Pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren fungsi pangkat proses poisson non homogen
PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS
BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN FUNGSI
PANGKAT PROSES POISSON NON-HOMOGEN
WINDIANI ERLIANA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER
INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Komponen
Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat
Proses Poisson Non-Homogen adalah benar karya saya dengan arahan dari dosen
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi
manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2013
Windiani Erliana
NIM G54090029
ABSTRAK
WINDIANI ERLIANA. Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas
Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson NonHomogen. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO.
Pada karya ilmiah ini dibahas penyusunan penduga konsisten bagi
komponen periodik fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren
fungsi pangkat pada suatu proses Poisson non-homogen dengan menggunakan
fungsi kernel seragam. Diasumsikan bahwa periode dari komponen periodik
tersebut diketahui. Penduga yang disusun bagi komponen periodik tersebut hanya
menggunakan realisasi tunggal dari proses Poisson yang diamati pada interval
[0,n]. Telah dibuktikan bahwa Mean Square Error (MSE) penduga konvergen
. Selain itu, diformulasikan aproksimasi asimtotik bagi
menuju nol untuk
bias, ragam, dan MSE dari penduga yang dikaji serta bandwith optimal asimtotik
bagi penduga tersebut.
Kata kunci: aproksimasi asimtotik, fungsi intensitas, kekonsistenan, proses
Poisson periodik, tren fungsi pangkat
ABSTRACT
WINDIANI ERLIANA. Estimation of Periodic Component of the Intensity
Function of Form Periodic Function Multiplied by Power Function Trend of a
Non-Homogeneous Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and
HADI SUMARNO.
This manuscript is concerned with construction of a consistent estimator for
periodic component of the intensity function which is periodic function multiplied
by power function trend of a non-homogeneous Poisson process by using uniform
kernel function. It is assumed that the period of the periodic component is known.
The estimator is constructed using a single realization of a Poisson process
observed in the interval [0,n]. Mean Square Error (MSE) of the estimator has been
proved converges to zero as
. In addition, asymptotic approximations to the
bias, variance, and MSE of the estimator have been formulated. An asymtotically
optimal bandwith for this estimator is also determined.
Keywords: asymptotic approximation, consistency, intensity function, periodic
Poisson process, power function trend.
PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS
BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN FUNGSI
PANGKAT PROSES POISSON NON-HOMOGEN
WINDIANI ERLIANA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi
Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson Non-Homogen
Nama
: Windiani Erliana
NIM
: G54090029
Disetujui oleh
Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
Pembimbing I
Dr Ir Hadi Sumarno, MS
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Komponen Periodik Fungsi
Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson
Non-Homogen ini berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
dan Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku dosen pembimbing serta Ibu Dr Ir
Endar H Nugrahani, MS selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan
bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada mama, ayah, kak Angga (alm), kak Anggi (alm), teh Dedew
beserta kak Ichsan, Delia, Rizky, Zikry, dan Rama atas segala doa dan kasih
sayangnya. Selain itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada yayasan
Tanoto Foundation, teman-teman Math 46, SERUM-G, Ar-rojaa, dan Matematika
Terapan angkatan 7.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.
Bogor, Mei 2013
Windiani Erliana
DAFTAR ISI
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PADA PROSES POISSON
PERIODIK
2
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK
KALI TREN FUNGSI PANGKAT PADA PROSES POISSON NONError! Bookmark not defined.4
HOMOGEN
Perumusan Penduga
4
Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan MSE
10
Penentuan Bandwith Optimal Asimtotik
14
Contoh Penyusunan Penduga Menggunakan Data Bangkitan
16
SIMPULAN
17
DAFTAR PUSTAKA
19
LAMPIRAN
20
RIWAYAT HIDUP
23
DAFTAR LAMPIRAN
1 Formula Young dari Teorema Taylor
2 Program Simulasi
20
21
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Proses stokastik merupakan proses yang menggambarkan suatu kejadian
atau fenomena yang bersifat tidak pasti. Proses ini berguna untuk memodelkan
fenomena yang berkaitan dengan aturan peluang seperti pergerakan harga saham,
proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat layanan (customer service), dan
banyaknya klaim yang datang ke suatu perusahaan asuransi. Oleh sebab itu, untuk
memprediksi bagaimana fenomena-fenomena tersebut terjadi di masa yang akan
datang diperlukan suatu peramalan atau pendugaan. Peramalan atau pendugaan
tersebut berguna untuk memeroleh informasi mengenai perubahan di masa yang
akan datang.
Proses stokastik dapat diklasifikasikan menjadi proses stokastik dengan
waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada karya ilmiah ini
pembahasan hanya difokuskan pada salah satu bentuk khusus dari proses stokastik
dengan waktu kontinu yaitu proses Poisson periodik.
Proses Poisson periodik merupakan suatu proses Poisson yang fungsi
intensitasnya berupa fungsi periodik. Bentuk fungsi intensitas pada periode
sebelumnya dengan sesudahnya dapat memiliki bentuk yang sama tetapi juga
dapat memiliki bentuk yang berbeda. Jika bentuk fungsi intensitasnya sama antar
periode, maka fungsi intensitas tersebut merupakan fungsi intensitas periodik
tanpa tren. Sebaliknya, jika proses Poisson memiliki fungsi intensitas yang
berbeda antar periode, maka fungsi intensitas tersebut merupakan fungsi intensitas
periodik dengan tren. Pada umumnya bentuk fungsi intensitas yang berbeda
tersebut memiliki pola yang serupa. Oleh sebab itu, dalam kehidupan sehari-hari
proses Poisson periodik berguna untuk memprediksi suatu kejadian pada periode
berikutnya. Misalnya, pada proses banyaknya nasabah yang datang ke suatu bank
dalam periode satu hari. Kedatangan nasabah ke suatu bank pada hari-hari
sebelumnya biasanya memiliki pola yang serupa dengan kedatangan nasabah pada
hari-hari berikutnya.
Dalam proses Poisson periodik terdapat dua jenis fungsi intensitas, yaitu
fungsi intensitas global dan fungsi intensitas lokal. Fungsi intensitas lokal
pada proses Poisson periodik menyatakan laju dari proses tersebut di titik s.
Dalam proses kedatangan nasabah ke suatu bank, fungsi intensitas lokal
pada
proses tersebut menyatakan laju kedatangan nasabah pada waktu s. Jika laju
kedatangan nasabah antara periode sebelumnya dengan periode berikutnya
meningkat berdasarkan suatu fungsi pangkat terhadap waktu, maka model yang
lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu
komponen tren berbentuk fungsi pangkat, sehingga dalam jangka waktu yang
panjang model periodik ini memerlukan fungsi intensitas yang mengakomodasi
adanya suatu tren. Pada kajian ini dibahas pendugaan komponen periodik dari
fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik dikali tren berupa fungsi pangkat
pada proses Poisson non-homogen.
2
Perumusan Masalah
Misalkan adalah proses Poisson non-homogen pada interval
dengan
fungsi intensitas yang tidak diketahui dan diasumsikan fungsi intensitas tersebut
terintegralkan lokal. Diasumsikan pula bahwa fungsi intensitas ini merupakan
perkalian antara komponen periodik dan komponen tren berbentuk fungsi pangkat
, sehingga untuk setiap
fungsi intensitas
dapat dinyatakan
sebagai berikut
(1)
merupakan fungsi periodik dengan periode diketahui. Konstanta a
dengan
merupakan kemiringan dari tren dengan
. Persamaan (1) juga dapat
dituliskan menjadi
(2)
juga merupakan fungsi periodik. Misalkan
, maka
dengan
persamaan (2) menjadi
(3)
.
Karena fungsi intensitas
tersebut tidak diketahui, maka diperlukan suatu
metode untuk menduga fungsi tersebut. Salah satu metode yang dapat digunakan
untuk menduga fungsi intensitas tersebut adalah metode penduga tipe kernel.
Pada karya ilmiah ini dikaji penyusunan penduga konsisten bagi
pada
dengan hanya menggunakan realisasi tunggal
dari suatu proses
Poisson dengan fungsi intensitas
seperti pada persamaan (3) yang diamati
pada interval
. Realisasi
tersebut terdefinisi dalam ruang peluang
dengan
.
Tujuan Penelitian
1
2
3
4
5
6
Tujuan dari karya ilmiah ini ialah
merumuskan penduga komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi
periodik kali tren fungsi pangkat suatu proses Poisson non-homogen dengan
fungsi kernel seragam,
membuktikan kekonsistenan penduga yang dikaji,
menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias penduga,
menentukan aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga,
menentukan aproksimasi asimtotik bagi Mean Square Error (MSE) penduga,
menentukan bandwidth optimal dari penduga.
REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PADA PROSES
POISSON PERIODIK
Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses
Poisson tersebut. Terdapat dua jenis fungsi intensitas, yaitu fungsi intensitas lokal
dan fungsi intensitas global. Perbedaan antara dua fungsi intensitas tersebut
adalah fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses Poisson di titik tertentu,
3
sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson
pada interval dengan panjang menuju tak hingga.
Pendugaan fungsi intensitas lokal pada suatu proses Poisson periodik di
suatu titik s dapat dihampiri dengan rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson
tersebut di sekitar titik s, sedangkan pendugaan fungsi intensitas global diduga
dengan memperkirakan rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson dalam
interval waktu
.
Secara matematis, pendugaan fungsi intensitas lokal di sekitar titik s dapat
dituliskan sebagai
dengan
dan N
menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada
interval waktu
, sedangkan hampiran untuk fungsi intensitas global dapat
dituliskan
Berdasarkan periodenya, pendugaan fungsi intensitas pada suatu proses
Poisson periodik dikategorikan menjadi dua, yaitu jika periodenya diketahui dan
jika periodenya tidak diketahui. Pendugaan fungsi intensitas yang periodenya
tidak diketahui lebih rumit jika dibandingkan dengan pendugaan fungsi intensitas
yang periodenya diketahui. Meskipun demikian, Helmers et al. (2003) telah
mengkaji kekonsistenan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas untuk suatu
proses Poisson periodik yang tidak diketahui periodenya. Untuk kasus pendugaan
fungsi intensitas yang periodenya diketahui telah dilakukan kajian perumusan
penduga tipe kernel serta pembuktian kekonvergenan lemah dan kuat dari
penduga tersebut (Mangku 2006a) dan pembuktian kenormalan asimtotik dari
penduga yang diperoleh (Mangku 2006b).
Pemodelan suatu proses Poisson periodik terus berkembang dengan
menyertakan komponen tren dalam fungsi intensitasnya. Berdasarkan penelitianpenelitian yang telah dilakukan, komponen tren tersebut terdiri atas dua jenis,
yaitu komponen tren yang berbentuk aditif dan multiplikatif. Helmers dan
Mangku (2009) telah mengkaji pendugaan fungsi intensitas pada suatu proses
Poisson periodik dengan menyertakan komponen tren linear yang berbentuk
aditif. Kemudian, penelitian tentang kekonsistenan penduga fungsi intensitas pada
suatu proses Poisson periodik ini berkembang dengan menyertakan komponen
tren linear yang berbentuk multiplikatif (Mangku 2011). Hal yang sama pun dikaji
oleh Ismayulia (2011), perbedaannya adalah tipe kernel yang digunakan oleh
Mangku (2011) adalah fungsi kernel umum, sedangkan Ismayulia (2011)
menggunakan fungsi kernel seragam. Selain itu, telah dikaji pula pendugaan
fungsi intensitas pada suatu proses Poisson periodik dengan menyertakan
komponen tren kuadratik yang berbentuk multiplikatif (Ramdani 2011).
4
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI
PERIODIK KALI TREN FUNGSI PANGKAT PADA PROSES
POISSON NON-HOMOGEN
Perumusan Penduga
Masalah pendugaan fungsi intensitas pada persamaan (3) dapat
disederhanakan dengan hanya menduga komponen periodik dari fungsi intensitas
yaitu
. Fungsi
merupakan fungsi periodik dengan periode
,
sehingga untuk menduga
pada
cukup diduga
pada
.
Berdasarkan sifat keperiodikan, maka
dapat dituliskan menjadi
(4)
berlaku untuk setiap
dan
, dengan
adalah himpunan bilangan
bulat.
Penduga bagi
pada
dapat dirumuskan sebagai berikut
dengan N
menyatakan banyaknya kejadian pada interval
adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol, yaitu
dan
(5)
untuk
.
Berikut dijelaskan proses penyusunan penduga bagi
pada
dalam interval pengamatan [0,n], yaitu
. Penyusunan penduga bagi fungsi
intensitas
ini dapat didekati dengan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar
titik
. Rata-rata banyaknya kejadian di sekitar titik s dapat diamati pada
. Oleh sebab itu, penduga bagi
, dinotasikan
,
interval
diperoleh dengan menentukan rata-rata banyaknya kejadian pada interval
. Secara matematis dapat dituliskan menjadi
(6)
Dari persamaan (3) dan (6) diperoleh penduga bagi komponen periodik fungsi
intensitas, yaitu
(7)
Berdasarkan sifat keperiodikan
ditulis menjadi
pada persamaan (4), persamaan (7) dapat
(8)
dengan k adalah bilangan bulat tak negatif dan
menyatakan rata-rata
.
dibagi
banyaknya kejadian di sekitar
Definisikan
sebagai banyaknya bilangan bulat k sehingga
, maka nilai rata-rata dari semua rataan pada persamaan (8) untuk
semua k adalah
5
(9)
Karena
, maka penduga bagi
pada titik
adalah
(10)
Penduga pada persamaan (10) adalah bentuk umum dari penduga yang dibahas
pada Ismayulia (2011) dan Ramdani (2011).
Teorema 1 (Kekonvergenan MSE Penduga)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika
,
asumsi
dipenuhi dan
, maka
untuk
asalkan s adalah titik Lebesgue bagi .
Bukti: Berdasarkan definisi MSE, yaitu
dengan
- (Casella dan Berger 2002), Teorema 1
merupakan akibat dari dua Lema berikut, yaitu Lema 1 tentang ketakbiasan
asimtotik dan Lema 2 tentang kekonvergenan ragam.
Lema 1 (Ketakbiasan Asimtotik)
Misalkan fungsi intensitas
Jika asumsi
memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
dipenuhi maka
adalah titik Lebesgue bagi
asimtotik bagi
.
. Dengan kata lain,
Bukti: Untuk membuktikan
Nilai harapan dari penduga
untuk
, asalkan s
adalah penduga tak bias
, akan ditunjukkan bahwa
adalah
(11)
Karena
tidak mengandung indeks k, maka persamaan (11) dapat ditulis
menjadi
(12)
Karena N menyatakan suatu proses Poisson non-homogen, maka nilai harapan
dari N
dapat dirumuskan menjadi
6
(13)
Misalkan
, maka
.
melakukan penggantian peubah pada persamaan (13), maka diperoleh
Dengan
(14)
Karena fungsi intensitas
memenuhi persamaan (3), maka
(15)
Berdasarkan sifat keperiodikan pada persamaan (4), persamaan (15) dapat ditulis
menjadi
(16)
Selanjutnya, persamaan (16) disubstitusikan ke persamaan (12), sehingga
diperoleh
(17)
Persamaan (17) juga ekuivalen dengan
(18)
Dengan menggunakan formula Young dari Teorema Taylor (Serfling 1980)
diperoleh
untuk
(Lampiran 1). Oleh sebab itu, persamaan (18) menjadi
(19)
Suku pertama pada ruas kanan dari persamaan (19) dapat ditulis menjadi
7
(20)
Untuk menunjukkan bahwa suku pertama dari persamaan (20) konvergen menuju
nol, digunakan nilai yang lebih besar, yaitu
(21)
Berdasarkan asumsi
merupakan titik Lebesgue dari
untuk
, maka diperoleh
dan asumsi bahwa titik s
(Wheeden dan Zygmund 1977), maka kuantitas pada (21) konvergen ke nol untuk
atau dapat ditulis o . Suku kedua pada ruas kanan dari persamaan (20)
dapat diuraikan menjadi
Akibatnya, suku pertama dari persamaan (19) menjadi
sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (19) menjadi
untuk
. Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh dari suku pertama
dan kedua dari persamaan (19), maka diperoleh
untuk
.
Lema 2 (Kekonvergenan Ragam)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
Jika asumsi
, terbatas di sekitar s, dan
1
, untuk
,
2
,
,
3
, untuk
dipenuhi, maka
.
untuk
Bukti: Ragam dari penduga
adalah
8
Karena
untuk
, maka untuk nilai n yang cukup besar, interval
dan
untuk
tidak tumpang
tindih. Akibatnya, berdasarkan sifat inkremen bebas dari proses Poisson,
dan N
untuk
diperoleh bahwa N
adalah peubah acak bebas, sehingga
berikut
dapat dihitung sebagai
Karena N merupakan peubah acak Poisson, maka nilai ragam N sama dengan nilai
harapan N, sehingga diperoleh
(22)
Berdasarkan persamaan (16), maka persamaan (22) menjadi
(23)
Dengan menggunakan formula Young dari Teorema Taylor (Serfling 1980),
maka diperoleh
(Lampiran 1).
Karena
(24)
, maka persamaan (24) dapat ditulis menjadi
Persamaan (25) diuraikan menjadi tiga kasus, yaitu
, maka
jika
untuk
,
9
jika
, maka
untuk
jika
,
, maka
untuk
, dengan
Dengan demikian, persamaan (23) dapat ditulis sebagai berikut.
Jika
, maka
Jika
, maka
Jika
, maka
.
Karena
terbatas di sekitar s, maka terdapat suatu konstanta K sehingga
untuk setiap s
. Selanjutnya, integralkan pertidaksamaan
untuk
menjadi
10
(29)
Kalikan kedua ruas persamaan (29) dengan
sedemikian sehingga
(30)
Karena
, maka pertidaksamaan (30) dapat ditulis menjadi
-
(31)
Pertidaksamaan (31) ekuivalen dengan
(32)
sehingga berdasarkan persamaan (32) ruas kanan pada persamaan (26), (27), dan
(28) berturut-turut dapat ditulis sebagai berikut.
Jika
, maka
Jika
, maka
Jika
, maka
. Oleh sebab
Persamaan (33), (34), dan (35) konvergen ke nol untuk
itu, diperoleh bahwa
untuk
. Lema 1 (ketakbiasan
asimtotik)
menunjukkan
-
bahwa
,
sehingga
diperoleh
. Akibatnya, berdasarkan definisi MSE (Casella dan Berger
2002) diperoleh
. Dengan demikian, Teorema 1 terbukti.
Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan MSE
Teorema 2 (Aproksimasi Asimtotik bagi Bias)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
dipenuhi,
, dan
memiliki turunan kedua
Jika asumsi
berhingga pada s, maka
11
untuk
.
Bukti: Berdasarkan persamaan (12), nilai harapan dari
menjadi
dapat dituliskan
Pada bukti Lema 1, persamaan (19) menunjukkan bahwa nilai harapan dari
dapat dituliskan menjadi
Karena memiliki turunan kedua pada s, maka kontinu pada s. Akibatnya,
memiliki nilai yang terbatas di sekitar s.
Dengan menggunakan formula Young dari Teorema Taylor (Serfling 1980),
maka diperoleh
untuk
. Bila diuraikan menjadi
untuk
. Misalkan
untuk
, sehingga
, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi
(36)
Suku pertama dari ruas kanan pada persamaan (36) dapat dituliskan menjadi
(37)
suku kedua dapat dituliskan menjadi
(38)
dan suku ketiga dapat diuraikan menjadi
(39)
serta suku terakhir dari persamaan (36) dapat dituliskan menjadi
12
(40)
untuk
. Kemudian hasil uraian dari persamaan (37), (38), (39), dan (40)
digabungkan sehingga persamaan (36) dapat dituliskan sebagai berikut
untuk
. Akibatnya, ruas kanan dari persamaan (19) menjadi
untuk
.
Berdasarkan asumsi
, maka O
persamaan (36) dapat ditulis menjadi
untuk
(41)
, sehingga
untuk
. Jadi, Teorema 2 terbukti.
Teorema 3 (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
dipenuhi dan s adalah titik Lebesgue bagi , maka
Jika asumsi
untuk
dengan
.
Bukti : Berdasarkan bukti pada Lema 2, ragam dari
terbagi ke dalam tiga
kasus, yaitu seperti pada persamaan (26), (27), dan (28). Pada bukti Lema
ketakbiasan asimtotik telah ditunjukkan bahwa
. Kemudian suku kedua pada ruas kanan persamaan (26), (27), dan (28)
jika
berturut-turut sama seperti suku kedua pada ruas kanan persamaan (33), (34), dan
(35) serta konvergen ke nol. Akibatnya, suku pertama dari persamaan (26), (27),
dan (28) berturut-turut dapat ditulis sebagai berikut.
Jika
, maka
13
untuk
Jika
.
, maka
untuk
Jika
.
, maka
untuk
.
Dengan demikian, Teorema 3 terbukti.
Untuk kasus b = 2, maka
penduga bagi kasus tersebut adalah
. Aproksimasi asimtotik bagi ragam
Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga tersebut sama seperti yang dikaji oleh
Ramdani (2011).
Teorema 4 (Aproksimasi Asimtotik bagi MSE)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
dipenuhi dan memiliki turunan kedua
berhingga pada s,
Jika asumsi
maka
untuk
dengan
Bukti: Dengan menggunakan definisi MSE diperoleh
.
14
(42)
untuk
. Karena
memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka
. Akibatnya, persamaan (42) menjadi
(43)
Dengan menggunakan Teorema 3, maka persamaan (43) dapat ditulis
sebagai berikut.
, maka
Jika
(44)
untuk
Jika
.
, maka
(45)
untuk
Jika
.
, maka
(46)
untuk
.
Dengan demikian, Teorema 4 terbukti.
Penentuan Bandwith Optimal Asimtotik
Suatu penduga yang baik adalah penduga yang memiliki MSE bernilai
minimum. Misalkan
merupakan fungsi yang menyatakan suku utama dari
, yaitu
untuk
,
untuk
,
untuk
,
Nilai MSE yang minimum dapat diperoleh dengan mencari nilai
yang
minimum. Langkah pertama untuk mendapatkan nilai
yang minimum
adalah dengan membuat turunan pertama dari
sama dengan nol untuk nilai
n yang tetap, yaitu
untuk
,
15
untuk
,
untuk
,
Selanjutnya, diperiksa apakah
meminimumkan
memeriksa turunan kedua dari
, yaitu
,
untuk
untuk
,
, yaitu dengan cara
16
untuk
,
Karena
bernilai positif, maka
, , n, ,
, dan
sebab itu,
yang telah diperoleh tersebut meminimumkan
optimal bagi bandwith sebagai berikut.
,
Untuk
Untuk
,
Untuk
,
. Oleh
, sehingga nilai
Bandwith optimal yang diperoleh tersebut bersifat asimtotik karena nilai
tidak diketahui.
Contoh Penyusunan Penduga Menggunakan Data Bangkitan
Penyusunan penduga dengan menggunakan data bangkitan ini secara
komputasi dilakukan dengan menggunakan program R. Program R tersebut
digunakan untuk membangkitkan suatu realisasi proses Poisson periodik dengan
ukuran sampel yang terbatas. Ukuran sampel yang dipilih pada contoh simulasi ini
adalah [0,500]. Metode yang digunakan untuk membangkitkan realisasi dari
proses Poisson tersebut adalah metode Monte Carlo. Data yang dibangkitkan
dengan metode Monte Carlo tersebut digunakan untuk menduga fungsi intensitas
dari proses Poisson periodik.
Dalam simulasi ini digunakan fungsi intensitas seperti yang telah
didefinisikan pada persamaan (3), yaitu
dengan
merupakan komponen periodik dan
merupakan
komponen tren. Parameter yang dipilih untuk fungsi intensitas di atas adalah
,
,
, dan
, sehingga fungsi intensitas tersebut dapat
dituliskan menjadi
Bila fungsi intensitas
tersebut dibandingkan dengan dugaannya pada interval
pengamatan [0,500], maka nilai dugaan akan menghampiri nilai dari fungsi
intensitas yang sebenarnya (Gambar 1).
17
Gambar 1 Fungsi intensitas
pengamatan [0,500]
dan nilai dugaannya pada interval
Berdasarkan Teorema 2 dan Teorema 3, aproksimasi asimtotik bagi nilai
harapan, bias, dan ragam penduga yang diperoleh adalah berturut-turut sebesar
8.56473, 0.121989,dan 0.0105053. Selanjutnya, dilakukan simulasi Monte Carlo
dengan ulangan sebanyak 500 kali untuk memverifikasi pendekatan asimtotik
untuk bias dan ragam penduga dari
di titik s = 5.5. Dari simulasi tersebut
diperoleh nilai harapan dan ragam penduga adalah berturut-turut sebesar 8.104348
dan 0.02260234. Bila nilai harapan yang diperoleh dari hasil simulasi ini
dibandingkan dengan nilai aproksimasi asimtotiknya, maka kesalahan yang
dihasilkan sebesar 5.68 %.
SIMPULAN
Pada karya ilmiah ini dibahas penyusunan penduga konsisten bagi
komponen periodik fungsi intensitas dari suatu proses Poisson non-homogen yang
berbentuk fungsi periodik dikali tren berupa fungsi pangkat. Fungsi intensitas
tersebut tidak diketahui dan diasumsikan terintegralkan lokal. Untuk setiap
, fungsi intensitas
dapat dinyatakan sebagai berikut
merupakan fungsi periodik dengan periode diketahui
dengan
konstanta a > 0 merupakan kemiringan dari tren. Misalkan
fungsi intensitas
dapat dituliskan menjadi
dan
, maka
dengan
juga merupakan fungsi periodik. Masalah pendugaan fungsi
intensitas
tersebut dapat disederhanakan dengan hanya menduga
pada
. Penduga bagi
di titik
adalah
18
dengan N
menyatakan banyaknya kejadian pada interval [0,n] dan hn
adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol yang disebut bandwith.
Berdasarkan kajian yang dilakukan, dapat disimpulkan sebagai berikut.
1 Penduga bagi
, dinotasikan
, adalah penduga tak bias asimtotik dan
untuk
. Oleh sebab itu, diperoleh
untuk
.
2 Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga adalah
untuk
.
3 Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga adalah
untuk
dengan
4 Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga adalah
.
.
untuk
dengan
5 Bandwith optimal yang meminimumkan aproksimasi asimtotik dari MSE
penduga sebagai berikut.
Untuk
,
Untuk
,
Untuk
,
19
Berdasarkan simulasi yang dilakukan pada interval pengamatan [0,500],
dapat disimpulkan bahwa nilai dugaan dari fungsi intensitas
akan
menghampiri nilai fungsi intensitas yang sebenarnya.
DAFTAR PUSTAKA
Casella G, Berger RL. 2002. Statistical Inference. 2nd ed. Pasific Grove (US):
The Wardsworth Group.
Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity
function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate Analysis. 84:1939.
Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson
process in the presence of linear trend. Annals Institute of Statistical
Mathematics. 61(3):599-628.
Ismayulia W. 2011. Pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk
fungsi periodik kali tren linear suatu proses Poisson non-homogen [skripsi].
Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Mangku IW. 2006a. Weak and strong convergence of a kernel-type estimator for
the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its
Applications. 5:1-12.
Mangku IW. 2006b. Asymptotic normality of a kernel-type estimator for the
intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its
Applications. 5: 13-22.
Mangku IW. 2011. Estimating the intensity obtained as the product of a periodic
function with the linear trend of a non-homogeneous Poisson process. Far East
Journal of Mathematical Science (FJMS). 51:141-150.
Ramdani P. 2011. Pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk
fungsi periodik kali tren kuadratik suatu proses Poisson non-homogen [skripsi].
Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New
York (US): J Wiley.
Wheeden RL, Zygmund. 1977. Measure and Integral: An Introduction to Real
Analysis. New York (US): Marcel Dekker, Inc.
20
Lampiran 1 Formula Young dari Teorema Taylor
Misal
merupakan fungsi yang memunyai turunan ke-n yang terhingga pada
suatu titik , maka
untuk
(Serfling 1980).
Dengan menggunakan formula Young dari Teorema Taylor, maka diperoleh
Karena
untuk
, maka perilaku dari
itu, persamaan di atas dapat ditulis menjadi
sama dengan
. Oleh sebab
sama dengan
. Oleh sebab
Dengan demikian,
Karena
untuk
, maka perilaku dari
itu, persamaan di atas dapat ditulis menjadi
21
Lampiran 2 Program Simulasi
Program Membangkitkan Realisasi Poisson Periodik untuk Interval
Pengamatan [0,500]
Random
BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN FUNGSI
PANGKAT PROSES POISSON NON-HOMOGEN
WINDIANI ERLIANA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER
INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Komponen
Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat
Proses Poisson Non-Homogen adalah benar karya saya dengan arahan dari dosen
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi
manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2013
Windiani Erliana
NIM G54090029
ABSTRAK
WINDIANI ERLIANA. Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas
Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson NonHomogen. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO.
Pada karya ilmiah ini dibahas penyusunan penduga konsisten bagi
komponen periodik fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren
fungsi pangkat pada suatu proses Poisson non-homogen dengan menggunakan
fungsi kernel seragam. Diasumsikan bahwa periode dari komponen periodik
tersebut diketahui. Penduga yang disusun bagi komponen periodik tersebut hanya
menggunakan realisasi tunggal dari proses Poisson yang diamati pada interval
[0,n]. Telah dibuktikan bahwa Mean Square Error (MSE) penduga konvergen
. Selain itu, diformulasikan aproksimasi asimtotik bagi
menuju nol untuk
bias, ragam, dan MSE dari penduga yang dikaji serta bandwith optimal asimtotik
bagi penduga tersebut.
Kata kunci: aproksimasi asimtotik, fungsi intensitas, kekonsistenan, proses
Poisson periodik, tren fungsi pangkat
ABSTRACT
WINDIANI ERLIANA. Estimation of Periodic Component of the Intensity
Function of Form Periodic Function Multiplied by Power Function Trend of a
Non-Homogeneous Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and
HADI SUMARNO.
This manuscript is concerned with construction of a consistent estimator for
periodic component of the intensity function which is periodic function multiplied
by power function trend of a non-homogeneous Poisson process by using uniform
kernel function. It is assumed that the period of the periodic component is known.
The estimator is constructed using a single realization of a Poisson process
observed in the interval [0,n]. Mean Square Error (MSE) of the estimator has been
proved converges to zero as
. In addition, asymptotic approximations to the
bias, variance, and MSE of the estimator have been formulated. An asymtotically
optimal bandwith for this estimator is also determined.
Keywords: asymptotic approximation, consistency, intensity function, periodic
Poisson process, power function trend.
PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS
BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN FUNGSI
PANGKAT PROSES POISSON NON-HOMOGEN
WINDIANI ERLIANA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi
Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson Non-Homogen
Nama
: Windiani Erliana
NIM
: G54090029
Disetujui oleh
Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
Pembimbing I
Dr Ir Hadi Sumarno, MS
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Komponen Periodik Fungsi
Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson
Non-Homogen ini berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
dan Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku dosen pembimbing serta Ibu Dr Ir
Endar H Nugrahani, MS selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan
bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada mama, ayah, kak Angga (alm), kak Anggi (alm), teh Dedew
beserta kak Ichsan, Delia, Rizky, Zikry, dan Rama atas segala doa dan kasih
sayangnya. Selain itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada yayasan
Tanoto Foundation, teman-teman Math 46, SERUM-G, Ar-rojaa, dan Matematika
Terapan angkatan 7.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.
Bogor, Mei 2013
Windiani Erliana
DAFTAR ISI
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PADA PROSES POISSON
PERIODIK
2
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK
KALI TREN FUNGSI PANGKAT PADA PROSES POISSON NONError! Bookmark not defined.4
HOMOGEN
Perumusan Penduga
4
Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan MSE
10
Penentuan Bandwith Optimal Asimtotik
14
Contoh Penyusunan Penduga Menggunakan Data Bangkitan
16
SIMPULAN
17
DAFTAR PUSTAKA
19
LAMPIRAN
20
RIWAYAT HIDUP
23
DAFTAR LAMPIRAN
1 Formula Young dari Teorema Taylor
2 Program Simulasi
20
21
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Proses stokastik merupakan proses yang menggambarkan suatu kejadian
atau fenomena yang bersifat tidak pasti. Proses ini berguna untuk memodelkan
fenomena yang berkaitan dengan aturan peluang seperti pergerakan harga saham,
proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat layanan (customer service), dan
banyaknya klaim yang datang ke suatu perusahaan asuransi. Oleh sebab itu, untuk
memprediksi bagaimana fenomena-fenomena tersebut terjadi di masa yang akan
datang diperlukan suatu peramalan atau pendugaan. Peramalan atau pendugaan
tersebut berguna untuk memeroleh informasi mengenai perubahan di masa yang
akan datang.
Proses stokastik dapat diklasifikasikan menjadi proses stokastik dengan
waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada karya ilmiah ini
pembahasan hanya difokuskan pada salah satu bentuk khusus dari proses stokastik
dengan waktu kontinu yaitu proses Poisson periodik.
Proses Poisson periodik merupakan suatu proses Poisson yang fungsi
intensitasnya berupa fungsi periodik. Bentuk fungsi intensitas pada periode
sebelumnya dengan sesudahnya dapat memiliki bentuk yang sama tetapi juga
dapat memiliki bentuk yang berbeda. Jika bentuk fungsi intensitasnya sama antar
periode, maka fungsi intensitas tersebut merupakan fungsi intensitas periodik
tanpa tren. Sebaliknya, jika proses Poisson memiliki fungsi intensitas yang
berbeda antar periode, maka fungsi intensitas tersebut merupakan fungsi intensitas
periodik dengan tren. Pada umumnya bentuk fungsi intensitas yang berbeda
tersebut memiliki pola yang serupa. Oleh sebab itu, dalam kehidupan sehari-hari
proses Poisson periodik berguna untuk memprediksi suatu kejadian pada periode
berikutnya. Misalnya, pada proses banyaknya nasabah yang datang ke suatu bank
dalam periode satu hari. Kedatangan nasabah ke suatu bank pada hari-hari
sebelumnya biasanya memiliki pola yang serupa dengan kedatangan nasabah pada
hari-hari berikutnya.
Dalam proses Poisson periodik terdapat dua jenis fungsi intensitas, yaitu
fungsi intensitas global dan fungsi intensitas lokal. Fungsi intensitas lokal
pada proses Poisson periodik menyatakan laju dari proses tersebut di titik s.
Dalam proses kedatangan nasabah ke suatu bank, fungsi intensitas lokal
pada
proses tersebut menyatakan laju kedatangan nasabah pada waktu s. Jika laju
kedatangan nasabah antara periode sebelumnya dengan periode berikutnya
meningkat berdasarkan suatu fungsi pangkat terhadap waktu, maka model yang
lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu
komponen tren berbentuk fungsi pangkat, sehingga dalam jangka waktu yang
panjang model periodik ini memerlukan fungsi intensitas yang mengakomodasi
adanya suatu tren. Pada kajian ini dibahas pendugaan komponen periodik dari
fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik dikali tren berupa fungsi pangkat
pada proses Poisson non-homogen.
2
Perumusan Masalah
Misalkan adalah proses Poisson non-homogen pada interval
dengan
fungsi intensitas yang tidak diketahui dan diasumsikan fungsi intensitas tersebut
terintegralkan lokal. Diasumsikan pula bahwa fungsi intensitas ini merupakan
perkalian antara komponen periodik dan komponen tren berbentuk fungsi pangkat
, sehingga untuk setiap
fungsi intensitas
dapat dinyatakan
sebagai berikut
(1)
merupakan fungsi periodik dengan periode diketahui. Konstanta a
dengan
merupakan kemiringan dari tren dengan
. Persamaan (1) juga dapat
dituliskan menjadi
(2)
juga merupakan fungsi periodik. Misalkan
, maka
dengan
persamaan (2) menjadi
(3)
.
Karena fungsi intensitas
tersebut tidak diketahui, maka diperlukan suatu
metode untuk menduga fungsi tersebut. Salah satu metode yang dapat digunakan
untuk menduga fungsi intensitas tersebut adalah metode penduga tipe kernel.
Pada karya ilmiah ini dikaji penyusunan penduga konsisten bagi
pada
dengan hanya menggunakan realisasi tunggal
dari suatu proses
Poisson dengan fungsi intensitas
seperti pada persamaan (3) yang diamati
pada interval
. Realisasi
tersebut terdefinisi dalam ruang peluang
dengan
.
Tujuan Penelitian
1
2
3
4
5
6
Tujuan dari karya ilmiah ini ialah
merumuskan penduga komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi
periodik kali tren fungsi pangkat suatu proses Poisson non-homogen dengan
fungsi kernel seragam,
membuktikan kekonsistenan penduga yang dikaji,
menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias penduga,
menentukan aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga,
menentukan aproksimasi asimtotik bagi Mean Square Error (MSE) penduga,
menentukan bandwidth optimal dari penduga.
REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PADA PROSES
POISSON PERIODIK
Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses
Poisson tersebut. Terdapat dua jenis fungsi intensitas, yaitu fungsi intensitas lokal
dan fungsi intensitas global. Perbedaan antara dua fungsi intensitas tersebut
adalah fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses Poisson di titik tertentu,
3
sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson
pada interval dengan panjang menuju tak hingga.
Pendugaan fungsi intensitas lokal pada suatu proses Poisson periodik di
suatu titik s dapat dihampiri dengan rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson
tersebut di sekitar titik s, sedangkan pendugaan fungsi intensitas global diduga
dengan memperkirakan rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson dalam
interval waktu
.
Secara matematis, pendugaan fungsi intensitas lokal di sekitar titik s dapat
dituliskan sebagai
dengan
dan N
menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada
interval waktu
, sedangkan hampiran untuk fungsi intensitas global dapat
dituliskan
Berdasarkan periodenya, pendugaan fungsi intensitas pada suatu proses
Poisson periodik dikategorikan menjadi dua, yaitu jika periodenya diketahui dan
jika periodenya tidak diketahui. Pendugaan fungsi intensitas yang periodenya
tidak diketahui lebih rumit jika dibandingkan dengan pendugaan fungsi intensitas
yang periodenya diketahui. Meskipun demikian, Helmers et al. (2003) telah
mengkaji kekonsistenan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas untuk suatu
proses Poisson periodik yang tidak diketahui periodenya. Untuk kasus pendugaan
fungsi intensitas yang periodenya diketahui telah dilakukan kajian perumusan
penduga tipe kernel serta pembuktian kekonvergenan lemah dan kuat dari
penduga tersebut (Mangku 2006a) dan pembuktian kenormalan asimtotik dari
penduga yang diperoleh (Mangku 2006b).
Pemodelan suatu proses Poisson periodik terus berkembang dengan
menyertakan komponen tren dalam fungsi intensitasnya. Berdasarkan penelitianpenelitian yang telah dilakukan, komponen tren tersebut terdiri atas dua jenis,
yaitu komponen tren yang berbentuk aditif dan multiplikatif. Helmers dan
Mangku (2009) telah mengkaji pendugaan fungsi intensitas pada suatu proses
Poisson periodik dengan menyertakan komponen tren linear yang berbentuk
aditif. Kemudian, penelitian tentang kekonsistenan penduga fungsi intensitas pada
suatu proses Poisson periodik ini berkembang dengan menyertakan komponen
tren linear yang berbentuk multiplikatif (Mangku 2011). Hal yang sama pun dikaji
oleh Ismayulia (2011), perbedaannya adalah tipe kernel yang digunakan oleh
Mangku (2011) adalah fungsi kernel umum, sedangkan Ismayulia (2011)
menggunakan fungsi kernel seragam. Selain itu, telah dikaji pula pendugaan
fungsi intensitas pada suatu proses Poisson periodik dengan menyertakan
komponen tren kuadratik yang berbentuk multiplikatif (Ramdani 2011).
4
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI
PERIODIK KALI TREN FUNGSI PANGKAT PADA PROSES
POISSON NON-HOMOGEN
Perumusan Penduga
Masalah pendugaan fungsi intensitas pada persamaan (3) dapat
disederhanakan dengan hanya menduga komponen periodik dari fungsi intensitas
yaitu
. Fungsi
merupakan fungsi periodik dengan periode
,
sehingga untuk menduga
pada
cukup diduga
pada
.
Berdasarkan sifat keperiodikan, maka
dapat dituliskan menjadi
(4)
berlaku untuk setiap
dan
, dengan
adalah himpunan bilangan
bulat.
Penduga bagi
pada
dapat dirumuskan sebagai berikut
dengan N
menyatakan banyaknya kejadian pada interval
adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol, yaitu
dan
(5)
untuk
.
Berikut dijelaskan proses penyusunan penduga bagi
pada
dalam interval pengamatan [0,n], yaitu
. Penyusunan penduga bagi fungsi
intensitas
ini dapat didekati dengan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar
titik
. Rata-rata banyaknya kejadian di sekitar titik s dapat diamati pada
. Oleh sebab itu, penduga bagi
, dinotasikan
,
interval
diperoleh dengan menentukan rata-rata banyaknya kejadian pada interval
. Secara matematis dapat dituliskan menjadi
(6)
Dari persamaan (3) dan (6) diperoleh penduga bagi komponen periodik fungsi
intensitas, yaitu
(7)
Berdasarkan sifat keperiodikan
ditulis menjadi
pada persamaan (4), persamaan (7) dapat
(8)
dengan k adalah bilangan bulat tak negatif dan
menyatakan rata-rata
.
dibagi
banyaknya kejadian di sekitar
Definisikan
sebagai banyaknya bilangan bulat k sehingga
, maka nilai rata-rata dari semua rataan pada persamaan (8) untuk
semua k adalah
5
(9)
Karena
, maka penduga bagi
pada titik
adalah
(10)
Penduga pada persamaan (10) adalah bentuk umum dari penduga yang dibahas
pada Ismayulia (2011) dan Ramdani (2011).
Teorema 1 (Kekonvergenan MSE Penduga)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika
,
asumsi
dipenuhi dan
, maka
untuk
asalkan s adalah titik Lebesgue bagi .
Bukti: Berdasarkan definisi MSE, yaitu
dengan
- (Casella dan Berger 2002), Teorema 1
merupakan akibat dari dua Lema berikut, yaitu Lema 1 tentang ketakbiasan
asimtotik dan Lema 2 tentang kekonvergenan ragam.
Lema 1 (Ketakbiasan Asimtotik)
Misalkan fungsi intensitas
Jika asumsi
memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
dipenuhi maka
adalah titik Lebesgue bagi
asimtotik bagi
.
. Dengan kata lain,
Bukti: Untuk membuktikan
Nilai harapan dari penduga
untuk
, asalkan s
adalah penduga tak bias
, akan ditunjukkan bahwa
adalah
(11)
Karena
tidak mengandung indeks k, maka persamaan (11) dapat ditulis
menjadi
(12)
Karena N menyatakan suatu proses Poisson non-homogen, maka nilai harapan
dari N
dapat dirumuskan menjadi
6
(13)
Misalkan
, maka
.
melakukan penggantian peubah pada persamaan (13), maka diperoleh
Dengan
(14)
Karena fungsi intensitas
memenuhi persamaan (3), maka
(15)
Berdasarkan sifat keperiodikan pada persamaan (4), persamaan (15) dapat ditulis
menjadi
(16)
Selanjutnya, persamaan (16) disubstitusikan ke persamaan (12), sehingga
diperoleh
(17)
Persamaan (17) juga ekuivalen dengan
(18)
Dengan menggunakan formula Young dari Teorema Taylor (Serfling 1980)
diperoleh
untuk
(Lampiran 1). Oleh sebab itu, persamaan (18) menjadi
(19)
Suku pertama pada ruas kanan dari persamaan (19) dapat ditulis menjadi
7
(20)
Untuk menunjukkan bahwa suku pertama dari persamaan (20) konvergen menuju
nol, digunakan nilai yang lebih besar, yaitu
(21)
Berdasarkan asumsi
merupakan titik Lebesgue dari
untuk
, maka diperoleh
dan asumsi bahwa titik s
(Wheeden dan Zygmund 1977), maka kuantitas pada (21) konvergen ke nol untuk
atau dapat ditulis o . Suku kedua pada ruas kanan dari persamaan (20)
dapat diuraikan menjadi
Akibatnya, suku pertama dari persamaan (19) menjadi
sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (19) menjadi
untuk
. Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh dari suku pertama
dan kedua dari persamaan (19), maka diperoleh
untuk
.
Lema 2 (Kekonvergenan Ragam)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
Jika asumsi
, terbatas di sekitar s, dan
1
, untuk
,
2
,
,
3
, untuk
dipenuhi, maka
.
untuk
Bukti: Ragam dari penduga
adalah
8
Karena
untuk
, maka untuk nilai n yang cukup besar, interval
dan
untuk
tidak tumpang
tindih. Akibatnya, berdasarkan sifat inkremen bebas dari proses Poisson,
dan N
untuk
diperoleh bahwa N
adalah peubah acak bebas, sehingga
berikut
dapat dihitung sebagai
Karena N merupakan peubah acak Poisson, maka nilai ragam N sama dengan nilai
harapan N, sehingga diperoleh
(22)
Berdasarkan persamaan (16), maka persamaan (22) menjadi
(23)
Dengan menggunakan formula Young dari Teorema Taylor (Serfling 1980),
maka diperoleh
(Lampiran 1).
Karena
(24)
, maka persamaan (24) dapat ditulis menjadi
Persamaan (25) diuraikan menjadi tiga kasus, yaitu
, maka
jika
untuk
,
9
jika
, maka
untuk
jika
,
, maka
untuk
, dengan
Dengan demikian, persamaan (23) dapat ditulis sebagai berikut.
Jika
, maka
Jika
, maka
Jika
, maka
.
Karena
terbatas di sekitar s, maka terdapat suatu konstanta K sehingga
untuk setiap s
. Selanjutnya, integralkan pertidaksamaan
untuk
menjadi
10
(29)
Kalikan kedua ruas persamaan (29) dengan
sedemikian sehingga
(30)
Karena
, maka pertidaksamaan (30) dapat ditulis menjadi
-
(31)
Pertidaksamaan (31) ekuivalen dengan
(32)
sehingga berdasarkan persamaan (32) ruas kanan pada persamaan (26), (27), dan
(28) berturut-turut dapat ditulis sebagai berikut.
Jika
, maka
Jika
, maka
Jika
, maka
. Oleh sebab
Persamaan (33), (34), dan (35) konvergen ke nol untuk
itu, diperoleh bahwa
untuk
. Lema 1 (ketakbiasan
asimtotik)
menunjukkan
-
bahwa
,
sehingga
diperoleh
. Akibatnya, berdasarkan definisi MSE (Casella dan Berger
2002) diperoleh
. Dengan demikian, Teorema 1 terbukti.
Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan MSE
Teorema 2 (Aproksimasi Asimtotik bagi Bias)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
dipenuhi,
, dan
memiliki turunan kedua
Jika asumsi
berhingga pada s, maka
11
untuk
.
Bukti: Berdasarkan persamaan (12), nilai harapan dari
menjadi
dapat dituliskan
Pada bukti Lema 1, persamaan (19) menunjukkan bahwa nilai harapan dari
dapat dituliskan menjadi
Karena memiliki turunan kedua pada s, maka kontinu pada s. Akibatnya,
memiliki nilai yang terbatas di sekitar s.
Dengan menggunakan formula Young dari Teorema Taylor (Serfling 1980),
maka diperoleh
untuk
. Bila diuraikan menjadi
untuk
. Misalkan
untuk
, sehingga
, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi
(36)
Suku pertama dari ruas kanan pada persamaan (36) dapat dituliskan menjadi
(37)
suku kedua dapat dituliskan menjadi
(38)
dan suku ketiga dapat diuraikan menjadi
(39)
serta suku terakhir dari persamaan (36) dapat dituliskan menjadi
12
(40)
untuk
. Kemudian hasil uraian dari persamaan (37), (38), (39), dan (40)
digabungkan sehingga persamaan (36) dapat dituliskan sebagai berikut
untuk
. Akibatnya, ruas kanan dari persamaan (19) menjadi
untuk
.
Berdasarkan asumsi
, maka O
persamaan (36) dapat ditulis menjadi
untuk
(41)
, sehingga
untuk
. Jadi, Teorema 2 terbukti.
Teorema 3 (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
dipenuhi dan s adalah titik Lebesgue bagi , maka
Jika asumsi
untuk
dengan
.
Bukti : Berdasarkan bukti pada Lema 2, ragam dari
terbagi ke dalam tiga
kasus, yaitu seperti pada persamaan (26), (27), dan (28). Pada bukti Lema
ketakbiasan asimtotik telah ditunjukkan bahwa
. Kemudian suku kedua pada ruas kanan persamaan (26), (27), dan (28)
jika
berturut-turut sama seperti suku kedua pada ruas kanan persamaan (33), (34), dan
(35) serta konvergen ke nol. Akibatnya, suku pertama dari persamaan (26), (27),
dan (28) berturut-turut dapat ditulis sebagai berikut.
Jika
, maka
13
untuk
Jika
.
, maka
untuk
Jika
.
, maka
untuk
.
Dengan demikian, Teorema 3 terbukti.
Untuk kasus b = 2, maka
penduga bagi kasus tersebut adalah
. Aproksimasi asimtotik bagi ragam
Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga tersebut sama seperti yang dikaji oleh
Ramdani (2011).
Teorema 4 (Aproksimasi Asimtotik bagi MSE)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
dipenuhi dan memiliki turunan kedua
berhingga pada s,
Jika asumsi
maka
untuk
dengan
Bukti: Dengan menggunakan definisi MSE diperoleh
.
14
(42)
untuk
. Karena
memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka
. Akibatnya, persamaan (42) menjadi
(43)
Dengan menggunakan Teorema 3, maka persamaan (43) dapat ditulis
sebagai berikut.
, maka
Jika
(44)
untuk
Jika
.
, maka
(45)
untuk
Jika
.
, maka
(46)
untuk
.
Dengan demikian, Teorema 4 terbukti.
Penentuan Bandwith Optimal Asimtotik
Suatu penduga yang baik adalah penduga yang memiliki MSE bernilai
minimum. Misalkan
merupakan fungsi yang menyatakan suku utama dari
, yaitu
untuk
,
untuk
,
untuk
,
Nilai MSE yang minimum dapat diperoleh dengan mencari nilai
yang
minimum. Langkah pertama untuk mendapatkan nilai
yang minimum
adalah dengan membuat turunan pertama dari
sama dengan nol untuk nilai
n yang tetap, yaitu
untuk
,
15
untuk
,
untuk
,
Selanjutnya, diperiksa apakah
meminimumkan
memeriksa turunan kedua dari
, yaitu
,
untuk
untuk
,
, yaitu dengan cara
16
untuk
,
Karena
bernilai positif, maka
, , n, ,
, dan
sebab itu,
yang telah diperoleh tersebut meminimumkan
optimal bagi bandwith sebagai berikut.
,
Untuk
Untuk
,
Untuk
,
. Oleh
, sehingga nilai
Bandwith optimal yang diperoleh tersebut bersifat asimtotik karena nilai
tidak diketahui.
Contoh Penyusunan Penduga Menggunakan Data Bangkitan
Penyusunan penduga dengan menggunakan data bangkitan ini secara
komputasi dilakukan dengan menggunakan program R. Program R tersebut
digunakan untuk membangkitkan suatu realisasi proses Poisson periodik dengan
ukuran sampel yang terbatas. Ukuran sampel yang dipilih pada contoh simulasi ini
adalah [0,500]. Metode yang digunakan untuk membangkitkan realisasi dari
proses Poisson tersebut adalah metode Monte Carlo. Data yang dibangkitkan
dengan metode Monte Carlo tersebut digunakan untuk menduga fungsi intensitas
dari proses Poisson periodik.
Dalam simulasi ini digunakan fungsi intensitas seperti yang telah
didefinisikan pada persamaan (3), yaitu
dengan
merupakan komponen periodik dan
merupakan
komponen tren. Parameter yang dipilih untuk fungsi intensitas di atas adalah
,
,
, dan
, sehingga fungsi intensitas tersebut dapat
dituliskan menjadi
Bila fungsi intensitas
tersebut dibandingkan dengan dugaannya pada interval
pengamatan [0,500], maka nilai dugaan akan menghampiri nilai dari fungsi
intensitas yang sebenarnya (Gambar 1).
17
Gambar 1 Fungsi intensitas
pengamatan [0,500]
dan nilai dugaannya pada interval
Berdasarkan Teorema 2 dan Teorema 3, aproksimasi asimtotik bagi nilai
harapan, bias, dan ragam penduga yang diperoleh adalah berturut-turut sebesar
8.56473, 0.121989,dan 0.0105053. Selanjutnya, dilakukan simulasi Monte Carlo
dengan ulangan sebanyak 500 kali untuk memverifikasi pendekatan asimtotik
untuk bias dan ragam penduga dari
di titik s = 5.5. Dari simulasi tersebut
diperoleh nilai harapan dan ragam penduga adalah berturut-turut sebesar 8.104348
dan 0.02260234. Bila nilai harapan yang diperoleh dari hasil simulasi ini
dibandingkan dengan nilai aproksimasi asimtotiknya, maka kesalahan yang
dihasilkan sebesar 5.68 %.
SIMPULAN
Pada karya ilmiah ini dibahas penyusunan penduga konsisten bagi
komponen periodik fungsi intensitas dari suatu proses Poisson non-homogen yang
berbentuk fungsi periodik dikali tren berupa fungsi pangkat. Fungsi intensitas
tersebut tidak diketahui dan diasumsikan terintegralkan lokal. Untuk setiap
, fungsi intensitas
dapat dinyatakan sebagai berikut
merupakan fungsi periodik dengan periode diketahui
dengan
konstanta a > 0 merupakan kemiringan dari tren. Misalkan
fungsi intensitas
dapat dituliskan menjadi
dan
, maka
dengan
juga merupakan fungsi periodik. Masalah pendugaan fungsi
intensitas
tersebut dapat disederhanakan dengan hanya menduga
pada
. Penduga bagi
di titik
adalah
18
dengan N
menyatakan banyaknya kejadian pada interval [0,n] dan hn
adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol yang disebut bandwith.
Berdasarkan kajian yang dilakukan, dapat disimpulkan sebagai berikut.
1 Penduga bagi
, dinotasikan
, adalah penduga tak bias asimtotik dan
untuk
. Oleh sebab itu, diperoleh
untuk
.
2 Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga adalah
untuk
.
3 Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga adalah
untuk
dengan
4 Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga adalah
.
.
untuk
dengan
5 Bandwith optimal yang meminimumkan aproksimasi asimtotik dari MSE
penduga sebagai berikut.
Untuk
,
Untuk
,
Untuk
,
19
Berdasarkan simulasi yang dilakukan pada interval pengamatan [0,500],
dapat disimpulkan bahwa nilai dugaan dari fungsi intensitas
akan
menghampiri nilai fungsi intensitas yang sebenarnya.
DAFTAR PUSTAKA
Casella G, Berger RL. 2002. Statistical Inference. 2nd ed. Pasific Grove (US):
The Wardsworth Group.
Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity
function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate Analysis. 84:1939.
Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson
process in the presence of linear trend. Annals Institute of Statistical
Mathematics. 61(3):599-628.
Ismayulia W. 2011. Pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk
fungsi periodik kali tren linear suatu proses Poisson non-homogen [skripsi].
Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Mangku IW. 2006a. Weak and strong convergence of a kernel-type estimator for
the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its
Applications. 5:1-12.
Mangku IW. 2006b. Asymptotic normality of a kernel-type estimator for the
intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its
Applications. 5: 13-22.
Mangku IW. 2011. Estimating the intensity obtained as the product of a periodic
function with the linear trend of a non-homogeneous Poisson process. Far East
Journal of Mathematical Science (FJMS). 51:141-150.
Ramdani P. 2011. Pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk
fungsi periodik kali tren kuadratik suatu proses Poisson non-homogen [skripsi].
Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New
York (US): J Wiley.
Wheeden RL, Zygmund. 1977. Measure and Integral: An Introduction to Real
Analysis. New York (US): Marcel Dekker, Inc.
20
Lampiran 1 Formula Young dari Teorema Taylor
Misal
merupakan fungsi yang memunyai turunan ke-n yang terhingga pada
suatu titik , maka
untuk
(Serfling 1980).
Dengan menggunakan formula Young dari Teorema Taylor, maka diperoleh
Karena
untuk
, maka perilaku dari
itu, persamaan di atas dapat ditulis menjadi
sama dengan
. Oleh sebab
sama dengan
. Oleh sebab
Dengan demikian,
Karena
untuk
, maka perilaku dari
itu, persamaan di atas dapat ditulis menjadi
21
Lampiran 2 Program Simulasi
Program Membangkitkan Realisasi Poisson Periodik untuk Interval
Pengamatan [0,500]
Random