UJIAN AKHIR SEMESTER LAPORAN SISTEM DIGI (1)
UJIAN AKHIR SEMESTER
LAPORAN SISTEM DIGITAL
KOMPLEMENTASI ALJABAR BOOLEAN
Nama : Alfian Rizaldi
NIM : DBC 116 093
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS PALANGKA RAYA
2017
BAB I
TUJUAN, ALAT, DAN BAHAN
TUJUAN
1. Memahami operasi dan hukum dasar aljabar Boolean.
2. Membuktikan hukum komplementasi menurut aljabar Boolean
ALAT
1. Aplikasi simulasi gerbang logika (Saya menggunakan aplikasi Logisim).
BAHAN
Sistem Aljabar Boolean yaitu suatu sistem aljabar yang hanya memiliki dua
macamkonstanta, yaitu 0 dan 1. Dimana dua konstanta ini (0 dan 1) digunakan
untuk menggambarkan (mewakili) keadaan (state) suatu terminal.
Keadaan (state ini) padaumumnya dianalogikan dengan level tegangan. Dalam
Aljabar Boolean, besaran yang dapat berubah/ variable (dapat bernilai 0 atau 1)
dituliskan dengan simbol huruf misal A, B, Cdan sebagainya. Variable aljabar
boolean sering digunakan untuk menyajikan suatu tingkat tegangan pada terminal
suatu rangkaian.
Definisi Aljabar Boolean
Misalkan terdapat :
Dua operator biner : + ( OR ) dan ( AND)
Sebuah operator uner : ’.
B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +,, dan ’
0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Tupel (B, +, • , ’) disebut Aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c Î B
berlaku
aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:
1. Closure :(i) a + b Î B
(ii) a • b Î B
2. Identitas :(i) a + 0 = a
(ii) a • 1 = a
3. Komutatif :(i) a + b = b + a
(ii) a • b = b • a
4. Distributif :(i) a • (b + c) = (a• b) + (a • c)
(ii) a + (b • c) = (a + b) • (a + c)
5. Komplemen:
(i) a + a’ = 1
(ii) a • a’ = 0
Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:
1. Elemen-elemen himpunan B,
2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,
3. Memenuhi postulat Huntington.
Aljabar Boolean Dua-Nilai
Aljabar Boolean dua-nilai:
B = {0, 1}
operator biner, + dan •
operator uner, ’
Kaidah untuk operator biner dan operator uner:
A b a × b a B a + b A a’
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0 0 1
1 1 0
1
1
Cek apakah memenuhi postulat Huntington:
1. Closure : jelas berlaku
2. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:
(i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii) 1 × 0 = 0 × 1 = 0
3. Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator
biner.
4. Distributif:
(i) a × (b + c) = (a × b) + (a × c) dapat ditunjukkan benar dari tabel
operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran:
A b c b + c a × (b + c) a × b a × c (a × b) + (a × c)
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
(ii) Hukum distributif a + (b × c) = (a + b) × (a + c) dapat ditunjukkan
benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama
seperti (i).
5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel diatas memperlihatkan
bahwa:
(i) a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
(ii) a × a = 0, karena 0 × 0’= 0 × 1 = 0 dan 1 × 1’ = 1 × 0 = 0
Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B
= {0, 1}
bersama-sama dengan operator biner + dan × operator komplemen ‘
merupakan
aljabar Boolean.
BAB II
LANGKAH PERCOBAAN
PROSEDUR PERCOBAAN
\
Buktikan hukum komplementasi dari gerbang logika diatas menurut
aljabar Boolean.
BAB III
PEMBAHASAN
Buktikan hukum komplementasi dari gerbang logika di bawah menurut
aljabar Boolean.
Dalam rangkaian diatas terdapat 3 gerbang logika yang sama, yaitu
gerbang NAND5, NAND6, NAND13, Input rangkaian di A, Dan output
nya merupakan LED.
Sebelum membahas lebih dalam kita harus mengetahui seperti apa gerbang
NAND
PERCOBAAN GERBANG NAND5
Gambar ini merupakan potongan dari rangkaian logika diatas, didalam gambar
di sebelah Kiri ini terlihat jelas bahwa gerbang NAND5 yang memiliki kedua
inputan yang sama sama 0, Maka outputnya adalah 1.
Sedangkan gambar di Kanan ini terlihat jelas bahwa gerbang NAND5 yang
memiliki kedua inputan yang sama sama 1, Maka outputnya adalah 0.
PERCOBAAN GERBANG NAND6
Gambar ini merupakan potongan dari rangkaian logika diatas, didalam gambar
di sebelah Kiri ini terlihat jelas bahwa gerbang NAND6 yang memiliki inputan 1
dan 0, Maka outputnya adalah 1.
Sedangkan gambar di Kanan ini terlihat jelas bahwa gerbang NAND6 yang
memiliki inputan 0 dan 1, Maka outputnya adalah 1
PERCOBAAN GERBANG NAND13
.
Didalam gambar di sebelah Kiri ini terlihat jelas bahwa gerbang NAND13
ketika inputan awalnya 0 maka kedua inputan gerbang NAND13 adalah sama
sama 1, jadi outputnya (Y) adalah 0
Sedangkan gambar di Kanan ini terlihat jelas bahwa gerbang NAND13 ketika
inputan awalnya 1 maka kedua inputan gerbang NAND13 adalah sama sama 1,
jadi outputnya (Y) adalah 0.
Dari percobaan tadi kita dapat membuktikan bahwa:
Hukum Komplementasi
A’+A = 1
dan
A’. A= 0
TABEL KEBENARAN
Ini merupakan tabel kebenaran dari percobaan
menggunakan rangkaian logika diatas
A
0
1
A’
1
0
Y
0
0
BAB IV
KESIMPULAN
Sistem Aljabar Boolean yaitu suatu sistem aljabar yang hanya memiliki
dua macamkonstanta, yaitu 0 dan 1. Dimana dua konstanta ini (0 dan 1)
digunakan untuk menggambarkan (mewakili) keadaan (state) suatu
terminal.
Keadaan (state ini) padaumumnya dianalogikan dengan level tegangan.
Dalam Aljabar Boolean, besaran yang dapat berubah/ variable (dapat
bernilai 0 atau 1) dituliskan dengan simbol huruf misal A, B, Cdan
sebagainya. Variable aljabar boolean sering digunakan untuk menyajikan
suatu tingkat tegangan pada terminal suatu rangkaian. Komplemen dari 0
adalah 1, dan komplemen dari 1 adalah 0.
Hukum Komplementasi
A’+A = 1
dan
A’. A= 0
Dimana tanda (') menandakan komplementasi,
nama lain untuk komplementasi adalah inversi.
BAB VI
LAMPIRAN
PERCOBAAN GERBANG NAND5
PERCOBAAN GERBANG NAND6
PERCOBAAN GERBANG NAND13
.
BAB V
DAFTAR PUSTAKA
http://www.academia.edu/9750307/TEORI_ALJABAR_BOOLEAN_
TEORI_ALJABAR_BOOLEAN
http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab2aljabar_boolean.pdf
LAPORAN SISTEM DIGITAL
KOMPLEMENTASI ALJABAR BOOLEAN
Nama : Alfian Rizaldi
NIM : DBC 116 093
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS PALANGKA RAYA
2017
BAB I
TUJUAN, ALAT, DAN BAHAN
TUJUAN
1. Memahami operasi dan hukum dasar aljabar Boolean.
2. Membuktikan hukum komplementasi menurut aljabar Boolean
ALAT
1. Aplikasi simulasi gerbang logika (Saya menggunakan aplikasi Logisim).
BAHAN
Sistem Aljabar Boolean yaitu suatu sistem aljabar yang hanya memiliki dua
macamkonstanta, yaitu 0 dan 1. Dimana dua konstanta ini (0 dan 1) digunakan
untuk menggambarkan (mewakili) keadaan (state) suatu terminal.
Keadaan (state ini) padaumumnya dianalogikan dengan level tegangan. Dalam
Aljabar Boolean, besaran yang dapat berubah/ variable (dapat bernilai 0 atau 1)
dituliskan dengan simbol huruf misal A, B, Cdan sebagainya. Variable aljabar
boolean sering digunakan untuk menyajikan suatu tingkat tegangan pada terminal
suatu rangkaian.
Definisi Aljabar Boolean
Misalkan terdapat :
Dua operator biner : + ( OR ) dan ( AND)
Sebuah operator uner : ’.
B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +,, dan ’
0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Tupel (B, +, • , ’) disebut Aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c Î B
berlaku
aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:
1. Closure :(i) a + b Î B
(ii) a • b Î B
2. Identitas :(i) a + 0 = a
(ii) a • 1 = a
3. Komutatif :(i) a + b = b + a
(ii) a • b = b • a
4. Distributif :(i) a • (b + c) = (a• b) + (a • c)
(ii) a + (b • c) = (a + b) • (a + c)
5. Komplemen:
(i) a + a’ = 1
(ii) a • a’ = 0
Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:
1. Elemen-elemen himpunan B,
2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,
3. Memenuhi postulat Huntington.
Aljabar Boolean Dua-Nilai
Aljabar Boolean dua-nilai:
B = {0, 1}
operator biner, + dan •
operator uner, ’
Kaidah untuk operator biner dan operator uner:
A b a × b a B a + b A a’
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0 0 1
1 1 0
1
1
Cek apakah memenuhi postulat Huntington:
1. Closure : jelas berlaku
2. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:
(i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii) 1 × 0 = 0 × 1 = 0
3. Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator
biner.
4. Distributif:
(i) a × (b + c) = (a × b) + (a × c) dapat ditunjukkan benar dari tabel
operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran:
A b c b + c a × (b + c) a × b a × c (a × b) + (a × c)
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
(ii) Hukum distributif a + (b × c) = (a + b) × (a + c) dapat ditunjukkan
benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama
seperti (i).
5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel diatas memperlihatkan
bahwa:
(i) a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
(ii) a × a = 0, karena 0 × 0’= 0 × 1 = 0 dan 1 × 1’ = 1 × 0 = 0
Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B
= {0, 1}
bersama-sama dengan operator biner + dan × operator komplemen ‘
merupakan
aljabar Boolean.
BAB II
LANGKAH PERCOBAAN
PROSEDUR PERCOBAAN
\
Buktikan hukum komplementasi dari gerbang logika diatas menurut
aljabar Boolean.
BAB III
PEMBAHASAN
Buktikan hukum komplementasi dari gerbang logika di bawah menurut
aljabar Boolean.
Dalam rangkaian diatas terdapat 3 gerbang logika yang sama, yaitu
gerbang NAND5, NAND6, NAND13, Input rangkaian di A, Dan output
nya merupakan LED.
Sebelum membahas lebih dalam kita harus mengetahui seperti apa gerbang
NAND
PERCOBAAN GERBANG NAND5
Gambar ini merupakan potongan dari rangkaian logika diatas, didalam gambar
di sebelah Kiri ini terlihat jelas bahwa gerbang NAND5 yang memiliki kedua
inputan yang sama sama 0, Maka outputnya adalah 1.
Sedangkan gambar di Kanan ini terlihat jelas bahwa gerbang NAND5 yang
memiliki kedua inputan yang sama sama 1, Maka outputnya adalah 0.
PERCOBAAN GERBANG NAND6
Gambar ini merupakan potongan dari rangkaian logika diatas, didalam gambar
di sebelah Kiri ini terlihat jelas bahwa gerbang NAND6 yang memiliki inputan 1
dan 0, Maka outputnya adalah 1.
Sedangkan gambar di Kanan ini terlihat jelas bahwa gerbang NAND6 yang
memiliki inputan 0 dan 1, Maka outputnya adalah 1
PERCOBAAN GERBANG NAND13
.
Didalam gambar di sebelah Kiri ini terlihat jelas bahwa gerbang NAND13
ketika inputan awalnya 0 maka kedua inputan gerbang NAND13 adalah sama
sama 1, jadi outputnya (Y) adalah 0
Sedangkan gambar di Kanan ini terlihat jelas bahwa gerbang NAND13 ketika
inputan awalnya 1 maka kedua inputan gerbang NAND13 adalah sama sama 1,
jadi outputnya (Y) adalah 0.
Dari percobaan tadi kita dapat membuktikan bahwa:
Hukum Komplementasi
A’+A = 1
dan
A’. A= 0
TABEL KEBENARAN
Ini merupakan tabel kebenaran dari percobaan
menggunakan rangkaian logika diatas
A
0
1
A’
1
0
Y
0
0
BAB IV
KESIMPULAN
Sistem Aljabar Boolean yaitu suatu sistem aljabar yang hanya memiliki
dua macamkonstanta, yaitu 0 dan 1. Dimana dua konstanta ini (0 dan 1)
digunakan untuk menggambarkan (mewakili) keadaan (state) suatu
terminal.
Keadaan (state ini) padaumumnya dianalogikan dengan level tegangan.
Dalam Aljabar Boolean, besaran yang dapat berubah/ variable (dapat
bernilai 0 atau 1) dituliskan dengan simbol huruf misal A, B, Cdan
sebagainya. Variable aljabar boolean sering digunakan untuk menyajikan
suatu tingkat tegangan pada terminal suatu rangkaian. Komplemen dari 0
adalah 1, dan komplemen dari 1 adalah 0.
Hukum Komplementasi
A’+A = 1
dan
A’. A= 0
Dimana tanda (') menandakan komplementasi,
nama lain untuk komplementasi adalah inversi.
BAB VI
LAMPIRAN
PERCOBAAN GERBANG NAND5
PERCOBAAN GERBANG NAND6
PERCOBAAN GERBANG NAND13
.
BAB V
DAFTAR PUSTAKA
http://www.academia.edu/9750307/TEORI_ALJABAR_BOOLEAN_
TEORI_ALJABAR_BOOLEAN
http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab2aljabar_boolean.pdf