UKBM X 3.2 4.2 6 8 sudut antara dua vektor

  

UNIT KEGIATAN BELAJAR

(UKB 3.2 - 4.2)

1. Identitas

  a. Nama Mata Pelajaran : Matematika X (Peminatan)

  b. Semester : Genap

  c. Kompetensi Dasar : Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor,

  KD 3.2 sudut antarvektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor

  KD 4.2 dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

  d. Indikator Pencapaian Kompetensi :

  IPK Menjelaskan konsep sudut antar vektor dalam ruang

  3.2.6 dimensi dua

  IPK Menafsirkan masalah kontekstual konsep sudut antar 3.2.7 vektor dalam ruang dimensi dua

  IPK Merumuskan sudut antar vektor dalam ruang dimensi 3.2.8 dua dari masalah kontekstual.

  IPK Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan 4.2.3 dengan sudut antar vektor dalam ruang dimensi dua

  e. Materi Pokok : Sudut antar dua vektor

  f. Alokasi Waktu : 135 menit

  g. Tujuan Pembelajaran : Melalui diskusi, tanya jawab, penugasan, presentasi dan analisis, peserta didik dapat menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antarvektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga dan dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga, sehingga peserta didik dapat menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya, mengembangakan sikap jujur, peduli, dan bertanggungjawab, serta dapat mengembangkan kemampuan berpikir kritis, komunikasi,

  kolaborasi, kreativitas (4C).

  h. Materi Pembelajaran Faktual: o Permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan sudut antar vektor dalam ruang dimensi dua Konseptual: o Sudut antar vektor dalam ruang dimensi dua Prosedural: o Merumuskan sudut antar vector dalam ruang dimensi dua o Menyelesaikan masalah sudut antar vektor dalam ruang dimensi dua

  2. Peta Konsep

  VEKTOR Operasi Vektor Tafsiran Geometri Tafsiran Geometri Perkalian Skalar Vektor Posisi Vektor di R2

  Penjumlahan Kolinear Vektor di R3 Pengurangan Vektor Tak Persamaan Sejajar Vektor Perkalian Skalar

  Sudut Antar Vektor Proyeksi Ortogonal

  3. Kegiatan Pembelajaran

  a. Pendahuluan

  Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memahami cerita di bawah ini.

  Seorang tukang melubangi sebagian dinding yang telah terpasang keramik dalam bentuk segitiga untuk dipasangi hiasan. Dalam membuat lubang di dinding tukang tersebut membuat garis dua arah yang berbeda dari satu titik sudut keramik yang sama. Satu garis dengan arah tiga keramik ke kanan dan empat keramik ke atas, sedangkan satu garis yang lain enam keramik ke kanan dan delapan keramik ke bawah, kemudian tukang itu akan mengukur panjang dan sudut antara dua garis tersebut. Bagaimana cara tukang tersebut mengukur sudut yang terjadi?

  Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan kalian lanjutkan ke kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam UKB ini.

  b. Kegiatan Inti

1) Petunjuk Umum UKB

a) Baca dan pahami materi pada buku:

  Buku Siswa Matematika X Priatna, Nanang dkk. 2016.  Peminatan. Bandung: Grafindo Media Pratama hal 150- 152

   Sukino. 2016. Buku Siswa Matematika X Peminatan.

  Jakarta: Erlangga hal 161-163  Suparmin, dkk. 2016. Buku Siswa Matematika X Peminatan. Surakarta: Mediatama hal 175-190

  b) Setelah memahami isi materi dalam bacaan

  berlatihlah untuk berfikir tinggi melalui tugas-

  tugas yang terdapat pada UKB ini baik bekerja sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya.

  c) Kerjakan UKB ini dibuku kerja atau langsung mengisikan pada bagian yang telah disediakan.

  d) Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjutmelalui kegiatan ayo berlatih, apabila kalian yakin sudah paham dan mampu menyelesaikan permasalahan- permasalahan dalam kegiatan belajar 1, 2, dan 3 kalian boleh sendiri atau mengajak teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes formatif agar

  kalian dapat belajar ke UKB berikutnya. 2) Kegiatan Belajar

  Ayo……ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan konsentrasi

  !!! Kegiatan Belajar 1

  Setelah membaca materi dari buku referensi, bacalah juga uraian singkat materi dan contoh berikut dengan penuh konsentrasi

  !

  Definisi Sudut antara dua vector adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua vector tersebut

  Dengan mengingat kembali geometri dasar, perhatikan bentuk vector berikut!

  2

  2

  2 | c ⃗ | = | a ⃗ | | ⃗b | −

• 2 | a ⃗ | . | ⃗b | cos α Dengan mengingat pelajaran sebelumnya tentang geometri dasar dan perkalian scalar vector, coba turunkan rumus sudut

antara dua vector dalam ruang dimensi dua seperti dibawah ini!

  2

  2

  2 | c | | a | | |

  2 | a | . | | cos α ⃗ = ⃗ ⃗b + − ⃗ ⃗b

  …………………………………………………………………………………………… …………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………

  Sehingga diperoleh rumus seperti di bawah ini! Dengan memahami rumus sudut antara dua vector di atas….. ayo berlatih menerapkan dalam soal-soal sederhana berikut!

  Ayoo berlatih lebih lanjut!

  Diketahui vector a = (2 , 6) dan b = (-9 , 3) coba kalian cari besar sudut antara dua vector tersebut! …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

  …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……………………………….......

   Kegiatan Belajar 2

  Setelah kalian belajar tentang rumus besar sudut antar dua vector pada kegiatan belajar 1, dan membaca materi pada buku referensi, coba sekarang perhatikan masalah berikut!

  Diberikan vektor-vektor sebagai berikut:

  3

  2

  a= b= c= d=

  Vektor , , dan

  ( ) ( ) ( ) (

  4 )

  a. Tulis semua pasangan dua vector yang ada, hitung semua besar sudut yang terjadi! ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………

  b. Apakah ada diantara pasangan vector tersebut yang tidak mempunyai sudut? Jika ada sebutkan pasangan tersebut dan beri alasan! ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………

  c. Apakah ada pasangan vector yang besar sudutnya nol? Jika ada tentukan pasangan vector tersebut dan berikan alasannya! ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………

d. Coba cek semua pasangan di atas dalam koordinat cartesius!

e. Simpulkan hasil kegiatan kalian di atas!

  ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………

  kegiatan belajar 2,

  Setelah memahami semua yang dikerjakan dalam ayo sekarang berlatih dengan soal pengembangan berikut!

  

Ayoo Berlatih ……..

  ⃗

  1. Jika a=3 ⃗u+4 ⃗v ⃗ dan dimana u ⃗ dan v ⃗ adalah vector-

  b=4 ⃗u+3 ⃗v

  1 vektorsatuan. Sedangkan besar sudut antara ⃗ u dan ⃗v adalah π.

  3 Carilah !

  a . ⃗b ⃗

  2. ABCD .EFGH adalah pararel epipedium dengan AB=1 satuan , AD= 2 ⃗ ⃗ ⃗ satuan, DH = 3 satuan, bila menyatakan a ⃗ dan menyatakan

  AB AD b

  ⃗ dan menyatakan ⃗c serta sudut antara setiap pasang vector itu

  AE

  adalah 60 . Tentukan ∠ BAG!

  Kegiatan Belajar 3

  Setelah memahami cara menentukan besar sudut antar vector dari masalah yang sederhana di atas, sekarang mencoba merumuskan permasalahan sudut antar vector dari masalah yang ada dalam pendahuluan.

  Seorang tukang melubangi sebagian dinding yang telah terpasang keramik dalam bentuk segitiga untuk dipasangi hiasan. Dalam membuat lubang di dinding tukang tersebut membuat garis dua arah yang berbeda dari satu titik sudut keramik yang sama. Satu garis dengan arah tiga keramik ke kanan dan empat keramik ke atas, sedangkan satu garis yang lain enam keramik ke kanan dan delapan keramik ke bawah, kemudian tukang itu akan mengukur panjang dan sudut antara dua garis tersebut. Bagaimana cara tukang tersebut mengukur sudut yang terjadi? Alternatif penyelesaian dari permasalahan di atas sebagai berikut.

  1. Gambarlah dalam koordinat cartesius berikut permasalahan di atas!

  2. Tentukan panjang garis berarah / vector yang pertama misal disebut vector a dan panjang garis berarah / vector yang kedua misal disebut vector b

  ( )

  ⃗ ⃗ a= ¿ ( )

  Maka vector dan b=

  ¿

  Sehingga | a ⃗ | = ¿ ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….

  ⃗

  | b | = ¿ ………………………………………………………………………………………..

  ……………………………………………………………………………………….

  =

  a . ⃗b

  ⃗ …………………………………………………………………………………………

  ………………………………………………………………………………… ………

  3. Dengan menggunakan rumus yang ada tentukan besar sudut dua garis berarah/vector tersebut! ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………

  Setelah selesai melalui tiga kegiatan di atas, sekarang coba perdalam dengan latihan berikut!

  

Mari berlatih…..

  1. Tentukan besar sudut antara pasangan vector-vektor berikut!

  a

  a. ⃗ = 3i + 3j dan ⃗b = 2i + j + 3k

  b. ⃗a = -3i + 3j dan ⃗b = -2i + 4j + 2k

  a ⃗ c.

  = 2i - 4j -2k dan ⃗b = -i - j -2k

  2. Vector ⃗a = ti + 3 tj + k dan ⃗b = -2ti + j + k saling tegak lurus, hitunglah nilai t!

c. Penutup

  Bagaimana kalian sekarang?

  Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1, 2, dan 3, berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah kalian pelajari.Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada UKB ini di Tabel berikut.

  Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi k

  1. Apakah kalian telah memahami pengertian sudut antar vector?

  2. Dapatkah kalian menjelaskan sudut antar vector dan menurunkan rumusnya?

3. Dapatkah kalian merumuskan sudut antar

  vektor dalam dimensi dua dari masalah kontekstual?

  4. Dapatkah kalian menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan sudut antar vector?

  Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatan belajar 1, 2, atau 3 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat. Jangan putus asa untuk mengulang

  

lagi!.Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua

pertanyaan, maka lanjutkan berikut.

  Dimana posisimu?

  Ukurlah diri kalian dalam menguasai materi sudut antar vektor pada ruang dimensi dua dalam rentang 0 – 100, tuliskan ke dalam kotak yang tersedia.

  Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi sudut antar vektor pada ruang dimensi dua, dan merasa telah menguasai materi pada UKB ini, mintalah tes formatif untuk mengevaluasi penguasaan kalian!.