Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear pada Proses Poisson Non-Homogen
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK EKSPONENSIAL
DARI FUNGSI PERIODIK DITAMBAH TREN LINEAR
PADA PROSES POISSON NON-HOMOGEN
SALMUN K. NASIB
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pendugaan Fungsi
Intensitas Berbentuk Eksponensial dari Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear
Pada Proses Poisson Non-Homogen adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, September 2014
Salmun K. Nasib
NIM G551120011
RINGKASAN
SALMUN K. NASIB. Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari
Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear pada Proses Poisson Non-Homogen.
Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO.
Proses stokastik merupakan model yang berkaitan dengan suatu aturanaturan peluang. Proses ini banyak digunakan untuk memodelkan suatu kejadian
yang mengandung ketidakpastian atau sistem yang dijalankan pada suatu
lingkungan yang dapat diduga. Proses Poisson periodik merupakan salah satu
bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Sebagai contoh dapat
dibuat sebuah model yang digunakan untuk memprediksi kedatangan pelanggan
pada suatu pusat layanan seperti supermarket, kedatangan atau antrian nasabah di
bank, dan sebagainya.
Pada suatu proses Poisson periodik, laju kejadian atau fenomena yang
terjadi pada waktu tertentu dikenal dengan fungsi intensitas. Misalkan, pada
proses kedatangan pelanggan ke pusat layanan (customer service) dengan periode
satu hari, fungsi intensitas menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu
Namun, jika laju kedatangan pelanggan tersebut meningkat mengikuti suatu
fungsi tren terhadap waktu, maka model yang sesuai untuk kasus ini adalah proses
Poisson periodik dengan suatu tren. Oleh karenanya dalam banyak penerapan
diperlukan penduga untuk fungsi intensitas dari proses Poisson periodik tersebut.
Pada penelitian ini dikaji pendugaan bagi fungsi intensitas berbentuk
eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear. Metode yang digunakan
untuk menduga fungsi intensitas tersebut adalah metode non-parametrik tipe
kernel umum. Penelitian ini memiliki empat tujuan, yaitu: (1) Merumuskan
penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari penjumlahan antara
fungsi periodik dan tren linear suatu proses Poisson non-homogen menggunakan
kernel umum, (2) Membuktikan kekonsistenan bagi penduga yang dikaji, (3)
Menentukan aproksimasi asimtotik berturut-turut bagi bias, ragam dan Mean
Square Error (MSE) penduga, (4) Melakukan simulasi komputer untuk
mengamati perilaku penduga dengan kasus panjang interval waktu yang terbatas.
Misalkan N merupakan proses Poisson non-homogen pada interval
dengan fungsi intensitas tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan
lokal dan merupakan eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear.
Sehingga untuk sembarang titik
kita dapat menuliskan fungsi
intensitas sebagai berikut
(
( (
di mana ( merupakan fungsi periodik yang tidak diketahui dengan periode
diketahui.
Persamaannya
dapat
juga
dituliskan
menjadi
(
(
(
( ( ))(
Karena
( ( ) juga merupakan fungsi
( ( ), maka secara umum
periodik dengan periode , misalkan (
fungsi intensitas dapat ditulis sebagai berikut
(
(
( ( )(
Karena diketahui maka masalah pendugaan ( dapat disederhanakan
menjadi masalah pendugaan komponen periodik dari fungsi intensitas tersebut
( . Berdasarkan sifat keperiodikan, untuk setiap titik
dan
yaitu
, di mana
menjadi
(
merupakan himpunan bilangan bulat,
dapat dituliskan
(
(
Penyusunan penduga tipe kernel tersebut hanya menggunakan realisasi tunggal
(
dari proses Poisson yang diamati pada interval
. Realisasi (
terdefinisi dalam suatu ruang probabilitas (
dengan
.
(
dari fungsi intensitas
Rumusan penduga tipe kernel bagi komponen
proses Poisson periodik yang dikaji adalah
̂
(
∑
(
∫
(
(
Dari hasil kajian yang dilakukan dengan suatu syarat tertentu, diperoleh
hasil sebagai berikut:
( merupakan penduga yang tak bias asimtotik bagi (
(i) Penduga ̂
(
dan memiliki ragam yang konvergen menuju nol, sehingga ̂
̂
(
adalah penduga yang konsisten bagi ( dengan
untuk
.
(ii) Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga adalah
̂
(
(
(
(
(
untuk
(iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga adalah
̂
(
(
(
(
(
(
∫
(
∫
(
(
)
untuk
(iv) Aproksimasi asimtotik bagi Mean Square Error (MSE) penduga adalah
̂
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
∫
∫
(
(
(
)
untuk
(v) Berdasarkan simulasi yang dilakukan dengan menggunakan fungsi kernel
seragam dan data bangkitan diperoleh bahwa perilaku penduga
dipengaruhi oleh pilihan bandwidth yang meminimumkan MSE serta
semakin besar interval pengamatan yang digunakan, maka semakin kecil
nilai MSE penduga.
Kata kunci: bandwidth, eksponensial, kekonsistenan, penduga tipe kernel, proses
Poisson non-homogen.
SUMMARY
SALMUN K. NASIB. Estimating the Intensity Obtained as Exponential of a
Periodic Function Plus Linear Trend of a Non-homogeneous Poisson Process.
Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI SUMARNO.
A stochastic process is related to a probability rule. This process is widely
used to model an event that contains uncertainties or systems that run on an
unpredictable environment. Periodic Poisson process is a special case of
continuous time stochastic processes. As an example, it can be made a model for
predicting the arrival of customers at a service center such as supermarket, or the
arrival of customers queuing at the bank.
In a periodic Poisson process, the rate of events or phenomena that occur at
a given time is known as the intensity function. Suppose that, on the arrival
process of customers to a service center (customer service) with a one-day period,
the intensity function expressed the customer’s arrival rate at time s. However, if
the customer’s arrival rate increases follow a trend, then the more appropriate
model for this case is a periodic Poisson process with a trend. Therefore, in many
applications it is required to estimate the intensity function of the periodic Poisson
process.
In this manuscript, estimation of intensity function obtained as exponential
of a periodic function plus a linear trend is studied. The method used to estimate
this intensity function is a non-parametric method using general function. This
study has four objectives, namely: (1) To formulate estimators for the intensity
function obtained as exponential of the sum of a periodic function and a linear
trend of non-homogeneous Poisson process using general kernel, (2) To prove
consistency of the proposed estimators, (3) To obtain asymptotic approximations
to the bias, variance and the Mean Square Error (MSE) of the estimators, (4) To
conduct computer simulations to observe the behavior of estimators in the case of
finite length time interval.
Suppose is a non-homogeneous Poisson process on the interval
with unknown intensity function . It is assumed that this intensity function is
locally integrable and exponential of a periodic function plus linear trend. Hence,
for any point
, we can write the intensity function λ as follows
(
( (
where ( is unknown periodic function with known period This equation can
(
also be written as (
(
( ( ))(
Because
( ( ) is also a
( ( ) , then the intensity
periodic function with period , let (
function can be written as follows
(
(
( ( )(
Since known, the problem to estimate ( can be simplified by only
estimating the periodic component ( of the intensity function Based on the
properties of periodic function, for every point
and
where is
(
can be written as
the set of integers,
(
(
Formulation of the kernel-type estimators only using a single realization of
( of the Poisson process which is observed in the interval
. Realization
(
of
is defined in a probability space (
with
.
Kernel-type estimators for ( can be formulated as follows
̂
(
∑
(
∫
(
(
From the results of studies conducted with a certain conditions, it is
obtained the following results:
( are asymptotically unbiased estimators for (
(i) The estimators ̂
( are
and their variances converge to zero as
so that ̂
̂
(
as
.
consistent estimators for ( and
(ii) The asymptotic approximation to the bias is given by
̂
(
(
(
(
(
as
.
(iii) The asymptotic approximation to the variance is given by
̂
(
(
(
(
(
(
∫
(
∫
(
(
)
as
(iv) The asymptotic approximation to the Mean Square Error (MSE) is given
by
̂
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
∫
∫
(
(
(
)
as
.
(v) Based on the performed simulations using a uniform kernel function and
generated data, it is obtained that the behavior of the estimator is
influenced by the choice of the bandwidth that minimizes the MSE of the
estimator and the larger is the observation interval, the smaller is the value
of the MSE of the estimator.
Keywords: bandwidth, consistency, exponential, kernel-type estimator, nonhomogeneous Poisson process.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK EKSPONENSIAL
DARI FUNGSI PERIODIK DITAMBAH TREN LINEAR PADA
PROSES POISSON NON-HOMOGEN
SALMUN K. NASIB
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Penguji luar komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS
Judul Tesis : Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari Fungsi
Periodik Ditambah Tren Linear pada Proses Poisson NonHomogen
Nama
: Salmun K. Nasib
NIM
: G551120011
Disetujui oleh
Komisi Pembimbing
Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
Ketua
Dr Ir Hadi Sumarno, MS
Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Jaharuddin, MS
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
Tanggal Ujian: 27 Agustus 2014
Tanggal Lulus: 3 September 2014
PRAKATA
Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Puji syukur senantiasa tetap kita haturkan kepada Allah subhanahu wa
ta’ala atas rahmat dan kuasanya sehingga penelitian ini dapat diselesaikan.
Penelitian ini dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 sampai Agustus 2014 dengan
mengambil judul Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari
Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear pada Proses Poisson Non-homogen.
Penulis menyadari bahwa penelitian ini masih terdapat kekurangan. Oleh
karena itu, saran dan kritik yang sifatnya membangun sangat dibutuhkan untuk
kesempurnaan penelitian ini, sehingga dapat menjadi masukan dalam penyusunan
penelitian lainnya.
Ucapan terima kasih kepada Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc dan Dr Hadi
Sumarno, MS selaku pembimbing atas semua ilmu, saran, kesabaran, dan
motivasinya. Terimakasih juga penulis ucapkan kepada Dr Ir Endar Hasafah
Nugrahani, MS selaku penguji yang telah memberikan saran. Penghargaan penulis
sampaikan kepada keluarga besar Departemen Matematika FMIPA IPB yang telah
membantu selesainya penelitian ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih
kepada Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa
Unggulan 2012. Ungkapan terima kasih disampaikan kepada ayah, ibu, suami
serta seluruh keluarga, atas doa, dukungan dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat
Bogor, September 2014
Salmun K. Nasib
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
1
1
2
TINJAUAN PUSTAKA
Proses Stokastik
Proses Poisson Periodik
Pendugaan Fungsi Intensitas pada Proses Poisson Periodik
Pendugaan Fungsi Intensitas pada Proses Poisson Periodik dengan Tren
Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial pada Proses Poisson
Periodik
2
2
2
3
4
METODE PENELITIAN
5
4
PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT-SIFAT STATISTIKNYA
6
Perumusan Penduga
6
Kekonsistenan Penduga
8
Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan Mean Square Error (MSE)
Penduga
14
PEMBAHASAN
Penjelasan dari Beberapa Lema dan Teorema yang Dikaji
Simulasi Sifat-Sifat Statistik Penduga
19
19
20
SIMPULAN
25
DAFTAR PUSTAKA
26
LAMPIRAN
28
RIWAYAT HIDUP
36
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
Grafik fungsi (
Grafik fungsi ( (—) beserta penduganya (-oo-) pada interval
pengamatan. (a) [0,9]; (b) [0,13]
Grafik bandwith (—) yang meminimumkan MSE penduga fungsi
intensitas (
Grafik MSE penduga fungsi intensitas ( (—)
Histogram normalitas asimtotik nilai dugaan fungsi intensitas ( . (a)
titik s = 0.412; (b) titik s =0.425; (c) titik s = 0.439
Grafik normalitas asimtotik nilai dugaan fungsi intensitas ( (oo). (a)
titik s = 0.412; (b) titik s = 0.425; (c) titik s = 0.439
21
21
22
22
23
24
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Beberapa Definisi, Teorema, dan Lema teknis
Bukti beberapa persamaan
Program R untuk simulasi
Hasil simulasi menggunakan kernel seragam
28
30
31
34
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak fenomena atau kejadian yang dapat
dimodelkan dengan proses Poisson. Proses Poisson merupakan bentuk khusus dari
proses stokastik dengan waktu kontinu. Proses ini banyak digunakan untuk
memodelkan suatu kejadian yang mengandung ketidakpastian atau sistem yang
dijalankan pada suatu lingkungan yang dapat diduga. Misalkan, proses kedatangan
pelanggan dalam suatu pusat layanan atau servis (bank, kantor pos, supermarket,
dan sebagainya), tingkat intensitas curah hujan di suatu daerah dalam selang
waktu tertentu, dan banyaknya kertas fotokopi yang dibutuhkan suatu perusahaan
percetakan dalam selang waktu tertentu.
Pada suatu proses Poisson, laju kejadian atau fenomena yang terjadi pada
waktu tertentu dikenal dengan fungsi intensitas. Misalkan, pada proses kedatangan
pelanggan ke pusat layanan (customer service) dengan periode satu hari, fungsi
intensitas menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu Proses Poisson
menurut fungsi intensitasnya dibagi menjadi dua, yaitu proses Poisson homogen
dan non-homogen. Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan fungsi
intensitas konstan (homogen). Sedangkan proses Poisson non-homogen
merupakan proses Poisson dengan fungsi intensitas yang tidak konstan. Proses
Poisson non-homogen yang fungsi intensitasnya berupa fungsi periodik disebut
proses Poisson periodik. Beberapa fenomena yang dapat dimodelkan dengan
proses Poisson periodik diantaranya adalah fenomena dalam bidang hidrologi,
asuransi, dan seismologi (Helmers et al. 2003). Pada penelitian ini difokuskan
pada proses Poisson non-homogen.
Pada pemodelan stokastik dari suatu fenomena yang dimodelkan dengan
proses Poisson periodik, fungsi intensitas dari proses tersebut umumnya belum
diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut.
Metode penduga yang digunakan dimaksudkan sebagai nilai pendekataan dari
fungsi aslinya. Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas dari
proses Poisson di titik s yaitu dengan menaksir rata-rata terjadinya kejadian proses
Poisson tersebut dalam selang waktu di sekitar titik s. Ada beberapa metode nonparametrik untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang dapat
digunakan, diantaranya adalah metode penduga non-parametrik tipe kernel.
Jika laju kejadian meningkat berdasarkan suatu fungsi terhadap waktu maka
model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan
menyertakan komponen tren. Model fungsi intensitas pada proses Poisson
periodik untuk jangka panjang pada banyak kasus tidak relevan sehingga perlu
mengakomodasi kehadiran suatu tren baru. Misalkan saja, ada kejadian atau
fenomena dalam selang waktu tertentu meningkat mengikuti suatu fungsi
eksponensial maka harus ada model penduga yang tepat dari fungsi intensitas
untuk dapat mengakomodasi adanya tren ini. Pada penelitian ini dikaji kasus
khusus pendugaan bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi
periodik ditambah tren linear pada proses Poisson non-homogen.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1 Merumuskan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari
penjumlahan antara fungsi periodik dan tren linear suatu proses Poisson nonhomogen menggunakan kernel umum.
2 Membuktikan kekonsistenan bagi penduga yang dikaji.
3 Menentukan aproksimasi asimtotik berturut-turut bagi bias, ragam dan Mean
Square Error (MSE) penduga.
4 Melakukan simulasi komputer untuk mengamati perilaku penduga dengan
kasus panjang interval waktu yang terbatas.
TINJAUAN PUSTAKA
Proses Stokastik
(
Proses stokastik
adalah suatu himpunan dari peubah acak
yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu state ( . ( adalah suatu
peubah acak, dengan adalah elemen dari . Kita sering menginterpretasikan
sebagai waktu dan (t sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu . Suatu
proses stokastik
disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika
merupakan suatu interval (Ross 2010).
Proses stokastik dengan waktu kontinu
(
disebut memiliki
inkremen bebas jika untuk semua
, peubah acak
(
(
(
(
(
(
adalah saling bebas (Ross
2010). Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu (t t
disebut memiliki
inkremen stasioner jika (t
(t memiliki sebaran yang sama untuk semua
nilai t (Ross 2010).
Suatu proses stokastik (t t
disebut proses pencacahan jika (t
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu . Dari definisi
tersebut, maka suatu proses pencacahan (t harus memenuhi syarat-syarat
berikut (Ross 2010):
1 (t
untuk setiap t
.
2 Nilai (t adalah integer.
3 Jika
t maka (t
( di mana t
.
4 Untuk
t maka (t
( sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi
pada selang ( t .
Proses Poisson Periodik
(
Suatu proses pencacahan
disebut proses Poisson homogen
dengan laju ,
, jika dipenuhi tiga syarat berikut (Ross 2010):
1 (
.
2 Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
3
3 Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang ,
memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan . Jadi untuk semua ,
,
(
( (
(
.
Dari syarat 3 bisa kita ketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang
stasioner serta diperoleh bahwa ( ( )
.
(
Suatu proses pencacahan
disebut proses Poisson nonhomogen dengan fungsi intensitas (
, jika (Ross 2010):
1 (
.
(
2
memiliki inkremen bebas.
(
(
( .
3
(
(
(
4
( , dengan
.
(
Laju dari suatu proses Poisson non-homogen
, yaitu (
disebut fungsi intensitas proses Poisson pada (Ross 2010). Intensitas lokal dari
suatu proses Poisson non-homogen dengan fungsi intensitas pada titik
adalah ( , yaitu nilai fungsi di (Cressie 1993).
Suatu fungsi disebut periodik jika (
( , untuk semua
dan
, dengan adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil yang
memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi intensitas tersebut
(Browder 1996).
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi
intensitasnya adalah fungsi periodik. Berdasarkan sifat keperiodikan dari fungsi
intensitas , dapat disusun penduga konsisten bagi pada sembarang titik yang
diberikan dengan hanya menggunakan realisasi tunggal. Hal ini dikarenakan
dalam pendugaan pada sembarang titik , tidak hanya dapat menggunakan
informasi di sekitar
saja, tetapi juga dapat menggunakan informasi di
sekitar
, untuk sembarang , asalkan
(Mangku 2001).
Pendugaan Fungsi Intensitas pada Proses Poisson Periodik
Pada proses Poisson periodik, ada beberapa metode non-parametrik untuk
menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, di antaranya adalah
metode penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat (nearest neighbor
estimation). Dua metode tersebut telah digunakan untuk menduga secara
konsisten fungsi intensitas lokal suatu proses Poisson periodik dengan periode
diketahui (Helmers dan Mangku 2000).
Fungsi intensitas suatu proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson
tersebut. Fungsi intensitas dibedakan menjadi 2, yaitu fungsi intensitas lokal dan
fungsi intensitas global. Pendugaan fungsi intensitas lokal pada suatu proses
Poisson periodik di suatu titik dapat dihampiri dengan rata-rata banyaknya
kejadian proses Poisson tersebut di sekitar titik . Secara matematis dapat
dituliskan sebagai
hn hn
hn
dengan
,
dan (
adalah banyaknya kejadian yang terjadi
pada interval waktu
.
4
Dalam pendugaan fungsi intensitas pada suatu proses Poisson periodik dapat
dibedakan menjadi dua, yaitu jika periodenya diketahui dan tidak diketahui.
Untuk menduga fungsi intensitas yang periodenya tidak diketahui lebih rumit jika
dibandingkan dengan situasi dimana periodenya diketahui. Meskipun demikian,
Helmers et al. (2003) telah mengkaji kekonsistenan penduga tipe kernel dari
fungsi intensitas untuk suatu proses Poisson periodik yang tidak diketahui
periodenya. Kasus pendugaan fungsi intensitas yang periodenya diketahui telah
dilakukan kajian perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian kekonvergenan
lemah dan kuat dari penduga tersebut (Mangku 2006a) dan pembuktian
kenormalan asimtotik dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006b).
Pendugaan Fungsi Intensitas pada Proses Poisson Periodik dengan Tren
Dalam proses Poisson periodik, umumnya bentuk fungsi intensitas pada
periode sebelumnya dengan sesudahnya memiliki pola yang serupa sehingga
memungkinkan kita untuk dapat memprediksi atau menduga suatu kejadian pada
periode berikutnya. Jika laju kejadian antara periode sebelumnya dan berikutnya
meningkat berdasarkan suatu fungsi terhadap waktu, maka model yang lebih tepat
untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan menyertakan komponen
tren. Sehingga dalam jangka waktu yang panjang model bagi proses Poisson
periodik ini memerlukan fungsi intensitas yang mengakomodasi adanya suatu
tren. Penelitian mengenai pendugaan fungsi intensitas proses Poisson periodik
dengan menyertakan komponen tren terus berkembang. Pada beberapa penelitian
sebelumnya telah dirumuskan suatu penduga bagi fungsi intensitas dari proses
Poisson berupa fungsi periodik ditambah dengan tren linear (Helmers dan
Mangku 2009). Kemudian Farida (2008) mengkaji penduga fungsi intensitas
yang berupa fungsi periodik ditambah dengan tren fungsi pangkat. Selanjutnya
berkembang lagi perumusan penduga bagi fungsi intensitas yang berupa perkalian
fungsi periodik dengan tren linear (Mangku 2011). Taslim (2011) juga
merumuskan penduga bagi fungsi intensitas yang berupa perkalian fungsi periodik
dengan tren kuadratik. Penelitian terbaru, telah dikaji penduga bagi fungsi
intensitas berupa perkalian fungsi periodik dengan tren fungsi pangkat (Erliana et
al. 2014).
Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial pada Proses Poisson
Periodik
Kajian tentang perumusan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk
eksponensial, telah dikerjakan oleh Lewis (1972). Lewis mengkaji perumusan
penduga bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson menggunakan asumsi bahwa
model tersebut berbentuk eksponensial kuadratik dan periodik dengan melibatkan
beberapa komponen parametrik. Untuk merumuskan penduga tersebut, digunakan
metode penduga maximum likelihood. selanjutnya Helmers dan Zikitis (1999)
juga mengkaji hal yang serupa yang telah dikerjakan oleh Lewis dengan
menggunakan rumusan fungsi intensitas yang sama. Namun, untuk merumuskan
penduga tersebut, digunakan metode penduga tipe kernel umum. Vere-Jones
5
(1982) juga telah menggunakan rumusan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk
eksponensial dengan melibatkan komponen parametrik pada proses Poisson.
Rumusan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial ini diterapkan
dalam ilmu seismologi seperti gempa bumi.
Pada penerapannya, aplikasi model fungsi intensitas yang menyertakan
komponen parametrik sangatlah terbatas. Komponen periodiknya bersifat implisit
sehingga sulit untuk diterapkan dan kemungkinan model ini keliru dalam
penerapan secara langsung. Karena tidak semua kasus atau fenomena sesuai
dengan model fungsi intensitas tersebut. Oleh karena itu, diperlukan model fungsi
intensitas tanpa mengasumsikan bentuk parametrik. Model fungsi intensitas yang
dimaksudkan adalah model tanpa komponen parametrik dimana komponen
periodiknya berupa fungsi yang belum diketahui, jadi bisa menggunakan fungsi
apapun.
Pada penelitian ini diperkenalkan model bagi fungsi intensitas tanpa
mengasumsikan komponen parametrik, yaitu mengkaji penduga bagi fungsi
intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear pada
proses Poisson non-homogen.
METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan penelitian yang berbentuk kajian teoritis tentang
pendugaan fungsi intensitas yang berbentuk eksponensial dari fungsi periodik
ditambah tren linear pada proses Poisson non-homogen. Metode yang digunakan
dalam menduga fungsi periodik tersebut adalah metode non-parametrik tipe kernel
umum. Adapun tahapan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1 Merumuskan penduga komponen periodik bagi fungsi intensitas proses Poisson
yang dikaji.
2 Membuktikan kekonsistenan bagi penduga yang dikaji yaitu dengan
menunjukkan ketakbiasan asimtotik penduga dan kekonvergenan ragam
penduga.
3 Menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam dan Mean Square Error
(MSE) penduga.
4 Melakukan simulasi komputer untuk mengamati perilaku penduga dengan
kasus panjang interval waktu yang terbatas menggunakan fungsi kernel
seragam dengan tujuan sebagai berikut:
a) Menentukan bandwidth yang dapat meminimumkan MSE penduga.
b) Menentukan panjang interval pengamatan yang dapat menggambarkan
sifat-sifat asimtotik penduga berdasarkan kajian teoritis yang telah
dilakukan dengan menggunakan bandwidth yang telah diperoleh dari poin
a.
c) Memverifikasi kenormalan asimtotik penduga.
6
PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT-SIFAT STATISTIKNYA
Perumusan Penduga
Misalkan N merupakan proses Poisson non-homogen pada interval
dengan fungsi intensitas tidak diketahui dan diasumsikan terintegralkan lokal.
Dikaji kasus khusus, di mana fungsi intensitas ini merupakan eksponensial dari
fungsi periodik ditambah tren linear, sehingga untuk sembarang titik
,
fungsi intensitas dapat dinyatakan sebagai berikut
(
( (
,
(1)
di mana ( merupakan fungsi periodik yang tidak diketahui dengan periode
diketahui. Persamaan (1) dapat juga dituliskan menjadi
(
( .
(2)
(
( ( ))(
Karena
( ( ) juga merupakan fungsi periodik dengan periode , misalkan
(
( ( ), maka persamaan (2) menjadi
( .
(
(3)
( ( )(
Dari persamaan (3), karena diketahui maka untuk menduga ( cukup diduga
( . Karena (
komponen periodik dari fungsi intensitas tersebut, yaitu
merupakan fungsi periodik dengan periode
, maka untuk menduga (
pada
cukup diduga
(
pada
. Berdasarkan sifat
keperiodikan, untuk setiap titik
dan
, di mana merupakan
(
dapat dituliskan menjadi
himpunan bilangan bulat,
(
(
.
(4)
Pada penelitian ini, untuk menduga fungsi tersebut, digunakan metode
penduga tipe kernel umum. Pada penelitian ini dikaji penyusunan penduga
konsisten bagi ( pada
dengan hanya menggunakan realisasi tunggal
( dari proses Poisson dengan fungsi intensitas ( seperti pada persamaan
(3) yang diamati pada interval
. Realisasi ( tersebut terdefinisi dalam
suatu ruang probabilitas (
dengan
.
Misalkan
merupakan fungsi bernilai real. Fungsi
disebut
kernel jika memenuhi kondisi berikut (Helmers et al. 2003):
(K1) merupakan fungsi kepekatan peluang,
(K2) terbatas dan
(K3) memiliki daerah definisi berupa himpunan tertutup pada
.
Misalkan pula
adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol,
yaitu
(5)
untuk
, maka rumusan penduga tipe kernel bagi ( pada suatu titik
dengan menggunakan fungsi kernel K dapat disusun sebagai berikut
̂
(
∑
(
∫
(
(
(6)
Selanjutnya dijelaskan ide di balik penyusunan penduga bagi ( yaitu
( pada
dengan menggunakan data yang diamati pada interval
. Penyusunan penduga pada persamaan (6) mengikuti alur penyusunan
penduga tipe kernel yang telah dikerjakan Mangku (2011). Karena hanya tersedia
̂
7
sebuah realisasi dari suatu proses Poisson , maka untuk menduga
pada
sembarang titik harus mengumpulkan seluruh informasi yang diperlukan tentang
. Oleh karena itu, asumsi
nilai dari ( yang belum diketahui pada interval
sifat keperiodikan pada persamaan (4) sangat diperlukan untuk menduga fungsi
intensitas ini. Misalkan
dengan # menyatakan
banyaknya elemen, sehingga
(
(
∑
(7)
Menurut persamaan (3) dan (4) diperoleh
(
(
(
(8)
(
sehingga persamaan (7) dapat dituliskan menjadi
(
(
∑
(
Nilai fungsi (
interval
(
di titik dapat didekati dengan rata-rata nilai fungsi
, sehingga persamaan (9) menjadi
∑
(
∑
Dengan mengganti
stokastiknya yaitu (
dapat ditulis
(
(9)
∫
(
(
∑
(
(
(10)
dengan padanan
, maka persamaan (10)
(
(
∑
(
(
Dengan demikian, salah satu penduga bagi
̂
(
∑
̂
(
∑
pada
(
(
(
adalah sebagai berikut
(11)
Dalam penyusunan penduga pada persamaan (11), setiap data diberikan bobot
yang sama dalam menentukan rata-rata banyak kejadian pada interval
, sehingga persamaan (11) dapat ditulis menjadi
(
∫
(
(
dengan kernel umum yang memenuhi (K1),
( seperti pada persamaan (6)
(K2) dan (K3), maka diperoleh penduga ̂
yaitu
Dengan mengganti fungsi
8
̂
(
∑
(
∫
(
(
Kekonsistenan Penduga
Teorema 1 (Kekonsistenan)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
Jika kernel K memenuhi sifat (K1), (K2), (K3),
dan
maka
̂
(12)
( →
(
untuk
, asalkan
adalah titik Lebesque dari λ. Dengan kata lain,
̂
( adalah penduga konsisten bagi ( . Selain itu, Mean Squared Error
( konvergen ke 0, untuk n → yaitu
(MSE) dari ̂
̂
(
(13)
Bukti:
Untuk membuktikan Teorema di atas diperlukan ketakbiasan asimtotik dan
kekonvergenan ragam dari penduga, yang disajikan pada Lema 1 (Ketakbiasan
asimtotik) dan Lema 2 (Kekonvergenan ragam).
Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
Jika kernel K memenuhi sifat (K1), (K2), (K3) dan
, maka
̂
(14)
(
(
untuk n →
dengan syarat s adalah titik Lebesque dari . Dengan kata lain,
̂
( adalah penduga tak bias asimtotik bagi λc ( .
Bukti:
Membuktikan (14) sama dengan memperlihatkan bahwa
̂
(
(
(15)
Untuk memperlihatkan persamaan (15) dapat diperoleh dengan cara sebagai
( adalah
berikut. Berdasarkan (6) maka nilai harapan dari ̂
̂
(
∑
∑
∑
(
(
(
∫
∫
(
∫
Dengan mengganti peubah, misalkan
kanan persamaan (16) dapat ditulis
(
(
(
(
(
(
,
(
(16)
, maka ruas
9
∑
∫
(
(
∑
̂
(
∑
) (
∫
(
) λc (
∫
(
) λc (
(17)
(
memenuhi persamaan (3) maka
Karena fungsi intensitas
̂
(
(
(
Berdasarkan sifat keperiodikan pada persamaan (4) dapat ditulis
(
∫
(
) λc (
∫
(
) λc (
(
(
∑
(
(
(
(
(
∑
(
(18)
Perhatikan bahwa
∑
untuk
̂
(
. Maka persamaan (18) dapat ditulis
(
(
(
(
(
(
∫
(
) ∫
(
)) ∫
(
(
) λc (
(
(
(
λc ( )
λc ( )
)( (
∫
(
λc (
)( (
(
)) λc (
(
)
(
Karena fungsi kernel K memenuhi (K2), misalkan
(
(
(
(
konstanta dan karena
, maka
(
sehingga suku pertama pada ruas kanan persamaan (19) menjadi
(19)
adalah
untuk
10
(
(
)) ∫
(
(
λc ( )
)( (
(
))
( )
(
(
(
(
∫( (
( )
∫| (
( |
(20)
Karena adalah titik Lebesque dari , maka untuk
ruas kanan (20) adalah
( . Selanjutnya perhatikan suku kedua dari ruas kanan persamaan (19). Dengan
mengganti peubah, misalkan
,
, dapat ditulis
(
)) λc (
(
∫ (
(
( ) λc (
(21)
∫ (
(
Dengan deret Taylor (Lampiran 2), kita peroleh
(
(
(22)
untuk
. Dengan menyubstitusikan persamaan (22) ke ruas kanan
persamaan (21) dan K memenuhi (K1), maka ruas kanan persamaan (21) menjadi
( ) (
(
)λc (
∫ (
(
( )λc (
∫ (
( )λc (
(
(
untuk n → . Dari (20) dan (23) maka ruas kanan persamaan (19) menjadi
̂
(
(
(
(
(
( ,
untuk
. Dengan demikian Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik) terbukti.
(
(23)
(24)
Lema 2 (Kekonvergenan ragam)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
Jika kernel K memenuhi sifat (K1), (K2), (K3),
, terbatas di sekitar s ,
dan
untuk
maka
̂
(
(25)
untuk
.
11
Bukti:
Ragam dari ̂
̂
(
(
dapat dihitung sebagai berikut
∑
∑
(
∫
(
(
∫
(
(
(
(26)
dan
Untuk n yang cukup besar, maka interval
untuk
tidak saling tumpang tindih (overlap).
(
(
(
(
Sehingga
dan
adalah bebas untuk
.
Oleh karenanya ruas kanan dari persamaan (26) dapat dihitung sebagai berikut
∑
(
(
∫
(
Karena N adalah peubah acak Poisson, maka
̂
(
dapat ditulis
̂
(
∑
∑
(
(
(
Dengan mengganti peubah,
persamaan (28) menjadi
̂
(
∑
(
(
(
∫
(
(
misalkan
(
)
(27)
sehingga
(
(
∫
∫
( (
) (
(28)
maka
(29)
(
Dengan menggunakan persamaan (3) dan (4) maka persamaan (29) dapat ditulis
̂
(
(
∑
∑
(
(
∫
(
)
∫
(
)
(
(
(
12
(
∫
(
)
(
∫
(
)
(
(
∑
(
(
(
(
(
∑
(
(30)
(
Perhatikan bahwa, dengan menggunakan uji kekonvergenan deret geometri tak
hingga (Lampiran 2) diperoleh
∑
(
(
(31)
untuk
. Dari persamaan (31), maka persamaan (30) dapat dituliskan
sebagai berikut
̂
(
∫
(
(
(
(
)
∫
∫
(
(
(
)
(
)
Karena
terbatas di sekitar s maka
(
karena
maka
(32) dapat ditulis
̂
(
Karena K memenuhi kondisi (K2),
(
(
(
(
(
(32)
(
( untuk
(
∫
adalah konstanta dan
Sehingga persamaan
(
)
(33)
adalah konstanta, sehingga
diperoleh
̂
(
(
)
(34)
Berdasarkan asumsi pada Lema 2 (Kekonvergenan ragam) bahwa
,
untuk
, maka ruas kanan persamaan (34) kovergen ke nol. Sehingga
diperoleh
̂
(
untuk
. Dengan demikian Lema 2 (Kekonvergenan ragam) terbukti.
13
( )
Bukti Teorema 1 (kekonsistenan ̂
( , berdasarkan definisi kekonvergenan
( →
Untuk membuktikan ̂
dalam peluang, cukup ditunjukkan bahwa
,
(35)
( |
(
)
(| ̂
( |
(
) yaitu
untuk
Terlebih dahulu diuraikan (| ̂
( |
(
)
(| ̂
̂
̂
(36)
( |
(
(
(
| ̂
Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh
̂
( |
(
( | | ̂
(
( | |̂
(
|̂
Sehingga ruas kanan persamaan (36) menjadi
̂
( |
(
( | | ̂
(
)
(| ̂
̂
̂
̂
( |)
(
( |
(
|
(|
(37)
̂
(
Berdasarkan Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik), diperoleh bahwa
( untuk
, sehingga menurut definisi kekonvergenan barisan bilangan
nyata untuk setiap
terdapat sebuah bilangan N sedemikian rupa sehingga
jika
, maka
( |
(
| ̂
Sehingga diperoleh
( |
(
(| ̂
|̂
)
̂
(
|̂
(
Jadi, untuk membuktikan (35), cukup ditunjukkan
̂
( |
(
|̂
untuk
( |
̂
( |
(38)
. Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, diperoleh
̂
(
̂
̂
( |
(
|
Jadi tinggal dibuktikan bahwa
̂
(
(39)
untuk
Berdasarkan Lema 2 (Kekonvergenan ragam), maka (39) terbukti.
( merupakan penduga
Dengan demikian (35) terbukti. Dengan kata lain, ̂
yang konsisten bagi (
Berdasarkan definisi Mean Square Error
̂
(
̂
(
dengan
cukup dibuktikan bahwa
(
̂
̂
(
(
(
)
̂
(
̂
)
(
( . Berarti, untuk membuktikan (13)
̂
(
14
untuk
̂
Berdasarkan Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik),
̂
sehingga (
(
2 (Kekonvergenan ragam),
)
̂
disimpulkan bahwa
untuk
̂
(
(
Kemudian berdasarkan Lema
(
. Dengan demikian dapat
. Sehingga Teorema 1 terbukti.
Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan Mean Square Error (MSE)
Penduga
Pada bagian ini disajikan aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam, dan Mean
Square Error (MSE) penduga, yang hasilnya dapat juga dilihat pada Nasib et al.
(2014b)
Teorema 2 (Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3), terintegralkan lokal dan
memiliki turunan kedua berhingga pada . Jika kernel adalah simetrik dan
memenuhi sifat (K1), (K2), (K3),
, dan
untuk
maka
̂
untuk
.
(
(
(
(
∫
(
(
Bukti:
Berdasarkan (18) pada bukti Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik), maka nilai harapan
( dapat ditulis sebagai berikut
dari ̂
̂
(
Misalkan
̂
(
∫
(
∫ ( λc (
(
maka
(
Perhatikan bahwa
∑
(
(
∑
(
∑
jika
̂
) λc (
. Sehingga persamaan (40) menjadi
(
∫ ( λc (
(
( ) ∫ ( λc (
(
(
(40)
(41)
15
∫ ( λc (
(
( )
(42)
untuk
. Perhatikan bahwa karena λc memiliki turunan kedua berhingga di
sekitar , dengan menggunakan deret Taylor diperoleh
λc (
(
untuk
.
Sehingga diperoleh
(
λc (
λc (
λc (
(
λc (
λc (
(
(λc (
(
λc (
(
(
(
(
λc (
( )
(
(
(
(43)
(
Dengan menyubstitusikan (43) ke ruas kanan persamaan (42) diperoleh
̂
(
∫ (
λc (
λc (
(λc (
(
∫ (
λc (
( )
(
(λc (
(
(λc (
(
( )
(
( )
∫
)
∫
( )
(
(
(
(44)
Karena kernel memenuhi (K1) yakni merupakan fungsi kepekatan peluang yang
(
memiliki daerah definisi pada
, maka ∫
. Karena simetrik,
(
maka ∫
untuk
̂
untuk
(
̂
(
Perhatikan bahwa
. Sehingga diperoleh
(
(
(
dan
λc (
λc (
(
(
∫
(
λc (
λc (
(
(
∫
(
. Maka diperoleh aproksimasi asimtotik bagi bias ̂
(
(
adalah
(
16
̂
untuk
λc (
(
. Teorema 2 terbukti.
(
(
∫
(
(
Teorema 3 (Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
Jika kernel memenuhi sifat (K1), (K2), (K3),
, adalah titik Lebesque
bagi , maka
untuk
̂
(
(
(
(
(
(
(
∫
)
(
(45)
Bukti:
Berdasarkan bukti pada Lema 2 (Kekonvergenan ragam), maka ragam dari
̂
( dapat ditulis sebagai berikut
̂
(
∫
(
(
(
(
)
∑
(46)
(
(
Perhatikan bahwa, dengan menggunakan uji kekonvergenan deret geometri tak
hingga (Lampiran 2) diperoleh
(
(
(47)
∑
(
(
untuk
. Dengan menyubstitusi persamaan (47) ke ruas kanan persamaan
(46), diperoleh
̂
(
(
Karena
ditulis
̂
∫
(
∫
(
(
(
(
(
(
)
(
(
(
(
(
)
(
(
(
(
(
(
(
( ) ∫
( )
(
)
( )
(48)
( ) maka persamaan (48) dapat
( )
(
(
(
(
(
(49)
(
17
Karena kernel K memenuhi kondisi (K2) dan untuk
(
( jika
, sehingga
∫
(
(
)
(
( (
∫
( )
(
(
maka
( )
(
( |
∫| (
(50)
Karena adalah titik Lebesque dari maka ruas kanan dari pertidaksamaan (50)
adalah ( untuk
. Akibatnya, suku pertama pada ruas kanan persamaan
(49) menjadi
(
( )
(
(
(
∫
(
(
)
(
untuk
yaitu
( )
(
(
)
(
(
(
(
( )
(
(51)
Selanjutnya perhatikan suku kedua dari ruas kanan persamaan (49)
(
(
(
(
(
Dengan mengganti peubah, misalkan
( ) ∫
(
,
(
)
(52)
dan karena fungsi kernel K
memenuhi kondisi (K3) maka suku kedua pada ruas kanan persamaan (49) dapat
ditulis
(
(
(
(
(
( ) ∫
Dengan menggunakan deret Taylor diperoleh
Sehingga kuantitas pada (53) menjadi
(
(
(
(
(
( (
(
(
( ) ∫
(
( (
(
(
(
(
(
(53)
(
(
( ) ∫
(
untuk
18
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
∫
( ) ∫
(
(
(
(54)
)
untuk
Dengan menggabungkan persamaan (51) dan (54), maka
persamaan (49) menjadi
̂
untuk
(
(
(
(
(
(
(
∫
. Dengan demikian, Teorema 3 terbukti.
)
(
Teorema 4 (Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3), terintegralkan lokal, dan
memiliki turunan kedua berhingga pada Jika kernel
adalah simetrik dan
memenuhi sifat (K1), (K2), (K3),
dan
, maka
̂
λc (
(
untuk
(
(
.
(
(
(
(
(
(
(
∫
(
∫
(
(55)
)
Bukti:
Menurut Casela dan Berger (1990), Mean Squared Error (MSE) dari ̂
dapat dihitung sebagai berikut
̂
(
̂
(
(
̂
)
(
(
Berdasarkan Teorema 2 (Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga) yaitu
(
̂
(
̂
(
λc (
( λc (
(
)
λc (
(
(
(
(
(
(
∫
∫
∫
(
(
(
(
(56)
) (
untuk
Karena memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka
( . Akibatnya, persamaan (52) menjadi
(
19
(
̂
(
λc (
)
(
(
(
∫
(
Berdasarkan Teorema 3 (Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga) yaitu
̂
(
Sehingga MSE ̂
̂
untuk
(
(
(
(
(
(
(
diperoleh
λc (
(
(
(
(
(
∫
(
(
(
(
Dengan demikian, Teorema 4 terbukti.
∫
)
(
∫
(
(
(
)
PEMBAHASAN
Penjelasan dari Beberapa Lema dan Teorema yang Dikaji
Pada penelitian ini dilakukan pendugaan terhadap suatu parameter.
Pendugaan terhadap suatu parameter tertentu dilakukan untuk memperoleh nilai
taksiran atau hampiran berdasarkan sampel statistik, karena pada umumnya nilai
parameter suatu distribusi tidak diketahui. Pada penelitian ini dilakukan
pendugaan terhadap fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi periodik
ditambah tren linear suatu proses Poisson non-homogen. Parameter yang tidak
diketahui adalah komponen periodik yang didefinisikan pada persamaan (3), yaitu
( , sehingga untuk menduga fungsi intensitas ( ) cukup dengan hanya
menduga komponen periodiknya. Dalam menduga fungsi periodik ini digunakan
metode non-parametrik, yaitu metode penduga tipe kernel. Metode ini merupakan
metode penduga yang tidak mengasumsikan bentuk apapun dari fungsi (
kecuali fungsi tersebut merupakan fungsi periodik. Metode penduga tipe kernel
yang dipilih adalah kernel umum, dimana untuk sembarang kernel dapat
digunakan.
Pada perumusan penduga telah dirumuskan penduga bagi ( yaitu
̂
( yang dapat dilihat pada persamaan (6). Penduga yang baik apabila
memenuhi sifat-sifat yaitu (i) tak bias, jika nilai harapan penduga sama dengan
nilai yg diduga, (ii) efisien, jika penduga memiliki ragam yang konvergen ke nol,
(iii) konsisten, jika ukuran sampel semakin bertambah maka penduga akan
mendekati parameternya. Oleh karenanya telah dilakukan pengkajian dan
( sehingga penduga tersebut
pembuktian bagi kekonsistenan penduga ̂
̂
( memiliki sifat penduga yang termasuk ke dalam
dikatakan baik.
20
kategori sifat penduga asimtotik, yaitu sifat tersebut hanya dapat didekati ketika
ukuran sampel semakin membesar.
( dibuktikan terlebih dahulu bahwa
Dalam mengkaji kekonsistenan ̂
penduga tersebut memenuhi sifat ketakbiasan asimtotik dan kekonvergenan ragam
menuju nol. Pada saat membuktikan penduga tersebut tak bias asimtotik yakni
dengan menunjukkan bahwa limit dari nilai harapan penduga sama dengan
parameter yang diduga, hal ini telah dikaji dan ditunjukkan dalam Lema 1
(Ketakbiasan asimtotik). Sedangkan untuk menunjukkan penduga tersebut
memiliki ragam yang konvergen ke nol, telah dikaji pada Lema 2 (kekonvergenan
ragam). Selain kekonsistenan penduga yang diperlukan dalam menunjukkan
bahwa penduga tersebut adalah penduga yang baik yakni penduga tersebut tak
bias dan memiliki ragam terkecil secara bersamaan maka diperlukan Mean
Squared Error (MSE) yang konvergen ke nol. Hal ini telah dibuktikan dalam
Teorema 1 (kekonsistenan penduga). Semakin kecil nilai MSE yang dihasilkan,
maka semakin baik penduga tersebut. Oleh karenanya diperlukan asumsi
dengan
pada persamaan (20) dan (21) untuk bisa menunjukkan penduga
tersebut tak bias asimtotik dan
dengan
pada persamaan (34)
sehingga ragam penduga konvergen ke nol.
Kemudian pada Teorema 2, Teorema 3 dan Teorema 4 dikaji aproksimasi
asimtotik bagi bias, ragam dan MSE penduga. Aproksimasi asimtotik tersebut
merupakan nilai pendekatan bagi bias, ragam dan MSE penduga yang digunakan
ketika interval pengamatan [0,n] tidak menuju tak hingga. Pada Teorema 4
(Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga), nilai suku pertama persamaan (55)
akan meningkat jika nilai
(bandwith) semakin diperbesar. Hal ini
mengakibatkan nilai MSE penduga semakin besar. Sedangkan nilai suku kedua
(
persamaan (55) semakin menurun jika
. Agar penduga ̂
merupakan penduga yang baik yakni nilai MSE penduga konvergen ke nol, maka
suku pertama dan suku kedua dari persamaan (55) harus bernilai kecil. Oleh
karena itu, diperlukan asumsi
dan
untuk
. Berdasarkan
asumsi tersebut pemilihan bandwith menjadi hal yang penting.
Simulasi Sifat-Sifat Statistik Penduga
Pada bagian ini dilakukan simulasi kajian sifat-sifat statistik penduga bagi
komponen periodik dari fungsi intensitas proses Poisson yang dikaji, yang
hasilnya dapat juga dilihat pada Nasib et al. (2014a). Simulasi dilakukan secara
komputasi dengan bantuan perangkat lunak R. Program R untuk simulasi ini
terdapat pada Lampiran 3. Data yang digunakan pada simulasi ini merupakan data
bangkitan pada interval waktu pengamatan
dengan yang terbatas. Metode
yang digunakan untuk membangkitkan realisasi dari proses Poisson tersebut
adalah metode Monte Carlo sebanyak 500 kali ulangan. Tujuan dari simulasi ini
adalah menentukan bandwidth yang dapat meminimumkan MSE, menentukan
(
nilai n yang cukup dapat menggambarkan sifat-sifat asimtotik dari ̂
( yang kurang dari
(dalam hal ini nilai n yang dapat menghasilkan MSE ̂
0.05), dan memverifikasi kenormalan asimtotik penduga. Berdasarkan tujuan
tersebut, simulasi dilakukan dalam tiga tahap yaitu:
21
Gambar 1 Grafik fungsi (
a) Menentukan bandwidth yang dapat meminimumkan MSE
( kurang dari
b) Menentukan nilai n yang dapat menghasilkan MSE ̂
0.05 dengan menggunakan bandwidth yang telah diperoleh sebelumnya
c) Memverifikasi kenormalan asimtotik penduga.
Sebagai ilustrasi, maka fungsi intensitas yang digunakan dalam simulasi ini
adalah
(
[
(
(
))] (
(
Gambar 2 Grafik fungsi ( (—) beserta penduganya (-oo-) pada
interval pengamatan. (a) [0,9]; (b) [0,13]
(57)
22
dengan
merupakan komponen periodik dari ( . Pada simulasi
ini dipilih nilai
ya ng merupakan periode, sehingga grafik fungsi (
pada persamaan (57) ditunjukkan dalam Gambar 1. Penduga bagi komponen
periodik dari fungsi intensitas proses Poisson non-homogen yang digunakan
adalah penduga yang telah didefinisikan pada persamaan (6). Karena fungsi kernel
pada persamaan (6) merupakan kernel umum, maka pada simulasi ini dipilih
fungsi kernel seragam, yaitu dengan mengganti (
dengan
.
Selanjutnya dapat dilihat ilustrasi grafik fungsi intensitas ( beserta nilai
dugaannya dengan menggunakan bandwidth 0.0125 dan realisasi pada interval
waktu pengamatan [0,9] dan [0,13] yang ditampilkan pada Gambar 2a dan 2b.
Gambar 3 Grafik bandwith (—) yang meminimumkan MSE
penduga fungsi intensitas (
Gambar 4 Grafik MSE penduga fungsi intensitas (
(—)
23
Berdasarkan ilustrasi grafik fungsi intensitas ( beserta nilai dugaannya
yang disajikan pada Gambar 2a dan 2b, terlihat bahwa penduga bagi fungsi
intensitas dengan menggunakan interval waktu pengamatan [0,13] jauh lebih baik
dibandingkan dengan menggunakan interval waktu pengamatan [0,9]. Hal ini
dikarenakan penduga pada ilustrasi Gambar 2a masih jauh dengan fungsi
intensitas sebenarnya dibandingkan dengan ilustrasi penduga pada Gambar 2b.
Oleh sebab itu, untuk nilai n yang lebih besar, penduga yang dihasilkan akan lebih
mendekati fungsi intensitas sebenarnya.
Selanjutnya untuk menunjukkan hasil yang maksimal dilakukan simulasi
tahap pertama yaitu menentukan bandwidth yang dapat meminimumkan MSE.
Pada tahapan ini, simulasi dilakukan dengan menganti-ganti nilai bandwidth.
Penentuan bandwidth diambil secara sembarang sebanyak 15 yang berkisar antara
0.0115-0.0129 dengan panjang interval waktu [0,10] (hasil simulasi pada
Lampiran 4). Hasil simulasi menunjukkan bahwa pada kisaran 0.0115-0.0129
diperoleh nilai MSE minimum yaitu 0.06899192 pada bandwidth 0.0128. Hasil
simulasi tahap pertama ini ditampilk an dalam Gambar 3.
Tahapan selanjutnya, dilakukan simulasi untuk menentukan nilai n yang
cukup dapat menggambarkan sifat-sifat asimtotik penduga, yaitu nilai n yang
menghasilkan MSE penduga kurang dari 0.05 dengan menggunakan nilai
bandwidth yang diperoleh dari simulasi tahap pertama yaitu 0.0128. Simulasi
yang dilakukan sebanyak 26 kali dengan mengganti nilai n diperoleh MSE
penduga yang kurang dari 0.05 yaitu 0,04934106 pada interval waktu pengamatan
Gambar 5 Histogram normalitas asimtotik nilai dugaan fungsi intensitas ( .
(a) titik s = 0.412; (b) titik s =0.425; (c) titik s = 0.439
24
[0,13]. Hasil simulasi ini dapat dilihat dalam Lampiran 4. Dengan demikian, jika
nilai n semakin diperbesar maka nilai MSE penduga semakin kecil. Pengaruh nilai
n terhadap MSE penduga ditunjukkan pada Gambar 4.
Simulasi pada tahap ketiga ini bertujuan untuk memverifikasi kenormalan
asimtotik penduga. Maksud dari simulasi pada tahap ini, ingin mengetahui apakah
distribusi dari penduga mengikuti atau mendekati distribusi normal, yakni
distribusi dengan bentuk lonceng (bell shaped). Penduga yang baik adalah
penduga yang mempunyai pola seperti distribusi normal, yaitu distribusi penduga
tersebut tidak menceng ke kiri atau ke kanan. Untuk memverifikasi kenormalan
asimtotik penduga dilakukan pendugaan fungsi intensitas di suatu titik dengan
menggunakan 3 titik yang mewakili nilai ( kecil, sedang, dan besar. Titik
mewakili ( yang
yang digunakan yaitu
dengan (
mewakili ( yang sedang, dan
kecil,
dengan (
(
(
yang besar. Simulasi
mewakili
dengan
dilakukan sebanyak 500 kali ulangan pada interval waktu pengamatan [0,10] dan
bandwidth 0.0128. Selanjutnya 500 nilai dugaan yang diperoleh untuk masingmasing tiga titik tersebut, dianalisis menggunakan histogram untuk diperlihatkan
bahwa nilai dugaan tersebut berdistribusi normal (Gambar 5).
Terlihat bahwa penduga bagi ( dapat dikatakan mendekati distribusi
Gambar 6 Grafik normalitas asimtotik nilai dugaan fungsi intensitas (
(a) titik s = 0.412; (b) titik s = 0.425; (c) titik s = 0.439
(oo).
25
normal. Hal ini dikarenakan bahwa pada Gambar 5, distribusi nilai dugaan di
setiap titik membentuk lonceng (bell shaped) dan nilai dugaan tersebut tidak
menceng ke kiri atau ke kanan. Selanjutnya untuk lebih memperlihatkan
kenormalan penduga, dilakukan simulasi dengan mengecek kenormalan di tiap
titik menggunakan built in function qq-norm dan qq-line pada R. Hasil dari
simulasi ini ditunjukkan pada Gambar 6. Pada grafik normalitas yang disajikan
dalam Gambar 6, nilai dugaan bagi fungsi intensitas ( menyebar di sekitar
garis diagonal dan mengikuti arah garis diagonal. Dari grafik pula dapat dilihat
bahwa ketika nilai dugaan semakin mendekati titik 0 maka semakin mendekati
pula garis normal. Hal ini menunjukkan bahwa nilai dugaan tersebut mendekati
distribusi normal.
SIMPULAN
Berdasarkan hasil kajian
DARI FUNGSI PERIODIK DITAMBAH TREN LINEAR
PADA PROSES POISSON NON-HOMOGEN
SALMUN K. NASIB
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pendugaan Fungsi
Intensitas Berbentuk Eksponensial dari Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear
Pada Proses Poisson Non-Homogen adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, September 2014
Salmun K. Nasib
NIM G551120011
RINGKASAN
SALMUN K. NASIB. Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari
Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear pada Proses Poisson Non-Homogen.
Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO.
Proses stokastik merupakan model yang berkaitan dengan suatu aturanaturan peluang. Proses ini banyak digunakan untuk memodelkan suatu kejadian
yang mengandung ketidakpastian atau sistem yang dijalankan pada suatu
lingkungan yang dapat diduga. Proses Poisson periodik merupakan salah satu
bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Sebagai contoh dapat
dibuat sebuah model yang digunakan untuk memprediksi kedatangan pelanggan
pada suatu pusat layanan seperti supermarket, kedatangan atau antrian nasabah di
bank, dan sebagainya.
Pada suatu proses Poisson periodik, laju kejadian atau fenomena yang
terjadi pada waktu tertentu dikenal dengan fungsi intensitas. Misalkan, pada
proses kedatangan pelanggan ke pusat layanan (customer service) dengan periode
satu hari, fungsi intensitas menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu
Namun, jika laju kedatangan pelanggan tersebut meningkat mengikuti suatu
fungsi tren terhadap waktu, maka model yang sesuai untuk kasus ini adalah proses
Poisson periodik dengan suatu tren. Oleh karenanya dalam banyak penerapan
diperlukan penduga untuk fungsi intensitas dari proses Poisson periodik tersebut.
Pada penelitian ini dikaji pendugaan bagi fungsi intensitas berbentuk
eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear. Metode yang digunakan
untuk menduga fungsi intensitas tersebut adalah metode non-parametrik tipe
kernel umum. Penelitian ini memiliki empat tujuan, yaitu: (1) Merumuskan
penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari penjumlahan antara
fungsi periodik dan tren linear suatu proses Poisson non-homogen menggunakan
kernel umum, (2) Membuktikan kekonsistenan bagi penduga yang dikaji, (3)
Menentukan aproksimasi asimtotik berturut-turut bagi bias, ragam dan Mean
Square Error (MSE) penduga, (4) Melakukan simulasi komputer untuk
mengamati perilaku penduga dengan kasus panjang interval waktu yang terbatas.
Misalkan N merupakan proses Poisson non-homogen pada interval
dengan fungsi intensitas tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan
lokal dan merupakan eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear.
Sehingga untuk sembarang titik
kita dapat menuliskan fungsi
intensitas sebagai berikut
(
( (
di mana ( merupakan fungsi periodik yang tidak diketahui dengan periode
diketahui.
Persamaannya
dapat
juga
dituliskan
menjadi
(
(
(
( ( ))(
Karena
( ( ) juga merupakan fungsi
( ( ), maka secara umum
periodik dengan periode , misalkan (
fungsi intensitas dapat ditulis sebagai berikut
(
(
( ( )(
Karena diketahui maka masalah pendugaan ( dapat disederhanakan
menjadi masalah pendugaan komponen periodik dari fungsi intensitas tersebut
( . Berdasarkan sifat keperiodikan, untuk setiap titik
dan
yaitu
, di mana
menjadi
(
merupakan himpunan bilangan bulat,
dapat dituliskan
(
(
Penyusunan penduga tipe kernel tersebut hanya menggunakan realisasi tunggal
(
dari proses Poisson yang diamati pada interval
. Realisasi (
terdefinisi dalam suatu ruang probabilitas (
dengan
.
(
dari fungsi intensitas
Rumusan penduga tipe kernel bagi komponen
proses Poisson periodik yang dikaji adalah
̂
(
∑
(
∫
(
(
Dari hasil kajian yang dilakukan dengan suatu syarat tertentu, diperoleh
hasil sebagai berikut:
( merupakan penduga yang tak bias asimtotik bagi (
(i) Penduga ̂
(
dan memiliki ragam yang konvergen menuju nol, sehingga ̂
̂
(
adalah penduga yang konsisten bagi ( dengan
untuk
.
(ii) Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga adalah
̂
(
(
(
(
(
untuk
(iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga adalah
̂
(
(
(
(
(
(
∫
(
∫
(
(
)
untuk
(iv) Aproksimasi asimtotik bagi Mean Square Error (MSE) penduga adalah
̂
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
∫
∫
(
(
(
)
untuk
(v) Berdasarkan simulasi yang dilakukan dengan menggunakan fungsi kernel
seragam dan data bangkitan diperoleh bahwa perilaku penduga
dipengaruhi oleh pilihan bandwidth yang meminimumkan MSE serta
semakin besar interval pengamatan yang digunakan, maka semakin kecil
nilai MSE penduga.
Kata kunci: bandwidth, eksponensial, kekonsistenan, penduga tipe kernel, proses
Poisson non-homogen.
SUMMARY
SALMUN K. NASIB. Estimating the Intensity Obtained as Exponential of a
Periodic Function Plus Linear Trend of a Non-homogeneous Poisson Process.
Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI SUMARNO.
A stochastic process is related to a probability rule. This process is widely
used to model an event that contains uncertainties or systems that run on an
unpredictable environment. Periodic Poisson process is a special case of
continuous time stochastic processes. As an example, it can be made a model for
predicting the arrival of customers at a service center such as supermarket, or the
arrival of customers queuing at the bank.
In a periodic Poisson process, the rate of events or phenomena that occur at
a given time is known as the intensity function. Suppose that, on the arrival
process of customers to a service center (customer service) with a one-day period,
the intensity function expressed the customer’s arrival rate at time s. However, if
the customer’s arrival rate increases follow a trend, then the more appropriate
model for this case is a periodic Poisson process with a trend. Therefore, in many
applications it is required to estimate the intensity function of the periodic Poisson
process.
In this manuscript, estimation of intensity function obtained as exponential
of a periodic function plus a linear trend is studied. The method used to estimate
this intensity function is a non-parametric method using general function. This
study has four objectives, namely: (1) To formulate estimators for the intensity
function obtained as exponential of the sum of a periodic function and a linear
trend of non-homogeneous Poisson process using general kernel, (2) To prove
consistency of the proposed estimators, (3) To obtain asymptotic approximations
to the bias, variance and the Mean Square Error (MSE) of the estimators, (4) To
conduct computer simulations to observe the behavior of estimators in the case of
finite length time interval.
Suppose is a non-homogeneous Poisson process on the interval
with unknown intensity function . It is assumed that this intensity function is
locally integrable and exponential of a periodic function plus linear trend. Hence,
for any point
, we can write the intensity function λ as follows
(
( (
where ( is unknown periodic function with known period This equation can
(
also be written as (
(
( ( ))(
Because
( ( ) is also a
( ( ) , then the intensity
periodic function with period , let (
function can be written as follows
(
(
( ( )(
Since known, the problem to estimate ( can be simplified by only
estimating the periodic component ( of the intensity function Based on the
properties of periodic function, for every point
and
where is
(
can be written as
the set of integers,
(
(
Formulation of the kernel-type estimators only using a single realization of
( of the Poisson process which is observed in the interval
. Realization
(
of
is defined in a probability space (
with
.
Kernel-type estimators for ( can be formulated as follows
̂
(
∑
(
∫
(
(
From the results of studies conducted with a certain conditions, it is
obtained the following results:
( are asymptotically unbiased estimators for (
(i) The estimators ̂
( are
and their variances converge to zero as
so that ̂
̂
(
as
.
consistent estimators for ( and
(ii) The asymptotic approximation to the bias is given by
̂
(
(
(
(
(
as
.
(iii) The asymptotic approximation to the variance is given by
̂
(
(
(
(
(
(
∫
(
∫
(
(
)
as
(iv) The asymptotic approximation to the Mean Square Error (MSE) is given
by
̂
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
∫
∫
(
(
(
)
as
.
(v) Based on the performed simulations using a uniform kernel function and
generated data, it is obtained that the behavior of the estimator is
influenced by the choice of the bandwidth that minimizes the MSE of the
estimator and the larger is the observation interval, the smaller is the value
of the MSE of the estimator.
Keywords: bandwidth, consistency, exponential, kernel-type estimator, nonhomogeneous Poisson process.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK EKSPONENSIAL
DARI FUNGSI PERIODIK DITAMBAH TREN LINEAR PADA
PROSES POISSON NON-HOMOGEN
SALMUN K. NASIB
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Penguji luar komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS
Judul Tesis : Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari Fungsi
Periodik Ditambah Tren Linear pada Proses Poisson NonHomogen
Nama
: Salmun K. Nasib
NIM
: G551120011
Disetujui oleh
Komisi Pembimbing
Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
Ketua
Dr Ir Hadi Sumarno, MS
Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Jaharuddin, MS
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
Tanggal Ujian: 27 Agustus 2014
Tanggal Lulus: 3 September 2014
PRAKATA
Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Puji syukur senantiasa tetap kita haturkan kepada Allah subhanahu wa
ta’ala atas rahmat dan kuasanya sehingga penelitian ini dapat diselesaikan.
Penelitian ini dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 sampai Agustus 2014 dengan
mengambil judul Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari
Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear pada Proses Poisson Non-homogen.
Penulis menyadari bahwa penelitian ini masih terdapat kekurangan. Oleh
karena itu, saran dan kritik yang sifatnya membangun sangat dibutuhkan untuk
kesempurnaan penelitian ini, sehingga dapat menjadi masukan dalam penyusunan
penelitian lainnya.
Ucapan terima kasih kepada Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc dan Dr Hadi
Sumarno, MS selaku pembimbing atas semua ilmu, saran, kesabaran, dan
motivasinya. Terimakasih juga penulis ucapkan kepada Dr Ir Endar Hasafah
Nugrahani, MS selaku penguji yang telah memberikan saran. Penghargaan penulis
sampaikan kepada keluarga besar Departemen Matematika FMIPA IPB yang telah
membantu selesainya penelitian ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih
kepada Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa
Unggulan 2012. Ungkapan terima kasih disampaikan kepada ayah, ibu, suami
serta seluruh keluarga, atas doa, dukungan dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat
Bogor, September 2014
Salmun K. Nasib
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
1
1
2
TINJAUAN PUSTAKA
Proses Stokastik
Proses Poisson Periodik
Pendugaan Fungsi Intensitas pada Proses Poisson Periodik
Pendugaan Fungsi Intensitas pada Proses Poisson Periodik dengan Tren
Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial pada Proses Poisson
Periodik
2
2
2
3
4
METODE PENELITIAN
5
4
PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT-SIFAT STATISTIKNYA
6
Perumusan Penduga
6
Kekonsistenan Penduga
8
Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan Mean Square Error (MSE)
Penduga
14
PEMBAHASAN
Penjelasan dari Beberapa Lema dan Teorema yang Dikaji
Simulasi Sifat-Sifat Statistik Penduga
19
19
20
SIMPULAN
25
DAFTAR PUSTAKA
26
LAMPIRAN
28
RIWAYAT HIDUP
36
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
Grafik fungsi (
Grafik fungsi ( (—) beserta penduganya (-oo-) pada interval
pengamatan. (a) [0,9]; (b) [0,13]
Grafik bandwith (—) yang meminimumkan MSE penduga fungsi
intensitas (
Grafik MSE penduga fungsi intensitas ( (—)
Histogram normalitas asimtotik nilai dugaan fungsi intensitas ( . (a)
titik s = 0.412; (b) titik s =0.425; (c) titik s = 0.439
Grafik normalitas asimtotik nilai dugaan fungsi intensitas ( (oo). (a)
titik s = 0.412; (b) titik s = 0.425; (c) titik s = 0.439
21
21
22
22
23
24
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Beberapa Definisi, Teorema, dan Lema teknis
Bukti beberapa persamaan
Program R untuk simulasi
Hasil simulasi menggunakan kernel seragam
28
30
31
34
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak fenomena atau kejadian yang dapat
dimodelkan dengan proses Poisson. Proses Poisson merupakan bentuk khusus dari
proses stokastik dengan waktu kontinu. Proses ini banyak digunakan untuk
memodelkan suatu kejadian yang mengandung ketidakpastian atau sistem yang
dijalankan pada suatu lingkungan yang dapat diduga. Misalkan, proses kedatangan
pelanggan dalam suatu pusat layanan atau servis (bank, kantor pos, supermarket,
dan sebagainya), tingkat intensitas curah hujan di suatu daerah dalam selang
waktu tertentu, dan banyaknya kertas fotokopi yang dibutuhkan suatu perusahaan
percetakan dalam selang waktu tertentu.
Pada suatu proses Poisson, laju kejadian atau fenomena yang terjadi pada
waktu tertentu dikenal dengan fungsi intensitas. Misalkan, pada proses kedatangan
pelanggan ke pusat layanan (customer service) dengan periode satu hari, fungsi
intensitas menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu Proses Poisson
menurut fungsi intensitasnya dibagi menjadi dua, yaitu proses Poisson homogen
dan non-homogen. Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan fungsi
intensitas konstan (homogen). Sedangkan proses Poisson non-homogen
merupakan proses Poisson dengan fungsi intensitas yang tidak konstan. Proses
Poisson non-homogen yang fungsi intensitasnya berupa fungsi periodik disebut
proses Poisson periodik. Beberapa fenomena yang dapat dimodelkan dengan
proses Poisson periodik diantaranya adalah fenomena dalam bidang hidrologi,
asuransi, dan seismologi (Helmers et al. 2003). Pada penelitian ini difokuskan
pada proses Poisson non-homogen.
Pada pemodelan stokastik dari suatu fenomena yang dimodelkan dengan
proses Poisson periodik, fungsi intensitas dari proses tersebut umumnya belum
diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut.
Metode penduga yang digunakan dimaksudkan sebagai nilai pendekataan dari
fungsi aslinya. Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas dari
proses Poisson di titik s yaitu dengan menaksir rata-rata terjadinya kejadian proses
Poisson tersebut dalam selang waktu di sekitar titik s. Ada beberapa metode nonparametrik untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang dapat
digunakan, diantaranya adalah metode penduga non-parametrik tipe kernel.
Jika laju kejadian meningkat berdasarkan suatu fungsi terhadap waktu maka
model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan
menyertakan komponen tren. Model fungsi intensitas pada proses Poisson
periodik untuk jangka panjang pada banyak kasus tidak relevan sehingga perlu
mengakomodasi kehadiran suatu tren baru. Misalkan saja, ada kejadian atau
fenomena dalam selang waktu tertentu meningkat mengikuti suatu fungsi
eksponensial maka harus ada model penduga yang tepat dari fungsi intensitas
untuk dapat mengakomodasi adanya tren ini. Pada penelitian ini dikaji kasus
khusus pendugaan bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi
periodik ditambah tren linear pada proses Poisson non-homogen.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1 Merumuskan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari
penjumlahan antara fungsi periodik dan tren linear suatu proses Poisson nonhomogen menggunakan kernel umum.
2 Membuktikan kekonsistenan bagi penduga yang dikaji.
3 Menentukan aproksimasi asimtotik berturut-turut bagi bias, ragam dan Mean
Square Error (MSE) penduga.
4 Melakukan simulasi komputer untuk mengamati perilaku penduga dengan
kasus panjang interval waktu yang terbatas.
TINJAUAN PUSTAKA
Proses Stokastik
(
Proses stokastik
adalah suatu himpunan dari peubah acak
yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu state ( . ( adalah suatu
peubah acak, dengan adalah elemen dari . Kita sering menginterpretasikan
sebagai waktu dan (t sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu . Suatu
proses stokastik
disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika
merupakan suatu interval (Ross 2010).
Proses stokastik dengan waktu kontinu
(
disebut memiliki
inkremen bebas jika untuk semua
, peubah acak
(
(
(
(
(
(
adalah saling bebas (Ross
2010). Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu (t t
disebut memiliki
inkremen stasioner jika (t
(t memiliki sebaran yang sama untuk semua
nilai t (Ross 2010).
Suatu proses stokastik (t t
disebut proses pencacahan jika (t
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu . Dari definisi
tersebut, maka suatu proses pencacahan (t harus memenuhi syarat-syarat
berikut (Ross 2010):
1 (t
untuk setiap t
.
2 Nilai (t adalah integer.
3 Jika
t maka (t
( di mana t
.
4 Untuk
t maka (t
( sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi
pada selang ( t .
Proses Poisson Periodik
(
Suatu proses pencacahan
disebut proses Poisson homogen
dengan laju ,
, jika dipenuhi tiga syarat berikut (Ross 2010):
1 (
.
2 Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
3
3 Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang ,
memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan . Jadi untuk semua ,
,
(
( (
(
.
Dari syarat 3 bisa kita ketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang
stasioner serta diperoleh bahwa ( ( )
.
(
Suatu proses pencacahan
disebut proses Poisson nonhomogen dengan fungsi intensitas (
, jika (Ross 2010):
1 (
.
(
2
memiliki inkremen bebas.
(
(
( .
3
(
(
(
4
( , dengan
.
(
Laju dari suatu proses Poisson non-homogen
, yaitu (
disebut fungsi intensitas proses Poisson pada (Ross 2010). Intensitas lokal dari
suatu proses Poisson non-homogen dengan fungsi intensitas pada titik
adalah ( , yaitu nilai fungsi di (Cressie 1993).
Suatu fungsi disebut periodik jika (
( , untuk semua
dan
, dengan adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil yang
memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi intensitas tersebut
(Browder 1996).
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi
intensitasnya adalah fungsi periodik. Berdasarkan sifat keperiodikan dari fungsi
intensitas , dapat disusun penduga konsisten bagi pada sembarang titik yang
diberikan dengan hanya menggunakan realisasi tunggal. Hal ini dikarenakan
dalam pendugaan pada sembarang titik , tidak hanya dapat menggunakan
informasi di sekitar
saja, tetapi juga dapat menggunakan informasi di
sekitar
, untuk sembarang , asalkan
(Mangku 2001).
Pendugaan Fungsi Intensitas pada Proses Poisson Periodik
Pada proses Poisson periodik, ada beberapa metode non-parametrik untuk
menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, di antaranya adalah
metode penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat (nearest neighbor
estimation). Dua metode tersebut telah digunakan untuk menduga secara
konsisten fungsi intensitas lokal suatu proses Poisson periodik dengan periode
diketahui (Helmers dan Mangku 2000).
Fungsi intensitas suatu proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson
tersebut. Fungsi intensitas dibedakan menjadi 2, yaitu fungsi intensitas lokal dan
fungsi intensitas global. Pendugaan fungsi intensitas lokal pada suatu proses
Poisson periodik di suatu titik dapat dihampiri dengan rata-rata banyaknya
kejadian proses Poisson tersebut di sekitar titik . Secara matematis dapat
dituliskan sebagai
hn hn
hn
dengan
,
dan (
adalah banyaknya kejadian yang terjadi
pada interval waktu
.
4
Dalam pendugaan fungsi intensitas pada suatu proses Poisson periodik dapat
dibedakan menjadi dua, yaitu jika periodenya diketahui dan tidak diketahui.
Untuk menduga fungsi intensitas yang periodenya tidak diketahui lebih rumit jika
dibandingkan dengan situasi dimana periodenya diketahui. Meskipun demikian,
Helmers et al. (2003) telah mengkaji kekonsistenan penduga tipe kernel dari
fungsi intensitas untuk suatu proses Poisson periodik yang tidak diketahui
periodenya. Kasus pendugaan fungsi intensitas yang periodenya diketahui telah
dilakukan kajian perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian kekonvergenan
lemah dan kuat dari penduga tersebut (Mangku 2006a) dan pembuktian
kenormalan asimtotik dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006b).
Pendugaan Fungsi Intensitas pada Proses Poisson Periodik dengan Tren
Dalam proses Poisson periodik, umumnya bentuk fungsi intensitas pada
periode sebelumnya dengan sesudahnya memiliki pola yang serupa sehingga
memungkinkan kita untuk dapat memprediksi atau menduga suatu kejadian pada
periode berikutnya. Jika laju kejadian antara periode sebelumnya dan berikutnya
meningkat berdasarkan suatu fungsi terhadap waktu, maka model yang lebih tepat
untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan menyertakan komponen
tren. Sehingga dalam jangka waktu yang panjang model bagi proses Poisson
periodik ini memerlukan fungsi intensitas yang mengakomodasi adanya suatu
tren. Penelitian mengenai pendugaan fungsi intensitas proses Poisson periodik
dengan menyertakan komponen tren terus berkembang. Pada beberapa penelitian
sebelumnya telah dirumuskan suatu penduga bagi fungsi intensitas dari proses
Poisson berupa fungsi periodik ditambah dengan tren linear (Helmers dan
Mangku 2009). Kemudian Farida (2008) mengkaji penduga fungsi intensitas
yang berupa fungsi periodik ditambah dengan tren fungsi pangkat. Selanjutnya
berkembang lagi perumusan penduga bagi fungsi intensitas yang berupa perkalian
fungsi periodik dengan tren linear (Mangku 2011). Taslim (2011) juga
merumuskan penduga bagi fungsi intensitas yang berupa perkalian fungsi periodik
dengan tren kuadratik. Penelitian terbaru, telah dikaji penduga bagi fungsi
intensitas berupa perkalian fungsi periodik dengan tren fungsi pangkat (Erliana et
al. 2014).
Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial pada Proses Poisson
Periodik
Kajian tentang perumusan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk
eksponensial, telah dikerjakan oleh Lewis (1972). Lewis mengkaji perumusan
penduga bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson menggunakan asumsi bahwa
model tersebut berbentuk eksponensial kuadratik dan periodik dengan melibatkan
beberapa komponen parametrik. Untuk merumuskan penduga tersebut, digunakan
metode penduga maximum likelihood. selanjutnya Helmers dan Zikitis (1999)
juga mengkaji hal yang serupa yang telah dikerjakan oleh Lewis dengan
menggunakan rumusan fungsi intensitas yang sama. Namun, untuk merumuskan
penduga tersebut, digunakan metode penduga tipe kernel umum. Vere-Jones
5
(1982) juga telah menggunakan rumusan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk
eksponensial dengan melibatkan komponen parametrik pada proses Poisson.
Rumusan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial ini diterapkan
dalam ilmu seismologi seperti gempa bumi.
Pada penerapannya, aplikasi model fungsi intensitas yang menyertakan
komponen parametrik sangatlah terbatas. Komponen periodiknya bersifat implisit
sehingga sulit untuk diterapkan dan kemungkinan model ini keliru dalam
penerapan secara langsung. Karena tidak semua kasus atau fenomena sesuai
dengan model fungsi intensitas tersebut. Oleh karena itu, diperlukan model fungsi
intensitas tanpa mengasumsikan bentuk parametrik. Model fungsi intensitas yang
dimaksudkan adalah model tanpa komponen parametrik dimana komponen
periodiknya berupa fungsi yang belum diketahui, jadi bisa menggunakan fungsi
apapun.
Pada penelitian ini diperkenalkan model bagi fungsi intensitas tanpa
mengasumsikan komponen parametrik, yaitu mengkaji penduga bagi fungsi
intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear pada
proses Poisson non-homogen.
METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan penelitian yang berbentuk kajian teoritis tentang
pendugaan fungsi intensitas yang berbentuk eksponensial dari fungsi periodik
ditambah tren linear pada proses Poisson non-homogen. Metode yang digunakan
dalam menduga fungsi periodik tersebut adalah metode non-parametrik tipe kernel
umum. Adapun tahapan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1 Merumuskan penduga komponen periodik bagi fungsi intensitas proses Poisson
yang dikaji.
2 Membuktikan kekonsistenan bagi penduga yang dikaji yaitu dengan
menunjukkan ketakbiasan asimtotik penduga dan kekonvergenan ragam
penduga.
3 Menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam dan Mean Square Error
(MSE) penduga.
4 Melakukan simulasi komputer untuk mengamati perilaku penduga dengan
kasus panjang interval waktu yang terbatas menggunakan fungsi kernel
seragam dengan tujuan sebagai berikut:
a) Menentukan bandwidth yang dapat meminimumkan MSE penduga.
b) Menentukan panjang interval pengamatan yang dapat menggambarkan
sifat-sifat asimtotik penduga berdasarkan kajian teoritis yang telah
dilakukan dengan menggunakan bandwidth yang telah diperoleh dari poin
a.
c) Memverifikasi kenormalan asimtotik penduga.
6
PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT-SIFAT STATISTIKNYA
Perumusan Penduga
Misalkan N merupakan proses Poisson non-homogen pada interval
dengan fungsi intensitas tidak diketahui dan diasumsikan terintegralkan lokal.
Dikaji kasus khusus, di mana fungsi intensitas ini merupakan eksponensial dari
fungsi periodik ditambah tren linear, sehingga untuk sembarang titik
,
fungsi intensitas dapat dinyatakan sebagai berikut
(
( (
,
(1)
di mana ( merupakan fungsi periodik yang tidak diketahui dengan periode
diketahui. Persamaan (1) dapat juga dituliskan menjadi
(
( .
(2)
(
( ( ))(
Karena
( ( ) juga merupakan fungsi periodik dengan periode , misalkan
(
( ( ), maka persamaan (2) menjadi
( .
(
(3)
( ( )(
Dari persamaan (3), karena diketahui maka untuk menduga ( cukup diduga
( . Karena (
komponen periodik dari fungsi intensitas tersebut, yaitu
merupakan fungsi periodik dengan periode
, maka untuk menduga (
pada
cukup diduga
(
pada
. Berdasarkan sifat
keperiodikan, untuk setiap titik
dan
, di mana merupakan
(
dapat dituliskan menjadi
himpunan bilangan bulat,
(
(
.
(4)
Pada penelitian ini, untuk menduga fungsi tersebut, digunakan metode
penduga tipe kernel umum. Pada penelitian ini dikaji penyusunan penduga
konsisten bagi ( pada
dengan hanya menggunakan realisasi tunggal
( dari proses Poisson dengan fungsi intensitas ( seperti pada persamaan
(3) yang diamati pada interval
. Realisasi ( tersebut terdefinisi dalam
suatu ruang probabilitas (
dengan
.
Misalkan
merupakan fungsi bernilai real. Fungsi
disebut
kernel jika memenuhi kondisi berikut (Helmers et al. 2003):
(K1) merupakan fungsi kepekatan peluang,
(K2) terbatas dan
(K3) memiliki daerah definisi berupa himpunan tertutup pada
.
Misalkan pula
adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol,
yaitu
(5)
untuk
, maka rumusan penduga tipe kernel bagi ( pada suatu titik
dengan menggunakan fungsi kernel K dapat disusun sebagai berikut
̂
(
∑
(
∫
(
(
(6)
Selanjutnya dijelaskan ide di balik penyusunan penduga bagi ( yaitu
( pada
dengan menggunakan data yang diamati pada interval
. Penyusunan penduga pada persamaan (6) mengikuti alur penyusunan
penduga tipe kernel yang telah dikerjakan Mangku (2011). Karena hanya tersedia
̂
7
sebuah realisasi dari suatu proses Poisson , maka untuk menduga
pada
sembarang titik harus mengumpulkan seluruh informasi yang diperlukan tentang
. Oleh karena itu, asumsi
nilai dari ( yang belum diketahui pada interval
sifat keperiodikan pada persamaan (4) sangat diperlukan untuk menduga fungsi
intensitas ini. Misalkan
dengan # menyatakan
banyaknya elemen, sehingga
(
(
∑
(7)
Menurut persamaan (3) dan (4) diperoleh
(
(
(
(8)
(
sehingga persamaan (7) dapat dituliskan menjadi
(
(
∑
(
Nilai fungsi (
interval
(
di titik dapat didekati dengan rata-rata nilai fungsi
, sehingga persamaan (9) menjadi
∑
(
∑
Dengan mengganti
stokastiknya yaitu (
dapat ditulis
(
(9)
∫
(
(
∑
(
(
(10)
dengan padanan
, maka persamaan (10)
(
(
∑
(
(
Dengan demikian, salah satu penduga bagi
̂
(
∑
̂
(
∑
pada
(
(
(
adalah sebagai berikut
(11)
Dalam penyusunan penduga pada persamaan (11), setiap data diberikan bobot
yang sama dalam menentukan rata-rata banyak kejadian pada interval
, sehingga persamaan (11) dapat ditulis menjadi
(
∫
(
(
dengan kernel umum yang memenuhi (K1),
( seperti pada persamaan (6)
(K2) dan (K3), maka diperoleh penduga ̂
yaitu
Dengan mengganti fungsi
8
̂
(
∑
(
∫
(
(
Kekonsistenan Penduga
Teorema 1 (Kekonsistenan)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
Jika kernel K memenuhi sifat (K1), (K2), (K3),
dan
maka
̂
(12)
( →
(
untuk
, asalkan
adalah titik Lebesque dari λ. Dengan kata lain,
̂
( adalah penduga konsisten bagi ( . Selain itu, Mean Squared Error
( konvergen ke 0, untuk n → yaitu
(MSE) dari ̂
̂
(
(13)
Bukti:
Untuk membuktikan Teorema di atas diperlukan ketakbiasan asimtotik dan
kekonvergenan ragam dari penduga, yang disajikan pada Lema 1 (Ketakbiasan
asimtotik) dan Lema 2 (Kekonvergenan ragam).
Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
Jika kernel K memenuhi sifat (K1), (K2), (K3) dan
, maka
̂
(14)
(
(
untuk n →
dengan syarat s adalah titik Lebesque dari . Dengan kata lain,
̂
( adalah penduga tak bias asimtotik bagi λc ( .
Bukti:
Membuktikan (14) sama dengan memperlihatkan bahwa
̂
(
(
(15)
Untuk memperlihatkan persamaan (15) dapat diperoleh dengan cara sebagai
( adalah
berikut. Berdasarkan (6) maka nilai harapan dari ̂
̂
(
∑
∑
∑
(
(
(
∫
∫
(
∫
Dengan mengganti peubah, misalkan
kanan persamaan (16) dapat ditulis
(
(
(
(
(
(
,
(
(16)
, maka ruas
9
∑
∫
(
(
∑
̂
(
∑
) (
∫
(
) λc (
∫
(
) λc (
(17)
(
memenuhi persamaan (3) maka
Karena fungsi intensitas
̂
(
(
(
Berdasarkan sifat keperiodikan pada persamaan (4) dapat ditulis
(
∫
(
) λc (
∫
(
) λc (
(
(
∑
(
(
(
(
(
∑
(
(18)
Perhatikan bahwa
∑
untuk
̂
(
. Maka persamaan (18) dapat ditulis
(
(
(
(
(
(
∫
(
) ∫
(
)) ∫
(
(
) λc (
(
(
(
λc ( )
λc ( )
)( (
∫
(
λc (
)( (
(
)) λc (
(
)
(
Karena fungsi kernel K memenuhi (K2), misalkan
(
(
(
(
konstanta dan karena
, maka
(
sehingga suku pertama pada ruas kanan persamaan (19) menjadi
(19)
adalah
untuk
10
(
(
)) ∫
(
(
λc ( )
)( (
(
))
( )
(
(
(
(
∫( (
( )
∫| (
( |
(20)
Karena adalah titik Lebesque dari , maka untuk
ruas kanan (20) adalah
( . Selanjutnya perhatikan suku kedua dari ruas kanan persamaan (19). Dengan
mengganti peubah, misalkan
,
, dapat ditulis
(
)) λc (
(
∫ (
(
( ) λc (
(21)
∫ (
(
Dengan deret Taylor (Lampiran 2), kita peroleh
(
(
(22)
untuk
. Dengan menyubstitusikan persamaan (22) ke ruas kanan
persamaan (21) dan K memenuhi (K1), maka ruas kanan persamaan (21) menjadi
( ) (
(
)λc (
∫ (
(
( )λc (
∫ (
( )λc (
(
(
untuk n → . Dari (20) dan (23) maka ruas kanan persamaan (19) menjadi
̂
(
(
(
(
(
( ,
untuk
. Dengan demikian Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik) terbukti.
(
(23)
(24)
Lema 2 (Kekonvergenan ragam)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
Jika kernel K memenuhi sifat (K1), (K2), (K3),
, terbatas di sekitar s ,
dan
untuk
maka
̂
(
(25)
untuk
.
11
Bukti:
Ragam dari ̂
̂
(
(
dapat dihitung sebagai berikut
∑
∑
(
∫
(
(
∫
(
(
(
(26)
dan
Untuk n yang cukup besar, maka interval
untuk
tidak saling tumpang tindih (overlap).
(
(
(
(
Sehingga
dan
adalah bebas untuk
.
Oleh karenanya ruas kanan dari persamaan (26) dapat dihitung sebagai berikut
∑
(
(
∫
(
Karena N adalah peubah acak Poisson, maka
̂
(
dapat ditulis
̂
(
∑
∑
(
(
(
Dengan mengganti peubah,
persamaan (28) menjadi
̂
(
∑
(
(
(
∫
(
(
misalkan
(
)
(27)
sehingga
(
(
∫
∫
( (
) (
(28)
maka
(29)
(
Dengan menggunakan persamaan (3) dan (4) maka persamaan (29) dapat ditulis
̂
(
(
∑
∑
(
(
∫
(
)
∫
(
)
(
(
(
12
(
∫
(
)
(
∫
(
)
(
(
∑
(
(
(
(
(
∑
(
(30)
(
Perhatikan bahwa, dengan menggunakan uji kekonvergenan deret geometri tak
hingga (Lampiran 2) diperoleh
∑
(
(
(31)
untuk
. Dari persamaan (31), maka persamaan (30) dapat dituliskan
sebagai berikut
̂
(
∫
(
(
(
(
)
∫
∫
(
(
(
)
(
)
Karena
terbatas di sekitar s maka
(
karena
maka
(32) dapat ditulis
̂
(
Karena K memenuhi kondisi (K2),
(
(
(
(
(
(32)
(
( untuk
(
∫
adalah konstanta dan
Sehingga persamaan
(
)
(33)
adalah konstanta, sehingga
diperoleh
̂
(
(
)
(34)
Berdasarkan asumsi pada Lema 2 (Kekonvergenan ragam) bahwa
,
untuk
, maka ruas kanan persamaan (34) kovergen ke nol. Sehingga
diperoleh
̂
(
untuk
. Dengan demikian Lema 2 (Kekonvergenan ragam) terbukti.
13
( )
Bukti Teorema 1 (kekonsistenan ̂
( , berdasarkan definisi kekonvergenan
( →
Untuk membuktikan ̂
dalam peluang, cukup ditunjukkan bahwa
,
(35)
( |
(
)
(| ̂
( |
(
) yaitu
untuk
Terlebih dahulu diuraikan (| ̂
( |
(
)
(| ̂
̂
̂
(36)
( |
(
(
(
| ̂
Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh
̂
( |
(
( | | ̂
(
( | |̂
(
|̂
Sehingga ruas kanan persamaan (36) menjadi
̂
( |
(
( | | ̂
(
)
(| ̂
̂
̂
̂
( |)
(
( |
(
|
(|
(37)
̂
(
Berdasarkan Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik), diperoleh bahwa
( untuk
, sehingga menurut definisi kekonvergenan barisan bilangan
nyata untuk setiap
terdapat sebuah bilangan N sedemikian rupa sehingga
jika
, maka
( |
(
| ̂
Sehingga diperoleh
( |
(
(| ̂
|̂
)
̂
(
|̂
(
Jadi, untuk membuktikan (35), cukup ditunjukkan
̂
( |
(
|̂
untuk
( |
̂
( |
(38)
. Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, diperoleh
̂
(
̂
̂
( |
(
|
Jadi tinggal dibuktikan bahwa
̂
(
(39)
untuk
Berdasarkan Lema 2 (Kekonvergenan ragam), maka (39) terbukti.
( merupakan penduga
Dengan demikian (35) terbukti. Dengan kata lain, ̂
yang konsisten bagi (
Berdasarkan definisi Mean Square Error
̂
(
̂
(
dengan
cukup dibuktikan bahwa
(
̂
̂
(
(
(
)
̂
(
̂
)
(
( . Berarti, untuk membuktikan (13)
̂
(
14
untuk
̂
Berdasarkan Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik),
̂
sehingga (
(
2 (Kekonvergenan ragam),
)
̂
disimpulkan bahwa
untuk
̂
(
(
Kemudian berdasarkan Lema
(
. Dengan demikian dapat
. Sehingga Teorema 1 terbukti.
Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan Mean Square Error (MSE)
Penduga
Pada bagian ini disajikan aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam, dan Mean
Square Error (MSE) penduga, yang hasilnya dapat juga dilihat pada Nasib et al.
(2014b)
Teorema 2 (Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3), terintegralkan lokal dan
memiliki turunan kedua berhingga pada . Jika kernel adalah simetrik dan
memenuhi sifat (K1), (K2), (K3),
, dan
untuk
maka
̂
untuk
.
(
(
(
(
∫
(
(
Bukti:
Berdasarkan (18) pada bukti Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik), maka nilai harapan
( dapat ditulis sebagai berikut
dari ̂
̂
(
Misalkan
̂
(
∫
(
∫ ( λc (
(
maka
(
Perhatikan bahwa
∑
(
(
∑
(
∑
jika
̂
) λc (
. Sehingga persamaan (40) menjadi
(
∫ ( λc (
(
( ) ∫ ( λc (
(
(
(40)
(41)
15
∫ ( λc (
(
( )
(42)
untuk
. Perhatikan bahwa karena λc memiliki turunan kedua berhingga di
sekitar , dengan menggunakan deret Taylor diperoleh
λc (
(
untuk
.
Sehingga diperoleh
(
λc (
λc (
λc (
(
λc (
λc (
(
(λc (
(
λc (
(
(
(
(
λc (
( )
(
(
(
(43)
(
Dengan menyubstitusikan (43) ke ruas kanan persamaan (42) diperoleh
̂
(
∫ (
λc (
λc (
(λc (
(
∫ (
λc (
( )
(
(λc (
(
(λc (
(
( )
(
( )
∫
)
∫
( )
(
(
(
(44)
Karena kernel memenuhi (K1) yakni merupakan fungsi kepekatan peluang yang
(
memiliki daerah definisi pada
, maka ∫
. Karena simetrik,
(
maka ∫
untuk
̂
untuk
(
̂
(
Perhatikan bahwa
. Sehingga diperoleh
(
(
(
dan
λc (
λc (
(
(
∫
(
λc (
λc (
(
(
∫
(
. Maka diperoleh aproksimasi asimtotik bagi bias ̂
(
(
adalah
(
16
̂
untuk
λc (
(
. Teorema 2 terbukti.
(
(
∫
(
(
Teorema 3 (Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
Jika kernel memenuhi sifat (K1), (K2), (K3),
, adalah titik Lebesque
bagi , maka
untuk
̂
(
(
(
(
(
(
(
∫
)
(
(45)
Bukti:
Berdasarkan bukti pada Lema 2 (Kekonvergenan ragam), maka ragam dari
̂
( dapat ditulis sebagai berikut
̂
(
∫
(
(
(
(
)
∑
(46)
(
(
Perhatikan bahwa, dengan menggunakan uji kekonvergenan deret geometri tak
hingga (Lampiran 2) diperoleh
(
(
(47)
∑
(
(
untuk
. Dengan menyubstitusi persamaan (47) ke ruas kanan persamaan
(46), diperoleh
̂
(
(
Karena
ditulis
̂
∫
(
∫
(
(
(
(
(
(
)
(
(
(
(
(
)
(
(
(
(
(
(
(
( ) ∫
( )
(
)
( )
(48)
( ) maka persamaan (48) dapat
( )
(
(
(
(
(
(49)
(
17
Karena kernel K memenuhi kondisi (K2) dan untuk
(
( jika
, sehingga
∫
(
(
)
(
( (
∫
( )
(
(
maka
( )
(
( |
∫| (
(50)
Karena adalah titik Lebesque dari maka ruas kanan dari pertidaksamaan (50)
adalah ( untuk
. Akibatnya, suku pertama pada ruas kanan persamaan
(49) menjadi
(
( )
(
(
(
∫
(
(
)
(
untuk
yaitu
( )
(
(
)
(
(
(
(
( )
(
(51)
Selanjutnya perhatikan suku kedua dari ruas kanan persamaan (49)
(
(
(
(
(
Dengan mengganti peubah, misalkan
( ) ∫
(
,
(
)
(52)
dan karena fungsi kernel K
memenuhi kondisi (K3) maka suku kedua pada ruas kanan persamaan (49) dapat
ditulis
(
(
(
(
(
( ) ∫
Dengan menggunakan deret Taylor diperoleh
Sehingga kuantitas pada (53) menjadi
(
(
(
(
(
( (
(
(
( ) ∫
(
( (
(
(
(
(
(
(53)
(
(
( ) ∫
(
untuk
18
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
∫
( ) ∫
(
(
(
(54)
)
untuk
Dengan menggabungkan persamaan (51) dan (54), maka
persamaan (49) menjadi
̂
untuk
(
(
(
(
(
(
(
∫
. Dengan demikian, Teorema 3 terbukti.
)
(
Teorema 4 (Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3), terintegralkan lokal, dan
memiliki turunan kedua berhingga pada Jika kernel
adalah simetrik dan
memenuhi sifat (K1), (K2), (K3),
dan
, maka
̂
λc (
(
untuk
(
(
.
(
(
(
(
(
(
(
∫
(
∫
(
(55)
)
Bukti:
Menurut Casela dan Berger (1990), Mean Squared Error (MSE) dari ̂
dapat dihitung sebagai berikut
̂
(
̂
(
(
̂
)
(
(
Berdasarkan Teorema 2 (Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga) yaitu
(
̂
(
̂
(
λc (
( λc (
(
)
λc (
(
(
(
(
(
(
∫
∫
∫
(
(
(
(
(56)
) (
untuk
Karena memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka
( . Akibatnya, persamaan (52) menjadi
(
19
(
̂
(
λc (
)
(
(
(
∫
(
Berdasarkan Teorema 3 (Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga) yaitu
̂
(
Sehingga MSE ̂
̂
untuk
(
(
(
(
(
(
(
diperoleh
λc (
(
(
(
(
(
∫
(
(
(
(
Dengan demikian, Teorema 4 terbukti.
∫
)
(
∫
(
(
(
)
PEMBAHASAN
Penjelasan dari Beberapa Lema dan Teorema yang Dikaji
Pada penelitian ini dilakukan pendugaan terhadap suatu parameter.
Pendugaan terhadap suatu parameter tertentu dilakukan untuk memperoleh nilai
taksiran atau hampiran berdasarkan sampel statistik, karena pada umumnya nilai
parameter suatu distribusi tidak diketahui. Pada penelitian ini dilakukan
pendugaan terhadap fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi periodik
ditambah tren linear suatu proses Poisson non-homogen. Parameter yang tidak
diketahui adalah komponen periodik yang didefinisikan pada persamaan (3), yaitu
( , sehingga untuk menduga fungsi intensitas ( ) cukup dengan hanya
menduga komponen periodiknya. Dalam menduga fungsi periodik ini digunakan
metode non-parametrik, yaitu metode penduga tipe kernel. Metode ini merupakan
metode penduga yang tidak mengasumsikan bentuk apapun dari fungsi (
kecuali fungsi tersebut merupakan fungsi periodik. Metode penduga tipe kernel
yang dipilih adalah kernel umum, dimana untuk sembarang kernel dapat
digunakan.
Pada perumusan penduga telah dirumuskan penduga bagi ( yaitu
̂
( yang dapat dilihat pada persamaan (6). Penduga yang baik apabila
memenuhi sifat-sifat yaitu (i) tak bias, jika nilai harapan penduga sama dengan
nilai yg diduga, (ii) efisien, jika penduga memiliki ragam yang konvergen ke nol,
(iii) konsisten, jika ukuran sampel semakin bertambah maka penduga akan
mendekati parameternya. Oleh karenanya telah dilakukan pengkajian dan
( sehingga penduga tersebut
pembuktian bagi kekonsistenan penduga ̂
̂
( memiliki sifat penduga yang termasuk ke dalam
dikatakan baik.
20
kategori sifat penduga asimtotik, yaitu sifat tersebut hanya dapat didekati ketika
ukuran sampel semakin membesar.
( dibuktikan terlebih dahulu bahwa
Dalam mengkaji kekonsistenan ̂
penduga tersebut memenuhi sifat ketakbiasan asimtotik dan kekonvergenan ragam
menuju nol. Pada saat membuktikan penduga tersebut tak bias asimtotik yakni
dengan menunjukkan bahwa limit dari nilai harapan penduga sama dengan
parameter yang diduga, hal ini telah dikaji dan ditunjukkan dalam Lema 1
(Ketakbiasan asimtotik). Sedangkan untuk menunjukkan penduga tersebut
memiliki ragam yang konvergen ke nol, telah dikaji pada Lema 2 (kekonvergenan
ragam). Selain kekonsistenan penduga yang diperlukan dalam menunjukkan
bahwa penduga tersebut adalah penduga yang baik yakni penduga tersebut tak
bias dan memiliki ragam terkecil secara bersamaan maka diperlukan Mean
Squared Error (MSE) yang konvergen ke nol. Hal ini telah dibuktikan dalam
Teorema 1 (kekonsistenan penduga). Semakin kecil nilai MSE yang dihasilkan,
maka semakin baik penduga tersebut. Oleh karenanya diperlukan asumsi
dengan
pada persamaan (20) dan (21) untuk bisa menunjukkan penduga
tersebut tak bias asimtotik dan
dengan
pada persamaan (34)
sehingga ragam penduga konvergen ke nol.
Kemudian pada Teorema 2, Teorema 3 dan Teorema 4 dikaji aproksimasi
asimtotik bagi bias, ragam dan MSE penduga. Aproksimasi asimtotik tersebut
merupakan nilai pendekatan bagi bias, ragam dan MSE penduga yang digunakan
ketika interval pengamatan [0,n] tidak menuju tak hingga. Pada Teorema 4
(Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga), nilai suku pertama persamaan (55)
akan meningkat jika nilai
(bandwith) semakin diperbesar. Hal ini
mengakibatkan nilai MSE penduga semakin besar. Sedangkan nilai suku kedua
(
persamaan (55) semakin menurun jika
. Agar penduga ̂
merupakan penduga yang baik yakni nilai MSE penduga konvergen ke nol, maka
suku pertama dan suku kedua dari persamaan (55) harus bernilai kecil. Oleh
karena itu, diperlukan asumsi
dan
untuk
. Berdasarkan
asumsi tersebut pemilihan bandwith menjadi hal yang penting.
Simulasi Sifat-Sifat Statistik Penduga
Pada bagian ini dilakukan simulasi kajian sifat-sifat statistik penduga bagi
komponen periodik dari fungsi intensitas proses Poisson yang dikaji, yang
hasilnya dapat juga dilihat pada Nasib et al. (2014a). Simulasi dilakukan secara
komputasi dengan bantuan perangkat lunak R. Program R untuk simulasi ini
terdapat pada Lampiran 3. Data yang digunakan pada simulasi ini merupakan data
bangkitan pada interval waktu pengamatan
dengan yang terbatas. Metode
yang digunakan untuk membangkitkan realisasi dari proses Poisson tersebut
adalah metode Monte Carlo sebanyak 500 kali ulangan. Tujuan dari simulasi ini
adalah menentukan bandwidth yang dapat meminimumkan MSE, menentukan
(
nilai n yang cukup dapat menggambarkan sifat-sifat asimtotik dari ̂
( yang kurang dari
(dalam hal ini nilai n yang dapat menghasilkan MSE ̂
0.05), dan memverifikasi kenormalan asimtotik penduga. Berdasarkan tujuan
tersebut, simulasi dilakukan dalam tiga tahap yaitu:
21
Gambar 1 Grafik fungsi (
a) Menentukan bandwidth yang dapat meminimumkan MSE
( kurang dari
b) Menentukan nilai n yang dapat menghasilkan MSE ̂
0.05 dengan menggunakan bandwidth yang telah diperoleh sebelumnya
c) Memverifikasi kenormalan asimtotik penduga.
Sebagai ilustrasi, maka fungsi intensitas yang digunakan dalam simulasi ini
adalah
(
[
(
(
))] (
(
Gambar 2 Grafik fungsi ( (—) beserta penduganya (-oo-) pada
interval pengamatan. (a) [0,9]; (b) [0,13]
(57)
22
dengan
merupakan komponen periodik dari ( . Pada simulasi
ini dipilih nilai
ya ng merupakan periode, sehingga grafik fungsi (
pada persamaan (57) ditunjukkan dalam Gambar 1. Penduga bagi komponen
periodik dari fungsi intensitas proses Poisson non-homogen yang digunakan
adalah penduga yang telah didefinisikan pada persamaan (6). Karena fungsi kernel
pada persamaan (6) merupakan kernel umum, maka pada simulasi ini dipilih
fungsi kernel seragam, yaitu dengan mengganti (
dengan
.
Selanjutnya dapat dilihat ilustrasi grafik fungsi intensitas ( beserta nilai
dugaannya dengan menggunakan bandwidth 0.0125 dan realisasi pada interval
waktu pengamatan [0,9] dan [0,13] yang ditampilkan pada Gambar 2a dan 2b.
Gambar 3 Grafik bandwith (—) yang meminimumkan MSE
penduga fungsi intensitas (
Gambar 4 Grafik MSE penduga fungsi intensitas (
(—)
23
Berdasarkan ilustrasi grafik fungsi intensitas ( beserta nilai dugaannya
yang disajikan pada Gambar 2a dan 2b, terlihat bahwa penduga bagi fungsi
intensitas dengan menggunakan interval waktu pengamatan [0,13] jauh lebih baik
dibandingkan dengan menggunakan interval waktu pengamatan [0,9]. Hal ini
dikarenakan penduga pada ilustrasi Gambar 2a masih jauh dengan fungsi
intensitas sebenarnya dibandingkan dengan ilustrasi penduga pada Gambar 2b.
Oleh sebab itu, untuk nilai n yang lebih besar, penduga yang dihasilkan akan lebih
mendekati fungsi intensitas sebenarnya.
Selanjutnya untuk menunjukkan hasil yang maksimal dilakukan simulasi
tahap pertama yaitu menentukan bandwidth yang dapat meminimumkan MSE.
Pada tahapan ini, simulasi dilakukan dengan menganti-ganti nilai bandwidth.
Penentuan bandwidth diambil secara sembarang sebanyak 15 yang berkisar antara
0.0115-0.0129 dengan panjang interval waktu [0,10] (hasil simulasi pada
Lampiran 4). Hasil simulasi menunjukkan bahwa pada kisaran 0.0115-0.0129
diperoleh nilai MSE minimum yaitu 0.06899192 pada bandwidth 0.0128. Hasil
simulasi tahap pertama ini ditampilk an dalam Gambar 3.
Tahapan selanjutnya, dilakukan simulasi untuk menentukan nilai n yang
cukup dapat menggambarkan sifat-sifat asimtotik penduga, yaitu nilai n yang
menghasilkan MSE penduga kurang dari 0.05 dengan menggunakan nilai
bandwidth yang diperoleh dari simulasi tahap pertama yaitu 0.0128. Simulasi
yang dilakukan sebanyak 26 kali dengan mengganti nilai n diperoleh MSE
penduga yang kurang dari 0.05 yaitu 0,04934106 pada interval waktu pengamatan
Gambar 5 Histogram normalitas asimtotik nilai dugaan fungsi intensitas ( .
(a) titik s = 0.412; (b) titik s =0.425; (c) titik s = 0.439
24
[0,13]. Hasil simulasi ini dapat dilihat dalam Lampiran 4. Dengan demikian, jika
nilai n semakin diperbesar maka nilai MSE penduga semakin kecil. Pengaruh nilai
n terhadap MSE penduga ditunjukkan pada Gambar 4.
Simulasi pada tahap ketiga ini bertujuan untuk memverifikasi kenormalan
asimtotik penduga. Maksud dari simulasi pada tahap ini, ingin mengetahui apakah
distribusi dari penduga mengikuti atau mendekati distribusi normal, yakni
distribusi dengan bentuk lonceng (bell shaped). Penduga yang baik adalah
penduga yang mempunyai pola seperti distribusi normal, yaitu distribusi penduga
tersebut tidak menceng ke kiri atau ke kanan. Untuk memverifikasi kenormalan
asimtotik penduga dilakukan pendugaan fungsi intensitas di suatu titik dengan
menggunakan 3 titik yang mewakili nilai ( kecil, sedang, dan besar. Titik
mewakili ( yang
yang digunakan yaitu
dengan (
mewakili ( yang sedang, dan
kecil,
dengan (
(
(
yang besar. Simulasi
mewakili
dengan
dilakukan sebanyak 500 kali ulangan pada interval waktu pengamatan [0,10] dan
bandwidth 0.0128. Selanjutnya 500 nilai dugaan yang diperoleh untuk masingmasing tiga titik tersebut, dianalisis menggunakan histogram untuk diperlihatkan
bahwa nilai dugaan tersebut berdistribusi normal (Gambar 5).
Terlihat bahwa penduga bagi ( dapat dikatakan mendekati distribusi
Gambar 6 Grafik normalitas asimtotik nilai dugaan fungsi intensitas (
(a) titik s = 0.412; (b) titik s = 0.425; (c) titik s = 0.439
(oo).
25
normal. Hal ini dikarenakan bahwa pada Gambar 5, distribusi nilai dugaan di
setiap titik membentuk lonceng (bell shaped) dan nilai dugaan tersebut tidak
menceng ke kiri atau ke kanan. Selanjutnya untuk lebih memperlihatkan
kenormalan penduga, dilakukan simulasi dengan mengecek kenormalan di tiap
titik menggunakan built in function qq-norm dan qq-line pada R. Hasil dari
simulasi ini ditunjukkan pada Gambar 6. Pada grafik normalitas yang disajikan
dalam Gambar 6, nilai dugaan bagi fungsi intensitas ( menyebar di sekitar
garis diagonal dan mengikuti arah garis diagonal. Dari grafik pula dapat dilihat
bahwa ketika nilai dugaan semakin mendekati titik 0 maka semakin mendekati
pula garis normal. Hal ini menunjukkan bahwa nilai dugaan tersebut mendekati
distribusi normal.
SIMPULAN
Berdasarkan hasil kajian