Penyelesaian Program Bilangan Bulat Campuran Dua Kriteria dengan Menggunakan Metode Branch and Cut
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, ilmu mengenai operasi riset banyak digunakan dan
diterapkan oleh manusia, terutama diterapkan pada bidang ekonomi yaitu pada
dunia usaha. Setiap pelaku usaha atau pelaku ekonomi pasti melakukan apa yang
disebut dengan prinsip ekonomi, yaitu dengan usaha atau modal yang sedikit
mampu menghasilkan keuntungan yang banyak, sehingga muncullah masalah
optimisasi. Masalah optimisasi tersebut meliputi meminimumkan biaya atau
memaksimumkan keuntungan dengan kapasitas sumber daya yang ada agar
mampu mendapatkan hasil yang optimal.
Program linier klasik pertama kali diperkenalkan oleh George Dantzig
yang pada awalnya banyak dipakai pada bidang perencanaan militer, khususnya
dalam perang dunia II oleh angkatan bersenjata Amerika Serikat dan Inggris
metode pengerjaan program linier umumnya menggunakan metode grafik dan
metode simpleks. Program linier merupakan sebagai instrumen pengambilan
keputusan yang berkaitan dengan pengalokasian sumber daya dalam mencapai
tujuan tertentu. Sumber daya berupa uang, tenaga kerja, material, mesin, fasilitas,
ilmu pengetahuan, teknologi, keahlian, waktu dan ruang. Sumber daya ini sifatnya
terbatas. Dengan demikian, program linier berperan sebagai alat untuk membantu
dalam pengambilan keputusan manajemen dengan cara mengidentifikasi
kombinasi sumber daya yang tersedia sehingga tujuan yang diinginkan dapat
tercapai dengan optimal. Sejak diperkenalkan di akhir dasawarsa pada tahun 1940
program linier telah terbukti merupakan salah satu alat operasi riset yang efektif.
Keberhasilannya berakar dari keluasannya dalam menjabarkan berbagai situasi
kehidupan nyata seperti di bidang militer, industri dan bidang yang lain.
Universitas Sumatera Utara
Dalam pengambilan suatu keputusan, permasalahan dalam dunia nyata
memiliki lebih dari satu tujuan. Hal ini menandakan bahwa program linier standar
yang hanya mengoptimalkan satu tujuan atau satu kriteria (single-criteria) tidak
selalu efektif dalam pengambilan suatu keputusan.
Bicriteria Linear Programming (BLP) merupakan suatu kasus khusus dari
multi-objective linear programming di mana pada bicriteria linear programming
terdapat dua tujuan (biobjective), bicriteria disebut juga dengan biobjective.
Program bilangan bulat campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer
programming) dapat dilihat sebagai bentuk pengembangan dari integer
programming yang dapat digunakan dalam pengambilan keputusan di dalam
kehidupan
sehari-hari,
misalnya
perencanaan,
logistik,
alokasi
barang,
penjadwalan, routing dan sebagainya. Program bilangan bulat campuran dua
kriteria (bicriteria mixed integer programming) memungkinkan si pembuat
keputusan untuk mempertimbangkan tidak hanya satu tujuan (single-objective)
melainkan dua tujuan (biobjective) secara bersamaan, seperti biaya pengeluaran,
keuntungan, kerusakan mesin, waktu kerja dan sebagainya.
Banyak metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah
program bilangan bulat campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer
programming) yang masing-masing mempunyai kelebihan dan kelemahan.
Memperhatikan hal ini maka penulis mencoba mempelajari metode branch and
cut dalam menyelesaikan masalah program bilangan bulat campuran dua kriteria
(bicriteria mixed integer programming).
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi rumusan masalah yang
akan dibahas adalah bagaimana menyelesaikan persoalan program bilangan bulat
campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming) dengan
menggunakan metode branch and cut.
Universitas Sumatera Utara
1.3 Batasan Masalah
Dalam penulisan ini, penulis hanya membatasi pada persoalan program bilangan
bulat campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming) dengan
menggunakan metode branch and cut.
1.4 Tinjauan Pustaka
Ernawati (2010) dalam makalahnya yang berjudul “Analisis Perubahan Koefisien
Fungsi Tujuan Secara Simpleks pada Masalah Program Linier Bilangan Bulat”
mengatakan bahwa program linier bilangan bulat merupakan suatu program linier
dengan variabel keputusannya merupakan bilangan bulat, sehingga pada bentuk
umum program linier terdapat tambahan syarat bahwa variabel keputusannya
harus bilangan bulat. Pada masalah program linier bilangan bulat untuk pola
memaksimumkan nilai tujuan dari program linier bilangan bulat tidak akan pernah
melebihi nilai tujuan dari program linier. Terdapat tiga macam permasalahan
dalam program linier bilangan bulat, yaitu sebagai berikut:
1. Program bilangan bulat murni (pure integer programming), yaitu program
linier bilangan bulat yang menghendaki semua variabel keputusan harus
merupakan bilangan bulat tidak negatif.
2. Program bilangan bulat campuran (mixed integer programming), yaitu program
linier bilangan bulat yang menghendaki beberapa variabel keputusan harus
merupakan bilangan bulat tidak negatif.
3. Program bilangan bulat biner (zero one integer programming), yaitu program
linier bilangan bulat yang menghendaki semua variabel keputusan harus
bernilai nol atau satu.
Genova dan Guliashki (2011) dalam jurnalnya yang berjudul “Linear
Integer Programming Methods and Approaches – A Survey” mengatakan bahwa
program linier bilangan bulat mengacu pada kelas permasalahan optimisasi
kombinatorial yang berkendala dengan memperoleh
variabel keputusannya
berupa bilangan bulat, di mana fungsi tujuan adalah fungsi linier dan fungsi
Universitas Sumatera Utara
kendalanya juga merupakan fungsi linier dengan tanda persamaan atau
pertidaksamaan. Program linier bilangan bulat pada permasalahan optimasi dapat
dinyatakan sebagai berikut:
maks/min: Z =
kendala:
di mana:
≤, =, ≥
$ = fungsi tujuan
≥ 0, semua bilangan bulat
= koefisien dari variabel keputusan dalam fungsi tujuan
= variabel keputusan
= koefisien dari variabel keputusan dalam fungsi kendala
= sumber daya yang tersedia dalam fungsi kendala
Sari (2013) dalam tulisannya yang berjudul “Analisis Metode Branch and
Bound dalam Mengoptimalkan Jumlah Produksi Roti” menerangkan bahwa
metode branch and bound merupakan salah satu metode dari konsep integer
programming. Pada dasarnya adalah strategi “mencabangkan dan membatasi”.
Metode branch and bound adalah metode umum untuk mencari solusi optimal
dari berbagai permasalahan optimasi. Metode ini juga merupakan teknik solusi
yang tidak terbatas hanya untuk permasalahan integer programming saja. Tetapi
juga merupakan pendekatan solusi yang dapat diterapkan untuk berbagai macam
permasalahan yang berbeda. Prinsip yang mendasari metode branch and bound
yaitu total set solusi yang layak dapat dibagi menjadi subset solusi yang lebih
kecil. Subset ini selanjutnya dapat dievaluasi secara sistematis sampai solusi yang
terbaik ditemukan, penerapan metode branch and bound pada masalah integer
programming digunakan bersama-sama dengan metode simpleks.
Alannuariputri dan Sumarminingsih (2009) dalam jurnalnya yang berjudul
“Integer Programming dengan Pendekatan Metode Branch and Bound dan
Metode Cutting Plane untuk Optimasi Kombinasi Produk” menjelaskan bahwa
metode cutting plane membahas masalah program linier yang belum memperoleh
Universitas Sumatera Utara
solusi optimal berupa bilangan bulat. Misalnya, tabel optimal terakhir untuk
program linier diperoleh, maka pilih sembarang baris tabel optimal simpleks yang
dalam kolom B (solusi) yang memuat pecahan. Misalkan baris ke-i adalah baris
yang terpilih, kemudian pisahkan
dan
menjadi bagian yang bulat dan bagian
pecah.
Sarkar (2010) dalam makalahnya yang berjudul ”Branch and Cut
Algorithms for Combinatorial Optimization Problems” mengatakan bahwa
metode branch and cut memodifikasi strategi dasar branch and bound dengan
mencoba menguatkan Linear Programming Relaxation (LPR) dari permasalahan
Integer Programming (IP) dengan pertidaksaman baru sebelum melakukan
mencabangan solusi bagian, branch and bound murni dapat dipercepat dengan
menggunakan cutting plane baik di awal diagram pohon branch and bound
maupun di tiap-tiap bagian percabangannya, karena cutting plane mampu
mengurangi banyak diagram pohon tersebut. Branch and cut dapat digunakan
dalam penyambungan dengan heuristic untuk memperoleh batas yang lebih
rendah pada nilai optimal dengan menggunakan metode branch and bound.
Albert (2011) dalam makalahnya yang berjudul “Solving Mixed Integer
Linear Programs Using Branch and Cut Method” menjelaskan bahwa metode
branch and cut menggabungkan keuntungan dari metode branch and bound murni
dan metode gomory cutting plane. Menyelesaikan masalah dengan metode branch
and cut akan lebih cepat dibandingkan dengan metode branch and bound saja.
Ralphs et al. (2005) dalam makalahnya yang berjudul “An Improved
Algorithm for Solving Biobjective Integer Programs” mengatakan bahwa bentuk
umum dari Bicriterion Integer Programming (BIP) dapat dituliskan sebagai
berikut:
min: %
kendala:
= &%
, %'
(
≤, =, ≥
≥ 0, semua bilangan bulat
Universitas Sumatera Utara
= fungsi tujuan kriterianya () = 1, 2)
di mana: %
= variabel keputusan
= koefisien dari variabel keputusan dalam fungsi kendala
= sumber daya yang tersedia dalam fungsi kendala
1.5 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan penyelesaian program
bilangan bulat campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming)
dengan menggunakan metode branch and cut.
1.6 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Bahan referensi dalam menambah wawasan penulis dan pembaca dalam
bidang operasi riset yang berhubungan dengan pembahasan program bilangan
bulat campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming),
khususnya dalam metode branch and cut.
2. Informasi kepada pembaca bahwa permasalahan program bilangan bulat
campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming) dapat
diselesaikan dengan menggunakan metode branch and cut.
3. Bahan pertimbangan bagi pembaca dalam menyelesaikan masalah program
bilangan bulat campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming)
dengan menggunakan metode lainnya yang ada pada pembahasan program
bilangan bulat campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming).
Universitas Sumatera Utara
1.7 Metodologi Penelitian
Penelitian ini adalah penelitian literatur yang disusun dengan langkah-langkah
sebagai berikut:
1.
Mencari literatur dari beberapa buku, jurnal, situs dan karya tulis lainnya
yang berhubungan dengan metode branch and cut serta program bilangan
bulat campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming).
2.
Menjelaskan
definisi
linear
programming
dan
klasifikasinya
serta
memaparkan definisi integer programming, klasifikasinya dan metode yang
digunakan dalam menyelesaikannya.
3.
Mejelaskan contoh penyelesaian single objective integer programming
dengan menggunakan metode grafik, metode cutting plane dan metode
branch and bound.
4.
Menjelaskan definisi dari program linier dua kriteria (bicriteria linear
programming).
5.
Memaparkan serta menjelaskan dalam penyelesaian program bilangan bulat
campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming) menggunakan
parametric simplex algorithm diiringi dengan metode branch and cut.
6.
Memberi contoh program bilangan bulat campuran dua kriteria (bicriteria
mixed integer programming) yang diambil dari buku, jurnal, situs ataupun
karya tulis lainnya untuk diselesaikan dengan metode branch and cut.
7.
Menyimpulkan hasil dan informasi dari penyelesaian permasalahan yang
telah diselesaikan.
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, ilmu mengenai operasi riset banyak digunakan dan
diterapkan oleh manusia, terutama diterapkan pada bidang ekonomi yaitu pada
dunia usaha. Setiap pelaku usaha atau pelaku ekonomi pasti melakukan apa yang
disebut dengan prinsip ekonomi, yaitu dengan usaha atau modal yang sedikit
mampu menghasilkan keuntungan yang banyak, sehingga muncullah masalah
optimisasi. Masalah optimisasi tersebut meliputi meminimumkan biaya atau
memaksimumkan keuntungan dengan kapasitas sumber daya yang ada agar
mampu mendapatkan hasil yang optimal.
Program linier klasik pertama kali diperkenalkan oleh George Dantzig
yang pada awalnya banyak dipakai pada bidang perencanaan militer, khususnya
dalam perang dunia II oleh angkatan bersenjata Amerika Serikat dan Inggris
metode pengerjaan program linier umumnya menggunakan metode grafik dan
metode simpleks. Program linier merupakan sebagai instrumen pengambilan
keputusan yang berkaitan dengan pengalokasian sumber daya dalam mencapai
tujuan tertentu. Sumber daya berupa uang, tenaga kerja, material, mesin, fasilitas,
ilmu pengetahuan, teknologi, keahlian, waktu dan ruang. Sumber daya ini sifatnya
terbatas. Dengan demikian, program linier berperan sebagai alat untuk membantu
dalam pengambilan keputusan manajemen dengan cara mengidentifikasi
kombinasi sumber daya yang tersedia sehingga tujuan yang diinginkan dapat
tercapai dengan optimal. Sejak diperkenalkan di akhir dasawarsa pada tahun 1940
program linier telah terbukti merupakan salah satu alat operasi riset yang efektif.
Keberhasilannya berakar dari keluasannya dalam menjabarkan berbagai situasi
kehidupan nyata seperti di bidang militer, industri dan bidang yang lain.
Universitas Sumatera Utara
Dalam pengambilan suatu keputusan, permasalahan dalam dunia nyata
memiliki lebih dari satu tujuan. Hal ini menandakan bahwa program linier standar
yang hanya mengoptimalkan satu tujuan atau satu kriteria (single-criteria) tidak
selalu efektif dalam pengambilan suatu keputusan.
Bicriteria Linear Programming (BLP) merupakan suatu kasus khusus dari
multi-objective linear programming di mana pada bicriteria linear programming
terdapat dua tujuan (biobjective), bicriteria disebut juga dengan biobjective.
Program bilangan bulat campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer
programming) dapat dilihat sebagai bentuk pengembangan dari integer
programming yang dapat digunakan dalam pengambilan keputusan di dalam
kehidupan
sehari-hari,
misalnya
perencanaan,
logistik,
alokasi
barang,
penjadwalan, routing dan sebagainya. Program bilangan bulat campuran dua
kriteria (bicriteria mixed integer programming) memungkinkan si pembuat
keputusan untuk mempertimbangkan tidak hanya satu tujuan (single-objective)
melainkan dua tujuan (biobjective) secara bersamaan, seperti biaya pengeluaran,
keuntungan, kerusakan mesin, waktu kerja dan sebagainya.
Banyak metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah
program bilangan bulat campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer
programming) yang masing-masing mempunyai kelebihan dan kelemahan.
Memperhatikan hal ini maka penulis mencoba mempelajari metode branch and
cut dalam menyelesaikan masalah program bilangan bulat campuran dua kriteria
(bicriteria mixed integer programming).
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi rumusan masalah yang
akan dibahas adalah bagaimana menyelesaikan persoalan program bilangan bulat
campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming) dengan
menggunakan metode branch and cut.
Universitas Sumatera Utara
1.3 Batasan Masalah
Dalam penulisan ini, penulis hanya membatasi pada persoalan program bilangan
bulat campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming) dengan
menggunakan metode branch and cut.
1.4 Tinjauan Pustaka
Ernawati (2010) dalam makalahnya yang berjudul “Analisis Perubahan Koefisien
Fungsi Tujuan Secara Simpleks pada Masalah Program Linier Bilangan Bulat”
mengatakan bahwa program linier bilangan bulat merupakan suatu program linier
dengan variabel keputusannya merupakan bilangan bulat, sehingga pada bentuk
umum program linier terdapat tambahan syarat bahwa variabel keputusannya
harus bilangan bulat. Pada masalah program linier bilangan bulat untuk pola
memaksimumkan nilai tujuan dari program linier bilangan bulat tidak akan pernah
melebihi nilai tujuan dari program linier. Terdapat tiga macam permasalahan
dalam program linier bilangan bulat, yaitu sebagai berikut:
1. Program bilangan bulat murni (pure integer programming), yaitu program
linier bilangan bulat yang menghendaki semua variabel keputusan harus
merupakan bilangan bulat tidak negatif.
2. Program bilangan bulat campuran (mixed integer programming), yaitu program
linier bilangan bulat yang menghendaki beberapa variabel keputusan harus
merupakan bilangan bulat tidak negatif.
3. Program bilangan bulat biner (zero one integer programming), yaitu program
linier bilangan bulat yang menghendaki semua variabel keputusan harus
bernilai nol atau satu.
Genova dan Guliashki (2011) dalam jurnalnya yang berjudul “Linear
Integer Programming Methods and Approaches – A Survey” mengatakan bahwa
program linier bilangan bulat mengacu pada kelas permasalahan optimisasi
kombinatorial yang berkendala dengan memperoleh
variabel keputusannya
berupa bilangan bulat, di mana fungsi tujuan adalah fungsi linier dan fungsi
Universitas Sumatera Utara
kendalanya juga merupakan fungsi linier dengan tanda persamaan atau
pertidaksamaan. Program linier bilangan bulat pada permasalahan optimasi dapat
dinyatakan sebagai berikut:
maks/min: Z =
kendala:
di mana:
≤, =, ≥
$ = fungsi tujuan
≥ 0, semua bilangan bulat
= koefisien dari variabel keputusan dalam fungsi tujuan
= variabel keputusan
= koefisien dari variabel keputusan dalam fungsi kendala
= sumber daya yang tersedia dalam fungsi kendala
Sari (2013) dalam tulisannya yang berjudul “Analisis Metode Branch and
Bound dalam Mengoptimalkan Jumlah Produksi Roti” menerangkan bahwa
metode branch and bound merupakan salah satu metode dari konsep integer
programming. Pada dasarnya adalah strategi “mencabangkan dan membatasi”.
Metode branch and bound adalah metode umum untuk mencari solusi optimal
dari berbagai permasalahan optimasi. Metode ini juga merupakan teknik solusi
yang tidak terbatas hanya untuk permasalahan integer programming saja. Tetapi
juga merupakan pendekatan solusi yang dapat diterapkan untuk berbagai macam
permasalahan yang berbeda. Prinsip yang mendasari metode branch and bound
yaitu total set solusi yang layak dapat dibagi menjadi subset solusi yang lebih
kecil. Subset ini selanjutnya dapat dievaluasi secara sistematis sampai solusi yang
terbaik ditemukan, penerapan metode branch and bound pada masalah integer
programming digunakan bersama-sama dengan metode simpleks.
Alannuariputri dan Sumarminingsih (2009) dalam jurnalnya yang berjudul
“Integer Programming dengan Pendekatan Metode Branch and Bound dan
Metode Cutting Plane untuk Optimasi Kombinasi Produk” menjelaskan bahwa
metode cutting plane membahas masalah program linier yang belum memperoleh
Universitas Sumatera Utara
solusi optimal berupa bilangan bulat. Misalnya, tabel optimal terakhir untuk
program linier diperoleh, maka pilih sembarang baris tabel optimal simpleks yang
dalam kolom B (solusi) yang memuat pecahan. Misalkan baris ke-i adalah baris
yang terpilih, kemudian pisahkan
dan
menjadi bagian yang bulat dan bagian
pecah.
Sarkar (2010) dalam makalahnya yang berjudul ”Branch and Cut
Algorithms for Combinatorial Optimization Problems” mengatakan bahwa
metode branch and cut memodifikasi strategi dasar branch and bound dengan
mencoba menguatkan Linear Programming Relaxation (LPR) dari permasalahan
Integer Programming (IP) dengan pertidaksaman baru sebelum melakukan
mencabangan solusi bagian, branch and bound murni dapat dipercepat dengan
menggunakan cutting plane baik di awal diagram pohon branch and bound
maupun di tiap-tiap bagian percabangannya, karena cutting plane mampu
mengurangi banyak diagram pohon tersebut. Branch and cut dapat digunakan
dalam penyambungan dengan heuristic untuk memperoleh batas yang lebih
rendah pada nilai optimal dengan menggunakan metode branch and bound.
Albert (2011) dalam makalahnya yang berjudul “Solving Mixed Integer
Linear Programs Using Branch and Cut Method” menjelaskan bahwa metode
branch and cut menggabungkan keuntungan dari metode branch and bound murni
dan metode gomory cutting plane. Menyelesaikan masalah dengan metode branch
and cut akan lebih cepat dibandingkan dengan metode branch and bound saja.
Ralphs et al. (2005) dalam makalahnya yang berjudul “An Improved
Algorithm for Solving Biobjective Integer Programs” mengatakan bahwa bentuk
umum dari Bicriterion Integer Programming (BIP) dapat dituliskan sebagai
berikut:
min: %
kendala:
= &%
, %'
(
≤, =, ≥
≥ 0, semua bilangan bulat
Universitas Sumatera Utara
= fungsi tujuan kriterianya () = 1, 2)
di mana: %
= variabel keputusan
= koefisien dari variabel keputusan dalam fungsi kendala
= sumber daya yang tersedia dalam fungsi kendala
1.5 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan penyelesaian program
bilangan bulat campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming)
dengan menggunakan metode branch and cut.
1.6 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Bahan referensi dalam menambah wawasan penulis dan pembaca dalam
bidang operasi riset yang berhubungan dengan pembahasan program bilangan
bulat campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming),
khususnya dalam metode branch and cut.
2. Informasi kepada pembaca bahwa permasalahan program bilangan bulat
campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming) dapat
diselesaikan dengan menggunakan metode branch and cut.
3. Bahan pertimbangan bagi pembaca dalam menyelesaikan masalah program
bilangan bulat campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming)
dengan menggunakan metode lainnya yang ada pada pembahasan program
bilangan bulat campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming).
Universitas Sumatera Utara
1.7 Metodologi Penelitian
Penelitian ini adalah penelitian literatur yang disusun dengan langkah-langkah
sebagai berikut:
1.
Mencari literatur dari beberapa buku, jurnal, situs dan karya tulis lainnya
yang berhubungan dengan metode branch and cut serta program bilangan
bulat campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming).
2.
Menjelaskan
definisi
linear
programming
dan
klasifikasinya
serta
memaparkan definisi integer programming, klasifikasinya dan metode yang
digunakan dalam menyelesaikannya.
3.
Mejelaskan contoh penyelesaian single objective integer programming
dengan menggunakan metode grafik, metode cutting plane dan metode
branch and bound.
4.
Menjelaskan definisi dari program linier dua kriteria (bicriteria linear
programming).
5.
Memaparkan serta menjelaskan dalam penyelesaian program bilangan bulat
campuran dua kriteria (bicriteria mixed integer programming) menggunakan
parametric simplex algorithm diiringi dengan metode branch and cut.
6.
Memberi contoh program bilangan bulat campuran dua kriteria (bicriteria
mixed integer programming) yang diambil dari buku, jurnal, situs ataupun
karya tulis lainnya untuk diselesaikan dengan metode branch and cut.
7.
Menyimpulkan hasil dan informasi dari penyelesaian permasalahan yang
telah diselesaikan.
Universitas Sumatera Utara