

6. Hitung elemen strain dan tekanan.

2.11. Diskritisasi Domain

Langkah awal dari metode elemen hingga adalah membagi daerah/ benda dalam bagian – bagian kecil (disebut elemen). Langkah ini disebut sebagai diskritisasi. Objek satu dimensi dibagi ke segmen garis pendek. Badan dua-dimensi dapat dibagi menjadi segitiga, persegi panjang, segi- empat atau sub daerah lain yang sesuai.

(a) (b) (c)

(d)

Gambar 2.6 : Elemen Dua-Dimensi

(c)

Gambar 2.7 : Elemen Tiga –Dimensi

(a) (b)

Gambar 2.8 : elemen axisimetri

2.12. Fungsi Interpolasi (Elemen Simpleks Dua Dimensi)

Metode elemen hingga didasarkan atas konsep pendekatan dari fungsi – fungsi kontinu (seperti temperatur, tekanan, dan perpindahan) ke model diskrit. Bentuk yang sering digunakan dari fungsi interpolasi adalah bentuk polinomial. Derajat dari polinomial dipilih bergantung pada banyaknya item yang diketahui dari fungsi kontinu pada setiap elemen. Terdapat tiga macam fungsi interpolasi yang dipakai dalam metode elemen hingga, yaitu: simpleks, kompleks, dan multipleks (Susatio, 2004).

Elemen simpleks adalah pendekatan yang dilakukan dengan polinomial yang terdiri dari suku konstan dan suku linier. Banyaknya koefisien dalam

polinomial sama dengan dimensi dari koordinat ruang yang ada ditambah satu (Susatio, 2004).

Titik-titik tertentu dalam elemen-elemen, seperti sudut-sudut elemen segitiga, ditunjuk sebagai titik nodal. Biasanya, polinomial digunakan sebagai fungsi interpolasi karena mudah untuk didiferensialkan dan diintegralkan. Setiap fungsi interpolasi polinomial akan selalu kontinu dalam suatu elemen., sehingga kondisi tersebut berlaku untuk batas antar elemen. Elemen simpleks memiliki polinomial linier (Allaire, 1985).

Elemen axisimetri terbentuk dari suatu luasan yang diputar disekitar sumbu yang terletak pada luasan tersebut. Untuk elemen simpleks axisimetri adalah elemen segitiga dengan fungsi interpolasi linier berbentuk

� (�,�) = �₁+�₂�+�₃� (2.35)

� (�,�) = �₄+�5�+�6� (2.36)

Banyaknya koefisien �_� adalah 6, yang sama dengan jumlah derajat kebebasan elemen.

Displacement nodal adalah:

|�| = � �� �� �� �= � � �� �� �� �� �� �� � � (2.37)

Evaluasi u pada node i:

�(�_� ,�_�) =�_� = �1+ �2��+ �3��

Bentuk umum dari fungsi displacment dinyatakan dalam bentuk matriks adalah:

[�] =��_��= �_��1+ �2�+ �3�

4+ �5�+ �6��= �

1 � �

0 0 0

0 0 0

1 � �� _�

� �1 �2 �3 �4 �5 �6 � �

(2.38) Dengan mensubsitusikan koordinat nodal pada persamaan 2.36, maka besarnya a masing-masing adalah

���12

�3

�= �

1 �_� �_�

1 �_� �_�

1 �_� �_�

� −1 ����� �� � (2.39)

���45

�6

�= �

1 �_� �_�

1 �_� �_�

1 �_� �_�

� −1 ����� �� � (2.40)

Untuk invers matriks pada persamaan 2.37 dan 2.38, dihasilkan

���12

�3

�= 1 2� �

�� �� �� �� �� �� �� �� �� � ����� �� � _(2.41) �� 1 �2 �3

�= 1 2� �

�� �� �� �� �� �� �� �� �� � ����� �� � _(2.42) dimana: �� = ���� − ���� �� = ���� − ���� �� = ���� − ���� �� = �� - �� �� = �� - �� �� = �� - �� �� = �� − �� �� = ��− �� �� = �� − ��

2.13. Menurunkan Elemen Matriks dan Vektor

Matriks karakteristik dan vektor karakteristik dari elemen hingga dapat diturunkan menggunakan pendekatan berikut

2.13.1.Direct Approach (Pendekatan Langsung)

Metode ini ditunjukkan bersama dengan beberapa contoh dari bagian yang berbeda. Metode ini didasari oleh penggunaan penalaran fisik untuk membangun sifat elemen, yakni matriks karakteristik dan vektor dalam bentuk variabel yang bersangkutan. Karena pendekatan menggunakan prinsip dasar dari ilmu teknik, hal itu membantu memahami secara fisik dari metode elemen hingga. Bagaimanapun, metode ini hanya sesuai untuk masalah sederhana, kesulitan yang muncul dapat diatasi dengan menggunakan metode untuk masalah yang kompleks dengan memasukkan dua dan tiga dimensi elemen hingga. Sehingga metode langsung ini tidak digunakan dalam analisis elemen hingga dari masalah yang paling praktis.

2.13.2.Varitional Approach (Pendekatan Variasi)

Pada metode ini, analisis elemen hingga diartikan sebagai pendekatan untuk menyelesaikan masalah varisional. Karena banyak masalah fisik dan teknik dapat di rumuskan dalam bentuk varisional, metode elemen hingga mudah diterapkan untuk menemukan solusi pendekatannya. Pendekatan varisional paling banyak diggunakan dalam literatur untuk merumuskan persamaan elemen hingga. Keterbatasan utama dari metode ini adalah bahwa ia memerlukan masalah fisik atau teknik untuk dinyatakan dalam bentuk varitional, yang tidak mungkin dalam semua kasus.

2.13.3.Weight Residual Approach (Pendekatan Residu Bobot)

Dalam metode ini, elemen matriks dan vektor di turunkan secara langsung dalam persamaan differensial umum tanpa bergantung dari masalah tanpa tergantung pada pernyataan varisional dari masalah. Metode ini menawarkan prosedur yang paling umum untuk menurunkan persamaan elemen hingga dan dapat diterapkan untuk hampir semua masalah praktis ilmu pengetahuan dan rekayasa. Dalam pendekatan residu bobot, prosedur penurunan, seperti metode Galerkin dan metode kuadrat kecil (Least Square) dapat digunakan untuk menurunkan persamaan elemen.

2.14. Formula Weak

Persamaan weak form biasanya dalam bentuk integral dan memerlukan kontinuitas lemah pada variabel bidang. Karena kebutuhan yang lebih lemah pada variabel bidang dan bentuk integral dari persamaan yang mengatur, formulasi didasarkan pada weak form yang diharapkan mengarah pada suatu himpunan persamaan untuk sistem diskrit yang menghasilkan hasil yang lebih akurat, terutama untuk sistem yang melibatkan geometri yang kompleks. Oleh karena itu, jenis weak form dari formulasi adalah lebih disukai untuk mendapatkan suatu solusi pendekatan. Dengan demikian, metode elemen hingga, berdasarkan weak form dari formulasi seperti prinsip energi atau pendekatan residual tertimbang, telah menjadi sangat populer.Contoh berikut menunjukkan keuntungan dari formulasi weak form.

Contoh:

Persamaan yang mengatur defleksi balok, �(�), diberikan oleh

���_��4�₄ =�(�) (C.1)

di mana �(�) adalah gaya didistribusikan sepanjang balok. Untuk balok kantilever dikenakan beban akhir dan momen akhir seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.9, mencari defleksi balok menggunakan metode Galerkin dengan solusi diasumsikan

��(�) =��(�) =�(3�2_{� − �}3_{) (C.2)} di mana �(�) adalah fungsi trial dan � adalah konstanta. Juga, menunjukkan keuntungan dari formulasi weak.

3.

Gambar 2.10. Kantilever beam dikenakan beban dan momen 4.

Solusi:

Karena beban didistribusikan �(�) = 0 untuk balok yang ditunjukkan pada Gambar 2.9, persamaan yang mengatur (governing equation) menjadi

���

4_�

��4 = 0 (C.3)

Dalam metode Galerkin, konstanta �dalam solusi diasumsikan ditemukan dengan menggunakan hubungan

� �(�)�(�) �

0

= 0 (C.4)

di mana �(�) adalah residu dan �(�) = 3�2_{� − �}3 _{adalah fungsi} bobot/tertimbang yang diberikan oleh persamaan (C.2). Persamaan (C.4) dapat ditulis kembali sebagai

� ���

4_��

��4 �(�)

�

0

= 0 (C.5)

Karena turunan keempat ��(�) adalah nol, akan dikurangi orde turunan tertinggi ��(�) dengan mengintegrasikan per bagian (integral by parts) persamaan (C.5):

���(�)�

3_��

��3� 0

�

− � ����_���_��3��₃ �� �

0

= 0 (C.6)

Integrasi suku kedua di sisi kiri dari persamaan (C.6) per bagian menghasilkan persamaan

� ���_��2�₂�_��2��₂ �� �

0

=�−���(�)�

3_��

��3� 0

�

+����

�� �2_��

��2� 0

�

� (C.7)

Kondisi batas mengasilkan

�(�= 0) = 0,��

��(�= 0) = 0,�� �2_��

��2 (�= 1) =�0,

���

3_��

��3 (�= �) =�0

Dengan menggunakan dua kondisi pertama persamaan (C.8), persamaan (C.7) dapat dinyatakan sebagai

� ���_��2�₂�_��2��₂ �� �

0

=���(�)�

3_��

��3�

�

− ����_���_��2��₂� �

(C.9)

Dari persamaan (C.2) dan Gambar 2.9 diperoleh

�(�) = 2�3_,��

��(�) = 3�2,�� �2_��

��2 (�) =�0,��

�3_��

��3 (�) =�0 (C.10) Integral pada persamaan (C.9) dapat dihitung dengan hubungan pada persamaan (C.2) sebagai

� ���

2_�

��2

�2_��

��2��

�

0

=� ��(6� −6�)�

�

0

(6� −6�) �� = (12���3)� (C.11) Gunakan persamaan (C.10) dan (C.11) pada persamaan (C.9), konstanta C dapat ditemukan sebagai berikut:

�= �0 ��+

�0

4��� (C.12)

Maka, solusi pendekatan untuk defleksi balok menjadi

��(�) =��0 ��+

�0

4����(3�

2_{� − �}3_{) (C.13)}

yang menghasilkan defleksi pada ujung bebas (�= �) sebagai

��(�) =�0�

3

3�� + �0�2

3�� (C.14)

2.15. Metode Galerkin

Dalam hal ini bobot �_� dipilih menjadi fungsi yang diketahui �_�(�) dari fungsi trial dan � integral berikut residu tertimbang ditetapkan sama dengan nol:

� �� ��� �

= 0 (2.41)

Persamaan (2.40) menyatakan � persamaan simultan di � tidak diketahui,

�1,�2, … ,��. Metode ini umumnya memberikan solusi pendekatan terbaik.Berikut ini penurunan persamaan elemen hingga menggunakan pendekatan residu

Misalkan persamaan diferensial pengatur (governing) dari masalah ekuilibrium diberikan oleh

�(�) =� dalam � (2.42)

dan kondisi batas

��(�) = g�, �= 1, 2, … ,� pada � (2.43)

Metode Galerkin mengharuskan

� �� ��� − �� �� ��= 0 �

, �= 1, 2, … ,� (2.44)

di mana fungsi trial �_� dalam solusi pendekatan

� =� �_��_� � �=1

(2.45) diasumsikan memenuhi kondisi batas persamaan (2.42). Perhatikan bahwa �_� didefinisikan atas seluruh domain dari persoalan. Persamaan (2.43) dapat berlaku untuk elemen � sebagai

�����(�)_{� − �}(�)_��

�(�) ∙ ��(�) = 0, � = 1, 2, … ,� �(�)

(2.46)

di mana model interpolasi diambil dalam bentuk standar seperti

�(�) _=��(�)_�Φ���⃗(�) _{=� �}

�(�)Φ�(�) �

(2.47) Persamaan (2.45) memberikan persamaan elemen hingga yang diperlukan untuk elemen khusus. Persamaan elemen ini harus dirakit untuk mendapatkan sistem atau persamaan secara keseluruhan.

2.16. Software Comsol

Comsol adalah software simulasi elemen hingga, yang pada dasarnya dapat mensimulasikan berbagai aplikasi fisika dan teknik, seperti mensimulasikan perpindahan panas melalui struktur yang kompleks, kristal fotonik pada skala nano, lentur mekanik balok, aliran cairan, proses elektrokimia, fisika plasma dan lainnya. Comsol Multiphysics 4.2 merupakan ekspansi yang signifikan dari aplikasi software, fitur dan fungsi. Keuntungan utama dalam menggabungkan simulasi komputer dan analisis prinsip-prinsip utama adalah bahwa penggguna dapat mencoba banyak pendekatan yang berbeda untuk solusi dari masalah yang sama yang diperlukan untuk mendapatkan solusi yang benar (atau setidaknya mendekati benar).

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Darah merupakan komponen penting di dalam tubuh sebagai alat transportasi untuk metabolisme tubuh. Sistem peredaran darah atau sistem kardiovaskular merupakan suatu sistem pertukaran dengan sel-sel tubuh. Proses peredaran darah dipengaruhi oleh kecepatan darah, luas penampang pembuluh darah, tekanan darah dan kerja otot yang terdapat pada jantung dan pembuluh darah. Akibat dari aktivitas yang tidak sehat, seperti merokok, mengonsumsi minuman keras, makan terlalu banyak garam, tidak aktif berolahraga, dan sebagainya, mempengaruhi pengembangan dan perkembangan penyakit arteri. Arteri yang menyempit disebabkan oleh perkembangan plak (plaque) atau kerak yang berkembang pada dinding bagian dalam arteri, dan menyempitkan luas pembuluh darah. Salah satu konsekuensi paling serius adalah resistansi aliran meningkat dan terjadi pengurangan jumlah aliran darah ketempat tertentu yang dipasok melalui arteri sehingga menyebabkan kematian jaringan otot atau saraf dalam satu atau lebih arteri koroner, yang mengalirkan darah yang membawa oksigen. Hal tersebut akan mengakibatkan terjadinya Penyakit Kardiovaskuler yang umumnya mengakibatkan serangan jantung atau stroke.

Gambar 1.1: Aliran Darah Yang Terjadi Pada Pembuluh Darah Tanpa Penyempitan Arteri Dan Dengan Penyempitan Arteri

Cairan memberikan suatu gaya yang disebut tekanan hidrostatik terhadap permukaan yang mengadakan kontak dengan cairan tersebut, dan tekanan inilah yang menggerakkan cairan melalui pipa tersebut. Gaya hidrostatik yang diberikan oleh darah terhadap dinding pembuluh darah disebut tekanan darah. Tekanan darah adalah gaya utama yang mendorong darah dari jantung melalui arteri dan arteriola kehamparan kapiler. Cairan selalu mengalir dari daerah bertekanan tinggi ke daerah bertekanan rendah.

Dari permasalahan perubahan tekanan darah yang disebabkan perubahan pengembangan arteri (pembuluh darah), maka peneliti akan melakukan analisis pada penyempitan pembuluh darah. Analisis pembuluh darah ini cukup rumit dan memerlukan perhitungan yang besar, oleh karena itu pemakaian komputer untuk analisis ini akan mengurangi kesulitan

Teknik-teknik numerik berbasis komputer sangat luas digunakan untuk menyelesaikan persoalan fluida yang rumit. Dari berbagai teknik yang tersedia untuk penyelesaian numerik dari persamaan-persamaan differensial pengatur aliran fluida, tiga jenis berikut adalah yang paling banyak digunakan: Metode Beda Hingga, Metode Elemen Hingga (atau Volume Hingga), dan Metode Batas Hingga. Dalam setiap metode ini medan aliran yang kontinu (misalnya kecepatan atau tekanan sebagai fungsi ruang dan waktu) digambarkan dalam nilai-nilai diskrit (bukan kontinu) pada lokasi yang telah ditentukan. Dalam teknik ini persamaan diferensial digantikan dalam sehimpun persamaan-persamaan aljabar yang dapat diselesaikan dengan komputer.

Dalam penelitian ini, persoalan aliran darah pada pembuluh darah akan diselesaikan dengan menggunakan Metode Elemen Hingga (atau Volume Hingga) pada persamaan Navier-Stokes. Untuk Metode Elemen Hingga (atau Volume Hingga) , medan aliran dipecah menjadi sekumpulan elemen-elemen fluida kecil (biasanya bidang segitiga jika aliran dua-dimensi). Persamaan-persamaan kekekalan (yaitu kekekalan massa, momentum dan energi) dituliskan dalam bentuk yang sesuai untuk setiap elemen dari himpunan persamaan aljabar yang dihasilkan dengan penyelesaian secara numerik untuk medan aliran jumlah, ukuran, dan bentuk dari elemen ini sebagian ditentukan oleh geometri aliran dan kondisi aliran dari persoalan yang ditangani.

Persamaan Navier-Stokes adalah persamaan differensial dasar yang menggambarkan aliran dari fluida Newtonian tak mampu-mampat. Aplikasi dari Metode Elemen Hingga banyak dilakukan pada problem kompleks seperti rekayasa struktur, Steady State dan Time Dependent Heat Transfer, Fluid Flow, dan Electrical Potential Problem, aplikasi bidang medikal.

Berdasarkan latar belakang tersebut, maka penulis memilih judul penelitian ini dengan, “Implementasi Metode Elemen Hingga dalam Persoalan Aliran

Darah pada Pembuluh Darah ” 1.1. Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang akan diteliti adalah bagaimana distribusi tekanan didalam pembuluh darah yang mengalami penyempitan dengan menggunakan Metode Elemen Hingga pada Persamaan Navier Stokes

1.2. Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, penulis memiliki batasan dalam penelitian yang dilakukan yaitu terbatas pada persoalan penyempitan aliran darah dalam pembuluh darah arteri yang disimulasikan dengan software Comsol Multiphysics 4.2

1.3. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk Mengetahui bagaimana distribusi tekanan aliran darah pada pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan dan yang mengalami penyempitan

1.4. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai gambaran mengenai implementasi Metode Elemen Hingga dalam distribusi tekanan pada pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan dan yang mengalami penyempitan.

1.5. Metodologi Penelitian

Penelitian ini adalah penelitian literatur yang disusun dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Memaparkan hubungan konsep aliran darah pada Persamaan Navier-Stokes. 2. Menentukan kondisi awal dan batas

3. Mencari formula weak dari persamaan Navier - Stokes

4. Menentukan model matematika dengan Metode Elemen Hingga

5. Perhitungan elemen matriks dan elemen vector dengan bantuan software comsol 4.2

6. Menentukan model aliran jika terjadi penyempitan sebesar 25%, 50% dan 75% pada pembuluh darah

7. Menggunakan bantuan software comsol 4.2 untuk memberikan visualisasi model aliran dan penyempitan pembuluh darah

1.6. Kerangka Penelitian

Berikut adalah kerangka penelitian yang akan dilakukan dari keterangan metodologi penelitian:

Aliran darah pada pembuluh darah

Persamaan Navier-Stokes

Metode Galerkin Kondisi Awal Dan Batas

Metode Elemen Hingga

Pembahasan Dan Hasil Menggunakan Comsol Multiphysics 4.2

IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM PERSOALAN ALIRAN DARAH PADA PEMBULUH DARAH

ABSTRAK

Proses peredaran darah dipengaruhi oleh kecepatan darah, luas penampang pembuluh darah, tekanan darah dan kerja otot yang terdapat pada jantung dan pembuluh darah. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana distribusi tekanan darah yang terjadi pada pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan dan yang mengalami penyempitan oleh plak (plaque) sebesar 25%, 50% dan 75% dari radius pembuluh darah dengan mengimplementasikan metode elemen hingga pada persamaan Navier-Stokes yang merupakan persamaan differensial dasar yang menggambarkan aliran dari fluida Newtonian takmampu-mampat. Dalam metode elemen hingga, medan aliran dipecah menjadi sekumpulan elemen-elemen fluida kecil (diskritisasi domain), dalam penelitian ini peneliti menggambarkan aliran darah 2D-Axisimetri, kemudian dipilih fungsi interpolasi linier untuk elemen 2D-Axisimetri, dan menurunkan elemen matriks dan vektor dengan metode Galerkin untuk mendapatkan persamaan global. Hasil penelitian dari penelitian dengan bantuan komputer, memperlihatkan distribusi tekanan aliran darah dari variasi bentuk pembuluh darah. Hasil simulasi Comsol menunjukkan bahwa tekanan yang terjadi dari variasi bentuk pembuluh darah tidak mengalami perubahan yang signifikan, namun untuk tegangan yang terjadi pada variasi bentuk pembuluh darah dapat disimpulkan bahwa semakin besar penyempitan, maka semakin besar tegangan aliran darah.

Kata kunci: Navier-Stokes, medan aliran, darah, metode elemen hingga, metode Galerkin

IMPLEMENTATION OF FINITE ELEMENT METHOD FOR THE PROBLEM OF BLOOD FLOW IN BLOOD VESSEL

ABSTRACT

The process of blood circulation influenced by the speed of blood, sectional area of blood vessels, blood pressure and muscle work which is at the heart and blood vessels. This research aims to see how the distribution of blood pressure that occurs in blood vessels that are not narrowed and narrowed by plaque (plaque) by 25%, 50% and 75% of the radius of the blood vessels. by implementing the finite element method to the Navier-Stokes equations that constitute the basis of differential equations that describe the flow of Newtonian fluid is incompressible. In the finite element method, the flow field is broken down into a set of elements of the fluid is small (discretization of the domain), in this study the researchers describe the flow of water 2D, then have the function of a linear interpolation of the element 2D, and derivation of element matrices and vectors with Galerkin method to get the global equation. The results of the research with the help of computers, the distribution of blood flow from the pressure variation in blood vessels. COMSOL simulation results show that the pressure of the variation in blood vessels did not change significantly, but for the stress that occurs in a variety of shapes blood vessels can be concluded that the greater the constriction , the greater the stress bloodflow.

Keywords: Navier-Stokes, the flow field, the blood, the finite element method, Galerkin method

IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM

PERSOALAN ALIRAN DARAH PADA PEMBULUH DARAH

SKRIPSI

ABNIDAR HARUN POHAN

120803006

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM

PERSOALAN ALIRAN DARAH PADA PEMBULUH DARAH

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

ABNIDAR HARUN POHAN

120803006

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2016

PERSETUJUAN

Judul

Kategori Nama

Nomor Induk Mahasiswa Program Studi

Departemen Fakultas

: Implementasi Metode Elemen Hingga Dalam Aliran Persoalan Darah Pada Pembuluh Darah

: Skripsi

: Abnidar Harun Pohan : 1208030006

: Sarjana (S1) Matematika : Matematika

: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, Juni 2016

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Drs. Suyanto,M.Kom Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D

NIP. 19590813 198601 1 002 NIP. 19620901 198803 1 002

Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU, Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D NIP. 19620901 198803 1 002

PERNYATAAN

IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM PERSOALAN ALIRAN DARAH PADA PEMBULUH DARAH

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2016

Abnidar Harun Pohan 120803006

PENGHARGAAN

Puji syukur penulis kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala, yang telah melimpahkan rahmat dan karuniaNya serta memberikan banyak kemudahan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Implementasi Metode Elemen Hingga dalam persoalan Aliran Darah pada Pembuluh Darah”. Shalawat dan salam penulis ucapkan kepada Rasulullah Shallalahu ‘Alaihi wa Sallam, keluarga, para sahabat dan orang-orang yang mengikutinya.

Terima kasih penulis sampaikan kepada Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D selaku pembimbing 1 dan ketua Departemen Matematika yang banyak berjasa kepada penulis dimana beliau telah meluangkan waktu dan pikirannya, memberikan pengarahan, saran dan kritik terkait penulisan skripsi ini. Terima kasih kepada bapak Drs. Suyanto, M.Kom selaku pembimbing 2, yang telah meluangkan waktu, pikiran, dan saran untuk perbaikan skripsi ini.

Terima kasih penulis ucapkan kepada bapak Dr. Sawaluddin, M.IT selaku penguji 1 dan bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom selaku penguji 2 yang telah meluangkan waktu, pikiran dan memberikan kritik maupun saran untuk perbaikan skripsi ini dan sebagai pembelajaran bagi penulis.

Terima kasih penulis sampaikan kepada seluruh dosen Matematika USU yang telah membagikan ilmu kepada penulis selama masa perkuliahan, Dekan dan Wakil Dekan FMIPA USU, dan seluruh staff administrasi FMIPA USU.

Terima kasih sebesar-besarnya penulis ucapkan kepada orang tua penulis yang begitu sabar dan selalu mendukung penulis baik secara moril maupun materi. Semoga Tuhan memberikan balasan kebaikan atas segala bantuan yang telah semua berikan kepada penulis. Atas perhatiannya penulis ucapkan terima kasih, penulis berharap tulisan ini bermanfaat bagi penulis sendiri maupun bagi orang lain.

Medan, Juni 2016

Penulis

IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM PERSOALAN ALIRAN DARAH PADA PEMBULUH DARAH

ABSTRAK

Proses peredaran darah dipengaruhi oleh kecepatan darah, luas penampang pembuluh darah, tekanan darah dan kerja otot yang terdapat pada jantung dan pembuluh darah. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana distribusi tekanan darah yang terjadi pada pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan dan yang mengalami penyempitan oleh plak (plaque) sebesar 25%, 50% dan 75% dari radius pembuluh darah dengan mengimplementasikan metode elemen hingga pada persamaan Navier-Stokes yang merupakan persamaan differensial dasar yang menggambarkan aliran dari fluida Newtonian takmampu-mampat. Dalam metode elemen hingga, medan aliran dipecah menjadi sekumpulan elemen-elemen fluida kecil (diskritisasi domain), dalam penelitian ini peneliti menggambarkan aliran darah 2D-Axisimetri, kemudian dipilih fungsi interpolasi linier untuk elemen 2D-Axisimetri, dan menurunkan elemen matriks dan vektor dengan metode Galerkin untuk mendapatkan persamaan global. Hasil penelitian dari penelitian dengan bantuan komputer, memperlihatkan distribusi tekanan aliran darah dari variasi bentuk pembuluh darah. Hasil simulasi Comsol menunjukkan bahwa tekanan yang terjadi dari variasi bentuk pembuluh darah tidak mengalami perubahan yang signifikan, namun untuk tegangan yang terjadi pada variasi bentuk pembuluh darah dapat disimpulkan bahwa semakin besar penyempitan, maka semakin besar tegangan aliran darah.

Kata kunci: Navier-Stokes, medan aliran, darah, metode elemen hingga, metode Galerkin

IMPLEMENTATION OF FINITE ELEMENT METHOD FOR THE PROBLEM OF BLOOD FLOW IN BLOOD VESSEL

ABSTRACT

The process of blood circulation influenced by the speed of blood, sectional area of blood vessels, blood pressure and muscle work which is at the heart and blood vessels. This research aims to see how the distribution of blood pressure that occurs in blood vessels that are not narrowed and narrowed by plaque (plaque) by 25%, 50% and 75% of the radius of the blood vessels. by implementing the finite element method to the Navier-Stokes equations that constitute the basis of differential equations that describe the flow of Newtonian fluid is incompressible. In the finite element method, the flow field is broken down into a set of elements of the fluid is small (discretization of the domain), in this study the researchers describe the flow of water 2D, then have the function of a linear interpolation of the element 2D, and derivation of element matrices and vectors with Galerkin method to get the global equation. The results of the research with the help of computers, the distribution of blood flow from the pressure variation in blood vessels. COMSOL simulation results show that the pressure of the variation in blood vessels did not change significantly, but for the stress that occurs in a variety of shapes blood vessels can be concluded that the greater the constriction , the greater the stress bloodflow.

Keywords: Navier-Stokes, the flow field, the blood, the finite element method, Galerkin method

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK vi

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR GAMBAR ix

DAFTAR ISTILAH x

DAFTAR TABEL xi

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Rumusan Masalah 3

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Manfaat Penelitian 4

1.6 Metodologi penelitian 4

1.7 Kerangka Penelitian 5

BAB 2 LANDASAN TEORI 6

2.1 Fluida 6

2.1.1 Pengertian Fluida 6

2.1.2 Jenis – Jenis Fluida 6

2.1.3. Pergerakan Fluida 7

2.1.4. Jenis – Jenis Aliran Fluida 8

. 2.1.4.1 Berdasarkan Kemampuan Menahan Tekanan

8

2.1.4.2. Berdasarkan Sifat Alirannya 9

2.1.4.3 Berdasarkan Sifat Kekentalannya 9

2.2 Darah 9

2.2.1. Sistem Peredaran Darah Pada Manusia 9 2.2.2. Penyempitan Pembuluh Darah Arteri 10

2.3 Medan Percepatan 11

2.4 Kontinuitas Massa 13

2.5 Persamaan – Persamaan Gerak 13

2.6 Hubungan Tegangan-Deformasi 15

2.7 Persamaan Navier-Stokes 16

2.8 Potensial Kecepatan 17

2.9 Fungsi Arus 17

2.10 Metode elemen hingga 18

2.11 Diskritisasi Domain 19

2.13 Menurunkan Elemen Matriks dan Vektor 23 2.13.1. Direct Approach (Pendekatan Langsung) 24 2.13.2. Varitional Approach (Pendekatan Variasi) 24 2.13.3.Weight Residual Approach (Pendekatan Residu

Bobot)

24

2.14 Formula Weak 25

2.15 Metode Galerkin 27

2.16. Software Comsol 29

BAB 3 ANALISIS DAN PERANCANGAN 30

3.1 Perancangan Geometri 30

3.2 Tahapan Analisis 32

3.2.1.Memaparkan hubungan-hubungan pergerakan aliran darah pada persamaan Navier-Stokes

32 3.2.2 Menentukan kondisi awal dan batas 32 3.2.3 Menyelesaikan Persamaan Global 32 3.2.3 Simulasi Dan Visualisasi Model Dengan Comsol

Mutiphysics 4.2

32 3.3 Membuat Kesimpulan Dan

Menyusun Laporan Penelitian

35

BAB 4 PEMBAHASAN 36

4.1 Persamaan Dasar Dalam Dinamika Fluida 36

4.2 Formulasi Fungsi Potensial 38

4.2.1. Bentuk Persamaan Differensial 38

4.2.2. Bentuk Variasi 38

4.3 Solusi Elemen Hingga 39

4.4 Simulasi Dengan Comsol Multiphysics 41

4.5 Tekanan Pada Pembuluh Darah 43

4.6 Distribusi Tekanan 45

4.7 Tegangan Pada Pembuluh Darah 50

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 55

5.1 Kesimpulan 55

5.2 Saran 55

DAFTAR PUSTAKA 56

DAFTAR GAMBAR

Nomor Gambar

Judul Halaman

1.1 Aliran darah pada pembuluh darah 1

2.1. Tempat Kedudukan Partikel Yang Dinyatakan Dengan Vektor Posisinya

8

2.2 Pembuluh Darah Arteri 11

2.3 Kecepatan Dan Posisi Dari Partikel A Pada Waktu T. 12 2.4 Gaya – Gaya Permukaan Dalam Arah X Yang Bekerja Pada

Elemen Fluida

15

2.5 Elemen Satu -Dimensi 19

2.6 Elemen Dua-Dimensi 20

2.7 Elemen Tiga -Dimensi 21

2.8 Elemen Axisimetri 21

2.9 Comsol Multiphysics Versi 4.2 29

3.1 Model Geometri Pembuluh Darah 31

3.2: Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan

33 3.3 Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Mengalami

Penyempitan Sebesar 25%

33 3.4 Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Mengalami

Penyempitan Sebesar 50%

34 3.5 Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Mengalami

Penyempitan Sebesar 75%

35 4.1 Mesh Pada Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan 41 4.2 Mesh pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan 25% 32 4.3 Mesh pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan 50% 42 4.4 Mesh pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan 75% 42 4.5 Tekanan pada permukaan pembuluh darah yang tidak mengalami

penyempitan

43 4.6 Tekanan pada permukaan pembuluh darah yang mengalami

penyempitan 25%

44 4.7 Tekanan pada permukaan pembuluh darah yang mengalami

penyempitan 50%

44 4.8 Tekanan pada permukaan pembuluh darah yang mengalami

penyempitan 75%

45 4.9 Distribusi Tekanan Pada Pembuluh Darah tidak Mengalami

Penyempitan

46 4.10 Distribusi Tekanan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami

Penyempitan Sebesar 25%

47 4.11 Distribusi Tekanan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami

Penyempitan Sebesar 50%

48 4.12 Distribusi Tekanan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami

Penyempitan Sebesar 75%

49 4.13 Grafik Distribusi Tekanan Aliran Darah Pada Pembuluh Darah 50

4.14 Tegangan Pada Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan

51 4.15 Tegangan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan

Sebesar 25%

51 4.16 Tegangan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan

Sebesar 50%

52 4.17 Tegangan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan

Sebesar 75%

53 4.18 Grafik Tegangan Pada Variasi Penyempitan Pembuluh Darah 53

vi DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK vi

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR GAMBAR ix

DAFTAR ISTILAH x

DAFTAR TABEL xi

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Rumusan Masalah 3

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Manfaat Penelitian 4

1.6 Metodologi penelitian 4

1.7 Kerangka Penelitian 5

BAB 2 LANDASAN TEORI 6

2.1 Fluida 6

2.1.1 Pengertian Fluida 6

2.1.2 Jenis – Jenis Fluida 6

2.1.3. Pergerakan Fluida 7

2.1.4. Jenis – Jenis Aliran Fluida 8

. 2.1.4.1 Berdasarkan Kemampuan Menahan Tekanan

8

2.1.4.2. Berdasarkan Sifat Alirannya 9

2.1.4.3 Berdasarkan Sifat Kekentalannya 9

2.2 Darah 9

2.2.1. Sistem Peredaran Darah Pada Manusia 9 2.2.2. Penyempitan Pembuluh Darah Arteri 10

2.3 Medan Percepatan 11

2.4 Kontinuitas Massa 13

2.5 Persamaan – Persamaan Gerak 13

2.6 Hubungan Tegangan-Deformasi 15

2.7 Persamaan Navier-Stokes 16

2.8 Potensial Kecepatan 17

2.9 Fungsi Arus 17

2.10 Metode elemen hingga 18

2.11 Diskritisasi Domain 19

vii

2.13 Menurunkan Elemen Matriks dan Vektor 23 2.13.1. Direct Approach (Pendekatan Langsung) 24 2.13.2. Varitional Approach (Pendekatan Variasi) 24 2.13.3.Weight Residual Approach (Pendekatan Residu

Bobot)

24

2.14 Formula Weak 25

2.15 Metode Galerkin 27

2.16. Software Comsol 29

BAB 3 ANALISIS DAN PERANCANGAN 30

3.1 Perancangan Geometri 30

3.2 Tahapan Analisis 32

3.2.1.Memaparkan hubungan-hubungan pergerakan aliran darah pada persamaan Navier-Stokes

32 3.2.2 Menentukan kondisi awal dan batas 32 3.2.3 Menyelesaikan Persamaan Global 32 3.2.3 Simulasi Dan Visualisasi Model Dengan Comsol

Mutiphysics 4.2

32 3.3 Membuat Kesimpulan Dan

Menyusun Laporan Penelitian

35

BAB 4 PEMBAHASAN 36

4.1 Persamaan Dasar Dalam Dinamika Fluida 36

4.2 Formulasi Fungsi Potensial 38

4.2.1. Bentuk Persamaan Differensial 38

4.2.2. Bentuk Variasi 38

4.3 Solusi Elemen Hingga 39

4.4 Simulasi Dengan Comsol Multiphysics 41

4.5 Tekanan Pada Pembuluh Darah 43

4.6 Distribusi Tekanan 45

4.7 Tegangan Pada Pembuluh Darah 50

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 55

5.1 Kesimpulan 55

5.2 Saran 55

DAFTAR PUSTAKA 56

viii

DAFTAR GAMBAR

Nomor Gambar

Judul Halaman

1.1 Aliran darah pada pembuluh darah 1

2.1. Tempat Kedudukan Partikel Yang Dinyatakan Dengan Vektor Posisinya

8

2.2 Pembuluh Darah Arteri 11

2.3 Kecepatan Dan Posisi Dari Partikel A Pada Waktu T. 12 2.4 Gaya – Gaya Permukaan Dalam Arah X Yang Bekerja Pada

Elemen Fluida

15

2.5 Elemen Satu -Dimensi 19

2.6 Elemen Dua-Dimensi 20

2.7 Elemen Tiga -Dimensi 21

2.8 Elemen Axisimetri 21

2.9 Comsol Multiphysics Versi 4.2 29

3.1 Model Geometri Pembuluh Darah 31

3.2: Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan

33 3.3 Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Mengalami

Penyempitan Sebesar 25%

33 3.4 Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Mengalami

Penyempitan Sebesar 50%

34 3.5 Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Mengalami

Penyempitan Sebesar 75%

35 4.1 Mesh Pada Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan 41 4.2 Mesh pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan 25% 32 4.3 Mesh pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan 50% 42 4.4 Mesh pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan 75% 42 4.5 Tekanan pada permukaan pembuluh darah yang tidak mengalami

penyempitan

43 4.6 Tekanan pada permukaan pembuluh darah yang mengalami

penyempitan 25%

44 4.7 Tekanan pada permukaan pembuluh darah yang mengalami

penyempitan 50%

44 4.8 Tekanan pada permukaan pembuluh darah yang mengalami

penyempitan 75%

45 4.9 Distribusi Tekanan Pada Pembuluh Darah tidak Mengalami

Penyempitan

46 4.10 Distribusi Tekanan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami

Penyempitan Sebesar 25%

47 4.11 Distribusi Tekanan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami

Penyempitan Sebesar 50%

48 4.12 Distribusi Tekanan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami

Penyempitan Sebesar 75%

49 4.13 Grafik Distribusi Tekanan Aliran Darah Pada Pembuluh Darah 50

ix

4.14 Tegangan Pada Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan

51 4.15 Tegangan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan

Sebesar 25%

51 4.16 Tegangan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan

Sebesar 50%

52 4.17 Tegangan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan

Sebesar 75%

53 4.18 Grafik Tegangan Pada Variasi Penyempitan Pembuluh Darah 53

x

DAFTAR ISTILAH

Difusi : Peristiwa mengalirnya/berpindahnya suatu

pelarut dari bagian berkonsentrasi tinggi ke bagian yang berkonsentrasi rendah

Dilatasi : Suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperkecil atau memperbesar) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang bersangkutan Diskrititsasi : Membagi sebuah objek kontinu menjadi sejumlah

bilangan berhingga dari unsur diskrit Massa jenis : Ukuran kerapatan benda yang homogen

Material yang homogen : Material yang komposisi nya sama di semua area Material yang isotropik : Material yang memiliki kesamaan sifat ketika

mendapat pembebanan dari arah yang berbeda. Tegangan permukaan : Sebuah gaya tarik dapat yang dianggap bekerja pada

bidang permukaan sepanjang suatu garis dipermukaan

Thixotropic : Pencair atau pelunak

Viskositas dinamik : Sifat fluida yang menghubungkan tegangan geser dengan gerakan fluida

Resistansi : kemampuan suatu benda untuk menahan /

menghambat aliran arus

xi

DAFTAR TABEL Nomor

Tabel

Judul Halaman

3.1 Parameter yang digunakan untuk geometri pembuluh darah 30

3.2 Material properties darah 30

3.3 Material properties pembuluh darah 31