TOPOLOGI KOMPAK LOKAL HAUSDORFF PADA RUANG LINTASAN TAK HINGGA.

TOPOLOGI KOMPAK LOKAL HAUSDORFF PADA RUANG LINTASAN TAK HINGGA

SKRIPSI

Diajukan untuk memenuhi sebagian syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika Konsentrasi Aljabar

Oleh Azico Sudhagama

1002579

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

BANDUNG 2014

TOPOLOGI KOMPAK LOKAL HAUSDORFF PADA RUANG LINTASAN TAK HINGGA

Oleh Azico Sudhagama

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana di Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Azico Sudhagama Universitas Pendidikan Indonesia

Juni 2014

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhnya atau sebagian, Dengan dicetak ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa izin dari penulis.

AZICO SUDHAGAMA

TOPOLOGI KOMPAK LOKAL HAUSDORFF PADA RUANG LINTASAN TAK HINGGA

disetujui dan disahkan oleh pembimbing :

Pembimbing I

Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si. NIP. 196901191993031001

Pembimbing II

Isnie Yusnitha, S.Si., M.Ed. NIP. 198506092012122002

Diketahui oleh,

Ketua Jurusan Pendidikan Matematika

Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D NIP. 196101121987031003

Azico Sudhagama, 2014

Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

DAFTAR ISI

LEMBAR PERNYATAAN ... i

ABSTRAK ... ii

ABSTRACT ... iii

KATA PENGANTAR ... iv

DAFTAR ISI ... vii

DAFTAR SIMBOL ... ix

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang Masalah ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 2

1.3 Tujuan Penulisan ... 2

1.4 Manfaat Penulisan ... 3

1.5 Sistematika Penulisan ... 3

BAB II RUANG TOPOLOGI ... 5

2.1 Ruang Topologi ... 5

2.2Himpunan di Ruang Topologi ... 9

2.3Fungsi Kontinu ... 10

2.4Ruang Hausdorff ... 12

2.5Kekompakkan ... 14

2.6Aksioma Keterhitungan ... 17

Azico Sudhagama, 2014

Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

3.1 Graf Berarah ... 20

3.2 Lintasan Pada Graf Berarah ... 22

BAB IV TOPOLOGI KOMPAK LOKAL HAUSDORFF PADA RUANG LINTASAN TAK HINGGA ... 26

4.1Lemma (Webster, 2010) ... 26

4.2Lemma (Webster, 2010) ... 27

4.3Teorema (Webster, 2010) ... 28

BAB V PENUTUP ... 31

5.1Kesimpulan ... 31

5.2Rekomendasi ... 31

Azico Sudhagama, 2014

Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

ABSTRAK

Oleh: Azico Sudhagama azico.sudhagama@yahoo.co.uk Topologi Kompak Lokal Hausdorff

Pada Ruang Lintasan Tak Hingga

Aljabar- telah banyak dimodelkan melalui pendekatan graf dan groupoid. Kumjian, Pask, Raeburn, Renault (1997) menyatakan bahwa unit space dari groupoid merupakan ruang lintasan tak hingga dari graf berarah baris-berhingga . Webster (2010) mengkaji lebih dalam bagaimana cara mengkonstruksi topologi kompak lokal Hausdorff pada ruang lintasan tak hingga dari graf berarah baris-berhingga. Pada tulisan ini dipelajari bagaimana cara mengkonstruksi topologi pada ruang yang merupakan subruang dari topologi produk ∏ . Dijelaskan pula basis dari ruang topologi .

Kata Kunci: Ruang Lintasan Tak Hingga, Graf Berarah Baris-Berhingga, Himpunan Silinder, Topologi Kompak Lokal Hausdorff.

Azico Sudhagama, 2014

Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

ABSTRACT

By:

Azico Sudhagama azico.sudhagama@yahoo.co.uk Locally Compact Hausdorff Topology

on Infinite Path Space

A -algebra can be modeled using graph and groupoid approach. Kumjian, Pask, Raeburn, Renault (1997) stated that unit space of groupoid is the infinite path space of row-finite directed graph . Furthermore, Webster (2010) has examined on how to construct locally compact Hausdorff on infinite path space of row-finite directed graph. This paper deals with the process to construct topology on space

which is considered as subspace of product topology ∏ . This paper also elaborate basis of topological space .

Keyword: Infinite Path Space, Row-Finite Directed Graph, Cylinder Set, Locally Compact Hausdorff Topology.

1

Azico Sudhagama, 2014

Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Graf berarah adalah obyek kombinatorial yang terdiri dari titik dan sisi. Sisi-sisinya berorientasi menghubungkan sepasang titik. Lintasan berhingga dari graf berarah baris-berhingga merupakan gabungan dari lintasan dimana sedemikian sehingga untuk . Sedangkan lintasan tak hingga dari graf berarah merupakan barisan

sedemikian sehingga untuk .

Ruang lintasan dari graf berarah memainkan peranan penting dalam studi aljabar- . Hal ini terjadi karena aljabar- telah berkembang dan banyak dimodelkan melalui pendekatan graf dan groupoid. Kumjian, Pask, Raeburn dan Renault (1997) menyatakan bahwa unit space dari groupoid merupakan ruang lintasan tak hingga dari graf berarah baris-berhingga . Beberapa tahun kemudian, Webster (2010) mengkaji lebih dalam bagaimana cara mengkonstruksi topologi kompak lokal Hausdorff pada ruang lintasan tak hingga dari graf berarah baris-berhingga .

Azico Sudhagama, 2014

Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu 2

Berdasarkan uraian diatas, penulis termotivasi untuk mengkaji lebih jauh konsep topologi pada ruang lintasan tak hingga . Lebih dari itu, penulis juga akan membahas basis dan struktur dari ruang lintasan tak hingga .

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas, rumusan masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah:

1. Bagaimana basis dari ruang lintasan tak hingga untuk graf berarah baris-berhingga ?

2. Bagaimana topologi dari ruang lintasan tak hingga untuk graf berarah baris-berhingga ?

1.3 Tujuan Penulisan

Sesuai dengan rumusan masalah tersebut, maka tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk:

1. Mengetahui basis dari ruang lintasan tak hingga untuk graf berarah baris-berhingga .

2. Mengetahui topologi dari ruang lintasan tak hingga untuk graf berarah baris-berhingga .

Azico Sudhagama, 2014

Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu 3

1.4 Manfaat Penulisan

Memperoleh gambaran basis dari ruang lintasan tak hingga dan juga struktur topologi dari ruang lintasan tak hingga untuk graf berarah baris-berhingga .

1.5 Sistematika Penulisan

Skripsi ini dibagi menjadi lima bab. Sebagaimana telah diuraikan diatas, BAB I adalah pendahuluan yang berisi latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.

Berikutnya BAB II, menjelaskan tentang teori ruang topologi yang menjadi landasan utama masalah pada skripsi ini. Di dalamnya dibahas ruang topologi, basis dari ruang topologi, fungsi kontinu, homeomorfisma, subruang topologi, produk topologi, ruang hausdorff, ruang kompak, dan ruang kompak lokal.

BAB III merupakan kajian pembuka dari masalah yang dikemukakan pada skripsi ini. Di dalamnya dibahas graf berarah, graf berarah-baris berhingga, produk dari graf berarah, lintasan berhingga, lintasan tak hingga, himpunan silinder, dan beberapa ilustrasi tentang konsep-konsep dalam graf berarah.

Selanjutnya BAB IV merupakan inti dari skripsi ini. Diawali dengan pembahasan teorema terkait basis dari ruang lintasan tak hingga , kemudian

Azico Sudhagama, 2014

Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu 4

dilanjutkan dengan klaim tentang keterkaitan dua produk topologi dan terakhir tentang teorema topologi kompak lokal Hausdorff dari ruang lintasan tak hingga .

Di bagian akhir, yaitu BAB V memuat penutup dari skripsi ini. Di dalamnya diuraikan kesimpulan dari skripsi ini. Kemudian ditutup dengan rekomendasi untuk penelitian lebih lanjut.

20

Azico Sudhagama, 2014

Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

BAB III

GRAF BERARAH BARIS-BERHINGGA

Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep pada graf berarah. Lebih lanjut, akan dibahas juga lintasan berhingga, lintasan tak hingga, dan himpunan silinder beserta contohnya.

3.1 Graf Berarah

Berikut ini akan dibahas graf berarah, graf berarah baris-berhingga dan produk dari graf berarah

Definisi 3.1.1: Graf Berarah (Raeburn, 2005: 5) Sebuah graf berarah terdiri dari pasangan

1. merupakan himpunan terhitung (countable) yang unsur-unsurnya disebut titik.

2. merupakan himpunan terhitung (countable) yang unsur-unsurnya disebut sisi.

3. merupakan dua fungsi yang disebut fungsi range dan source, , merupakan source dari dan merupakan range dari . 4. Jika dan , adalah sebuah sisi dari ke .

21

Azico Sudhagama, 2014

Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

… Contoh 3.1.2

Diberikan dan , dengan , dan , ilustrasi dari graf dapat diberikan seperti gambar

Definisi 3.1.3: Graf Berarah Baris-Berhingga (Raeburn, 2005: 6)

Sebuah graf berarah disebut baris-berhingga, jika setiap titiknya menerima paling banyak berhingga sisi, yaitu, dimana adalah himpunan berhingga untuk setiap .

Contoh 3.1.4

Diberikan merupakan himpunan tak hingga dan merupakan gabungan dari himpunan tunggal , maka dapat diilustrasikan sebagai berikut

22

Azico Sudhagama, 2014

Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

Produk dari graf berarah dan adalah graf , dimana dan didefinisikan sebagai berikut:

Untuk setiap

( ) ( ) Contoh 3.1.6

Diberikan graf berarah dengan , dimana dan , dan graf dengan , dimana dan . Maka graf , dimana

,

, dan

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) Graf dapat diilustrasikan sebagai berikut

23

Azico Sudhagama, 2014

Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu …

� 3.2 Lintasan Pada Graf Berarah

Berikut ini akan dibahas konsep lintasan berhingga dan lintasan tak hingga pada sebuah graf berarah, dan juga akan dibahas himpunan silinder.

Definisi 3.2.1: Lintasan Berhingga (Raeburn, 2005: 9)

Lintasan dengan panjang dari graf berarah merupakan barisan … dari sisi-sisi di sedemikian sehingga untuk .

Selanjutnya dituliskan | | untuk panjang dari . Himpunan merupakan himpunan dari lintasan-lintasan dengan panjang . dapat diilustrasikan sebagai berikut

Dari ilustrasi tersebut, diperoleh …

…

…

…

Selanjutnya definisikan ⋃ . Kemudian, kita perluas pemetaan range dan source ke dengan menetapkan dan _{| |} untuk | | , dan untuk .

24

Azico Sudhagama, 2014

Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

…

Jika dan merupakan lintasan-lintasan dengan , kita tulis untuk lintasan … _{| |} … _{| |}.

Untuk himpunan dari titik-titik dan himpunan dari lintasan-lintasan , kita definisikan dan . Selanjutnya, jika , kita notasikan yang artinya dan untuk .

Definisi 3.2.2: Lintasan Tak Hingga (KPRR, 1997: 5)

Lintasan tak hingga dari graf berarah merupakan barisan … … sedemikian sehingga untuk .

Jika lintasan-lintasan dan dengan , kita tulis untuk lintasan … _{| |} ….

Kita perluas pemetaan range ke dengan menetapkan dan untuk himpunan dari titik-titik , kita definisikan .

Ilustrasi lintasan tak hingga dari graf berarah sebagai berikut

Definisi 3.2.3: Himpunan Silinder (Webster, 2010: 12) Untuk , kita definisikan himpunan silinder dari oleh

25

Azico Sudhagama, 2014

Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

… …

� ′

′′

Himpunan silinder dari lintasan adalah lintasan yang berada di , dimana merupakan faktor dari . Ilustrasi dari himpunan silinder sebagai berikut

Dari ilustrasi tersebut, dapat dilihat bahwa terdapat barisan … dan ′ ′ …sedemikian sehingga membentuk barisan baru … ′ ′ .

31

Azico Sudhagama, 2014

Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan bahasan pada bab sebelumnya, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1. Untuk suatu graf berarah baris-berhingga, merupakan basis untuk subruang lintasan tak hingga yang diwariskan dari topologi produk ∏ .

2. Topologi untuk ruang lintasan tak hingga adalah topologi kompak lokal Hausdorff.

5.2 Rekomendasi

Adapun saran yang dapat disampaikan penulis bagi peniliti lain yang tertarik untuk mengkaji ruang lintasan ke depannya adalah sebagai berikut:

1. Melalui pendekatan groupoid untuk aljabar- graf, dengan memandang ruang lintasan tak hingga dengan topologi kompak lokal Hausdorff dari graf berarah baris-berhingga sebagai unit space dari groupoid .

2. Dalam skripsi ini, penulis membahas ruang lintasan tak hingga dari graf berarah baris-berhingga. Untuk penelitian lebih lanjut, dapat juga dibahas ruang lintasan tak hingga untuk kasus graf berarah.

Azico Sudhagama, 2014

Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

REFERENSI

Hu, Sze-Tsen. (1969). Elements of General Topology, Third Edition. San Fransisco: Holden-Day, Inc.

Johnston, A. dan Reynolds, A. (2009). -Algebras of Graph Products. Dalam Research Experiences for Undergraduates, Canisius College.

Kumjian, Pask, Raeburn, Renault. (1997). Graphs, Groupoids and Cuntz-Krieger Algebras. Dalam J. Func. Anal. 144, 505-541.

Munkres, J.R. (1975). Topology, Second Edition. New Jersey: Prentice Hall, Inc.

Raeburn, I. (2005). Graph Algebras. Rhode Island: American Mathematical Society.

Renault, J. (1980). A Groupoid Approach to Algebras. New York: Springer-Verlag.

Webster, S.B. (2010). Directed Graphs and K-graphs: Topology of The Path Space and How It Manifests In The Associated -Algebra. Tesis Doktor School of Mathematics and Applied Statistics, University Wollongong: tidak diterbitkan.

Universitas Pendidikan Indonesia. (2010). Pedoman Penulisan Karya Ilmiah. Bandung: UPI Press.

Produk dari graf berarah dan adalah graf

, dimana dan didefinisikan sebagai berikut: Untuk setiap

( ) ( ) Contoh 3.1.6

Diberikan graf berarah dengan , dimana dan

, dan graf dengan , dimana dan . Maka graf , dimana

,

, dan

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

…

�

3.2 Lintasan Pada Graf Berarah

Berikut ini akan dibahas konsep lintasan berhingga dan lintasan tak hingga pada sebuah graf berarah, dan juga akan dibahas himpunan silinder.

Definisi 3.2.1: Lintasan Berhingga (Raeburn, 2005: 9)

Lintasan dengan panjang dari graf berarah merupakan barisan … dari sisi-sisi di sedemikian sehingga untuk .

Selanjutnya dituliskan | | untuk panjang dari . Himpunan merupakan himpunan dari lintasan-lintasan dengan panjang . dapat diilustrasikan sebagai berikut

Dari ilustrasi tersebut, diperoleh

…

…

…

…

Selanjutnya definisikan ⋃ . Kemudian, kita perluas pemetaan range dan source ke dengan menetapkan dan _{| |} untuk | | , dan untuk .

…

Jika dan merupakan lintasan-lintasan dengan , kita tulis untuk lintasan … _{| |} … _{| |}.

Untuk himpunan dari titik-titik dan himpunan dari lintasan-lintasan , kita definisikan dan . Selanjutnya, jika , kita notasikan yang artinya dan untuk .

Definisi 3.2.2: Lintasan Tak Hingga (KPRR, 1997: 5)

Lintasan tak hingga dari graf berarah merupakan barisan … … sedemikian sehingga untuk .

Jika lintasan-lintasan dan dengan , kita tulis untuk lintasan … _{| |} ….

Kita perluas pemetaan range ke dengan menetapkan dan untuk himpunan dari titik-titik , kita definisikan .

Ilustrasi lintasan tak hingga dari graf berarah sebagai berikut

Definisi 3.2.3: Himpunan Silinder (Webster, 2010: 12)

Untuk , kita definisikan himpunan silinder dari oleh

… …

� ′

′′

Himpunan silinder dari lintasan adalah lintasan yang berada di , dimana merupakan faktor dari . Ilustrasi dari himpunan silinder sebagai berikut

Dari ilustrasi tersebut, dapat dilihat bahwa terdapat barisan … dan

31

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan bahasan pada bab sebelumnya, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1. Untuk suatu graf berarah baris-berhingga, merupakan basis untuk subruang lintasan tak hingga yang diwariskan dari topologi produk ∏ .

2. Topologi untuk ruang lintasan tak hingga adalah topologi kompak lokal Hausdorff.

5.2 Rekomendasi

Adapun saran yang dapat disampaikan penulis bagi peniliti lain yang tertarik untuk mengkaji ruang lintasan ke depannya adalah sebagai berikut:

1. Melalui pendekatan groupoid untuk aljabar- graf, dengan memandang ruang lintasan tak hingga dengan topologi kompak lokal Hausdorff dari graf berarah baris-berhingga sebagai unit space dari groupoid .

2. Dalam skripsi ini, penulis membahas ruang lintasan tak hingga dari graf berarah baris-berhingga. Untuk penelitian lebih lanjut, dapat juga dibahas

REFERENSI

Hu, Sze-Tsen. (1969). Elements of General Topology, Third Edition. San Fransisco: Holden-Day, Inc.

Johnston, A. dan Reynolds, A. (2009). -Algebras of Graph Products. Dalam Research Experiences for Undergraduates, Canisius College.

Kumjian, Pask, Raeburn, Renault. (1997). Graphs, Groupoids and Cuntz-Krieger Algebras. Dalam J. Func. Anal. 144, 505-541.

Munkres, J.R. (1975). Topology, Second Edition. New Jersey: Prentice Hall, Inc.

Raeburn, I. (2005). Graph Algebras. Rhode Island: American Mathematical Society.

Renault, J. (1980). A Groupoid Approach to Algebras. New York: Springer-Verlag.

Webster, S.B. (2010). Directed Graphs and K-graphs: Topology of The Path Space and How It Manifests In The Associated -Algebra. Tesis Doktor School of Mathematics and Applied Statistics, University Wollongong: tidak diterbitkan.

Universitas Pendidikan Indonesia. (2010). Pedoman Penulisan Karya Ilmiah. Bandung: UPI Press.