ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL (TIGA PARAMETER) PADA NILAI EKSTREM DENGAN METODE NEWTON-RAPHSON.
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Pada suatu pengamatan terkadang diperoleh data yang berbeda dengan data
lainnya, yang disebut dengan data pencilan (outlier ). Data pencilan dapat diartikan sebagai salah satu atau beberapa data pengamatan yang tidak mengikuti
sebagian besar pola dan terletak jauh dari data utama (Barnett[4]). Dari pengertian tersebut, jika pencilannya bernilai maksimum atau minimum maka disebut
juga sebagai data ekstrem.
Nilai ekstrem pada data akan berpengaruh terhadap analisis dan penarikan
kesimpulan. Menurut Rousseeuw dan Annick [18] serta Drapper [8], nilai ekstrem terjadi karena kesalahan pengamatan atau pengukuran serta kejadian tidak
terduga sehingga dalam analisis dan penarikan kesimpulan diperoleh nilai yang
berbeda dari sebenarnya. Namun ada kalanya data ekstrem tersebut dapat memberikan informasi penting.
Teknik pengambilan sampel untuk memperoleh data ekstrem salah satunya adalah metode block maxima (BM ). Metode BM adalah metode pengambilan data ekstrem berdasarkan nilai maksimum pada periode tertentu (Dharmawan [7]). Periode tertentu tersebut disebut blok, yang dapat berupa blok
harian, mingguan, dan bulanan. Distribusi dari data ekstrem yang diperoleh
tersebut disebut distribusi nilai ekstrem. Distribusi nilai ekstrem dibagi dalam
tiga tipe, yaitu distribusi Gumbel (tipe I), distribusi Frèchet (tipe II) dan distribusi Weibull (tipe III). Dari ketiga distribusi nilai ekstrem tersebut, distribusi
Weibull biasanya digunakan untuk merepresentasikan data tahan hidup, terutama
data ekstrem untuk uji tahan hidup (reliability) dan analisis pemeliharaan (mantainability) (Lee et al.[12]). Distribusi Weibull (tipe III), merupakan distribusi
1
nilai ekstrem dengan tiga parameter. Parameternya yaitu parameter lokasi (β)
yang menunjukkan perubahan pergerakan densitasnya, parameter skala (γ) yang
menunjukkan karakteristik dari populasi datanya, dan parameter shape (ξ) menunjukkan bentuk visualisasi dari distribusinya (Rinne [17]). Untuk memperoleh
nilai parameter tersebut dapat digunakan estimasi parameter. Estimasi parameter distribusi Weibull (tipe III) merupakan suatu pendugaan parameter untuk
mengetahui karakteristik dari suatu populasi yang berdistribusi Weibull (tipe III).
Pada umumnya estimasi parameter distribusi Weibull menggunakan metode
maximum likelihood estimation (MLE ). Menurut Gove [10] serta Nwobi dan
Chukwudi [14], metode MLE merupakan metode terbaik untuk mengestimasi
parameter distribusi Weibull karena efisien dan memiliki nilai mean squared error (MSE ) terkecil. Namun estimasi parameter dengan metode MLE sering kali
ditemui kendala yaitu sulit diperoleh penyelesaian eksaknya sehingga diperlukan
metode numerik untuk mengestimasi parameternya (Bain [3]). Salah satu metode
untuk mengestimasi parameter adalah metode Newton-Raphson.
Menurut Wingo [19] dan Archer [2], metode Newton-Raphson merupakan
metode untuk memperoleh nilai estimasi dengan laju kekonvergenan bersifat
kuadratik dengan sedikit iterasi untuk mencapai penyelesaiannya. Pada penelitian ini dilakukan estimasi parameter distribusi Weibull pada nilai ekstrem dengan metode Newton-Raphson dan penerapannya pada data waktu perawatan
penderita DBD di Kabupaten Klaten.
1.2
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan, dapat disusun
rumusan masalah yaitu
1. bagaimana mengestimasi tiga parameter distribusi ekstrem Weibull dengan
metode Newton-Raphson,
2. bagaimana menerapkan metode Newton-Raphson pada data waktu perawatan penderita DBD di Kabupaten Klaten.
2
1.3
Tujuan Penulisan
Berdasarkan perumusan masalah yang telah diuraikan, tujuan dari penelitian ini adalah
1. mengestimasi parameter distribusi Weibull (tipe III) dengan metode NewtonRaphson,
2. menerapkan hasil estimasi parameter distribusi Weibull (tipe III) pada data
waktu perawatan penderita DBD di Kabupaten Klaten.
1.4
Manfaat Penulisan
Manfaat dari penelitian ini untuk menambah wawasan tentang distribusi
nilai ekstrem yaitu Weibull (tipe III) dan estimasi parameter distribusi Weibull
pada nilai ekstrem dengan Newton-Raphson, serta menerapkannya pada data
waktu perawatan penderita DBD di Kabupaten Klaten.
3
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Pada suatu pengamatan terkadang diperoleh data yang berbeda dengan data
lainnya, yang disebut dengan data pencilan (outlier ). Data pencilan dapat diartikan sebagai salah satu atau beberapa data pengamatan yang tidak mengikuti
sebagian besar pola dan terletak jauh dari data utama (Barnett[4]). Dari pengertian tersebut, jika pencilannya bernilai maksimum atau minimum maka disebut
juga sebagai data ekstrem.
Nilai ekstrem pada data akan berpengaruh terhadap analisis dan penarikan
kesimpulan. Menurut Rousseeuw dan Annick [18] serta Drapper [8], nilai ekstrem terjadi karena kesalahan pengamatan atau pengukuran serta kejadian tidak
terduga sehingga dalam analisis dan penarikan kesimpulan diperoleh nilai yang
berbeda dari sebenarnya. Namun ada kalanya data ekstrem tersebut dapat memberikan informasi penting.
Teknik pengambilan sampel untuk memperoleh data ekstrem salah satunya adalah metode block maxima (BM ). Metode BM adalah metode pengambilan data ekstrem berdasarkan nilai maksimum pada periode tertentu (Dharmawan [7]). Periode tertentu tersebut disebut blok, yang dapat berupa blok
harian, mingguan, dan bulanan. Distribusi dari data ekstrem yang diperoleh
tersebut disebut distribusi nilai ekstrem. Distribusi nilai ekstrem dibagi dalam
tiga tipe, yaitu distribusi Gumbel (tipe I), distribusi Frèchet (tipe II) dan distribusi Weibull (tipe III). Dari ketiga distribusi nilai ekstrem tersebut, distribusi
Weibull biasanya digunakan untuk merepresentasikan data tahan hidup, terutama
data ekstrem untuk uji tahan hidup (reliability) dan analisis pemeliharaan (mantainability) (Lee et al.[12]). Distribusi Weibull (tipe III), merupakan distribusi
1
nilai ekstrem dengan tiga parameter. Parameternya yaitu parameter lokasi (β)
yang menunjukkan perubahan pergerakan densitasnya, parameter skala (γ) yang
menunjukkan karakteristik dari populasi datanya, dan parameter shape (ξ) menunjukkan bentuk visualisasi dari distribusinya (Rinne [17]). Untuk memperoleh
nilai parameter tersebut dapat digunakan estimasi parameter. Estimasi parameter distribusi Weibull (tipe III) merupakan suatu pendugaan parameter untuk
mengetahui karakteristik dari suatu populasi yang berdistribusi Weibull (tipe III).
Pada umumnya estimasi parameter distribusi Weibull menggunakan metode
maximum likelihood estimation (MLE ). Menurut Gove [10] serta Nwobi dan
Chukwudi [14], metode MLE merupakan metode terbaik untuk mengestimasi
parameter distribusi Weibull karena efisien dan memiliki nilai mean squared error (MSE ) terkecil. Namun estimasi parameter dengan metode MLE sering kali
ditemui kendala yaitu sulit diperoleh penyelesaian eksaknya sehingga diperlukan
metode numerik untuk mengestimasi parameternya (Bain [3]). Salah satu metode
untuk mengestimasi parameter adalah metode Newton-Raphson.
Menurut Wingo [19] dan Archer [2], metode Newton-Raphson merupakan
metode untuk memperoleh nilai estimasi dengan laju kekonvergenan bersifat
kuadratik dengan sedikit iterasi untuk mencapai penyelesaiannya. Pada penelitian ini dilakukan estimasi parameter distribusi Weibull pada nilai ekstrem dengan metode Newton-Raphson dan penerapannya pada data waktu perawatan
penderita DBD di Kabupaten Klaten.
1.2
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan, dapat disusun
rumusan masalah yaitu
1. bagaimana mengestimasi tiga parameter distribusi ekstrem Weibull dengan
metode Newton-Raphson,
2. bagaimana menerapkan metode Newton-Raphson pada data waktu perawatan penderita DBD di Kabupaten Klaten.
2
1.3
Tujuan Penulisan
Berdasarkan perumusan masalah yang telah diuraikan, tujuan dari penelitian ini adalah
1. mengestimasi parameter distribusi Weibull (tipe III) dengan metode NewtonRaphson,
2. menerapkan hasil estimasi parameter distribusi Weibull (tipe III) pada data
waktu perawatan penderita DBD di Kabupaten Klaten.
1.4
Manfaat Penulisan
Manfaat dari penelitian ini untuk menambah wawasan tentang distribusi
nilai ekstrem yaitu Weibull (tipe III) dan estimasi parameter distribusi Weibull
pada nilai ekstrem dengan Newton-Raphson, serta menerapkannya pada data
waktu perawatan penderita DBD di Kabupaten Klaten.
3