UKBM XI 3.2 TRIGONOMETRI JUMALAH DAN SELISIH

1. Identitas

  a. Nama Mata Pelajaran : Matematika XI (Peminatan)

  b. Semester : Ganjil

4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.

  , sehingga peserta didik dapat menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya melalui belajar matematika, mengembangakan sikap jujur, peduli, dan bertanggungjawab, serta dapat mengembangkan kemampuan berpikir kritis, komunikasi, kolaborasi, kreativitas (4C).

  Melalui pendekatan saintifik melalui metode diskusi, tanya jawab, penugasan, presentasi dan analisis, anda dapat Menemukan Rumus Jumlah dan selisih Dua Sudut

  3.2.3 Menjelaskan rumus perkalian dan penjumlahan bentuk trigonometri

  3.2.2 Menjelaskan rumus trigonometri sudut rangkap.

  3.2.1 Menjelaskan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.

  JUMLAH DAN SELISIH SINUS DAN COSINUS 3.2 Membedakan penggunaan jumlah dan selisih sinus dan kosinus.

  h. Tujuan Pembelajaran : 2018/2019

  g. Pertemuan ke : 6 kali pertemuan (@ 45 menit)

  f. Alokasi Waktu : 150 menit

  e. Materi Pokok : Jumlah dan selisih Dua Sudut

  d. Indikator Pencapaian Kompetensi :

  c. Kompetensi Dasar :

4.2.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.

i. Materi Pembelajaran

  1. Matematika Peminatan Kelas XI Semester 1, Tim penyusun, 2018, Klaten: Balai Viva Pakarindo, hal 43 s.d 45.

  2. Matematika PG Matematika: hal 189 s.d 193 .

  2. Peta Konsep ntuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan kalian lanjutkan ke

kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam UKBM ini .

a. Kegiatan Intihan 1) Petunjuk Umum UKBM

  Buku a). Baca dan pahami materi pada buku Tim Penyusun. 2014. Siswa Matematika

  X Peminatan. Viva Pakarindo , hal 43 sd 45. Dan Buku Matematika Pegangan Guru matematika: hal 189 s.d 193 .

  b). Setelah memahami isi materidalam bacaan berlatihlah untuk berfikir tinggi melalui tugas-tugas yang terdapat pada UKBM ini, baik bekerja sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya.

  c). Kerjakan UKBM ini dibuku kerja atau langsung mengisikan pada bagian yang telah disediakan.

  d). Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjutmelalui permasalahan dalam kegiatan belajar 1, 2, dan 3kalian boleh sendiri atau mengajak teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes formatif agar kalian dapat belajar ke UKBM berikutnya. 2) Kegiatan Belajar

  Ayo… ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan konsentrasi !!! Kegiatan Belajar 1

  Buku Siswa Matematika X Peminatan Bacalah Buku Teks Pelajaran ( halaman 43 sd 45 Viva Pakarindo, dan Matematika PG Matematika, hal 189 s.d 193 . Setelah itu perhatikan tayangan CD Pembelajaran Contoh:Perhatikan tayangan dan konsentrasi !

3. Kegiatan Pembelajaran Pertemuan 1: Mari kita pelajari Trigonometri II

  Perhatikan gambar berikut! Y

  

C ( cos ( a+ b), sin ( a +b))

B ( cos a, sin a ) b r =

  A (1,

  a

  1 X 0) O −b

  D ( cos b, - sinb)

  Koordinat titik A (2,0), B ( cos a, sin a), C (cos (a +b), sin (a +b)), dan D (cos b, - sin b)

  2

  2

  2

  2

  1

  2

  1 Berdasarkan rumus jarak : PQ = ( x – x ) + ( y – y ) , maka ;

  2

  2

2 AC =(x C – x A ) + (y C – y A )

  2

  2

  = (cos(a+b) – 1) + (sin (a+b) – 0)

  2

  2

  = cos (a+b) – 2cos (a+b) + 1 + sin (a+b)

  2

  2

  = cos (a+b) + sin (a+b)+1– 2cos (a+b) = 2 – 2cos (a+b)

2 Jadi, AC = 2 (1– cos (a+b) )

  2

2 AC =BD

  2

  2

2 BD =(x D – x B ) + (y D – y B )

  2

  2

  = (cos b– cos a) + (-sin b – sin a)

  2

  2

  2

  2

  = cos b– 2 cos b cos a + cos a + sin b +2 sinb sin a + sin a

  2

  2

  2

  2

  = cos b + sin b+cos a + sin a – 2 cos b cos a + 2 sinb sin a = 2 – 2 cos b cos a + 2 sinb sin a = 2 – 2 cos a cos b + 2 sina sin b

2 Jadi, BD = 2 (1– cos a cos b + sin a sin b )

  2

  2 ∠

  Oleh karena besar BOD = ∠ COA, maka AC =BD 2 (1– cos (a+b) )= 2 (1– cos a cosb + sin a sinb ) Jadi ,

  cos (a+b) = cos a cos b – sin a sinb

LIHAT CONTOH

  1

  tan (a −b) =

  tan a−tan b 1+tanatan b

  Coba kalian perhatikan contoh berikut!

  1.Diketahui cos 30 =

  1

  2

  1

  √ 3 dan sin 45 =

  √

  3

  cos (a+b) = cos a cos b – sin a sinb cos (a−b) = cos a cosb + sin a sin b sin (a+b) = sin a cosb + cos a sin b sin (a−b) = sin a cosb − cos a sin b tan (a +b) =

  

√

  2

  1

  2 .

  √

  √

  1

  Alternatif Penyelesaian Sin 75 = sin (45 + 30 ) = sin 45 . cos 30 + cos 45 . sin 30 =

  Dari rumus tersebut dapat diturunkan rumus-rumus yang lain seperti berikut.

  2. Dengan penjumlahan atau selisih dua sudut, hitunglah sin 75 !

  tan a+tan b 1−tana tan b

• 1

  2

  =

  2

  2

  2

  2 .

  2

  =

  1

• 1

  4

  √

  6

  √

  Alternatif Penyelesaian cos (180 −A) = cos 180 cosA + sin 180 sin A = − 1 . cos A + 0. Sin A = − cos A

  2 )

  ¿

  4

  1

  4

• √

2. Tunjukkan bahwa cos (180 – A) = − cos A!

  3.Tanpa memakai tabel matematika ataupun kalkulator, hitunglah nilai setiap bentuk berikut!

  a. Cos 75 cos 15 + sin 75 sin 15

  b. Cos x +sin ( x – 30 ) + sin ( x −150 )

  Alternatif Penyelesaian

  1

  a. Cos 75 cos 15 + sin 75 sin 15 = cos (75 −15 )= cos 60 =

  2

  b. Cos x +sin ( x – 30 ) + sin ( x −150 ) = cos x + sin x . cos 30 – cos x . sin 30 + sin x. Cos 150 −cos x . sin 150

  1

  1

  1

  1

  3

  3

  √ √

  = cos x + sin x − cos x − sin x − cos x

  2

  2

  2

  2

  1

  1

  3

  3

  √ √ = cos x – cos x + sin x − sin x = 0

  2

  2

  2

  1

4.Diketahui sin A = untuk A sudut lancip dan cos B = − untuk B

  3 5 sudut tumpul .

  Tentukan

  a. sin (A –B)

  b. cos (A +B)

  c. tan (A + B)

  Alternatif Penyelesaian

  2 2 sin A = , y = 2, r = 3 cos B = − , x = −2, r = 5

  3

  5 9−4 5 24−4

  20

  5

  x =√ = √ y =√ = √ = 2 √ Y

  5

  3

  2 B A

  X −

  2

  5

  2

  5

  √ cos A = √ sin B =

  3

  5

  2

  2

  2

  5

  √

  5

  √

  =−

  5

  tan A = = tan B = − √

  5

  5

  2

  √

  a. sin (A –B)= sin A . cos B – cos A. sin B

  2

  2

  5

  5

  2

  5

  √ √ = . − √ .

  3

  5

  3

  5

  10

  4

  5 4 5−10

  √ √ = − =

  15

  15

  15

  2

  5

  2

  5

  2

  5

  √ √ √ = . − .

  3

  3

  5

  5

  10

  4 5 10−4

  5

  √ √ = − =

  15

  15

  15 tan A+tan B c.tan (A + B) =

  1−tanA tan B 2 −

  3 5−

  5

  5

  3

  √ √ √ −

  5

  2

  5

  5

  √ −

  1 5 −

  5

  √ √

  5+ ¿ ¿

  5

  √

= = = = = =

  5

  2

  2

  5

  5 1+

  5 5 1+ .5

  3

  √ √

  5

  5 Ayoo berlatih! Setelah kalian memahami Rumus singkat mater Jumlah dan selisih dua Sudut, dan contoh 1 s.d 4 di atas, kerjakan soal berikut dengan berpikir kritis ! Aktifitas 1.

  Jawablah pertanyaan –pertanyaan di bawah ini dengan jelas dan tepat!

  5

  3 −

1.Diberikan sin A = dan tan B = untuk A sudut lancip dan B sudut

  13

  4 tumpul. Gambarlah sudut A dan sudut B pada koordinat cartesius.

  jawab :

  2. Berdasarkan gambar yang diperoleh pada a, tentukan nilai: 1). Cos A jawab : 2). tan A jawab :

  3).sin B jawab : 4). Cos B jawab :

  3. Tentukan nilai: 1.) sin (A + B) jawab : 2). sin (A –B) jawab : 3).cos ( A + B) jawab : 4). Cos ( A – B) jawab : 5). Tan ( A + B) jawab : 6). Tan ( A – B) Jawab Aktifitas 2.

  Jawablah pertanyaan –pertanyaan di bawah ini dengan jelas dan tepat!

  3

  5

1. Diberikan sin a = dan cos b = dengan a dan b sudut lancip,

  5

  12 tentukan nilai:

  a). cos ( a + b) jawab : b) cos ( a – b )

  24

  4 −

2. Diberikan sin a = dan tan b = dengan a sudut lancip dan b

  25

  3 sudut tumpul , tentukan nilai:

  a). sin ( a + b) jawab : b) sin ( a – b ) jawab: c). tan ( a + b) jawab : d) tan( a – b ) jawab:

  3.Tunjukkan kebenaran hubungan berikut ! a).Sin (180 + a ) = − sin a Jawab:

  b) cos (270 + a ) = sin a jawab:

4. Perhatikan gambar berikut !

  D 8 cm C 7 cm A B 24cm Tentukan nilai : a.Cos (x – y) Jawab: b. sin (x – y) Jawab:

5.Tunjukkan bahwa:

  1

  ¿

  a. sin 195 =

  6 )

• √

4 Jawab:

  1

  ¿

  6

  b.Cos 105 = )

• √

  4 Jawab :

  6.Tentukan nilai dari:

  a. sin 15 Jawab: b.cos 15 Jawab: c.tan 15 Jawab: d.tan 165 Jawab: e. cosec 165 Jawab:

  4

  8

  7. Diberikan a + b + c = 180 , sin a = , dan cos b = , tentukan nilai sin

  5

  17

  c ! Jawab: π

  8. Jika x + y = , buktikan ( 1 + tan x) ( 1 + tan y ) = 2 !

  4 Jawab :

  9. Jika sin ( x + 60 ) = sin x, buktikan tan x = !

  3

  √ Jawab:

  3

  √

  10. Jika 2 cos (60 + x) = cos ( 60 – x), buktikan tan x = !

  9 Jawab:

  11. Jika p = sin x + sin y dan q = cps x + cos y, buktikan bahwa :

  1 _{2 2}

  (p + q ) = 1 + cos ( x – y) !

  2 Jawab:

  12. Tentukan x jika : Cos x = cos 80 . Cos 20 + sin 80 . Sin 20 Jawab:

  13. Tentukan x jika : Sin x = sin 75 . Cos 15 + cos 75 cos 15 Jawab :

  7 π π tan − tan

  12

  12

  14. Tentukan x jika: π 7 π

  1+tan tan

  12

  12 Jawab: 15. tentukan x jika: 5 π

  5 π cos 2x = cos π cos + sin π sin

  12

  2

  12

  2 Jawab:

  d.Penutup Bagaimana kalian sekarang?

  Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1 berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah kalian pelajari.Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada UKBM ini di Tabel berikut.

  Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi No Pertanyaan Ya Tidak 1.

  Terampil menerapkan konsep /

  Apakah kalian

  prinsip dan strategi pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan rumus jumlah dan selisih dua sudut 2.

  Dapatkah kalian menjelaskan rumus-rumus Jumlah dan selisih dua sudut.

  3. Dapatkah kalian terampil menerapkan konsep /

  prinsip dan strategi pemecahan masalah yang relevan yangberkaitan dengan rumus-rumus Jumlah dan selisih dua sudut.

  4. Dapatkah kalian menjelaskan rumus-rumus Jumlah dan selisih dua sudut.

  5. Dapatkah kalian terampil menerapkan konsep / selisih dua sudut.

  Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatan belajar 3 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat. Jangan putus asa untuk mengulang lagi!.Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkan berikut.

  Dimana posisimu?

  Pilihlah dan centang emoticon yang tepat untuk menyatakan perasaanmu setelah mempelajari rumus Jumlah dan selisih dua sudut, kemudian ukurlah dirimu dalam menguasai materi konsep Jumlah dan selisih dua sudut dalam rentang 0 – 100, tuliskan ke dalam kotak yang tersedia.

  % Sedih Bingung Senang Penguasa an

  Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi Grafik Fungsi Eksponen, lanjutkan kegiatan berikut untuk mengevaluasi penguasaan kalian!.

  

Yuk Cek Penguasaanmu terhadap Materi Jumlah dan

Selisih Dua Sudut! Agar dapat dipastikan bahwa kalian telah menguasi materi Jumlah dan Selisih Dua Sudut, maka kerjakan soal di BTP halaman no secara mandiri di buku kerja kalian masing-masing. Setelah menyelesaikan soal di atas dan mengikuti kegiatan belajar 3 di pertemuan ke 3, bagaimana penyelesaian permasalahan pada bagian awal pembelajaran tadi? Silahkan kalian berdiskusi dengan teman sebangku atau teman lain. Kemudian tuliskan penyelesaian matematika tersebut di buku kerja masing-masing!.

  

Ini adalah bagian akhir dari UKBM materi Jumlah dan selisih Dua Sudut,

mintalah tes formatif kepada Guru kalian sebelum belajar ke UKBM

berikutnya.

  Sukses untuk kalian!!!