Permukaan di Ruang (R
3 Permukaan 3 Permukaan di di Ruang Ruang (R (R ) )
Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain :
Bola, mempunyai bentuk umum :
2 2 Jejak di bidang XOY, z = 0 Î 2 x + y = a , berupa lingkaran
Jejak di bidang XOZ, y = 0 Î x + z = a , berupa lingkaran
Jejak di bidang YOZ, x = 0 Î y + z = a , berupa lingkaran
Gambar Gambar Bola Bola
Permukaan Permukaan di di Ruang Ruang
Elipsoida, mempunyai bentuk umum
, a, b, c > 0
Jejak di bidang XOY, z = 0 Î + = 1 , berupa Ellips
Jejak di bidang XOZ, y = 0 Î + = 1 , berupa Ellips
2 2 , berupa Ellips
Jejak di bidang YOZ, x = 0 Î
Gambar Gambar Ellipsoida Ellipsoida
3 Permukaan 3 Permukaan di di R R
Hiperboloida berdaun satu, mempunyai bentuk umum:
2 + 2 − 2 = 1 , a, b, c > 0 a b c
Jejak di bidang XOY, z = 0 Î
2 2 , berupa Ellips
Jejak di bidang XOZ, y = 0 Î
2 2 , berupa Hiperbolik
Jejak di bidang YOZ, x = 0 Î
2 2 , berupa Hiperbolik
Gambar Gambar Hiperbolik Hiperbolik Berdaun Berdaun Satu Satu
3 Permukaan 3 Permukaan di di R R
Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentuk umum: 2 2 x 2 y z
2 − 2 − 2 = 1 , a, b, c > 0 a b c
≤ - a atau x ≥ a
, maka terdefinisi saat x
Jejak di bidang XOY, z = 0 Î
2 2 1 , berupa Hiperbolik
Jejak di bidang XOZ, y = 0 Î
2 2 1 , berupa Hiperbolik
Jejak di bidang YOZ, x = 0 Î − − = 1
2 2 , tidak ada jejak
Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips
Gambar Gambar Hiperbolik Hiperbolik Berdaun Berdaun Dua Dua
3 Permukaan 3 Permukaan di di R R
Paraboloida eliptik , mempunyai bentuk umum: 2 x 2 y
, a, b, c > 0
Paraboloida hiperbolik , mempunyai bentuk umum: 2 x 2 y
, a, b, c > 0
Kerucut eliptik , mempunyai bentuk umum: 2 2 x 2 y z
Bidang , mempunyai bentuk umum:
A x + By + Cz = D
Gambar Gambar
Paraboloida Eliptik
Paraboloida Hiperbolik
Bidang Kerucut Eliptik
Latihan Latihan : : Gambarkan Gambarkan
2 1. 2 x +y =4
2. 2 y=x
3. 2x + 2y + 4z = 8 , di oktan 1
2 2 4. 2 9z + 9x + 4y = 36
5. z =4
2 2 6. 2 x +y +z – 2x – 2y – 4z = 3
Fungsi Fungsi Dua Dua Peubah Peubah
Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y)
Notasi : f : A 2 ÆR (ACR )
(x,y) Æ z = f(x,y)
Contoh:
2 1. f(x,y) = x 2 +4y
2. f(x,y) =
36 − 9 x − 4 y
3. f(x,y) = 2 2
Daerah Daerah Asal Asal ( ( D D ) ) dan dan Daerah Daerah Nilai Nilai ( ( R R )
Contoh. Tentukan dan gambarkan D f dari
2 1. f(x,y) = x 2 +4y
2 . f ( x , y ) = 36 − 9 x − 4 y
Contoh Contoh ( ( Jawab Jawab ) )
2 2 1. 2 D
f ={(x,y) ∈R |x +4y ∈ R} = {(x,y) 2 ∈R }
2. D f = ⎨ ( x , y ) ∈ R
36 − 9 x − 4 y ∈ R ⎬
2 2 = {(x,y) 2 ∈R | 36 – 9x – 4y ≥ 0}
2 2 = {(x,y) 2 ∈R | 9x + 4y ≤ 36}
Contoh Contoh ( ( Jawab Jawab ) )
3. 2 D
= {(x,y) 2 ∈R | x(1 – y) ≥ 0} = {(x,y) 2 ∈R |x ≥0 dan (1–y)≥0 atau x≤0 dan (1–y)≤0}
= {(x,y) 2 ∈R |x ≥ 0 dan y ≤ 1 atau x≤0 dan y ≥ 1} y
Latihan Latihan
Tentukan dan Gambarkan D f dari
16 − x − y
1. f(x,y) =
2 2 4. f(x,y) =
ln( x + y )
ln( x − y + 1 )
2. f(x,y) =
5. f(x,y) =
y− 2
3. f(x,y) =
Grafik Grafik Fungsi Fungsi Dua Dua Peubah Peubah
Grafiknya berupa permukaan di ruang
z Z=f(x,y)
Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan tepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di satu titik.
Contoh Contoh
Gambarkan Grafik
2 1. 2 f(x,y) = 2 x + 3y
2 z=2x 2 + 3y
Paraboloida eliptik
2 2. 2 f(x,y) = 3 – x –y
z=3–x y –y
Contoh Contoh
36 − 9 x − 4 y
3. f(x,y) =
4. f(x,y) = 4 16 −
2 2 z 2 = 16 –x –y
2 2 x 2 +y +z = 16
Bola 4
Kurva Kurva Ketinggian Ketinggian
z = f(x,y) Æ z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proyeksi perpotongan grafik z = f(x,y) dengan bidang z =k pada bidang XOY.
Contoh: Gambarkan kurva ketinggian z = k dari
2 1. f(x,y) = x 2 + 2y , k = 0, 1, 2, 4
2. f(x,y) = 2x – y 2 , k = -2, 0, 2, 4
Contoh Contoh ( ( Jawab Jawab ) )
2 1. f(x,y) = x 2 + 2y , k = 0, 1, 2, 4
Ö x +2 y =0 x = 0, y = 0 Ö titik (0, 0)
2 Untuk k = 0 2
Ö x +2 y =1 2 2
2 Untuk k = 1 2
1 Ö 1 elips
2 Untuk k = 2 2 Ö x +2 y =2
+y = 1 Ö elips
k=0
2 k=1 x
2 k=2 Untuk k = 4 2 Ö x +2 y =4
k=4
= 1 Ö elips
Contoh Contoh ( ( Jawab Jawab ) )
2. f(x,y) = x – y 2 , k = -2, 0, 2, 4 Untuk k = -2 2
Ö x–y = -2
Ö parabola
x=y 2 –2
Ö x–y =0
Untuk k = 0 2
x=y 2
Ö parabola
Untuk k = 2 2 Ö x–y =2
k=0
Ö parabola
k=2 k=4
x=y k=-2 +2
Untuk k = 4 2 Ö x–y =4
Ö parabola
x=y 2 +4
Latihan Latihan
Gambarkan kurva ketinggian z = k dari
1. f(x,y) = x 2 /y , k = -4, -1, 0, 1, 4
2 2. f(x,y) = x 2 +y , k = 0, 1, 4, 9
3. f(x,y) = xy , k = -4, -1, 0, 1, 4
2 4. f(x,y) = y 2 –x , k = 1, 2, 3, 4
Limit Limit Fungsi Fungsi Dua Dua Peubah Peubah
Definisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y) mendekati (a,b) ditulis
lim f ( x , y ) = L
Jika ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∋ 0 < ( x − a )( + y − b ) < δ berlaku
f ( x , y ) −L < ε
Z =f(x,y)
L+ ε L L– ε
y δ (a,b)
Catatan Catatan
lim f ( x , y ) = L ada jika lim f ( x , y ) = L untuk sembarang
kurva yang melalui (a,b). Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R 2 yang melalui
(a,b) dengan nilai lim f ( x , y ) berbeda untuk masing-masing
kurva, maka dikatakan lim f ( x , y ) tidak ada.
. (a,b)
Contoh Contoh
xy lim
Buktikan bahwa limit ( x , y ) → ( 0 , 0 ) 2 2 berikut tidak ada
Jawab
xy
f 2 ( x , y ) = terdefinisi di D =R – {(0,0)}
Di sepanjang garis y=0, kecuali x =0, maka nilai f adalah
Limit f( x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = 0 adalah
lim f ( x , 0 ) = lim
Contoh Contoh ( ( Lanjutan Lanjutan ) )
Di sepanjang garis y=x, maka nilai f adalah
Limit f( x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = x adalah
lim f ( x , x ) = lim
Karena lim f ( x , 0 ) ≠ lim f ( x , x ) maka
xy
lim
2 2 ( tidak ada x , y ) ( 0 , 0 )
Latihan Latihan
Buktikan bahwa limit berikut tidak ada
1. lim
3. lim
2. lim
Kekontinuan Kekontinuan
Definisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jika
i. f(a,b) terdefinisi
ii. lim f ( x , y ) ada
iii. lim f ( x , y ) = f ( a , b )
Teorema:
1. Polinom dengan m peubah kontinu di R m
2. Fungsi rasional m peubah f(x,y) = p(x,y)/q(x,y)
kontinu pada D f asal q(x,y)≠0
3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f
fungsi satu peubah kontinu di g(a,b) maka f 0 g
kontinu di (a,b) didefinisikan f 0 g (x,y) = f(g(x,y))
Contoh Contoh Kekontinuan Kekontinuan
Selidiki kekontinuan fungsi berikut:
1. f(x,y) = 2
Kontinu dimana-mana (R 2 ) kecuali di parobola y =4x
2 2. f(x,y) = 2 cos( x −
4 xy + y )
2 Misal g(x,y) = x 2 -4xy+y (Polinom) Æ g kontinu dimana- mana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R.
Maka f(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang
Turunan Turunan Parsial Parsial
Definisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y.
1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut
f ( x + h , y ) − f ( x , y ) f x ( x , y ) = lim
2. Turunan parsial pertama dari f terhadap y
(x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut f ( x , y + h ) − f ( x , y )
f y ( x , y ) = lim h → 0 h
Contoh Contoh : :
Tentukan f x dan f y
f ( x , y ) = ln sin t dt ∫
2 f 2 x (x,y) = 3 x y+4y
f x (x,y)=0. ln(siny)–1. ln(sinx)
3 f x (x,y) = – ln(sinx)
f y (x,y) = x + 8 xy
2 2 f y (x,y)=1. ln(siny)–0. ln(sinx)
2. f ( x , y ) = y cos( x + y )
f y (x,y) = ln(siny)
Jawab
2 f 2 x (x,y) = –2xy sin(x +y )
2 2 2 2 f 2 y (x,y) = cos(x +y )– 2y sin(x +y )
Latihan Latihan
Tentukan f x dan f y
1. f ( x , y ) = x cos( x + y ) + y sin 2 xy
2. t f ( x , y ) = e ∫ dt
y cos
3. f ( x , y ) = x sin( x + y ) + y cos( 2 xy )
Tentukan f x ,f y dan f z
1. 2 f ( x , y , z ) =
xy + y z + 3 xz
2. f ( x , y , z ) = x cos( y − z ) + 2 xy
Turunan Turunan Parsial Parsial Kedua Kedua
f xx ( x , y ) =
f yy ( x , y ) =
f xy ( x , y ) =
f yx ( x , y ) =
⎜⎜ ⎟⎟ ∂ x ⎝ ∂ y ⎠ ∂ x ∂ y
Contoh Contoh
Tentukan f xx ,f yy ,f xy ,f yx
3 3 1. f(x,y)= x y 2 +y x Jawab
3 f 3 x (x,y) = y + 2xy
2 2 f 2 y (x,y) = 3xy + 3x y
f 3 xx (x,y) = 2y
2 f 2 xy (x,y) = 3y + 6xy
f 2 yy (x,y) = 6xy + 6x y
2 f 2 yx (x,y) = 3y + 6xy
Contoh Contoh
2 2. f(x,y) = xy sin(x 3 +2xy+y ) Jawab
2 f 3 x (x,y) = y sin(x +2xy+y ) + xy(2x+2y) cos(x +2xy+y )
2 3 2 2 f 3 y (x,y) = x sin(x +2xy+y )+xy(2x+3y ) cos(x +2xy+y )
2 3 2 2 f 3 xx (x,y)=y(2x+2y)cos(x +2xy+y )+(4xy+2y )cos(x +2xy+y )
2 2 – xy(2x+2y) 3 sin(x +2xy+y )
2 3 2 2 f 3 xy (x,y) = sin(x +2xy+y )+y(2x+3y ) cos(x +2xy+y )
2 2 +(2x 3 +4xy)cos(x +2xy+y )
2 2 –xy(2x+2y)(2x+3y 3 )sin(x +2xy+y )
2 2 3 2 2 2 f 3 yy (x,y)=(2x+3y )sin(x +2xy+y )+(2x +9xy )sin(x +2xy+y )
2 2 2 –xy(2x+3y 3 ) sin(x +2xy+y )
2 3 2 f 3 yx (x,y) = sin(x +2xy+y )+x(2x+2y)cos(x +2xy+y )
3 2 +(4xy+3y 3 )cos(x +2xy+y )
2 2 –xy(2x+2y)(2x+3y 3 )sin(x +2xy+y )
Latihan Latihan
Tentukan f xx ,f yy ,f xy ,f yx
1. f(x,y) = x cos(xy) + xy e x+y
2 2. f(x,y) = ln(x 3 + 2 xy + y )
3. f(x,y) = tan 2 (y /x)
2 4. f(x,y) =ln(x 2 +2xy+y )
5. f(x,y) = (2x-y)/(xy)
Arti Arti Geometri Geometri Turunan Turunan Parsial Parsial
Perpotongan bidang y = b dengan fungsi permukaan
f(x,y) berupa sebuah kurva
(lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y)
terhadap x di titik (a,b)
merupakan
(a, b)
gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu x .
Arti Arti Geometri Geometri Turunan Turunan Pertama Pertama (2) (2)
Perpotongan bidang x = a dengan fungsi permukaan
f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada
permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y)
terhadap y di titik (a,b)
(a, b)
merupakan
gradien garis singgung
terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam
arah sejajar sumbu y.
Soal Soal
Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan
2 1. 2 36 z= 4x + 9y dengan x = 3 di titik (3,2,2) Jawab: Turunan parsial terhadap y adalah
Sehingga didapat f y ( 3 , 2 ) =
= 1 . Bilangan ini adalah
menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (3,2,2)yaitu 1/1.
Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) dan melalui titik (3,2,2), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah
x = 3, y = 2 + t , z = 2 + t
Soal Soal
Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan
2 2. 2 2z = √(9x +9y -36) dengan bidang y=1 di titik (2, 1,(3/2)) Jawab: Turunan parsial terhadap x adalah
18 x
∂ x 4 9 x + 9 y − 36 2 9 x + 9 y − 36
Sehingga didapat f x ( 2 , 1 ) = = 3 . Bilangan ini adalah
menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (2,1,(3/2))yaitu 3/1.
Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan melalui titik (2,1,(3/2)), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah
x = 2+t, y = 1 , z = 3/2 + 3 t
Latihan Latihan
Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurva perpotongan
2 1. 2 3z = √(36-9x -4y ) dengan bidang x = 1 di titik (1, 2, √(11/3))
2. 2 4z =5 √(16-x ) dengan bidang y=3 di titik (2, 3, 5 √(3/2))
Vektor Vektor Gradien Gradien
Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D 2 ⊂R Definisi
Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) ∈D, didefinisikan sebagai
r ∇ f ( x , y ) = f x ( x , y ) iˆ + f y ( x , y ) jˆ
iˆ , jˆ adalah vektor satuan di arah sumbu x,y positif Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y)
Definisi Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah
r ∇ f ( x , y , z ) = f x ( x , y , z ) iˆ + f y ( x , y , z ) jˆ + f z ( x , y , z ) kˆ
iˆ , jˆ , kˆ adalah vektor satuan di arah sumbu x,y,z positif
Contoh Contoh
Tentukan xy ∇ f ( x , y ) dan ∇f ( − 1 , − 1 ) dari f ( x , y ) = x e Jawab
Sehingga diperoleh: r
( e + xye
2 ∇ xy f ( x , y ) =
xy
xy
Latihan Latihan
I. Tentukan ∇ f dari
3. f ( x , y ) = sin () x y
II. Tentukan ∇ f di titik yang diberikan
2 1. 2 f ( x , y ) =
x y − xy
di P (– 2,3)
2. f ( x , y ) = ln( x − xy + 4 y ) di P (– 3, 3)
3. f ( x , y ) =
di P (2, –1)
Aturan Aturan Rantai Rantai
Misalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t dan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t)) Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagai
dz ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y
dt ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t
Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka dz ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y
() i
ds ∂ x ∂ s ∂ y ∂ s dz ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y
() ii
dt ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t
Contoh Contoh
dw
2 3 3 1. Misalkan w = x 2 y dengan x = t dan y = t , tentukan dt Jawab:
dw ∂ w ∂ x ∂ w ∂ y
dt
3 2 2 = 2x y 2 (3t )+3 x y (2t )
3 2 3 2 3 2 2 = 2t 2 (t ) (3t )+3 (t ) (t ) (2t )
3 6 2 6 = 2t 4 .t . 3t +3 t .t . 2t
11 11 = 6t 11 +6 t = 12 t
Contoh Contoh
2 2. Misalkan z = 3x 2 –y dengan x = 2 s+7 t dan y = 5 s t,
Jawab: dz ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y
dt ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t = 6x. 7 + (–2y) 5 s
= 42 (2s +7t ) – 50 s 2 t dz ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y
ds ∂ x ∂ s ∂ y ∂ s = 6x. 2 + (–2y) 5 t
= 12 (2s +7t ) – 50 s t 2
Latihan Latihan
dw
1. Tentukan
(dalam t)
dt
2 a. w = x 2 y–y x ; x = cos t , y = sin t
b. w = e y siny – e sin x ; x = 3t , y = 2t
2 3 c. w = sin(xyz 2 ) ;x=t ,y=t ,z=t
dw
2. Tentukan
(dalam t dan s)
dt
a. w = x 2 – y lnx ; x = s/t , y = s t
b. w = ; x = s sin t , y = t sin s e
Turunan Turunan Berarah Berarah
Andaikan f dapat didiferensialkan di (a, b), maka turunan
berarah di (a, b) pada arah vektor satuan u = u 1 iˆ + u 2 jˆ
adalah hasilkali titik antara vektor gradien dengan vektor satuan tersebut. Dengan demikian dapat ditulis :
x (a, b)u 1 +f y (a, b)u 2 Perhatikan bahwa
D u f ( p ) = ∇ f ( p ) • u atau D f(a, b) = f
D u f ( p ) = ∇ f ( p ) • u = ∇ f ( p ) u cos θ = ∇ f ( p ) cos θ
Sehingga, Turunan berarah akan bernilai maksimum ( θ=0)jika
u =r
Sebaliknya akan minimum jika u = − r
Contoh Contoh
1. 3 Tentukan turunan berarah dari f(x,y) = 4x y pada titik r
P(2,1) dalam arah vektor a = 4 ˆ i + 3 ˆ j
Jawab:
u f ( 2 , 1 ) = f x ( 2 , 1 ) u 1 + f y ( 2 , 1 ) u 2 Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a
=r ˆ = = i + j
f 2 x (x,y)= 12 x y
f x (2, 1)= 12.2 Ö .1 =48
f 3 y (x,y)= 4 x
f =32
Sehingga r D
Contoh Contoh
2. Tentukan turunan berarah dari f(x,y,z) = xy sinz pada
ˆ titik P(1,2, π/2) dalam arah vektor a = ˆ i + 2 ˆ j + 2 k Jawab:
2 2 2 2 Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a
u =r =
f x (x,y,z)= y sinz
f x (1,2, Ö π/2)= 2 sin(π/2) =2
f x (1,2, Ö π/2)= 1.sin(π/2) =1
f y (x,y,z)= x sinz
f z (1,2, Ö π/2)= 1.2 cos(π/2) =0
f z (x,y,z)= xy cosz
Contoh Contoh ( ( Lanjutan Lanjutan ) )
Sehingga
Latihan Latihan
1. Tentukan turunan berarah fungsi f pada titik P yang diberikan dalam vektor a
a. f( x,y) = y 2 lnx , P(1, 4), a = -3 i + 3 j
b. f( x,y) = xe x – ye , P(0, 0), a = 5 i – 2 j
c. f( x,y) = e –xy , P(1, –1), a = – i + √3 j
d. f( x,y) = x/ ( x – y) , di P(1, –1) dalam arah ke titik Q(-1,-1)
e. f( x,y,z) = xy+ z 2 , di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3)
2. Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah ini
2 a. f( x,y) = x 2 –y , P(2, –1) d. f( x,y) = 1–x –y , P(–1,2)
b. f( x,y) = e y sin x , P(5 π/6,0)
3 c. f( x,y) = 4x 2 y , P(–1,1)
Latihan Latihan ( ( lanjutan lanjutan ) )
3. Misal f ( x , y ) = .Tentukan u sehingga r D u f ( 2 , 3 ) = 0
4. Jika ∇ f ( x ,
j r ,Tentukan u sehingga D
u f ( 1 , 2 ) = − 5 jika u = 3−
5. Diketahui r D
ˆ j dan
v f ( 1 , 2 ) = 10 jika v = 4+
a. Tentukan f x (1,2) dan f y (1,2)
b. Tentukan turunan berarah f di (1,2) dalam arah ke (0,0)
Bidang Bidang Singgung Singgung
Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S
pada titik P o (a,b,c) adalah sebuah bidang yang melalui
r P o dan tegak lurus pada ∇ f ( a , b , c )
Teorema:
Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidang singgung di titik (a, b, c) adalah :
F x (a,b,c) (x–a) + F y (a,b,c) (y–b) + F z (a,b,c) (z–c) = 0 Jika permukaan z = f(x, y) maka persamaan bidang
singgung di (a, b, f(a, b)) adalah : z – f(a,b) = f x (a,b) (x – a) + f y (a,b) (y – b)
Contoh Contoh
1. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal
2 2 permukaan x 2 +y + 2z = 23 di titik (1, 2, 3)
2 2 Jawab: Misalkan F(x,y,z) = x 2 +y + 2z r
ˆ ( 1 , 2 , 3 ) = 2 ˆ i + 4 ˆ j + 12 k
Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah
2(x – 1) + 4(y – 2) + 12 (z – 3) = 0 2x + 4y + 12 z = 46
Contoh Contoh ( ( Lanjutan Lanjutan ) )
Jadi persamaan parameter garis normal adalah
x = 1+2t , y = 2 + 4t , z = 3 + 12 t
Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal
Contoh Contoh
2. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal
2 permukaan z = f(x,y)=x 2 +2xy-3xy +2 di titik (1, 2, -5) Jawab:
f x ( 1 , 2 ) = 2 + 4 − 12 = − Ö 6
f y ( x , y ) = 2 x − 6 xy
f y ( 1 , 2 ) = 2 − 12 = − Ö 10
Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah
(z + 5) = –6(x – 1) –10(y – 2) 6x + 10y + z = 21
Contoh Contoh
Jadi persamaan parameter garis normal adalah
x = 1+6t , y = 2 + 10t , z = –5 + t
Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal
Latihan Latihan
1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan
2 a. x 2 +y – 3z = 2 di titik (-1, -4, 6)
b. y = e x cos z di titik (1, e, 0)
c. x 1/2 +y +z = 4 di titik (4, 1, 1)
d. z= 2e 3y cos 2x di titik ( π/3, 0, -1)
2 2. Tentukan semua titik pada permukaan z=x 2 –2xy–y –8x+4y dimana bidang singgungnya mendatar
2 3. Perlihatkan bahwa permukaan x 2 +4y+z =0 dan
2 2 x 2 +y +z – 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2). yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama
2 2 4. Tentukan sebuah titik pada permukaan x 2 +2y +3z =12 di mana bidang singgungnya tegak lurus garis dengan
persamaan parameter: x=1+2t , y=3+8t , z=2 – 6t
Maksimum Maksimum dan dan Minimum Minimum Fungsi Fungsi Dua Dua Peubah Peubah
Definisi
Misalkan (x 0 ,y 0 ) ∈D f , maka
f(x 0 ,y 0 ) adalah nilai m aksim um global dari f pada D f ,
jika f(x 0 ,y 0 ) ≥ f(x,y), ∀ (x,y) ∈ D f
f(x 0 ,y 0 ) adalah nilai m inim um global dari f pada D f ,
jika f(x 0 ,y 0 ) ≤ f(x,y), ∀ (x,y) ∈ D f
f(x 0 ,y 0 ) adalah nilai ekst rim global dari f pada D f , jika
ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global.
Definisi yang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan
bahwa pertidaksamaan berlaku pada N ∩ S, dengan N
suatu daerah di sekitar (x 0 ,y 0 ).
Di Di mana mana nilai nilai ekstrim ekstrim muncul muncul ? ?
Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis
Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu Titik-titik batas D f Titik Stasioner Titik Singular
Uji Uji Nilai Nilai Ekstrim Ekstrim
Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu:
Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang
r kontinu di sekitar (x 0 ,y 0 ), ∇ f ( x 0 , y 0 ) = 0
dan
D ( x 0 , y 0 ) = f xx ( x 0 , y 0 ) . f yy ( x 0 , y 0 ) − ( f xy ( x 0 , y 0 ) )
maka
1. f(x 0 ,y 0 ) nilai maksimum lokal jika D>0 dan f xx ( x 0 , y 0 ) < 0
2. f(x 0 ,y 0 ) nilai minimum lokal jika D>0 dan f xx ( x 0 , y 0 ) > 0
3. f(x 0 ,y 0 ) titik pelana jika D<0
4. Jika D=0, tidak dapat ditarik kesimpulan
Contoh Contoh
1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari
4 2 f(x,y) = 2x 2 –x +3y
Jawab
x (x,y) = 8x – 2x f y (x,y) = 6y
f 2 xx (x,y) = 24x –2f yy (x,y) = 6
f xy (x,y) = 0 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan
persamaan f x (x,y) = 0 dan f y (x,y)=0, yaitu
3 8x 2 – 2x=0 2x (4x – 1)=0 x=0 , x =± ½
6y =0
y=0
Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0)
Contoh Contoh ( ( lanjutan lanjutan ) )
Mengenai jenis titik kritisnya, bisa dilihat pada tabel berikut:
D Keterangan
6 0 –12 Titik pelana
4 6 0 24 Titik Minimum
(-½, 0)
4 6 0 24 Titik Minimum
Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (½,0) dan (-½,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana.
Contoh Contoh
2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari
2 f(x,y) =x 2 –y +1 pada S={(x,y)| x +y ≤ 1} Jawab
f x (x,y) = 2x
f y (x,y) = – 2y
f xx (x,y) = 2
f yy (x,y) = –2
f xy (x,y) = 0 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan
persamaan f x (x,y) = 0 dan f y (x,y)=0, yaitu didapat (0,0) Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0)( Æ t erlet ak di dalam S ), sedangkan jenisnya titik pelana (nilai D < 0)
Untuk titik-titik batasnya, misalkan x=cos t dan y=sint (karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapat
2 f(t)=cos 2 t – sin t+1
(untuk mencari maks/min dari f(x,y) pada S)
Contoh Contoh ( ( lanjutan lanjutan ) )
Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, yaitu:
f’(t)=–2 cos t sint – 2 sint cost = 0
4 cos t sint= 0
t= 0, Ö π/2, π, 3π/2 Ö
sin2t= 0
2t= 0, π, 2π, 3π
Untuk t = 0
x = 1, y = 0
f(1, 0) = 2
Untuk t = π/2
x = 0, y = 1
f(0, 1) = 0
Untuk t = π
x = -1, y = 0
f(-1, 0) = 2
Untuk t = 3 π/2
x = 0, y = -1
f(0, -1) = 0
Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1)
Latihan Latihan
1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya, dari
e . f ( x , y ) = xy + + x y
3 a. f(x,y) = x 3 +y -6xy
2 2 b. f(x,y) = xy 2 –6 x – 6y
2 c. f(x,y) = x 2 +4 y – 2x+8y – 1
3 d. f(x,y) = 3x 2 +y – 9x + 4y
2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari
2 a. f(x,y) =x 2 –6x+y –8y+7 pada S={(x,y)| x +y ≤ 1}
b. f(x,y) =3x+4y pada S={(x,y)| 0 ≤ x ≤1, –1≤ y ≤ 1} b. f(x,y) =3x+4y pada S={(x,y)| 0 ≤ x ≤1, –1≤ y ≤ 1}
Metode Metode Lagrange Lagrange
Untuk mencari nilai ektrim terkendala Misalkan z =f(x,y) dengan kendala
g(x,y) = 0. Akan dicari ektrim f terhadap kendala g. Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi
2 f (x,y) = 9 – x 2 –y berikut : Untuk memaksimumkan f thd kendala g(x,y) =0 Æ
sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian
f (x, y) = k dengan fungsi kendala g (x, y) = 0 sehingga diperoleh k ≥ f (x, y) untuk setiap
x, y ∈D f sepanjang g (x, y) = 0
Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung Æ garis tegak lurusnya sama karena
kurva ketinggian ⊥ ∇ f dan kurva kendala
maka ∇ f ( x , y ) = λ ∇ g ( x , y )
Metode Metode Lagrange Lagrange
Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x 0 ,y 0 )
terhadap kendala g(x 0 ,y 0 )=0, selesaikan
∇ f ( x 0 , y 0 ) = λ ∇ g ( x 0 , y 0 ) dan g ( x 0 , y 0 ) = 0
dengan (x 0 ,y 0 ) titik kritis, λ pengali langrange
Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x 0 ,y 0 ) terhadap kendala g(x 0 ,y 0 )=0 dan h(x 0 ,y 0 )=0, selesaikan
∇ f ( x 0 , y 0 ) = λ ∇ g ( x 0 , y 0 ) + µ ∇ h ( x 0 , y 0 ) , g(x 0 ,y 0 )=0, h(x 0 ,y 0 )=0
dengan (x 0 ,y 0 ) titik kritis, λ pengali langrange
Contoh Contoh
Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari
2 1. f(x,y)= x 2 –y + 1 pada lingkaran x +y =1 Jawab:
Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut
∇ f ( x , y ) = λ ∇ g ( x , y ) dan g ( x , y ) = 0
yaitu:
2x = λ 2x …….(1) – 2y = λ 2y …….(2)
2 x 2 +y = 1 ……..(3)
Contoh Contoh ( ( lanjutan lanjutan ) )
Dari persamaan (3), nilai x dan y tidak mungkin sama- sama nol, sehingga
Untuk x ≠ 0, dari (1) di dapat λ = 1, kemudian dari (2) di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x 2 =1 Æx=±1
Untuk y ≠ 0, dari (2) di dapat λ = -1, kemudian dari (1) di dapat x = 0, dan dari (3) di dapat y 2 =1 Æy=±1
Titik-titik kritis yaitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1) Untuk (1,0)
f(1, 0) = 2, untuk (-1,0)
f(-1, 0) = 2
Untuk (0,1)
f(0, 1) = 0, untuk (0,-1)
f(0,-1) = 0
Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1)
dan (0,-1)
Contoh Contoh
2. f(x,y,z)= x + 2y+3z pada elips yang merupakan
2 perpotongan x 2 +y =2 dan bidang y + z = 1 Jawab:
Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut
dan h ( x , y , z ) = 0
yaitu:
1=2 λx …………….(1) 2=2 λy + µ …….(2)
2 x 2 +y = 2 ……..…..(4) y + z = 1 ……..…..(5)
Contoh Contoh ( ( lanjutan lanjutan ) )
Dari (1), x = 1/(2 λ), dari (2) dan (3), y = -1/(2λ). Jadi dari (4), didapat λ = ± ½.
Untuk λ = ½, didapatkan titik kritis (1, -1, 2). Untuk λ = -½, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0).
Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,2), Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0)
Latihan Latihan ( ( Gunakan Gunakan Metode Metode Lagrange) Lagrange)
2 1. Tentukan nilai minimum dari f(x,y) = x 2 +y pada kendala g(x,y)= xy – 3 = 0
2. Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = xy pada lingkaran
2 x 2 +y =1
2 3. Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = 4x 2 – 4xy+ y
2 pada kendala x 2 +y =1
2 2 4. Tentukan nilai minimum dari f(x,y) = x 2 +y +z pada kendala x + 3y – 2z = 12