Pendugaan Fungsi Intensitas Global Dari Proses Poisson Periodik Dengan Tren Linear

PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DARI
PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR

WALIDATUSH SHOLIHAH
G54103038

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007

RINGKASAN
WALIDATUSH SHOLIHAH. Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson Periodik
dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.
Proses stokastik banyak kita temukan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, proses
kedatangan pelanggan pada suatu antrian di pusat servis (bank, kantor pos, supermarket, dan
sebagainya) dan proses kedatangan pengguna line telepon.
Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisson periodik. Proses ini
adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses Poisson
periodik antara lain dapat digunakan untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan ke suatu

pusat servis dengan periode satu hari, atau memodelkan fenomena-fenomena serupa. Jika laju
kedatangan pelanggan tersebut meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang lebih
tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Fungsi intensitas dari
proses tersebut umumnya tidak diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga
fungsi tersebut. Pada banyak kasus, kita hanya tertarik untuk menduga rata-rata dari fungsi
intensitas pada proses Poisson periodik pada selang waktu satu periode, yang disebut fungsi
intensitas global.
Karya ilmiah ini membahas suatu metode untuk menduga fungsi intensitas global dari
komponen periodik suatu proses Poisson periodik dengan tren linear yang diamati pada interval
[0,n].
Pada tulisan ini, kita asumsikan bahwa periodenya diketahui (seperti: satu hari, satu minggu,
dan lain-lain), tetapi slope pada komponen linear dan komponen periodik dari fungsi intensitas
pada [0,τ ) keduanya tidak diketahui. Sehingga didefinisikan penduga bagi θ dan a.
Dari hasil pengkajian yang dilakukan, diperoleh bahwa penduga bagi θ dan a keduanya
adalah konsisten jika panjang interval pengamatan proses menuju takhingga. Mean Square Error
(MSE) dari kedua penduga di atas juga konvergen ke nol jika panjang interval pengamatan proses
menuju takhingga.
Disamping itu, dihasilkan juga pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam bagi pendugapenduga yang dikaji. Akhirnya dirumuskan penduga dengan bias yang telah dikoreksi untuk θ,
serta dihasilkan pendekatan asimtotik bagi ragam penduga tersebut.

i

PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DARI
PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR

Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

Oleh :
WALIDATUSH SHOLIHAH
G54103038

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007

Judul : Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson Periodik
dengan Tren Linear
Nama : Walidatush Sholihah
NRP : G54103038

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
NIP. 131 663 020

Ir. Retno Budiarti, M.S.
NIP. 131 842 409

Mengetahui,
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS.
NIP. 131 473 999

Tanggal Lulus :

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandung pada tanggal 11 Desember 1984 sebagai anak sulung dari
dua bersaudara, anak dari pasangan Sudarjat (alm) dan Nurulhuda.
Tahun 1997 penulis lulus dari SDN Sindangbarang 6 Bogor. Tahun 2000 penulis lulus
dari SMPN 4 Bogor. Tahun 2003 penulis lulus dari SMAN 1 Bogor dan pada tahun yang sama
lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Penulis memilih
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II pada
tahun ajaran 2005/2006 dan 2006/2007 serta asisten mata kuliah Persamaan Diferensial Biasa pada
tahun ajaran 2005/2006. Penulis juga aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus
Mahasiswa Matematika) sebagai ketua Departemen Keputrian pada periode 2005 – 2006 dan staf
Biro Kaderisasi Departemen Pengembangan Sumber Daya Manusia (PSDM) periode 2006 – 2007.

iv

KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya
sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari
bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya
kepada:
1. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua
ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).
2. Ir. Retno Budiarti, M. S. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu,
saran, dan motivasinya).
3. Drs. Siswandi, M. Si selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya).
4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah
diberikan).
5. Bu Susi, Bu Ade, Bu Marisi, Mas Bono, Mas Deni, Mas Yono.
6. Keluargaku tercinta: bapak (terima kasih atas semua nasihat dan motivasinya. Pesen
Bapak udah Walidah laksanakan), ibu (terima kasih banyak atas semua doa, dukungan,
dan kasih sayangnya. Ibu memang ibu terbaik sedunia), cici, mang Iam (makasih udah
bantuin bikin presentasi), mang Tata, mang Wanda, wa Ipik, mang Kanda, mang Asep
(makasih atas doanya).
7. Teman-teman Math 40: Uli, Yuda, Dwi, Sri, Agatha, Herni, Mayang, Mika, Indah, Icha,

Ami, Elis, Nchi, Marlin, Ulfa, Mitha, Mukafi, Sawa, Mufti, Ari, Jayu, Demi, Febrian,
Prima, Dimas, Ali, Beri, Aam, Lili, Yudi, Septi, Achie, Ifni, Tiwi, Metha, Vina, Abay,
Ali, Rama, Manto, Rusli, Anton, Berri, Azis dan temen-temen Math 40 lainnya (selamat
berjuang teman-temanku…).
8. Teman-teman Math 41: LiaY, Diah, Ani, Dian, Armi, Ayu, dan lainnya (terima kasih atas
doanya. Ayo cepat menyusul). Teman-teman Math 42: Hikmah, Achi, Hapsari, Jane,
Lisda, Gita, Riken, Niken, Yuni, Nyoman, Ayu, Agnes, Mukhtar, Fachri dan lainnya
(makasih buat dukungannya).
9. Adik-adik TPB 43: Baby, Elsha, Sandra, Esa, Evine, Rani, Tania, Monmon, Yoyon,
Marcel, Kalia, Dian, Oni, Tasya, Susan, Inez, Novi, Shanti, Yeni (makasih atas semangat
dan dukungannya).
10. Para Pengajar MSC: K’ Syam, K’ Hepy, K’ Taufik, K’Jae, K’Indra, Mba Novi, Mba
Nuqi, Rina, Dewi, Poppy (makasih atas semangat dan motivasinya).
11. Teman-teman Forkom Alim SMANSA (terima kasih atas doanya).
12. Tedy Bear: Bai (makasih motivasinya), Irni (makasih semangatnya), Retno, Ira, Sisi
(kalian semua sahabat yang terbaik).
13. Teman-teman KSR PMI kota Bogor (makasih atas semangat dan doanya).
14. K’Ari mat 39 (makasih bantuannya merapikan nomor halaman), K’ Irfan (terima kasih
atas bimbingan, nasihat, saran dan motivasinya selama ini. Semoga k Ir tetap semangat
dan sehat selalu).

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya
Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Januari 2007

Walidatush Sholihah

v

DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI .............................................................................................................................. vi
DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................. vii
DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................................................. vii
PENDAHULUAN
Latar Belakang .................................................................................................................... 1
Tujuan .................................................................................................................................. 1
LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ................................................................................
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ......................................................................................

Momen, Nilai Harapan dan Ragam ....................................................................................
Kekonvergenan Peubah Acak .............................................................................................
Penduga ...............................................................................................................................
Proses Stokastik ..................................................................................................................
Proses Poisson .....................................................................................................................
Beberapa Definisi dan Lema Teknis ..................................................................................

1
2
2
3
3
4
4
5

HASIL DAN PEMBAHASAN
Perumusan Penduga Bagi θ ................................................................................................ 6
Pendekatan Asimtotik untuk Bias dan Ragam dari θˆn ...................................................... 8
Reduksi Bias ....................................................................................................................... 12

KESIMPULAN .......................................................................................................................... 15
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................ 15
LAMPIRAN ............................................................................................................................... 17

vi

DAFTAR GAMBAR
Halaman
1.

Contoh grafik fungsi intensitas periodik dengan tren linear................................................. 6

DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Pembuktian Lema 2 .................................................................................................................... 18
Pembuktian Lema 5 .................................................................................................................... 19
Pembuktian Lema 6 .................................................................................................................... 20

vii

PENDAHULUAN

fungsi intensitas suatu proses Poisson
periodik. Rata-rata dari fungsi intensitas ini
pada selang waktu satu periode disebut
fungsi intensitas global.
Pada tulisan ini dikaji suatu metode
untuk menduga fungsi intensitas global dari
komponen periodik suatu proses Poisson
periodik dengan tren linear, yang merupakan
rekonstruksi dari Mangku (2005).

Latar Belakang
Proses stokastik banyak kita temukan
dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya,
proses kedatangan pelanggan pada suatu
antrian di pusat servis (bank, kantor pos,
supermarket, dan sebagainya). Proses
kedatangan pengguna line telepon juga
merupakan suatu proses stokastik.

Salah satu bentuk khusus dari proses
stokastik adalah proses Poisson periodik.
Proses ini adalah suatu proses Poisson
dengan fungsi intensitas berupa fungsi
periodik. Proses Poisson periodik antara lain
dapat digunakan untuk memodelkan proses
kedatangan pelanggan ke suatu pusat servis
dengan periode satu hari, atau memodelkan
fenomena-fenomena serupa. Jika laju
kedatangan pelanggan tersebut meningkat
secara linear terhadap waktu, maka model
yang lebih tepat untuk digunakan adalah
proses Poisson periodik dengan tren linear.
Pada pemodelan stokastik dari suatu
fenomena yang dimodelkan dengan proses
Poisson periodik dengan tren linear, fungsi
intensitas dari proses tersebut umumnya
tidak diketahui. Sehingga diperlukan suatu
metode untuk menduga fungsi tersebut.
Pada banyak kasus, kita hanya
memerlukan informasi tentang rata-rata dari

Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini
adalah untuk :
(i) Mempelajari
perumusan
penduga
intensitas global pada proses Poisson
periodik dengan tren linear.
(ii) Membuktikan kekonsistenan pendugapenduga yang diperoleh.
(iii) Menentukan pendekatan asimtotik dari
bias, ragam dan MSE dari pendugapenduga yang dikaji.
(iv) Mempelajari
perumusan
penduga
dengan bias yang telah dikoreksi untuk
intensitas global dari komponen
periodik pada proses Poisson periodik
dengan tren linear, serta menentukan
pendekatan asimtotik bagi ragam
penduga tersebut.

LANDASAN TEORI

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

Definisi 3 (Kejadian Lepas)
Kejadian A dan B disebut saling lepas jika
irisan dari keduanya adalah himpunan
kosong ∅ .
(Grimmett and Stirzaker 1992)

Suatu percobaan yang dapat diulang
dalam kondisi yang sama, yang hasilnya
tidak bisa diprediksi secara tepat tapi kita
bisa mengetahui semua kemungkinan hasil
yang muncul disebut percobaan acak.

Definisi 4 (Medan-σ)
Medan-σ adalah suatu himpunan F yang
anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat
berikut:
1. ∅ ∈ F.

Definisi 1 (Ruang Contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil
yang mungkin dari suatu percobaan acak,
dan dinotasikan dengan Ω.
(Grimmett and Stirzaker 1992)
Definisi 2 (Kejadian)
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari
ruang contoh Ω.
(Grimmett and Stirzaker 1992)

2.

Jika A ∈ F, maka Ac ∈ F.

3.

Jika A1, A2, … ∈ F, maka

∞

U A ∈ F.
i

i =1

1

Medan-σ di atas disebut medan Borel jika
Ω = (0,1] dan anggotanya disebut himpunan
Borel.
(Grimmett and Stirzaker 1992)

Definisi 8 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak X dikatakan diskret jika semua
himpunan nilai dari peubah acak tersebut
merupakan himpunan tercacah.
(Hogg and Craig 1995)

Definisi 5 (Ukuran Peluang)
Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu
percobaan dan F adalah medan-F pada Ω.
Suatu fungsi P yang memetakan unsur-unsur
F ke himpunan bilangan nyata ฀ , atau

Definisi 9 (Fungsi Sebaran)
Misalkan X adalah peubah acak dengan
ruang A. Misalkan kejadian A=(-∞,x] ⊂ A,
maka peluang dari kejadian A adalah
p X ( A ) = Ρ ( X ≤ x ) = FX ( x ) .

P : F → ฀ disebut ukuran peluang jika:
1.
2.

Definisi 10 (Fungsi Kerapatan Peluang)
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak
diskret X adalah fungsi p : ฀ → [0,1] yang
diberikan oleh:
pX ( x ) = Ρ ( X = x ) .

⎛
⎞
maka Ρ ⎜ U An ⎟ = ∑ Ρ ( An ) .
⎝ n =1 ⎠ n =1
P bernorma satu, yaitu P(Ω) = 1.
∞

3.

Fungsi FX disebut fungsi sebaran dari
peubah acak X.
(Hogg and Craig 1995)

P tak negatif, yaitu untuk setiap A ∈ F,
P(A) ≥ 0.
P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika
A1, A2, … ∈ F dengan Aj ∩ Ak = ∅ , j≠k,
∞

(Hogg and Craig 1995)

Pasangan (Ω, F, P ) disebut ruang ukuran
peluang atau ruang probabilitas.
(Hogg and Craig 1995)

Definisi 11 (Peubah Acak Poisson)
Suatu peubah acak X disebut peubah acak
Poisson dengan parameter λ, λ > 0, jika
fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh

Definisi 6 (Kejadian Saling Bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas
jika:
Ρ ( A ∩ B ) = Ρ ( A) Ρ ( B ) .

pX ( k ) = Ρ ( X = k ) = e−λ .

λk
k!

,

untuk k = 0, 1, …

Secara umum, himpunan kejadian {Ai; i ∈ I}
dikatakan saling bebas jika:
⎛
⎞
Ρ ⎜ I Ai ⎟ = ∏ Ρ ( Ai )
⎝ i∈J ⎠ i∈J
untuk setiap himpunan bagian J dari I.
(Grimmett and Stirzaker 1992)

(Ross 2003)
Lema 1 (Jumlah Peubah Acak Poisson)
Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang
saling bebas dan memiliki sebaran Poisson
dengan parameter berturut-turut λ1 dan λ2.
Maka X+Y memiliki sebaran Poisson
dengan parameter λ1 + λ2.

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Bukti: lihat Taylor and Karlin 1984.

Definisi 7 (Peubah Acak)
Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu
percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi
pada Ω yang memetakan setiap unsur ω ∈ Ω
ke satu dan hanya satu bilangan real X(ω) =
x disebut peubah acak.
Ruang dari X adalah himpunan bagian
bilangan real A = {x : x = X(ω), ω ∈ Ω}.
(Hogg and Craig 1995)

Momen, Nilai Harapan, dan Ragam
Definisi 12 (Nilai Harapan)
Misalkan X adalah peubah acak diskret
dengan
fungsi
kerapatan
peluang
p X ( x ) = Ρ ( X = x ) . Nilai harapan dari X,
dinotasikan dengan E(X), adalah
Ε ( X ) = ∑ xΡ ( X = x ) = ∑ x pX ( x ) ,
x

Peubah acak dinotasikan dengan huruf
kapital, misalnya X, Y, Z. Sedangkan nilai
peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil
seperti x, y, z.

x

jika jumlah di atas konvergen mutlak.
(Hogg and Craig 1995)

2

Definisi 17 (Kekonvergenan Dalam
Peluang)
Misalkan X1, X2, …, Xn adalah barisan
peubah acak pada suatu ruang peluang (Ω,
F, P). Barisan peubah acak Xn dikatakan
konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan
p
X n ⎯⎯
→ X , jika untuk setiap ε > 0 berlaku

Definisi 13 (Ragam)
Misalkan X adalah peubah acak diskret
dengan fungsi kerapatan peluang p X ( x )
dan nilai harapan E(X). Maka ragam dari X,
dinotasikan dengan Var ( X ) atau σ X2 ,
adalah

(

)

σ X2 =Ε ( X −Ε ( X ) ) = ∑( X −Ε ( X ) ) pX ( x) .
2

2

Ρ ( X n − X > ε ) → 0 , untuk n →∞.

x

(Hogg and Craig 1995)

(Grimmett and Stirzaker 1992)

Definisi 14 (Momen ke-k)
Jika k adalah bilangan bulat positif , maka
momen ke-k atau mk dari peubah acak X
adalah
mk = Ε ( X k ) .

Penduga
Definisi 18 (Statistik)
Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau
lebih peubah acak yang tidak tergantung
pada satu atau beberapa parameter yang
nilainya tidak diketahui.
(Hogg and Craig 1995)

(Hogg and Craig 1995)
Definisi 15 (Momen Pusat ke-k)
Jika k adalah bilangan bulat positif , maka
momen pusat ke-k atau σ k dari peubah acak
X adalah

(

σ k = Ε ( X − m1 )

k

Definisi 19 (Penduga)
Misalkan X1, X2, …, Xn adalah contoh acak.
Suatu statistik U(X1, X2, …, Xn) yang
digunakan untuk menduga fungsi parameter
g(θ), dikatakan sebagai penduga (estimator)
bagi g(θ), dilambangkan oleh ĝ (θ ) .

).

(Hogg and Craig 1995)
Nilai harapan dari peubah acak X juga
merupakan rataan atau momen pertama dari
X. Nilai harapan dari kuadrat perbedaan
jarak antara peubah acak X dengan nilai
harapannya disebut ragam atau variance dari
X. Ragam merupakan momen pusat ke-2
dari peubah acak X.

Bilamana nilai X1 = x1, X2 = x2, …, Xn = xn,
maka nilai U(X1, X2, …, Xn) disebut sebagai
dugaan (estimate) bagi g(θ).
(Hogg and Craig 1995)
Definisi 20 (Penduga Tak Bias)
(i) Suatu penduga yang nilai harapannya
sama dengan parameter g(θ), yaitu
E[U(X1, X2, …, Xn)] = g(θ) disebut
penduga tak bias bagi parameter g(θ).
Jika sebaliknya, penduga di atas disebut
berbias.
(ii) Jika lim Ε ⎣⎡U ( X 1 , X 2 ,K , X n ) ⎦⎤ = g (θ )

Definisi 16 (Fungsi Indikator)
Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi
indikator dari A adalah suatu fungsi
Ι A : Ω → [ 0,1] , yang diberikan oleh:
⎧ 1, jika ω ∈ A
Ι A (ω ) = ⎨
⎩0, jika ω ∉ A .
(Grimmett and Stirzaker 1992)

Dengan fungsi indikator
menyatakan hal berikut :
Ε Ι A = Ρ ( A) .

kita

n →∞

untuk n→∞, maka U(X1, X2, …, Xn)
disebut sebagai penduga tak bias
asimtotik.
(Hogg and Craig 1995)

dapat

Definisi 21 (Penduga Konsisten)
Suatu penduga yang konvergen dalam
peluang ke parameter g(θ), disebut penduga
konsisten bagi g(θ).
(Hogg and Craig 1995)

Kekonvergenan Peubah Acak
Terdapat
beberapa
cara
untuk
menginterpretasikan
pernyataan
kekonvergenan barisan peubah acak,
X n → X untuk n → ∞.

Definisi 22 (MSE suatu Penduga)
Mean Square Error (MSE) dari suatu
penduga U bagi parameter g(θ) didefinisikan
sebagai
MSE(U) = E(U-g(θ))2

3

= (Bias(U))2 + Var(U),
dengan Bias(U) = EU - g(θ).

Proses Poisson

Salah satu bentuk khusus dari proses
stokastik dengan waktu kontinu adalah
proses Poisson. Pada proses ini, kecuali
dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa
gugus indeks T adalah interval bilangan real
tak negatif, yaitu [0,∞).

Proses Stokastik
Definisi 23 (Proses Stokastik)
Proses stokastik X = {X(t), t ∈ T} adalah
suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu
ruang state S.
(Ross 2003)

Definisi 27 (Proses Pencacahan)
Suatu proses stokastik {N(t), t ≥ 0} disebut
proses pencacahan jika N(t) menyatakan
banyaknya kejadian yang telah terjadi
sampai waktu t.
Dari definisi tersebut, maka suatu proses
pencacahan N(t) harus memenuhi syaratsyarat berikut:
(i) N(t) ≥ 0 untuk semua t ∈ [0,∞).
(ii) Nilai N(t) adalah integer.
(iii) Jika s < t maka N(s) ≤ N(t), s, t ∈ [0,∞).
(iv) Untuk s < t maka N(t) – N(s), sama
dengan banyaknya kejadian yang terjadi
pada selang (s,t].
(Ross 2003)

Jadi, untuk setiap t pada himpunan
indeks T, X(t) adalah suatu peubah acak.
Kita sering menginterpretasikan t sebagai
waktu dan X(t) sebagai state (keadaan) dari
proses pada waktu t.
Definisi 24 (Proses Stokastik Waktu
Kontinu)
Suatu proses stokastik X disebut proses
stokastik dengan waktu kontinu jika T
adalah suatu interval.
(Ross 2003)

Definisi 28 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan {N(t), t ≥ 0}
disebut proses Poisson dengan laju λ, λ>0,
jika dipenuhi tiga syarat berikut.
(i) N(0) = 0.
(ii) Proses tersebut memiliki inkremen
bebas
(iii) Banyaknya kejadian pada sembarang
interval waktu dengan panjang t,
memiliki sebaran (distribusi) Poisson
dengan rataan λt.
Jadi untuk semua t, s > 0,
k
e−λt ( λt )
Ρ( N( t + s) −N( s) =k) =
,k = 0, 1, …
k!
(Ross 2003)

Definisi 25 (Inkremen Bebas)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
{X(t), t ∈ T} disebut memiliki inkremen
bebas jika untuk semua t0 < t1 < t2 < … < tn,
peubah acak X(t1) – X(t0), X(t2) – X(t1), …,
X(tn) – X(tn-1) adalah bebas.
(Ross 2003)

Dengan kata lain, suatu proses stokastik
dengan waktu kontinu X disebut memiliki
inkremen bebas jika proses berubahnya nilai
pada interval waktu yang tidak tumpang
tindih (tidak overlap) adalah bebas.
Definisi 26 (Inkremen Stasioner)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
{X(t), t ∈ T} disebut memiliki inkremen
stasioner jika X(t+s) – X(t) memiliki sebaran
yang sama untuk semua nilai t.
(Ross 2003)

Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa
proses Poisson memiliki inkremen yang
stasioner. Dari syarat ini juga dapat
diperoleh :
E (N(t)) = λt .

Dengan kata lain, suatu proses stokastik
dengan waktu kontinu X disebut memiliki
inkremen stasioner jika sebaran (distribusi)
dari perubahan nilai antara sembarang dua
titik hanya tergantung pada jarak antara
kedua titik tersebut, dan tidak tergantung
dari lokasi titik-titik tersebut.

Definisi 29 (Proses Poisson Tak Homogen)
Suatu proses Poisson {N(t), t ≥ 0} disebut
proses Poisson tak homogen jika laju λ pada
sembarang waktu t merupakan fungsi tak
konstan dari t yaitu λ(t). Selanjutnya λ(t)
disebut fungsi intensitas dari proses tersebut.
(Ross 2003)

4

Definisi 30 (Fungsi Periodik)
Suatu fungsi λ disebut periodik jika
λ ( s + kτ ) = λ ( s )

Definisi 34 (O(.) dan o(.))
Simbol-simbol ini merupakan cara untuk
membandingkan besarnya dua fungsi u(x)
dan v(x) dengan x menuju suatu limit L.
(i) Notasi
u ( x ) = O ( v ( x )) , x → L ,

untuk semua s ∈ ฀ dan k ∈ ฀ . Konstanta
terkecil yang memenuhi persamaan di atas
disebut periode dari fungsi λ tersebut.
(Browder 1996)
Definisi 31 (Proses Poisson Periodik)
Proses Poisson periodik adalah proses
Poisson tak homogen yang fungsi
intensitasnya adalah fungsi periodik.
(Mangku 2001)

u (x )

menyatakan bahwa

v (x )

terbatas,

untuk x → L.
(ii) Notasi
u ( x ) = o ( v ( x )) , x → L ,
menyatakan bahwa

u
v

(x )
(x )

→ 0

, untuk

x → L.
Definisi 32 (Fungsi Intensitas Global)
Misalkan N ([ 0, n ]) adalah proses Poisson

(Serfling 1980)
Lema 3 (Teorema Fubini)
Misalkan (X, A, µ1) dan (Y, B, µ2) adalah
dua
ruang
ukuran
σ-finit.
Jika
f ≥ 0 atau ∫ f d µ < ∞ maka

pada interval [0,n]. Fungsi intensitas global
θ dari proses Poisson ini didefinisikan
sebagai
ΕN

θ = lim
n→ ∞

([ 0, n ])

∫ ∫ f ( x, y ) µ ( dy ) µ ( dx ) = ∫

n

2

jika limit di atas ada.

1

τ

f dµ

XxY

= ∫ ∫ f ( x, y ) µ1 ( dx ) µ 2 ( dy ) .

Lema 2 (Fungsi Intensitas Global)
Jika N([0,n]) adalah proses Poisson periodik
dengan fungsi intensitas λc, maka limit di
atas ada dan
θ =

1

X Y

Y X

Bukti: lihat Durret 1996.

τ

∫ λ ( s ) ds .

Lema 4 (Pertaksamaan Chebyshev)
Jika X adalah peubah acak dengan rataan µ
dan ragam 2, maka untuk setiap k > 0,

c

0

Ρ { X − µ ≥ k} ≤

Bukti: lihat Lampiran 1.

σ2
k2

.

Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Bukti: lihat Lampiran 2.

Definisi 33 (Fungsi Terintegralkan Lokal)
Fungsi intensitas λ adalah terintegralkan
lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel
terbatas B kita peroleh
µ ( B ) = ∫ λ ( s ) ds < ∞ .

Lema 5 (Pertaksamaan Cauchy-Schwarz)
Untuk setiap X dan Y berlaku

Ε( XY ) ≤ Ε( X 2 )Ε(Y 2 ) .
Bukti: lihat lampiran 3.

B

(Dudley 1989)

5

HASIL DAN PEMBAHASAN
Perumusan Penduga Bagi θ

(Ω,F,P) dengan fungsi intensitas λ seperti
pada (1), yang diamati pada interval terbatas
[0,n]. Tujuan kita dalam pembahasan ini
adalah untuk mempelajari penyusunan
penduga konsisten bagi intensitas global
τ
1
1
θ = µ ([0,τ ]) = ∫ λc ( s)ds
(3)

Misalkan N adalah proses Poisson pada
interval [0, ∞) dengan rataan µ yang kontinu
mutlak, dan fungsi intensitas λ yang
terintegralkan lokal. Sehingga, untuk setiap
himpunan Borel terbatas B maka:
µ ( B) = ΕN ( B) = ∫ λ ( s)ds < ∞ .

τ

τ

0

dari komponen periodik λc dari fungsi
intensitas λ pada (1).
Pada tulisan ini, kita asumsikan bahwa
periode τ diketahui (seperti: satu hari, satu
minggu, dan lain-lain), tetapi slope a dan
fungsi λc pada [0,τ ) keduanya tidak
diketahui. Pada situasi ini kita definisikan
penduga a dan θ sebagai berikut
2 N ([ 0, n ])
aˆn =
(4)
n2
dan
∞
1
1 N ([kτ , (k + 1)τ ] ∩ [0, n])
θˆn =
∑
τ
ln ( n / τ ) k =1 k

B

Fungsi λ diasumsikan terdiri atas dua
komponen yaitu komponen periodik λc ,
dengan periode τ>0 (diketahui) dan
komponen tren linear as, dengan slope a
tidak diketahui. Dengan kata lain, untuk
setiap s ∈ [0, ∞) , fungsi intensitas λ dapat
dituliskan sebagai berikut:
λ ( s ) = λc ( s ) + as
(1)
dengan λc ( s ) adalah fungsi periodik dengan
periode τ . Dalam tulisan ini, kita asumsikan
λc adalah periodik sehingga persamaan
λc ( s + kτ ) = λc ( s)
(2)
berlaku untuk setiap s ∈ [0, ∞) dan k ∈ ฀ ,
dengan ฀ adalah himpunan bilangan bulat.
Contoh fungsi intensitas yang memenuhi
persamaan (1) adalah
⎛
⎛ 2π s ⎞ ⎞
λ ( s ) = 4 exp ⎜ cos ⎜
⎟⎟ + s ,
⎝ 5 ⎠⎠
⎝

⎛τ
⎞
n
− aˆn ⎜⎜ +
⎟⎟ .
n
τ
2
ln
/
(
)
⎝
⎠

(5)
Penduga a yaitu aˆn diperoleh dari:
n

ΕN ([ 0, n ]) = ∫ (λc ( s ) + as )ds
0

yang grafiknya dapat dilihat pada gambar
berikut

n

= ∫ λc ( s )ds + 12 as 2 ⎤⎦

30

n
0

0

n

25

= ∫ λc ( s )ds + 12 an 2 .

20

0

Bila kedua ruas dibagi dengan n2 maka
persamaan di atas menjadi

15
10

n

ΕN ([ 0, n ])

5

5

10

15

∫ λ (s)ds
c

1
+ a.
2
n
n2
Bagian pertama dapat ditulis sebagai
2

20

Gambar 1. Contoh grafik fungsi intensitas
periodik dengan tren linear.

=

0

n

∫ λc (s)ds

Di sini kita perhatikan proses Poisson
titik pada [0, ∞) karena λ harus memenuhi
(1) dan harus tak-negatif. Dengan alasan
yang sama, kita hanya perhatikan untuk
kasus a>0.
Misalkan untuk suatu ω ∈ Ω , ada
sebuah realisasi N (ω ) dari proses Poisson
N yang didefinisikan pada ruang peluang

0

n

2

n

∫ λ (s)ds 1
c

=

0

n

n

.

n

∫ λ (s)ds
c

Perhatikan bahwa

0

merupakan
n
rata-rata λc ( s ) pada interval [0,n] yang

6

Perhatikan bahwa
∞
1
Ι( s + kτ ∈ [0, n]) = Ln + O (1) ≈ Ln
∑
k =1 k

1
n

merupakan suatu konstanta. Sementara

konvergen ke 0 jika n → ∞ .
Maka
ΕN ([ 0, n ]) 1
= a.
2
n2
Dengan kata lain
2ΕN ([ 0, n ])
.
a=
n2
Sehingga diperoleh penduga seperti pada
(4).
Selanjutnya, kita uraikan ide untuk
mengkonstruksi penduga dari θ yaitu θˆ

(8)
τ

(lihat Titchmarsh 1960) dan

τ

Bagian kedua pada (7) adalah ≈

=

1
Ln
−

∞

1

(6)

a
Ln

maka

=

a
Ln

1
Ln

−

dimana

λ ( s )Ι( s ∈ [0, n])ds

∞

1

( k +1)τ

k =1

∞

(as )Ι( s ∈ [0, n])ds .

k =1

n ≥ 1.

Dengan mengambil padanan stokastik
dari bagian pertama, maka diperoleh
persamaan (5) dan juga mengganti a dengan
aˆn (karena belum diketahui).

τ

∞
1
a
Ι ( s + kτ ∈ [0, n])ds
s
∑
∫
Lnτ 0 k =1 k

τ

setiap

(12)

0

1 ΕX ([kτ , (k + 1)τ ] ∩ [0, n])

∑k

untuk

⎛τ
⎞
n
− a ⎜⎜ +
⎟⎟ .
⎝ 2 ln ( n / τ ) ⎠

τ

∑ kτ ∫ (s + kτ )Ι(s + kτ ∈ [0, n])ds
k =1

ζn ≤1

(11)
⎛n⎞
Dari (10) dan Ln ฀ ln ⎜ ⎟ dengan n → ∞
⎝τ ⎠
diperoleh:
∞
1
1 ΕN ([kτ , (k + 1)τ ] ∩ [0, n])
θ≈
∑
ln ( n / τ ) k =1 k
τ

k

1

an
Ln

⎛τ n ⎞
− a⎜ + ⎟ .
⎝ 2 Ln ⎠

k

∑ kτ ∫
τ

∞

a
Ln

0 k =1

Sehingga (7) menjadi
1 ∞ 1 ΕN ([ kτ , (k + 1)τ ] ∩ [0, n])
θ≈ ∑
τ
Ln k =1 k

τ

−

aτ ⎛ n
⎞
⎜ +ζn ⎟
⎠
n ⎝τ
an aτζ n
=
+
Ln
Ln

∞

∫ ∑ Ι(s + kτ ∈ [0, n])ds = L

(10)

Dengan perubahan batas integral pada suku
kedua ruas kanan persamaan di atas, maka
diperoleh
( k +1)τ
1 ∞ 1
θ= ∑
λ ( s )Ι( s ∈ [0, n]) ds
Ln k =1 kτ k∫τ
−

τ

≈

( k +1)τ

k =1

1
Ln

ζ n ≤ 1 untuk setiap

( k +1)τ

∑ kτ ∫
τ

aτ
.
2

n ≥ 1.
Bagian ketiganya menjadi

1
1
λc ( s )Ι( s ∈ [0, n])ds .
∑
Ln k =1 kτ k∫τ
Dengan menggunakan persamaan (1) maka
kuantitas di atas sama dengan
( k +1)τ
1 ∞ 1
(λ ( s ) − as )Ι( s ∈ [0, n])ds
θ= ∑
Ln k =1 kτ k∫τ
=

.

(9)
Perhatikan bahwa

∞

∞

2

Misalkan
τ
1 ∞
⎛n⎞
ζ n = ∫ ∑ Ι( x + kτ ∈ [0, n])dx − ⎜ ⎟ .
τ 0 k =1
⎝τ ⎠

kτ

1
Misalkan Ln = ∑ Ι(kτ ∈ [0, n]) ,
k =1 k
dengan (6) diperoleh:
1 ∞ 1
θ = ∑ θ Ι(kτ ∈ [0, n])
Ln k =1 k

∫ s ds =
0

n

sebagai berikut:
( k +1)τ
1
θ=
∫ λc (s)ds .

τ2

∞

∫ ∑ Ι(s + kτ ∈ [0, n])ds.
0 k =1

(7)

7

jika n → ∞ . Dengan γ = 0,577... adalah
konstanta Euler. Serta
2
⎛ θ + a ⎞ ⎛⎜ π ⎞⎟ − a 2 − γ
(
)
⎜
⎟⎜
⎝ τ 2 ⎠ ⎝ 6 ⎟⎠
a
ˆ
+
Var (θ ) =

Pendekatan Asimtotik untuk Bias dan
Ragam dari θˆ
n

Lema 6:
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (1)
dan terintegralkan lokal, maka
2θ
⎛ 1 ⎞
(13)
Ε(aˆn ) = a +
+ O⎜ 2 ⎟
n
⎝n ⎠
dan
2a
⎛ 1 ⎞
Var (aˆn ) = 2 + O ⎜ 3 ⎟
(14)
n
⎝n ⎠
dengan n → ∞ . Sehingga aˆn merupakan
penduga a yang konsisten. Mean Squared
Error (MSE)-nya diberikan oleh
MSE (aˆn ) = bias 2 (aˆn ) + Var (aˆn ) .
Dari (13)
2θ
⎛ 1 ⎞
Bias ( aˆ n ) = Ε aˆ n − a =

n

n

⎛

⎞
⎟.
⎜ ( ln n )2 ⎟
⎝
⎠

(17)
Bukti:
Pertama, akan dibuktikan (16). Nilai harapan
dari persamaan (12) adalah
∞
1
1 ΕN ([kτ , (k + 1)τ ] ∩ [0, n])
Εθˆn =
∑
τ
⎛ n ⎞ k =1 k
ln ⎜ ⎟
τ
⎝ ⎠
⎛
⎞
⎜τ
n ⎟
⎟ Εaˆn
−⎜ +
⎜2
⎛n⎞⎟
ln
⎜ ⎟⎟
⎜
⎝τ ⎠ ⎠
⎝

+ O ⎜ 2 ⎟,
⎝n ⎠

jika n → ∞ .

2a
⎛ 1 ⎞
+ O⎜ 3 ⎟
2
n
⎝n ⎠

(18)
Bagian pertama pada (18) sama dengan
∞
1
1 ΕN ([kτ , ( k + 1)τ ] ∩ [0, n])
∑
τ
⎛n⎞ k
ln ⎜ ⎟ k =1
⎝τ ⎠

sehingga
MSE (aˆn ) =

( ln ( n / τ ) )2

1

+ o⎜

Dari (14) diperoleh
Var (aˆn ) =

ln ( n / τ )

4θ 2 2a
⎛ 1 ⎞
+ 2 + O⎜ 3 ⎟
n2
n
⎝n ⎠

= (4θ 2 + 2a)n −2 + O ( n −3 )

kτ +τ

∞
1
1
λ ( x)Ι( x ∈ [0, n])dx .
∑
⎛ n ⎞ k =1 kτ k∫τ
ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠
Dengan perubahan batas integral, maka
persamaan di atas menjadi
τ
∞
1
1
λ ( x + kτ )Ι ( x + kτ ∈ [0, n]) dx .
=
∑
∫
⎛ n ⎞ kτ 0
ln ⎜ ⎟ k =1
⎝τ ⎠
Dengan persamaan (1) diperoleh
τ
∞
1
1
=
λc ( x + kτ ) + a( x + kτ )
∑
∫
⎛ n ⎞ k =1 kτ 0
ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠
Ι( x + kτ ∈ [0, n]) dx

=

jika n → ∞ .
Bukti dari lema ini dapat dilihat pada jurnal
Helmers dan Mangku (2005).

Teorema 1: (Kekonsistenan θˆn )
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (1)
dan terintegralkan lokal, maka
P
θˆn ⎯⎯
→ θ jika n → ∞
(15)
Dengan kata lain, θˆ merupakan penduga
n

yang konsisten bagi θ . MSE dari θˆn
konvergen ke 0 jika n → ∞ .

Bukti:
Teorema 1 akan dibuktikan setelah bukti
Teorema 2.

τ

=

∞
1
1
λc ( x + kτ )Ι ( x + kτ ∈ [0, n])dx
∑
⎛ n ⎞ k =1 kτ ∫0
ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠

τ

Teorema 2: (Pendekatan Asimtotik untuk
Bias dan Ragam dari θˆn )
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (1)
dan terintegralkan lokal, maka
(2 − γ )θ − ( γ / 2 + ζ n ) aτ
⎛ 1 ⎞
Ε(θˆn ) = θ −
+ o⎜
⎟
ln ( τn )
⎝ ln n ⎠

+

∞
1
1
axΙ ( x + kτ ∈ [0, n])dx
∑
n
τ ∫0
k
⎛ ⎞
ln ⎜ ⎟ k =1
⎝τ ⎠

τ

+

(16)

8

∞
1
1
akτΙ( x + kτ ∈ [0, n])dx .
∑
⎛ n ⎞ kτ ∫0
ln ⎜ ⎟ k =1
⎝τ ⎠

aγ 1 1 2
⎛ 1 ⎞
τ + o⎜
⎟
⎛n⎞τ 2
⎝ ln n ⎠
ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠
aτ
aγτ
⎛ 1 ⎞
=
+
+ o⎜
⎟,
2
⎛n⎞
⎝ ln n ⎠
2 ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠

Dengan persamaan (2), persamaan di atas
menjadi
τ
∞
1
1
1
=
λc ( x)∑ Ι( x + kτ ∈ [0, n])dx
∫
ln ( n / τ ) τ 0
k =1 k

a1 2
τ +
τ 2

τ

+

∞
a
1
1
x ∑ Ι( x + kτ ∈ [0, n]) dx
∫
ln ( n / τ ) τ 0 k =1 k

+

aτ
1 ∞
∑ Ι( x + kτ ∈ [0, n])dx .
ln ( n / τ ) τ ∫0 k =1

τ

jika n → ∞ .
Perhatikan bahwa
1 ∞
n
∑ Ι( x + kτ ∈ [0, n]) = + ζ n .

(19)
Diketahui bahwa
∞
1
⎛n⎞
Ι( x + kτ ∈ [0, n]) = ln ⎜ ⎟ + γ + o(1) ,
∑
⎝τ ⎠
k =1 k

τ

(23)
Sehingga bagian ketiga pada (19)
menjadi
τ
aτ 1 ∞
∑ Ι( x + kτ ∈ [0, n])dx
∫
⎛ n ⎞ τ 0 k =1
ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠
aτ ⎛ n
⎞
=
⎜ +ζn ⎟
n
τ
⎛ ⎞
⎠
ln ⎜ ⎟ ⎝
⎝τ ⎠
aτ n aτζ n
=
+
⎛n⎞τ
⎛n⎞
ln ⎜ ⎟
ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠
⎝τ ⎠
aτζ n
an
=
+
.
(24)
⎛n⎞
⎛n⎞
ln ⎜ ⎟ ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠
⎝τ ⎠
Dengan mensubstitusikan (13) ke
bagian 2 persamaan (18), maka
⎛
⎞
⎜τ
n ⎟
⎟ Εaˆn
−⎜ +
⎜2
⎛n⎞⎟
ln ⎜ ⎟ ⎟
⎜
⎝τ ⎠ ⎠
⎝

(Lihat Titchmarsh 1960).
Dengan mensubstitusi (20) pada bagian
pertama (19), maka
τ
∞
1 1
1
λc ( x)∑ Ι( x + kτ ∈ [0, n])dx
∫
k
⎛n⎞τ 0
k =1
ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠
τ

=

⎛ ⎛n⎞
⎞
1 1
λc ( x) ⎜ ln ⎜ ⎟ + γ + o(1) ⎟ dx
∫
n
⎛ ⎞τ
⎝ ⎝τ ⎠
⎠
ln ⎜ ⎟ 0
⎝τ ⎠
1

τ

τ

∫ λc ( x)dx +
0

γ

1

⎛n⎞τ
ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠

τ

∫ λ ( x)dx
c

0

τ

1 1
λc ( x) ( o(1) ) dx
⎛ n ⎞ τ ∫0
ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠
θγ
⎛ 1 ⎞
=θ +
+ o⎜
⎟.
⎛n⎞
⎝ ln n ⎠
ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠
+

⎛
⎞
⎜τ
n ⎟⎛
2θ
⎛ 1 ⎞⎞
⎟⎜ a +
= −⎜ +
+ O⎜ 2 ⎟⎟
n
⎜2
⎛ n ⎞ ⎟⎝
⎝ n ⎠⎠
ln ⎜ ⎟ ⎟
⎜
τ
⎝
⎠
⎝
⎠
aτ θτ τ ⎛ 1 ⎞
an
=− −
− O⎜ ⎟ −
2
n 2 ⎝ n2 ⎠
⎛n⎞
ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠
n
2θ
⎛ 1 ⎞
O⎜ ⎟
−
−
⎛n⎞
⎛ n ⎞ ⎝ n2 ⎠
ln ⎜ ⎟ ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠
⎝τ ⎠
2θ
aτ
an
⎛ 1 ⎞
=− −
−
+ O⎜ 2 ⎟
n
n
2
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎝n ⎠
ln ⎜ ⎟ ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠
⎝τ ⎠
jika n → ∞ .

(21)
Dengan cara yang sama, bagian kedua
pada (19) menjadi
τ
∞
1
a 1
x ∑ Ι( x + kτ ∈ [0, n])dx
∫
k
⎛n⎞τ
ln ⎜ ⎟ 0 k =1
⎝τ ⎠
τ

=

=

⎞
a 1 ⎛ ⎛ [0, n] ⎞
x ⎜ ln ⎜
⎟ + γ + o(1) ⎟ dx
⎛ n ⎞ τ ∫0 ⎝ ⎝ τ ⎠
⎠
ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠
a

τ

τ

∫ x dx +
0

τ

aγ 1
o(1) a 1
x dx +
x dx .
∫
n
⎛ ⎞τ
⎛n⎞τ ∫
ln ⎜ ⎟ 0
ln ⎜ ⎟ 0
⎝τ ⎠
⎝τ ⎠

τ

Karena

τ

1

∫ x dx = 2 τ

2

τ

(lihat Titchmarsh 1960)

(20)
jika n → ∞ dan seragam pada x ∈ [ 0,τ ]

=

k =1

(22)

, maka persamaan di

0

(25)

atas menjadi

9

Dengan menggabungkan (21), (22),
(24) dan (25), maka persamaan
(16)
terbukti sebagai berikut
θγ
⎛ 1 ⎞ aτ
Ε(θˆn ) = θ +
+ o⎜
⎟+
ln ( n / τ )
⎝ ln n ⎠ 2
+

aγτ
an
⎛ 1 ⎞
+ o⎜
⎟+
2 ln ( n / τ )
⎝ ln n ⎠ ln ( n / τ )

+

aτζ n
aτ
an
−
−
ln ( n / τ ) 2 ln ( n / τ )

Var( An )

=θ −

(2 − γ )θ −

(

2

)

+ ζ n aτ

ln ( n / τ )

=
=

⎛ 1 ⎞
+ o⎜
⎟
⎝ ln n ⎠

k =1

τ

∞

∞

1

τ

1

∑ ∫λ (x+kτ) +a(x+kτ)Ι(x+kτ ∈[0,n])dx
τ ( ln( n/τ ) ) k
2

2

k=1

0

∞

1

c

2

τ

1

∑ ∫λ (x+kτ)Ι(x+kτ ∈[0,n])dx
τ ( ln( n/τ ) ) k
2

2

k=1

0

∞

1

c

2

τ

1

2

2

2

k=1

0

Kemudian, dengan persamaan (2) diperoleh
Var ( An )
=

τ

1

τ
+
+

2

∞

c

k =1

0

a

τ

1

∫ λ ( x )∑ k
( ln ( n / τ ) )
2

2

τ

∞

0

k =1

1

∫ x∑ k
( ln ( n / τ ) )
2

τ

a

τ ( ln ( n / τ ) )

2

∞

2

2

Ι ( x + kτ ∈ [0, n])dx

Ι ( x + kτ ∈ [0, n])dx

1

∫ ∑ k Ι( x + kτ ∈ [0, n])dx .
0 k =1

(30)
Perhatikan bahwa
∞
1
π2
Ι( x + kτ ∈ [0, n]) =
+ o(1)
∑
2
6
k =1 k

(27)
Sehingga kita dapat menuliskan
θˆn = An − Bn .
(28)
Kemudian kita dapat menghitung ragam
dari θˆn sebagai berikut
Var (θˆ ) = Var ( A ) + Var ( B ) − 2Cov( A , B )
Catatan, untuk setiap

Var( N ([kτ ,(k +1)τ ] ∩[0, n]))

2 2

∑ ∫a(x+kτ)Ι(x+kτ ∈[0,n])dx.
τ ( ln( n/τ ) ) k

⎛τ
⎞
n
.
B n = aˆ n ⎜⎜ +
⎟⎟
n
2
ln
/
τ
(
)
⎝
⎠

n

1

∑k τ

1

+

jika n → ∞ .
Selanjutnya akan dibuktikan persamaan
(17). Telah didefinisikan penduga bagi θ
yaitu θˆn pada persamaan (5). Misalkan
didefinisikan
∞
1
1 N ([ kτ , (k + 1)τ ] ∩ [0, n])
An =
∑
τ
⎛n⎞ k
ln ⎜ ⎟ k =1
⎝τ ⎠
(26)
dan

n

2

1
λ(x + kτ )Ι(x + kτ ∈[0, n])dx.
2 ∑ 2 ∫
τ 2 ( ln(n /τ )) k =1 k 0
Dengan menggunakan persamaan (1), maka
Var(An )

θγ + (aγτ / 2) + aτζ n − 2θ
⎛ 1 ⎞
+ o⎜
⎟
ln ( n / τ )
⎝ ln n ⎠
γ

( ln(n /τ ))

=

2θ
⎛ 1 ⎞
−
+ O⎜ 2 ⎟
ln ( n / τ )
⎝n ⎠
=θ +

∞

1

=

n

n

(31)
jika n → ∞ , seragam pada x ∈ [ 0,τ ] (Lihat
Titchmarsh 1960).
Dengan menggunakan persamaan
(31), bagian pertama dari persamaan (30)
menjadi

n

(29)
j ≠ k , j , k = 1, 2,...,

dan
([ jτ , ( j + 1)τ ] ∩ [0, n])
([ kτ , (k + 1)τ ] ∩ [0, n]) tidak saling tumpang

τ

maka

=

tindih
(tidak
overlap).
Sehingga
N([ jτ,( j +1)τ] ∩[0,n]) dan N ([ kτ ,(k +1)τ ] ∩[0, n])
adalah bebas, untuk k ≠ j .
Sehingga Var ( An ) dapat
sebagai berikut

τ

1

=

2

∫λ
( ln ( n / τ ) )
2

∞

c

( x)∑

k =1

0

τ

1

τ

2

∫λ
( ln ( n / τ ) )
2

0

1

τ ( ln ( n / τ ) )
⎛θ
⎜
⎝τ

2

c

1
Ι ( x + kτ ∈ [0, n ]) dx
k2

⎛π2
⎞
+ o (1) ⎟ dx
( x) ⎜
⎝ 6
⎠

⎛π2
⎞
+ o(1) ⎟ θ
⎜
⎝ 6
⎠

2
⎞⎛ π ⎞
⎟
⎟⎜
6
⎠⎝
⎠ + o ⎛⎜ 1
=
2
⎜ ln ( n )2
( ln ( n / τ ) )
⎝

dihitung

jika n → ∞ .

10

⎞
⎟,
⎟
⎠

(32)

Bagian keduanya menjadi
τ
∞
a
1
Ι( x + kτ ∈ [0, n])dx
x
∑
2 ∫
2
2
τ ( ln ( n / τ ) ) 0 k =1 k
=
=

=

τ 2 ( ln ( n / τ ) )

⎛π2
⎞
∫0 x ⎜⎝ 6 + o(1) ⎟⎠ dx

2

a

τ 2 ( ln ( n / τ ) )

2

=

=

τ

a
⎛ ⎛ n ⎞⎞
τ ⎜ ln ⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎝τ ⎠⎠

2

⎛

⎛
⎞
n
τ ⎞⎛
2
=⎜
+
⎜ ln ( n / τ ) 2 ⎟⎟ ⎜⎜ n 2 ln ( n / τ ) ⎟⎟
⎝
⎠⎝
⎠
∞
1
Cov N ([ kτ , (k + 1)τ ] ∩ [0, n]) , N ([0, n]) .
∑
k =1 kτ

⎞
⎟,
⎟
⎠

⎛n⎞

(

Karena

⎞

⎛ ⎛n⎞
⎞
⎜ ln ⎜ ⎟ + γ + o(1) ⎟τ
⎠
⎛ ⎛ n ⎞⎞ ⎝ ⎝τ ⎠
τ ⎜ ln ⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎝τ ⎠⎠

)

N [ 0, n ] , maka

)

⎛
⎞
2
1
⎟
Cov( An , Bn ) = ⎜
+ 2
2
⎜ τ n ( ln ( n / τ ) ) n ln ( n / τ ) ⎟
⎝
⎠
τ
∞
1
Ι( x + kτ ∈ [0, n])dx
∫0 ( λc ( x) + ax )∑
k =1 k

2

⎞
⎟
⎟
⎠

⎛
⎞
2
1
⎟.
+⎜
+
⎜ τ n ( ln ( n / τ ) )2 n2 ln ( n / τ ) ⎟
⎝
⎠
(37)
Substitusi persamaan (20) ke bagian
pertama persamaan (37) akan kita peroleh
⎛ 1 ⎞
, jika n → ∞ .
O⎜
⎜ n ln ( n ) ⎟⎟
⎝
⎠
Lalu dengan mensubstitusi persamaan
(23) ke bagian kedua persamaan (37) akan
diperoleh
2a
⎛ 1 ⎞
, jika n → ∞ .
+O⎜
2
n ln n ⎟⎠
n
ln
⎝
( )

(34)
jika n → ∞ . Dengan menggabungkan
persamaan (32), (33) dan (34), diperoleh
2
⎛θ a ⎞π
+ ⎟
+ aγ
⎜
a
τ 2⎠ 6
Var ( An ) =
+⎝
2
ln ( n / τ )
( ln ( n / τ ) )
⎞
⎟.
⎟
⎠

(35)
Selanjutnya, dengan menggunakan
persamaan (14) Var ( Bn ) menjadi
⎛ ⎛τ
n ⎞⎞
Var ( Bn ) = Var ⎜ aˆ ⎜ +
⎟⎟
⎜ n ⎜ 2 ln ( τn ) ⎟ ⎟
⎠⎠
⎝ ⎝
⎛τ
n ⎞
= Var ( aˆ ) Var ⎜ +
⎜ 2 ln ( τn ) ⎟⎟
n
⎝
⎠
⎞
n
⎞⎞⎛ τ
⎟ ⎟ ⎜⎜ 2 + ln n / τ ⎟⎟
( )⎠
⎠⎠⎝

(

adalah

(

a

⎛ 2a
⎛ 1
= ⎜ 2 + O⎜ 3
⎝n
⎝n

N ([ kτ , ( k + 1)τ ] ∩ [0, n])

Cov(An,Bn) dapat ditulis sebagai berikut
⎛
⎞
2
1
⎟
+
Cov( An , Bn ) = ⎜
⎜ τ n ( ln ( n / τ ) )2 n 2 ln ( n / τ ) ⎟
⎝
⎠
∞
1
Var N ([ kτ , (k + 1)τ ] ∩ [0, n]) .
∑
k =1 k
Karena N adalah peubah acak Poisson, maka
Var ( N ) = ΕN . Sehingga kita peroleh

0

⎛ 1
+ o⎜
⎜ ( ln n )2
⎝

)

himpunan bagian dari

∫ ⎜⎝ ln ⎜⎝ τ ⎟⎠ + γ + o(1) ⎟⎠ dx

⎛ 1
a
aγ
+
+ o⎜
2
2
⎜
⎛n⎞
⎝ ln ( n )
ln ⎜ ⎟ ⎛ ln ⎛ n ⎞ ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝τ ⎠ ⎝ ⎝τ ⎠⎠

(36)
hitung

Cov( An , Bn )

(33)
jika
n → ∞ . Dengan menggunakan
persamaan (20), bagian ketiganya menjadi
τ ∞
1
a
Ι( x + kτ ∈ [0, n]) dx
2 ∫∑
⎛ ⎛ n ⎞ ⎞ 0 k =1 k
τ ⎜ ln ⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎝τ ⎠⎠
=

⎛
⎞
1
+ O⎜
⎜ n ln ( n / τ ) ⎟⎟ ,
⎝
⎠

Kemudian,
akan
kita
Cov( An , Bn ) sebagai berikut:

⎛π2
⎞1
+ o(1) ⎟ τ 2
⎜
6
⎝
⎠2

a ⎛π2 ⎞
⎜ ⎟
⎛ 1
2⎝ 6 ⎠
=
+ o⎜
2
2
( ln ( n / τ ) ) ⎜⎝ ln ( n )

( ln ( n / τ ) )

2

jika n → ∞ .

τ

a

2a

Maka
Cov ( An , Bn ) =

2a

( ln ( n / τ ) )

2

⎛
⎞
1
+O⎜
.
⎜ n ln ( n / τ ) ⎟⎟
⎝
⎠

Sehingga bagian ketiga persamaan (29)
menjadi

2

11

−2Cov( An , Bn ) = −

4a

( ln ( n / τ ) )

2

⎛
⎞
1
+ O⎜
,
⎜ n ln ( n / τ ) ⎟⎟
⎝
⎠

Dengan mensubstitusikan persamaan
(42) ke persamaan (41), maka ruas kanan
persamaan (41) menjadi
ε⎞
⎛
= Ρ ⎜ θˆn − Εθˆn > ⎟ .
2⎠
⎝
Kemudian diperoleh
ε⎞
⎛
Ρ θˆn − θ > ε ≤ Ρ ⎜ θˆn − Εθˆn > ⎟ .
2⎠
⎝
Dengan menggunakan pertaksamaan
Chebyshev, maka
ε ⎞ 4 Var (θˆn )
⎛
Ρ ⎜ θˆn − Εθˆn > ⎟ ≤
.
ε2
2⎠
⎝
(43)
Dengan (39), maka ruas kanan
persamaan (43) konvergen ke 0 jika n → ∞ .
Mean Squared Error-nya adalah
MSE (θˆ ) = Bias 2 (θˆ ) + Var (θˆ ) .

jika n → ∞.

Maka Teorema 2 terbukti.

(

Bukti Teorema 1:
Dengan menggunakan persamaan (16),
diperoleh
lim Ε(θˆn )
n→∞

⎛
(2 − γ )θ − ( γ2 + ζ n ) aτ
⎛ 1 ⎞⎞
= lim ⎜ θ −
+ o⎜
⎟⎟
n→∞ ⎜
ln( n / τ )
⎝ ln n ⎠ ⎟⎠
⎝
=θ.
Atau dapat ditulis sebagai
Ε(θˆ ) = θ + o(1), jika n → ∞ .
n

)

n

(38)
Sedangkan persamaan (17) mengakibatkan

n

lim Var (θˆn )

n

n

sehingga
Bias 2 (θˆ ) = o(1) , jika n → ∞ .

n →∞

2
⎛
⎛ θ a ⎞⎛ π ⎞
⎜
⎜ + ⎟⎜
⎟ − a (2 − γ )
⎛ 1
a
⎝ τ 2 ⎠⎝ 6 ⎠
+
+θ ⎜
= lim ⎜⎜
2
2
n →∞
⎜
⎛n⎞
⎛ ⎛ n ⎞⎞
⎝ ( ln n )
⎜ ln ⎜ ⎟
ln
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ ⎝τ ⎠
⎝ ⎝ τ ⎠⎠
⎝
= 0.

n

Dari persamaan (38), diperoleh
Bias (θˆ ) = Εθˆ − θ = o(1), jika n → ∞ ,

⎞
⎟
⎞⎟
⎟⎟
⎟
⎠⎟
⎟
⎠

n

Dari persamaan (39),
Var (θˆ ) = o(1) , jika n → ∞ .

diperoleh

n

MSE (θˆn ) = o(1) , jika n → ∞ ,
dengan kata lain MSE (θˆ ) → 0, jika n → ∞ .

Jadi,

Dapat ditulis juga sebagai
Var (θˆ ) = o(1) , jika n → ∞ .

n

Maka Teorema 1 terbukti.

n

(39)
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa θˆn
adalah penduga konsisten bagi θ, yaitu
bahwa untuk setiap ε > 0 berlaku
Ρ θˆ − θ > ε → 0 , jika n → ∞ .

(

Reduksi Bias

Untuk mengevaluasi bias dari θˆn , kita
perhatikan suatu kasus khusus, yaitu proses
Poisson dengan fungsi intensitas
λ ( s ) = λc ( s ) + as

)

n

Ruas kiri persamaan di atas dapat
ditulis sebagai berikut
Ρ θˆn − θ > ε = Ρ θˆn − Εθˆn + Εθˆn − θ > ε .

(

) (

)

⎧
⎛ 2π s
⎞⎫
= A exp ⎨ ρ cos ⎜
+ φ ⎟ ⎬ + as .
τ
⎝
⎠⎭
⎩
Kita pilih ρ = 1, τ = 5, φ = 0 dan a =
0.05. Dengan parameter tersebut, fungsi
intensitas menjadi
⎧ ⎛ 2π s ⎞ ⎫
λ ( s ) = A exp ⎨cos ⎜
⎟ ⎬ + 0.05s .
⎩ ⎝ 5 ⎠⎭

(40)
Dengan ketaksamaan segitiga maka
persamaan (40) menjadi
≤ Ρ θˆ − Εθˆ + Εθˆ − θ > ε

(
= Ρ ( θˆ − Εθˆ
n

n

n

n

)
> ε − Εθˆ − θ ) .
n

n

(44)
Kita pertimbangkan tiga nilai θ yaitu
θ=1.2661 (A = 1), θ = 2.5322 (A = 2) dan
θ=5.0644 (A = 4). Untuk A = 1, kita peroleh

(41)
Berdasarkan persamaan (38), maka ada
no sehingga
Εθˆn − θ ≤
untuk setiap n > no .

ε

2

,

(42)

⎛
1
⎛ 2π s ⎞ ⎞
exp ⎜ cos ⎜
⎟ ⎟ ds = 1.2661 .
50
⎝ 5 ⎠⎠
⎝
Kita gunakan interval pengamatan [0,1000].
5

θ=

12

∫

ˆ (θˆ ) = −1.3938 − (−1.4210)
Bias (θˆn ) − Bias
n

Contoh 1:
Pada contoh ini kita pelajari perilaku
dari θˆ (dalam Teorema 2), dengan fungsi

= 0.0272

n

dan

intensitas λ(s) diberikan oleh (44).
Pendekatan asimtotik bagi bias dan
ragam pada Teorema 2 akan dibandingkan
dengan suatu hasil simulasi yang diambil
dari Mangku (2005).

ˆ (θˆ ) = 0.0677 − 0.0634
Var (θˆn ) − Var
n
= 0.0043.
Dari Contoh 1, kita lihat bahwa
penduga asimtotik untuk bias dan ragam
pada (16) dan (17) sudah cukup baik untuk
memperkirakan bias dan ragam dari penduga
θˆ dengan ukuran contoh yang terbatas.

(i) Untuk θ = 1.2661, dengan persamaan
(16) dan (17) diperoleh penduga
asimtotik untuk bias dan ragam dari θˆ

n

n

sebagai berikut:
Bias(θˆ ) =Εθˆ −θ
n

n

⎛ 0.5778 ⎞
−1⎟(0.05)5
(2−0.5778)(1.2661) −⎜
2
⎝
⎠
=−
ln(1000/5)
=−0.3734.

Var(θˆn) =

0.05
+
⎛1000⎞
ln⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠

2
⎛1.2661 0.05⎞⎛π ⎞
⎜ 5 + 2 ⎟⎜ 6 ⎟−0.05(2−0.5778)
⎝
⎠⎝ ⎠
2

⎛ ⎛1000⎞⎞
⎜ln⎜ ⎟⎟
⎝ ⎝ 5 ⎠⎠

n

demikian, kita peroleh penduga dengan bias
yang telah dikoreksi untuk θ sebagai berikut
⎛γ
⎞
(2 − γ )θˆn − ⎜ + ζ n ⎟τ aˆn
2
⎝
⎠
θˆn ,b = θˆn +
.
⎛n⎞
ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠
(45)
Teorema 3: (Pendekatan Asimtotik untuk
Bias dan Ragam dari θˆ )

=0.0232.
Dari simulasi, dengan menggunakan
M=10000, realisasi yang bebas dari
proses N yang diobservasi pada interval
ˆ (θˆ ) = −0.3793
Bias
[0,1000], diperoleh

n ,b

Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (1)
dan terintegralkan lokal, maka
⎛ 1 ⎞
Εθˆn ,b = θ + o ⎜
(46)
⎟
⎝ ln n ⎠
jika n → ∞ , dan
2
⎛ θ a ⎞⎛ π ⎞
⎜ τ + 2 ⎟⎜ 6 ⎟ + a(2 −γ )
a
⎝
⎠⎝ ⎠
Var (θˆn,b ) =
+
2
ln ( n / τ )
( ln ( n / τ ) )

n

ˆ (θˆ )
ˆ (θˆ ) = 0.0221 , dimana Bias
dan Var
n
n
adalah rata-rata contoh (yang diperoleh
dari simulasi) dikurangi nilai θ yang
ˆ (θˆ ) adalah ragam
sebenarnya dan Var
n

contoh.
Jadi,
ˆ (θˆ ) = −0.3734 − (−0.3793)
Bias(θˆn ) − Bias
n

⎛ 1
+ o⎜
2
⎝ (ln n)

= 0.0059
ˆ
ˆ
ˆ
Var (θ n ) − Var (θ n ) = 0.0232 − 0.0221

⎞
⎟,
⎠

(47)

jika n → ∞ .

= 0.0011.
(ii) Untuk θ=2.5322, dengan (16) dan (17),
dan dari simulasi (M=10000) diperoleh
ˆ (θˆ ) = −0.7137 − (−0.7303)
Bias(θˆ ) − Bias
n

Tetapi bias dari θˆn masih cukup besar. Kita
dapat
mereduksi
bias
ini
dengan
menambahkan penduga dari bagian kedua
pada persamaan (16) ke dalam θˆ . Dengan

Bukti:
Pertama, akan dibuktikan persamaan
(46). Untuk membuktikannya, kita tulis
kembali penduga θˆ pada (45) sebagai

n

= 0.0166

n ,b

berikut

dan

⎛

ˆ (θˆ ) = 0.0381 − 0.0364
Var (θˆn ) − Var
n

θˆn ,b = ⎜1 +
⎝

= 0.0017.
(iii) Untuk θ=5.0644, dengan (16) dan (17)
dan simulasi (M=10000) diperoleh

(2 − γ ) ⎞ ˆ ( γ / 2 + ζ n )τ
aˆn .
⎟θ n −
ln(n / τ ) ⎠
ln(n / τ )

(48)
Dengan (16), nilai harapan bagian pertama
pada (48) menjadi

13

⎛ (2 − γ ) ⎞ ˆ
= ⎜1+
⎟ Εθn
⎝ ln(n / τ ) ⎠
⎛ (2 − γ ) ⎞ ⎛ (2 − γ )θ − (γ / 2 + ζ n ) aτ
⎛ 1 ⎞⎞
= ⎜1+
+ o⎜
⎟ ⎜⎜θ −
⎟⎟
n
τ
ln(
/
)
ln
n
(
)
⎝ ln n ⎠ ⎠⎟
τ
⎝
⎠⎝
⎛γ
⎞
⎜ 2 + ζ n ⎟ aτ
⎠ + o⎛ 1 ⎞,
=θ + ⎝
⎜ ln n ⎟
⎛n⎞
⎝
⎠
ln ⎜ ⎟
⎝τ ⎠

jika n → ∞ .
Dengan (13), nilai harapan bagian kedua
pada (48) menjadi
( γ / 2 + ζ n )τ ˆ
=−
Εan
ln(n / τ )

dengan fungsi intensitas λ(s) pada (44).
Hasil simulasi yang digunakan sebagai
pembanding diambil dari Mangku (2005).
(i) Untuk θ = 1.2661, dari simulasi
(M=10000) dan dengan (47), diperoleh
penduga asimtotik untuk bias dan
ragam dari θˆ sebagai berikut:

/ 2 + ζ n )τ ⎛
2θ
⎛ 1 ⎞⎞
+ O ⎜ 2 ⎟⎟
⎜a +
n
⎝ n ⎠⎠
⎝
(γ / 2 + ζ n ) aτ
⎛ 1 ⎞
=−
+ o⎜
⎟,
ln ( n / τ )
⎝ ln n ⎠
ln( n / τ )

(50)
Jika n → ∞ .
Kemudian, dengan menggabungkan
(49) dan (50), kita peroleh persamaan (46).
Selanjutnya,
akan
dibuktikan
persamaan (47). Dengan menggunakan (48),
Var (θˆ ) dapat dihitung sebagai berikut

n ,b

ˆ (θˆ ) = −0.1090 dan
Bias
n ,b
Var(θˆnb, )
=

n ,b

Var (θˆn ,b )

0.05 (1.2661/5+0.05/2)(π2 /6)+0.05(2−0.5778)
+
2
⎛1000⎞
⎛ ⎛1000⎞⎞
ln⎜
⎟
⎜ln⎜
⎟⎟
⎝ 5 ⎠
⎝ ⎝ 5 ⎠⎠

=0.0283
ˆ (θˆ ) =0.0283−0.0354=−0.0071
Var(θˆnb, )−Var
,
nb

⎛γ
⎞ 2
⎜ 2 +ζn ⎟ τ
⎠
Var (θˆn ) + ⎝
Var (aˆn )
2
( ln ( n / τ ) )
2

⎛
(2 − γ ) ⎞
= ⎜1 +
⎜ ln ( n / τ ) ⎟⎟
⎝
⎠

jika n→∞. Kemudian dengan pertaksamaan
Cauchy-Schwarz, bagian ketiga (51)
⎛ 1 ⎞
menjadi o ⎜
jika n→∞. Sehingga,
2 ⎟
⎝ (ln n) ⎠

Contoh 2:
Pada contoh ini, kita pelajari perilaku
dari penduga θˆn ,b pada persamaan (45)

(γ

2

(51) adalah
⎛ 1 ⎞
o⎜
2 ⎟
⎝ (ln n) ⎠

diperoleh (47).
Teorema 3 terbukti.

(49)

=−

Dengan (14), bagian kedua pada
⎛
⎞
1
O⎜ 2
yang menjadi
2 ⎟
⎝ n (ln n) ⎠

(ii) Untuk
θ=2.5322, dari simulasi
(M=10000) dan dengan (47), diperoleh
ˆ (θˆ ) = −0.2056
Bias

⎛γ
⎞
+ ζ n ⎟τ
⎛
(2 − γ ) ⎞ ⎜⎝ 2
⎠ Cov(θˆ , aˆ ).
− 2 ⎜1 +
n
n
⎜ ln ( n / τ ) ⎟⎟ ln ( n / τ )
⎝
⎠

n ,b

ˆ (θˆ ) = 0.0431 − 0.0578
Var (θˆn ,b ) − Var
n ,b

(51)
Dengan (17), bagian pertama persamaan
(51) sama dengan
2
⎛ θ + a ⎞ ⎛⎜ π ⎞⎟ − a 2 − γ
)
⎜
⎟⎜ ⎟ (
⎝ τ 2 ⎠⎝ 6 ⎠
2a
a
+
+
2
2
ln ( n / τ )
( ln ( n / τ ) )
( ln ( n / τ ) )

= −0.0147
θ=5.0644, dari simulasi
(iii) Untuk
(M=10000) dan dengan (47), diperoleh
ˆ (θˆ ) = −0.3993
Bias
n ,b

ˆ (θˆ ) = 0.0728 − 0.1051
Var (θˆn ,b ) − Var
n ,b
= −0.0323
Jelas bahwa bias dari θˆn,b jauh lebih

⎛ 1 ⎞
⎟
+o ⎜
⎜ ( ln n )2 ⎟
⎝
⎠
2
⎛ θ + a ⎞ ⎛⎜ π ⎞⎟ + a 2 − γ
)
⎜
⎟⎜ ⎟ (
⎛ 1 ⎞
⎝ τ 2 ⎠⎝ 6 ⎠
a
⎟,
=
+
+