UKBM X 3.1 4.1 2B pers logaritma

  UKBM MTKP–3.1/4.1/2B

UNIT KEGIATAN BELAJAR MANDIRI (UKBM)

PERSAMAAN LOGARITMA

1. Identitas

  a. Nama Mata Pelajaran : Matematika Peminatan

  b. Semester : 1

  c. Materi Pokok : Persamaan Logaritma

  d. Alokasi Waktu : 6 jam pelajaran (@ 45 menit )

  e. Kompetensi Dasar :

  3.1 Mendeskripsikan dan menentukan penyelesaian fungsi eksponensial dan fungsi logaritma menggunakan masalah kontekstual, serta keberkaitanannya

  4.1 Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritma f. Tujuan Pembelajaran:

  Melaluidiskusi, tanyajawab, penugasan, presentasi dan analisis, peserta didik dapat mendeskripsikan dan menentukan penyelesaian fungsi eksponensial dan fungsi logaritma menggunakan masalah kontekstual, serta keberkaitanannya, juga dapat menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritma, sehingga peserta didik dapat menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya, mengembangkan sikap jujur, peduli, dan bertanggung jawab, serta dapat mengembangankan kemampuan berpikir kritis, berkomunikasi, berkolaborasi, berkreasi(4C).

  g. Materi Pembelajaran Buku Teks Pelajaran (BTP) Lihat dan baca pada Buku Teks Pelajaran

  o

  (BTP): Rosihan Ari Yuana Indriyastuti.2016. Buku Matematika X

  Kelompok Peminatan. Penerbit PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri, hal 57 sd 66.

  Petunjuk Umum

  1. Pastikan dan fokuskan apa yang akan anda pelajari hari ini.

  2. Baca dan pahami Pendahuluan (Apersepsi) untuk

  membantu anda memfokuskan permasalahan yang akan dipelajari.

  3. Cari referensi/buku-buku teks yang terkait dengan topik/permasalahan yang anda hadapi.

  4. Jangan lupa browsing internet untuk menda- patkan pengetahuan yang up to date.

  5. Selalu diskusikan setiap persoalan yang ada dengan teman-teman dan atau guru.

  6. Presentasikan hasil pemahaman anda agar bermanfaat bagi orang lain.

  Jika tahapan-tahapan telah kalian lewati, kalian boleh meminta tes formatif kepada Bp/Ibu guru sebagai prasyarat untuk melanjutkan ke UKBM berikutnya. Oke.?!

  h. Kegiatan Pembelajaran

  a) Pendahuluan

  Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memahami cerita di bawah ini.

  Menghitung pH suatu larutan, yang didefinisikan  sebagai fungsi logaritma p (t)=−log t dengan t adalah konsentrasi ion hidrogen dalam mol/L. Jika diketahui pH=7. Berapa konsentrasi ion hidrogen? Rumus waktu paruh suatu unsur radioaktif dituliskan

• t

  N t

  1 T dalam bentuk eksponensial sebagai berikut =

  N

  2 ( )

  N dengan T adalah waktu, t adalah lamanya waktu, adalah banyaknya unsur mula-mula, dan N adalah t banyaknya unsur setelah t tahun. Jika diketahui waktu paruh unsur Carbon adalah 5.700 tahun dan sisa carbon yang terdapat pada fosil tersebut hanyaslah 5%. Berapakah umur fosil yang ditemukan?

b) Peta Konsep

  Persamaan Logaritma a a _{❑ ❑} logf ( x )= logc maka f ( x )=c a b _{❑ ❑} logf ( x )= logf (x ) maka f ( x )=1 a a

  Penyelesai

_{❑ ❑}

logf ( x )= logg ( x )maka f ( x )=g(x ) an

h (x) h (x)

_{❑ ❑} logf ( x )= logg( x ) maka f (x )=g (x)

  A ¿

2. Kegiatan Inti Kegiatan Belajar 1

  Bacalah uraian singkat materi dan contoh berikut dengan penuh konsentrasi!

  Pengertian persamaan

  adalah persamaan yang mengandung variabelxdalam tanda logaritma atau persamaan yang mengandung variabel x sebagai bilangan pokok suatu logarima Contoh persamaan logaritma Contoh persamaan logaritma Berikut ini adalah beberapa contoh persamaan logaritma.

  2

  2

  1. log( x +1)= log16 _{❑ ❑}

  3

  3

  log (x +2)=2 2. log ( x +2)+ ¿ ¿ _{❑ ❑}

  3

  5

  3. log( 4 x−11)= log ⁡(4 x−11) _{❑ ❑}

  7

  7

  4. 2 log x = log ⁡(x +2) _{❑ ❑}

  x+1 2 x+1 5.

  log x − 3 = log ⁡(x +3) _{❑ ❑} ( )

  3

  2

  3

  2 6. _{❑ ❑} log x− log x − 3=0 Sifat Logaritma

  Jadi x=−4 atau x=1

  )

  − 5 x +8

  2

  ( x

  log

  2

  1 _❑

  =

  − 5 x +8

  _❑ log 2

  2

  ( x

  log

  2 jawab :

  1 _❑

  ) =

  − 5 x +8

  2

  ) =

  2 _❑

  Tentukan penyelesaian log

  log ( x

  ( x +4 ) (x −1)=0

  2

  x

  2

  x

  2

  2

  Jawab:

  2 x

  2

  Tentukan penyelesaianlog ( x

  x=3 Contoh:

  atau

  x=2

  − 5 x+6=0 ( x−2) ( x−3)=0 jadi

  2

  2 − 5 x+8=2 x

  ( x

  Contoh:

  Untuk menyelesaikan persamaan logaritma digunakan beberapa sifat logaritma yang telah dipelajari. Jika xdan y bilangan real positif, m dan n bilangan real, dimana a>0 dan a ≠ 0, demikian pula b>0 dan b ≠ 0, maka:

  = n _❑

  x a

  1 log _❑

  a x=

  _❑ log

  _❑ x b 5.

  _❑ logb . a logx= log _❑ a

  a _❑ logx a 4.

  n

  b

  log x

  ¿ 3.

  _❑ y _❑ a a

  ¿ ❑ a logy= log x

  2. logx−

  _❑ a a ¿

  a logy= logxy _❑

  1. logx+ ¿ _❑

  = log x _❑

  _❑ log a

  , f ( x )>0

  _❑ log

  _❑ a a , a> 0 , a≠ 0, maka f ( x )=c

  1. Persamaan logaritma berbentuk logf ( x )= logc _❑

  Kegiatan Belajar 2

  1=0 Apabila kalian telah mampu menyelesaikan persoalan di atas, maka kalian bisa melanjutkan pada kegiatan belajar 2 berikut.

  a

  _❑ log

  a a=1 9.

  x 8.

  b

  =

  _❑ logx ^b

  7. b

  _❑ log a

  ) ❑ a ^m

  ( m n

  n =

  6. log b

• 3 x−3 ) =
• 3 x−3 ) = log ( x
• 3 x−3 ) = log 1
• 3 x −3=1
• 3 x −4=0

  2. Persamaan logaritma berbentuk

  a b _{❑ ❑} logf ( x )= logf (x) , a>0 ,a ≠ 0 a ≠ b maka f ( x )=1 Contoh:

  5

  7 ¿ log (3 x −14) ¿

  Tentukan penyelesaianlog (3 x−14 )= _{❑ ❑}

  Jawab:

  3 x−14=1

  3 x=15

  Jadi x=5

  Contoh:

  2

  

2

  5

  2 Tentukan penyelesaianlog x − x +1 = ¿ log x − x +1 ¿

  ( ) ❑ ❑ ( ) Jawab:

  2 x − x +1=1

  2 x − x=0 x (x−1)=0 x=0 atau x=1 a a

  , a>0 , a ≠0 maka

  3. Persamaan logaritma berbentuk logf ( x )= logg ( x ) _{❑ ❑}

  f ( x )=g (x), f ( x ) ≠ 0 dang(x)≠ 0 Contoh:

  2 Tentukan penyelesaian log ( x − 4 x+2 ) = log ⁡(2−x ) Jawab:

  2 x − 4 x+2=2−x

  2 x 4 x=0

  − ( x−4)=0

  x=0 x=4 atau

  Untukx=4 tidak memenuhi log ⁡(2−x )( Mengapa?) Jadi x=0( Mengapa?)

  Contoh:

  

2

Tentukan penyelesaianlog ( x 5 x−7 ) = log ⁡(x −2) + Jawab:

  2 x 5 x−7=x−2 +

  2 x 4 x−5=0 +

  ( x−1)( x +5)=0

  x=1 x=−5 atau

  Tidak ada penyelesaian, mengapa? Contoh: Tentukan penyelesaian log (3 x +2)−2 logx=1−log ⁡(5 x−5) Jawab:

  log (3 x+2)−2 logx=1−log ⁡(5 x−5)

  2

  log (3 x+2)−log x log10−log ⁡(5 x−5) = 3 x +2

  10 log = log

  2

  5 x−5

  x

  3 x +2

  10 =

  2

  5 x−5

  x

  3 x +2

  2 =

  2 x−1 x

  2

  ( 3 x+2)( x−1)=2 x

  2

  2

  3 x − x−2=2 x

  2 x − x−2=0

  ( x +1)( x−2)=0

  x=−1 atau x=2

  Untuk x=−1 tidak memenuhi untuk logx ( Mengapa?)

  x=2

  Jadi

  h (x) h (x)

  4. Persamaan logaritma berbentuk logf ( x )= logg( x ) , maka f ( x )=g (x) _{❑ ❑} dengan syarat h ( x )>0, h (x ) ≠ 0

  Contoh: x+3 x +3

  ¿ log (3 x −2) ¿

  Tentukan penyelesaianlog ( x +2)= _{❑ ❑}

  Jawab: x +2=3 x−2

  2 x=4

  x=2

  Untuk x=2 → x +2=2+2=4 Untuk x=2 →3 x−2=3.2−2=4 Untuk x=2 → x +3=2+3=5 Jadi penyelesaiannya adalah 2

  Contoh: 2 x−5 2 x−5

  Tentukan penyelesaianlog (2 x+1)= ¿ log ( x+4 ) ¿ _{❑ ❑}

  Jawab: 2 x+1=x+4 x=3 x=3

  Apakah merupakn penyelesaian, mengapa?

  5. Persamaan logaritma berbentuk A ¿ dengan a>0 , a ≠1 , f ( x )>0, A , B danC . Dengan memisalkan

  ∈ R a _❑ logf ( x )= y

  Contoh:

  2

  2

  2 x=5 logx−3

  Tentukan penyelesaian2 log _{❑ ❑}

  Jawab:

  2

  2

  2

  2 log x=5. logx−3 _{❑ ❑}

  2

  2

  2

  2 log x−5. logx+3 = _{❑ ❑}

  2

  , sehingga Misalkan logx= y _❑

  2

  2 y − 5 y +3=0 (2 y−1) ( y−3)=0

  1

  y=

  atau y=3

  2

  1

  2

  1

  1

  2 y= → logx= → x=2 √ 2

  =

  2 _❑

  2

  2

  3 y=3 → logx=3 → x=2

  8 _❑ = Jadi penyelesaiannya adalah √ 2 atau 8

  Contoh:

  2

  

2

  2

  2 Tentukan penyelesaian log x− log x 3=0 _{❑ ❑} − Jawab:

  2

  2

  2

  2 _{❑ ❑} log x− log x − 3=0

  2

  2

  2 _{❑ ❑} log x−2 logx−3=0

  2

  , sehingga Misalkan logx= y _❑

  2 y − 2 y−3=0

  ( y +1) ( y−3)=0

  y=−1 atau y=3

  

2

Untuk y=−1

  maka logx=−1 _{❑ −}

  1 x=2

  1

  x=

  2

  2 Untuk y=3

  maka logx=3 _❑

  3 x=2 x=8

  1 Jadi penyelesaiannya adalah atau 8

• 9) _❑

  2 logx

  dan

  1

  x

  6. Jika

  2

  2 _❑

  =

  1+ logx _❑ ²

  d) log x

  c) log lox=log (logx+12)−loglogx

  3

  x

  = 100

  b) x

  2

  2

  2 _❑

  (2 x−2)− log (2 x−2)=2 _❑

  2

  a) log

  5. Tentukanlah penyelesaian persamaan berikut ini

  _❑ logx x +10

  1

  =

  _❑ logx x−6

  _❑ logx 2 x−1

  1

  d)

  1 _❑ x+1 x+1

  x

  adalah penyelesaian log

  2

  1 . x

  Ayo…sekarang perhatikan lagi contoh berikut ini dengan baik ! Bunga majemuk merupakan bunga yang menjadi pokok dari suatu simpanan.

  KegiatanBelajar 3

  2 Apabila kalian sudah mampu menyelesaikan soal ini, maka kalian bias melanjutkan pada kegiatan belajar 3 berikut.

  1

  2. ¿ . Tentukan nilai x

  adalah penyelesaian

  2

  x

  dan

  1

  x

  8. Jika

  2

  . Tentukan nilai x

  ( x−

  ¿

  adalah penyelesaian

  2

  dan x

  1

  7. Jika x

  2

  1

  x

  1. Tentukan nilai

  =

  )

  x

  3

  2 log 2,5 _❑

  2 5−log

  Istilah yang sering digunakan adalah bunga berbunga. Pembahasan lebih mendalam tentang teori ini sudah kita bahas tentang BUNGA MAJEMUK.

  − 2) _❑

  3. Tentukanlah penyelesaian persamaan berikut ini

  3

  7 _❑

  − 5 x +7) _❑

  2

  log ⁡(x

  ) =

  − 5 x +7

  2

  ( x

  2. Tentukanlah penyelesaian persamaan berikut ini log

  2

  2 _❑

  2

  b) log (3 x+2)−2 logx=1−log ⁡(5 x−3)

  = log ⁡(2 x

  )

  − 2 x +1

  2

  ( x

  b) log

  2 ¿

  _❑ log ( x−2)=3

  2

  ¿ _❑

  a) logx+

  1. Tentukanlah penyelesaian persamaan berikut ini

  Setelah memahami contoh di atas, maka selesaikanlah persamaan logaritma berikut di bukukerja kalian!

  Ayo berlatih!!

  a) log (2 x−3)+log( x−3 )=log 7

  c) log( x−2 )+ log ⁡(x−3)= log2. log

  

− log8=

log

  2

  )

  x−6

  c) log (

  _❑ x+1 x+1

  = log ⁡(x +3) _❑

  )

  3

  −

  2

  ( x

  b) log

  2

  =

  x

  − 9 x

  1

  4

  a) log ⁡(x

  4. Tentukanlah penyelesaian persamaan berikut ini

  log 4

  ) =

  e) log ( log(3 x +4 )+2

  16 _❑ 0,25

  d) log ( x−4)+ log ( x +3)=0 _❑

  2

  2 _❑

  3 _❑

  1

  2 _❑

  3 _❑

• 1
• 1
• 14
• x
• x

Seorang anak menabung di bank sebesar Rp. 1000.000,00 dengan bunga majemuk 20% pertahun. Berapa tahunkah uang tersebut ditabung agar uangnya menjadi Rp. 2.488.320,00 ? Jawab :

  Modal Awal : M = Rp.1.000.000,00 Modal Akhir : M = Rp. 2.488.320,00

  T

  Persentase bunga majemuk : P = 20% Lamanya tabungan : n = …. ? Untuk menjawab soal ini kita uraikan dari rumus menentukan Modal akhir suatu simpanan.

  Jadi, lama tabungan tersebut disimpan adalah 5 tahun. Dari contoh penyelesaian di atas, apakah adahal yang belum kalian pahami? Jika kalian sudah paham kerjakanlah soal pada bagian Ayoo berlatih berikut!

  Ayoo berlatih!!

  1. Pak Anto menginvestasikan uang sebesar Rp50.000.000,00 dengan tingkat bunga majemuk 24% per tahun yang dihitung bulanan. Apabila pak Anto ingin uangnya menjadi 3x lipat, berapa bulan ia harus menunggu?

  2. Jika suatu barang yang dihasilkan sebanyak P unit per hari, dan selama t hari kerja produksi ditentukan oleh rumus fungsi P=200 ¿ dimana

  e ≈2,72. Berapa hari harus diproduksi 100 unit.

  Konsep mana yang kalian gunakan untuk menemukan jawaban tersebut?

  Dapatkah kalian menuliskan rumus matematikanya? Dapatkah kalian memberikan contoh permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang

  penyelesaiannya menggunakan rumusan matematika tersebut? Kerjakan

  Bersama teman kalian di bukukerja masing-masing! Periksakan seluruh pekerjaan kalian kepada Guru agar dapat diketahui penguasaan materi sebelum kalian diperbolehkan belajar ke UKB berikutnya.

3. Penutup Bagaimana kalian sekarang?

  Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1, 2, dan 3, berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah kalian pelajari. Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada UKB ini di Tabel berikut.

  Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi

  No Pertanyaan Ya Tida k

  1. Apakah kalian telah memahami pengertian persamaan logaritma?

2. Dapatkah kalian menjelaskan Persamaan

  Logaritma?

  3. Dapatkah kalian menyusun masalah kontekstual yang menjadi persamaan logaritma?

  4. Dapatkah kalian menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan logaritma?

  Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatan belajar 1, 2, atau 3 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat. Jangan putus asa untuk mengulang lagi! Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkan berikut.

  Dimana posisimu?

  Ukurlah diri kalian dalam menguasai materi Persamaan Logaritma dalam rentang 0 – 100, tuliskan ke dalam kotak yang tersedia.

  Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi persamaan logaritma, lanjutkan kegiatan berikut untuk mengevaluasi penguasaan kalian!.

  log x +5. log5−6=0 _❑

  5 _❑

  5

  d)

  log( x +6 )+ log( x−1)=2+ log 2 _❑

  _❑

x

x _❑ x

  e)

  _❑ x

  c) log(2 x+ 3)+ log ( x+1 )= log(4 x+ 18) _❑

  5 3) Penduduk suatu kota adalah 50.000 jiwa. Diasumsikan pertumbuhan penduduk ditentukan dengan rumus p=50.000 ¿ . dimana t adalah jumlah penduduk setelah t tahun. Taksirlah berapa tahun jumlah penduduknya bertambah 50% dari semula.

  4) Suatu model matematika menyatakan keterkaitan antara rata-rata berat badan w dalam kilogram dan tinggi badan h dalam meter dari anak berusia 5 sampai 13 tahun. Model matematika tersebut diyatakan dengan fungsi

  log w=log2,4 +0,8 h .

  a) Jikaanak berusia 9 tahun berat badannyai badan 52 kg.

  

Tulislah rumus untuk menghitung tinggi badan.

  b) Hitunglah tinggi badan anak tersebut. 5) Suatu populasi binatang mengalami perkembangan yang dirumuskan M t

  = 75.000. ¿ adalah besar populasi pada saat t ,t adalah waktu dalam tahun. Agar besar populasi meningkat menjadi

4x lipat populasi awal. Tentukanlah waktu yang diperlukan.

  5 _❑

  3

  Yuk Cek Penguasaanmu terhadap Materi persamaan logaritma!

  b) log x + log ( x+1)= log 2 _❑

  Agar dapat dipastikan bahwa kalian telah menguasi materi Persamaan Logaritma, maka kerjakan soal berikut secara mandiri di buku kerja kalian masing-masing.

  1) Manakah bentuk berikut ini yang merupakan persamaan logarima dan berikanlah alasannya? a) log8+ log

  1

  27 = … _❑

  3 _❑

  2

  3 _❑

  5 _❑

  3 _❑

  3 2) Tentukan penyelesaian persamaan logaritma di bawah ini :

  a)

  log( x−2 )− log ( x−3)=1 _❑

  6 _❑

  6

  b) log(2 x−3)= log(2 x−3) _❑

  Setelah menyelesaikan soal di atas dan mengikuti kegiatan belajar 1, 2, dan 3, bagaimana penyelesaian permasalahan pada menghitung konsentrasi ion hidroge dan menghitung umur fosil tadi? Silahkan kalian berdiskusi dengan teman sebangku atau teman lain. Kemudian tuliskan penyelesaian matematika tersebut di buku kerja masing-masing!. Ini adalah bagian akhir dari UKB materi Persamaan Logaritma, mintalah tesformatif kepada Guru kalian sebelum belajar ke UKB berikutnya. Sukses untuk kali

  

Anda Pasti

Bisa.!