PENYELESAIAN ANALITIK PERSAMAAN SCHRODINGER LIMA DIMENSI UNTUK POTENSIAL KRATZER PLUS POTENSIAL TANGEN TRIGONOMETRIK KUADRAT DENGAN ASYMPTOTIC ITERATION METHOD (AIM)

  

PENYELESAIAN ANALITIK PERSAMAAN SCHRODINGER

LIMA DIMENSI UNTUK POTENSIAL KRATZER PLUS

POTENSIAL TANGEN TRIGONOMETRIK KUADRAT

DENGAN ASYMPTOTIC ITERATION METHOD (AIM)

  

Disusun Oleh :

AGUNG BUDI PRAKOSO

M0212006

SKRIPSI

  

Diajukan untuk memenuhi sebagian

Persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sains

PROGRAM STUDI FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

  

Juli, 2017

HALAMAN PERSETUJUAN SKRIPSI

  Penyelesaian Analitik Persamaan Schrodinger Lima Dimensi untuk Potensial Kratzer Plus

  Potensial Tangen trigonometrik kuadrat dengan Asymptotic Iteration Method (AIM) Diusulkan oleh:

  Agung Budi Prakoso M0212006 Telah Disetujui Oleh Pembimbing I

Prof. Dra. Soeparmi, MA, Ph.D Tanggal : ....................................

NIP 195209151976032001 Pembimbing II

Prof. Drs. Cari, MA, Ph.D Tanggal : ....................................

NIP 196103061985031002

  

HALAMAN PENGESAHAN

  Skripsi dengan judul : Penyelesaian Analitik Persamaan Schrodinger Lima Dimensi untuk Potensial Kratzer plus Potensial Tangen Trigonometrik Kuadrat dengan Asymptotic Iteration

  Method (AIM)

  Yang ditulis oleh : Nama : Agung Budi Prakoso NIM : M0212006

  Telah diuji dan dinyatakan lulus oleh dewan penguji pada : Hari

  : ………………… Tanggal

  : ………………… Dewan Penguji : 1.

  Ketua Penguji Ahmad Marzuki, S.Si., Ph.D.

  ..………………… NIP. 1968055081997021001 2. Sekertaris Penguji Khairuddin, S.Si.,M.Phil, Ph.D.

  ..………………… NIP. 197010181997021001 3. Anggota Penguji 1 Prof. Dra. Soeparmi M.A., Ph.D.

  ..………………… NIP.195209151976032001 4. Anggota Penguji 2 Prof. Drs. Cari M.A., M.Sc., Ph.D.

  ..………………… NIP. 196103061985031002 Disahkan pada tanggal .............

  Oleh Kepala Program Studi Fisika

  Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Surakarta Fahru Nurosyid, S.Si., M.Si.

  NIP. 197210132000031002

  

PERNYATAAN Dengan ini saya menyatakan bahwa isi intelektual Skripsi saya yang berjudul “Penyelesaian Analitik Persamaan Schrodinger Lima Dimensi untuk Potensial Kratzer plus Potensial Tangen trigonometrik kuadrat dengan Asymptotic

  Iteration Method

  (AIM)” adalah hasil kerja saya dan sepengetahuan saya hingga saat ini isi Skripsi tidak berisi materi yang telah dipublikasikan atau ditulis oleh orang lain atau materi yang telah diajukan untuk mendapatkan gelar kesarjanaan di Universitas Sebelas Maret atau di Perguruan Tinggi lainnya kecuali telah dituliskan di daftar pustaka Skripsi ini dan segala bentuk bantuan dari semua pihak telah ditulis di bagian ucapan terimakasih. Isi Skripsi ini boleh dirujuk atau difotokopi secara bebas tanpa harus memberitahu penulis.

  Surakarta, 07 Juli 2017 Agung Budi Prakoso

HALAMAN MOTTO

  

“Setiap perkara penting yang tidak dimulai dengan „bismillahirrahmanir

rahiim‟, amalan tersebut terputus berkahnya.”

(HR. Abu Dawud)

“Hai orang-orang mukmin, jika kamu menolong (agama) Allah, niscaya Dia

akan menolongmu dan meneguhkan kedudukanmu.”

(QS. Muhammad 7)

  

"Belajarlah kalian ilmu untuk ketentraman dan ketenangan serta rendah

hatilah pada orang yang kamu belajar darinya"

(HR. Ath-Thabrani)

“Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan”

  

(QS. Ash-Sharh 5)

  

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk:

Allah SWT dan Rasul-Nya semoga menjadi amal jariyah

bagi penulis dan pihak-pihak yang membantu dalam

menyelesaikan tugas ini.

Bapak Supartono dan Ibu Istiqomah yaitu kedua orang tua

saya yang dengan tulus ikhlas memberikan dukungan

moril maupun materiil.

Kedua adek tercinta penulis yaitu Agus Setyo Prabowo dan

Arif Cahyo Nugroho semoga keberkahan menyertai hari-

hari kalian. Segenap Keluarga Besarku Kedua Pembimbing, Keluarga besar CFC Fisika 2012.

Adik-adik tingkat yang akan berkecimpung di Fisika

Kuantum, semoga penelitian ini dapat digunakan dengan

bijak sebagaimana mestinya dan tidak menimbulkan

suatu kemudharatan.

  

PENYELESAIAN ANALITIK PERSAMAAN SCHRODINGER

LIMA DIMENSI UNTUK POTENSIAL KRATZER PLUS

POTENSIAL TANGEN TRIGONOMETRIK KUADRAT

DENGAN ASYMPTOTIC ITERATION METHOD (AIM)

  AGUNG BUDI PRAKOSO Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

  Universitas Sebelas Maret E-mail :

  

Abstrak

  Persamaan Schrodinger Dimensi-D untuk kombinasi potensial Kratzer dan potensial tangen trigonomerik kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan AIM. Kombinasi dari dua potensial disubstitusikan ke persamaan Schrodinger Dimensi-D, kemudian dilakukan pemisahan variabel menjadi bagian radial dan sudut. Batasan dimensi yang dipilih berupa dimensi lima sehingga persamaan bagian sudut dipisahkan kembali menjadi empat bagian persamaan sudut.

  Penyelesaian persamaan Schrodinger dengan menggunakan AIM dapat dilakukan dengan mereduksi persamaan differensial orde kedua menjadi persamaan differensial tipe hipergeometri dengan melakukan subtitusi variabel. Persamaan differensial orde dua tipe hipergeometri tersebut diselesaikan dengan AIM diperoleh nilai eigen energi dan fungsi gelombang. Nilai eigen energi vibrasi non-relativistik sistem dihitung menggunakan metode komputasi. Sehingga dapat diketahui bahwa peningkatan bilangan kuantum radial menyebabkan kenaikan spektrum energi dan peningkatan bilangan kuantum sudut menyebabkan penurunan spektrum energi. Fungsi gelombang yang dihasilkan dapat digunakan untuk mencari probabilitas ditemukannya molekul diatomik CO, NO, I

  2 .

  

Kata kunci : Persamaan Schrodinger, D-dimensi, Potensial Kratzer, Potensial

tangen kuadrat , AIM

  ANALYTICAL SOLUTION OF FIVE DIMENSIONAL SCHRODINGER EQUATION

FOR KRATZER‟S POTENTIAL AND TRIGONOMETRIC

  TANGEN SQUARED POTENTIAL WITH ASYMPTOTIC ITERATION METHOD (AIM)

  AGUNG BUDI PRAKOSO Physic Department, Faculty of Science and Mathematics,

  Sebelas Maret University E-mail :

  Abstract The D-Dimension Schrodinger Equation for Kratzer potential combinations and potential trigonomeric tangent squared can be solved using AIM. The combination of the two potentials is substituted into the D-Dimension Schrodinger equation, then separating the variables into radial and angular sections. The dimension of the selected dimension is a five dimension so that the equation of the angular part is separated back into four parts of the angular equation.

  Solving the Schrodinger equation by using AIM can be done by reducing second-order differential equations into a hypergeometric differential equation by substituting variables. The two-order differential equations of the hypergeometric type are solved by AIM obtained by the eigenvalues of energy and the wave function. The eigenvalue of the system's non-relativistic vibrational energy is calculated using computational methods. Thus it can be seen that the increase in radial quantum number (n r ) causes the increase in the energy spectrum and an increase in the quantum number of angles causing a decrease in the energy spectrum. The resulting wavefunction can be used to find the probability of finding the diatomic molecules CO, NO, I

  2 .

  Keywords : Schrodinger Equation, D-dimension, Kratzer ’s Potential, Tangent Squared Potential, AIM

KATA PENGANTAR

  Puji syukur kepada Allah SWT atas segala limpahan nikmat dan karuniaNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan Skripsi. Sholawat dan salam senantiasa penulis haturkan kepada Rosulullah SAW sebagai pembimbing seluruh umat manusia.

  Skripsi yang penulis susun sebagai bagian dari syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains ini penulis beri judul ”Penyelesaian Analitik Persamaan Schrodinger Lima Dimensi untuk Potensial Kratzer plus Potensial Tangen Trigonometrik Kuadrat dengan Asymptotic Iteration Method (AIM) ”. Terselesaikannya Skripsi ini adalah suatu kebahagiaan bagi saya. Setelah beberapa semester penulis harus berjuang untuk bisa menyelesaikan Skripsi ini. Dengan segala suka dan dukanya, pada akhirnya Skripsi ini terselesaikan juga. Kepada berbagai pihak yang telah membantu penulis menyelesaikan Skripsi ini penulis ucapkan terima kasih. Atas bantuannya yang sangat besar selama proses pengerjaan Skripsi ini, ucapan terima kasih secara khusus penulis sampaiakan kepada:

  1. Allah azza wa jalla atas limpahan berkah dan rahmatNya sehingga penulis mampu menyelesaikan skripsi ini.

  2. Bapak dan Ibu yang tidak pernah lelah memanjatkan doa dan motivasi sehingga penulis menyelesaikan tugas sebagai mahasiswa dengan baik.

  3. Prof. Dra. Soeparmi M.A., Ph.D. selaku Pembimbing I yang senantiasa memberikan nasehat dan bimbingan dalam penyusunan skripsi dan semangat untuk menyelesaikan skripsi.

  4. Bapak Prof. Drs. Cari M.A., M.Sc., Ph.D. selaku Pembimbing II dan Pembimbing Akademik yang telah membimbing penulis hingga skripsi selesai.

  5. Bapak Drs. Usman Santosa M.S selaku Pembimbing Akademik yang selalu memberikan arah dalam pengambilan mata kuliah sampai purna tugas beliau ndan selalu berpesan supaya jangan khawatir ketika prestasi penulis menurun walaupun beliau sudah purna tugas. Semoga beliau senantiasa diberikan kesehatan dan limpahan nikmat oleh Allah Subhanahu wa Ta‟ala.

  6. Mbak Beta Nur Pratiwi dan Mas Dewanta Arya Nugraha atas segala bantuannya dalam menangani masalah-masalah dalam penyusunan skripsi.

  7. Rekan-rekan dalam satu group kerja lab : Mas Fery Widiyanto dan Mas Rijal Danialhaq yang saling berbagi kisah dan masalah dalam masalah hidup dan penyelesaian skripsi.

  8. Semua dosen pengajar Prodi Fisika FMIPA UNS.

  9. Mas Angga, Mas Ega, Mas Bara, Mas Farizky, Mbak Khoir, Mbak Diani, Mas Yoshua, Mas Hasan, Mas Archi, dan teman-teman CFC 2012 lain yang tidak bisa disebutkan satu per satu yang selalu membantu dalam proses kegiatan perkuliahan.

  10. Mas Fauzan, Mas Arif, Mas Iklas, dan rekan-rekan KKN Plosorejo yang tidak bisa disebutkan satu per satu yang selalu memberikan semangat pada penulis.

  11. Mas Fajar Sidiq selaku teman sejak kecil yang telah memberikan sarana dan prasarana sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas-tugas kuliah.

  12. Teman-teman SKI FMIPA UNS, mantan tim kerja di Cahaya Agency, alumni

  IPA 4 SMAN 5 Surakarta tahun 2011, alumni IX G SMPN 4 Surakarta tahun 2008, dan beberapa pihak yang tidak bisa disebutkan satu per satu yang telah memberikan dukungan untuk penulis.

  Semoga Allah

  jalla wa ‘ala senantiasa memberikan rahmat dan keberkahan

  atas bantuan yang telah diberikan. Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi penulis khususnya dan pembaca umumnya. Semoga menjadi amal jariyah semua pihak yang berhubungan dengan penyelesaian tugas ini. Amin Ya Robbal „Alamin.

  Penulis menyadari akan banyaknya kekurangan dalam penulisan Skripsi ini. Namun demikian, penulis berharap semoga karya ini bermanfaat.

HALAMAN PUBLIKASI

  Skripsi saya dengan judul “Penyelesaian Analitik Persamaan Schrodinger Lima Dimensi untuk Potensial Kratzer plus Potensial Tangen Trigonometrik Kuadrat dengan Asymptotic Iteration Method

  (AIM)” telah dipublikasikan di Repositori Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret.

  

DAFTAR ISI

  Persamaan Schrodinger ...........................................................

  19 3.1.

  Koordinat Hyperspherical ....................................................... 18 BAB III METODOLOGI PENENLITIAN ................................................

  10 2.6. Asymptotic Iteration Method ................................................... 14 2.7.

  Pemisahan Variabel Persamaan Schrodinger Lima Dimensi untuk Potensial Kratzer plus Potensial Tangen Trigonometrik Kuadrat ....................................................................................

  8 2.4. Potensial Tangen Trigonometrik Kuadrat ................................ 10 2.5.

  7 2.3. Potensial Kratzer .....................................................................

  5 2.2. Persamaan Schrodinger Lima Dimensi ...................................

  5 2.1.

  Halaman

  4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA ..................................................................

  3 1.5. Manfaat Penelitian ...................................................................

  3 1.4. Tujuan Penelitian .....................................................................

  3 1.3. Rumusan Masalah ...................................................................

  1 1.2. Batasan Masalah ......................................................................

  Latar Belakang .........................................................................

  1 1.1.

  

HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN ..................................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................... iii

HALAMAN PERNYATAAN ....................................................................... iv

HALAMAN MOTTO .................................................................................... v

HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................... vi

HALAMAN ABSTRAK ............................................................................... vii

HALAMAN ABSTRACT ............................................................................. viii

KATA PENGANTAR ................................................................................... ix

HALAMAN PUBLIKASI ............................................................................. xi

DAFTAR ISI .................................................................................................. xii

DAFTAR TABEL ......................................................................................... xiv

DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xv

DAFTAR SIMBOL ....................................................................................... xvi

DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................. xviii

BAB I PENDAHULUAN ...........................................................................

  Waktu dan Tempat Penelitian ................................................. 19 3.2. Obyek Penelitian ..................................................................... 19 3.3. Instrumen Penelitian ................................................................ 19 3.4. Metode Penelitian .................................................................... 19 3.5. Diagram Alir ............................................................................ 20

  3.6. Prosedur Penelitian .................................................................. 21 BAB IV PEMBAHASAN ..............................................................................

  43 4.4.1. Bagian Radial ............................................................... 44 4.4.2.

  60 LAMPIRAN ...................................................................................................

  Kesimpulan .............................................................................. 59 5.2. Saran ........................................................................................ 59 DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................

  59 5.1.

  55 4.4.6. Fungsi Gelombang Gabungan ..................................... 57 BAB V PENUTUP .........................................................................................

  52 4.4.5. Bagian Sudut θ 4 ...........................................................

  49 4.4.4. Bagian Sudut θ 3 ...........................................................

  46 4.4.3. Bagian Sudut θ 2 ...........................................................

  Bagian Sudut θ 1 ...........................................................

  41 4.4. Fungsi Gelombang Partikel yang Dipengaruhi oleh Potensial Kratzer dan Tangen trigonometrik kuadrat .............................

  22 4.1.

  37 4.3. Spektrum Energi Persamaan Schrodinger pada Potensial Kratzer plus Potensial Tangen trigonometrik kuadrat ..............

  34 4.2.5. Penyelesaian Bagian Sudut θ 4 .....................................

  30 4.2.4. Penyelesaian Bagian Sudut θ 3 .....................................

  26 4.2.3. Penyelesaian Bagian Sudut θ 2 .....................................

  1 .....................................

  Penyelesaian Bagian Radial ......................................... 22 4.2.2. Penyelesaian Bagian Sudut θ

  22 4.2.1.

  Pendahuluan ............................................................................ 22 4.2. Penyelesaian Analitis Bagian Radial dan Sudut dengan AIM ..........................................................................................

  62

  

DAFTAR TABEL

  Halaman

Tabel 2.1. Massa dan Besaran Spektroskopik dari Variasi Molekul Diatomik pada saat Ground State ............................................

  9 Tabel 4.1. Spektrum Energi Partikel yang dipengaruhi oleh Potensial Kratzer dan Potensial Tangen Kuadrat ....................

  42 Tabel 4.2. Fungsi Gelombang R dengan Variasi n

  r ..................................

  44 Tabel 4.3. Fungsi Gelombang Sudut P

  1 dengan Variasi n 1 ......................

  47 Tabel 4.4. Fungsi Gelombang Sudut P

  2 dengan Variasi n 2 ......................

  50 Tabel 4.5. Fungsi Gelombang Sudut P

  3 dengan Variasi n 3 ......................

  52 Tabel 4.6. Fungsi Gelombang Sudut P

  4 dengan Variasi n 4 ......................

  55 Tabel 4.7. Fungsi Gelombang Total Ψ dengan Variasi Bilangan

  Kuantum (n r , n

  1 , n 2 , n 3 , dan n 4 ) ...............................................

  58

  

DAFTAR GAMBAR

  Halaman Gambar 2.1. Potensial Kratzer dengan Variabel Bebas r ..........................

  9 Gambar 2.2. Potensial Tangen Trigonometrik Kuadrat dengan Variabel Bebas

  θ ................................................................... 10 Gambar 3.1. Diagram Alir Penelitian ........................................................

  19 Gambar 4.1. Grafik Spektrum Energi dengan Variasi Kedalaman Sumur Potensial dimana n = 0 .........................................

  43

  r Gambar 4.2. Fungsi Gelombang Radial dengan Variasi n ........................

  45

  r

Gambar 4.3. Fungsi Gelombang Radial dengan Variasi Molekul Diatomik ................................................................................

  46 Gambar 4.4. Grafik Dua Dimensi pada Fungsi Gelombang P

  1

  dengan Variasi n 1 ...................................................................

  48 Gambar 4.5. Fungsi Gelombang P

  1 pada Koordinat Bola dengan

  Variasi n 1 ...............................................................................

  49 Gambar 4.6. Fungsi Gelombang P pada Koordinat Bola .........................

  51

  2 Gambar 4.7 Grafik Dua Dimensi pada Fungsi Gelombang P

  2 dengan Variasi n ...................................................................

  51

  2 Gambar 4.8. Fungsi Gelombang P 3 pada Koordinat Bola .........................

  53 Gambar 4.9. Grafik Dua Dimensi pada Fungsi Gelombang P

  3

  dengan Variasi n 3 ...................................................................

  54 Gambar 4.10. Fungsi Gelombang P 4 pada Koordinat Bola .........................

  56 Gambar 4.11. Diagram Fasor Fungsi Gelombang P

  4 dengan Variasi n

  56 4 .........................................................................................................................................

DAFTAR SIMBOL

  Ψ (x,t) = Simpangan Gelombang yang tergantung pada posisi dan waktu

  Ψ = Amplitudo Gelombang

  k = Bilangan Gelombang

  ω = Kecepatan Sudut

  E = Energi Mekanik Non Relativistik Gelombang T = Nilai Energi Kinetik dari Suatu Partikel atau Molekul Diatomik V = Nilai Energi Potensial dari Suatu Partikel atau Molekul Diatomik

V = Nilai Energi Potensial Awal dari Suatu Partikel atau Molekul

  Diatomik

  m = Massa dari Suatu Partikel atau Molekul Diatomik v = Kecepatan Partikel atau Molekul Diatomik p = Momentum h =

  Konstanta Planck (2π dalam natural unit)

  ћ

  = Konstanta Dirac (1 dalam natural unit)

2 D

  = Energi Disosiasi

  = Fungsi Gelombang Radial pada n

   = Operator Laplacian untuk D Dimensi

  

2

  1 pada n 1 = 2 P 2 = Fungsi Gelombang Sudut

θ

  1 pada n 1 = 1 P 12 = Fungsi Gelombang Sudut

θ

  1 pada n 1 = 0 P 11 = Fungsi Gelombang Sudut

θ

  

1

P 10 = Fungsi Gelombang Sudut

θ

  P 1 = Fungsi Gelombang Sudut

θ

  = 2

  R 2 = Fungsi Gelombang Radial pada n r

  = 1

  r

  1

  r = Jarak Antar Inti Molekul Diatomik a = Jarak Antar Kesetimbangan Inti Molekul Diatomik χ i = Persamaan Kesebandingan AIM s i = Persamaan Kesebandingan AIM θ

  4 R = Fungsi Gelombang Radial R = Fungsi Gelombang Radial pada n r = 0 R

  3 n 4 = Bilangan Kuantum Bagian

θ

  2 n 3 = Bilangan Kuantum Bagian

θ

  1 n 2 = Bilangan Kuantum Bagian

θ

  n 1 = Bilangan Kuantum Bagian

θ

  D e

  n r

  = Sudut fase pada dimensi sudut keempat

  4

  3 = Sudut fase pada dimensi sudut ketiga θ

  2 = Sudut fase pada dimensi sudut kedua θ

  1 = Sudut fase pada dimensi sudut pertama θ

  = Bilangan Kuantum Radial

  P 20 = Fungsi Gelombang Sudut θ 2 pada n 2 = 0

  pada n

  = Konstanta Normalisasi pada Fungsi Gelombang P

  4

  3 C

  = Konstanta Normalisasi pada Fungsi Gelombang P

  3

  2 C

  1 C

2 = Konstanta Normalisasi pada Fungsi Gelombang P

  4 pada n 4 = 2 C

1 = Konstanta Normalisasi pada Fungsi Gelombang P

  4 pada n 4 = 1 P 42 = Fungsi Gelombang Sudut θ

  4 pada n 4 = 0 P 41 = Fungsi Gelombang Sudut θ

  4 P 40 = Fungsi Gelombang Sudut θ

  P 4 = Fungsi Gelombang Sudut θ

  = 2

  3

  3

  P 21 = Fungsi Gelombang Sudut θ 2 pada n 2 = 1

  θ

  P 22 = Fungsi Gelombang Sudut θ 2 pada n 2 = 2

  P 3 = Fungsi Gelombang Sudut θ

  3 P 30 = Fungsi Gelombang Sudut θ

  3 pada n 3 = 0 P

  31

  = Fungsi Gelombang Sudut

  3

  θ

  pada n

  3

  = 1

  P

  32

  = Fungsi Gelombang Sudut

  4