problem solving pak sigit

Memecahkan Masalah yang Berkaitan dengan Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
Oleh:
Sigit Tri Guntoro

1.

Dua orang berselisih mengenai banyaknya pasangan bilangan bulat
persamaan

,

yang memenuhi

. Orang pertama mengatakan penyelesaiannya tak hingga dan

orang kedua mengatakan berhingga. Buktikan mana yang benar?
Penyelesaian:
Soal di atas bentuknya menemukan sehingga dapat dilakukan metode trial and check, seperti
pada umumnya. Tetapi karena yang diperlukan “semua pasangan berurutan” maka dengan trial
saja tidak cukup. Oleh karena itu diperlukan cara lain yaitu mendaftar semua kemungkinan.
Cara ini memerlukan kejelian, ketelitian dan analisis yang mendalam.

Perhatikan dan cermati pembahasan berikut.
Menentukan semua pasangan bilangan bulat

,

yang memenuhi

(1)
Untuk

bulat negatif jelas tidak mungkin karena tidak menghasilkan

2

Untuk

= 0 maka 1 + 2 x + 2 2 x +1 = y 2 ⇔ 1 + 2 0 + 21 = y 2 ⇔ 4

. Jadi

bulat
2 atau

2. Sehingga diperoleh (0,2) dan (0,-2) merupakan salah satu penyelesaiannya.
1 maka 1 + 2 x + 2 2 x +1 = y 2 ⇔ 1 + 2 1 + 2 3 = y 2 ⇔ 11

Untuk
bulat

. Tidak ada bilangan

yang memenuhi.
2

Observasi untuk

Misalkan pasangan bilangan bulat
2 dan jelas
Dengan demikian

0
,

dan

,

memenuhi (1) maka

(2)
,

merupakan solusinya.

Dengan tidak mengurangi keumuman, ambil b yang positif. Karena (a,b) memenuhi (1) maka

1 + 2 a + 2 2 a+1 = b 2 ⇔ 2 a + 2 2 a +1 = b 2 − 1
⇔ 2 a (1 + 2 a+1 ) = b 2 − 1 = (b − 1)(b + 1)

(3)

Dari hasil ini nampak bahwa (b − 1)(b + 1) genap karena kelipatan 2. Jelas bahwa keduanya baik

(b − 1) maupun (b + 1) genap, khususnya salah satu factor pasti habis dibagi 4 (ingat: dua
bilangan genap berurutan pasti salah satu merupakan kelipatan 4). Mengingat (1), (2) dan (3)
maka

3.

Selanjutnya,

2a (1 + 2 a +1 ) = (b − 1)(b + 1) ⇔ 1 + 2 a +1 =

(b − 1)(b + 1)
.
2a

Karena 1 + 2 a+1 ganjil maka (b − 1) dan (b + 1) keduanya tidak habis dibagi 2a. Disamping itu,
untuk (b + 1) habis dibagi 4 maka

1 + 2a+1 =

(b − 1)(b + 1) (b − 1)(b + 1) A(b + 1)
,untuk A ganjil. Berarti A tidak habis dibagi
=
=
2a
2.2 a−1.
2a−1

2a−1 . Akibatnya (b + 1) habis dibagi 2a−1 . Dengan cara yang sama, untuk (b − 1) habis dibagi 4
maka (b − 1) habis dibagi 2 a−1
(i)

Kasus 1: (b − 1) habis dibagi 4
Maka (b − 1) = 2 a−1 m dan m ganjil karena (b − 1) tidak habis dibagi 2 a . Atau ditulis

b = 2 a −1 m + 1
Substitusi ke (1), sehingga diperoleh

1 + 2a + 22a+1 = (2 a−1 m + 1) 2
⇔ 2a + 2 2a+1 = (2 a−1 m + 1) 2 − 1
⇔ 2 a (1 + 2 a+1 ) = 2 2 a−2 m 2 + 2 a m = 2 a.2 a−2 m 2 + 2 a m
⇔ 1 + 2a+1 = 2 a−2 m 2 + m ⇔ 1 –m = 2 a−2 m 2 – 2 a+1 ….. (4)
⇔ 1 – m = 2 a−2 m 2 – 2 a+1 = 2 a−2 ( m 2 − 8)
Dari sini diperoleh

2 ( m 2 − 8)

⇔
. Mengingat

, dengan penyelesaian

bilangan ganjil positip maka diperoleh

.

Kemudian disubstitusike (4), sehingga diperoleh
= 2a−212 – 2a+1 ⇔ 2 a−2 = 2 a+1 . Tidak ada nilai

untuk
(ii) Kasus 2:

yang memenuhi persamaan ini. Jadi

tidak berlaku.
habis dibagi 4

Maka (b + 1) = 2 a−1 m dan m ganjil karena (b + 1) tidak habis dibagi 2 a . Atau ditulis

b = 2 a−1 m − 1

Substitusike (1), sehingga diperoleh

1 + 2 a + 22 a+1 = (2 a−1 m − 1) 2
a
2 a +1
⇔2 + 2
= (2 a−1 m − 1) 2 − 1

⇔ 2 a (1 + 2 a+1 ) = 2 2 a−2 m 2 − 2 a m = 2 a.2 a−2 m 2 − 2 a m
⇔ 1 + 2a+1 = 2 a−2 m 2 − m ⇔ 1 +m = 2 a−2 m 2 – 2 a +1

…. (5)

⇔ 1 +m = 2 a−2 m 2 – 2 a +1 = 2 a−2 (m2 − 8) ≥ 2 (m 2 − 8)
dengan penyelesaian

Dari sini diperoleh

. Mengingat m bilangan ganjil positip maka diperoleh
. Untuk

, jika disubstitusi ke (5) menghasilkan

m=1 tidak berlaku (sama seperti kasus 1). Untuk
diperoleh

atau

yang tidak bulat. Berarti

maka dengan menggunakan (5)

. Selanjutnya dengan menggunakan (1) diperoleh

. Karena

juga merupakan penyelesaian maka didapatkan penyelesaian
dan

.

Dengan demikiandi peroleh kesimpulanbahwa solusi da ri (1) adalah (0,2), (0,-2), (4,23) dan
(4,-23).Jadi orang kedua yang benar.
2.

Suatu tim pemadam kebakaran sedang mengadakan latihan.
Di area latihan ada gang sempit yang berada di antara Gedung 1 dan Gedung 2 seperti tampak
pada gambar.

Gang tersebut tidak dapat digunakan untuk berpapasan, sehingga dibuat aturan: masuk dari A
dan keluar melalui B. Pada suatu saat, ketika ada 30 orang petugas berada di dalam gang, tiba-

tiba terjadi kebakaran di sekeliling gedung. Mereka panik, sehingga tidak memperhatikan arah,
banyak sekali terjadi tabrakan diantara petugas, yang penting dapat keluar menuju pintu A atau
B untuk menyelamat kandiri sekaligus memadamkan api. Setiap terjadi tabrakan, mereka akan
berbalik arah karena gang tidak bisa untuk berpapasan. Biasanya waktu yang diperlukan untuk
melewati gang (dari A ke B atau sebaliknya) adalah 2 menit. Sementara itu waktu yang
diperlukan untuk memadamkan api diperkirakan mengikuti rumus

menit, dengan

adalah waktu (dalam menit) yang digunakan untuk semua petugas keluar dari gang. Berapa
lama api dapat dipadamkan? (diasumsikan: setiap petugas mempunyai kemampuan sama
dalam segala hal)
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan masalah ini, sederhanakan dahulu permasalahannya.
Misalkan seorang petugas masuk gang melalui A. Kemudian bertemu dengan petugas lain yang
masuk melalui B di C dan mereka berbalik arah. Keduanya berkecepatan sama. Perhatikan ilustrasi di

bawah.
v

v

B

A

C
B

A

C
v

v

B

A

C

Perhatikan bahwa karena kecepatan kedua orang sama maka sebenarnya tidak ada perbedaan
waktu (yang diperlukan untuk mereka keluar dari gang) antara berpapasan dan balik arah.
Kembali pada masalah awal, karena waktu yang diperlukanuntuk melewati gang adalah 2 menit dan
tidak ada perbedaan waktu (yang diperlukan untuk mereka keluar dari gang) antara berpapasan dan
balik arah, maka waktu yang diperlukan untuk 30 petugas keluar dari gang adalah 2 menit. Jadi
waktu yang diperlukan untuk memadamkan api adalah e2 menit.