Penyelesaian Program Bilangan Bulat Campuran Dua Kriteria dengan Menggunakan Metode Branch and Cut
PENYELESAIAN PROGRAM BILANGAN BULAT CAMPURAN
DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN
METODE BRANCH AND CUT
SKRIPSI
TAUFIK HIDAYAT RITONGA
110803028
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
PENYELESAIAN PROGRAM BILANGAN BULAT CAMPURAN
DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN
METODE BRANCH AND CUT
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar
Sarjana Sains
TAUFIK HIDAYAT RITONGA
110803028
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
: Penyelesaian Program Bilangan Bulat Campuran
Dua Kriteria dengan Menggunakan Metode
Branch and Cut
: Skripsi
: Taufik Hidayat Ritonga
: 110803028
: Sarjana (S1) Matematika
: Matematika
: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
(FMIPA) Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Januari 2015
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si
NIP. 19460404 197107 1 001
Dr. Sawaluddin, M.IT
NIP. 19591231 199802 1 001
Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PENYELESAIAN PROGRAM BILANGAN BULAT CAMPURAN
DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN
METODE BRANCH AND CUT
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Januari 2015
Taufik Hidayat Ritonga
110803028
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT Yang Maha Esa dan Kuasa
atas limpahan rahmat dan karuniaNYA sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.
Pada skripsi ini, penulis mengangkat judul Penyelesaian Program Bilangan Bulat
Campuran Dua Kriteria dengan Menggunakan Metode Branch and Cut.
Terimakasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Sawaluddin, M.IT
selaku pembimbing 1 dan Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si selaku pembimbing
2 yang berkenan dan rela mengorbankan waktu, tenaga dan pikiran guna
memberikan petunjuk dan bimbingannya dalam penulisan skripsi ini. Bapak Dr.
Suyanto, M.Kom dan Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si selaku dosen penguji
yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan
skripsi ini. Terimakasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr.
Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA
USU. Terimakasih kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA
USU, Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh Staff dan Dosen Matematika
FMIPA USU, pegawai FMIPA USU, untuk orang–orang tersayang khususnya
sahabat penulis Franklin, Joe, Nana, Amik, Endang, Lely, Bang Andi, Kak
Rizkika, Kak Mila, Kak Retno, Kak Huide dan seluruh rekan-rekan Matematika
2011 yang tidak bisa diucapkan satu per satu serta semua abang dan kakak senior
stambuk 2010 keatas dan adik-adik junior stambuk 2012, stambuk 2013, stambuk
2014 yang selama ini selalu memberi semangat dan mendo’akan dalam
menyelesaikan skripsi ini. Akhirnya tidak terlupakan kepada Ayahanda tercinta
Zulkifli Ritonga, Ibunda tercinta Hj. Asmi Derimi Dongoran, serta saudara–
saudara penulis yang tersayang Erlina Ritonga, Amd, Safrizal Ritonga, Siti Paisah
Ritonga, Erwinsyah Rambe, Abdul Rahman Tambak, Hari Abdi Rambe dan
Habib Rahman Rambe serta keluarga dari Ayah dan Mama atas segala perhatian,
pengertian, kesabaran, do’a, dukungan dan kasih sayang yang telah diberikan
kepada penulis selama di bangku perkuliahan hingga akhirnya menyelesaikan
skripsi ini.
Universitas Sumatera Utara
Penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam skripsi ini, baik
dalam teori maupun penulisannya. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran
dari pembaca demi perbaikan bagi penulis. Semoga segala bentuk bantuan yang
telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Allah
SWT. Akhir kata penulis berharap semoga tulisan ini bermanfaat bagi para
pembaca.
Universitas Sumatera Utara
PENYELESAIAN PROGRAM BILANGAN BULAT CAMPURAN
DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN
METODE BRANCH AND CUT
ABSTRAK
Metode branch and cut merupakan suatu metode yang digunakan untuk
menyelesaikan masalah linear programming yang menghasilkan berupa
penyelesaian dalam bentuk bilangan bulat (integer), metode ini merupakan
perpaduan metode branch and bound dengan metode cutting plane. Metode ini
selalu digunakan dalam menyelesaikan permasalahan single objective linear
integer programming. Dalam tulisan ini akan ditunjukkan suatu permasalahan dua
kriteria (bicriteria) yang diselesaikan dengan metode branch and cut.
Permasalahan tersebut disebut bicriteria linear programming. Dalam
menyelesaikan permasalahan ini penulis menggunakan parametric simplex
algorithm kemudian diiringi dengan metode branch and cut apabila tidak
diperoleh suatu penyelesaian yang tidak berupa bilangan bulat (integer).
Kata Kunci: Branch and cut, branch and bound, cutting plane, bicriteria linear
programming, parametric simplex algorithm
Universitas Sumatera Utara
SOLVING BICRITERIA MIXED INTEGER PROGRAMMING USING
BRANCH AND CUT METHOD
ABSTRACT
Branch and cut method is a method that used to solve linear programming
problems that deliver the solution in integer form, this method is a mix of branch
and bound method with the cutting plane method. This method is always used in a
single objective problem to solve integer linear programming. A bicriteria
problems that solved by the branch and cut method will be shown in this paper.
These problems are called bicriteria linear programming. The writer use simplex
parametric algorithm to solving this problem then followed by the branch and cut
method, if not obtained a solution that is not an integer.
Keyword: Branch and cut, branch and bound, cutting plane, bicriteria linear
programming, parametric simplex algorithm
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
v
vi
vii
ix
x
xi
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1.2 Perumusan Masalah
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tinjauan Pustaka
1.5 Tujuan Penelitian
1.6 Manfaat Penelitian
1.7 Metodologi Penelitian
1
1
2
3
3
6
6
7
BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Program Linier
2.1.1 Syarat Utama Program Linier
2.1.2 Karakterisrik Program Linier
2.1.3 Asumsi dalam Program Linier
2.1.4 Metode Simpleks
2.2 Program Bilangan Bulat
2.2.1 Program Bilangan Bulat Murni
(Pure Integer Programming)
2.2.2 Program Bilangan Bulat Campuran
(Mixed Integer Programming)
2.2.3 Program Bilangan Bulat Biner
(Binary Integer Programming)
2.3 Metode Penyelesaian Masalah Program Bilangan Bulat
2.3.1 Metode Pendekatan Grafik
2.3.2 Metode Cutting Plane
2.3.3 Metode Branch and Bound
BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Program Linier Dua Kriteria
3.2 Metode Branch and Cut
3.3 Penyelesaian Masalah Program Bilangan Bulat Dua Kriteria
8
8
9
10
11
12
14
15
15
16
17
17
18
25
36
36
38
Universitas Sumatera Utara
dengan Menggunakan Metode Branch and Cut
3.4 Penyelesaian Contoh Kasus Program Bilangan Bulat
Dua Kriteria dengan Menggunakan Metode Branch and Cut
40
45
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
4.2 Saran
61
61
61
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR LAMPIRAN
62
64
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
Tabel
2.1
Bentuk Tabel Simpleks Program Linier
13
2.2
Solusi Optimum Masalah Program Linier
19
2.3
Penambahan Kendala Gomory
21
2.4
Solusi Optimum Contoh 2.2
22
2.5
Penambahan Kendala Gomory Pertama
23
2.6
Solusi Optimum dengan Penambahan Kendala Gomory
Pertama
23
2.7
Penambahan Kendala Gomory Kedua
24
2.8
Solusi Optimum dengan Penambahan Kendala Gomory
Kedua
24
2.9
Solusi Optimum Contoh 2.3
26
2.10
Solusi Optimum pada Bagian A
28
2.11
Solusi Optimum pada Bagian C
29
2.12
Solusi Optimum pada Bagian D
30
2.13
Solusi Optimum pada Bagian E
31
2.14
Solusi Optimum pada Bagian G
33
2.15
Solusi Optimum pada Bagian H
34
3.1
Bentuk Tabel Simpleks Program Linier Dua Kriteria
38
3.2
Bahan Baku dan Jumlah Persediaan Bahan Baku
46
3.3
Bahan Baku Pembuatan Satu Bungkus dan Jumlah Persediaan
Bahan Baku Tipang
46
3.3
Waktu Proses Produksi Satu Jenis Tipang
47
3.3
Pendapatan Penjualan dan Biaya Produksi pada Pembuatan
Jenis Tipang
47
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
Gambar
2.1
Penyelesaian Program Bilangan Bulat dengan
Pendekatan Grafik
2.2
18
Diagram Prosedur Permasalahan dengan Metode
Branch and Bound
3.1
35
Diagram Penyelesaian Permasalahan Program Linier
Dua Kriteria dengan Metode Branch and Cut
3.2
45
Diagram Penyelesaian Contoh Kasus Permasalahan
Program Linier Dua Kriteria dengan
Metode Branch and Cut
59
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor
Judul
Halaman
Lamp
1
Pembahasan Masalah Program Linier Dua Kriteria
Menggunakan Parametric Simplex Algorithm
2
64
Pembahasan Masalah Program Linier Dua Kriteria
dengan Menerapkan Percabangan (Branch)
3
67
Pembahasan Masalah Program Linier Dua Kriteria
dengan Menerapkan Percabangan (Branch)
4
70
Pembahasan Masalah Program Linier Dua Kriteria
dengan Menerapkan Pemotongan (Cut)
5
73
Pembahasan Masalah Program Linier Dua Kriteria
dengan Menerapkan Pemotongan (Cut)
6
76
Pembahasan Contoh Kasus Program Linier Dua Kriteria
Menggunakan Parametric Simplex Algorithm
7
79
Pembahasan Contoh Kasus Program Linier Dua Kriteria
dengan Menerapkan Percabangan (Branch)
8
87
Pembahasan Contoh Kasus Program Linier Dua Kriteria
dengan Menerapkan Percabangan (Branch)
9
95
Pembahasan Contoh Kasus Program Linier Dua Kriteria
dengan Menerapkan Pemotongan (Cut)
97
Universitas Sumatera Utara
DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN
METODE BRANCH AND CUT
SKRIPSI
TAUFIK HIDAYAT RITONGA
110803028
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
PENYELESAIAN PROGRAM BILANGAN BULAT CAMPURAN
DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN
METODE BRANCH AND CUT
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar
Sarjana Sains
TAUFIK HIDAYAT RITONGA
110803028
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
: Penyelesaian Program Bilangan Bulat Campuran
Dua Kriteria dengan Menggunakan Metode
Branch and Cut
: Skripsi
: Taufik Hidayat Ritonga
: 110803028
: Sarjana (S1) Matematika
: Matematika
: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
(FMIPA) Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Januari 2015
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si
NIP. 19460404 197107 1 001
Dr. Sawaluddin, M.IT
NIP. 19591231 199802 1 001
Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PENYELESAIAN PROGRAM BILANGAN BULAT CAMPURAN
DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN
METODE BRANCH AND CUT
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Januari 2015
Taufik Hidayat Ritonga
110803028
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT Yang Maha Esa dan Kuasa
atas limpahan rahmat dan karuniaNYA sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.
Pada skripsi ini, penulis mengangkat judul Penyelesaian Program Bilangan Bulat
Campuran Dua Kriteria dengan Menggunakan Metode Branch and Cut.
Terimakasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Sawaluddin, M.IT
selaku pembimbing 1 dan Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si selaku pembimbing
2 yang berkenan dan rela mengorbankan waktu, tenaga dan pikiran guna
memberikan petunjuk dan bimbingannya dalam penulisan skripsi ini. Bapak Dr.
Suyanto, M.Kom dan Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si selaku dosen penguji
yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan
skripsi ini. Terimakasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr.
Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA
USU. Terimakasih kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA
USU, Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh Staff dan Dosen Matematika
FMIPA USU, pegawai FMIPA USU, untuk orang–orang tersayang khususnya
sahabat penulis Franklin, Joe, Nana, Amik, Endang, Lely, Bang Andi, Kak
Rizkika, Kak Mila, Kak Retno, Kak Huide dan seluruh rekan-rekan Matematika
2011 yang tidak bisa diucapkan satu per satu serta semua abang dan kakak senior
stambuk 2010 keatas dan adik-adik junior stambuk 2012, stambuk 2013, stambuk
2014 yang selama ini selalu memberi semangat dan mendo’akan dalam
menyelesaikan skripsi ini. Akhirnya tidak terlupakan kepada Ayahanda tercinta
Zulkifli Ritonga, Ibunda tercinta Hj. Asmi Derimi Dongoran, serta saudara–
saudara penulis yang tersayang Erlina Ritonga, Amd, Safrizal Ritonga, Siti Paisah
Ritonga, Erwinsyah Rambe, Abdul Rahman Tambak, Hari Abdi Rambe dan
Habib Rahman Rambe serta keluarga dari Ayah dan Mama atas segala perhatian,
pengertian, kesabaran, do’a, dukungan dan kasih sayang yang telah diberikan
kepada penulis selama di bangku perkuliahan hingga akhirnya menyelesaikan
skripsi ini.
Universitas Sumatera Utara
Penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam skripsi ini, baik
dalam teori maupun penulisannya. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran
dari pembaca demi perbaikan bagi penulis. Semoga segala bentuk bantuan yang
telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Allah
SWT. Akhir kata penulis berharap semoga tulisan ini bermanfaat bagi para
pembaca.
Universitas Sumatera Utara
PENYELESAIAN PROGRAM BILANGAN BULAT CAMPURAN
DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN
METODE BRANCH AND CUT
ABSTRAK
Metode branch and cut merupakan suatu metode yang digunakan untuk
menyelesaikan masalah linear programming yang menghasilkan berupa
penyelesaian dalam bentuk bilangan bulat (integer), metode ini merupakan
perpaduan metode branch and bound dengan metode cutting plane. Metode ini
selalu digunakan dalam menyelesaikan permasalahan single objective linear
integer programming. Dalam tulisan ini akan ditunjukkan suatu permasalahan dua
kriteria (bicriteria) yang diselesaikan dengan metode branch and cut.
Permasalahan tersebut disebut bicriteria linear programming. Dalam
menyelesaikan permasalahan ini penulis menggunakan parametric simplex
algorithm kemudian diiringi dengan metode branch and cut apabila tidak
diperoleh suatu penyelesaian yang tidak berupa bilangan bulat (integer).
Kata Kunci: Branch and cut, branch and bound, cutting plane, bicriteria linear
programming, parametric simplex algorithm
Universitas Sumatera Utara
SOLVING BICRITERIA MIXED INTEGER PROGRAMMING USING
BRANCH AND CUT METHOD
ABSTRACT
Branch and cut method is a method that used to solve linear programming
problems that deliver the solution in integer form, this method is a mix of branch
and bound method with the cutting plane method. This method is always used in a
single objective problem to solve integer linear programming. A bicriteria
problems that solved by the branch and cut method will be shown in this paper.
These problems are called bicriteria linear programming. The writer use simplex
parametric algorithm to solving this problem then followed by the branch and cut
method, if not obtained a solution that is not an integer.
Keyword: Branch and cut, branch and bound, cutting plane, bicriteria linear
programming, parametric simplex algorithm
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
v
vi
vii
ix
x
xi
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1.2 Perumusan Masalah
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tinjauan Pustaka
1.5 Tujuan Penelitian
1.6 Manfaat Penelitian
1.7 Metodologi Penelitian
1
1
2
3
3
6
6
7
BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Program Linier
2.1.1 Syarat Utama Program Linier
2.1.2 Karakterisrik Program Linier
2.1.3 Asumsi dalam Program Linier
2.1.4 Metode Simpleks
2.2 Program Bilangan Bulat
2.2.1 Program Bilangan Bulat Murni
(Pure Integer Programming)
2.2.2 Program Bilangan Bulat Campuran
(Mixed Integer Programming)
2.2.3 Program Bilangan Bulat Biner
(Binary Integer Programming)
2.3 Metode Penyelesaian Masalah Program Bilangan Bulat
2.3.1 Metode Pendekatan Grafik
2.3.2 Metode Cutting Plane
2.3.3 Metode Branch and Bound
BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Program Linier Dua Kriteria
3.2 Metode Branch and Cut
3.3 Penyelesaian Masalah Program Bilangan Bulat Dua Kriteria
8
8
9
10
11
12
14
15
15
16
17
17
18
25
36
36
38
Universitas Sumatera Utara
dengan Menggunakan Metode Branch and Cut
3.4 Penyelesaian Contoh Kasus Program Bilangan Bulat
Dua Kriteria dengan Menggunakan Metode Branch and Cut
40
45
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
4.2 Saran
61
61
61
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR LAMPIRAN
62
64
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
Tabel
2.1
Bentuk Tabel Simpleks Program Linier
13
2.2
Solusi Optimum Masalah Program Linier
19
2.3
Penambahan Kendala Gomory
21
2.4
Solusi Optimum Contoh 2.2
22
2.5
Penambahan Kendala Gomory Pertama
23
2.6
Solusi Optimum dengan Penambahan Kendala Gomory
Pertama
23
2.7
Penambahan Kendala Gomory Kedua
24
2.8
Solusi Optimum dengan Penambahan Kendala Gomory
Kedua
24
2.9
Solusi Optimum Contoh 2.3
26
2.10
Solusi Optimum pada Bagian A
28
2.11
Solusi Optimum pada Bagian C
29
2.12
Solusi Optimum pada Bagian D
30
2.13
Solusi Optimum pada Bagian E
31
2.14
Solusi Optimum pada Bagian G
33
2.15
Solusi Optimum pada Bagian H
34
3.1
Bentuk Tabel Simpleks Program Linier Dua Kriteria
38
3.2
Bahan Baku dan Jumlah Persediaan Bahan Baku
46
3.3
Bahan Baku Pembuatan Satu Bungkus dan Jumlah Persediaan
Bahan Baku Tipang
46
3.3
Waktu Proses Produksi Satu Jenis Tipang
47
3.3
Pendapatan Penjualan dan Biaya Produksi pada Pembuatan
Jenis Tipang
47
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
Gambar
2.1
Penyelesaian Program Bilangan Bulat dengan
Pendekatan Grafik
2.2
18
Diagram Prosedur Permasalahan dengan Metode
Branch and Bound
3.1
35
Diagram Penyelesaian Permasalahan Program Linier
Dua Kriteria dengan Metode Branch and Cut
3.2
45
Diagram Penyelesaian Contoh Kasus Permasalahan
Program Linier Dua Kriteria dengan
Metode Branch and Cut
59
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor
Judul
Halaman
Lamp
1
Pembahasan Masalah Program Linier Dua Kriteria
Menggunakan Parametric Simplex Algorithm
2
64
Pembahasan Masalah Program Linier Dua Kriteria
dengan Menerapkan Percabangan (Branch)
3
67
Pembahasan Masalah Program Linier Dua Kriteria
dengan Menerapkan Percabangan (Branch)
4
70
Pembahasan Masalah Program Linier Dua Kriteria
dengan Menerapkan Pemotongan (Cut)
5
73
Pembahasan Masalah Program Linier Dua Kriteria
dengan Menerapkan Pemotongan (Cut)
6
76
Pembahasan Contoh Kasus Program Linier Dua Kriteria
Menggunakan Parametric Simplex Algorithm
7
79
Pembahasan Contoh Kasus Program Linier Dua Kriteria
dengan Menerapkan Percabangan (Branch)
8
87
Pembahasan Contoh Kasus Program Linier Dua Kriteria
dengan Menerapkan Percabangan (Branch)
9
95
Pembahasan Contoh Kasus Program Linier Dua Kriteria
dengan Menerapkan Pemotongan (Cut)
97
Universitas Sumatera Utara