konten digital matematika smakonten digital

Transformasi geometri

Definisi :
Pemindahan objek (titik, garis,
bidang datar) pada bidang.
Perubahan yang (mungkin) terjadi:
• Kedudukan / letak
• Arah
• Ukuran

Jenis-jenis Transformasi
Geometri

• Proyeksi
• Pergeseran tanpa merubah
bentuk(Translasi)
• Pencerminan (Refleksi)
• Pemutaran (Rotasi)
• Perkalian bangun/penskalaan
(Dilatasi)
• Pergeseran merubah bentuk(shear)

Proyeksi
• Suatu titik atau sistem diproyeksikan terhadap
suatu garis acuan sehingga setiap titik atau
sistem tersebut sejajar dengan garis acuan.
• Proyeksi merupakan jarak terpendek.
Jika titik A diproyeksikan terhadap sumbu x, maka
hasil tersebut adalah titik B dengan AB
merupakan jarak terpendek titik A terhadap
sumbu x.
Jika diproyeksikan terhadap sumbu y, maka hasilnya
y
adalah titik C dengan
AC merupakan jarak
terpendek titik ACterhadap A
sumbu y

O

B

x

Proyeksi titik terhadap garis x= y
Titik A(a,b) diproyeksikan
pada garis y = x
menghasilkan titik A’(a’,b’)
Cara mencari matrik
transformasi- nya adalah
sebagai berikut :
Perhatikan bahwa :
a= r cos θ dan b = r sin θ
a’=OA’ cos 45 dan b’ = OA’
sin 45
OA’=r cos (45 – θ)

Maka :
a’= r cos (45 – θ) cos 45
a b
= r cos 45 cos 45 cos θ + r cos 45 sin 45 sin θ = 

2 2
a b
Karena a’ = b’, maka b’ = 2  2

Sehingga diperoleh :
1

a   2
A      1
 b   2

a b

1
2 2
2  a 







1
b
a  b
2  
 2 2 

Matrik transformasi untuk
titik
yang diproyeksikan pada
garis y = x

 Translasi
• Suatu titik atau sistem mengalami
pergeseran namun tidak merubah bentuk,
karena setiap titik penyusun sistem
mengalami pergeseran yang sama.
• Contoh : Sebuah titik P(x,y) ditranslasikan
sejauh a satuan sepanjang sumbu x dan y

satuan sepanjang sumbu y, diperoleh peta
Y
P’(x’,y’) = P’(x+a,y+b)
titik P’(x’,y’).
y’
a
b

T=
y

P(x,y)

b
a
X

O

x

x’

Translasi dari titik P ke titik P’ secara linier.
P’(x’,y’)

dy

P(x,y)

dx

x’ = x + dx
y’ = y + dy
Model Matrik:

 x'  x   dx 
 y '  y    dy 
     

• Sebuah buku yang terletak di atas meja digeser
sejauh h, maka setiap titik yang menyusun
buku tersebut harus bergeser sejauh h juga.

Buku bergeser dalam satu arah yaitu arah x
positif

• Bagaimana jika buku digeser ke arah
x dan y sekaligus ?

• Penulisan proses translasi titik A menjadi
 hN dengan
titik M, dan titik B menjadi titik
T    adala
s  h :

A( a, c)

B(b, c)

h 
T 
s 

h
T 
s 

M(a  h, c  s)

N(b  h, c  s)

Contoh soal :
Tentukan bayangan dari lingkaran (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9
jika ditranslasikan oleh : 3 

T 
4

Jawab :

Misalkan titik P(a,b) adalah titik pada lingkaran,
sehingga persamaan dapat ditulis : (a – 2)2 + (b – 1)2
= 9.

3 
T    diperoleh titik T’
 4  sbb :

Titik P ditranslasi dengan

P(a, b)

3 
T 
4

P'(a  3, b  4)

Maka : a’ = a + 3 dan b’ = b +

a 3= a’ – 3 dan b =
b’ – 3
Substitusi ke persamaan :
(a’ – 3– 2)2 + (b’ – 4– 1)2 = 9
(a’ – 5)2 + (b’ – 5)2 = 9
Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9
Cara lain :
Persamaan lingkaran mempunyai pusat (2,1).
Dengan dilakukan translasi pusat lingkaran
diperoleh :

O(2,1)

3 
T 
4

O'(2  3,1  4)  O '(5,5)

Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9

Pencerminan (refleksi)
• Transformasi pencerminan /refleksi
menghasilkan bayangan yang tergantung
pada acuannya.

• Refleksi terhadap sumbu x
Refleksi titik A (a, c) terhadap
sumbu x menghasilkan
bayangan yaitu A’(a’, c’),
demikian juga untuk titik B dan
Diperoleh persamaan bahwa :
titik C.
a’ = a, b’ = b, c’= -c dan
seterusnya sehingga
persamaan
0
1 matrik
Tx  

transformasinya
adalah :
0 -1
Refleksi ditulis dengan
notasI :
sumbu x

Dengan notasi
matrik :

A(a,c)
 x 
 y   Tx
 

x
 y
 

A’(a, -c)
1 0   x 

  y
0
-1

 

•Refleksi terhadap sumbu y
Sama seperti refleksi
terhadap sumbu x
menghasilkan persamaan
a’= - a, b’ = - b dan c’ = c
dan seterusnya. sehingga
persamaan matrik
-1 0 
T

transformasinya
y
 0 1adalah :




Refleksi ditulis dengan
notasI :
sumbu y

A(a,c)
Dengan notasi
matrik :

 x 
 y   Ty
 

A’(-a, c)
 x   -1 0   x 
 y    0 1  y 
  
 

• Refleksi terhadap titik asal (0,0)
Menghasilkan
persamaan :
a’= - a, dan c’ = -c,
b’= - b, dan c’ = -c,
d’= - d, dan c’ = -c,
sehingga persamaan
matrik -1 0 
T(0,0)  
transformasinya

0
-1

adalah : 
Refleksi ditulis dengan
notasI :
titik(0,0)

A(a,c)
A’(-a,-c)  x 
 x   -1 0   x 
Dengan notasi
 y   T(0,0)  y    0 -1  y 
 
  
 
matrik :

• Refleksi terhadap garis y = x
Menghasilkan persamaan
:
a’= c, dan c’ = a,
b’= c, dan c’’ = b,
d’= e, dan e’ = d dan
seterusnya
sehingga0persamaan
1
Ty  x transformasinya

matrik

1
0

adalah : 
Refleksi ditulis dengan
notasI :
y=x

A(a,c)
A’(c,a)
Dengan notasi
matrik :

 x 
 x   0 1  x 
 y  Ty  x  y   1 0   y 
 
  
 

• Refleksi terhadap garis y = - x
Menghasilkan persamaan :
a’= -c, dan c’ = -a,
b’= -c, dan c’’ = -b,
d’= -e, dan e’ = -d dan
seterusnya, sehingga
persamaan matrik
transformasinya
0 -1 adalah :
Ty  x  

-1
0


Refleksi ditulis dengan
notasI :
y =- x

A(a,c)
A’(-c,-a) x 
 x   0 -1   x 
Dengan notasi
 y  Ty  x  y    -1 0  y 
 
  
 
matrik :

• Refleksi terhadap garis y = h
Sumbu x digeser sejauh h,
menghasilkan persamaan :
a’= a, dan c’ = 2h-c,
b’= b, dan c’ = 2h-c,
d’= d, dan e’ = 2h-e,
sehingga notasi persamaan
matrik transformasinya
adalah :
 x  1 0   x   0 
 y  0 -1  y    2h 
  
   

Bukti :
Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x
yang baru adalah y = h. Maka koefisien setiap
x  y’) dengan :
titik berubah
 x   x menjadi
 0   (x’,
 y   y    h    y  h 
      


Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x
 x  menjadi
1 0   : x   x 
yang baru
 y  0 -1  y  h     y  h 
  

 

Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke
sumbu-x semula dengan memakai translasi
diperoleh:
 x   x  0   x 
 y    y  h    h     y  2h 
  
   

 x   0  1 0   x   0 
   
 



- y   2h   0 -1  y   2h 

• Refleksi terhadap garis x = k
Sekarang yang digeser
adalah sumbu y sejauh k,
menghasilkan persamaan :
a’= 2k-a, dan c’ = c,
b’= 2k-b, dan c’ = c,
d’= 2k-d, dan e’ = e,
sehingga notasinya
adalah : x=k
A(a,c)
A’(2k-a,c)

Dengan notasi
matrik :

 x   -1 0   x   2k 
 y  0 1   y   0 
  
   

Contoh Soal :
Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan
titik sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika
direfleksikan terhadap sumbu-x, kemudian
dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu-y.
Jawab :
Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua
tahap yaitu mencari bayangan jajaran-genjang
ABCD dari refleksi terhadap sumbu-x, kemudian
bayangan yang terjadi direfleksikan terhadap
sumbu-y.

Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai
berikut :

Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’
direfleksikan pada sb-y

Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’
dengan
titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-11).

Coba pikirkan :
Bagaimana cara mendapatkan matrik transformasi
pada suatu sistem yang mengalami refleksi lebih
dari satu kali tetapi penyelesaiannya hanya
dengan mengunakan satu tahap saja ?

Perputaran (rotasi)
• Rotasi adalah perpindahan obyek dari titik
P ke titik P’, dengan cara diputar dengan
sudut 
y
P’(x’,y’)



x’ = x cos() - y sin()
y’ = x sin() + y cos()
P(x,y)
x

• Untuk memudahkan perhitungan, maka
dibuat notasi dalam bentuk matrik :

 x  cos  -sin   x 
 y  sin cos   y 
  
 
dengan :
- sin θ dan cos θ adalah fungsi linier dari θ
- x’ kombinasi linier dari x dan y
- y’ kombinasi linier dari x dan y

Bukti :
Titik A berpindah ke titik A’ sejauh α.
Dalam koordinat kutub, titik A(a,b) ditulis : A(r
cos θ, r sin θ).
Sedangkan A’(a’,b’) ditulis : A’(r cos (θ + α), r
sin (θ + α)).
Maka, diperoleh :

Matrik transformasi
untuk titik yang
dirotasi
terhadap titik pusat O

 Penskalaan (dilatasi)
• Merupakan transformasi suatu titik atau
sistem terhadap suatu acuan yang
menyebabkan jarak titik atau sistem
berubah dengan perbandingan tertentu.
(Perpindahan titik P ke titik P’ dengan
y jarak titik P’ sebesar m kali titik P)
P’(x’,y’)

my.y

P(x,y)

mx.x

x

x’ = mx x
y’ = my y

• Dalam bentuk matrik dituliskan :

 x    mx 0   x 
 y  0 m   y 
y 
  
• Transformasi ini tidak mengalami perubahan
bentuk, hanya mengalami perubahan ukuran
karena jarak titik-titik penyusun berubah
dengan perbandingan tertentu terhadap
acuan.

• Dikenal suatu istilah faktor dilatasi k yang
menyebab-kan perbesaran atau perkecilan
suatu sistem.
• Jika nilai k (bilangan nyata):
 k> 1
: hasil dilatasi diperbesar
 -1