01 Limit fungsi Aljabar tak berhingga

PENGEMBANGAN LIMIT FUNGSI
A. Limit Tak Hingga Fungsi Aljabar
Seperti telah diuraikan di muka bahwa nilai limit berhingga suatu fungsi f(x) untuk x
mendekati a didapat dengan cara mensubstitusikan nilai a ke fungsi f(x). Atau ditulis
f(x) = f(a)
Hal ini berlaku pula untukuntuk limit tak hingga suatu fungsi aljabar f(x), sehingga
f(x) = f(  )
Sebagai contoh

(4x2 – 3) = 4(  )2 – 3 = 
(6x2 + 3x) = 6(  )2 + 3(  ) = 
(4x – 2x2) = 4(  ) – 2(  )2

Namun jika f(x) berbentuk fungsi pecahan, maka nilai substitusinya memungkinkan
hasil tak terdefinisi, yakni bentuk

0

atau
atau  – 


0

Dengan kata lain :
untuk f(x) =

g(x)
maka
h(x)

f(x) =

g(x)
g( )
=
h(x)
h()

tak terdefinisi

Dalam hal ini f(x) dimanipulasi dengan cara :

Jika n adalah derajat tertinggi antara g(x) atau h(x) maka g(x) dan h(x) masing-masing
dibagi dengan xn
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Tentukanlah hasil dari :
6x 3  4x  6
(a) Limit
x  2
3

4x  2x  3x

3x 2  6x  1
(b) Limit
x  2  5x  6x 2

Jawab

Pengembangan Limit Fungsi

1

3

6x  4x  6
(a). Limit
x 
4x 2  2x 3  3x

= Limit
x 

=

Limit
x 

=

Limit
x 

6x 3  4x  6

x

4x 2  2x 3  3x
6
6x 3 4 x


x3
x3 x3
4x 2 2x 3 3 x


x3
x3
x3
4
6

6 

x2
x3
3
4
 2 
x
x2

1/x 3
1/x 3

4
6



4
3

 2 


6  0  0
6 

=

=

0  2  0
6

=

2

=
3x 2  6x  1
(b). Limit

x  2  5x  6x 2

=

3
2
Limit 3x  6x  1 x
x  2  5x  6x 2

3x 2

=

2
Limit x
x 
2

x2




6x
x2
5x
x2




1/x 2
1/x 2

1
x2
6x 2
x2

6

1

x
x2
Limit
x  2  5  6
x
x2
6
1
3 



2
5

 6



3 0  0
0  0  6
3 

=

=

=
=
=

Pengembangan Limit Fungsi

3

6


1

2

2

02. Tentukanlah hasil dari :
3x 2  4x  6
(b) Limit
x 
3
2

2x 3  4x 2  3x 5
(a) Limit
x 
3
2

4x  2x  3x

x  2x  4

Jawab
1/x 5
2x 3  4x 2  3x 5
= Limit
x
x 
x 3  2x 2  4
1/x 5

2x 3  4x 2  3x 5
(a) Limit
x 
3
2
x  2x  4

2x 3

= Limit
x 



x5
x3



x5
2

=

Limit
x 

1

x2

=
=



x2



4x 2



x5
2x 2
x5
4

x3
2
x3



3x 5
x5
4
x5

 3



4
x5

003
000
3
0

= 
(b) Limit fungsi pecahan ini memiliki variable dengan pangkat tertinggi x3,
sehingga
2
Limit 3x  4x  6
x  4x 3  2x 2  3x

=

000
400

=

0
4

= 0

Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa penyelesaian limit tak hingga fungsi
aljabar pecahan ditentukan oleh koefisien dari variable pangkat tertinggi. Untuk lebih
jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut ini :
03. Tentukanlah hasil dari :
(2x 2  3)(2x 3  x )
(a) Limit
x  4
5
2

x  6x  3x  4

4x 6  5x 4  x
(b) Limit
x 
2
2
3x (2x  4x)

Jawab
(2x 2  3)(2x 3  x )
(a) Limit
x  4
5
2

x  6x  3x  4

2
3
2
3
Limit (2x )(2x )  (2x )( x)  (3)(2x )  (3)( x)
= x 
x 4  6x 5  3x 2  4

4x 5  2x 3  6x 3  3x
= Limit
x 
x 4  6x 5  3x 2  4
(memiliki variable pangkat tertinggi x5)

Pengembangan Limit Fungsi

3

=
=
=
Limit 4x 6  5x 4  x
(b) x 

3x (2x 2  4x)2

4000
0600
4
6
2
3

= Limit
x 
= Limit
x 

4x 6  5x 4  x
3x [(2x 2 ) 2  2(2x 2 )(4 x)  (4 x) 2 ]
4x 6  5x 4  x
3x [(4x 4  16x 3  16 x 2 ]

4x 6  5x 4  x

= Limit
x 

12x 5  48x 4  48 x 3
(memiliki variable pangkat tertinggi x6)
=
=

400
000
4
0

= 
04. Tentukanlah hasil dari :
(a) Limit
x  ( 4x  3 

(b) Limit
x  ( 3x  2  3x  4 )

2x  5 )

Jawab
(a) Limit
x  ( 4x  3 

2x  5 ) = Limit
x  ( 4x  3 

2x  5 ) x

4x  3 

2x  5

4x  3 

2x  5

(4 x  3)  (2 x  5)
= Limit
x 
4x  3  2x  5
2x  8
= Limit
x 
4x  3  2x  5
(memiliki variable pangkat tertinggi x)

20

=
=

00 

00

2
0

= 

Pengembangan Limit Fungsi

4

Limit
(b) Limit
x  ( 3x  2  3x  4 ) = x  ( 3x  2  3x  4 ) x

3x  2 

3x  4

3x  2 

3x  4

(3x  2)  (3x  4)
= Limit
x 
3x  2  3x  4
6
= Limit
x  3x  2  3x  4
(memiliki variable pangkat tertinggi
=
=

x)

0
30 
0
2 3

30

= 0
Dari soal di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa :
(1) Limit
x  ( ax  b 

cx  d ) = 

(2) Limit ( ax  b 
x 
(3) Limit
x  ( ax  b 

cx  d ) =  
cx  d ) = 0

jika a > c
jika a < c
jika a = c

05. Tentukanlah hasil dari :
2
(a) Limit
x  ( 4x  3x  5 

4x 2  7 x  2 )

2
(b) Limit
x  ( 3x  8x  2 
Jawab
2
(a) Limit
x  ( 4x  3x  5 

3x 2  2 x  5 )

4x 2  7 x  2 )

2
= Limit
x  ( 4x  3x  5 

4x 2  7 x  2 ) x

4 x 2  3x  5 

4x 2  7 x  2

4 x 2  3x  5 

4x 2  7 x  2

(4 x 2  3x  5)  (4 x 2  7 x  2)
= Limit
x 
4 x 2  3x  5  4 x 2  7 x  2

= Limit
x 
= Limit
x 

4 x 2  3x  5  4 x 2  7 x  2
4 x 2  3x  5  4 x 2  7 x  2
10 x  7
4 x 2  3x  5 

4x 2  7x  2

(memiliki variable pangkat tertinggi x atau

Pengembangan Limit Fungsi

x2 )

5

10  0

=

400 

=

10
22

=

5
2

400

2
(b) Limit
x  ( 3x  8x  2 
2
= Limit
x  ( 3x  8x  2 

3x 2  2 x  5 )
3x 2  2 x  5 ) x

( 3x 2  8 x  2 

3x 2  2 x  5 )

( 3x 2  8 x  2 

3x 2  2 x  5 )

(3x 2  8 x  2)  (3x 2  2 x  5)
= Limit
x 
( 3x 2  8 x  2  3x 2  2 x  5 )
3x 2  8 x  2  3x 2  2 x  5

= Limit
x 

( 3x 2  8 x  2 

3x 2  2 x  5 )

6x  7
= Limit
x  ( 3x 2  8 x  2  3x 2  2 x  5 )

(memiliki variable pangkat tertinggi x atau
=
=

60
3 00 

6

x

2 3

=

x2 )

30 0

3
3

3

Dari soal di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa :
2
(1) Limit
x  ax  bx  c 
2
(2) Limit
x  ax  bx  c 

dx 2  ex  f

= 

dx 2  ex  f

=

2
(3) Limit
x  ax  bx  c 

dx 2  ex  f

= 

jika a > d

be
2 a

jika a = d
jika a < d

06. Tentukanlah hasil dari :
(a) Limit
x  ( (2x  1)(3x  2)  (2x  5)(3x  5) )
2
(b) Limit
x  ( (x  2)(x  1)  2x  3x  4 )
Jawab
(a) Limit
x  ( (2x  1)(3x  2)  (2x  5)(3x  5) )

2
= Limit
x  ( 6 x  4 x  3x  2 

Pengembangan Limit Fungsi

6 x 2  10 x  15x  25 )
6

2
= Limit
x  ( 6 x  x  2 

=

6 x 2  5x  25 )

1  (5)

=

2 6
6
2 6

=

6 6
12

=

6
2

x

6
6

2
(b) Limit
x  ( (x  2)(x  1)  2x  3x  4 )
2
2
= Limit
x  ( x  x  2 x  2  2 x  3x  4 )

= 
07. Tentukanlah hasil dari:

Limit ( 4x 2  5x  3  (2x  1))
x 

Jawab
Limit ( 4x 2  5x  3  (2x  1))
x 
Limit
= x  ( 4 x 2  5x  3 

(2 x  1) 2 )

2
= Limit
x  ( 4 x  5x  3 

4 x 2  2 x  1)

=
=

 5  (2)
2 4
3
2(2)

= –3/4

Pengembangan Limit Fungsi

7