05 Melukis Grafik Fungsi Pecahan

PENGEMBANGAN LIMIT FUNGSI
C. Melukis Grafik Fungsi Pecahan
Fungsi pecahan adalah fungsi yang dirumuskan oleh f(x) =

P(x)
, dengan P(x) dan
Q(x)

Q(x) adalah fungsi polinom dalam x dan Q(x) ≠ 0 pada domainnya.
Terdapat empat macam bentuk fungsi pecahan yang akan dibahas pada bab ini, yaitu:
(1) f(x) =
(3) f(x) =

ax  b
px  q

ax  b
2
px  qx  r

(2) f(x) =

(4) f(x) =

ax 2  bx  c
px  q

ax 2  bx  c
px 2  qx  r

Langkah- Langkah melukis Grafik Fungsi pecahan adalah sebagai berikut:
1. Menentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y (jika mudah ditentukan)
2. Menentukan asimtot tegak, asimtot datar dan asimtot miring
3. Menentukan interval dimana fungsi bernilai positif (grafik terlerak di atas sumbu-x)
dan bernilai negatif (grafik terletak di bawah sumbu x)
4. Menentukan titik ekstrim fungsi (bila ada)
5. Menentukan titik-titik bantu (bila diperlukan)
6. Melukis sketsa grafik
Terdapat tiga macam asimtot pada fungsi pecahan, yaitu:
1. Asimtot tegak, diperoleh jika penyebutnya nol
2. Asimtot datar, diperoleh jika x menuju tak hingga (x→∞)
3. Asimptot miring, hanya untuk jenis fungsi rasional yang pembilangnya mempunyai

derajat lebih tinggi satu daripada penyebutnya
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Lukislah grafik fungsi pecahan f(x) =

2x  4
x4

Jawab
Langkah pertama adalah menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat.
2x  4
Titik potong dengan sumbu-x syaratnya y = 0 maka
=0
x4
2x + 4 = 0
x = –2. Titiknya A(–2, 0)
2(0)  4
Titik potong dengan sumbu-y syaratnya x = 0 maka y =
04
y = –1 Titiknya B(0, –1)

Pengembangan Limit Fungsi

1

Langkah kedua menentukan asimtot tegak dan asimtot datar
Asimtot tegak syaratnya: x – 4 = 0 maka asimtotnya x = 4
2x  4
Asimtot datar syaratnya: y = Limit
x  x  4
2x 4

x x
y = Limit
x  x 4

x x
20
y=
1 0
y = 2, maka asimtotnya adalah y = 2

Langkah ketiga adalah menentukan interval dimana fungsi bernilai positif (diberi
tanda +) dan bernilai negative (diberi tanda –)
Sumbu x dibagi menjadi 3 interval oleh titik potong sumbu x dan asimptot tegak,
kemudian tentukan tanda f (x) untuk masing-masing interval
–

+

+

–2

4

Langkah keempat tidak perlu menentukan titik ekstrim fungsi, karena fungsi bentuk
ini tidak memiliki titik ekstrim
Langkah kelima adalah menentukan titik-titik bantu, yaitu:
Untuk x = –4 maka y = 1/2 , sehingga titiknya (–4, 1/2)
Untuk x = 0 maka y = –1 , sehingga titiknya (0, –1)
Untuk x = 5 maka y = 14 , sehingga titiknya (5, 14)

Untuk x = 6 maka y = 8 , sehingga titiknya (6, 8)
Gambar grafiknya :
y

y2

2

0

4

x

x4

Pengembangan Limit Fungsi

2

02. Lukislah grafik fungsi pecahan f(x) =

3
x2

Jawab
Langkah pertama adalah menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat.
3
=0
Titik potong dengan sumbu-x syaratnya y = 0 maka
x2
Tidak diperoleh nilai x
Maka tidak adal titik potong dengan sumbu-x
3
Titik potong dengan sumbu-y syaratnya x = 0 maka y =
02
y = –3/2 Titiknya B(0, –3/2)
Langkah kedua menentukan asimtot tegak dan asimtot datar
Asimtot tegak syaratnya: x – 2 = 0 maka asimtotnya x = 2
3

Asimtot datar syaratnya: y = Limit
x  x  2
3
x
y = Limit
x  x 2

x x
0
y=
1 0
y = 0, maka asimtotnya tegaknya adalah y = 0
Langkah ketiga adalah menentukan interval dimana fungsi bernilai positif (diberi
tanda +) dan bernilai negative (diberi tanda –)
Sumbu x dibagi menjadi 2 interval oleh asimptot tegak, kemudian tentukan tanda f
(x) untuk masing-masing interval
–

+
2

Langkah keempat tidak perlu menentukan titik ekstrim fungsi, karena fungsi bentuk
ini tidak memiliki titik ekstrim
Langkah kelima adalah menentukan titik-titik bantu, yaitu:
Untuk x = –4 maka y = –1/2 , sehingga titiknya (–4, –1/2)
Untuk x = 0 maka y = –3/2 , sehingga titiknya (0, –3/2)
Untuk x = 4 maka y = 3/2 , sehingga titiknya (4, 3/2)
Untuk x = 6 maka y = 3/4 , sehingga titiknya (6, 3/4)

Pengembangan Limit Fungsi

3

Gambar grafiknya :

03. Lukislah grafik fungsi pecahan f(x) =

3x
x  5x  4
2

Jawab
Langkah pertama adalah menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat.
3x
Titik potong dengan sumbu-x syaratnya y = 0 maka 2
=0
x  5x  4
3x = 0
x = 0. Titiknya A(0, 0)
3(0)
Titik potong dengan sumbu-y syaratnya x = 0 maka y =
2
(0)  5(0)  4
y = 0 Titiknya A(0, 0)
Langkah kedua menentukan asimtot tegak dan asimtot datar
Asimtot tegak syaratnya: x2 + 5x + 4 = 0
(x + 4)(x + 1) = 0
maka asimtotnya x = –4 dan x = –1
3x
Asimtot datar syaratnya: y = Limit

x  x 2  5x  4
3x
y = Limit
x 

x2
x2



x2
5x



4

x2 x2
3
x

y = Limit
x 
5 4
1 
x x2

0
1 0  0
y = 0 maka asimtotnya adalah y = 0

y=

Pengembangan Limit Fungsi

4

Langkah ketiga adalah menentukan interval dimana fungsi bernilai positif (diberi
tanda +) dan bernilai negative (diberi tanda –)
Sumbu x dibagi menjadi 4 interval oleh titik potong sumbu x dan asimptot tegak,
kemudian tentukan tanda f (x) untuk masing-masing interval
–

–

+
–4

–1

–
0

Langkah keempat menentukan titik ekstrim fungsi
Misalkan f(x) mempunyai nilai ekstrim p, maka :
3x
p= 2
x  5x  4
2
p(x + 5x + 4) = 3x
px2 + 5px + 4p – 3x = 0
px2 + (5p – 3)x + 4p = 0
Syarat supaya persamaan kuadrat mempunyai akar-akar adalah D ≥ 0 sehingga
(5p – 3)2 – 4(p)(4p) ≥ 0
25p2 – 30p + 9 – 16p2 ≥ 0
9p2 – 30p + 9 ≥ 0
3p2 – 10p + 3 ≥ 0
(3p – 1)(p – 3) ≥ 0
Maka p = y ≤ 1/3 dan p = y ≥ 3
Ini menunjukkan nilai ekstrim maksimum adalah y = 1/3 dan nilai ekstrim minimum
adalah y = 3.
1
3x
Sehingga :
= 2
3
x  5x  4
2
x + 5x + 4 = 9x
x2 – 4x + 4 = 0
(x – 2)(x – 2) = 0 Maka x = 2 Titik maksimumnya B(2, 1/3)
3x
3= 2
x  5x  4
2
3x + 15x + 12 = 3x
3x2 + 12x + 12 = 0
x2 + 4x + 4 = 0
(x + 2)(x + 2) = 0 Maka x = –2 Titik minimumnya B(–2, 3)

Pengembangan Limit Fungsi

5

Gambar grafiknya :
y

(2, 3)

4

x  4

Pengembangan Limit Fungsi

1

(2, 1/3)

x
0

x  1

6