Kajian Teoritik Tingkat Energi Osilator Anharmonik Dengan Potensial Kuartik
46
LAMPIRAN A
OSILATOR HARMONIK
Persamaan Schrodinger untuk Osilator Harmonik dapat dinyatakan sebagai
berikut:
� 2�
�� 2
+ (α – y2)Ψ = 0
(A.1)
1
y = ( √��)
Dengan
1/2
ħ
α=
1
�
2�
ħ
�
2�
� � = ℎ�
dimana v = 2� �� Merupakan frekuensi Osilator harmonik.
Bentuk Asimtotik �∞ dari fungsi gelombang.
Kita mulai dengan mencari bentuk asimtotik yang harus dimiliki Ψ ketika y
→ ±∞. Jika fungsi Ψ menyatakan partikel sebenarnya yang terlokalisasi dalam
ruang, harganya harus mendekati nol ketika y mendekati tak terhingga agar
∞
2
∫−∞ IΨI dy menjadi terhingga, bukan nol.
Kita tuliskan kembali persamaan (A.1) sebagai berikut:
� 2�
�� 2
� 2�
�� 2
- (y2 - α) Ψ = 0
= (y2 - α) Ψ
� 2 �/�� 2
(y2 −α) Ψ
=1
Ketika y → ∞, y2≫ �, sehingga:
limy →∞
� 2 �/�� 2
� 2�
= 1(A.2)
Universitas Sumatera Utara
47
Fungsi Ψ∞ yang memenuhi persamaan (A.2) adalah:
Ψ∞ = � −�
2 /2
Karena:
limy →∞
� 2 �∞
�� 2
= lim (y2 - 1)� −�
2 /2
y →∞
= y2� −�
2 /2
(A.3)
Persamaan (A.3) merupakan bentuk Asimtotik Ψ yang diperlukan.
Persamaan Diferensial untuk fungsi f(y)
Kita dapat menuliskan fungsi gelombang osilator harmonik sebagai berikut:
Ψ = f(y) �∞ = f(y)� −�
2 /2
(A.4)
Dengan f(y) fungsi dari y yang harus dicari. Dengan memasukkan persamaan
(A.4) dan (A.1) maka kita peroleh:
� 2�
�� 2
��
– 2y +(α-1) f = 0
(A.5)
��
Ini merupakan persamaan diferensial yang harus di penuhi oleh f.
Pengembangan deret pangkat f(y)
Prosedur yang di gunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial (A.5) ialah
menganggap bahwa f(y) dapat diuraikan dalam deret pangkat y, yaitu:
�
f(y) = A0 + A1 y + A2 y 2 + �3 � 3 + ⋯ = ∑∞
�=1 �� �
(A.6)
kemudian menentukan harga koefisien An. Diferensial f menghasilkan:
��
��
∞
= A1+ 2A2y + 3A3y2 + … = ��=1 ��� � �−1
Persamaan diatas di kalikan dengan y, maka kita peroleh:
Universitas Sumatera Utara
48
y
��
��
�
= A1y+ 2A2y2 + 3A3y3 + … = ∑∞
�=1 ��� � (A.7)
Turunan kedua dari f terhadap y adalah:
� 2�
�� 2
∞
= 1.2 A2+ 2.3A3y + 3.4A4y2 + … = ��=2 n(n − 1)�� � �−2
Yang sama dengan:
� 2�
��
∞
= ��=0 (n + 2)(n + 1)��+2 � � (A.8)
2
Rumus rekursi untuk koefisien An
Dengan mensubstitusikan persamaan (A.6) dan persamaan (A.8) kedalam
persamaan (A.5), maka kita peroleh:
∞
��=0 [(n + 2)(n + 1)��+2 − (2� + 1 − �) An]yn = 0
(A.9)
Supaya persamaan ini berlaku untuk setiap y, kuantitas dalam tanda kurung harus
0 untuk setiap harga n, sehingga kita dapatkan persyaratan:
(n+2)(n+1)An+2 = (2n+1-α)An
Rumus rekursi:
2�+1−∝
An+2 = (�+2)(�+1)An(A.10)
Rumus rekursi ini memungkinkan kita untuk mencari koefisien A2, A3, A4, ……...
dinyatakan dalam A0 dan A1. Karena persamaan (1.5) merupakan persamaan
diferensial orde kedua, maka penyelesaiannya memiliki dua konstanta sembarang,
disini konstanta itu adalah A0 dan A1. Mulai dari A0 kita dapatkan deret koefisien
A2,A4,A6, …..dan mulai dari A1 kita dapatkan deret lain A3,A5,A7, …..
Universitas Sumatera Utara
49
Persyaratan yang harus dipenuhi f(y)
Ketika y → ∞; hanya jika Ψ → 0 ketika y → ∞, Ψ merupakan fungsi gelombang
yang dapat diterima secara fisis. Karena f(y) dikalikan dengan � −�
2 /2
, Ψ
memenuhi persyaratan diatas jika:
lim f(y) �. Lalu bagaimana dengan ∣ � − �0 ∣= �? itu bisa konvergen,
bisa juga divergen.
3. Jika �= ∞, maka deret diatas konvergen mutlak untuk semua nilai z.
artinya deret tersebut tidak pernah divergen.
Latihan soal.
Soal 1.Jika diketahui deret pangkat sebagai berikut:
∑∞
�=0
1
(1+�)�
(� + 2 − �)� , tentukanlah pusat dan jari jari konvergensi.Dan
periksa juga apakah deretnya merupakan konvergen atau divergen pada
jari- jari konvergensinya.
Penyelesaian:
∑∞
�=0
1
(1+�)�
(� + 2 − �)� ; dari bentuk deret disamping kita bisa melihat bahwa:
1
z0 = -2 + i. dengan demikian maka an = (1+�)� maka jari – jari konvergensinya:
1
lim� → ∞
(1+�)�
�
1
=
(1+�)� +1
=
=1+i
lim
(1+�)� +1
� → ∞ (1+�)�
lim (1+i)
� →∞
Jari jari konvergensi � = ∣1+i∣ = �(1)2 + (1)2 = √2
Kesimpulan sementara yang dapat diambil adalah:
1
�
Deret ∑∞
�=0 (1+�)� (� + 2 − �) , pasti konvergen pada semua z dengan
∣z + 2 - i∣< √2, atau dapat dinyatakan bahwa deret diatas pasti konvergen pada
cakram terbuka dengan pusat z0 = -2 + I dan jari jari √2.
Universitas Sumatera Utara
60
Dan deret tersebut pasti juga divergen pada semua z di ∣z + 2 - i∣> √2. Lalu
bagaimana dengan lingkaran tepat pada jari jari √2?? Kita harus melakukan test
lagi dengan cara melakukan substitusi (z + 2 - i) = √2 ke dalam deret diatas.
Sehingga deret diatas menjadi:
∑∞
�=0
∑
1
(1+�)�
�
22
(1+�)�
(√2)� atau dapat dituliskan:
.
Sekarang kita anggap deret diatas menjadi sebuah deret baru. Lalu kita periksa
apakah deret itu konvergen atau tidak. Jika konvergen, maka deret semula dalam
soal 1 ini konvergen pada lingkaran (z + 2 - i) = √2 .
Untuk memeriksa deret ∑
∑
�
22
(1+�)�
�
22
apakah konvergen atau tidak;
(1+�)�
√2
dapat ditulis menjadi ∑(1+� )� → tampak, jika n → ∞ maka deret ini makin
besar: berarti deret ini Divergen.
Dengan demikian, kesimpulannya ialah deret dalam soal 1 ini,
∑∞
�=0
1
(1+�)�
(� + 2 − �)� konvergen pada cakram terbuka ∣z + 2 - i∣< √2.
Soal 2.Jika diketahui deret pangkat sebagai berikut:
∑∞
�=1
2� . (�+1)�
apakah
(2�−1)
, tentukanlah pusat dan jari jari konvergensi.Dan periksa juga
deretnya
merupakan
konvergen
atau
divergen
pada
jari-
jari
konvergensinya.
Penyelesaian:
∞
2� . (� + 1)�
�
(2� − 1)
�=1
2�
Dari bentuk diatas, maka pusatnya z0 = -1. Dan an= (2�−1).
Maka jari jari konvergensi:
2�
lim� → ∞ 2(�+1) ∗
(2(�+1)−1)
(2� −1)
2�
= lim� → ∞ (2�+2) ∗
(2�+1)
(2�−1)
4
= 4= 1
Universitas Sumatera Utara
61
Maka deret diatas pasti konvergen untuk semua z pada cakram terbuka ∣z+1∣< 1.
Untuk mengetahui sifat deret tersebut, pada lingkaran
∣z+1∣ = 1, kita
substitusi nilai ini ke dalam deret diatas, sehingga terbentuk sebuah deret
baru:
∑
2� .(1)�
(2�−1)
2�
= ∑ 2�−1
TIPS:
Kita perhatikan pangkat tertinggi dari n untuk pembilang dan penyebut. Ternyata
sama, yaitu 1. Maka, bila kita memakai uji rasio untuk deret ini, kita akan
mendapat bahwa harga limitnya sama dengan 1.
Itu artinya, kita tetap tidak dapat menentukan apakah konvergen atau
divergen.Maka kita jangan memakai uji rasio.
Kita periksa deret tersebut dengan cara sebagai berikut:
2�
2
lim� → ∞ (2�−1) = 2 = 1 →≠ 0.
2�
Maka deret ∑ 2�−1 bersifat divergen.
Dengan demikian deret semula dalam soal ini hanya konvergen pada cakram
terbuka ∣z+1∣ < 1.
Universitas Sumatera Utara
62
LAMPIRAN D
OSILATOR ANHARMONIK
Persamaan Schrodinger digunakan untuk menggambarkan berbagai macam sistem
mekanika kuantum, walaupun sebenarnya tidak dapat diselesaikan kecuali untuk
beberapa model sederhana. Persamaan Schrodinger ini biasanya menggunakan
persamaan linear dua variable yang diselesaikan dengan menggunakan metode
ekspansi deret pangkat persamaan diferensial, atau menggunakan operator tangga
dalam mekanika kuantum. Pada osilator anharmonik, persamaan fungsi
gelombang schrodinger yang digunakan adalah sebagai berikut:
ħ�
− ��Ψ’’(x) + Ax4 Ψ(x) = E Ψ(x)
(D.1)
Untuk memecahkan persamaan ini dalam satu dimensi, pertama kita
menggunakan persamaan diferensial orde dua, kemuadian dilanjutkan dengan
metode deret pangkat.
4.1. Persamaan Awal
Pertama kita perkenalkan persamaan linear dua variable sebagai berikut:
y’’ – 2xy’ + (2n +x2 – x4)y = 0
ini
bukan
merupakan
adjoint
(D.2)
nya,
melainkan
untuk
mempermudah
memperkenalkan serangkaian fungsi abnormal (�� ) sebagai berikut:
�� = � −�
2 /2
. y(x)
(D.3)
Dengan mensubstitusikan persamaan (D.3) ke dalam persamaan (D.2), maka akan
diperoleh persamaan diferensial untuk �� sebagai berikut:
�′′� + (2n+1-x4) �� = 0
(D.4)
Universitas Sumatera Utara
63
Persamaan (D.4) ini merupakan persamaan diferensial untuk osilator anharmonik
mekanika kuantum dengan energy potensial V(x) = Ax4.
4.2. Solusi Analitik
Dengan menggunakan metode deret pangkat, kita memperoleh solusi dari
persamaan (D.2) sebagai berikut:
y(x) = xk (�0 + �1 � + �2 x 2 + �3 x 3 + …)
�+�
y(x) = ∑∞
, a0≠ 0
� =0 �� �
(D.5)
dimana eksponen k dan koefisien koefisien am sudah ditentukan. Dengan
menurunkan persamaan (D.5) sebanyak dua kali, maka kita peroleh:
��
��
�+� −1
= ∑∞
,
� =0 �� (� + �)�
�2�
�� 2
�+� −2
= ∑∞
� =0 �� (� + �)(� + � − 1)�
(D.6)
Dengan mensubstitusikan persamaan (D.6) kedalam persamaan (D.2) maka kita
peroleh:
�+� −2
∑∞
� =0 �� (� + �)(� + � − 1)�
–
�+�
2∑∞
� =0 �� (� + �)�
�+�
�+� +2 ∑∞
2n∑∞
+ ∑∞
- � =0 �� � �+� +4 = 0
� =0 �� �
� =0 �� �
+
(D.7)
Pangkat x terendah pada persamaan (D.7) adalah: xk-2, untuk m=0 pada
penjumlahan pertama. Keunikan dari deret pangkat memerlukan penghilangan
koefisien yang menghasilkan:
�0 k(k-1) = 0
Dimana �0 ≠ 0.
Jika �0 = 1, maka kita peroleh:
k(k-1) = 0
(D.8)
Universitas Sumatera Utara
64
persamaan (D.8) ini merupakan persamaan indisial yang menghasilkan nilai k-0
atau k-1.
Jika kita tinjau kembali persamaan (D.7) dan menetapkan m = j+2 pada
penjumlaham yang pertama, kemudian m = j,m = j, m = j-2, m = j-4 berturut turut
pada penjumlahan kedua, ketiga, keempat dan kelima maka kita peroleh:
aj+2 (k+j+2)(k+j+1) – 2aj (k+j-n)+aj-2 – aj-4 = 0
aj+2 =
� � −4 − � � −2 + 2� � (�+� −� )
(�+� +2)(�+� +1)
(D.9)
dengan menggunakan cara yang sama pada persamaan (D.8) untuk k = 0 dan j =
bilangan genap, kita peroleh:
a2 =
a4 =
a6 =
�0
2!
�0
4!
�0
6!
2(-n)
[-2! + 22 (-n)(2-n)]
4!
[4! – 2! 2(-n) – 22 (4-n) + 23 (-n)(2-n)(4-n)]
dan untuk k = 1 dan j = bilangan genap, kita peroleh:
a2 =
a4 =
�0
3!
�0
5!
2(1-n)
[-3! + 22 (1-n)(3-n)]
Pada kasus k = 0, semua nilai koefisiennya kita masukkan kedalam persamaan
(D.5), maka kita peroleh:
ygenap = a0 [1+
1
2!
(2(-n))x2 +
1
1
4!
(-2! + 22 (-n)(2-n))x4 + 6!(4! –
23(-n)(2-n)(4-n))x6 + …]
4!
2!
2(-n) – 22 (4-n) +
(D.10)
melalui persamaan (D.10), kita tentukan Polynomial Hermite untuk n = genap
dan menghasilkan beragam parameter sebagai berikut:
ygenap = a0 [1+
2!
1
1
2!
1
1
(2(-n))x2 + 4!(22(-n)(2-n))x4 + 6!(23(-n)(2-n)(4-n))x6 + …] + a0
4!
[− 4! x4 + 6! (4! – 2! 2(-n) – 22(4-n))x6 + …]
(D.11)
Universitas Sumatera Utara
65
dengan cara yang sama kita juga dapat menetukan Polinomial Hermite untuk n =
ganjil dan k = 1 sebagai berikut:
1
1
1
yganjil = a0 [x + 3!(2(1-n))x3 + 5!( 22(1-n)(3-n))x5 + 7!(23(1-n)(3-n)(5-n))x7 + …] +
3!
1
5!
a0 [- 5!x5 + 7!(5! – 3! 2(1-n) – 3!2(5-n))x7 + …]
(D.12)
Tanda kurung siku pertama dari ruas kanan ygenap dan yganjil hanya menunjukkan
bentuk dari polynomial hermite yang kemudian kita masukkan nilainya kedalam
persamaan (D.3).
Maka untuk n = genap kita peroleh:
�� (x) = � −�
2 /2
2!
1
4!
3!
1
5!
{Hn(x) + �0 � 4 [- 4! + 6! (4! – 2! 2(-n) – 22 (4-n)) x2 + …]}
(D.13)
Untuk n = ganjil kita peroleh:
�� (x) = � −�
2 /2
{Hn(x) + �0 � 5 [- 5! + 7! (5! – 3! 2(1-n) – 3!2 (5-n)) x2 +…]}(D.14)
4.3. Fungsi fungsi gelombang dan tingkat tingkat energi
Persamaan fungsi gelombang Schrodinger dengan energy potensial V(x) = Ax4,
Dituliskan sebagai berikut:
ħ�
− ��Ψ’’(x) + Ax4 Ψ(x) = E Ψ(x), dimana m = massa partikel dan E = energy
total.
Dengan mengggunakan kuantitas tidak berdimensi sebagai berikut:
x = αz dimana ∝6 =
2��
2��
(D.15)
ħ2
2�
λ = ħ2 � 2 = E( ħ2 )2/3(A)1/3
(D.16)
nilai λ diatas merupakan periode gerak untuk partikel klasik yang sesuai dengan
V(x) = Ax4, diberikan melalui persamaan (D.4) dan persamaan (D.5).
Universitas Sumatera Utara
66
2��
1
τ = 2�
�
�
г(1/4)
( � )1/4г(3/4)
(D.17)
Dengan [Ψ(z) = Ψ(x/α) = ѱ(x)], maka persamaan (D.1) menjadi:
�2ѱ
�� 2
+ (λ – x4) ѱ(x) = 0
(D.18)
Persamaan (D.18) ini merupakan persamaan (D.4) dengan λ = 2n+1.
Maka untuk n = genap kita peroleh:
Ѱn(x) = K� −�
2 /2
2!
1
4!
3!
1
5!
{Hn(x) + a0x4 [- 4! + 6!(4! – 2! 2(-n) – 22(4-n))x2 + …]}
(D.19)
Untuk n = ganjil kita peroleh:
Ѱn(x) = K� −�
2 /2
{Hn(x) + a0x5 [- 5! + 7!(5! – 3! 2(1-n) – 3!2(5-n))x2 + …]} (D.20)
Persamaan (D.19) dan persamaan (D.20) merupakan fungsi fungsi gelombang
Osilator Anharmonik mekanika kuantum untuk genap
Ѱ
0,
Ѱ 2,… dan ganjilѰ 1,
Ѱ3,…
Dengan menggunakan persamaan (D.16) dan persamaan (D.17) dan diketahui
1
nilai г(1/4) = 4.(4)! = 4 dan г(3/4) = �
�
En = (4)3/4.
г(1/4)
√2� г(3/4)
√2
4
maka kita peroleh Energi:
ħ�
4
En = (2n+1)3/4 .�√2� ħ�
(D.21)
Untuk Energy tingkat dasar dengan n = 0 adalah:
4
1
E0 = �√2� ħ� = 0,5079ħ� ≅ 2ħ�
E1 = 2,28 E0,
E2 = 3,343 E0,
(D.22)
E3 = 4,3 E0
Universitas Sumatera Utara
67
LAMPIRAN E
FUNGSI GAMMA (г)
DEFENISI:
1.
Merupakan salah satu fungsi khusus yang biasanya disajikan dalam
pembahasan kalkulus tingkat lanjut
2. Dalam aplikasinya fungsi Gamma ini digunakan untuk membantu
menyelesaikan integral-integral khusus yangsulit dalam pemecahannya
dan banyak digunakan dalammenyelesaikan permasalahan di bidang fisika
maupunteknik.
3. Pada dasarnya dapat didefinisikan pada bidang real dankompleks dengan
beberapa syarat tertentu.
Fungsi gamma dinyatakan oleh г (x)yang didefenisikan sebagai berikut ini:
∞
Г(x) = ∫0 � �−1 � −� ��
(E.1)
x dan r adalah bilangan real.
Rumus ini merupakan integral yang konvergen untuk x > 0.
Rumus rekursif untuk fungsi gamma adalah:
г(x+1) = xг(x)
(E.2)
melalui persamaan (E.2) dapat ditentukan harga г(x) untuk semua x>0 bila nilai
nilai untuk 1 ≤ � ≤ 2.
Jika x adalah bilangan bulat maka:
г(x+1) = x!
jika di kombinasikan
persamaan (E.1) dan persamaan (E.2) maka diperoleh
bentuk:
Universitas Sumatera Utara
68
Г(x) =
г(x+1)
(E.3)
�
Sifat dasar fungsi gamma real
a. Г(x) tidak terdefenisi untuk setiap x = 0 atau bilangan bulat negatif
Pembuktian:
Dari persamaan (E.1) dengan x = 0, diperoleh:
∞
Г(0) = ∫0 � −1 � −� ��
Bukti tersebut merupakan integral divergen sehingga Г(0) tidak terdefinisi.
Untuk x = n bilangan bulat negatif dan dengan mensubstitusikan x kedalam
persamaan (E.3), maka diperoleh:
Г(0)
Г(n) = �(� +1)(�+2)…(−2)(−1)
(E.4)
Karena Г(0) tidak terdefinisi, maka Г(n) tidak terdefenisi pula untuk n bilangan
bulat negatif.
Jika n besar dan merupakan bilangan bulat maka ditulis:
Universitas Sumatera Utara
69
n! ~√2��� . � −�
(E.5)
bentuk ini dinamakan aproksimasi faktorial Stirling.
Universitas Sumatera Utara
70
LAMPIRAN F
PERIODE OSILATOR NONLINEAR
Sebuah partikel dengan massa m yang pada hakekatnya berosilasi secara
nonlinear dibawah pengaruh fungsi energi potensial memberikan:
V(x) = Axn
(F.1)
(Dimana A adalah konstanta positif dan n adalah sebuah bilangan bulat genap
yang lebih besar atau sama dengan 4).
Sistem ini, tentu saja konservatif, sehingga diperoleh:
1
2
�ẋ2 + �(�) = �
(F.2)
Dimana total Energi selalu konstan positif sehingga persamaan (K.2) dapat
dituliskan sebagai berikut:
� 1
�� = ±(2� )2 .
��
(F.3)
1−� (� )
�
�
Untuk memperoleh nilai periode osilasi maka persamaan (K.3) kita integrasikan
sehingga diperoleh:
�
�
T = 4(2� )1/2 ∫0
��
(F.4)
�1−�� � /�
Dimana A adalah Amplitudo osilasi yang berhubungan dengan nilai Energi total
� 1
2
E= bAn lalu substitusikan nilai x = (� )� . ���� �
(F.5)
Universitas Sumatera Utara
71
Sehingga persamaan (F.4) menjadi:
8
� 1
� 1
�/2
T = � . ( 2� )2 . ( � )� ∫0
���2�� −1 � ��
(F.6)
Setelah mengintegrasikan persamaan (K.6), maka diperoleh T dalam bentuk yang
lebih ssederhana sebagai berikut ini:
��
T = 4( )1/2
2
.
� 1−� /2 1/�
(
)
�
.
1
�
1 1 (F.7)
г( + )
� 2
г( +1)
Dimana pada persamaan (K.7) ini kita menggunakan bentuk identitas dari fungsi
gamma (г) sebagai berikut ini:
Г(z+1) = z г(z)
(F.8)
Jika kita substitusi syarat syarat dari amplitude untuk total energi, maka diperoleh
bentuk periode sebagai berikut ini:
1
� = 2√2� .
г( �+1)
1 1
г( �+2 )
�
. �1−� /2 � (F.9)
�
Dengan n > 0
Persamaan (F.9) ini merupakan periode osilasi dari osilator yang terdapat
dalam energy potensial pada persamaan (F.1).dalam persamaan ini, n tidak perlu
harus merupakan bilangan bulat. Persamaan (F.9) menunjukkan bahwa periode
dan frekuensi osilasi tidak bergantung pada amplitude dan energi total nya hanya
jika n = 2 (merupakan osilator harmonik sederhana).
Dalam hal ini, dengan b = k/2 maka persamaan (F.9) mengurangi nilai
�
periode osilasi sistem massa pegas, T = 2л � � . meskipun setiap osilator linear
memiliki sebuah periode yang tidak bergantung amplitude, namun itu tidak benar.
Karena hal itu akan mengakibatkan osilator nonlinear.
Universitas Sumatera Utara
72
LAMPIRAN G
LISTING PROGRAM MATLAB FUNGSI GELOMBANG
OSILATOR ANHARMONIK
clear;
clc;
disp('Plot Grafik');
disp('-----------');
xMin=input('masukkan x minimum = ');
xMax=input('masukkan x maksimum = ');
x=xMin:0.1:xMax;
y1=zeros(1, length(x));
y2=zeros(1, length(x));
y3=zeros(1, length(x));
y4=zeros(1, length(x));
y5=zeros(1, length(x));
y6=zeros(1, length(x));
for i=1:length(y1)
y1(i)=2.7^(x(i)^2/2)*(1+(x(i)^4)*(faktorial(2)/faktorial(4)+(1/faktorial(6))*(faktorial(4)(fakt
orial(4)/faktorial(2))*2*0-2^2*(4-2))*x(i)^2));
end
for i=1:length(y2)
Universitas Sumatera Utara
73
y2(i)=2.7^(x(i)^2/2)*(2*x(i)+(x(i)^5)*(faktorial(3)/faktorial(5)+(1/faktorial(1))*(faktorial(5)
(faktorial(5)/faktorial(3))*2*(1-1)-faktorial(3)*2*(5-1))*x(i)^2));
end
for i=1:length(y3)
y3(i)=2.7^(x(i)^2/2)*(((4*x(i)^2)2)+(x(i)^4)*(faktorial(2)/faktorial(4)+(1/faktorial(6))*(fakt
orial(4)(faktorial(4)/faktorial(2))*2*(-2)-2^2*(4-2))*x(i)^2));
end
for i=1:length(y4)
y4(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*((8*x(i)^3-12*x(i))+(x(i)^5)*(faktorial(3)/faktorial(5)+(1/faktorial(1))*(faktorial(5)(faktorial(5)/faktorial(3))*2*(1-3) faktorial(3)*2*(5-3))*x(i)^2));
end
for i=1:length(y5)
y5(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*((16*x(i)^4-48*x(i)^2+12)+(x(i)^4)*(faktorial(2)/faktorial(4)+(1/faktorial(6))*(faktorial(4)(faktorial(4)/faktorial(2))*2*(-4)-2^2*(4-4))*x(i)^2));
end
for i=1:length(y6)
y6(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*((32*x(i)^5-160*x(i)^3+120*x(i))+(x(i)^5)*(faktorial(3)/faktorial(5)+(1/faktorial(1))*(faktorial(5)(faktorial(5)/faktorial(3))*2*(1-5)-faktorial(3)*2*(5-5))*x(i)^2));
end
subplot(3,2,1)
plot(x,y1)
Universitas Sumatera Utara
74
title('Grafik n=0')
subplot(3,2,2)
plot(x,y2)
title('Grafik n=1')
subplot(3,2,3)
plot(x,y3)
title('Grafik n=2')
subplot(3,2,4)
plot(x,y4)
title('Grafik n=3')
subplot(3,2,5)
plot(x,y5)
title('Grafik n=4')
subplot(3,2,6)
plot(x,y6)
title('Grafik n=5')
Universitas Sumatera Utara
75
LAMPIRAN H
GAMBAR OSILATOR ANHARMONIK
Universitas Sumatera Utara
76
LAMPIRAN I
GAMBAR OSILATOR HARMONIK
Universitas Sumatera Utara
77
LAMPIRAN J
GAMBAR OSILATOR ANHARMONIK VS OSILATOR HARMONIK
Universitas Sumatera Utara
LAMPIRAN A
OSILATOR HARMONIK
Persamaan Schrodinger untuk Osilator Harmonik dapat dinyatakan sebagai
berikut:
� 2�
�� 2
+ (α – y2)Ψ = 0
(A.1)
1
y = ( √��)
Dengan
1/2
ħ
α=
1
�
2�
ħ
�
2�
� � = ℎ�
dimana v = 2� �� Merupakan frekuensi Osilator harmonik.
Bentuk Asimtotik �∞ dari fungsi gelombang.
Kita mulai dengan mencari bentuk asimtotik yang harus dimiliki Ψ ketika y
→ ±∞. Jika fungsi Ψ menyatakan partikel sebenarnya yang terlokalisasi dalam
ruang, harganya harus mendekati nol ketika y mendekati tak terhingga agar
∞
2
∫−∞ IΨI dy menjadi terhingga, bukan nol.
Kita tuliskan kembali persamaan (A.1) sebagai berikut:
� 2�
�� 2
� 2�
�� 2
- (y2 - α) Ψ = 0
= (y2 - α) Ψ
� 2 �/�� 2
(y2 −α) Ψ
=1
Ketika y → ∞, y2≫ �, sehingga:
limy →∞
� 2 �/�� 2
� 2�
= 1(A.2)
Universitas Sumatera Utara
47
Fungsi Ψ∞ yang memenuhi persamaan (A.2) adalah:
Ψ∞ = � −�
2 /2
Karena:
limy →∞
� 2 �∞
�� 2
= lim (y2 - 1)� −�
2 /2
y →∞
= y2� −�
2 /2
(A.3)
Persamaan (A.3) merupakan bentuk Asimtotik Ψ yang diperlukan.
Persamaan Diferensial untuk fungsi f(y)
Kita dapat menuliskan fungsi gelombang osilator harmonik sebagai berikut:
Ψ = f(y) �∞ = f(y)� −�
2 /2
(A.4)
Dengan f(y) fungsi dari y yang harus dicari. Dengan memasukkan persamaan
(A.4) dan (A.1) maka kita peroleh:
� 2�
�� 2
��
– 2y +(α-1) f = 0
(A.5)
��
Ini merupakan persamaan diferensial yang harus di penuhi oleh f.
Pengembangan deret pangkat f(y)
Prosedur yang di gunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial (A.5) ialah
menganggap bahwa f(y) dapat diuraikan dalam deret pangkat y, yaitu:
�
f(y) = A0 + A1 y + A2 y 2 + �3 � 3 + ⋯ = ∑∞
�=1 �� �
(A.6)
kemudian menentukan harga koefisien An. Diferensial f menghasilkan:
��
��
∞
= A1+ 2A2y + 3A3y2 + … = ��=1 ��� � �−1
Persamaan diatas di kalikan dengan y, maka kita peroleh:
Universitas Sumatera Utara
48
y
��
��
�
= A1y+ 2A2y2 + 3A3y3 + … = ∑∞
�=1 ��� � (A.7)
Turunan kedua dari f terhadap y adalah:
� 2�
�� 2
∞
= 1.2 A2+ 2.3A3y + 3.4A4y2 + … = ��=2 n(n − 1)�� � �−2
Yang sama dengan:
� 2�
��
∞
= ��=0 (n + 2)(n + 1)��+2 � � (A.8)
2
Rumus rekursi untuk koefisien An
Dengan mensubstitusikan persamaan (A.6) dan persamaan (A.8) kedalam
persamaan (A.5), maka kita peroleh:
∞
��=0 [(n + 2)(n + 1)��+2 − (2� + 1 − �) An]yn = 0
(A.9)
Supaya persamaan ini berlaku untuk setiap y, kuantitas dalam tanda kurung harus
0 untuk setiap harga n, sehingga kita dapatkan persyaratan:
(n+2)(n+1)An+2 = (2n+1-α)An
Rumus rekursi:
2�+1−∝
An+2 = (�+2)(�+1)An(A.10)
Rumus rekursi ini memungkinkan kita untuk mencari koefisien A2, A3, A4, ……...
dinyatakan dalam A0 dan A1. Karena persamaan (1.5) merupakan persamaan
diferensial orde kedua, maka penyelesaiannya memiliki dua konstanta sembarang,
disini konstanta itu adalah A0 dan A1. Mulai dari A0 kita dapatkan deret koefisien
A2,A4,A6, …..dan mulai dari A1 kita dapatkan deret lain A3,A5,A7, …..
Universitas Sumatera Utara
49
Persyaratan yang harus dipenuhi f(y)
Ketika y → ∞; hanya jika Ψ → 0 ketika y → ∞, Ψ merupakan fungsi gelombang
yang dapat diterima secara fisis. Karena f(y) dikalikan dengan � −�
2 /2
, Ψ
memenuhi persyaratan diatas jika:
lim f(y) �. Lalu bagaimana dengan ∣ � − �0 ∣= �? itu bisa konvergen,
bisa juga divergen.
3. Jika �= ∞, maka deret diatas konvergen mutlak untuk semua nilai z.
artinya deret tersebut tidak pernah divergen.
Latihan soal.
Soal 1.Jika diketahui deret pangkat sebagai berikut:
∑∞
�=0
1
(1+�)�
(� + 2 − �)� , tentukanlah pusat dan jari jari konvergensi.Dan
periksa juga apakah deretnya merupakan konvergen atau divergen pada
jari- jari konvergensinya.
Penyelesaian:
∑∞
�=0
1
(1+�)�
(� + 2 − �)� ; dari bentuk deret disamping kita bisa melihat bahwa:
1
z0 = -2 + i. dengan demikian maka an = (1+�)� maka jari – jari konvergensinya:
1
lim� → ∞
(1+�)�
�
1
=
(1+�)� +1
=
=1+i
lim
(1+�)� +1
� → ∞ (1+�)�
lim (1+i)
� →∞
Jari jari konvergensi � = ∣1+i∣ = �(1)2 + (1)2 = √2
Kesimpulan sementara yang dapat diambil adalah:
1
�
Deret ∑∞
�=0 (1+�)� (� + 2 − �) , pasti konvergen pada semua z dengan
∣z + 2 - i∣< √2, atau dapat dinyatakan bahwa deret diatas pasti konvergen pada
cakram terbuka dengan pusat z0 = -2 + I dan jari jari √2.
Universitas Sumatera Utara
60
Dan deret tersebut pasti juga divergen pada semua z di ∣z + 2 - i∣> √2. Lalu
bagaimana dengan lingkaran tepat pada jari jari √2?? Kita harus melakukan test
lagi dengan cara melakukan substitusi (z + 2 - i) = √2 ke dalam deret diatas.
Sehingga deret diatas menjadi:
∑∞
�=0
∑
1
(1+�)�
�
22
(1+�)�
(√2)� atau dapat dituliskan:
.
Sekarang kita anggap deret diatas menjadi sebuah deret baru. Lalu kita periksa
apakah deret itu konvergen atau tidak. Jika konvergen, maka deret semula dalam
soal 1 ini konvergen pada lingkaran (z + 2 - i) = √2 .
Untuk memeriksa deret ∑
∑
�
22
(1+�)�
�
22
apakah konvergen atau tidak;
(1+�)�
√2
dapat ditulis menjadi ∑(1+� )� → tampak, jika n → ∞ maka deret ini makin
besar: berarti deret ini Divergen.
Dengan demikian, kesimpulannya ialah deret dalam soal 1 ini,
∑∞
�=0
1
(1+�)�
(� + 2 − �)� konvergen pada cakram terbuka ∣z + 2 - i∣< √2.
Soal 2.Jika diketahui deret pangkat sebagai berikut:
∑∞
�=1
2� . (�+1)�
apakah
(2�−1)
, tentukanlah pusat dan jari jari konvergensi.Dan periksa juga
deretnya
merupakan
konvergen
atau
divergen
pada
jari-
jari
konvergensinya.
Penyelesaian:
∞
2� . (� + 1)�
�
(2� − 1)
�=1
2�
Dari bentuk diatas, maka pusatnya z0 = -1. Dan an= (2�−1).
Maka jari jari konvergensi:
2�
lim� → ∞ 2(�+1) ∗
(2(�+1)−1)
(2� −1)
2�
= lim� → ∞ (2�+2) ∗
(2�+1)
(2�−1)
4
= 4= 1
Universitas Sumatera Utara
61
Maka deret diatas pasti konvergen untuk semua z pada cakram terbuka ∣z+1∣< 1.
Untuk mengetahui sifat deret tersebut, pada lingkaran
∣z+1∣ = 1, kita
substitusi nilai ini ke dalam deret diatas, sehingga terbentuk sebuah deret
baru:
∑
2� .(1)�
(2�−1)
2�
= ∑ 2�−1
TIPS:
Kita perhatikan pangkat tertinggi dari n untuk pembilang dan penyebut. Ternyata
sama, yaitu 1. Maka, bila kita memakai uji rasio untuk deret ini, kita akan
mendapat bahwa harga limitnya sama dengan 1.
Itu artinya, kita tetap tidak dapat menentukan apakah konvergen atau
divergen.Maka kita jangan memakai uji rasio.
Kita periksa deret tersebut dengan cara sebagai berikut:
2�
2
lim� → ∞ (2�−1) = 2 = 1 →≠ 0.
2�
Maka deret ∑ 2�−1 bersifat divergen.
Dengan demikian deret semula dalam soal ini hanya konvergen pada cakram
terbuka ∣z+1∣ < 1.
Universitas Sumatera Utara
62
LAMPIRAN D
OSILATOR ANHARMONIK
Persamaan Schrodinger digunakan untuk menggambarkan berbagai macam sistem
mekanika kuantum, walaupun sebenarnya tidak dapat diselesaikan kecuali untuk
beberapa model sederhana. Persamaan Schrodinger ini biasanya menggunakan
persamaan linear dua variable yang diselesaikan dengan menggunakan metode
ekspansi deret pangkat persamaan diferensial, atau menggunakan operator tangga
dalam mekanika kuantum. Pada osilator anharmonik, persamaan fungsi
gelombang schrodinger yang digunakan adalah sebagai berikut:
ħ�
− ��Ψ’’(x) + Ax4 Ψ(x) = E Ψ(x)
(D.1)
Untuk memecahkan persamaan ini dalam satu dimensi, pertama kita
menggunakan persamaan diferensial orde dua, kemuadian dilanjutkan dengan
metode deret pangkat.
4.1. Persamaan Awal
Pertama kita perkenalkan persamaan linear dua variable sebagai berikut:
y’’ – 2xy’ + (2n +x2 – x4)y = 0
ini
bukan
merupakan
adjoint
(D.2)
nya,
melainkan
untuk
mempermudah
memperkenalkan serangkaian fungsi abnormal (�� ) sebagai berikut:
�� = � −�
2 /2
. y(x)
(D.3)
Dengan mensubstitusikan persamaan (D.3) ke dalam persamaan (D.2), maka akan
diperoleh persamaan diferensial untuk �� sebagai berikut:
�′′� + (2n+1-x4) �� = 0
(D.4)
Universitas Sumatera Utara
63
Persamaan (D.4) ini merupakan persamaan diferensial untuk osilator anharmonik
mekanika kuantum dengan energy potensial V(x) = Ax4.
4.2. Solusi Analitik
Dengan menggunakan metode deret pangkat, kita memperoleh solusi dari
persamaan (D.2) sebagai berikut:
y(x) = xk (�0 + �1 � + �2 x 2 + �3 x 3 + …)
�+�
y(x) = ∑∞
, a0≠ 0
� =0 �� �
(D.5)
dimana eksponen k dan koefisien koefisien am sudah ditentukan. Dengan
menurunkan persamaan (D.5) sebanyak dua kali, maka kita peroleh:
��
��
�+� −1
= ∑∞
,
� =0 �� (� + �)�
�2�
�� 2
�+� −2
= ∑∞
� =0 �� (� + �)(� + � − 1)�
(D.6)
Dengan mensubstitusikan persamaan (D.6) kedalam persamaan (D.2) maka kita
peroleh:
�+� −2
∑∞
� =0 �� (� + �)(� + � − 1)�
–
�+�
2∑∞
� =0 �� (� + �)�
�+�
�+� +2 ∑∞
2n∑∞
+ ∑∞
- � =0 �� � �+� +4 = 0
� =0 �� �
� =0 �� �
+
(D.7)
Pangkat x terendah pada persamaan (D.7) adalah: xk-2, untuk m=0 pada
penjumlahan pertama. Keunikan dari deret pangkat memerlukan penghilangan
koefisien yang menghasilkan:
�0 k(k-1) = 0
Dimana �0 ≠ 0.
Jika �0 = 1, maka kita peroleh:
k(k-1) = 0
(D.8)
Universitas Sumatera Utara
64
persamaan (D.8) ini merupakan persamaan indisial yang menghasilkan nilai k-0
atau k-1.
Jika kita tinjau kembali persamaan (D.7) dan menetapkan m = j+2 pada
penjumlaham yang pertama, kemudian m = j,m = j, m = j-2, m = j-4 berturut turut
pada penjumlahan kedua, ketiga, keempat dan kelima maka kita peroleh:
aj+2 (k+j+2)(k+j+1) – 2aj (k+j-n)+aj-2 – aj-4 = 0
aj+2 =
� � −4 − � � −2 + 2� � (�+� −� )
(�+� +2)(�+� +1)
(D.9)
dengan menggunakan cara yang sama pada persamaan (D.8) untuk k = 0 dan j =
bilangan genap, kita peroleh:
a2 =
a4 =
a6 =
�0
2!
�0
4!
�0
6!
2(-n)
[-2! + 22 (-n)(2-n)]
4!
[4! – 2! 2(-n) – 22 (4-n) + 23 (-n)(2-n)(4-n)]
dan untuk k = 1 dan j = bilangan genap, kita peroleh:
a2 =
a4 =
�0
3!
�0
5!
2(1-n)
[-3! + 22 (1-n)(3-n)]
Pada kasus k = 0, semua nilai koefisiennya kita masukkan kedalam persamaan
(D.5), maka kita peroleh:
ygenap = a0 [1+
1
2!
(2(-n))x2 +
1
1
4!
(-2! + 22 (-n)(2-n))x4 + 6!(4! –
23(-n)(2-n)(4-n))x6 + …]
4!
2!
2(-n) – 22 (4-n) +
(D.10)
melalui persamaan (D.10), kita tentukan Polynomial Hermite untuk n = genap
dan menghasilkan beragam parameter sebagai berikut:
ygenap = a0 [1+
2!
1
1
2!
1
1
(2(-n))x2 + 4!(22(-n)(2-n))x4 + 6!(23(-n)(2-n)(4-n))x6 + …] + a0
4!
[− 4! x4 + 6! (4! – 2! 2(-n) – 22(4-n))x6 + …]
(D.11)
Universitas Sumatera Utara
65
dengan cara yang sama kita juga dapat menetukan Polinomial Hermite untuk n =
ganjil dan k = 1 sebagai berikut:
1
1
1
yganjil = a0 [x + 3!(2(1-n))x3 + 5!( 22(1-n)(3-n))x5 + 7!(23(1-n)(3-n)(5-n))x7 + …] +
3!
1
5!
a0 [- 5!x5 + 7!(5! – 3! 2(1-n) – 3!2(5-n))x7 + …]
(D.12)
Tanda kurung siku pertama dari ruas kanan ygenap dan yganjil hanya menunjukkan
bentuk dari polynomial hermite yang kemudian kita masukkan nilainya kedalam
persamaan (D.3).
Maka untuk n = genap kita peroleh:
�� (x) = � −�
2 /2
2!
1
4!
3!
1
5!
{Hn(x) + �0 � 4 [- 4! + 6! (4! – 2! 2(-n) – 22 (4-n)) x2 + …]}
(D.13)
Untuk n = ganjil kita peroleh:
�� (x) = � −�
2 /2
{Hn(x) + �0 � 5 [- 5! + 7! (5! – 3! 2(1-n) – 3!2 (5-n)) x2 +…]}(D.14)
4.3. Fungsi fungsi gelombang dan tingkat tingkat energi
Persamaan fungsi gelombang Schrodinger dengan energy potensial V(x) = Ax4,
Dituliskan sebagai berikut:
ħ�
− ��Ψ’’(x) + Ax4 Ψ(x) = E Ψ(x), dimana m = massa partikel dan E = energy
total.
Dengan mengggunakan kuantitas tidak berdimensi sebagai berikut:
x = αz dimana ∝6 =
2��
2��
(D.15)
ħ2
2�
λ = ħ2 � 2 = E( ħ2 )2/3(A)1/3
(D.16)
nilai λ diatas merupakan periode gerak untuk partikel klasik yang sesuai dengan
V(x) = Ax4, diberikan melalui persamaan (D.4) dan persamaan (D.5).
Universitas Sumatera Utara
66
2��
1
τ = 2�
�
�
г(1/4)
( � )1/4г(3/4)
(D.17)
Dengan [Ψ(z) = Ψ(x/α) = ѱ(x)], maka persamaan (D.1) menjadi:
�2ѱ
�� 2
+ (λ – x4) ѱ(x) = 0
(D.18)
Persamaan (D.18) ini merupakan persamaan (D.4) dengan λ = 2n+1.
Maka untuk n = genap kita peroleh:
Ѱn(x) = K� −�
2 /2
2!
1
4!
3!
1
5!
{Hn(x) + a0x4 [- 4! + 6!(4! – 2! 2(-n) – 22(4-n))x2 + …]}
(D.19)
Untuk n = ganjil kita peroleh:
Ѱn(x) = K� −�
2 /2
{Hn(x) + a0x5 [- 5! + 7!(5! – 3! 2(1-n) – 3!2(5-n))x2 + …]} (D.20)
Persamaan (D.19) dan persamaan (D.20) merupakan fungsi fungsi gelombang
Osilator Anharmonik mekanika kuantum untuk genap
Ѱ
0,
Ѱ 2,… dan ganjilѰ 1,
Ѱ3,…
Dengan menggunakan persamaan (D.16) dan persamaan (D.17) dan diketahui
1
nilai г(1/4) = 4.(4)! = 4 dan г(3/4) = �
�
En = (4)3/4.
г(1/4)
√2� г(3/4)
√2
4
maka kita peroleh Energi:
ħ�
4
En = (2n+1)3/4 .�√2� ħ�
(D.21)
Untuk Energy tingkat dasar dengan n = 0 adalah:
4
1
E0 = �√2� ħ� = 0,5079ħ� ≅ 2ħ�
E1 = 2,28 E0,
E2 = 3,343 E0,
(D.22)
E3 = 4,3 E0
Universitas Sumatera Utara
67
LAMPIRAN E
FUNGSI GAMMA (г)
DEFENISI:
1.
Merupakan salah satu fungsi khusus yang biasanya disajikan dalam
pembahasan kalkulus tingkat lanjut
2. Dalam aplikasinya fungsi Gamma ini digunakan untuk membantu
menyelesaikan integral-integral khusus yangsulit dalam pemecahannya
dan banyak digunakan dalammenyelesaikan permasalahan di bidang fisika
maupunteknik.
3. Pada dasarnya dapat didefinisikan pada bidang real dankompleks dengan
beberapa syarat tertentu.
Fungsi gamma dinyatakan oleh г (x)yang didefenisikan sebagai berikut ini:
∞
Г(x) = ∫0 � �−1 � −� ��
(E.1)
x dan r adalah bilangan real.
Rumus ini merupakan integral yang konvergen untuk x > 0.
Rumus rekursif untuk fungsi gamma adalah:
г(x+1) = xг(x)
(E.2)
melalui persamaan (E.2) dapat ditentukan harga г(x) untuk semua x>0 bila nilai
nilai untuk 1 ≤ � ≤ 2.
Jika x adalah bilangan bulat maka:
г(x+1) = x!
jika di kombinasikan
persamaan (E.1) dan persamaan (E.2) maka diperoleh
bentuk:
Universitas Sumatera Utara
68
Г(x) =
г(x+1)
(E.3)
�
Sifat dasar fungsi gamma real
a. Г(x) tidak terdefenisi untuk setiap x = 0 atau bilangan bulat negatif
Pembuktian:
Dari persamaan (E.1) dengan x = 0, diperoleh:
∞
Г(0) = ∫0 � −1 � −� ��
Bukti tersebut merupakan integral divergen sehingga Г(0) tidak terdefinisi.
Untuk x = n bilangan bulat negatif dan dengan mensubstitusikan x kedalam
persamaan (E.3), maka diperoleh:
Г(0)
Г(n) = �(� +1)(�+2)…(−2)(−1)
(E.4)
Karena Г(0) tidak terdefinisi, maka Г(n) tidak terdefenisi pula untuk n bilangan
bulat negatif.
Jika n besar dan merupakan bilangan bulat maka ditulis:
Universitas Sumatera Utara
69
n! ~√2��� . � −�
(E.5)
bentuk ini dinamakan aproksimasi faktorial Stirling.
Universitas Sumatera Utara
70
LAMPIRAN F
PERIODE OSILATOR NONLINEAR
Sebuah partikel dengan massa m yang pada hakekatnya berosilasi secara
nonlinear dibawah pengaruh fungsi energi potensial memberikan:
V(x) = Axn
(F.1)
(Dimana A adalah konstanta positif dan n adalah sebuah bilangan bulat genap
yang lebih besar atau sama dengan 4).
Sistem ini, tentu saja konservatif, sehingga diperoleh:
1
2
�ẋ2 + �(�) = �
(F.2)
Dimana total Energi selalu konstan positif sehingga persamaan (K.2) dapat
dituliskan sebagai berikut:
� 1
�� = ±(2� )2 .
��
(F.3)
1−� (� )
�
�
Untuk memperoleh nilai periode osilasi maka persamaan (K.3) kita integrasikan
sehingga diperoleh:
�
�
T = 4(2� )1/2 ∫0
��
(F.4)
�1−�� � /�
Dimana A adalah Amplitudo osilasi yang berhubungan dengan nilai Energi total
� 1
2
E= bAn lalu substitusikan nilai x = (� )� . ���� �
(F.5)
Universitas Sumatera Utara
71
Sehingga persamaan (F.4) menjadi:
8
� 1
� 1
�/2
T = � . ( 2� )2 . ( � )� ∫0
���2�� −1 � ��
(F.6)
Setelah mengintegrasikan persamaan (K.6), maka diperoleh T dalam bentuk yang
lebih ssederhana sebagai berikut ini:
��
T = 4( )1/2
2
.
� 1−� /2 1/�
(
)
�
.
1
�
1 1 (F.7)
г( + )
� 2
г( +1)
Dimana pada persamaan (K.7) ini kita menggunakan bentuk identitas dari fungsi
gamma (г) sebagai berikut ini:
Г(z+1) = z г(z)
(F.8)
Jika kita substitusi syarat syarat dari amplitude untuk total energi, maka diperoleh
bentuk periode sebagai berikut ini:
1
� = 2√2� .
г( �+1)
1 1
г( �+2 )
�
. �1−� /2 � (F.9)
�
Dengan n > 0
Persamaan (F.9) ini merupakan periode osilasi dari osilator yang terdapat
dalam energy potensial pada persamaan (F.1).dalam persamaan ini, n tidak perlu
harus merupakan bilangan bulat. Persamaan (F.9) menunjukkan bahwa periode
dan frekuensi osilasi tidak bergantung pada amplitude dan energi total nya hanya
jika n = 2 (merupakan osilator harmonik sederhana).
Dalam hal ini, dengan b = k/2 maka persamaan (F.9) mengurangi nilai
�
periode osilasi sistem massa pegas, T = 2л � � . meskipun setiap osilator linear
memiliki sebuah periode yang tidak bergantung amplitude, namun itu tidak benar.
Karena hal itu akan mengakibatkan osilator nonlinear.
Universitas Sumatera Utara
72
LAMPIRAN G
LISTING PROGRAM MATLAB FUNGSI GELOMBANG
OSILATOR ANHARMONIK
clear;
clc;
disp('Plot Grafik');
disp('-----------');
xMin=input('masukkan x minimum = ');
xMax=input('masukkan x maksimum = ');
x=xMin:0.1:xMax;
y1=zeros(1, length(x));
y2=zeros(1, length(x));
y3=zeros(1, length(x));
y4=zeros(1, length(x));
y5=zeros(1, length(x));
y6=zeros(1, length(x));
for i=1:length(y1)
y1(i)=2.7^(x(i)^2/2)*(1+(x(i)^4)*(faktorial(2)/faktorial(4)+(1/faktorial(6))*(faktorial(4)(fakt
orial(4)/faktorial(2))*2*0-2^2*(4-2))*x(i)^2));
end
for i=1:length(y2)
Universitas Sumatera Utara
73
y2(i)=2.7^(x(i)^2/2)*(2*x(i)+(x(i)^5)*(faktorial(3)/faktorial(5)+(1/faktorial(1))*(faktorial(5)
(faktorial(5)/faktorial(3))*2*(1-1)-faktorial(3)*2*(5-1))*x(i)^2));
end
for i=1:length(y3)
y3(i)=2.7^(x(i)^2/2)*(((4*x(i)^2)2)+(x(i)^4)*(faktorial(2)/faktorial(4)+(1/faktorial(6))*(fakt
orial(4)(faktorial(4)/faktorial(2))*2*(-2)-2^2*(4-2))*x(i)^2));
end
for i=1:length(y4)
y4(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*((8*x(i)^3-12*x(i))+(x(i)^5)*(faktorial(3)/faktorial(5)+(1/faktorial(1))*(faktorial(5)(faktorial(5)/faktorial(3))*2*(1-3) faktorial(3)*2*(5-3))*x(i)^2));
end
for i=1:length(y5)
y5(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*((16*x(i)^4-48*x(i)^2+12)+(x(i)^4)*(faktorial(2)/faktorial(4)+(1/faktorial(6))*(faktorial(4)(faktorial(4)/faktorial(2))*2*(-4)-2^2*(4-4))*x(i)^2));
end
for i=1:length(y6)
y6(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*((32*x(i)^5-160*x(i)^3+120*x(i))+(x(i)^5)*(faktorial(3)/faktorial(5)+(1/faktorial(1))*(faktorial(5)(faktorial(5)/faktorial(3))*2*(1-5)-faktorial(3)*2*(5-5))*x(i)^2));
end
subplot(3,2,1)
plot(x,y1)
Universitas Sumatera Utara
74
title('Grafik n=0')
subplot(3,2,2)
plot(x,y2)
title('Grafik n=1')
subplot(3,2,3)
plot(x,y3)
title('Grafik n=2')
subplot(3,2,4)
plot(x,y4)
title('Grafik n=3')
subplot(3,2,5)
plot(x,y5)
title('Grafik n=4')
subplot(3,2,6)
plot(x,y6)
title('Grafik n=5')
Universitas Sumatera Utara
75
LAMPIRAN H
GAMBAR OSILATOR ANHARMONIK
Universitas Sumatera Utara
76
LAMPIRAN I
GAMBAR OSILATOR HARMONIK
Universitas Sumatera Utara
77
LAMPIRAN J
GAMBAR OSILATOR ANHARMONIK VS OSILATOR HARMONIK
Universitas Sumatera Utara