Traffic Assignment Problem Dengan Permintaan Lentur

TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM DENGAN PERMINTAAN LENTUR
TESIS Oleh HERLENA 107021014/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universita Sumatera Utara

TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM DENGAN PERMINTAAN LENTUR
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh HERLENA 107021014/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universita Sumatera Utara

Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM DENGAN PERMINTAAN LENTUR
: Herlena : 107021014 : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Tulus, M. Si) Ketua

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Anggota

Ketua Program Studi

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus : 17 Desember 2012

Universita Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal 17 Desember 2012
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
2. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc 3. Dr. Marwan Ramli, M.Si

Universita Sumatera Utara

PERNYATAAN Traffic Assignment Problem dengan Permintaan Lentur
TESIS Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, 17 Desember 2012 Penulis, Herlena
i
Universita Sumatera Utara

ABSTRAK Lalu lintas adalah pergerakan suatu objek dari asal ke tujuan. Kemacetan yang sering terjadi pada arus lalu lintas dapat mempengaruhi permintaan dalam pendistribusian komoditas barang dari asal ke tujuan. Tesis ini bertujuan untuk menyelesaikan persoalan tersebut, dengan masalah optimasi untuk menghasilkan minimisasi. Metode yang digunakan adalah metode ACCPM (Analytic Center Cutting Plane Method) untuk menyelesaikan penugasan lalu lintas dengan permintaan lentur. ACCPM dengan relaksasi lagrangian merelaksasi kendala pada penugasan lalu lintas dengan variabel ganda menghasilkan masalah dual dan akan diselesaikan dengan metode ACCPM. Hasil yang diperoleh dari pendekatan proksimal analytic adalah titik lokalisasi yang merupakan sebagai titik penugasan. Kata kunci: Traffic assignment problem, Permintaan lentur, Metode ACCPM
ii
Universita Sumatera Utara

ABSTRACT Traffic is the movement of an object from origin to destination. Congestion often occurs in the flow of traffic can affect demand for commodities in the distribution of goods from origin to destination. This thesis aims to solve these problems, with an optimization problem to produce minimization. The method used is the method ACCPM (Analytic Center Cutting Plane Method)to solve the traffic assignment with flexible demand. ACCPM with Lagrangian relaxation relaxing the constraints on the assignment of traffic to generate dual variable dual problem and will be solved by the method ACCPM. The results obtained from the proximal analytic approach is a localization point as a point assignment. Keyword: Traffic assignment problem, Elastic demand, ACCPM method
iii
Universita Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Alhamdulillah segala puji bagi Allah yang telah memberikan segala limpahan nikmatnya kepada penulis yang telah memudahkan segala sesuatunya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tesis ini. Shalawat dan salam atas junjungan Nabi besar Muhammad SAW sebagai suri tauladan yang telah membawa umatnya meninggalkan masa kejahiliahan. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada :
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.

Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing II yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembanding I yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Tulus, M. Si selaku Pembimbing I yang telah banyak memberikan arahan dan bimbingan kepada penulis selama masa penulisan tesis ini hingga selesai.
Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku Pembanding II yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
iv
Universita Sumatera Utara

Seluruh rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2010 genap Dhia, Novi, Vivi, Aghni, Rina, Agus, Ronal, Amin, Hindra, Zulhendri yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada orangtua tercinta Hasan Basri/Roslaini dan kepada kakak-kakakku dan adik-adikku Wandi, Nely, Rudi, Wati, Roni, Riky, Ayu, Bobo yang telah memberikan semangat dan doa yang tulus kepada penulis, terkhusus kepada suamiku Anton, S. Pt yang selalu membantu penulis dalam memberikan motivasi dan mengumpulkan mendapatkan bahanbahan dalam penulisan tesis ini sampai selesai. Tidak lupa ucapan terima kasih kepada teman-teman/rekan kerja di pesantren Ar-Raudhatul Hasanah yang telah memberikan dorongan dari awal mengikuti perkuliahan sampai penulisan tesis ini.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih.
Medan, Januari 2013 Penulis,
Herlena
v
Universita Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP Herlena dilahirkan di Medan pada tanggal 27 Februari 1985 dari pasangan Bapak Hasan Basri & Ibu Roslaini. Penulis anak kelima dari sembilan orang bersaudara, menamatkan pendidikan Sekolah Dasar Negri 060791 pada tahun 1998, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negri 6 (SLTPN 6) pada tahun 2001, Madrasah Aliyah Swasta (MAS) Ar Raudhatul Hasanah pada tahun 2005. Pada tahun 2006 memasuki Perguruan Tinggi Universitas Islam Sumatera Utara Fakultas Keguruan Ilmu Pendidikan jurusan Matematika pada Strata Satu (S-I) dan lulus tahun 2010. Pada tahun 2010, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara. Dari Juli tahun 2005 penulis telah bekerja sebagai staf pengajar di lembaga pendidikan Islam Pesantren Ar Raudhatul Hasanah sampai sekarang, dan telah banyak mengikuti pelatihan Diklat yang berhubungan dengan kependidikan dan kolokium tentang matematika dan terapan.
vi
Universita Sumatera Utara

DAFTAR ISI

PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metode Penelitian
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Halaman i ii
iii iv vi vii
1
1 4 4 4 5
6

BAB 3 TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM, PERMINTAAN LENTUR TERHADAP LALU LINTAS

8

3.1 Traffic Assignment Problem 3.2 Permintaan Lentur dan Permintaan Fix 3.3 Metode ACCPM 3.4 Relaksasi Lagrangian

8 12 16 18

BAB 4 PEMBAHASAN DAN HASIL

20

4.1 Model Traffic Assignment Problem

20

vii
Universita Sumatera Utara

4.2 Constraint Pada Persoalan Traffic Assignment 4.3 Merelaksasi Constraint dengan Relaksasi Lagrangian 4.4 Menyelesaikan TAP dengan Permintaan Lentur
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 5.2 Saran DAFTAR PUSTAKA

21 24 26
29
29 29 30

viii
Universita Sumatera Utara

ABSTRAK Lalu lintas adalah pergerakan suatu objek dari asal ke tujuan. Kemacetan yang sering terjadi pada arus lalu lintas dapat mempengaruhi permintaan dalam pendistribusian komoditas barang dari asal ke tujuan. Tesis ini bertujuan untuk menyelesaikan persoalan tersebut, dengan masalah optimasi untuk menghasilkan minimisasi. Metode yang digunakan adalah metode ACCPM (Analytic Center Cutting Plane Method) untuk menyelesaikan penugasan lalu lintas dengan permintaan lentur. ACCPM dengan relaksasi lagrangian merelaksasi kendala pada penugasan lalu lintas dengan variabel ganda menghasilkan masalah dual dan akan diselesaikan dengan metode ACCPM. Hasil yang diperoleh dari pendekatan proksimal analytic adalah titik lokalisasi yang merupakan sebagai titik penugasan. Kata kunci: Traffic assignment problem, Permintaan lentur, Metode ACCPM
ii
Universita Sumatera Utara

ABSTRACT Traffic is the movement of an object from origin to destination. Congestion often occurs in the flow of traffic can affect demand for commodities in the distribution of goods from origin to destination. This thesis aims to solve these problems, with an optimization problem to produce minimization. The method used is the method ACCPM (Analytic Center Cutting Plane Method)to solve the traffic assignment with flexible demand. ACCPM with Lagrangian relaxation relaxing the constraints on the assignment of traffic to generate dual variable dual problem and will be solved by the method ACCPM. The results obtained from the proximal analytic approach is a localization point as a point assignment. Keyword: Traffic assignment problem, Elastic demand, ACCPM method
iii
Universita Sumatera Utara

BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Permasalahan transportasi merupakan masalah yang selalu dihadapi oleh Negara-negara yang telah maju dan juga oleh Negara yang sedang berkembang seperti Indonesia, baik dibidang transportasi perkotaan (urban transportation) maupun transportasi antar kota (rural transportation). Terciptanya suatu sistem transportasi yang menjamin pergerakan manusia, kendaraan dan atau barang secara lancar, aman, cepat, murah, nyaman dan sesuai dengan lingkungan sudah merupakan tujuan pembangunan dalam sektor transportasi.
Lalu lintas adalah pergerakan dari sebuah objek dari titik awal (origination) ke titik tujuan (destination) secara acak (random). Pola pergerakan dalam sistem transportasi sering dijelaskan dalam bentuk arus pergerakan (kendaraan, penumpang, dan barang) yang bergerak dari zona asal ke zona tujuan didalam daerah tertentu dan selama periode waktu tertentu.
Sistem transportasi yang stabil dan baik akan menyediakan sisi kompetitif dalam ekonomi global (Chen, 1998). Adanya gangguan pada jaringan jalan seperti kemacetan lalu lintas, perbaikan jalan, bencana alam akan menyebabkan jaringan jalan yang kurang baik karena kurang dapat menghubungkan dengan baik pengguna jalan dari suatu tempat asal ke tujuan tertentu. Hal seperti ini akan mengakibatkan waktu perjalanan semakin bertambah. Sehingga diperlukan rute tertentu yang bisa mempengaruhi pengguna dalam memilih rute untuk bisa meminimisasi waktu perjalanan. Faktor penentu pemilihan rute:
1. Waktu Tempuh yaitu total waktu (berhenti, tundaan, dlsb).
2. Nilai Waktu yaitu sejumlah uang yang harus disediakan atau dapat disimpan oleh pelaku perjalanan akibat pengurangan satu unit waktu perjalanan.
1

Universita Sumatera Utara

2
3. Biaya Perjalanan yaitu kombinasi jarak, waktu tempuh, uang.
4. Biaya Operasional Kendaraan yaitu BBM, Oli, sparepart, maintenance, dll.
Transportasi adalah sarana dan prasarana dalam lalu lintas. Transportasi menjadi penghubung antar lalu lintas. Bila terjadi peningkatan pada suatu lalu lintas maka beban transportasi meningkat pula. Bila sistem lalu lintas tertutup maka akan terjadi kemacetan total. Beberapa tingkat kondisi keseimbangan pada sistem transportasi:
1. Keseimbangan jaringan jalan: setiap pelaku pergerakan mencoba mencari rute terbaik dengan meminimumkan biaya perjalanan
2. Keseimbangan jaringan multimoda: setiap pelaku pergerakan mencoba meminimumkan biaya perjalanan dengan memilih moda dan rute tertentu.
3. Keseimbangan sistem (moda, tujuan dan waktu): nilai biaya perjalanan konsisten dengan arus yang terjadi pada semua sistem jaringan.
Dalam pendistribusian barang dari asal ke tujuan diperlukan pemilihan rute. Pemilihan rute model equilibrium yaitu pada kondisi tidak macet setiap pelaku perjalanan akan berusaha meminimumkan biaya perjalanannya dengan beralih menggunakan rute alternatif. Jika tidak satupun pelaku perjalanan dapat memperkecil biaya tersebut, maka sistem dikatakan telah mencapai kondisi keseimbangan (Carey, 2008). Pada model ini sistem jaringan jalan mencapai keseimbangan menurut persepsi pelaku perjalanan, sehingga model ini adalah salah satu model pemilihan rute yang terbaik untuk kondisi macet. Menurut prinsip pengguna equilibrium, waktu tempuh dari semua rute yang digunakan adalah kurang dari atau sama dengan yang akan dialami oleh driver tunggal pada setiap rute yang tidak digunakan. Kondisi ini dapat ditulis sebagai:

Xkr ≥ 0 ⇒ λkr = minλkp, r ∈ Rk, k ∈ K

(1.1)

Ketika waktu tempuh dan fungsi permintaan terpisah dan terintegral, kondisi ekuilibrium adalah solusi dari masalah optimasi (Patriksson, 1994). Traffic

Universita Sumatera Utara

3

assignment dengan permintaan lentur adalah jumlah total suplai sama dengan jumlah total permintaan ai = bj
ij
Dengan demikian jika ai = bj maka semua suplai yang ada akan ter-
ij
distribusi habis, dan semua permintaan tujuan terpenuhi. Maka kendala sumber dan kendala tujuan menjadi dalam bentuk persamaan. Jumlah sumber suplai dan tujuan permintaan tidak selalu sama. Jika kelebihan suplai maka tambahan tujuan semu yang akan menampung kelebihan suplai yang permintaannya =
ai − bj. Jika kekurangan suplai maka tambahan tujuan semu yang akan menyuplai kekurangan tersebut yang kapasitasnya = bj − ai.
Masalah transportasi membicarakan cara pendistribusian suatu komoditi dari sejumlah sumber (origin) ke sejumlah tujuan (destination). Sasarannya adalah mencari pola pendistribusian dan banyaknya komoditi yang diangkut dari masing-masing sumber ke masing-masing tujuan yang meminimalkan ongkos angkut secara keseluruhan, dengan kendala-kendala yang ada. Dengan persoalan lalu lintas yang terjadi diperlukan suatu metode yang dapat menyelesaikan persoalan kepadatan lalu lintas dengan mengalihkan beban pada suatu rute ke rute yang lain. Sehingga diperlukan metode yang dapat menemukan titik lokalisasi untuk mengalihkan kepadatan lalu lintas tersebut.
Titik lokalisasi adalah titik yang dapat mengalihkan kepadatan lalu lintas pada rute alternatif yang dapat menghubungkan pengguna jalan dari asal ke tujuan dengan biaya yang dapat diminimalisasi. Traffic assignment problem dengan permintaan lentur adalah persoalan penugasan lalu lintas terhadap driver dengan mengalihkan suatu rute yang dianggap padat pada titik lokasi tertentu sehingga dapat menyalurkan komoditas dari daerah asal ke tujuan dimana akan ada permintaan yang berbeda-beda tetapi komoditi dapat terdistiribusi ke tujuan.
Metode yang dapat menyelesaikan persoalan ini adalah metode ACCPM. Metode ini telah ditemukan oleh Babonneau pada penelitiannya dalam menghitung persoalan penugasan lalu lintas dengan permintaan lentur dan menghasilkan numerical result sebagai penyelesaian dalam persoalan lalu lintas dengan permintaan lentur. Dalam penelitian ini penulis mengembangkan metode ACCPM,
Universita Sumatera Utara

4
metode ACCPM merupakan metode lokalisasi dengan relaksasi Lagrangian variabel ganda dan disebut dengan relaksasi ganda akan merelaksasi kendala pada traffic assignment problem, sehingga dapat menemukan titik daerah yang dapat mengalihkan kepadatan lalu lintas yang terjadi dengan mengalihkan pengguna jalan pada rute alternatif.
1.2 Perumusan Masalah
Lalu lintas adalah pergerakan dari sebuah objek dari titik awal (origination) ke titik tujuan (destination) secara acak (random). Dalam pendistribusian barang dari asal ke tujuan diperlukan pemilihan rute dengan equilibrium biaya perjalanan dapat diperkecil dalam menggunakan rute alternatif. Penugasan lalu lintas dengan permintaan lentur adalah penugasan lalu lintas pada titik lokalisasi tertentu dalam penyaluran barang dari asal ke tujuan dimana suplai akan terdistibusi habis. Pada penelitian sebelumnya Babonneau JP Vial menyelesaikan elastisitas dan suatu permintaan terhadap penugasan lalu lintas dan menemukan suatu metode penyelesaiannya yaitu metode ACCPM. Dalam hal ini metode ACCPM yang telah digunakan Babonneau dalam penelitiannya akan dikembangkan untuk menyelesaikan persoalan TAP dengan permintaan lentur dengan menggunakan titik lokalisasi.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah mengembangkan metode ACCPM yang telah ditemukan Babonneau dalam penelitiannya. Metode ACCPM dengan titik lokalisasi digunakan untuk menyelesaikan traffic assignment problem dengan permintaan lentur.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat pada masalah yang berhubungan dengan jaringan lalu lintas dalam menentukan jaringan sebagai rute alternatif dalam menghindari kemacetan lalu lintas. Dengan meminimumkan waktu pejalanan dan biaya.
Universita Sumatera Utara

5 1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literature dan kepustakaan dengan mengumpulkan informasi dari beberapa jurnal. Langkah-langkah yang digunakan adalah sebagai berikut:
1. Mempelajari teori yang berhubungan dengan materi ini. 2. Menentukan model traffic assignment problem. 3. Membuat kendala traffic assignment problem dengan permintaan lentur. 4. Merelaksasikan kendala dengan relaksasi Lagrangian. 5. Menyelesaikan persoalan penugasan dengan metode ACCPM
Universita Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Persoalan traffic assignment problem dengan permintaan lentur merupakan persoalan dalam menemukan rute yang dapat menghubungkan sumber ke tujuan dalam mendistribusikan komoditas pada permintaan lentur dengan biaya yang dapat diminimalisasikan. Sehingga diperlukan metode yang dapat menyelesaikan persoalan tersebut. Metode ACCPM diangggap dapat menyelesaikan persoalan penugasan lalu lintas dengan permintaaan lentur, karena metode ini dapat menemukan titik lokalisasi yang dapat mengalihkan pengguna jalan dalam menggunakan rute yang dianggap lebih efisien. Sehingga permintaan dari sumber ke tujuan dapat terpenuhi dengan minimisasi cost.
Dalam penelitian Babonneau dan Vial. (2008), yang menemukan metode efisien untuk menghitung persoalan penugasan lalu lintas dengan permintaan lentur. Metode yang ditemukan adalah metode ACCPM, dengan metode tersebut Babonneau memperoleh numerical result sebagai hasil dalam penyelesaian persoalan dalam penelitiannya. Menggunakan tiga fungsi: fungsi konstan dengan kapasitas arc, fungsi BPR transportasi dan fungsi Kleinrock.
Menurut Szeto, et al. (2006) pada penelitiannya bahwa jaringan transportasi sangat mempengaruhi mobilitas dan perekonomian Negara, untuk menilai keandalan jaringan secara akurat dan merancang jaringan transportasi yang dapat diandalkan dengan baik harus dipertimbangkan pengambilan risiko dan perilaku elastisitas permintaan. Kontribusi utama dari penelitian ini adalah: menemukan resiko dari penugasan lalu lintas dengan permintaan lentur, menggunakan formulasi NCP dan menentukan metode solusi yang dapat menyelesaikan persoalan tersebut, dalam penelitian Carey (2008), pendekatan beberapa analitik telah dikembangkan untuk menggambarkan atau memprediksi arus lalu lintas pada jaringan dengan waktu yang bervariasi (dinamis) travel demand, arus dan waktu perjalanan. Kunci utama model ini terletak pada pemodelan arus atau waktu perjalanan pada link individu, tetapi karena ini dibuat lebih realis-
6
Universita Sumatera Utara

7
tis atau akurat cenderung membuat model keseluruhan kurang komputasi. Untuk membantu mengatasi persoalan tersebut dikembangkan keseimbangan tingkat pengguna kerangka kerja yang memisahkan penugasan atau pemuatan arus pada jaringan ruang-waktu dari pemodelan arus dan waktu perjalanan dalam link individu. Pada penelitian ini ditunjukkan bahwa model memenuhi definisi keseimbangan/ekulibrium pada lalu lintas.
Penelitian Hamdouch, et al. (2004), bertujuan membuat sebuah model penugasan lalu lintas yang dinamis di mana pilihan strategis merupakan bagian integral dari perilaku pengguna jalan. Model ini didasarkan pada deskripsi diskrit variasi waktu mengalir melalui jaringan jalan yang melibatkan arc dengan kapasitas kaku. Dalam jaringan tersebut, strategi pengemudi terdiri dalam aturan ke setiap node dari jaringan set arc pada titik utama dari simpul tersebut, berdasarkan pada permintaan. Penugasan kesetimbangan dicapai ketika penundaan yang diharapkan dari strategi aktif minimal, untuk setiap pasangan asal-tujuan. Penelitian ini membuktikan bahwa keberadaan penugasan ada dan memberikan hasil numerik pada jaringan pengujian.
Menurut Dulce, et al. (2007), tujuan dari masalah penugasan lalu lintas adalah untuk mendapatkan pola arus lalu lintas pada travel demand asal-tujuan arus lalu lintas dan fungsi kinerja tergantung pada jaringan jalan. Dalam kasus umum, masalah penugasan lalu lintas dapat dirumuskan sebagai ketidaksetaraan varitional, dan beberapa algoritma telah dikembangkan untuk solusi yang efisien. dalam penelitian ini diusulkan suatu pendekatan baru yang menggabungkan dua prosedur yang ada: masalah master algoritma dekomposisi simplicial diselesaikan dengan metode ACCPM (Analytic Center Cutting Plane Method, sedangkan penelitian yang dilakukan Boyce, et al. (2001) yang menganalisis formula dari dinamik traffic assignment, difokuskan pada percobaan pendekatan variasi inequality dalam menentukan solusi algorithma dan komputasi.
Universita Sumatera Utara

BAB 3
TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM, PERMINTAAN LENTUR TERHADAP LALU LINTAS
3.1 Traffic Assignment Problem
Masalah transportasi umumnya berkaitan dengan mendistribusikan barang sembarang komoditi dari sembarang kelompok pusat pemasok, yang disebut dengan sumber, ke sembarang pusat penerima disebut dengan tujuan. Sedemikian rupa sehingga meminimumkan biaya disribusi total. Seperti masalah transportasi, masalah penugasan (assignment problem) merupakan kasus khusus dari masalah linear programming pada umumnya. Dalam dunia usaha (bisnis) dan industri, manajemen sering menghadapi masalah-masalah yang berhubungan dengan penugasan optimal dari bermacam-macam sumber yang produktif atau personalia yang mempunyai tingkat efisiensi yang berbeda-beda untuk tugas yang berbeda pula. Metode Hungarian adalah salah satu dari beberapa teknik pemecahan masalah penugasan. Untuk dapat menerapkan metode Hungarian, jumlah sumber-sumber yang ditugaskan harus sama persis dengan jumlah tugas yang akan diselesaikan. Selain itu, setiap sumber harus ditugaskan hanya satu tugas. Jadi masalah penugasan akan mencakup sejumlah n sumber yg mempunyai n tugas. Ada n! (n faktorial) penugasan yg mungkin dalam suatu masalah karena perpasangan satusatu. Masalah ini dapat dijelaskan dengan mudah oleh bentuk matrik segi empat, dimana baris-barisnya menunjukkan sumber-sumber dan kolom-kolomnya menunjukkan tugas-tugas.
Penugasan adalah suatu model yang berhubungan dengan jaringan. Metode ini merupakan model khusus dari suatu program linear yang serupa dengan metode transportasi. Perbedaannya adalah dalam model penugasan penawaran pada tiap sumber dan permintaan pada setiap tempat tujuan dibatasi sebanyak satu unit barang/orang saja.
Dalam masalah penugasan akan didelegasikan sejumlah tugas (assignment) kepada sejumlah penerima tugas (assignee) dalam basis satu satu. Jadi pada ma-
8
Universita Sumatera Utara

9
salah penugasan ini diasumsikan bahwa jumlah assignment sama dengan jumlah assignee. Jadi data pokok pertama yang harus dimiliki dalam menyelesaikan suatu masalah penugasan adalah jumlah assignment dan data assignee. Selain data dan jumlah assignment yang terlibat, data lain yang biasa diperlukan adalah besar kerugian yang ditimbulkan atau besar keuntungan yang didapatkan oleh assignee dalam menyelesaikan assignment. Sedangkan tujuan dari masalah penugasan adalah berusaha untuk menjadwalkan setiap assignee pada suatu assignment sedemikian rupa sehingga kerugian yang ditimbulkan minimal atau keuntungan yang didapatkan maksimal.
Yang dimaksud dengan kerugian pada masalah penugasan adalah biaya dan waktu, sehingga diasumsikan bahwa masalah penugasan adalah masalah minimisasi dan maksimisasi. Masalah penugasan berkaitan dengan keinginan perusahaan dalam mendapatkan pembagian atau alokasi tugas (penugasan) yang optimal, dalam arti apabila penugasan tersebut berkaitan dengan keuntungan maka bagaimana alokasi tugas atau penugasan tersebut dapat memberikan keuntungan yang maksimal, begitu pula sebaliknya jika menyangkut biaya. Permasalahan penugasan lalu lintas terkait dalam menemukan distribusi arus lalu lintas di seluruh jaringan rute. Hal ini memungkinkan permasalahan dengan menggunakan model jaringan dapat dirumuskan dan arus lalu lintas dari satu atau lebih komoditas pada link jaringan dapat dihitung, setiap komoditas terkait dengan arus daerah asal dan tujuan.
Traffic assignment problem adalah persoalan penugasan lalu lintas dalam pencarian rute terpendek dari suatu daerah asal ke daerah tujuan. Mencari rute atau jarak minimum pada arus lalu lintas. Untuk suatu perjalanan dari asal ke tujuan akan terdapat hambatan lalu lintas seperti kemacetan, jalan rusak dan lainlain. Jika terdapat jalur alternatif maka pengguna jalan akan selalu memilih jalur alternatif. Konsep hambatan lalu lintas digunakan dalam Traffic Assignment Problem. Dengan menetapkan satu ukuran kuantiti yang menjadi hambatan dalam lalu lintas dan mengkaji hubungan antara hambatan lalu lintas dengan rute alternatif yang dapat digunakan. Sehingga jalur lalu lintas yang memiliki hambatan akan ditugaskan ke zona-zona lalu lintas yang telah diminimumkan dalam peng-
Universita Sumatera Utara

10
gunaannya. Sebagai contohnya pada jalur lalu lintas, andaikan node 1 adalah rumah (asal) akan menuju daerah tujuan, dengan:
1. Node 1 akan menuju node 2 sebanyak 2400 kendaraan.
2. Node 1 akan menuju node 3 sebanyak 1500 kendaraan.
3. Node 1 akan menuju node 4 sebanyak 3670 kendaraan.

Dari contoh dapat dilihat pada Node 1 menuju node 4 terjadi pembebanan lalu lintas yang dapat menyebabkan terjadi hambatan pada lalu lintas seperti kemacetan, karena banyaknya beban pada jalur lalu lintas tersebut dengan jumlah kendaraan yang lebih banyak dari tujuan node yang lain. Dalam hal ini pembebanan lalu lintas harus dialihkan untuk memperoleh keseimbangan pada jalur lalu lintas tersebut. Sehingga diperlukan rute yang dapat mengatur keseimbangan lalu lintas tersebut, dengan cost yang minimum bagi pengguna jalan. Fenomena kemacetan yang terjadi terkait dengan fungsional biaya pada link model jaringan yang nonlinear dan arus jaringan yang meningkat padat. Sebagian besar aplikasi biaya fungsional dianggap monoton, karena kemonotonan biaya fungsional dianggap perlu untuk kesetaraan solusi. Jika biaya fungsional adalah gradien maka persoalan ini disebut dengan persoalan penugasan lalu lintas dan dapat diformulasikan dalam persoalan varisional inequality( Dulce, 2007). Masalah transportasi diformulasikan menurut karakteristik-karakteristik unik sebagai berikut :
1. Suatu barang dipindahkan, dari sejumlah sumber ke tempat tujuan dengan biaya seminimum mungkin.
2. Setiap sumber dapat memasok suatu jumlah yang tetap dan tiap tempat tujuan mempunyai permintaan yang tetap.
Waktu tempuh pada semua rute yang digunakan sama atau kurang dari yang dialami oleh pengguna jalan pada rute yang tidak digunakan. Hubungan antara kelajuan lalu lintas/waktu dengan beban pada jalur lalu lintas dapat dibuat
Universita Sumatera Utara

11

dalam bentuk persamaan yang menghasilkan jalur efisien yang dapat diambil oleh pengguna jalan, yaitu:

T = T0[0, 15 + 1(bebpaenngmguunaatajnajlaanlan)]

(3.1)

dimana: T = Kelajuan lalu lintas/waktu dimana pengguna jalan mengambil jalur efisien T0 = Waktu sebelum pengguna jalan mengambil jalur efisien

Traffic Assigment problem memiliki dua syarat:

1. Beban setiap jalur lalu lintas tidak berlebihan 2. Setiap pengguna jalan yang meninggalkan asal harus sampai di destinasi.

Perumusan umum dalam menyelesaikan penugasan adalah:

Dimana :

z = l(i)a(i, j, k)v(j, k)
k,j,i
a(i, j, k)v(j, k) < c(i)
k,j
v(j, k) = t(k)
j

(3.2)
(3.3) (3.4)

dengan l(i)= Lama perjalanan pada jalur i a(i, j, k) = 1, jika jalur i dalam arus (j, k), (0, sebaliknya) v(j, k) = Aliran pada arus (j, k) diantara pasangan O-D yang ke k t(k) = Saling bertukar perjalanan antara pasangan O-D yang ke k c(i) = Muatan pada jalur i

Objektif pada persamaan tersebut adalah meminimumkan biaya dan waktu pengguna jalan selama berada pada rute yang ditugaskan dari asal ke destinasi.

Universita Sumatera Utara

12

3.2 Permintaan Lentur dan Permintaan Fix

Dalam traffic assignment problem dengan permintaan fix atau tetap, jumlah perjalanan antara asal dan tujuan adalah konstan. Traffic assignmnt problem dengan permintaan lentur jumlah perjalanan antara asal dan tujuan bergantung pada waktu tempuh antara asal dan tujuan. Menurut (Larry, 1981):

tod = god(yod)

(3.5)

dimana tod = Perjalanan antara titik asal node o dan tujuan node d yod = Waktu tempuh antara titik asal node o dan tujuan node d Bentuk dari fungsi waktu tempuh:

Aij(Xij ) = aij + bij(Xij

(3.6)

dimana

Aij = Waktu tempuh yang dilalui pada setiap arus link ij Xij = Arus pada link ij, ribuan kendaraan pada tiap jalurnya aij = Waktu tempuh kecepatan bebas pada link ij bij = Kongesi parameter untuk link ij

Unit perjalanan tod sama dengan unit dari variabel arus Xij. Fungsi god diasumsikan turun dan waktu tempuh naik, sehingga jumlah perjalanan akan semakin kecil. Jika diberikan himpunan untuk arus dan perjalanan (x, t), maka:

M inXT ∇f (x, t)

X T

=

linksij CijXij −

od pairs dod−od

(3.7)

X = Himpunan arus T = Himpunan waktu T x = Elemen himpunan arus X t = Elemen himpunan waktu T Cij dan dod = komponen gradien dari f untuk solusi (x, t).

Universita Sumatera Utara

13
Kendala dalam subproblem sama dengan original problem. Untuk setiap asal-tujuan pair od, jika perjalanan yang dipilih T od > 0, maka banyak perjalanan harus melalui beberapa rute atau rute dari asal ke tujuan. Pada permintaan fix Xij ≤ 0 dan Y od 0, sehingga permintaan optimal naik. Dalam permintaan lentur permintaan optimal harus diturunkan sehingga tod = yod. Untuk mencegah subproblem menjadi tak terbatas, batas atas pada variabel perjalanan yang dibutuhkan T od U semua perjalanan dari asal-tujuan OD
Dalam permintaan lentur transportasi yang baik sangat diperlukan. Permintaan transpotasi merupakan permintaan tidak langsung (derived demand) artinya perjalanan tidak dilakukan semata-mata untuk perjalanan itu sendiri tapi karena adanya kebutuhan yang harus dipenuhi dalam perjalanan. Permintaan dipengaruhi oleh banyak faktor, dengan adanya perubahan faktor akan mempengaruhi perubahan permintaan. Elastisitas atau kelenturan merupakan ukuran yang sering digunakan untuk menyatakan perubahan reaksi permintaan (responsive of demand) terhadap faktor-faktor yang mempengaruhi permintaan. Dalam konsep elastisitas dikenal elastisitas permintaan atau kelenturan permintaan dan penawaran. Permintaan lentur mengukur perubahan relatif dalam jumlah unit barang yang dibeli sebagai akibat salah satu faktor yang mempengaruhinya. Lebih lanjut diungkapkan bahwa kelenturan yang dikaitkan dengan harga barang itu disebut kelenturan harga atau elastistas harga, sedangkan bila dikaitkan dengan pendapatan disebut dengan elastisitas pendapatan.
Permintaan lentur dalam lalu lintas adalah sistem lalu lintas yang memaksimalkan efisiensi dalam memenuhi permintaan yang diseimbangkan dengan biaya dan waktu. Merupakan suatu ukuran reaksi jumlah yang diminta terhadap jumlah biaya, dimana persentase perubahan kuantitas yang dibeli (jumlah pejalanan) berbanding dengan persentase perubahan harga. Permintaan akan perjalanan mempunyai keterkaitan yang besar dengan aktivitas yang ada dalam masyarakat. Pada dasarnya permintaan atas jasa transportasi merupakan kebutuhan akan transport dari pemakai sistem tersebut. Baik untuk angkutan manusia maupun angkutan barang dan karena itu permintaan jasa akan transport merupakan dasar yang penting dalam mengevaluasi perencanaan transportasi dan desain fasilitas-
Universita Sumatera Utara

14
nya. Semakin banyak dan pentingnya aktivitas yang ada maka tingkat akan kebutuhan perjalananpun meningkat, merupakan cerminan akan kebutuhan transportasi dari pemakai sistem tersebut. Pada dasarnya permintaan jasa transportasi diturunkan dari:
1. Kebutuhan seseorang untuk berjalan dari suatu lokasi ke lokasi lainnya untuk melakukan suatu kegiatan.
2. Permintaan akan angkutan barang tertentu agar tersedia tempat yang diinginkan.
Dalam mengakomodasi permintaan akan perjalanan tentunya diperlukan biaya (harga). Permintaan akan transportasi timbul dari perilaku manusia akan perpindahan manusia atau barang yang mempunyai ciri-ciri khusus. Ciri-ciri khusus tersebut bersifat tetap dan terjadi sepanjang waktu. Dalam pendekatan teori mikro ekonomi standar supply dan demand dikatakan berada pada kompetisi sempurna bila terdiri dari sejumlah besar pembeli dan penjual. Dimana tidak ada satupun penjual ataupun pembeli yang dapat mempengaruhi secara disproposional harga dari barang demikian juga dalam hal transportasi. Dikatakan mencapai kompetisi sempurna bila tarif atau biaya transportasi tidak terpengaruh oleh pihak penumpang maupun penyedia sarana transportasi. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa supply dirasa cukup, bila permintaan terpenuhi tanpa adanya pengaruh dalam tarif perjalanan baik dari penyedia transportasi maupun penumpang.
Ada kecenderungan bahwa semakin meningkatnya permintaan perjalanan yang memperbesar volume perjalanan akan memperbesar tarif perjalanan. Meningkatnya volume perjalanan akan mengakibatkan antrian jadwal perjalanan, waktu pengambilan dan penurunan penumpang, kepadatan lalu lintas dan lainnya. Akibat lebih lanjut dari meningkatnya waktu perjalanan adalah meningkatnya tarif perjalanan akibat peningkatan bahan bakar yang dibutuhkan. Jika konsumen membelanjakan pendapatannya dengan persentase yang cukup besar (untuk transportasi), maka konsumen akan berupaya lebih keras untuk mencari
Universita Sumatera Utara

15
pengganti apabila biaya transportasi meningkat. Jika konsumen mendapati bahwa harga dan ketersediaan barang pengganti tidak sulit, permintaan akan lebih elastis. Dalam konteks yang sama, semakin banyak waktu yang dimilki konsumen untuk memperoleh barang pengganti, permintaan akan menjadi semakin elastis.
Dalam menyelesaikan persoalan lalu lintas dengan permintaan lentur diperlukan manajemen transportasi salah satunya dengan mengurangi jarak perjalanan atau menyediakan rute perjalanan yang lebih efisien dalam perjalanan dari daerah asal ke tujuan. Karena jarak perjalanan dapat mempengaruhi pengguna jalan dalam memilih rute. Pengguna jalan akan memilih rute yang dapat mempengaruhi biaya menjadi lebih kecil. Terdapat beberapa faktor yang mempengaruhi pemilihan rute pada saat melakukan perjalanan, yaitu:
1. Waktu tempuh; 2. Jarak; 3. Biaya (bahan bakar dan lainnya); 4. Kemacetan dan antrian; 5. Jenis jalan raya (jalan tol, arteri); 6. Kelengkapan rambu dan marka jalan; 7. Pemandangan; 8. Kebiasaan.
Dengan adanya faktor faktor tersebut dapat mempengaruhi permintaan, sehingga diperlukan metode yang dapat menyelesaikan persoalan lalu lintas dengan permintaan lentur. Dimana pengguna jalan dapat memilih rute yang efisien dan tidak merugikan bagi pengguna jalan.
Universita Sumatera Utara

16

3.3 Metode ACCPM

ACCPM ( Analytic Center Cutting Plane Method) adalah metode lokalisasi

dengan polyhedron, masalah pada ACCPM adalah menemukan titik pada him-

punan konveks P = {z aiT z bi, i = 1, ...m}

Analytic Center

m
(P ) = arg min − log(log bi − aiT z)
zi

(Boyd, et al. 2007)

(3.8)

Titik permintaan berikutnya

xk+1 = AC(Pk)

(3.9)

Dengan versi kanonik max {f (u) = f1(u) + f2(u) |u 0} ACCPM mengeksploitasi fakta bahwa smooth komponen f2 dari fungsi objektif adalah konkav dengan eksplisit pertama dan turunan kedua. (Babonneau dan Vial, 2008) Cutting plane dapat diformulasikan aT z b a t x(k) untuk persoalan standard konveks (a, b) disebut cutting-plane, karena mengeliminasi half space {z aT z > b} di titik x, meminimisasi f0(x).
Untuk fi(x) 0, i = 1, ...m. Jika x(k) dengan kendala fix(k) > 0, maka a = gi, b = giT x(k) − fi(x(k)), dimana gi ∈ ∂fi(x(k)). Jika x(k) ada, maka a = g0, b = g0T x(k) − f0(x(k)) + fbkest, dimana g0 ∈ ∂f0(x(k)) dan fbkest adalah nilai objektif terbaik yang ditujukan untuk iterasi yang layak.
Setiap iterasi ACCPM memerlukan komputasi analytic center dari himpunan inequality linear aTi x bi, i = 1, ...m (x adalah halfspace yang dipotong) yang menentukan lokalisasi polyhedron P . Diasumsikan bahwa inequality didefinisikan dengan ai dan bi serta m adalah jumlah sebanyak i dapat mengubah iterasi ACCPM dengan menambah cutting − plane yang baru dan memungkinkan mengeliminasi yang lain. Inequality dapat mencakup inequality yang asli yang didefinisikan dengan P0.

Universita Sumatera Utara

17

f0, ..., fm : Rn → R Konveks ; X adalah himpunan dari titik optimal: p∗ adalah nilai optimal Jika x tidak layak, maka fj(x) > 0 titik layaknya adalah:

fj(x) + gjT (z − x) 0, gj ∈ ∂fj(x)

(3.10)

(Boyd, 2007) Jika x layak, maka titik objektifnya:

g0T (z − x) + f0(x) − fbkest 0, g0 ∈ ∂f0(x)

(3.11)

Untuk menemukan analytic center, persoalan berikut harus diselesaikan

(Boyd, 2007)

minimizeΦ(x) = −

m i=1

log(bi

−

aiT

x)

(3.12)

Ini adalah persoalan yang tak terbatas, tapi domain fungsi objektif polyhedron terbuka. Dom Φ = {x|aiT x < bi, i = 1, ...m}, interior dari polyhedron. Dalam komputasi analytic center tidak diberikan titik pada domain. Salah satu pendekatan sederhana adalah dengan fase I metode optimisasi untuk menemukan titik pada dom Φ (atau menentukan bahwa dom Φ = ϕ). Menemukan titik pada himpunan konveks X ∈ Rn atau menentukan X = ϕ

Dalam ACCPM titik permintaan adalah perkiraan proximal analytic center

dari set lokalisasi didefinisikan sebagai intersection dari cutting planes. Analytic

center proximal didefinisikan sebagai minimisasi dari logaritmik barrier untuk

lokalisasi, ditambah dengan proximal. ACCPM berdasarkan dengan relaksasi

Lagrangian. Jika vektor arc u 0 digunakan sebagai vector variabel ganda maka

Lagrangian dual problem :

max f(u)
u0

(3.13)

(Denault and Goffin,1998)

Universita Sumatera Utara

18

3.4 Relaksasi Lagrangian

Untuk memahami masalah relaksasi Lagrange dalam diperlukan beberapa pengertian/konsep tentang pemrograman linear. Konsep dasar yang harus dipahami terkait pemrograman linear adalah fungsi linear dan pertidaksamaan linear. Definisi 1. Misalkan f (x1, x2, ..., xn) menyatakan suatu fungsi dalam dalam variabel-variabel x1, x2,..., xn fungsi f (x1, x2, ..., xn) dikatakan linear jika dan hanya jika untuk suatu himpunan konstanta c1, c2,..., cn, f (x1, x2, ..., xn) = c1x1 + c2x2 + · · · + cnxn. (Winston, 2004).
Definisi 2. Untuk sembarang fungsi linear f (x1, x2, ..., xn) dan sembarang bilangan b, pertidaksamaan f (x1, x2, ..., xn) = b dan f (x1, x2, ..., xn) = b adalah pertidaksamaan linear. (Winston, 2004) Ide dari permasalahan relaksasi lagrange berawal dari metode penalti. Metode penalti ini merupakan metode yang digunakan untuk mencari solusi hampiran dari masalah pemrograman berkendala. Pada permasalahan relaksasi lagrange kendala yang direlaksasi digantikan dengan suku penalti pada fungsi objektifnya dengan melibatkan kendala yang direlaksasi dan variabel masalah dual. Misalkan diberikan masalah maksimisasi interger programming dengan:

Max Z = cx terhadap

Ax b

(3.14)

Dx e

(3.15)

x 0 dan integer

Untuk memformulasikan masalah relaksasi Lagrange, misalkan kendala yang akan direlaksasi adalah Ax ≤ b dan didefinisikan u adalah pengali Lagrange, dengan u ≥ 0 sehingga u(b − Ax) 0. Lagrangian merupakan metode untuk mengoptimasi suatu permasalahan pemecahan /pemisahan nonlinear programming ataupun linear programming. Ide pokok dari pendekatan ini adalah suatu nutshell, yaitu dekomposisi dan koordinasi. Dekomposisi yang dilakukan adalah dekomposisi yang berdasarkan model pemisahan/pemecahan sedangkan koordinasi yang dilakukan adalah koordinasi yang berdasarkan konsep pembaruan suatu

Universita Sumatera Utara

19 nilai pengali lagrange (lagrange multiplier). Pada metode ini suatu batasan direlaksasi melalui pengali lagrange, dan permasalahan relaksasi dapat didekomposisi menjadi subpermasalahan yang lebih kecil. Dengan adanya pengali lagrange, subpermasalahan ini dapat menjadi lebih mudah diselesaikan dan diminimumkan. Metode lagrangian merupakan suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan fungsi objektif permasalahan yang langsung dikaitkan dengan fungsi kendalanya (batasan). (Akhmed, 2011)
Universita Sumatera Utara

BAB 4 PEMBAHASAN DAN HASIL

4.1 Model Traffic Assignment Problem

Persoalan penugasan lalu lintas atau traffic assignment problem mempunyai beberapa model, salah satu bentuk model penugasan adalah:

(Babonneau dan Vial, 2008)

min
x,y

fa(ya)

a∈A

(4.1)

(Boyce, et al. 2001)

xka = ya, ∀a ∈ A
k∈K
N xk = dkδk, xk 0 ∀k ∈ K

(4.2) (4.3)

G(N, A) merupakan graph berorientasi, dimana: N = Insiden matriks fa = Fungsi kongesi pada arc a dk = Vektor permintaan untuk komoditas k δk = Permintaan dari daerah asal ke tujuan untuk komoditas k
Jika G = (N, A) merupakan jaringan dimana N merupakan node dan A merupakan link, dan notasi insiden matrik G dengan A. Jika K merupakan indeks asal-tujuan (o, d) dimana o ∈ N dan d ∈ N, maka k = (o, d) untuk k ∈ K dan menunjukkan k sebagai komoditi, tk merupakan komponen vektor t. Vektor flow komoditi dinotasikan dengan variabel xk. Total dari vektor flow komoditi dinotasikan dengan v dimana v = k xk. Persoalan traffic assignment dengan permintaan lentur dapat didefinisikan dalam bentuk:

v = xk
k∈K
Axk = tkEk ∀k ∈ K
20

(4.4) (4.5)

Universita Sumatera Utara

21

(Donald, 2002).

xk 0 ∀k ∈ K tk 0 ∀k ∈ K

(4.6) (4.7)

Dimana Ek = eo − ed, dan eo dan ed adalah unit vektor. Ek adalah kolom insiden matrik untuk komoditi k = (o, d) dengan -1 untuk origin atau daerah asal dan +1 pada destinasi atau tujuan.(Donald, 2002)

Pemodelan traffic assignment dengan permintaan lentur dengan fungsi waktu tempuh ta(ya) dimana waktu tempuh monoton naik pada fungsi kongesi adalah

ya dk

min ta(s)ds − λk(s)ds

x,y,d a∈A

0

k∈K 0

(4.8)

(Babonneau, 2008)

xk = y
k∈K
N xk = dkδk, xk 0 ∀k ∈ K

(4.9) (4.10)

dengan λk(s) = d−k 1(s)

ya

Kongesi f(y) =

ta(s)ds

a∈A 0

dk

Disulity g(d) = −

λk (s)ds

k∈K 0

(4.11) (4.12)
(4.13)

4.2 Constraint Pada Persoalan Traffic Assignment

Jika G merupakan graph, dimana N adalah himpunan nodes dan A adalah himpunan arcs. Graph menunjukkan jaringan pada perjalanan pengemudi dari asal ke tujuan. Ditentukan K adalah himpunan pasangan zona asal dan tujuan. Jika N adalah node arc matriks dari G dan jika x menunjukkan arus vektor, maka flow set dapat didefinisikan:

xs = (x o|N xk = δkdk, k ∈ K).

(4.14)

Universita Sumatera Utara

22

δk adalah permintaan untuk daerah pasangan asal-tujuan k. Vektor dk mempunyai dua komponen tak nol: -1 pada asal dan 1 pada tujuan. δ adalah vektor semua permintaan (Babonneau and Vial, 2008)

Jika flow x ∈ Xs, maka dapat dihitung waktu tempuh yang dihabiskan driver mencakup jarak dari asal ke tujuan. Diasumsikan bahwa waktu tempuh arc dinotasikan dengan, tta adalah nondecreasing positif. Fungsi arus total pada arc a dinotasikan dengan ya. Waktu tempuh total adalah jumlah waktu perjalanan dari arc yang digunakan. Misalkan Rk adalah himpunan semua rute dari asal driver k ke tujuan. Waktu tempuh dari rute r ∈ Rk adalah:

λkr = tta(ya)
a∈r

(4.15)

Permintaan δk untuk k pasangan asal tujuan bergantung pada waktu terpendek dari suplay node ke node permintaan. Fungsi permintaan δk(λ) , dimana λ adalah waktu tempuh sepanjang jalur terpendek. (Josefsson and Patriksson, 2007). Hal ini menunjukkan bahwa total fungsi permintaan dapat dipisahkan menjadi fungsi permintaan pasangan asal tujuan. Implikasi lainnya bahwa fungsi Invers δk ada. Ditunjukkan Λk(s) = δk−1(s) dimana s adalah permintaan. Menurut prinsip pengguna-equilibrium, waktu tempuh dari semua rute yang digunakan adalah kurang dari atau sama dengan waktu yang dialami oleh driver tunggal pada rute yang tidak terpakai. Kondisi ini ditunjukkan dalam bentuk persamaan:

xrk

>

0

⇒

λrk

=

min
p∈Rk

λkp ,

r ∈ Rk, k ∈ K

(4.16)

xrk = 0 ⇒ λrk

min
p∈Rk

λpk

,

r ∈ Rk, k ∈ K

(4.17)

Ketika waktu tempuh dan fungsi permintaan terpisah dan integral, kondisi equi-

librium merupakan solusi dari masalah optimisasi

δk δk

min tta(s)ds − Λk(s)ds

x,y,δ k∈K

0

k∈K 0

(4.18)

y = xk
k∈K
(x, s) ∈ F

(4.19)

Universita Sumatera Utara

23

F didefinisikan sebagai:

F = {(x, s)|δ 0, x ∈ Xδ

(4.20)

F adalah Polyhedron sederhana yang berkaitan dengan jaringan matrik. Lebih tepatnya untuk setiap k mempunyai

 xk
(N. − dk)   = 0 δk

(4.21)

Matrik (N, −dk) sesuai dengan jaringan original dengan tambahan arc dari daerah

tujuan ke asal pada pasangan asal tujuan k. Kondisi ini menunjukkan konservasi

arus pada jaringan. Arc berkaitan dengan vektor dk. Formulasi ini tidak secara

langsung ekuivalen terhadap traffic assignment problem dengan permintaan tetap

atau fix. Dengan menambahkan node dan busur dapat dibuat model setara pada

traffic assignment problem dengan permintaan yang fix. Konstrain pada persoalan

penugasan lalu lintas adalah fungsi kemacetan dan fungsi disutility yang dapat

didefinisikan:

ya

g(y) = ga(ya) =

tta(s)ds

a∈A

a∈A 0

(4.22)

dan fungsi permintaan disutility:

δk

h(s) = hk(δk) = −

Λk(s)ds

k∈K

k∈K 0

(4.23)

Dapat diasumsikan bahwa tta(s) adalah naik dan Λk(s) adalah turun. Sehingga

g dan h adalah convex dan kendala dalam traffic assignment problem:

dalam bentuk abstrak

y = Xk
k∈K
y = Mx

Persoalan optimisasi yang muncul adalah min

(4.24) (4.25)

g(y) + h(δ)

Universita Sumatera Utara

24

Fungsi tujuan adalah

Mx y (x, δ) ∈ F

(4.26)

4.3 Merelaksasi Constraint dengan Relaksasi Lagrangian

Vektor arc u 0 dikaitkan dengan waktu tempuh. Vektor yang digu-

nakan dua varibel merelax konstrain Mx y akan memperoleh permasalahan

Lagrangian dual.

max f(u)
u0

(4.27)

Dimana f didefinisikan dalam bentuk persamaan dengan vektor u:

f(u) = min{g(y) + h(δ) + u, Mx − y |(x, δ) ∈ F }
y,x,δ

(4.28)

Dapat diketahui bahwa fungsi dual konkav dan nilai optimalnya adalah batas

bawah. Dalam kondisi keteraturan masalah primal dan dual memiliki nilai optimal

yang identik. Inspeksi yang cepat menunjukkan terpisah pada y dan x dan dapat

dituliskan:

f (u) = f1(u) + f2(u)

(4.29)

dimana

f1(u) = min{h(δ) + MT u, x |(x, δ) ∈ F }
x,δ

(4.30)

dan

f2(u)

=

min{g(y)
y0

−

u, y }

(4.31)

Minimisasi dibatasi y 0 karena y = Mx, M 0 dan x 0. Komputasi f1(u)

ekuivalen dengan dua tahap minimisasi.

f1(u)

=

min{h(δ)
δ

+

min
x

MT u, x

|(x, δ) ∈ F

(4.32)

Universita Sumatera Utara

25

Minimisasi x untuk δ mengurangi persoalan kanonik δ = 1

min{ MT u, x |(x, δ) ∈ F } = δ min{ MT u, x |(x, 1) ∈ F }
xx

(4.33)

Sisi kanan dari persamaan diatas adalah masalah lintasan terpendek yang terdefinisi dengan baik, karena MT u 0 menutupi siklus negatif. Andai εu adalah penugasan jalur terpendek relative terhadap waktu tempuh tentative u

M T u, εu = min{ M T u, x |(x, 1) ∈ F }
x

Sehingga

f1(u)

=

min{h(δ)
δ0

+

M T u, εu

δ}

Fungsi h adalah konveks dan differensial. Selain itu h′(δ) = Λ(δ)

cenderung turun. Oleh karena itu minimum dicapai pada:

(4.34) (4.35) 0 adalah

δu = −(h′)−1( M T u, εu

(4.36)

= arg min{h(δ) + M T u, εu δ}
δ0

(4.37)

(h′)−1(l) = −δ(l), dimana l adalah waktu tempuh.

Untuk mengimplementasikan cutting plane, antisubgradient dari f1 harus dihi-

tung. Andai u dan u merupakan dua titik yang berbeda, maka diperoleh:

f1(u′) = min{h(δ) + M T u′, x |(x, δ) ∈ F }
x,δ

(4.38)

= h(δu′) + M T u′, εu′ δu′

(4.39)

Jika δu dan ε pada sisi kanan diganti dengan δu dan εu maka suboptimal solusi

minimisasi sehingga:

f1(u′) h(δu) + M T u′, εu δu

(4.40)

= h(δu) + M T u, εu δu + (M εu)δu, u′ − u δu

(4.41)

= f1(u) + (a, u′ − u),

(4.42)

Dengan a = (M εu)δu ∈ −∂(−f1(u))

Universita Sumatera Utara

26

4.4 Menyelesaikan TAP dengan Permintaan Lentur
Pada f2 sama halnya seperti f1 merupakan titik minimum dari koleksi fungsi affine u dan konkav, f2 dapat ditulis secara explicit sebagai fungsi differensial kontinue dua kali. Untuk menafsirkan relaksasi lagrangian, akan relevan membandingkannya dengan pendekatan primal, pada fixed demand TAP. Dalam pendekatan dual, konsep utamanya adalah waktu tempuh. Relaksasi Lagrangian berkaitan dengan waktu tempuh fungsi dual. Fun