Permukaan di Ruang (R

3 Permukaan 3 Permukaan di di Ruang Ruang (R (R ) )

Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain :

Bola, mempunyai bentuk umum :

2 2 Jejak di bidang XOY, z = 0 Î 2 x + y = a , berupa lingkaran

Jejak di bidang XOZ, y = 0 Î x + z = a , berupa lingkaran

Jejak di bidang YOZ, x = 0 Î y + z = a , berupa lingkaran

Gambar Gambar Bola Bola

Permukaan Permukaan di di Ruang Ruang

Elipsoida, mempunyai bentuk umum

, a, b, c > 0

Jejak di bidang XOY, z = 0 Î + = 1 , berupa Ellips

Jejak di bidang XOZ, y = 0 Î + = 1 , berupa Ellips

2 2 , berupa Ellips

Jejak di bidang YOZ, x = 0 Î

Gambar Gambar Ellipsoida Ellipsoida

3 Permukaan 3 Permukaan di di R R

Hiperboloida berdaun satu, mempunyai bentuk umum:

2 + 2 − 2 = 1 , a, b, c > 0 a b c

Jejak di bidang XOY, z = 0 Î

2 2 , berupa Ellips

Jejak di bidang XOZ, y = 0 Î

2 2 , berupa Hiperbolik

Jejak di bidang YOZ, x = 0 Î

2 2 , berupa Hiperbolik

Gambar Gambar Hiperbolik Hiperbolik Berdaun Berdaun Satu Satu

3 Permukaan 3 Permukaan di di R R

Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentuk umum: 2 2 x 2 y z

2 − 2 − 2 = 1 , a, b, c > 0 a b c

≤ - a atau x ≥ a

, maka terdefinisi saat x

Jejak di bidang XOY, z = 0 Î

2 2 1 , berupa Hiperbolik

Jejak di bidang XOZ, y = 0 Î

2 2 1 , berupa Hiperbolik

Jejak di bidang YOZ, x = 0 Î − − = 1

2 2 , tidak ada jejak

Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips

Gambar Gambar Hiperbolik Hiperbolik Berdaun Berdaun Dua Dua

3 Permukaan 3 Permukaan di di R R

Paraboloida eliptik , mempunyai bentuk umum: 2 x 2 y

, a, b, c > 0

Paraboloida hiperbolik , mempunyai bentuk umum: 2 x 2 y

, a, b, c > 0

Kerucut eliptik , mempunyai bentuk umum: 2 2 x 2 y z

Bidang , mempunyai bentuk umum:

A x + By + Cz = D

Gambar Gambar

Paraboloida Eliptik

Paraboloida Hiperbolik

Bidang Kerucut Eliptik

Latihan Latihan : : Gambarkan Gambarkan

2 1. 2 x +y =4

2. 2 y=x

3. 2x + 2y + 4z = 8 , di oktan 1

2 2 4. 2 9z + 9x + 4y = 36

5. z =4

2 2 6. 2 x +y +z – 2x – 2y – 4z = 3

Fungsi Fungsi Dua Dua Peubah Peubah

Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y)

Notasi : f : A 2 ÆR (ACR )

(x,y) Æ z = f(x,y)

Contoh:

2 1. f(x,y) = x 2 +4y

2. f(x,y) =

36 − 9 x − 4 y

3. f(x,y) = 2 2

Daerah Daerah Asal Asal ( ( D D ) ) dan dan Daerah Daerah Nilai Nilai ( ( R R )

Contoh. Tentukan dan gambarkan D f dari

2 1. f(x,y) = x 2 +4y

2 . f ( x , y ) = 36 − 9 x − 4 y

Contoh Contoh ( ( Jawab Jawab ) )

2 2 1. 2 D

f ={(x,y) ∈R |x +4y ∈ R} = {(x,y) 2 ∈R }

2. D f = ⎨ ( x , y ) ∈ R

36 − 9 x − 4 y ∈ R ⎬

2 2 = {(x,y) 2 ∈R | 36 – 9x – 4y ≥ 0}

2 2 = {(x,y) 2 ∈R | 9x + 4y ≤ 36}

Contoh Contoh ( ( Jawab Jawab ) )

3. 2 D

= {(x,y) 2 ∈R | x(1 – y) ≥ 0} = {(x,y) 2 ∈R |x ≥0 dan (1–y)≥0 atau x≤0 dan (1–y)≤0}

= {(x,y) 2 ∈R |x ≥ 0 dan y ≤ 1 atau x≤0 dan y ≥ 1} y

Latihan Latihan

Tentukan dan Gambarkan D f dari

16 − x − y

1. f(x,y) =

2 2 4. f(x,y) =

ln( x + y )

ln( x − y + 1 )

2. f(x,y) =

5. f(x,y) =

y− 2

3. f(x,y) =

Grafik Grafik Fungsi Fungsi Dua Dua Peubah Peubah

Grafiknya berupa permukaan di ruang

z Z=f(x,y)

Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan tepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di satu titik.

Contoh Contoh

Gambarkan Grafik

2 1. 2 f(x,y) = 2 x + 3y

2 z=2x 2 + 3y

Paraboloida eliptik

2 2. 2 f(x,y) = 3 – x –y

z=3–x y –y

Contoh Contoh

36 − 9 x − 4 y

3. f(x,y) =

4. f(x,y) = 4 16 −

2 2 z 2 = 16 –x –y

2 2 x 2 +y +z = 16

Bola 4

Kurva Kurva Ketinggian Ketinggian

z = f(x,y) Æ z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proyeksi perpotongan grafik z = f(x,y) dengan bidang z =k pada bidang XOY.

Contoh: Gambarkan kurva ketinggian z = k dari

2 1. f(x,y) = x 2 + 2y , k = 0, 1, 2, 4

2. f(x,y) = 2x – y 2 , k = -2, 0, 2, 4

Contoh Contoh ( ( Jawab Jawab ) )

2 1. f(x,y) = x 2 + 2y , k = 0, 1, 2, 4

Ö x +2 y =0 x = 0, y = 0 Ö titik (0, 0)

2 Untuk k = 0 2

Ö x +2 y =1 2 2

2 Untuk k = 1 2

1 Ö 1 elips

2 Untuk k = 2 2 Ö x +2 y =2

+y = 1 Ö elips

k=0

2 k=1 x

2 k=2 Untuk k = 4 2 Ö x +2 y =4

k=4

= 1 Ö elips

Contoh Contoh ( ( Jawab Jawab ) )

2. f(x,y) = x – y 2 , k = -2, 0, 2, 4 Untuk k = -2 2

Ö x–y = -2

Ö parabola

x=y 2 –2

Ö x–y =0

Untuk k = 0 2

x=y 2

Ö parabola

Untuk k = 2 2 Ö x–y =2

k=0

Ö parabola

k=2 k=4

x=y k=-2 +2

Untuk k = 4 2 Ö x–y =4

Ö parabola

x=y 2 +4

Latihan Latihan

Gambarkan kurva ketinggian z = k dari

1. f(x,y) = x 2 /y , k = -4, -1, 0, 1, 4

2 2. f(x,y) = x 2 +y , k = 0, 1, 4, 9

3. f(x,y) = xy , k = -4, -1, 0, 1, 4

2 4. f(x,y) = y 2 –x , k = 1, 2, 3, 4

Limit Limit Fungsi Fungsi Dua Dua Peubah Peubah

Definisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y) mendekati (a,b) ditulis

lim f ( x , y ) = L

Jika ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∋ 0 < ( x − a )( + y − b ) < δ berlaku

f ( x , y ) −L < ε

Z =f(x,y)

L+ ε L L– ε

y δ (a,b)

Catatan Catatan

lim f ( x , y ) = L ada jika lim f ( x , y ) = L untuk sembarang

kurva yang melalui (a,b). Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R 2 yang melalui

(a,b) dengan nilai lim f ( x , y ) berbeda untuk masing-masing

kurva, maka dikatakan lim f ( x , y ) tidak ada.

. (a,b)

Contoh Contoh

xy lim

Buktikan bahwa limit ( x , y ) → ( 0 , 0 ) 2 2 berikut tidak ada

Jawab

xy

f 2 ( x , y ) = terdefinisi di D =R – {(0,0)}

Di sepanjang garis y=0, kecuali x =0, maka nilai f adalah

Limit f( x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = 0 adalah

lim f ( x , 0 ) = lim

Contoh Contoh ( ( Lanjutan Lanjutan ) )

Di sepanjang garis y=x, maka nilai f adalah

Limit f( x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = x adalah

lim f ( x , x ) = lim

Karena lim f ( x , 0 ) ≠ lim f ( x , x ) maka

xy

lim

2 2 ( tidak ada x , y ) ( 0 , 0 )

Latihan Latihan

Buktikan bahwa limit berikut tidak ada

1. lim

3. lim

2. lim

Kekontinuan Kekontinuan

Definisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jika

i. f(a,b) terdefinisi

ii. lim f ( x , y ) ada

iii. lim f ( x , y ) = f ( a , b )

Teorema:

1. Polinom dengan m peubah kontinu di R m

2. Fungsi rasional m peubah f(x,y) = p(x,y)/q(x,y)

kontinu pada D f asal q(x,y)≠0

3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f

fungsi satu peubah kontinu di g(a,b) maka f 0 g

kontinu di (a,b) didefinisikan f 0 g (x,y) = f(g(x,y))

Contoh Contoh Kekontinuan Kekontinuan

Selidiki kekontinuan fungsi berikut:

1. f(x,y) = 2

Kontinu dimana-mana (R 2 ) kecuali di parobola y =4x

2 2. f(x,y) = 2 cos( x −

4 xy + y )

2 Misal g(x,y) = x 2 -4xy+y (Polinom) Æ g kontinu dimana- mana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R.

Maka f(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang

Turunan Turunan Parsial Parsial

Definisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y.

1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut

f ( x + h , y ) − f ( x , y ) f x ( x , y ) = lim

2. Turunan parsial pertama dari f terhadap y

(x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut f ( x , y + h ) − f ( x , y )

f y ( x , y ) = lim h → 0 h

Contoh Contoh : :

Tentukan f x dan f y

f ( x , y ) = ln sin t dt ∫

2 f 2 x (x,y) = 3 x y+4y

f x (x,y)=0. ln(siny)–1. ln(sinx)

3 f x (x,y) = – ln(sinx)

f y (x,y) = x + 8 xy

2 2 f y (x,y)=1. ln(siny)–0. ln(sinx)

2. f ( x , y ) = y cos( x + y )

f y (x,y) = ln(siny)

Jawab

2 f 2 x (x,y) = –2xy sin(x +y )

2 2 2 2 f 2 y (x,y) = cos(x +y )– 2y sin(x +y )

Latihan Latihan

Tentukan f x dan f y

1. f ( x , y ) = x cos( x + y ) + y sin 2 xy

2. t f ( x , y ) = e ∫ dt

y cos

3. f ( x , y ) = x sin( x + y ) + y cos( 2 xy )

Tentukan f x ,f y dan f z

1. 2 f ( x , y , z ) =

xy + y z + 3 xz

2. f ( x , y , z ) = x cos( y − z ) + 2 xy

Turunan Turunan Parsial Parsial Kedua Kedua

f xx ( x , y ) =

f yy ( x , y ) =

f xy ( x , y ) =

f yx ( x , y ) =

⎜⎜ ⎟⎟ ∂ x ⎝ ∂ y ⎠ ∂ x ∂ y

Contoh Contoh

Tentukan f xx ,f yy ,f xy ,f yx

3 3 1. f(x,y)= x y 2 +y x Jawab

3 f 3 x (x,y) = y + 2xy

2 2 f 2 y (x,y) = 3xy + 3x y

f 3 xx (x,y) = 2y

2 f 2 xy (x,y) = 3y + 6xy

f 2 yy (x,y) = 6xy + 6x y

2 f 2 yx (x,y) = 3y + 6xy

Contoh Contoh

2 2. f(x,y) = xy sin(x 3 +2xy+y ) Jawab

2 f 3 x (x,y) = y sin(x +2xy+y ) + xy(2x+2y) cos(x +2xy+y )

2 3 2 2 f 3 y (x,y) = x sin(x +2xy+y )+xy(2x+3y ) cos(x +2xy+y )

2 3 2 2 f 3 xx (x,y)=y(2x+2y)cos(x +2xy+y )+(4xy+2y )cos(x +2xy+y )

2 2 – xy(2x+2y) 3 sin(x +2xy+y )

2 3 2 2 f 3 xy (x,y) = sin(x +2xy+y )+y(2x+3y ) cos(x +2xy+y )

2 2 +(2x 3 +4xy)cos(x +2xy+y )

2 2 –xy(2x+2y)(2x+3y 3 )sin(x +2xy+y )

2 2 3 2 2 2 f 3 yy (x,y)=(2x+3y )sin(x +2xy+y )+(2x +9xy )sin(x +2xy+y )

2 2 2 –xy(2x+3y 3 ) sin(x +2xy+y )

2 3 2 f 3 yx (x,y) = sin(x +2xy+y )+x(2x+2y)cos(x +2xy+y )

3 2 +(4xy+3y 3 )cos(x +2xy+y )

2 2 –xy(2x+2y)(2x+3y 3 )sin(x +2xy+y )

Latihan Latihan

Tentukan f xx ,f yy ,f xy ,f yx

1. f(x,y) = x cos(xy) + xy e x+y

2 2. f(x,y) = ln(x 3 + 2 xy + y )

3. f(x,y) = tan 2 (y /x)

2 4. f(x,y) =ln(x 2 +2xy+y )

5. f(x,y) = (2x-y)/(xy)

Arti Arti Geometri Geometri Turunan Turunan Parsial Parsial

Perpotongan bidang y = b dengan fungsi permukaan

f(x,y) berupa sebuah kurva

(lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y)

terhadap x di titik (a,b)

merupakan

(a, b)

gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu x .

Arti Arti Geometri Geometri Turunan Turunan Pertama Pertama (2) (2)

Perpotongan bidang x = a dengan fungsi permukaan

f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada

permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y)

terhadap y di titik (a,b)

(a, b)

merupakan

gradien garis singgung

terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam

arah sejajar sumbu y.

Soal Soal

Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan

2 1. 2 36 z= 4x + 9y dengan x = 3 di titik (3,2,2) Jawab: Turunan parsial terhadap y adalah

Sehingga didapat f y ( 3 , 2 ) =

= 1 . Bilangan ini adalah

menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (3,2,2)yaitu 1/1.

Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) dan melalui titik (3,2,2), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah

x = 3, y = 2 + t , z = 2 + t

Soal Soal

Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan

2 2. 2 2z = √(9x +9y -36) dengan bidang y=1 di titik (2, 1,(3/2)) Jawab: Turunan parsial terhadap x adalah

18 x

∂ x 4 9 x + 9 y − 36 2 9 x + 9 y − 36

Sehingga didapat f x ( 2 , 1 ) = = 3 . Bilangan ini adalah

menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (2,1,(3/2))yaitu 3/1.

Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan melalui titik (2,1,(3/2)), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah

x = 2+t, y = 1 , z = 3/2 + 3 t

Latihan Latihan

Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurva perpotongan

2 1. 2 3z = √(36-9x -4y ) dengan bidang x = 1 di titik (1, 2, √(11/3))

2. 2 4z =5 √(16-x ) dengan bidang y=3 di titik (2, 3, 5 √(3/2))

Vektor Vektor Gradien Gradien

Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D 2 ⊂R Definisi

Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) ∈D, didefinisikan sebagai

r ∇ f ( x , y ) = f x ( x , y ) iˆ + f y ( x , y ) jˆ

iˆ , jˆ adalah vektor satuan di arah sumbu x,y positif Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y)

Definisi Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah

r ∇ f ( x , y , z ) = f x ( x , y , z ) iˆ + f y ( x , y , z ) jˆ + f z ( x , y , z ) kˆ

iˆ , jˆ , kˆ adalah vektor satuan di arah sumbu x,y,z positif

Contoh Contoh

Tentukan xy ∇ f ( x , y ) dan ∇f ( − 1 , − 1 ) dari f ( x , y ) = x e Jawab

Sehingga diperoleh: r

( e + xye

2 ∇ xy f ( x , y ) =

xy

xy

Latihan Latihan

I. Tentukan ∇ f dari

3. f ( x , y ) = sin () x y

II. Tentukan ∇ f di titik yang diberikan

2 1. 2 f ( x , y ) =

x y − xy

di P (– 2,3)

2. f ( x , y ) = ln( x − xy + 4 y ) di P (– 3, 3)

3. f ( x , y ) =

di P (2, –1)

Aturan Aturan Rantai Rantai

Misalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t dan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t)) Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagai

dz ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y

dt ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t

Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka dz ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y

() i

ds ∂ x ∂ s ∂ y ∂ s dz ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y

() ii

dt ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t

Contoh Contoh

dw

2 3 3 1. Misalkan w = x 2 y dengan x = t dan y = t , tentukan dt Jawab:

dw ∂ w ∂ x ∂ w ∂ y

dt

3 2 2 = 2x y 2 (3t )+3 x y (2t )

3 2 3 2 3 2 2 = 2t 2 (t ) (3t )+3 (t ) (t ) (2t )

3 6 2 6 = 2t 4 .t . 3t +3 t .t . 2t

11 11 = 6t 11 +6 t = 12 t

Contoh Contoh

2 2. Misalkan z = 3x 2 –y dengan x = 2 s+7 t dan y = 5 s t,

Jawab: dz ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y

dt ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t = 6x. 7 + (–2y) 5 s

= 42 (2s +7t ) – 50 s 2 t dz ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y

ds ∂ x ∂ s ∂ y ∂ s = 6x. 2 + (–2y) 5 t

= 12 (2s +7t ) – 50 s t 2

Latihan Latihan

dw

1. Tentukan

(dalam t)

dt

2 a. w = x 2 y–y x ; x = cos t , y = sin t

b. w = e y siny – e sin x ; x = 3t , y = 2t

2 3 c. w = sin(xyz 2 ) ;x=t ,y=t ,z=t

dw

2. Tentukan

(dalam t dan s)

dt

a. w = x 2 – y lnx ; x = s/t , y = s t

b. w = ; x = s sin t , y = t sin s e

Turunan Turunan Berarah Berarah

Andaikan f dapat didiferensialkan di (a, b), maka turunan

berarah di (a, b) pada arah vektor satuan u = u 1 iˆ + u 2 jˆ

adalah hasilkali titik antara vektor gradien dengan vektor satuan tersebut. Dengan demikian dapat ditulis :

x (a, b)u 1 +f y (a, b)u 2 Perhatikan bahwa

D u f ( p ) = ∇ f ( p ) • u atau D f(a, b) = f

D u f ( p ) = ∇ f ( p ) • u = ∇ f ( p ) u cos θ = ∇ f ( p ) cos θ

Sehingga, Turunan berarah akan bernilai maksimum ( θ=0)jika

u =r

Sebaliknya akan minimum jika u = − r

Contoh Contoh

1. 3 Tentukan turunan berarah dari f(x,y) = 4x y pada titik r

P(2,1) dalam arah vektor a = 4 ˆ i + 3 ˆ j

Jawab:

u f ( 2 , 1 ) = f x ( 2 , 1 ) u 1 + f y ( 2 , 1 ) u 2 Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a

=r ˆ = = i + j

f 2 x (x,y)= 12 x y

f x (2, 1)= 12.2 Ö .1 =48

f 3 y (x,y)= 4 x

f =32

Sehingga r D

Contoh Contoh

2. Tentukan turunan berarah dari f(x,y,z) = xy sinz pada

ˆ titik P(1,2, π/2) dalam arah vektor a = ˆ i + 2 ˆ j + 2 k Jawab:

2 2 2 2 Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a

u =r =

f x (x,y,z)= y sinz

f x (1,2, Ö π/2)= 2 sin(π/2) =2

f x (1,2, Ö π/2)= 1.sin(π/2) =1

f y (x,y,z)= x sinz

f z (1,2, Ö π/2)= 1.2 cos(π/2) =0

f z (x,y,z)= xy cosz

Contoh Contoh ( ( Lanjutan Lanjutan ) )

Sehingga

Latihan Latihan

1. Tentukan turunan berarah fungsi f pada titik P yang diberikan dalam vektor a

a. f( x,y) = y 2 lnx , P(1, 4), a = -3 i + 3 j

b. f( x,y) = xe x – ye , P(0, 0), a = 5 i – 2 j

c. f( x,y) = e –xy , P(1, –1), a = – i + √3 j

d. f( x,y) = x/ ( x – y) , di P(1, –1) dalam arah ke titik Q(-1,-1)

e. f( x,y,z) = xy+ z 2 , di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3)

2. Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah ini

2 a. f( x,y) = x 2 –y , P(2, –1) d. f( x,y) = 1–x –y , P(–1,2)

b. f( x,y) = e y sin x , P(5 π/6,0)

3 c. f( x,y) = 4x 2 y , P(–1,1)

Latihan Latihan ( ( lanjutan lanjutan ) )

3. Misal f ( x , y ) = .Tentukan u sehingga r D u f ( 2 , 3 ) = 0

4. Jika ∇ f ( x ,

j r ,Tentukan u sehingga D

u f ( 1 , 2 ) = − 5 jika u = 3−

5. Diketahui r D

ˆ j dan

v f ( 1 , 2 ) = 10 jika v = 4+

a. Tentukan f x (1,2) dan f y (1,2)

b. Tentukan turunan berarah f di (1,2) dalam arah ke (0,0)

Bidang Bidang Singgung Singgung

Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S

pada titik P o (a,b,c) adalah sebuah bidang yang melalui

r P o dan tegak lurus pada ∇ f ( a , b , c )

Teorema:

Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidang singgung di titik (a, b, c) adalah :

F x (a,b,c) (x–a) + F y (a,b,c) (y–b) + F z (a,b,c) (z–c) = 0 Jika permukaan z = f(x, y) maka persamaan bidang

singgung di (a, b, f(a, b)) adalah : z – f(a,b) = f x (a,b) (x – a) + f y (a,b) (y – b)

Contoh Contoh

1. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal

2 2 permukaan x 2 +y + 2z = 23 di titik (1, 2, 3)

2 2 Jawab: Misalkan F(x,y,z) = x 2 +y + 2z r

ˆ ( 1 , 2 , 3 ) = 2 ˆ i + 4 ˆ j + 12 k

Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah

2(x – 1) + 4(y – 2) + 12 (z – 3) = 0 2x + 4y + 12 z = 46

Contoh Contoh ( ( Lanjutan Lanjutan ) )

Jadi persamaan parameter garis normal adalah

x = 1+2t , y = 2 + 4t , z = 3 + 12 t

Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal

Contoh Contoh

2. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal

2 permukaan z = f(x,y)=x 2 +2xy-3xy +2 di titik (1, 2, -5) Jawab:

f x ( 1 , 2 ) = 2 + 4 − 12 = − Ö 6

f y ( x , y ) = 2 x − 6 xy

f y ( 1 , 2 ) = 2 − 12 = − Ö 10

Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah

(z + 5) = –6(x – 1) –10(y – 2) 6x + 10y + z = 21

Contoh Contoh

Jadi persamaan parameter garis normal adalah

x = 1+6t , y = 2 + 10t , z = –5 + t

Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal

Latihan Latihan

1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan

2 a. x 2 +y – 3z = 2 di titik (-1, -4, 6)

b. y = e x cos z di titik (1, e, 0)

c. x 1/2 +y +z = 4 di titik (4, 1, 1)

d. z= 2e 3y cos 2x di titik ( π/3, 0, -1)

2 2. Tentukan semua titik pada permukaan z=x 2 –2xy–y –8x+4y dimana bidang singgungnya mendatar

2 3. Perlihatkan bahwa permukaan x 2 +4y+z =0 dan

2 2 x 2 +y +z – 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2). yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama

2 2 4. Tentukan sebuah titik pada permukaan x 2 +2y +3z =12 di mana bidang singgungnya tegak lurus garis dengan

persamaan parameter: x=1+2t , y=3+8t , z=2 – 6t

Maksimum Maksimum dan dan Minimum Minimum Fungsi Fungsi Dua Dua Peubah Peubah

Definisi

Misalkan (x 0 ,y 0 ) ∈D f , maka

f(x 0 ,y 0 ) adalah nilai m aksim um global dari f pada D f ,

jika f(x 0 ,y 0 ) ≥ f(x,y), ∀ (x,y) ∈ D f

f(x 0 ,y 0 ) adalah nilai m inim um global dari f pada D f ,

jika f(x 0 ,y 0 ) ≤ f(x,y), ∀ (x,y) ∈ D f

f(x 0 ,y 0 ) adalah nilai ekst rim global dari f pada D f , jika

ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global.

Definisi yang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan

bahwa pertidaksamaan berlaku pada N ∩ S, dengan N

suatu daerah di sekitar (x 0 ,y 0 ).

Di Di mana mana nilai nilai ekstrim ekstrim muncul muncul ? ?

Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis

Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu Titik-titik batas D f Titik Stasioner Titik Singular

Uji Uji Nilai Nilai Ekstrim Ekstrim

Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu:

Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang

r kontinu di sekitar (x 0 ,y 0 ), ∇ f ( x 0 , y 0 ) = 0

dan

D ( x 0 , y 0 ) = f xx ( x 0 , y 0 ) . f yy ( x 0 , y 0 ) − ( f xy ( x 0 , y 0 ) )

maka

1. f(x 0 ,y 0 ) nilai maksimum lokal jika D>0 dan f xx ( x 0 , y 0 ) < 0

2. f(x 0 ,y 0 ) nilai minimum lokal jika D>0 dan f xx ( x 0 , y 0 ) > 0

3. f(x 0 ,y 0 ) titik pelana jika D<0

4. Jika D=0, tidak dapat ditarik kesimpulan

Contoh Contoh

1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari

4 2 f(x,y) = 2x 2 –x +3y

Jawab

x (x,y) = 8x – 2x f y (x,y) = 6y

f 2 xx (x,y) = 24x –2f yy (x,y) = 6

f xy (x,y) = 0 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan

persamaan f x (x,y) = 0 dan f y (x,y)=0, yaitu

3 8x 2 – 2x=0 2x (4x – 1)=0 x=0 , x =± ½

6y =0

y=0

Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0)

Contoh Contoh ( ( lanjutan lanjutan ) )

Mengenai jenis titik kritisnya, bisa dilihat pada tabel berikut:

D Keterangan

6 0 –12 Titik pelana

4 6 0 24 Titik Minimum

(-½, 0)

4 6 0 24 Titik Minimum

Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (½,0) dan (-½,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana.

Contoh Contoh

2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari

2 f(x,y) =x 2 –y +1 pada S={(x,y)| x +y ≤ 1} Jawab

f x (x,y) = 2x

f y (x,y) = – 2y

f xx (x,y) = 2

f yy (x,y) = –2

f xy (x,y) = 0 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan

persamaan f x (x,y) = 0 dan f y (x,y)=0, yaitu didapat (0,0) Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0)( Æ t erlet ak di dalam S ), sedangkan jenisnya titik pelana (nilai D < 0)

Untuk titik-titik batasnya, misalkan x=cos t dan y=sint (karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapat

2 f(t)=cos 2 t – sin t+1

(untuk mencari maks/min dari f(x,y) pada S)

Contoh Contoh ( ( lanjutan lanjutan ) )

Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, yaitu:

f’(t)=–2 cos t sint – 2 sint cost = 0

4 cos t sint= 0

t= 0, Ö π/2, π, 3π/2 Ö

sin2t= 0

2t= 0, π, 2π, 3π

Untuk t = 0

x = 1, y = 0

f(1, 0) = 2

Untuk t = π/2

x = 0, y = 1

f(0, 1) = 0

Untuk t = π

x = -1, y = 0

f(-1, 0) = 2

Untuk t = 3 π/2

x = 0, y = -1

f(0, -1) = 0

Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1)

Latihan Latihan

1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya, dari

e . f ( x , y ) = xy + + x y

3 a. f(x,y) = x 3 +y -6xy

2 2 b. f(x,y) = xy 2 –6 x – 6y

2 c. f(x,y) = x 2 +4 y – 2x+8y – 1

3 d. f(x,y) = 3x 2 +y – 9x + 4y

2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari

2 a. f(x,y) =x 2 –6x+y –8y+7 pada S={(x,y)| x +y ≤ 1}

b. f(x,y) =3x+4y pada S={(x,y)| 0 ≤ x ≤1, –1≤ y ≤ 1} b. f(x,y) =3x+4y pada S={(x,y)| 0 ≤ x ≤1, –1≤ y ≤ 1}

Metode Metode Lagrange Lagrange

Untuk mencari nilai ektrim terkendala Misalkan z =f(x,y) dengan kendala

g(x,y) = 0. Akan dicari ektrim f terhadap kendala g. Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi

2 f (x,y) = 9 – x 2 –y berikut : Untuk memaksimumkan f thd kendala g(x,y) =0 Æ

sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian

f (x, y) = k dengan fungsi kendala g (x, y) = 0 sehingga diperoleh k ≥ f (x, y) untuk setiap

x, y ∈D f sepanjang g (x, y) = 0

Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung Æ garis tegak lurusnya sama karena

kurva ketinggian ⊥ ∇ f dan kurva kendala

maka ∇ f ( x , y ) = λ ∇ g ( x , y )

Metode Metode Lagrange Lagrange

Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x 0 ,y 0 )

terhadap kendala g(x 0 ,y 0 )=0, selesaikan

∇ f ( x 0 , y 0 ) = λ ∇ g ( x 0 , y 0 ) dan g ( x 0 , y 0 ) = 0

dengan (x 0 ,y 0 ) titik kritis, λ pengali langrange

Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x 0 ,y 0 ) terhadap kendala g(x 0 ,y 0 )=0 dan h(x 0 ,y 0 )=0, selesaikan

∇ f ( x 0 , y 0 ) = λ ∇ g ( x 0 , y 0 ) + µ ∇ h ( x 0 , y 0 ) , g(x 0 ,y 0 )=0, h(x 0 ,y 0 )=0

dengan (x 0 ,y 0 ) titik kritis, λ pengali langrange

Contoh Contoh

Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari

2 1. f(x,y)= x 2 –y + 1 pada lingkaran x +y =1 Jawab:

Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut

∇ f ( x , y ) = λ ∇ g ( x , y ) dan g ( x , y ) = 0

yaitu:

2x = λ 2x …….(1) – 2y = λ 2y …….(2)

2 x 2 +y = 1 ……..(3)

Contoh Contoh ( ( lanjutan lanjutan ) )

Dari persamaan (3), nilai x dan y tidak mungkin sama- sama nol, sehingga

Untuk x ≠ 0, dari (1) di dapat λ = 1, kemudian dari (2) di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x 2 =1 Æx=±1

Untuk y ≠ 0, dari (2) di dapat λ = -1, kemudian dari (1) di dapat x = 0, dan dari (3) di dapat y 2 =1 Æy=±1

Titik-titik kritis yaitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1) Untuk (1,0)

f(1, 0) = 2, untuk (-1,0)

f(-1, 0) = 2

Untuk (0,1)

f(0, 1) = 0, untuk (0,-1)

f(0,-1) = 0

Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1)

dan (0,-1)

Contoh Contoh

2. f(x,y,z)= x + 2y+3z pada elips yang merupakan

2 perpotongan x 2 +y =2 dan bidang y + z = 1 Jawab:

Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut

dan h ( x , y , z ) = 0

yaitu:

1=2 λx …………….(1) 2=2 λy + µ …….(2)

2 x 2 +y = 2 ……..…..(4) y + z = 1 ……..…..(5)

Contoh Contoh ( ( lanjutan lanjutan ) )

Dari (1), x = 1/(2 λ), dari (2) dan (3), y = -1/(2λ). Jadi dari (4), didapat λ = ± ½.

Untuk λ = ½, didapatkan titik kritis (1, -1, 2). Untuk λ = -½, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0).

Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,2), Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0)

Latihan Latihan ( ( Gunakan Gunakan Metode Metode Lagrange) Lagrange)

2 1. Tentukan nilai minimum dari f(x,y) = x 2 +y pada kendala g(x,y)= xy – 3 = 0

2. Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = xy pada lingkaran

2 x 2 +y =1

2 3. Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = 4x 2 – 4xy+ y

2 pada kendala x 2 +y =1

2 2 4. Tentukan nilai minimum dari f(x,y) = x 2 +y +z pada kendala x + 3y – 2z = 12