jurnal PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DAT
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS
MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION
GREY FORECASTING MODEL (1,1)
Cendra Puspa Nuswantri, Suyono dan Widyanti Rahayu
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Jakarta
Jl. Rawamangun Muka, Jakarta Timur 13220, Indonesia
silver.zezia@gmail.com
Abstrak Peramalan jangka pendek sangat diperlukan untuk menyelesaikan hal yang
mendesak. Namun jika data masa lalu yang tersedia sulit didapatkan atau terbatas maka
bisa mengakibatkan sulitnya mendapatkan ramalan yang akurat. Model peramalan
dikatakan baik jika nilai keakuratan peramalannya mendekati data sebenarnya. Grey
Forecasting Model atau GM (1,1) merupakan model peramalan yang menggunakan
persamaan differensial orde satu dan satu variabel. Fourier Residual Modification Grey
Forecasting Model atau FGM (1,1) merupakan modifikasi GM(1,1) dengan
menggunakan Deret Fourier demi meningkatkan keakuratan ramalan jangka pendek
untuk data terbatas.
Kata kunci: Grey Forecasting Model, Fourier Residual Modification Grey Forecasting
Model, Deret Fourier, peramalan jangka pendek, data terbatas.
1 Pendahuluan
Metode peramalan terbagi menjadi dua yaitu metode peramalan kualitatif dan
kuantitatif. Metode peramalan kualitatif digunakan jika metode peramalan kuantitatif
sulit digunakan. Metode peramalan kuantitatif adalah peramalan untuk data-data yang
bisa dikuantitatifkan. Berdasarkan waktunya, peramalan terbagi menjadi peramalan
jangka pendek, peramalan jangka menengah dan peramalan jangka panjang. Peramalan
jangka pendek digunakan untuk kurun waktu tidak lebih dari 3 bulan ke depan.
Peramalan jangka pendek berguna untuk untuk mengambil keputusan yang sifatnya
mendesak seperti ketenagakerjaan, penjadwalan, produksi, dan perencanaan keuangan
(Makridakis, 1990).
Sebelum tahun 1990-an, pendekatan dengan regresi tradisional mendominasi
literatur peramalan, tapi kondisi ini berubah setelah pertengahan 1990-an sebagian besar
peneliti lebih banyak yang menggunakan teknik ekonometrik modern, misalnya model
kointegrasi dan model koreksi kesalahan (Error Correction Model) untuk pemodelan dan
meramalkan permintaan. Selain itu, penelitian sebelumnya telah difokuskan pada analisis
ekonometrik tradisional, dengan model regresi, model deret waktu dan model ARIMA.
Namun model-model tersebut hanya efektif untuk meramalkan permintaan jangka
panjang dan tidak bagus untuk peramalan jangka pendek dan pada data dengan
karakteristik berfluktuasi (Huang & Lee, 2011).
Peramalan menggunakan Grey Forecasting Model pertama kali ditemukan oleh
Deng, 1982. Model peramalan ini merupakan salah satu pengembangan dari Grey
Theory. Keberadaan informasi grey yang belum diketahui pada setiap sistem di berbagai
kehidupan nyata mendorong perkembangan Grey Forecasting Model sangat penting
1
silver.zezia@gmail.com
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
untuk dilakukan. Peramalan akan menghasilkan informasi baru yang akan terjadi di masa
depan. Informasi ini tentu sangat bermanfaat bagi para pembuat kebijakan, pebisnis dan
pengambil keputusan. Namun tidak setiap data mudah didapatkan sehingga data tersebut
jumlahnya terbatas. Peramalan jangka pendek merupakan hal yang sulit dilakukan
apalagi dengan data terbatas. Peramalan dengan GM(1,1) bisa digunakan untuk jumlah
data yang kecil atau dengan kata lain data terbatas. Peramalan ini digunakan untuk
peramalan barisan, prediksi interval, peramalan bencana alam, peramalan musim dan
peramalan pasar modal (Liu & Lin, 2006). Grey Forecasting Model (1,1) atau GM(1,1)
telah berhasil diterapkan untuk data permintaan pariwisata di Taiwan yang volatilitasnya
tinggi (Huang & Lee, 2011). Peramalan ini dilakukan untuk periode jangka panjang.
Model GM(1,1) dengan bentuk umum GM(d,v) dimana d adalah order atau tingkat
persamaan differensial dan v adalah jumlah variabel pada persamaan model (Nguyen &
Huang, 2011). GM (1,1) adalah model peramalan Grey yang menggunakan persamaan
differensial tingkat pertama dengan satu variabel. Dengan demikian diperlukan model
peramalan yang tepat agar hasil peramalannya akurat.
Pada penelitian ini akan digunakan GM (1,1) yang dilanjutkan dengan modifikasi
Deret Fourier demi mendapatkan peramalan jangka pendek untuk data terbatas.
Penggunaan Fourier awalnya dikembangkan oleh Brigham tahun 1998 lalu dilanjutkan
oleh Hsu tahun 2003 untuk peramalan. Modifikasi Grey Forecasting Model dengan
Deret Fourier diharapkan dapat memberikan metode yang lebih efektif untuk menangani
peramalan jangka pendek untuk data terbatas.
2 Landasan Teori
1. Peramalan
Peramalan adalah esensi dari perencanaan dan operasi kontrol dalam berbagai
bidang seperti manajemen produksi, sistem inventori, kontrol kualitas, perencanaan
keuangan dan analisis investasi (Wei, 2006:88). Peramalan dilakukan karena adanya
time lag atau senjang waktu antara kesadaran akan peristiwa atau kebutuhan
mendatang dengan kejadian yang terjadi di masa depan. Adanya lead time atau waktu
tenggang ini merupakan alasan utama bagi perencanaan dan peramalan. Jika waktu
tenggang panjang dan dan hasil peristiwa akhir bergantung pada faktor-faktor yang
diketahui maka perencanaan menjadi sangat penting. Dengan demikian, peramalan
diperlukan untuk menetapkan kapan suatu kejadian terjadi sehingga bisa diputuskan
tindakan untuk mengantisipasi (Makridakis, 1983:3).
Menurut Heizer (2005), berdasarkan waktu peramalan dikelompokkan
menjadi tiga yaitu peramalan jangka panjang, peramalan jangka menengah dan
peramalan jangka pendek . Peramalan jangka pendek adalah peramalan untuk jangka
waktu tidak lebih dari 3 bulan ke depan.
2. Grey Forecasting Model
Grey System Theory pertama kali dikembangkan oleh Deng (1982) yang
difokuskan pada model ketidakpastian dan informasi yang tidak cukup dalam
menganalisis dan memahami sistem melalui riset pada analisis bersyarat, prediksi dan
pengambilan keputusan. Dalam kehidupan nyata sering dijumpai sistem
ketidakpastian sehingga peneliti mendapatkan keterbatasan informasi mengetahui
struktur sistem, parameter dan karakteristik. Contoh yang merupakan sistem grey
misalnya sistem sosial, sistem ekonomi dan sistem cuaca. Dalam sistem tersebut
banyak dijumpai ketidakpastian. Sistem yang pasti misalnya sistem komputer, sistem
2
silver.zezia@gmail.com
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
mesin dan sistem yang eksak lainnya. Grey Forecasting Model merupakan adaptasi
dari bagian inti Grey System Theory dan telah berhasil diaplikasikan dalam bidang
finansial, integrated circuit industry dan pemasaran jasa perjalanan udara. Grey
Forecasting Model menggunakan Operasi Pembangkit Akumulasi atau Accumulated
Generating Operation disingkat AGO untuk membangun persamaan differensial.
Grey Forecasting Model atau disingkat GM memberikan solusi untuk model
ketidakpastian pada data terbatas (minimal terdapat empat data) yang biasa disebut
"partial known, partial unknown" (Liu & Lin, 2006). Model umum peramalan ini
adalah GM (d,v) dimana d adalah order dari persamaan differensial dan v adalah
jumlah variabel dalam persamaan (Nguyen & Huang, 2011). Grey Forecasting Model
digunakan untuk peramalan jangka pendek tanpa perlu memisalkan distribusi data
yang akan diolah. Grey Forecasting Model pada skripsi ini adalah GM(1,1) dimana
menggunakan turunan orde pertama dengan satu variabel.
Untuk mendapatkan model GM(1,1) diperlukan barisan data asli atau data
mentah yang disusun berdasarkan waktu. Data asli dapat dinyatakan dalam definisi
berikut (Huang & Lee, 2011).
Definisi 1. Barisan data asli atau data mentah berdasarkan urutan waktunya
didefinisikan sebagai
dimana
data terkini.
{
}
adalah urutan dari dari data periode paling lampau hingga
Definisi 2. Barisan data first order Accumulated Generating Operation atau AGO
∑
, AGO orde
orde pertama dari
dinotasikan
. Misal
pertama ditulis sebagai
∑
∑
∑
∑
Definisi 3. Inverse Accumulated Generating Operation disingkat IAGO didefinisikan
sebagai
Pada model peramalan GM(1,1) ini, IAGO nantinya akan digunakan untuk
mendapatkan restored value atau nilai ramalan di masa datang yang dinotasikan
sebagai ̂
. Dari barisan data
kemudian didapatkan Barisan pembangkit
Rata-Rata yaitu
.
Definisi 4. Misal
yaitu
adalah nilai rata-rata dari dua data
[
yang berdekatan
]
3
silver.zezia@gmail.com
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
Generated Mean Sequence atau Barisan Pembangkit Rata-Rata dari
dinotasikan
Selanjutnya untuk setiap pasang nilai
dan
dibentuk menjadi
persamaan GM(1,1). Namun sebelum membentuk GM(1,1) perlu diketahui definisi
persamaan diferensial order pertama Grey.
Definisi 5. Persamaan differensial Grey didefinisikan sebagai
dimana
parameternya.
disebut background value dari
dan a dan b adalah parameter -
Proposisi 1. Misalkan barisan data mentah yaitu
{
}
dan barisan Operasi Pembangkit Akumulasi pertama yaitu
{
∑
dimana
Turunan pertama grey dari
}
adalah
(Liu & Lin, 2006:197).
Definisi
6.
Misal
{
}
adalah
{
}
barisan data mentah dan
adalah barisan Operasi Pembangkit Akumulasi pertama. Bentuk asli dari GM(1,1)
dinyatakan sebagai
Simbol GM(1,1) menyatakan bahwa model menggunakan persamaan diferensial orde
adalah Barisan
pertama dan satu variabel. Misal
Pembangkit Rata-Rata dimana
[
Bentuk dasar GM(1,1) dinyatakan sebagai
]
(Liu & Lin, 2010:107).
Pada pembahasan selanjutnya yang digunakan adalah bentuk dasar GM(1,1).
Definisi 7. Parameter a dan b pada GM(1,1) masing-masing disebut development
coefficient dan grey action quantity (Liu & Lin, 2010:203).
4
silver.zezia@gmail.com
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
Untuk mendapatkan nilai parameter a dan b digunakan metode least square estimate
atau estimasi kuadrat terkecil seperti pada teorema berikut ini.
Teorema 1. Misal
terdefinisi sebelumnya,
adalah barisan parameter dan
̂
non-negatif. Jika
,
[
]
[
maka estimasi kudrat terkecil dari
]
memenuhi
(Liu & Lin, 2006:199).
̂
[
]
Definisi 8. Asumsikan
barisan non-negatif,
barisan AGO orde pertama dari
dan
adalah barisan rataan dari
yang berdekatan. Jika
[
]
maka
disebut whitenization atau image equation dari
̂ terdefinisi seperti pada Teorema 1. Jika
[
]
Teorema 2. Misalkan
terpenuhi maka berlaku
1. Solusi (fungsi respon waktu) dari fungsi whitenization
adalah
(
)
2. Barisan respon waktu dari persamaan differensial grey GM(1,1)
adalah
3. Misal
̂
(
̂
(
maka
)
)
adalah
4. Restored value atau nilai ramalan dari
̂
(Liu & Lin, 2006:203).
silver.zezia@gmail.com
̂
̂
5
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
3. Keakuratan Model Peramalan Grey Forecasting Model
Keakuratan model peramalan dapat dilihat dari nilai selisih data asli dan data
hasil ramalan. Setelah mendapatkan hasil ramalan menggunakan Grey Forecasting
Model, untuk melihat keakuratan ramalan dibutuhkan Residual Series, Residual Error
dan Average Residual Error .
Misal
adalah data asli dan ̂
adalah ramalan dengan Grey
Forecasting Model. Residual series didefinisikan sebagai
̂
dimana
|
|
∑|
|
Seringkali Residual Error dan Average Residual Error dinyatakan dalam persen.
̂
∑|
|
Untuk mengetahui tingkat keakuratan ramalan dapat dilihat pada table berikut.
Tabel 2.1 Kriteria keakuratan model peramalan
Kriteria
Tingkatan
Residual Error
Keakuratan
I (Sangat bagus)
1%
90%
II (Bagus)
5%
80%
III (Mencukupi)
10%
70%
IV (Tidak mencukupi)
20%
60%
Sumber: Liu dan Lin, 2010: 135
4. Modifikasi Grey Forecasting Model
Peramalan diawali menggunakan model GM(1,1). Dengan membandingkan
nilai ramalan dan data asli, maka didapatkan residu GM(1,1). Selanjutnya hasil residu
GM(1,1) dimodifikasi menggunakan Fourier sehingga didapatkan FGM(1,1). Dengan
membandingkan kembali antara ramalan FGM(1,1) dengan data asli, akan dihasilkan
residu untuk model FGM(1,1). Berdasarkan Tabel 2.1, semakin kecil Residual Error
maka semakin baik keakuratannya.
5. Deret Fourier
Deret Fourier adalah fungsi periodik
yang dinyatakan dengan
dimana
∑[
(Brigham, 1988:74).
dengan periode
dan frekuensi
]
Pada pembahasan Fourier Residual Modification Grey Forecasting Model atau yang
dikenal sebagai FGM(1,1) ini, koefisien
dan
kan didapatkan dengan cara least
square estimate.
6
silver.zezia@gmail.com
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
3 Pembahasan
Model peramalan Fourier Residual Modification Grey Forecasting Model atau
FGM(1,1) merupakan modifikasi dari model GM(1,1), dalam hal ini yang
dimodifikasi adalah barisan nilai error atau residual series berdasarkan ramalan
adalah original input dan ̂
adalah hasil ramalan
GM(1,1). Misal
dengan GM(1,1). Residual series dinotasikan sebagai
̂
dimana
Jika
maka
untuk
dinyatakan dalam Deret Fourier seperti pada persamaan (2.17)
menjadi
∑[
(
)
(
)]
adalah frekuensi minimum sebaran Deret Fourier dan
dimana
periode
Jika persamaan (3.1) dinyatakan sebagai Deret Fourier maka bisa
ditulis sebagai berikut.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
]
(
[
]
[
)
(
)
(
)
(
)
(3.4)
[
]
[
Dengan menuliskan persamaan (3.4) sebagai
]
[
]
(3.5)
} diperoleh dengan least square estimate
maka parameter {
[
]
.
yaitu
Setelah estimasi parameter {
} diperoleh, Residual
Series yang telah dimodifikasi kemudian dinotasikan kembali sebagai ̂
sehingga
7
silver.zezia@gmail.com
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
̂
∑[
(
)
(
)]
Misal ̂
deret original dari FGM(1,1). Selanjutnya untuk
memperoleh ramalan FGM(1,1) adalah
̂
̂
Pada persamaan (3.7) menunjukkan bahwa FGM(1,1) adalah usaha
meningkatkan keakuratan ramalan GM(1,1) dengan mencari estimasi nilai Residual
Series. Untuk melihat efektifitas ramalan FGM(1,1) selanjutnya dilakukan uji coba
pada data empiris yang memiliki tingkat varian yang berbeda. Untuk mengetahui
keakuratan ramalan FGM(1,1) digunakan persamaan (2.15), (2.16) dan Tabel 2.1
sebagai acuan.
Gambar 3.1 Diagram Alir Prosedur Peramalan dengan Fourier Residual Modification
Grey Forecasting Model (1,1)
8
silver.zezia@gmail.com
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
Peramalan jangka pendek untuk data terbatas menggunakan FGM(1,1)
diterapkan pada data permintaan tiket pesawat pada musim liburan berikut ini.
Tabel 3.1 Data permintaan tiket pesawat
Jumlah
Hari
Penumpang
Senin
4889
Selasa
4771
Rabu
5311
Kamis
5421
Jumat
5868
Sabtu
6002
Minggu
6101
Sumber: Tang dkk, 2005
Tabel 3.2 Hasil peramalan untuk data permintaan tiket pesawat
GM (1,1)
FGM (1,1)
Data
Hari
k
sebenarnya Ramalan Residual Residual Ramalan Residual Residual
value
error
value
error
Senin
1
4889
Selasa 2
4771
4953,82
-183
3,83% 4790,14
-19
0,40%
Rabu
3
5311
5188,06
123
2,31% 5254,83
56
1,06%
Kamis 4
5421
5433,37
-12
0,23% 5505,89
-85
1,57%
Jumat
5
5868
5690,28
178
3,03% 5783,08
85
1,45%
Sabtu
6
6002
5959,34
43
0,71% 6058,21
-56
0,94%
Minggu 7
6101
6241,12
-140
2,30% 6081,85
19
0,31%
Average Residual Error
2,07%
0,95%
Keakuratan
97,93%
99,05%
6500
6300
6100
5900
5700
5500
5300
5100
4900
4700
4500
Data sebenarnya
GM(1,1)
FGM(1,1)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Gambar 3.2 Grafik hasil peramalan permintaan tiket pesawat
Peramalan pada data permintaan tiket pesawat pada musim liburan dengan
menggunakan GM(1,1) memperoleh keakuratan 97,93% dan dengan menggunakan
FGM(1,1) memperoleh keakuratan 99,05%. Selanjutnya untuk melihat efektifitas
9
silver.zezia@gmail.com
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
model peramalan FGM(1,1) juga diterapkan pada data lain dengan tingkat varian
kecil, sedang dan tinggi dan hasilnya adalah FGM(1,1) tetap konsisten memiliki
keakuratan yang lebih tinggi daripada GM(1,1).
4 Penutup
Berdasarkan pada pembahasan mengenai bagaimana melakukan peramalan jangka
pendek untuk data terbatas menggunakan Fourier Residual Grey Forecasting Model atau
FGM(1,1) maka didapatkan kesimpulan bahwa peramalan FGM(1,1) didapatkan dengan
memodifikasi Residual Series atau selisih dari data mentah dan hasil ramalan GM(1,1).
Untuk data mentah yang sama, hasil peramalan jangka pendek dimana datanya terbatas
menggunakan model peramalan FGM(1,1) lebih akurat dibandingkan dengan model ramalan
GM(1,1). FGM(1,1) dapat digunakan untuk meramalkan data yang memiliki varian kecil,
sedang dan bahkan varian besar dengan nilai keakuratan lebih tinggi dibandingkan GM(1,1)
sehingga model peramalan FGM(1,1) lebih efektif dibandingkan GM(1,1).
Pustaka
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
Brigham, E. Oran. (1988). The Fast Fourier Transform and It’s Applcations. New
Jersey: Prentice Hall.
Deng, Julong. (1982). Control Problems of Grey System, Problems and Control
Letters, Vol.5, 288-294. China.
Heizer, J. dan Render B. (2005).Operation Management, Edisi 7. Jakarta: Penerbit
Salemba Empat.
Huang, Y.L. dan Lee, Y.H. (2011). Accurately Forecasting Model for the Stochastic
Volatility Data in Tourism Demand, Modern Economy, Vol.2, 823-829. China.
Liu, Sifeng dan Lin, Yi. (2006). Grey Information: Theory and Practical
Applications. London: Springer-Verlag.
Liu, Sifeng dan Lin, Yi. (2010). Grey Systems: Theory and Applications. United
States of America: Springer.
Makridakis, Spyros G. (1990). Forecasting, Planning and Strategy for 21st Century.
United States of America: Collier Macmillan, Inc.
Makridakis, Spyros G., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. (1983). Forecasting
Methods and Applications, Second Edition. Canada: John Wiley and Sons.
Nagle, R. Kent. (2012). Fundamentals of Differential Equations, 8th Edition.
Boston: Pearson Education, Inc.
Nguyen, T.L. dan Huang, Y.F. (2011). Forecasting Energy Intensity with Fourier
Residual Modified Grey Model: An Empirical Study in Taiwan. Taiwan: National
Kaohsiung University of Applied Sciences.
Tang, dkk. (2005). Study on Grey Model GM (1,1) Forecasting for Airport
Passenger Throughput, China-USA Business Review, Vol. 4. China: Beijing Jiaotong
University.
Wei, William W. S. (2006). Time Series Analysis : Univariate and Multivariate
Methods, Second Edition. United States of America: Pearson Addison Wesley.
Xinping, Xiao dan Rongjiao, Zheng. (2011). Multi-Level Recursive Method of
Short-Term Traffic Flow Forecast Based on PGAGO GM(1,1) Model, Management
Science and Engineering, Vol.5, No.3, 6-10. China: Wuhan University of
Technology.
10
silver.zezia@gmail.com
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS
MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION
GREY FORECASTING MODEL (1,1)
Cendra Puspa Nuswantri, Suyono dan Widyanti Rahayu
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Jakarta
Jl. Rawamangun Muka, Jakarta Timur 13220, Indonesia
silver.zezia@gmail.com
Abstrak Peramalan jangka pendek sangat diperlukan untuk menyelesaikan hal yang
mendesak. Namun jika data masa lalu yang tersedia sulit didapatkan atau terbatas maka
bisa mengakibatkan sulitnya mendapatkan ramalan yang akurat. Model peramalan
dikatakan baik jika nilai keakuratan peramalannya mendekati data sebenarnya. Grey
Forecasting Model atau GM (1,1) merupakan model peramalan yang menggunakan
persamaan differensial orde satu dan satu variabel. Fourier Residual Modification Grey
Forecasting Model atau FGM (1,1) merupakan modifikasi GM(1,1) dengan
menggunakan Deret Fourier demi meningkatkan keakuratan ramalan jangka pendek
untuk data terbatas.
Kata kunci: Grey Forecasting Model, Fourier Residual Modification Grey Forecasting
Model, Deret Fourier, peramalan jangka pendek, data terbatas.
1 Pendahuluan
Metode peramalan terbagi menjadi dua yaitu metode peramalan kualitatif dan
kuantitatif. Metode peramalan kualitatif digunakan jika metode peramalan kuantitatif
sulit digunakan. Metode peramalan kuantitatif adalah peramalan untuk data-data yang
bisa dikuantitatifkan. Berdasarkan waktunya, peramalan terbagi menjadi peramalan
jangka pendek, peramalan jangka menengah dan peramalan jangka panjang. Peramalan
jangka pendek digunakan untuk kurun waktu tidak lebih dari 3 bulan ke depan.
Peramalan jangka pendek berguna untuk untuk mengambil keputusan yang sifatnya
mendesak seperti ketenagakerjaan, penjadwalan, produksi, dan perencanaan keuangan
(Makridakis, 1990).
Sebelum tahun 1990-an, pendekatan dengan regresi tradisional mendominasi
literatur peramalan, tapi kondisi ini berubah setelah pertengahan 1990-an sebagian besar
peneliti lebih banyak yang menggunakan teknik ekonometrik modern, misalnya model
kointegrasi dan model koreksi kesalahan (Error Correction Model) untuk pemodelan dan
meramalkan permintaan. Selain itu, penelitian sebelumnya telah difokuskan pada analisis
ekonometrik tradisional, dengan model regresi, model deret waktu dan model ARIMA.
Namun model-model tersebut hanya efektif untuk meramalkan permintaan jangka
panjang dan tidak bagus untuk peramalan jangka pendek dan pada data dengan
karakteristik berfluktuasi (Huang & Lee, 2011).
Peramalan menggunakan Grey Forecasting Model pertama kali ditemukan oleh
Deng, 1982. Model peramalan ini merupakan salah satu pengembangan dari Grey
Theory. Keberadaan informasi grey yang belum diketahui pada setiap sistem di berbagai
kehidupan nyata mendorong perkembangan Grey Forecasting Model sangat penting
1
silver.zezia@gmail.com
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
untuk dilakukan. Peramalan akan menghasilkan informasi baru yang akan terjadi di masa
depan. Informasi ini tentu sangat bermanfaat bagi para pembuat kebijakan, pebisnis dan
pengambil keputusan. Namun tidak setiap data mudah didapatkan sehingga data tersebut
jumlahnya terbatas. Peramalan jangka pendek merupakan hal yang sulit dilakukan
apalagi dengan data terbatas. Peramalan dengan GM(1,1) bisa digunakan untuk jumlah
data yang kecil atau dengan kata lain data terbatas. Peramalan ini digunakan untuk
peramalan barisan, prediksi interval, peramalan bencana alam, peramalan musim dan
peramalan pasar modal (Liu & Lin, 2006). Grey Forecasting Model (1,1) atau GM(1,1)
telah berhasil diterapkan untuk data permintaan pariwisata di Taiwan yang volatilitasnya
tinggi (Huang & Lee, 2011). Peramalan ini dilakukan untuk periode jangka panjang.
Model GM(1,1) dengan bentuk umum GM(d,v) dimana d adalah order atau tingkat
persamaan differensial dan v adalah jumlah variabel pada persamaan model (Nguyen &
Huang, 2011). GM (1,1) adalah model peramalan Grey yang menggunakan persamaan
differensial tingkat pertama dengan satu variabel. Dengan demikian diperlukan model
peramalan yang tepat agar hasil peramalannya akurat.
Pada penelitian ini akan digunakan GM (1,1) yang dilanjutkan dengan modifikasi
Deret Fourier demi mendapatkan peramalan jangka pendek untuk data terbatas.
Penggunaan Fourier awalnya dikembangkan oleh Brigham tahun 1998 lalu dilanjutkan
oleh Hsu tahun 2003 untuk peramalan. Modifikasi Grey Forecasting Model dengan
Deret Fourier diharapkan dapat memberikan metode yang lebih efektif untuk menangani
peramalan jangka pendek untuk data terbatas.
2 Landasan Teori
1. Peramalan
Peramalan adalah esensi dari perencanaan dan operasi kontrol dalam berbagai
bidang seperti manajemen produksi, sistem inventori, kontrol kualitas, perencanaan
keuangan dan analisis investasi (Wei, 2006:88). Peramalan dilakukan karena adanya
time lag atau senjang waktu antara kesadaran akan peristiwa atau kebutuhan
mendatang dengan kejadian yang terjadi di masa depan. Adanya lead time atau waktu
tenggang ini merupakan alasan utama bagi perencanaan dan peramalan. Jika waktu
tenggang panjang dan dan hasil peristiwa akhir bergantung pada faktor-faktor yang
diketahui maka perencanaan menjadi sangat penting. Dengan demikian, peramalan
diperlukan untuk menetapkan kapan suatu kejadian terjadi sehingga bisa diputuskan
tindakan untuk mengantisipasi (Makridakis, 1983:3).
Menurut Heizer (2005), berdasarkan waktu peramalan dikelompokkan
menjadi tiga yaitu peramalan jangka panjang, peramalan jangka menengah dan
peramalan jangka pendek . Peramalan jangka pendek adalah peramalan untuk jangka
waktu tidak lebih dari 3 bulan ke depan.
2. Grey Forecasting Model
Grey System Theory pertama kali dikembangkan oleh Deng (1982) yang
difokuskan pada model ketidakpastian dan informasi yang tidak cukup dalam
menganalisis dan memahami sistem melalui riset pada analisis bersyarat, prediksi dan
pengambilan keputusan. Dalam kehidupan nyata sering dijumpai sistem
ketidakpastian sehingga peneliti mendapatkan keterbatasan informasi mengetahui
struktur sistem, parameter dan karakteristik. Contoh yang merupakan sistem grey
misalnya sistem sosial, sistem ekonomi dan sistem cuaca. Dalam sistem tersebut
banyak dijumpai ketidakpastian. Sistem yang pasti misalnya sistem komputer, sistem
2
silver.zezia@gmail.com
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
mesin dan sistem yang eksak lainnya. Grey Forecasting Model merupakan adaptasi
dari bagian inti Grey System Theory dan telah berhasil diaplikasikan dalam bidang
finansial, integrated circuit industry dan pemasaran jasa perjalanan udara. Grey
Forecasting Model menggunakan Operasi Pembangkit Akumulasi atau Accumulated
Generating Operation disingkat AGO untuk membangun persamaan differensial.
Grey Forecasting Model atau disingkat GM memberikan solusi untuk model
ketidakpastian pada data terbatas (minimal terdapat empat data) yang biasa disebut
"partial known, partial unknown" (Liu & Lin, 2006). Model umum peramalan ini
adalah GM (d,v) dimana d adalah order dari persamaan differensial dan v adalah
jumlah variabel dalam persamaan (Nguyen & Huang, 2011). Grey Forecasting Model
digunakan untuk peramalan jangka pendek tanpa perlu memisalkan distribusi data
yang akan diolah. Grey Forecasting Model pada skripsi ini adalah GM(1,1) dimana
menggunakan turunan orde pertama dengan satu variabel.
Untuk mendapatkan model GM(1,1) diperlukan barisan data asli atau data
mentah yang disusun berdasarkan waktu. Data asli dapat dinyatakan dalam definisi
berikut (Huang & Lee, 2011).
Definisi 1. Barisan data asli atau data mentah berdasarkan urutan waktunya
didefinisikan sebagai
dimana
data terkini.
{
}
adalah urutan dari dari data periode paling lampau hingga
Definisi 2. Barisan data first order Accumulated Generating Operation atau AGO
∑
, AGO orde
orde pertama dari
dinotasikan
. Misal
pertama ditulis sebagai
∑
∑
∑
∑
Definisi 3. Inverse Accumulated Generating Operation disingkat IAGO didefinisikan
sebagai
Pada model peramalan GM(1,1) ini, IAGO nantinya akan digunakan untuk
mendapatkan restored value atau nilai ramalan di masa datang yang dinotasikan
sebagai ̂
. Dari barisan data
kemudian didapatkan Barisan pembangkit
Rata-Rata yaitu
.
Definisi 4. Misal
yaitu
adalah nilai rata-rata dari dua data
[
yang berdekatan
]
3
silver.zezia@gmail.com
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
Generated Mean Sequence atau Barisan Pembangkit Rata-Rata dari
dinotasikan
Selanjutnya untuk setiap pasang nilai
dan
dibentuk menjadi
persamaan GM(1,1). Namun sebelum membentuk GM(1,1) perlu diketahui definisi
persamaan diferensial order pertama Grey.
Definisi 5. Persamaan differensial Grey didefinisikan sebagai
dimana
parameternya.
disebut background value dari
dan a dan b adalah parameter -
Proposisi 1. Misalkan barisan data mentah yaitu
{
}
dan barisan Operasi Pembangkit Akumulasi pertama yaitu
{
∑
dimana
Turunan pertama grey dari
}
adalah
(Liu & Lin, 2006:197).
Definisi
6.
Misal
{
}
adalah
{
}
barisan data mentah dan
adalah barisan Operasi Pembangkit Akumulasi pertama. Bentuk asli dari GM(1,1)
dinyatakan sebagai
Simbol GM(1,1) menyatakan bahwa model menggunakan persamaan diferensial orde
adalah Barisan
pertama dan satu variabel. Misal
Pembangkit Rata-Rata dimana
[
Bentuk dasar GM(1,1) dinyatakan sebagai
]
(Liu & Lin, 2010:107).
Pada pembahasan selanjutnya yang digunakan adalah bentuk dasar GM(1,1).
Definisi 7. Parameter a dan b pada GM(1,1) masing-masing disebut development
coefficient dan grey action quantity (Liu & Lin, 2010:203).
4
silver.zezia@gmail.com
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
Untuk mendapatkan nilai parameter a dan b digunakan metode least square estimate
atau estimasi kuadrat terkecil seperti pada teorema berikut ini.
Teorema 1. Misal
terdefinisi sebelumnya,
adalah barisan parameter dan
̂
non-negatif. Jika
,
[
]
[
maka estimasi kudrat terkecil dari
]
memenuhi
(Liu & Lin, 2006:199).
̂
[
]
Definisi 8. Asumsikan
barisan non-negatif,
barisan AGO orde pertama dari
dan
adalah barisan rataan dari
yang berdekatan. Jika
[
]
maka
disebut whitenization atau image equation dari
̂ terdefinisi seperti pada Teorema 1. Jika
[
]
Teorema 2. Misalkan
terpenuhi maka berlaku
1. Solusi (fungsi respon waktu) dari fungsi whitenization
adalah
(
)
2. Barisan respon waktu dari persamaan differensial grey GM(1,1)
adalah
3. Misal
̂
(
̂
(
maka
)
)
adalah
4. Restored value atau nilai ramalan dari
̂
(Liu & Lin, 2006:203).
silver.zezia@gmail.com
̂
̂
5
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
3. Keakuratan Model Peramalan Grey Forecasting Model
Keakuratan model peramalan dapat dilihat dari nilai selisih data asli dan data
hasil ramalan. Setelah mendapatkan hasil ramalan menggunakan Grey Forecasting
Model, untuk melihat keakuratan ramalan dibutuhkan Residual Series, Residual Error
dan Average Residual Error .
Misal
adalah data asli dan ̂
adalah ramalan dengan Grey
Forecasting Model. Residual series didefinisikan sebagai
̂
dimana
|
|
∑|
|
Seringkali Residual Error dan Average Residual Error dinyatakan dalam persen.
̂
∑|
|
Untuk mengetahui tingkat keakuratan ramalan dapat dilihat pada table berikut.
Tabel 2.1 Kriteria keakuratan model peramalan
Kriteria
Tingkatan
Residual Error
Keakuratan
I (Sangat bagus)
1%
90%
II (Bagus)
5%
80%
III (Mencukupi)
10%
70%
IV (Tidak mencukupi)
20%
60%
Sumber: Liu dan Lin, 2010: 135
4. Modifikasi Grey Forecasting Model
Peramalan diawali menggunakan model GM(1,1). Dengan membandingkan
nilai ramalan dan data asli, maka didapatkan residu GM(1,1). Selanjutnya hasil residu
GM(1,1) dimodifikasi menggunakan Fourier sehingga didapatkan FGM(1,1). Dengan
membandingkan kembali antara ramalan FGM(1,1) dengan data asli, akan dihasilkan
residu untuk model FGM(1,1). Berdasarkan Tabel 2.1, semakin kecil Residual Error
maka semakin baik keakuratannya.
5. Deret Fourier
Deret Fourier adalah fungsi periodik
yang dinyatakan dengan
dimana
∑[
(Brigham, 1988:74).
dengan periode
dan frekuensi
]
Pada pembahasan Fourier Residual Modification Grey Forecasting Model atau yang
dikenal sebagai FGM(1,1) ini, koefisien
dan
kan didapatkan dengan cara least
square estimate.
6
silver.zezia@gmail.com
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
3 Pembahasan
Model peramalan Fourier Residual Modification Grey Forecasting Model atau
FGM(1,1) merupakan modifikasi dari model GM(1,1), dalam hal ini yang
dimodifikasi adalah barisan nilai error atau residual series berdasarkan ramalan
adalah original input dan ̂
adalah hasil ramalan
GM(1,1). Misal
dengan GM(1,1). Residual series dinotasikan sebagai
̂
dimana
Jika
maka
untuk
dinyatakan dalam Deret Fourier seperti pada persamaan (2.17)
menjadi
∑[
(
)
(
)]
adalah frekuensi minimum sebaran Deret Fourier dan
dimana
periode
Jika persamaan (3.1) dinyatakan sebagai Deret Fourier maka bisa
ditulis sebagai berikut.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
]
(
[
]
[
)
(
)
(
)
(
)
(3.4)
[
]
[
Dengan menuliskan persamaan (3.4) sebagai
]
[
]
(3.5)
} diperoleh dengan least square estimate
maka parameter {
[
]
.
yaitu
Setelah estimasi parameter {
} diperoleh, Residual
Series yang telah dimodifikasi kemudian dinotasikan kembali sebagai ̂
sehingga
7
silver.zezia@gmail.com
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
̂
∑[
(
)
(
)]
Misal ̂
deret original dari FGM(1,1). Selanjutnya untuk
memperoleh ramalan FGM(1,1) adalah
̂
̂
Pada persamaan (3.7) menunjukkan bahwa FGM(1,1) adalah usaha
meningkatkan keakuratan ramalan GM(1,1) dengan mencari estimasi nilai Residual
Series. Untuk melihat efektifitas ramalan FGM(1,1) selanjutnya dilakukan uji coba
pada data empiris yang memiliki tingkat varian yang berbeda. Untuk mengetahui
keakuratan ramalan FGM(1,1) digunakan persamaan (2.15), (2.16) dan Tabel 2.1
sebagai acuan.
Gambar 3.1 Diagram Alir Prosedur Peramalan dengan Fourier Residual Modification
Grey Forecasting Model (1,1)
8
silver.zezia@gmail.com
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
Peramalan jangka pendek untuk data terbatas menggunakan FGM(1,1)
diterapkan pada data permintaan tiket pesawat pada musim liburan berikut ini.
Tabel 3.1 Data permintaan tiket pesawat
Jumlah
Hari
Penumpang
Senin
4889
Selasa
4771
Rabu
5311
Kamis
5421
Jumat
5868
Sabtu
6002
Minggu
6101
Sumber: Tang dkk, 2005
Tabel 3.2 Hasil peramalan untuk data permintaan tiket pesawat
GM (1,1)
FGM (1,1)
Data
Hari
k
sebenarnya Ramalan Residual Residual Ramalan Residual Residual
value
error
value
error
Senin
1
4889
Selasa 2
4771
4953,82
-183
3,83% 4790,14
-19
0,40%
Rabu
3
5311
5188,06
123
2,31% 5254,83
56
1,06%
Kamis 4
5421
5433,37
-12
0,23% 5505,89
-85
1,57%
Jumat
5
5868
5690,28
178
3,03% 5783,08
85
1,45%
Sabtu
6
6002
5959,34
43
0,71% 6058,21
-56
0,94%
Minggu 7
6101
6241,12
-140
2,30% 6081,85
19
0,31%
Average Residual Error
2,07%
0,95%
Keakuratan
97,93%
99,05%
6500
6300
6100
5900
5700
5500
5300
5100
4900
4700
4500
Data sebenarnya
GM(1,1)
FGM(1,1)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Gambar 3.2 Grafik hasil peramalan permintaan tiket pesawat
Peramalan pada data permintaan tiket pesawat pada musim liburan dengan
menggunakan GM(1,1) memperoleh keakuratan 97,93% dan dengan menggunakan
FGM(1,1) memperoleh keakuratan 99,05%. Selanjutnya untuk melihat efektifitas
9
silver.zezia@gmail.com
PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)
model peramalan FGM(1,1) juga diterapkan pada data lain dengan tingkat varian
kecil, sedang dan tinggi dan hasilnya adalah FGM(1,1) tetap konsisten memiliki
keakuratan yang lebih tinggi daripada GM(1,1).
4 Penutup
Berdasarkan pada pembahasan mengenai bagaimana melakukan peramalan jangka
pendek untuk data terbatas menggunakan Fourier Residual Grey Forecasting Model atau
FGM(1,1) maka didapatkan kesimpulan bahwa peramalan FGM(1,1) didapatkan dengan
memodifikasi Residual Series atau selisih dari data mentah dan hasil ramalan GM(1,1).
Untuk data mentah yang sama, hasil peramalan jangka pendek dimana datanya terbatas
menggunakan model peramalan FGM(1,1) lebih akurat dibandingkan dengan model ramalan
GM(1,1). FGM(1,1) dapat digunakan untuk meramalkan data yang memiliki varian kecil,
sedang dan bahkan varian besar dengan nilai keakuratan lebih tinggi dibandingkan GM(1,1)
sehingga model peramalan FGM(1,1) lebih efektif dibandingkan GM(1,1).
Pustaka
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
Brigham, E. Oran. (1988). The Fast Fourier Transform and It’s Applcations. New
Jersey: Prentice Hall.
Deng, Julong. (1982). Control Problems of Grey System, Problems and Control
Letters, Vol.5, 288-294. China.
Heizer, J. dan Render B. (2005).Operation Management, Edisi 7. Jakarta: Penerbit
Salemba Empat.
Huang, Y.L. dan Lee, Y.H. (2011). Accurately Forecasting Model for the Stochastic
Volatility Data in Tourism Demand, Modern Economy, Vol.2, 823-829. China.
Liu, Sifeng dan Lin, Yi. (2006). Grey Information: Theory and Practical
Applications. London: Springer-Verlag.
Liu, Sifeng dan Lin, Yi. (2010). Grey Systems: Theory and Applications. United
States of America: Springer.
Makridakis, Spyros G. (1990). Forecasting, Planning and Strategy for 21st Century.
United States of America: Collier Macmillan, Inc.
Makridakis, Spyros G., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. (1983). Forecasting
Methods and Applications, Second Edition. Canada: John Wiley and Sons.
Nagle, R. Kent. (2012). Fundamentals of Differential Equations, 8th Edition.
Boston: Pearson Education, Inc.
Nguyen, T.L. dan Huang, Y.F. (2011). Forecasting Energy Intensity with Fourier
Residual Modified Grey Model: An Empirical Study in Taiwan. Taiwan: National
Kaohsiung University of Applied Sciences.
Tang, dkk. (2005). Study on Grey Model GM (1,1) Forecasting for Airport
Passenger Throughput, China-USA Business Review, Vol. 4. China: Beijing Jiaotong
University.
Wei, William W. S. (2006). Time Series Analysis : Univariate and Multivariate
Methods, Second Edition. United States of America: Pearson Addison Wesley.
Xinping, Xiao dan Rongjiao, Zheng. (2011). Multi-Level Recursive Method of
Short-Term Traffic Flow Forecast Based on PGAGO GM(1,1) Model, Management
Science and Engineering, Vol.5, No.3, 6-10. China: Wuhan University of
Technology.
10
silver.zezia@gmail.com