himpunan logika matematika himpunan logika matematika

LECTURE NOTES

LOGIKA MATEMATIKA

Disusun Oleh :
Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA.

0

UNIVERSITAS GUNADARMA
PONDOK CINA, MARET 2003

1

DAFTAR ISI

BAB I

HIMPUNAN DAN OPERASI BINER...............................................................2

1.1. OPERASI PADA HIMPUNAN.......................................................................................4

1.2. PERHITUNGAN ANGGOTA HIMPUNAN..............................................................6
1.3. ALJABAR HIMPUNAN................................................................................................7
BAB II RELASI......................................................................................................................9
2.1. PERKALIAN CARTESIAN DAN RELASI.................................................................9
2.2. PENYAJIAN RELASI...................................................................................................11
2.3. RELASI INVERS.........................................................................................................11
2.4. SIFAT RELASI.............................................................................................................13
2.5. RELASI EKIVALEN.....................................................................................................14
2.6. RELASI PENGURUTAN SEBGAIAN.........................................................................15
BAB III FUNGSI.................................................................................................................17
3.1. FUNGSI SATU-SATU DAN FUNGSI PADA..............................................................18
3.2. INVERS DARI FUNGSI...............................................................................................19
3.3. KOMPOSISI FUNGSI..................................................................................................20

2

Pertemuan 1
BAB I

HIMPUNAN DAN OPERASI BINER

Sebuah himpunan adalah kumpulan obyek atau simbol yang memiliki sifat
yang sama. Anggota himpunan disebut elemen.
Contoh 1.1.
D himpunan nama hari dalam satu minggu.
M

himpunan

mahasiswa

jurusan

teknik informatika

di

Universitas

Gunadarma.

N himpunan bilangan asli.
Sebuah himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk daftar anggota (bentuk
pendaftaran) atau dengan menyebutkan sifat yang dimiliki oleh semua anggota
(bentuk pencirian).
Contoh 1.2.
D

= { Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu }
= { x  x nama hari dalam satu minggu }

Himpunan P disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan Q, jika setiap
anggota P merupakan anggota Q. Hubungan antara P dan Q tersebut dapat ditulis
sebagai P  Q. Dengan cara lain, hubungan antara P dan Q tersebut dapat ditulis
sebagai Q  P dan dibaca Q superset dari P atau P terdapat di dalam Q .
Contoh 1.3.
Mahasiswa tingkat dua dari jurusan teknik informatika di Universitas
Gunadarma merupakan anggota dari himpunan M pada contoh 1.1 di atas.
Jika P merupakan himpunan mahasiswa tingkat dua tersebut, maka P

3

merupakan himpunan bagian dari himpunan M dan ditulis sebagai P  M.
Dapat pula ditulis sebagai M  P dan dibaca M superset dari P .
Dua himpunan dikatakan saling lepas (disjoint) jika mereka tidak memiliki
anggota bersama.
Contoh 1.4.
Himpunan mahasiswa S1 Universitas Gunadarma dan himpunan dosen S1
Universitas Gunadarma merupakan himpunan yang saling lepas.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan
dinyatakan sebagai

{ } atau  .

Contoh 1.5.
A = { x  x bilangan asli dan x < 1 } = .
Dalam rangka menyelidiki hubungan antara beberapa himpunan, seringkali
dibutuhkan pendefinisian sebuah himpunan yang disebut himpunan semesta.
Himpunan-himpunan lain yang dibicarakan merupakan himpunan bagian dari
himpunan semesta tersebut. Himpunan semesta biasanya dinyatakan sebagai
himpunan S atau U .

Contoh 1.6.
Himpunan bilangan riil R merupakan semesta dari himpunan bilangan asli N
dan himpunan bilangan bulat Z .
Dua buah himpunan dikatakan sama jika keduanya memiliki anggota yang
benar-benar sama.
Contoh 1.7.
{ x  x + 2 = 4 } = { y  3 y = 6 }.
4

Diagram Venn biasa digunakan untuk menggambarkan himpunan dan
hubungan antar himpunan. Anggota dari setiap himpunan ditempatkan dalam sebuah
bentuk tertutup, biasanya lingkaran. Himpunan semesta didefinisikan harus
mengandung semua himpunan lain dan biasa digambarkan dengan sebuah segi
empat.
Contoh 1.8.
S

S = himpunan bilangan riil.

Z

Z = himpunan bilangan bulat.

N

N = himpunan bilangan asli.

1.1. OPERASI PADA HIMPUNAN
Jika S adalah himpunan semesta dan himpunan A  S , komplemen dari A ,
ditulis

A’ ,

adalah himpunan dari semua anggota S

yang bukan merupakan

anggota A .
A’ = { x  x A }
Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A  B, adalah

sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B atau
anggota keduanya.
A  B = { x  x A atau

x B }

Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A  B, adalah
sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A
dan B.
A  B = { x  x A dan
Contoh 1.9.
Diketahui
5

x B }

S = { k  k  Z , 1  k  12 }
A = { x  x  Z , 1 < x < 10 }.
B = { y  y  Z , y kelipatan 3 dan 3  y  12 }.
Gambarkan diagram Venn yang memperlihatkan hubungan ketiga himpunan

tersebut dan hitung banyaknya anggota A B, A  B, A’, B’, A’ B’ .
Jawab : ... diserahkan kepada pembaca ...
Gambar di bawah ini menunjukkan beberapa keadaan yang mungkin terjadi.
Kondisi
Operasi
AB
daerah
berbayang

AB
daerah
berbayang

AB

AB=

BA

n(A  B) =

n(A) + n(B) – n(A  B)

n(A  B) = n(A) + n(B)

n(A  B) = n(A)

n(A  B) =
n(A) + n(B) – n(A  B)

n(A  B) = 0

n(A  B) = n(B)

Selain ketiga operasi tersebut di atas, pada himpunan berlaku pula operasi selisih
dan operasi selisih simetri.
Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B,
adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang
bukan merupakan anggota himpunan B.
A - B = { x  x A dan

x B }.

B - A = { x  x B dan

x A }.

Jelas bahwa

Selisih simetri (symetric difference) dari himpunan A dengan himpunan B,
ditulis sebagai A  B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan
6

anggota gabungan himpunan A dan B,

tetapi bukan merupakan anggota irisan

himpunan A dan B.
AB = (AB)–(AB)
atau
A  B = ( A – B )  ( B - A ).

1.2. PERHITUNGAN ANGGOTA HIMPUNAN
Banyaknya anggota himpunan D (kardinalitas D) dinyatakan sebagai n(D)
atau D.
Contoh 1.10.
Dari contoh sebelumnya, n(D ) = 7, n(N ) tak hingga.
Contoh 1.11.
Sebuah survei dilakukan terhadap 30 siswa SD dan diperoleh data berikut :
B himpunan siswa yang memiliki sepeda, D himpunan siswa yang memiliki
anjing. n(B)=23 , n(D)=10, n(B  D) = 6.
Tentukan :
a). banyaknya anak yang memiliki sepeda dan anjing.
b). banyaknya anak yang tidak memiliki sepeda maupun anjing.
c). banyaknya anak yang memiliki salah satu sepeda atau anjing, tapi tidak
keduanya.
Jawab : ... diserahkan kepada pembaca ...

Soal Latihan 1.1.
1. Sajikan himpunan A = { x  x + 2 < 10, x  Z+ } dalam bentuk pendaftaran.
2. Tunjukkan bahwa jika A  B dan B  C , maka A  C.
3. Tunjukkan bahwa himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan bagian
dari A  B.
4. Tunjukkan bahwa (A  B) merupakan himpunan bagian dari himpunan A dan
dari himpunan B.
7

5. Tunjukkan bahwa jika A dan B adalah himpunan, maka (A – B)  (A  B).
6. Tunjukkan bahwa jika A  B, maka A  B = B.

8

Pertemuan 2
1.3. ALJABAR HIMPUNAN
Himpunan di bawah operasi gabungan, irisan dan komplemen memenuhi
berbagai hukum aljabar. Tabel berikut menampilkan hukum-hukum yang berlaku
pada operasi himpunan tersebut.

Hukum Asosiatif

(AB) C

Hukum Komutatif

A B = B A

A B = BA

Hukum Distributif

A  ( B  C ) = ( A  B )  (A  C )

A  ( B  C ) = ( A  B )  (A  C )

=

A(BC)

Hukum Involusi

(A B)C =

A(BC)

(A’) ’ = A

Hukum Idempoten

A A = A

A A = A

Hukum Identitas

A  = A

A  S = A

Hukum Komplemen

A  A’ = S

A  A’ = 

Hukum de Morgan

( A  B ) ‘ = A’  B’

( A  B )’ = A’  B’

Contoh 1.12.
Jika P, Q dan R adalah himpunan, tunjukkan bahwa
( P  Q )  ( P’  R )’ = P  ( Q’  R )’ .
Jawab :
Pernyataan

Alasan

( P  Q )  ( P’  R )’ = ( P  Q )  ( (P’ )’  R’ )

hukum de Morgan

(P’ )’ = P

hukum involusi

( P  Q )  ( P’  R )’ = ( P  Q )  ( P  R’ )

substitusi

( P  Q )  ( P  R’ ) = P  ( Q  R’ )

hukum distribusi

( Q  R’ ) = ( Q’  R )’
( P  Q )  ( P’  R )’ = P  ( Q’  R )’

9

hukum de Morgan
substitusi

Contoh 1.13.
Jika P, Q dan R adalah himpunan,
tunjukkan bahwa P’  (Q  R)’  (P’  Q’ ) = P’  Q’
Jawab : ...diserahkan kepada pembaca....
Soal Latihan 1.2.
1. Buktikan bahwa (A  B)  (A  B’ ) = A.
2. Buktikan bahwa, jika A  B = S, maka A’ B. (S = semesta).
3. Buktikan bahwa A  (A’  B ) = A  B.

10

Pertemuan 3
BAB II RELASI
Anggota sebuah himpunan dapat dihubungkan dengan anggota himpunan lain
atau dengan anggota himpunan yang sama. Hubungan tersebut dinamakan relasi.
Contoh 2.1.
Misalkan M = { Ami, Budi, Candra, Dita } dan N = { 1, 2, 3 }. Misalkan pula,
Ami berusia 1 tahun, Budi berusia 3 tahun, Candra berusia 2 tahun dan Dita
berusia 1 tahun, maka kita dapat menuliskan sebuah himpunan P = {(Ami, 1),
(Budi, 3), (Candra, 2), (Dita, 1)} dimana P merupakan himpunan pasangan
terurut yang menggambarkan hubungan antara himpunan M dengan
himpunan N. Himpunan P merupakan relasi antara himpunan M dengan
himpunan N dan dapat ditulis sebagai P = { (x,y)  x berusia y, dimana xM
dan yN }.

2.1. PERKALIAN CARTESIAN DAN RELASI
Misalkan

A

dan

B

adalah sembarang himpunan yang tidak kosong.

Perkalian Cartesian A x B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dimana
xA dan yB.
A x B = { (x,y) | untuk setiap xA dan yB }
Contoh 2.2.
Misalkan C = { 2, 3, 4 } dan D = { x, y }.
C x D = { (2,x) , (2,y) , (3,x) , (3,y) , (4,x) , (4,y) }
D x C = { (x,2) , (y,2) , (x,3) , (y,3) , (x,4) , (y,4) }

11

Banyaknya anggota himpunan hasil perkalian cartesian A x B sama dengan
hasil kali antara banyaknya anggota A dengan banyaknya anggota B .
n(A x B ) = n (A ) x n(B ) .
Pada umumnya, A x B  B x A . Akan tetapi n(A x B ) = n (B x A ).
Contoh 2.3.
1. Dari contoh 2.2. di atas, diketahui n(C ) = 3 dan n(D) = 2.
Dengan demikian n(C x D ) = 3 x 2 = 6.
2. Dari contoh 2.1. di atas, n(M x N ) = n(N x M ) = 12.
Sebuah relasi R yang memasangkan anggota himpunan A kepada anggota
himpunan B merupakan sebuah himpunan bagian dari perkalian cartesian A x B,
ditulis R : A  B .
Jika sebuah relasi R didefinisikan pada himpunan A , maka R  A x A dan
ditulis R : A  A .
Contoh 2.4.
1. Misalkan C = { 2, 3, 4 } dan D = { x, y }.
Sebuah relasi R1: C  D didefinisikan sebagai R1 = {(2,y) , (3,x) , (4,x),
(4,y) }. Jelas bahwa R1  C x D.
2. Relasi R2 : G  G

didefinisikan pada himpunan G = {5, 7, 11} sebagai

R2 = { (x,y) |x < y, dimana x, yG }. Relasi tersebut dapat dinyatakan
sebagai R2 = {(5,7),(5,11), (7,11)} dan jelas bahwa R2  G x G.
3. Diketahui Q = {w, k} . Tentukan Q x Q dan relasi R3 = { (x,y) | x  y, x,
yQ }. Apakah R3  Q x Q ?
Jika A dan B adalah himpunan yang masing-masing memiliki sebanyak n(A)
dan n(B) anggota, maka n(A x B) = n(A) x n(B). Setiap relasi yang memasangkan
anggota A dengan anggota B merupakan himpunan bagian dari perkalian cartesian
A x B . Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa dapat didefinisikan
sebanyak ................... relasi yang memasangkan anggota A kepada anggota B .
12

2.2. PENYAJIAN RELASI
Sebuah relasi dapat disajikan dalam beberapa bentuk, yaitu : himpunan
pasangan terurut dalam bentuk pendaftaran (tabulasi), himpunan pasangan terurut
dalam bentuk pencirian, diagram panah, diagram koordinat atau grafik relasi, matriks
relasi, bentuk graf berarah (digraf)
Contoh 2.5.
Diketahui C = { 2, 3, 4 }, D = { x, y } dan sebuah relasi yang ditulis dalam
bentuk pendaftaran R1 = {(2,y) , (3,x) , (4,x), (4,y) }. Relasi tersebut dapat
disajikan dalam bentuk lain, misalnya :
Bentuk diagram panah
C

D

2

x

3
4

Bentuk diagram koordinat

Bentuk Matriks
01M =1011

y
x

y

2

3

4

2.3. RELASI INVERS
Setiap relasi R dari himpunan A kepada himpunan B memiliki invers yang
dinamakan R-1 dari himpunan B kepada himpunan A, yang ditulis sebagai
R-1 = { ( y , x )  ( x , y )  R }
Dengan kata lain, relasi invers R-1 dari R mengandung pasangan-pasangan
terurut yang bila dibalikkan akan terkandung dalam relasi R .
Contoh 2.6.
Misalkan A = {1, 2, 3}, B = { a, b} dan relasi R = { (1,a) , (2,a) , (2,b) , (3,a) }
merupakan relasi dari A pada B. Invers dari relasi R adalah relasi
R-1 = { (a,1) , (a,2) , (b,2) , (a,3) }.

Contoh 2.7.
13

Misalkan W = {a, b, c}, relasi R = { (a,b) , (a,c) , (c,c) , (c,b) } merupakan
relasi pada W . Invers dari relasi R adalah relasi
R-1 = { (b,a) , (c,a) , (c,c) , (b,c) }
Soal Latihan 2.1.
1. Diketahui G = { 5, 7, 11 }. Tentukan G x G dan n(G x G ).
2. Diketahui himpunan A = {a, b} dan himpunan B = { 9 }. Tentukan semua relasi
R : A  B yang dapat didefinisikan dan hitung jumlahnya.
3. Diketahui himpunan C = {x, y}. Tentukan semua relasi R : C  C yang dapat
didefinisikan dan hitung jumlahnya.
4. Misalkan D = {1, 3, 5, 9}. Pada himpunan tersebut didefinisikan relasi
a. R 1 = { (x,y)  x  y }
b. R 2 = { (x,y)  x + 2  y }
c. R 3 = { (x,y)  x.y  50 }
Sajikan relasi-relasi tersebut dalam bentuk himpunan pasangan terurut.
Tentukan invers dari setiap relasi tersebut.
5. Nyatakan invers dari tiap relasi berikut :
a. R = { (x,y)  x habis dibagi oleh y, x, y Z }
b. R = { (x,y)  x  y,

x, y Z }

c. R = { (x,y)  x – 4 = y,

x, y Z }

14

Pertemuan 4
2.4. SIFAT RELASI
Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan A. Relasi R
dikatakan bersifat refleksif jika untuk setiap a  A berlaku (a,a)  R.
Contoh 2.8.
Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R1 = { (1,1), (1,2), (2,2),
(2,3) , (3,3) , (3,2) }. Relasi R1 tersebut bersifat refleksif.
Contoh 2.9.
Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R2={(x,y)x kelipatan y,
x,yB }. Maka R2 = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R2 tersebut bersifat
refleksif.
Contoh 2.10.
Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R3 = {(x,y)x + y