Matematika SMA by Drs Indonesia

Bab 19

IRISAN KERUCUT
A. LINGKARAN
1. Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari r
Persamaan ฀ = TK titik T
= {T / OT r }

T(x,y)
r
X

= {( x , y ) / x 2

0

= {( x , y ) / x 2

y
y

2

r}

2

2

r }

2. Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dengan jari-jari r
(x

a)

2

(y

b)

2

r

2

3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran.
x

2

y

2

Ax

Pusat P (

1
2

yB

A,

1
2

, Koef. x 2 dan y 2

0

C

0

Jari-jari r

B)

1
4

A

2

1
4

B

2

C

4. Posisi titik terhadap suatu Lingkaran
Sebuah lingkaran L

x

2

y

2

Ax

By

C

0

dan sebuah titik P ( x1 , y1 ) maka kuasa

titik P ( x1 , y1 ) terhadap lingkaran L adalah : KP = x1

2

y1

2

A x1

B y1

C

5. Hubungan antara garis dan Lingkaran
Jika garis g : y = mx + n dan lingkaran L x 2 y 2 r 2 maka hubungan garis g dan
lingkaran L dapat diselidiki dengan cara mensubstitusikan g ke L sebagai berikut :
x

2

x

2

(1

(m x
2

m x
2

n)
2

m )x

2

2

r

2

2 mx

0

n

2 m nx

diskriminan sbb : D

2

n

r

2

2

r

0
2

2

4m r

0
2

, yang merupakan persamaan kuadrat dengan
4n

2

4r

2

Jika D>0 , maka garis memotong lingkaran pada dua titik
Jika D = 0 , maka garis memotong lingkaran pada satu titik ( menyinggung)
Jika D < 0 , maka garis tidak memotong lingkaran

D

0

D=0

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

D

0

125

Contoh :
Dimanakah letak titik potong garis x – 2y – 8 = 0 dari ฀ x 2
Jawab :
x – 2y – 8 = 0
x

2

(

8

x

)

8

x

y

2

2

12 x

3x

24

y

2

12 x

6y

29

0

substitusikan ke ฀
29

0

2

x

x

2

2

16 x

64

12 x

3x

24

29

0

4
4x

2

(x

2

5x

2

52 x

16 x

64)

84

0

2

y1

maka : x1

36 x

20

3 d an x 2

0
42
5

1

y2

5

Jadi letak titik potong di 2 titik yaitu (2, -3) dan (

42 1
, )
5 5

Catatan : Jarak titik ( x1 , y1 ) ke garis Ax + By + C = 0 adalah

A x1

B y1
A

2

C

B

2

6. Persamaan Garis Singgung Pada Lingkaran
a. Persamaan garis singgung pada lingkaran

x1 x

y1 y

x

2

y

2

r

2

di titik ( x1 , y1 )

r2

b.Persamaan garis singgung di titik P ( x1 , y1 ) pada ingkaran L

x1 x

y1 y

1
A ( x1
2

x)

1
B ( y1
2

y)

C

x

2

y

2

Ax

By

0

C

0

c. Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran yang berpusat dititik asal
dan jari-jari r ( pers garis kutub/polar)
y

mx

r 1 m2

d. Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran ( x
(y

b)

m(x

a)

a)

2

(y

b)

2

r

2

r 1 m2

Bila ada titik ( x 1 , y 1 ) maka :
Gunakan rumus y y 1 m ( x
Cari m dari c 2 r 2 (1 m 2 )

x 1 ) kemudian ubah ke y – b = m ( x – a ) + c

Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung ฀ ( x 3) 2
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

(y

4)

2

25

yang

garis 3x+4y-8=0
126

Jawab :
3

Gradien garis3x+4y-8=0 adalah m =

4

, karena garis singgung

Langkah berikutnya menentukan pusat dan jari-jari ฀ ( x 3)
a=3 , b = -4 dan r = 5
Persamaan garis singgung pada lingkaran :
m(x

y

b

y

( 4)

a)

4

r m

(x

4

4

(x

5

3)

3

3

(y

4)

2

4
3

25

1

4 2
5 ( )
3

3)

3
y

2

2

maka m gs

3y

1

4x

24

5

persamaan garis 4x – 3y – 19 = 0 dan 4x – 3y – 29 = 0
Contoh :
Persamaan garis singgung pada lingkaran ( x 2) 2 ( y 1) 2 10 dengan gradien 3 adalah …
a. y = 3x – 17 atau y = 3x + 3
d. y = 3x – 17 atau y = 3x - 3
b. y = 3x + 17 atau y = 3x - 3
e. y = 3x – 3 atau y = 3x + 3
c. y = 3x +17 atau y = 3x + 3
(y

b)

m(x

( y 1)
y

1

y

3x

3( x
3x

a)
2)

r 1 m2
32

10 1

6 10

3 atau y

3 x 17

Contoh :
Agar garis y = x + c menyinggung lingkaran x 2
A. 1
Jawab :
2

B.

2

C.

2 2

3 2

D.

y

2

25

, maka nilai c adalah …
E.

5 2

6 2

maka r = 5
y = x + c maka c 2 r 2 (1 m 2 )
x

y

25

c

2

25 (1

2

1 )

c

5 2

e. Persamaan garis singgung melalui suatu titik diluar lingkaran
P ( x1 , y1 ) terletak diluar lingkaran maka

terdapat 2 garis singgung melalui titik itu
, untuk menentukan persamaan garis
P ( x1 , y1 )
singgung ditentukan sebagai berikut :
1) cek apakah titik yang dilalui persamaan
garis itu diluar lingkaran
2) misalkan titik P pada persamaan garis

O

y

y1

m(x

x1 )

y

y1

m(x

x1 )

3) Susbstitusikan persamaan pada langkah 2 kedalam persamaan ฀ yang akan diperoleh
persamaan kuadrat gabungan
฀
4) Hitung diskriminan PK gabungan , agar garis menyinggung
jangan lupa
memasukkan syarat D = 0
5) Dua gradien m substitusikan pada persamaan hasil langkah 2 maka akan diperoleh garis
singgungnya.

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

127

Catatan :
Untuk menghindari waktu hitung yang lama pada proses D = 0 , gunakan persamaan garis
singgung dengan gradien m untuk persamaan x 2
2

2

y

2

r

2

yaitu

y

mx

r m

2

1,

2

r . Nyatakan persamaan garis singgung itu
selanjutnya hitung r untuk persamaan x y
dalam 2 bentuk , jangan lupa memasukkan nilai x dan y , maka diperoleh m

Soal Latihan :
1. Persamaan lingkaran x 2 y 2 12 ax 2 y 5 0 melalui titik ( 1 , 2 ) maka pusat dan jarijarinya adalah …
A. ( - 4 , 4 ) dan 5
B. ( 6 , - 4 ) dan 5
C. ( 2 , -1 ) dan 10
D. ( - 3 , 3 ) dan 10
E. ( 3 , -4 ) dan 10
2. Persamaan lingkaran yang memiliki pusat ( -3 , 4 ) menyinggung garis x = 2y – 8 adalah
:
A. 2 x 2 2 y 2 12 x 16 y 1 0
D. 2 x 2 2 y 2 12 x 16 y 1 0
B. 2 x 2 2 y 2 12 x 16 y 1 0
E. 2 x 2 2 y 2 12 x 16 y 1 0
C. 2 x 2 2 y 2 12 x 16 y 1 0
3. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 y 2 4 x 2 y 8 0 yang tegak lurus
dengan garis 3x + 4y + 2 = 0 adalah :
B. y = 2x + 7 + 10
C. y = 2x +3 - 10
A. y = 2x – 7 + 10
1
D. y = 2x +37 - 10
E. y = 2 x – 7 + 10
4. Garis singgung lingkaran x 2 y 2 13 dititik (2,3) menyinggung lingkaran
2
2
( x 7)
( y 4)
p maka nilai p adalah …
A. 13
B. 12 C. 5
D. 13
E. 5
5. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(2 , - 3 ) dan menyinggung garis 3x – 4y + 7
= 0 adalah …
A. x 2 y 2 4 x 6 y 12 0
D. x 2 y 2 4 x 6 y 12 0
B. x 2 y 2 2 x 6 y 12 0
E. x 2 y 2 2 x 6 y 12 0
C. x 2 y 2 4 x 6 y 12 0
6. Agar lingkaran x 2 y 2 4 x
A. – 38
B. – 12

6y

m

C. 12

0

berjari-jari 5, m haruslah sama dengan …
D. 25
E. 38

7. Supaya garis y = x + a menyinggung lingkaran x 2 y 2
A. a = -6 atau a = 1
B. a = -5 atau a = 2
D. a = -6 atau a = 2
E. a = 6 atau a = -2

6x

8. Persamaan garis singgung melalui titik ( 5 , 1 ) pada lingkaran
2
2
x
y
4 x 6 y 12 0 adalah …
A.3x + 4y – 19 = 0
B. 3x - 4y – 19 = 0
0
D.x + 7y – 26 = 0
E. x - 7y – 26 = 0

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

haruslah …
C. a = -5 atau a = 1

2y

2

0

C. 4x - 3y + 19 =

128

B. PARABOLA
Tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik (fokus) dan garis tertentu (
direktrik )
Persamaan parabola dengan puncak (0,0) adalah
(y

b)2

4 p(x

y2

4 px

A(x,y)

a)2

Koordinat fokus
: ( a +p , b )
Persamaan garis direktrik : x = a – p
Grafik terbuka ke atas/bawah : ( x x p ) 2
Grafuk terbuka ke kiri/kanan : ( y

yp)

F(p,0)

x=-p

2

4 p( y

yp)

4 p(x

xp)

Persamaan Garis Singgung Parabola
Persamaan garis singgung parabol y 2

4 px

di titik P ( x1 , y1 ) : yy1

2 p(x

x1 )

Persamaan garis singgung parabol x 2

4 py

di titik P ( x1 , y1 ) : xx1

2 p( y

y1 )

Persamaan garis singgung parabol ( y b ) 2
( y1 b )( y b ) 2 p ( x x1 2 a )

4 p(x

a)

di titik P ( x1 , y1 ) :

Persamaan garis singgung parabol ( x a ) 2
( x1 a )( y a ) 2 p ( y y1 2 a )

4 p( y

b)

di titik P ( x1 , y1 ) :

Persamaan garis singgung parabol dengan gradien m pada parabola y 2
y

mx

4 px

adalah :

p
m

Soal Latihan :
1. Himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik (2,1) dan garis x = 0 adalah …
A. x 2 2 x y 9 0
D. y 2 2 y 4 x 5 0
B. x 2 2 x 4 y 7 0
E. y 2 2 y 4 x 5 0
C. y 2 2 y 8 x 9 0
2. Persamaan parabola dengan puncak ( 2 , 4 ) dan garis direktrik x = -1 adalah :
12( x 2)
A. ( y 4) 2 12( x 2)
D. ( y 4) 2
2
2
12( x 2)
B. ( y 4) 12( x 2)
E. ( y 4)
2
C. ( y 4) 12( x 2)
3. Persamaan garis singgung pada parabola ( y 1) 2

6( x

2)

dengan gradien

A. x – 2y – 10 = 0
D. x – 2y + 20 = 0
B. x – 2y + 10 = 0
E. x + 2y + 20 = 0
C. x +2y – 20 = 0
4. Besarnya nilai m agar garis y = mx – 3 menyinggung parabola y 2
A. –3

B. 8

C.

1
8

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

D.

1
3

4x

1
2

adalah …

adalah …

E. –8
129

5. Persamaan parabola yang direktriknya x = -4 dan fokusnya ( 4 , 0 ) adalah …
A. y 2 32 x
B. y 2 16 x C. y 2 8 x
D. y 2 4 x
E. y 2 2 x
6. Persamaan parabola dengan titik puncak di ( 1 , -2 ) dan titik fokus di (5 , -2 ) adalah …
D. y 2 4 y 16 x 12 0
A. y 2 4 y 16 x 20 0
B. y 2 4 y 16 x 20 0
E. y 2 4 y 16 x 20 0
C. y 2 4 y 16 x 12 0
7. Himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik ( 1 , 2 ½ ) dan garis y = 3 ½
adalah
2 ( x 1)
A. ( x 1) 2 2 ( y 3 )
D. ( y 3 ) 2
2
2
4 ( y 3)
2 ( x 1)
B. ( x 1)
E. ( y 3 )
2
2 ( y 3)
C. ( x 1)
8. Titik P(3,2) adalah titik puncak parabola, sumbu simetri sejajar dengan sumbu Y dan
parabola melalui titik A(7,4). Persmaan parabola adalah …
A. x 2 6 x 8 y 6 0
D. x 2 6 x 8 y 16 0
B. x 2 6 x 8 y 25 0
E. x 2 6 x 8 y 10 0
C. x 2 6 x 8 y 40 0
9. Persamaan garis singgung pada parabol y 2 6 y 8 x
adalah ..
A. x + y + 4 = 0
C. x – y + 4 = 0
B. x + y – 4 = 0
D. x + 4y + 1 = 0

31

0

yang melalui titik ( -3 , -1 )
E. 4x + y + 1 = 0

10. Pada parabola y 2 24 x dibuat tali busur tali busur yang saling sejajar dengan gradien 3.
Persamaan garis yang melalui titik –titik tengah tali busur-tali busur tersebut adalah …
A. y = 1
B. y = 2
C. y = 3
D. y = 4
E. y = 5

C. Hiperbola
Tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya dari dua titik ( fokus ) tertentu adalah
tetap.
Persamaan hiperbola :

x

2

y

2

a

2

b

2

Pusat : 0( 0 , 0 )
Fokus : F( c , 0 )
Puncak : ( a , 0 )
a

Direktris : x =

1

M(h,k)
F( c+h,k)
( a+h,k)

2

x=

a

c

h

c
b

Asimtot : y = x =

x

(y

a

k)

b

(x

h)

a

c

Eksentrisitas : e
Latus rectum :

2

a

2b

2

a

Panjang sumbu nyata = 2a
Panjang sb. Sekawan = 2b

Soal Latihan :
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

130

(x

1. Diketahui hiperbola

1)

2

(y

64

A.
B.
C.
D.
E.

1)

2

1 maka pernyataan yang benar adalah …

36

Pusat ( 10 , -1 ) dan ( 12 , - 1 )
Puncak ( 8 , -1 ) dan ( - 7 , - 1 )
Sumbu utama y = 1 dan x = -1
Eksentrisitas e = 4/5
Asimtot y = ¾ ( x – 1 )

Persamaan hiperbol yang berpusat di (0,0) , Fokus ( 0 , 2 3 ) dan panjang sumbu minor
4 satuan adalah …

2.

y

A.

2

x

8
y

B.

2

C.

1

4

2

x

4

2

y

x

8

2

D.

1

2

y

E.

1

2
2

y

2

x

9

2

1

25

2

x

4

2

1

2

3. Persamaan hiperbol dengan titik puncak di ( 4 , 0 ) dan titik fokus ( 5 , 0 ) adalah …
x

A.

2

25

B.

x

2

y

C.

1

16

2

y

25

2

D.

1

x

2

2

16

9

2

y

x

16

9

y

E.

1

x

2

9

y

2

1

25

2

1

25

D. Ellips
x

2

y

2

a

2

b

2

Persamaan Ellips :

1

Pusat : 0( 0 , 0 )
Fokus : F( c , 0 )
Puncak : ( a , 0 )
: (0 , b )
a

Direktris : x =

M(h,k)
F( c+h,k)
( a+h,k)
(h, b+k)

2

a

x=

c

h

c
c

Eksentrisitas : e

a

2b

Latus rectum :

2

2

a

Panjang sumbu nyata = 2a
Panjang sb. Sekawan = 2b
Contoh :
Titik pusat ellips 9 x 2 16 y 2
A. ( -3 , 2 )
B. ( 6 , 4 )

45 x

adalah …
C. ( 3 , -2 )
D. ( -6 , 4 )

64 y

1

0

E. ( 6 , -4 )

Jawab :
9x

2

9x

2

9( x

16 y

2

54 x
2

9( x
f ( y)

3)

64 y

2

64 y

16 y

6 x)
2

45 x

16( y
16( y

16 y

2

2

1
1

4 y)
2)

64 y

2

Cara cerdik :

0

9x

1
1

f '( y )

f ( x)

81

2

16 y
9x

2

2

45 x

45 x

64 y
f '( x )

1

0

18 x

54

0

x

3

64

32 y

64

0

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

y

2

131

9( x

(x

3)

3)
16

2

2

16( y

(y

2)

2)

2

144

Jadi pusat : ( 3 , -2 )

2

1

9

Jadi pusat : ( 3 , - 2 )

Soal Latihan :
Persamaan garis singgung ellips 5( x 1) 2 9( y 2) 2 45 yang tegak lurus garis 2x + 3y –
10 = 0 adalah ..
A. 3x – 2y – 15 = 0
D. 2x – y – 6 = 0
B. 2x – y – 8 = 0
E. 2x – y + 6 = 0
C. 2x – y + 8 = 0

Soal – soal Ujian Nasional
1. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ( x – 2 )² + ( y + 1 )² =13 di titik yang berabsis –1 adalah
….
a. 3x – 2y – 3 = 0
b. 3x – 2y – 5 = 0
c. 3x + 2y – 9 = 0
d. 3x + 2y + 9 = 0
e. 3x + 2y + 5 = 0
2. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 di titik yang berabsis 5 adalah ….
a. 4x – y – 18 = 0
b. 4x – y + 4 = 0
c. 4x – y + 10 = 0
d. 4x + y – 4 = 0
e. 4x + y – 15 = 0
3. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0, serta menyinggung smbu x
negative dan sumbu y negative adalah ….
a. x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0
b. x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0
c. x² + y² + 2x + 2y + 4 = 0
d. x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0
e. x² + y² – 2x – 2y + 4 = 0
4. Persamaan garis lingkaran yang berpusat di ( 1,4 ) dan menyinggung garis 3x – 4y – 2 = 0 adalah ….
a. x² + y² + 3x – 4y – 2 = 0
b. x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0
c. x² + y² + 2x + 8y – 8 = 0
d. x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0
e. x² + y² + 2x + 2y – 16 = 0

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

132

5. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus garis 2y – x + 3 = 0
adalah….
a. 52521+−=xy
b. 52521−−=xy
c. 552−=xy
d. 552+−=xy
e. 552+=xy
6. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 4x + 2y – 20 = 0 di titik P( 5,3 ) adalah ….
a. 3x – 4y + 27 = 0
b. 3x + 4y – 27 = 0
c. 3x + 4y – 7 = 0
d. 7x + 4y – 17 = 0
e. 7x + 4y – 7 = 0
7. Jarak antara titik pusat lingkaran x² + y² – 4x + 4 = 0 dari sumbu y adalah ….
a. 3
b. 2 ½
c. 2
d. 1 ½
e. 1
8. Diketahui lingkaran 2x² + 2y² – 4x + 3py – 30 = 0 melalui titik ( – 2,1 ). Persamaan lingkaran
yang sepusat tetapi panjang jari – jarinya dua kali panjang jari – jari lingkaran tadi adalah
….
a. x² + y² – 4x + 12y + 90 = 0
b. x² + y² – 4x + 12y – 90 = 0
c. x² + y² – 2x + 6y – 90 = 0
d. x² + y² – 2x – 6y – 90 = 0
e. x² + y² – 2x – 6y + 90 = 0
9. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 13 yang melalui titik ( 3,–2 ) adalah ….
a. 3x – 2y = 13
b. 3x – 2y = –13
c. 2x – 3y = 13
d. 2x – 3y = –13
e. 3x + 2y = 13
10. Salah satu persamaan garis singgung dari titik( 0,4 ) pada lingkaran x² + y² = 4 adalah ….
a. y = x + 4
b. y = 2x + 4
c. y = – x + 4
d. y = –3x + 4
e. y = –2x + 4
11. Garis singgung lingkaran x² + y² = 25 di titik ( –3,4 ) menyinggung lingkaran dengan pusat ( 10,5 ) dan
jari – jari r. Nilai r = ….
a. 3
b. 5
c. 7
d. 9
e. 11

1. D

2. A

3. A

4. D

5. D

6. E

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

7. C

8. D

9. A

10. D 11. C

133