Analisis Sensitivitas Pada Optimalisasi Assignment Problem Dengan Metode Hungarian

(1)

ANALISIS SENSITIVITAS PADA OPTIMALISASI

ASSIGNMENT

PROBLEM

DENGAN METODE HUNGARIAN

SKRIPSI

NIXON FRITCH M SIBURIAN

050803022

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2010

(2)

ANALISIS SENSITIVITAS PADA OPTIMALISASIASSIGNMENT PROBLEM

DENGAN METODE HUNGARIAN

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

NIXON FRITCH M SIBURIAN 050803022

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2010

(3)

iii

PERSETUJUAN

Judul : ANALISIS SENSITIVITAS PADA OPTIMALISASI

ASSIGNMENT PROBLEM DENGAN METODE

HUNGARIAN

Kategori : SKRIPSI

Nama : NIXON FRITCH M SIBURIAN

Nomor Induk Mahasiswa : 050803022

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, April 2010

Komisi Pembimbing :

Pembimbing II Pembimbing I

Dra. Elly Rosmaini, M.Si Drs. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si NIP. 19600520 198503 2 002 NIP. 19531218 198003 1 003

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 19640109 198803 1 004

(4)

PERNYATAAN

ANALISIS SENSITIVITAS PADA OPTIMALISASIASSIGNMENT PROBLEM

DENGAN METODE HUNGARIAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, April 2010

Nixon Fritch M Siburian 050803022

(5)

PENGHARGAAN

Segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas kasih serta segala berkat dan anugrah-Nya yang senantiasa dilimpahkanNya hingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.

Demikian, penulis juga menyadari keterlibatan berbagai pihak yang telah membantu demi terselesaikannya skripsi ini. Oleh karena itu terima kasih penulis ucapkan kepada:

1. Ibu Dra. Elly Rosmaini, M.Si, dan Bapak Drs. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si selaku dosen pembimbing I dan II yang telah memberikan bimbingan dalam penulisan skripsi ini.

2. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang dan Drs. H. Haludin Panjaitan selaku komisi penguji atas segala masukan yang telah diberikan.

3. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Ketua Departemen Matematika FMIPA USU

4. Bapak Prof. Dr. Eddy Marlyanto, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU

5. Ayahanda, OT. Siburian, dan Ibunda, R. Lumban Gaol, yang saya kasihi atas doa dan segala dukungan moril dan materiil yang telah diberikan.

6. Saudara-saudara saya, Marina Lucia M. Siburian, Felix Julius F. Siburian, Richson Christ J. Siburian, K’ Ita, K’ Tina, atas doa dan dukungannya.

7. Trisnawati Sitompul, atas bantuan, semangat, dan doa dalam mengerjakan skripsi ini.

8. Teman-teman Matematika st’05 yang peduli atas bantuan dan perhatiannya. 9. Teman-teman cyber saya, M. Reza Hermansyah, Yudi AXL Aritonang, Putri

Tika CS, Monang Matondang, M. Reza Fahlevi, dan teman-teman sma yang lain atas bantuan password jurnalnya.

Penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam skripsi ini, baik dalam teori maupun penulisannya, karena itu penulis mengharapkan saran dari pembaca demi perbaikan bagi penulis.

(6)

Akhir kata, kiranya skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak pembaca.

Hormat saya, Penulis

(7)

vii

ABSTRAK

Masalah penugasan adalah merupakan suatu masalah yang sangat nyata dalam kehidupan keprofesian. Secara umum masalah ini berkisar tentang bagaimana memasangkan orang atau karyawan denganjob yang ada secara tepat. Sehingga biaya atau waktu yang diperlukan adalah minimum. Metode Hungarian merupakan pendekatan yang baik dalam mencari solusi ini. Hubungan keseimbangan antara pekerja dan tugas dalam persoalan penugasan mengakibatkan sulitnya menggunakan metode analisis sensitivitas. Sehingga akan dilakukan analisis dengan bantuan software QM yang mana akan diterapkan pada metode Hungarian. Skripsi ini akan mempresentasikan analisis senstivitas pada fungsi tujuan.

(8)

ABSTRACT

Assignment problem is a very real problem in life professions. In general, this issue revolves on how to pair the person or employee with an existing job properly. So that the cost or time required is minimum. Hungarian method is a good approach in finding solutions. The balance relation between workers and jobs inassignment problem makes it difficult to use sensitivity analysis methods. So the analysis will be done by QM software helped that it applied on Hungarian methods. This thesis present a sensitivity analysis on the objective function.

(9)

viii

DAFTAR ISI

Halaman Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak vi

Abstract vii

Daftar Isi viii

Daftar Tabel ix

Daftar Gambar x

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tinjauan Pustaka 2

1.4 Tujuan Penelitian 5

1.5 Kontribusi Penelitian 6

1.6 Metode Penelitian 6

Bab 2 Landasan Teori 7

2.1 Matriks 7

2.1.1 Pengertian Matriks 7

2.1.2 Penjumlahan Matriks 7

2.1.3 Perkalian Matriks 8

2.1.4 Perkalian Matriks dengan Bilangan 8

2.2 Persoalan Optimasi dan Program Linear 9

2.3 Masalah Transportasi 10

2.4 Metode Hungarian 14

2.5 Analisis Sensitivitas 17

2.6 Analisis Sensitivitas pada Metode Hungarian 20 2.6.1 Analisis Sensitivitas pada Variabel Non Basis 22 2.6.2 Analisis Sensitivitas pada Variabel Basis 23 2.7 Perbedaan Analisis Sensitivitas Dengan Metode Simpleks dan Metode Hungarian 24 2.7.1 Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Utuk Variabel Nonbasis 26 2.7.2 Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Utuk Variabel Basis 27

Bab 3 Pembahasan 29

3.1 Assigment Problem 29

3.2 Contoh Kasus dan Penyelesaiannya 29

3.3 Penerapan Analisis Sensitivitas Pada Metode Hungarian 34 3.3.1 Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Variabel Non Basis 35 3.3.2 Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Variabel Basis 36 Bab 4 Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 37

4.2 Saran 37

(10)

LAMPIRAN A RANGE VARIABEL BASIS 39

(11)

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 3.2.1 Jarak berbagai tempat produksi ke tempat pemasaran 26

Tabel 3.2.2 Penetapan standar 26

Tabel 3.2.3 Biaya opportunity baris 1 27

Tabel 3.2.4 Biaya opportunity baris 2 28

Tabel 3.2.5 Biaya opportunity baris 3 28

Tabel 3.2.6 Biaya opportunity baris 4 28

Tabel 3.2.7 Biaya opportunity kolom 1 28

Tabel 3.2.8 Biaya opportunity kolom 2 29

Tabel 3.2.9 Biaya opportunity kolom 3 29

Tabel 3.2.10 Biaya opportunity kolom 4 29

Tabel 3.2.11 Penyelesaian optimal 30

Tabel 3.3.1.1 Range variabel koefisien non basis 32

Tabel 3.3.2.1 Range variable koefisien basis 33

(12)

ABSTRAK

(13)

vii

ABSTRACT

(14)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Assignment problem yang biasa dibentuk dengan matriks berbobot merupakan salah satu masalah dalam dunia teknik informatika, di mana masalah ini merupakan masalah yang metode penyelesaiannya cukup kompleks. Assignment problem adalah suatu masalah mengenai pengaturan pada individu (objek) untuk melaksanakan tugas (kegiatan), sehingga dengan demikian biaya yang dikeluarkan untuk pelaksanaan penugasan tersebut dapat diminimalkan.

Salah satu dalam menyelesaikan persoalan ini adalah algoritma Brute Force, di mana dalam algoritma ini seluruh kemungkinan solusi diperhitungkan sebagai kandidat solusi. Dan algoritma penyelesaiannya menggunakan kompleksitas faktorial. Tentu saja hal ini sangat menggunakan resource yang besar dan penyelesaian dengan metode ini menjadi tidak efisien.

Alternatif lain dalam menyelesaikan masalah assignment ini adalah dengan menggunakan algoritma Hungarian. Algoritma Hungarian adalah salah satu algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan masalahassignment. Versi awalnya, yang dikenal dengan metode Hungarian, ditemukan dan dipublikasikan oleh Harold Kuhn pada tahun 1955. Algoritma ini kemudian diperbaiki oleh James Munkres pada tahun 1957. Oleh karena itu, algoritma ini kemudian dikenal juga dengan nama algoritma Kuhn-Munkres. Algoritma yang dikembangkan oleh Kuhn ini didasarkan pada hasil kerja dua orang matematikawan asal Hungaria lainnya, yaitu Denes Konig dan Jeno Egervary. Keberhasilan Kuhn menggabungkan dua buah penemuan matematis dari Jeno Egervary menjadi satu bagian merupakan hal utama yang menginspirasikan lahirnya Algoritma Hungarian. Dengan menggunakan algoritma ini, solusi optimum sudah pasti akan ditemukan. Namun untuk hal ini, kasusnya dibatasi, yaitu bila ingin menemukan solusi terbaik dengan nilai minimum (least cost search). Keuntungan terbesar penggunaan algoritma Hungarian adalah kompleksitas algoritmanya yang polinomial. Metode yang digunakan dalam algoritma Hungarian dalam memecahkan masalah sangat sederhana dan mudah dipahami.

(15)

xii

Analisis sensitivitas merupakan analisis yang dilakukan pada solusi optimal suatu persoalan program linear karena adanya perubahan diskrit parameter untuk melihat berapa besar perubahan dapat ditolerir sebelum solusi optimal mulai kehilangan optimalitasnya. Program linear merupakan suatu metode penyelesaian untuk memperoleh solusi optimal (maksimum/minimum) dari suatu persoalan.

Analisisis sensitivitas dapat dipakai untuk memprediksi keadaan apabila terjadi perubahan yang cukup besar, misalnya terjadi perubahan pembagian atau alokasi tugas karena adanya perubahan nilai optimal yang sudah dicapai. Berubahnya alokasi tugas ini menyebabkan berubahnya urutan prioritas yang baru dan tindakan apa yang perlu dilakukan.

1.2 Perumusan Masalah

Yang menjadi permasalahan dalam penelitian ini adalah menganalisis perubahan nilai optimal yang telah didapat dan pengaruhnya terhadap pembagian atau alokasi tugas (penugasan) yang optimal.

1.3. Tinjauan Pustaka

(Paul R Thie, 1983). Andaikan sebuah penempatan manager mempunyai 8 pekerjaan yang berbeda yang dilaksanakan bulan depan dan 8 buah mesin yang berbeda untuk mengerjakan pekerjaan ini. Andaikan bahwa untuk setiap mesin dan pekerjaan yang berbeda, ada nilai yang dikeluarkan jika mesin yang diberikan ditempatkan untuk mengerjakan sebuah pekerjaan. Faktor nilai ini mencakup biaya manajemen waktu, biaya produksi, dan lain-lain. Disini jelas bahwa manager mencari penugasan dari mesin ke pekerjaan yang akan meminimumkan total biaya setiap bulannya. Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan ini secara sederhana untuk membuat penugasan yang mungkin, menghitung nilai keseluruhan, dan memilih penugasan yang menghasilkan biaya minimum. Tetapi untuk setiap masalah sederhana seperti pendekatan tidak semuanya efisien, karena ada 8! = 40.320 cara untuk menugaskan 8 mesin untuk 8 pekerjaan. Masalah ini dapat diformulasikan sebagai

(16)

masalah transportasi sehingga algoritma yang akan diperkenalkan dapat digunakan sebagai alat yang efektif untuk meminimalkan nilai penugasan.

Untuk masalah penugasan secara umum, andaikan ada m individu atau mesin I1, I2,

I3,…,Im yang akan ditugaskan untuk n pekerjaan J1, J2, J3,…,Jn, dan untuk setiap Ii dan Jj, ada

nilai keseluruhan Cij yang dikeluarkan jika Ii ditugaskan kepada Jj. Dapat diasumsikan m = n ;

jika kasusnya tidak seperti ini, dapat memasukkan variabel tambahan untuk individu atau mesin kepermasalahan sehingga angkanya menjadi sama, seluruh nilai variabel tambahan adalah 0.

Solusi optimal untuk masalah yang dimodifikasi ini akan diubah langsung kepada solusi awal. Dengan asumsi ini, permasalahan adalah menghitung penugasan untuk semua m individual ke n pekerjaan sedemikian sehingga keseluruhan total biaya adalah minimum. Masalah ini dapat dengan mudah diformulasikan sebagai permasalahan program integer. Anggaplah :

0 , jika pekerjaan tidak ditugaskan ke mesin 1, jika pekerjaan ditugaskan ke mesin

i j

 =  

Kemudian masalah penugasan dapat dibuat menjadi :

minimumkan Z= C_ijX_ij

j=1 m

i=1

Dengan batasan :

= 1, = 1,2, ,

(1.1)

= 1, = 1,2, ,

(17)

xiv

(Hamdy A Taha. 1996). Pemecahan optimal dan penugasan tetap sama jika sebuah konstanta ditambahkan ke atau dikurangkan dari setiap baris atau kolom di matrik biaya ini. Struktur khusus dari model penugasan ini memungkinkan pengembangan sebuah teknik pemecahan yang efisien yang disebut metode Hungarian.

(S.S Rao, 1987). Dalam banyak permasalahan yang praktis, pengambil keputusan sangat tertarik bukan hanya untuk mendapatkan solusi optimal dalam masalah linear programming, tetapi juga ingin mengetahui bagaimana solusi optimum diganti dengan berbagai parameter dalam masalah transportasi, yang mana digunakan post-optimality analysis untuk mengetahui perubahannya.

(Zulkifli Alamsyah, 2008). Analisis sensitivitas adalah suatu analisis yang mempelajari dampak perubahan – perubahan yang terjadi baik pada parameter (koefisien fungsi tujuan) maupun pada ketersediaan sumber daya (nilai sebelah kanan), terhadap solusi dan nilai harga bayangan dari sumber daya. Kegunaannya adalah agar pengambil keputusan dapat memberikan respon lebih cepat terhadap perubahan – perubahan yang terjadi.

Analisis sensitivitas didasarkan atas informasi pada solusi optimal yang memberikan kisaran nilai – nilai parameter dan nilai sebelah kanan. Perubahan atau variasi dalam suatu persoalan program linear yang biasanya dipelajari melalui post optimality analysis dapat dipisahkan ke dalam tiga kelompok umum yaitu :

1. Analisis yang berkaitan dengan perubahan diskrit parameter untuk melihat berapa besar perubahan dapat ditolerir sebelum solusi optimal mulai kehilangan optimalitasnya. Jika suatu perubahan kecil dalam parameter menyebabkan perubahan drastis dalam solusi, dikatakan bahwa solusi adalah sangat sensitive terhadap nilai parameter itu. Sebaliknya, jika perubahan parameter tidak mempunyai pengaruh besar terhadap solusi dikatakan solusi relative insensitive terhadap nilai parameter tersebut. 2. Analisa yang berkaitan dengan perubahan structural. Masalah ini muncul bila

persoalan program linear dirumuskan kembali dengan menambahkan atau menghilangkan kendala dan atau variabel untuk menunjukkan operasi model alternative. Perubahan struktural ini dapat dimasukkan dalam analisa sensitivitas.

(18)

3. Analisa yang berkaitan dengan perubahan kontinu parameter untuk menentukan urutan solusi dasar yang menjadi optimal jika perubahan ditambah lebih jauh, ini dinamakan Parametric – Programming

1.4 Tujuan Penelitian

Secara umum tujuan dari penelitian ini untuk menyelesaikan promblema analisis sensitivitas terhadap perubahan pembagian atau alokasi tugas serta pengaruhnya pada pembagian atau alokasi tugas (penugasan) yang optimal.

1.5 Kontribusi Penelitian

Dengan mengadakan penulisan ini, penulis berharap dapat menambah referensi, menambah pengetahuan dan pemahaman bagi penulis, pembaca dan pengambil keputusan baik pemerintah maupun perusahaan swasta atau instansi yang lain yang menggunakan metode Hungarian dalam memecahkan masalah pembagian atau alokasi tugas untuk para pekerjanya.

1.6 Metode Penelitian

Secara umum, penelitian dilakukan dengan beberapa langkah sebagai berikut :

1. Menguraikan masalah metode hungarian dan tahapan – tahapan dalam pengambilan keputusan.

2. Menjelaskan analisis sensitivitas pada metode hungarian dan pengaruhnya terhadap alokasi tugas.

3. Menyelesaikan contoh permasalahan metode hungarian dan melakukan analisis sensitivitas pada nilai optimal.

(19)

xvi

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Matriks

2.1.1 Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan elemen-elemen yang berbentuk persegi panjang yang terdiri dari baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda [ ] atau ( ). Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Jika adalah sebuah matriks, maka akan menggunakan untuk menyatakan entri yang terdapat di dalam baris dan kolom dari matriks . Secara umum matriks dituliskan sebagai berikut:

Matriks di atas disebut matriks berukuran kali (ditulis × ) karena memiliki baris dan kolom.

2.1.2 Penjumlahan Matriks

Jika dan adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah + adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan (Howard Anton, 1988 : 23).

(20)

2.1.3 Perkalian Matriks

Jika adalah matriks × dan adalah matriks × , maka hasil kali adalah matriks

× yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris- dan kolom- dari , pilihlah baris- dari matriks dan kolom- dari matriks . Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan (Anton, 1988 :25).

Contoh :

Diketahui = 1 3 4

3 2 5 , dan =

2 4

3 1

6 3

Tinjaulah perkalian matriks dan . Karena adalah matriks berukuran2 × 3 dan adalah matriks berukuran 3 × 2 maka hasil kali adalah matriks 2 × 2. Perhitungan-perhitungan untuk hasil kali adalah:

(1.2) + (3.3) + (4.1) = 15 (1.4) + (3.6) + (4.3) = 34 (3.2) + (2.3) + (5.1) = 17 (3.4) + (2.6) + (5.3) = 39

Jadi, diperoleh = 15 34 17 39 .

2.1.4 Perkalian Matriks Dengan Bilangan

Jika adalah suatu matriks dan adalah suatu bilangan, maka hasil kali (product) adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari oleh . Dalam hal ini ditulis = ( ). Khususnya dengan yang disebut negatif dari , diartikan matriks

yang diperoleh dari dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan 1 atau cukup dengan mengubah tanda semua elemennya.

(21)

xviii Richard Bronson (1996 : 1) menyatakan bahwa masalah optimasi merupakan masalah memaksimumkan atau meminimumkan sebuah besaran tertentu yang disebut tujuan objektif (objective) yang bergantung pada sejumlah berhingga variabel masukan (input variabels). Variabel-variabel ini dapat tidak saling bergantung, atau saling bergantung melalui satu atau lebih kendala (constrains). Persoalan optimasi merupakan persoalan mencari nilai numerik terbesar (maksimasi) atau nilai numerik terkecil (minimasi) yang mungkin dari sebuah fungsi pada sejumlah variabel tertentu.

Dalam sebuah persoalan optimasi, dicari nilai untuk variabel- variabel yang tidak melanggar (bertentangan) dengan kendala-kendala yang menyangkut variabel-variabel tersebut dan yang memberikan nilai optimum (maksimum atau minimum) pada fungsi yang hendak dioptimumkan. Dalam tulisan ini akan diperhatikan cara optimasi yang telah dipergunakan dalam memodel persoalan fisik, ekonomi, tehnik, dan segala macam persoalan bisnis yang sesuai. Cara ini disebut Program Linear.

Program linear yang diterjemahkan dari Linear Programming (LP) adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik yang mungkin dilakukan. Persoalan pengalokasian ini akan muncul manakala seseorang harus memilih tingkat aktivitas-aktivitas tertentu yang bersaing dalam hal penggunaan sumber daya langka yang dibutuhkan untuk melaksanakan aktivitas-aktivitas tersebut. Beberapa contoh situasi dari uraian di atas antara lain adalah pengalokasian fasilitas produksi, persoalan pengalokasian sumber daya nasional untuk kebutuhan domestic, penjadwalan produksi, solusi permainan (game), dan pemilihan pola pengiriman (shipping). Program Linear (PL) atau Linear Programming adalah suatu model dari penelitian operasional untuk memecahkan masalah optimasi. Program linier merupakan salah satu metode Penelitian Operasional yang banyak digunakan di bidang industri, transportasi, perdagangan, perkebunan, perikanan, tehnik, dan lain sebagainya.

Program linear merupakan matematika terapan dari aljabar linear dimana dalam memecahkan persoalan dunia nyata melalui tahap-tahap sebagai berikut:

1. Memahami masalah di bidang yang bersangkutan 2. Menyusun model matematika

(22)

4. Menafsirkan jawaban model menjadi jawaban atas masalah yang nyata.

Masalah optimasi tidak semuanya dapat diselesaikan dengan metode Program Linear. Prinsip-prinsip utama yang mendasari penggunaan metode Program Linear adalah:

1. Adanya sasaran. Sasaran dalam model matematika masalah program linear berupa fungsi tujuan (fungsi objektif) yang akan dicari nilai optimalnya (maksimum / minimum).

2. Ada tindakan alternatif, artinya nilai fungsi tujuan dapat diperoleh dengan berbagai cara dan diantaranya alternatif itu memberikan nilai.

3. Adanya keterbatasan sumber daya. Sumber daya atau input dapat berupa waktu, tenaga, biaya, bahan, dan sebagainya. Pembatasan sumberdaya disebut kendala (constrains ) pembatas.

4. Masalah harus dapat dituangkan dalam bahasa matematika yang disebut model matematika. Model matematika dalam program linear memuat fungsi tujuan dan kendala. Fungsi tujuan harus berupa fungsi linear dan kendala berupa pertidaksamaan atau persamaan linear.

5. Antar variabel yang membentuk fungsi tujuan dan kendala ada keterikatan, artinya perubahan pada satu peubah akan mempengaruhi nilai peubah yang lain.

2.3 Masalah Transportasi

Model transportasi merupakan kasus khusus dari persoalan program linear dengan tujuan untuk “mengangkut” barang tunggal dari berbagai asal ke berbagai tujuan dengan biaya angkut serendah mungkin.

Adanya informasi tentang besar kapasitas tiap-tiap asal, permintaan total masing-masing tempat tujuan, dan biaya pengiriman per-unit barang untuk lintasan yang dimungkinkan, maka model transportasi digunakan untuk menentukan program pengiriman optimal yang melibatkan biaya pengiriman total yang minimum. Model transportasi adalah suatu kasus khusus dari persoalan program linear, berarti model transportasi memiliki ciri khas yang dimiliki pula oleh masalah program linear, yaitu :

(23)

xx 2. Kuantitas komoditas atau barang dan yang didistribusikan dari setiap sumber dan yang

diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.

3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber.

4. Ongkos pengangkutan komoditas dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya tertentu. 5. Jumlah variabel dasar m + n - 1, dimana m adalah jumlah baris dan n adalah jumlah kolom.

Apabila jumlah variabel dasar kurang dari m + n – 1 yang disebut dengan degenerasi, maka harus ditambahkan variabel dasar dengan nilai nol.

Dalam menggambarkan masalah transportasi, perlu digunakan istilah istilah yang tidak khusus karena masalah transportasi adalah masalah yang umum, yaitu pendistribusian berbagai komoditi dari berbagai kelompok pusat penerima yang disebut tujuan, sedemikian rupa sehingga meminimalisasi biaya distribusi total. Secara umum, sumberi (i = 1, 2, ..., m) mempunyai supply si unit yang akan didistribusikan ke tujuan-tujuan dan tujuan (j = 1, 2, ...,n) mempunyai permintaan di unit yang dikirim dari sumber-sumber.

Asumsi dasar metode transportasi ini adalah biaya mendistribusikan unit-unit dari sumber i

ke tujuan j berbanding langsung dengan jumlah yang akan didistribusikan, dimana c_ij

menyatakan biaya per unit yang didistribusikan.

Apabila Z merupakan biaya distribusi total dan x_ij (i =1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n) adalah jumlah unit yang harus didistribusikan dari sumber i ke tujuan j, maka formulasi pemrograman linier masalah transportasi. Dari penjelasan di atas, maka rumus metode transportasi dapat diformulasikan sebagai berikut :

Meminimumkan :

Dengan batasan :

= = 1,2, ,

(2.1)

= 0 = 1 ialah koefisien variabel struktur.

(24)

Dalam arti sederhana, model transportasi berusaha menentukan rencana transportasi sebuah barang dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan. Data dalam model ini mencakup:

a) Tingkat penawaran di setiap sumber dan jumlah permintaan di setiap tujuan. b) Biaya transportasi per unit barang dari setiap sumber ke setiap tujuan.

Karena hanya terdapat suatu barang, sebuah tujuan dapat menerima permintaannya dari suatu sumber atau lebih. Tujuan dari model ini adalah menentukan jumlah yang harus dikirim dari setia sumber ke setiap tujuan sedemikian rupa sehingga biaya transportasi total diminimumkan. Asumsi dasar dari model ini adalah bahwa biaya transportasi di sebuah rute tertentu adalah proporsional secara langsung dengan jumlah unit yang dikirimkan. Defenisi “unit transportasi” akan bervariasi bergantung pada jenis “barang” yang dikirimkan.

Gambar dibawah ini memperlihatkan sebuah model transportasi dari sebuah jaringan dengan sumber dan tujuan. Sebuah sumber dan tujuan diwakili dengan sebuah node. Busur yang menghubungkan sebuah sumber dan sebuah tujuan mewakili rute pengiriman barang tersebut. Jumlah penawaran di sumber adalah dan permintaan di tujuan adalah . Biaya unit transportasi antara sumber dan adalah .

Anggap mewakili jumlah barang yang dikirimkan dari sumber ke tujuan , maka model LP yang mewakili masalah transportasi ini diketahui secara umum sebagai berikut:

Sumber Tujuan

Unit penawaran unit permintaan

Gambar 1 Model Transportasi

Minimumkan:

1 2 2

(25)

xxii

(2.2) Dengan batasan:

= 1,2, ,

= 0 = 1

Kelompok batasan pertama menetapkan bahwa jumlah pengiriman dari sebuah sumber tidak dapat melebihi penawarannya. Demikian pula kelompok batasan kedua mengharuskan bahwa jumlah pengiriman ke sebuah tujuan harus memenuhi permintaannya. Model yang baru digambarkan diatas menyiratkan bahwa jumlah penawaran harus setidaknya sama dengan jumlah permintaan . Apabila jumlah penawaran sama dengan jumlah permintaan ( = ), formulasi yang dihasilkan disebut Model Transportasi Berimbang (balanced transportation model). Model ini berbeda dengan model di atas hanya dalam fakta bahwa semua batasan adalah persamaan yaitu:

= , = 1,2, ,

(2.3)

= , = 1,2, , = 0 = 1

2.4 Metode Hungarian

Masalah penetapan (assignment problem) adalah suatu masalah mengenai pengaturan pada individu (objek) untuk melaksanakan tugas (kegiatan), sehingga dengan demikian biaya yang dikeluarkan untuk pelaksanaan tugas tersebut dapat diminimalkan (N. Soemartojo, 1994 : 309).

(26)

Masalah ini merupakan salah satu kasus khusus dari masalah transportasi yang penyelesaiannya menggunakan metode Hungarian. Metode Hungarian dikembangkan atas dasar pendekatan VAM ( Vogel’s Approximation Method), yaitu dengan cara meminimalkan biaya penalti( opportunity cost ) yang tidak memanfaatkan biaya sel termurah. Pendekatan VAM merupakan suatu metode yang menggunakan pendekatan dengan cara meminimalkan biaya penalti akibat gagal memilih pengisian sel yang memiliki alternatif terbaik.

Howard Anton (1988 : 59) menyatakan bahwa masalah penetapan tugas mensyaratkan bahwa fasilitas sama banyaknya dengan tugas, katakanlah sama dengan n. Dalam hal ini maka ada n! cara yang berlainan untuk menetapkan tugas kepada fasilitas berdasarkan penetapan satu-satu (one-to-one basic). Banyaknya penetapan ini adalah n! karena terdapat n cara untuk menetapkan tugas pertama, n-1 cara untuk menetapkan tugas kedua, n-2 cara untuk menetapkan tugas ketiga, dan seterusnya yang jumlah seluruhnya adalah: n.(n-1).(n-2)…3.2.1 = n! penetapan yang mungkin.Diantara ke n! penetapan-penetapan yang mungkin ini kita harus mencari satu penetapan yang optimal.

Untuk mendefinisikan penetapan yang optimal secara tepat, maka kita akan memperkenalkan kuantitas – kuantitas berikut ini misalkan :

cij = biaya untuk menetapkan tugas ke – j kepada fasilitas ke – i, untuk i, j = 1, 2,…, n.

Satuan dari cij dapat berbentuk rupiah, dollar, mil, jam, dan lain-lain, satuan apapun yang

sesuai dengan masalahnya.Kita mendefiinisikan matriks biaya (cost matrix) sebagai matriks n x n :

C =

Pernyataan bahwa sebuah tugas yang unik harus ditetapkan kepada setiap fasilitas berdasarkan satu – satu adalah ekuivalen dengan syarat bahwa tidak ada dua cij yang

bersangkutan berasal dari baris yang sama atau kolom yang sama.

Definisi 1

Jika diketahui sebuah matriks biaya C yang berdimensi n x n maka penetapan (assignment) adalah sebuah himpunan dari n entri dimana tidak ada dua diantara

(27)

xxiv entrinya yang berasal dari baris yang sama atau kolom yang sama (Howard Anton, 1988 : 60)

Maka sebuah penetapan optimal akan didefenisikan sebagai berikut:

Definisi 2

n entri dari sebuah penetapan dinamakan biaya (cost) penetapan tersebut. Penetapan biaya yang paling kecil dinamakan penetapan optimal (optimal assignment) (Howard Anton, 1988 : 60).

Masalah penetapan adalah untuk mencari penetapan optimal dalam sebuah matriks biaya. Misalnya dalam menetapkan n peralatan kepada n tempat konstruksi, maka cij dapat

merupakan jarak diantara peralatan ke-i dan tempat konstruksi ke-j. Sebuah penetapan optimal adalah penetapan untuk mana jarak seluruhnya yang ditempuh untuk memindahkan n peralatan tersebut adalah minimum (Howard Anton, 1988 : 60).

Secara mendetail model untuk masalah penetapan dapat ditulis dalam suatu bentuk program linear sebagai berikut:

Dengan batasan:

= 1, = 1,2, ,

(2.4)

= 1, = 1,2, ,

= 0 = 1

di mana:

Z = fungsi tujuan problema xij = variabel keputusan

(28)

m = jumlah objek (individu atau sumber daya) n = jumlah tugas yang akan diselesaikan xij = 1, apabila objek i ditugaskan untuk tugas j

xij = 0, apabila objek i tidak ditugaskan untuk tugas j

Andi Trio Sungkowo (2004: 31) mengatakan langkah – langkah dalam menjalankan metode Hungariannn adalah sebagai berikut:

1. Menyusun matriks biaya.

2. Mengurangkan elemen-elemen pada setiap baris dengan elemen terkecil pada baris yang sama.

3. Mengurangkan elemen-elemen pada setiap kolom dengan elemen terkecil pada kolom yang sama. Langkah ini akan menghasilkan Total Opportunity Cost (TOC).

4. Tutup elemen-elemen bernilai nol pada TOC dengan garis-garis mendatar atau tegak. Misalkan n adalah banyaknya baris atau kolom dan banyaknya garis penutup elemen nol sekurang-kurangnya k, maka:

Jika k = n, berarti sudah diperoleh program optimal. Proses dihentikan dan susun penugasan

Jika k< n, maka proses dilanjutkan dengan mengikuti langkah 5.

5. Cari bilangan terkecil dari bilangan-bilangan yang tak tertutup garis, misalkan e. Selanjutnya:

a. Semua elemen yang tak tertutup garis dikurangi e.

b. Semua elemen yang yang tertutup oleh satu garis tidak diubah. c. Semua elemen yang tertutup oleh dua garis ditambah dengan e. Setelah diperoleh tabel baru kembali ke langkah – 4.

2.5 Analisis Sensitivitas

Para analis jarang dapat menentukan parameter model Program Linier seperti (m, n, Cj, aij, bi)

dengan pasti karena nilai parameter ini adalah fungsi dari beberapa uncontrolable variabel.

Sementara itu solusi optimal model Program Linier didasarkan pada parameter tersebut. Akibatnya analis perlu mengamati pengaruh perubahan parameter

(29)

xxvi tersebut terhadap solusi optimal. Analisa perubahan parameter dan pengaruhnya terhadap solusi Program Linier disebut Post Optimality Analisis.

Istilah post optimality menunjukkan bahwa analisa ini terjadi setelah diperoleh solusi optimal, dengan mengasumsikan seperangkat nilai parameter yang digunakan dalam model. Atau Analisis Postoptimal (disebut juga analisis pasca optimal atau analisis setelah optimal, atau analisis kepekaan dalam suasana ketidaktahuan) merupakan suatu usaha untuk mempelajari nilai-nilai dari peubah-peubah pengambilan keputusan dalam suatu model matematika jika satu atau beberapa atau semua parameter model tersebut berubah atau menjelaskan pengaruh perubahan data terhadap penyelesaian optimal yang sudah ada.

Dapat diketahui bahwa dunia nyata yang diabstraksikan dan disimplifikasikan ke dalam model PL, tidak sederhana seperti rumusan Program Linier. Oleh karena itu dalam dan kehidupan dunia nyata, selalu dihadapkan pada pertanyaan- pertanyaan keragu-raguaan seperti “apa yang akan terjadi, jika” ini dan itu berubah? Persoalan peluang dan ketidakpastiaan pertanyaan-pertanyaan tersebut harus dapat dijawab dalam rangka meyakinkan pendirian terhadap sesuatu yang akan diputuskan kelak. Dengan demikian hasil yang diharapkan tersebut adalah hasil yang memang ”paling mungkin“ dan ”paling mendekati”, atau “perkiraan yang paling tepat”. Uji kepekaan hasil dan pasca optimal (sebut saja selanjutnya analisis postoptimal) yang dapat memberikan jawaban terhadap persoalan-persoalan tersebut diatas. Analisis postoptimal sangat berhubungan erat dengan atau mendekati apa yang disebut Program Parametrikal atau Analisis Parametrisasi.

Perubahan atau variasi dalam suatu persoalan Program Linier yang bisaanya dipelajari melalui Post Optimality analysis dapat dipisahkan ke dalam tiga kelompok umum, yaitu :

1. Analisa yang berkaitan dengan perubahan diskrit parameter untuk melihat berapa besar perubahan dapat ditolerir sebelum solusi optimal mulai kehilangan optimalitasnya, ini dinamakanAnalisa Sensitivitas. Jika suatu perubahan kecil dalam parameter menyebabkan perubahan drastis dalam solusi, dikatakan bahwa solusi adalah sangat sensitif terhadap nilai parameter itu. Sebaliknya, jika perubahan parameter tidak mempunyai pengaruh besar terhadap solusi dikatakan solusi relatif insensitif terhadap nilai parameter tersebut.

(30)

2. Analisa yang berkaitan dengan perubahan struktural. Masalah ini muncul bila persoalan Program Linier dirumuskan kembali dengan menambahkan atau menghilangkan kendala dan atau variabel untuk menunjukkan operasi model alternatif. Perubahan struktural ini dapat dimasukkan dalam analisa sensitivitas. 3. Analisa yang berkaitan dengan perubahan kontinu parameter untuk menentukan

urutan solusi dasar yang menjadi optimal jika perubahan ditambah lebih jauh, ini dinamakanParametric-Programming.

Diketahui Model Matematika Persoalan Program Linear adalah sebagai berikut: Menentukan nilai dari X1, X2, X3, …, Xn sedemikian rupa sehingga:

Z = C1X1+C2X2+…+CjXj+…+CnXn = ( Optimal [maksimum/minimum] )

Yang kemudian disebut sebagai Fungsi Tujuan ( Objektive Function ) dengan pembatasan ( fungsi kendala/syarat ikatan):

+ + ,= , ,

. . . .

(2.5)

. . . .

+ + ,= , ,

atau ,= , = 1,2, 3, , .

dan 0, 0, , 0, 0, = 1,2,3, ,

( )

Berdasarkan Model Matematika Persoalan Program Linier di atas analisis sensitivitas dapat dikelompokkan berdasarkan perubahan-perubahan parameter:

1) Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel non basis. 2) Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis. 3) Perubahan Koefisien teknologi (koefisien input-output). 4) Perubahan Nilai-Sebelah-Kanan (NSK) fungsi kendala. 5) Adanya tambahan fungsi kendala baru (perubahan nilai m).

(31)

xxviii 6) Adanya tambahan perubahan (variabel) pengambilan keputusan (Xj) (perubahan

nilai n).

2.6 Analisis Sensitivitas pada Metode Hungarian

Dalam persoalan assignment problem tidak semua parameter-parameter di atas dapat diterapkan. Seperti yang diketahui bahwaassignment problem memiliki ciri khusus yaitu:

1. Semua fungsi kendala bertanda ‘=’ 2. Semua nilai aij bernilai 1 atau 0

3. Semua nilai sebelah kanan (NSK) fungsi kendala adalah 1.

Telah dijelaskan sebelumnya bahwa ada 6 jenis analisis sensitivitas pada masalah program linier. Setiap permasalahan yang dapat dibentuk dalam program linier memiliki masalah analisis yang berbeda. Untuk itu, harus diteliti terlebih dahulu jenis analisis sensitivitas yang sesuai denganAssignment problem.

Untuk mengetahui bagian mana pada Assignment problem yang harus dianalisis, harus diteliti dari bentuk umum Assignment problem itu sendiri. Dari bentuk umum

Assignment problem dapat dilihat bahwa fungsi kendala diformulasikan dalam bentuk sebagai berikut:

= 1, = 1,2, ,

(2.6)

= 1, = 1,2, , = 0 = 1

Ini berarti nilai sebelah kanan untuk persamaan kendala telah ditetapkan adalah 1. Ciri ini lah yang membedakan antara masalah transportasi dengan assignment problem. Kalau pada masalah transportasi dikenal adanya permintaan dan persediaan dengan nilai yang berbeda, pada masalahAssignment problem persediaan dan permintaan harus bernilai 1.

(32)

Jadi, sangat tidak mungkin kalau dianalisis nilai sebelah kanan, yang biasa dianalisis pada masalah transportasi.

Pada bagian fungsi objektif, bentuk umumnya adalah:

(2.7) Sebagai contoh 35X₁₁ artinya untuk pekerja pertama mengerjakan job pertama dengan biaya 35. Dalam dunia nyata biaya pengerjaan suatu job bisa berubah, baik naik ataupun turun. Selain finansial, biaya dalam hal ini bisa berarti lama waktu pengerjaan dan resiko dalam pengerjaan.

Misalnya suatu perusahan dengan 4 jenis job telah memiliki formula tertentu dalam memilih 4 pekerjanya sehingga semua pekerja dapat bekerja dengan optimal dan tentu saja dengan biaya minimal. Namun seiring berjalan nya waktu dan semakin ahlinya suatu pekerja dalam mengerjakan pekerjaannya, bisa saja pekerja meminta kenaikan upah nya. Akibatnya ada kenaikan biaya disini. Tidak efisien apabila harus merubah formula optimal sebelumnya. Tentu saja perusahaan harus menganalisis hal ini, sampai seberapa jauh perusahaan bisa menaikkan upah pekerja agar hasil tetap optimal dan tidak mengubah formula optimal sebelumnya. Jadi yang memungkinkan untuk melakukan analisis sensitivitas adalah pada parameter perubahan koefisien fungsi tujuan.

Perubahan kofisien fungsi tujuan dapat terjadi karena perubahan keuntungan atau ongkos suatu kegiatan. Misal, diinginkan untuk menentukan pegaruh perubahan keuntungan per unit produk 1 (C1). Pada suatu kasus dimana produk 1 menguntungkan untuk diproduksi,

jika C1 turun di bawah nilai tertentu, maka dapat menyebabkan produk 1 yang akan

diproduksi menjadi berkurang atau bahkan tidak menguntungkan untuk diproduksi. Sebaliknya jika C1 naik di atas nilai tertentu, dapat menyebabkan kenaikan jumlah produk 1

yang akan diproduksi.

Pada kasus lain lain bisa jadi produk 1 tidak menguntungkan untuk diproduksi karena keuntungan per unit (C1 nya) rendah. Jika C1 turun dapat dipastikan tidak akan berpengaruh

(33)

xxx menjadi menguntungkan untuk diproduksi. Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa terdapat suatu batas atas dan batas bawah (range) perubahan C1 dimana keputusan optimal

tidak berpengaruh.

Tabel optimal yang telah didapat dengan metode Hungariannn menunjukkan variabel yang menjadi basis dan variabel non basis. Variabel yang koefisien pada tabel optimal adalah 0 merupakan variabel basis. Sebaliknya variabel yang koefisien pada tabel optimal bukan 0 merupakan variabel non basis.

2.6.1 Analisis Sensitivitas pada Variabel Non Basis

Cara yang lazim digunakan untuk menganalisis sensitivitas adalah dengan metode simpleks. Seiring berkembangnya ilmu pengetahuan ada beberapa cara yang dapat digunakan, salah satunya metode Arsham-Khan. Namun dasarnya masih menggunakan metode simpleks. Sama halnya dengan metode yang akan digunakan oleh penulis dalam menganalisis sensitivitas padaassignment problem ini, penulis akan mencoba dengan metode yang sedikit berbeda dan dengan formulasi yang berbeda pula.

Range koefisien dari variabel non basis adalah seberapa besar nilai koefisien variabel non basis dapat diturunkan atau pun dinaikkan sehingga hasil optimal sebelumnya tidak terganggu. Ini berarti ada 2 batasan yang akan dicari yaitu batas bawah dan batas atas range.

Ada beberapa notasi yang akan muncul pada pembahasan berikutnya, antara lain:

C = koefisien/ besar biaya karyawan ke-i untuk job ke-j pada tabel awal,

C = koefisien/ besar biaya karyawan ke-i untuk job ke-j pada tabel optimal,

Batas bawah koefisien variabel non basis adalah hasil pengurangan koefisien variabel non basis pada tabel awal dengan koefisien pada tabel akhir. Artinya setiap koefisien non basis hanya bisa diturunkan sebesar koefisien pada tabel optimalnya. Hal ini dimaksudkan agar tabel optimal tidak terganggu. Apabila nilai koefisien diturunkan lebih besar dari koefisien tabel optimalnya maka kemungkinan variabel basis akan berubah yang berdampak berubah pula nilai optimalnya. Maka batas bawah range koefisien non basis dapat diformulasikan sebagai berikut:

(34)

Xij = Cij –

(2.8) Sedangkan yang menjadi batas atas variabel non basis untuk kasus minimasi adalah adalah M atau bilangan yang sangat besar atau ∞. Hal ini terjadi karena untuk kasus meminimasi biaya, variabel yang masuk non basis menunjukkan bahwa koefisiennya terlalu besar sehingga tidak ekonomis untuk dipakai. Sehingga andaikan koefisien dari variabel non basis dinaikkan seberapapun, tetap tidak akan mengganggu hasil optimal sebelumnya.

2.6.2 Analisis Sensitivitas pada Variabel Basis

Dalam mencari range untuk variabel basis ada beberapa langkah yang harus diperhatikan: 1. Perhatikan tabel optimal, cari nilai ambang batas yang menyebabkan tabel optimal

tidak terganggu. Nilai ambang batas tersebut adalah nilai koefisien variabel non basis terkecil. Notasikan nilai ambang batas tersebut dengan .

2. Cari range variabel basis.

Nilai batas bawah range variabel basis adalah: Xij = CijXij –

(2.9) Dan nilai batas atas range variabel basis adalah:

Xij = CijXij +

(2.10) Sehingga didapat range koefisien variabel basis:

(CijXij – ) Cij Xij (CijXij + )

(2.11)

3. Periksa hubungan suatu variabel basis dengan variabel lain yang satu kolom atau satu baris dengan variabel tersebut. Apakah penambahan pada langkah sebelumnya telah layak atau apakah mengganggu tabel optimal yang telah didapat. Ganti range apabila range tersebut tidak layak.

(35)

xxxii

2.7 Perbedaan Analisis Sensitivitas dengan Metode Simplex dan Metode Hungarian

Di dalam metode Simplex, analisis sensitivitas selain digunakan dalam pengecekan/pengujian, analisis ini lebih bermanfaat untuk menghindari pengulangan perhitungan dari awal, apabila terjadi perubahan-perubahan pada masalah Linear Programmning Simplex.

Dalam Assignment problem, metode Simplex jarang digunakan dalam mencari nilai optimalitas, karena Assignment problem memiliki keistimewaan dari persoalan-persoalan Linear Programming lainnya. Untuk menemukan perbedaan analisis sensitivitas dengan metode Simplex dan metode Hungarian, akan dibahas sebuah kasus Linear Programming dengan metode Simplex beserta analisis sensitivitasnya, setelah itu akan dibandingkan dengan metode Hungarian.

Jadi yang dibahas dalam kasus ini adalah analisis sensitivitas terhadap koefisien fungsi tujuan meliputi penempatan kisaran pada nilai koefisien secara khusus pada koefisien variabel kontinu. Selama nilai aktual koefisien fungsi tujuan berada dalam kisaran optimalitas, solusi dasar layak sekarang akan tetap optimal. Jadi untuk variabel nonbasis, kisaran optimalitas menyatakan nilai koefisien untuk variabel yang akan tetap menjadi variabel nonbasis. Sebaliknya, kisaran optimalitas untuk variabel basis menyatakan nilai koefisen fungsi tujuan untuk variabel yang akan tetap menjadi bagian dari solusi layak dasar optimal saat ini.

Contoh kasus:

Maksimumkan : Z = 60x1+ 30x2+ 20x3

Kendala : 8 x1+ 6 x2 + x3 48

4x1 + 6 x2 + 1,5 x3 20

2x1 + 1,5 x2 + 0,5 x3 8

x1, x2, x3 0

Konversikan dalam bentuk standar:

Maksimumkan : Z = 60x1+ 30x2+ 20x3

Kendala : 8 x1+ 6 x2 + x3 + x4 48

4x1 + 6 x2 + 1,5 x3 +x5 20

2x1 + 1,5 x2 + 0,5 x3 +x6 8

(36)

Iterasi 0

BV C 60 30 20 0 02 03 b

x1 x2 x3 x4 x5 x6

x4 0 8 6 1 1 0 0 48

x5 0 4 2 1,5 0 1 0 20

x6 60 2 1,5 0,5 0 0 1 8

Zj - Cj -60 -30 -20 0 0 0 0

1. Memilih kolom kunci

Kolom Kunci adalah kolom yang mempunyai nilai pada baris Z yang bernilai negatif dengan angka terbesar.

2. Memilih baris kunci

Baris Kunci adalah baris yang mempunyai indeks terkecil. Indeks = Nilai Kanan : Nilai Kolom Kunci.

3. Mengubah nilai-nilai baris kunci

Baris Baru Kunci = Baris Kunci : Angka Kunci.

4. Mengubah nilai-nilai selain baris kunci sehingga nilai-nilai kolom kunci (selain baris kunci) = 0

Baris baru = baris lama – (koefisien angka kolom kunci x nilai baris baru kunci)

Iterasi 1

BV C 60 30 20 0 02 03 b

x1 x2 x3 x4 x5 x6

x4 0 0 0 -1 1 0 -4 16

x5 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4

x1 60 1 0,75 0,25 0 0 0,5 4

Zj - Cj 0 15 -5 0 0 30 240

Iterasi 2 ( Tabel Optimal )

BV C 60 30 20 0 02 03 b

x1 x2 x3 x4 x5 x6

x4 0 0 -2 0 1 2 -8 24

x3 20 0 -2 1 0 2 -4 8

x1 60 1 1,25 0 0 -0,5 1,5 2

Zj - Cj 0 15 0 0 10 10 280

Dari tabel ini dapat didefinisikan beberapa hal sebagai berikut: BV = { x4,x3,x1} ; NBV = { x2,x5,x6}

(37)

xxxiv

1 2 8

0 2 4

0,5 1,5

2.7.1 Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Untuk Variabel Nonbasis

Kasus ini terjadi karena adanya perubahan, baik pada kontribusi keuntungan maupun pada kontribusi ongkos dari kegiatan yang direpresentasikan oleh variabel nonbasis. Pada contoh kasus di atas, satu-satunya variabel keputusan nonbasis adalah x2.Saat ini koefisien fungsi

tujuan x2 adalah c2 = 30.

Jika c2 berubah dari 30 menjadi ( 30 + ) tidak mengubah harga dan b. Karena itu

ruas kanan untuk variabel basis (VB), yaitu b, tidak akan berubah sehingga variabel basis tetap fisibel. Karena c2 adalah variabel nonbasis, maka CBV juga tidak akan berubah.

Satu-satunya yang koefisien baris ( zj-cj)nya akan berubah karena perubahan c2 ini adalah x2.

Dengan demikian, BV akan tetap optimal jika 0, dan BV akan menjadi suboptimal jika 0. Dalam hal terakhir ini, harga z mungkin dapat diperbaiki dengan memasukkan x2 ke dalam basis.

Dari contoh kasus diketahui bahwa:

. = [0 20 60]

1 2 8

0 2 4

0,5 1,5

Sehingga =[0 10 10] 6 2 1,5

(30 + )

= 35 – 30 - = 5 -

Agar 0 dan BV tetap optimal, maka ( 5 - ) harus 0 atau 5. Sebaliknya, akan < 0 jika > 5 sehingga BV tidak lagi optimal. Artinya, jika harga c2 naik atau turun sebesar 5

atau kurang, maka BV akan tetap optimal, tetapi jika naik atau turunnya lebih besar dari 5, maka BV tidak lagi optimal.Misalnya jika c2 = 40, solusi basis saat ini akan menjadi

(38)

2.7.2 Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Untuk Variabel Basis

Mengubah koefisien fungsi tujuan variabel basis (BV) artinya mengubah cBV sehingga

beberapa koefisien pada baris 0 (baris zj – cj) dari tabel optimal akan berubah. Misalkan c1

berubah dari 60 menjadi (60 + ). Maka cBV yang baru adalah [ 0 20 60+ ] sehingga:

. = [0 20 (60 + )]

1 2 8

0 2 4

0,5 1,5

=[ 0 10 - 0,5 10 + 1,5 ] Koefisien baris 0 (baris zj – cj) menjadi:

= . . = . .

=[ 0 10 - 0,5 10 + 1,5 ]

6 2 1,5

- 30

= 5 + 1,25

Karena 0, maka 5 + 1,25 0 -4

= . .

=[ 0 10 - 0,5 10 + 1,5 ]

0 1 0

- 0

= 10 - 0,5

Karena 0, maka 10 - 0,5 0 20

= . .

=[ 0 10 - 0,5 10 + 1,5 ]

0 0 1

(39)

xxxvi = 10 + 0,5

Karena 0, maka 10 + 0,5 0

Dari hasil di atas menunjukkan bahwa penyelesaian basis saat ini akan tetap optimal sepanjang -4, 20, . Dengan kata lain penyelesaian basis saat ini akan tetap optimal jika -4 20. Artinya, jika c1 turun sebesar 4 atau kurang, atau c1 naik hingga 20,

maka penyelesaian basis saat ini akan tetap optimal.

Dari contoh kasus diatas dapat kita ambil kesimpulan bahwa:

1. Pengerjaan analisis sensitivitas dengan metode Simplex lebih memakan waktu yang lama dibandingkan dengan analisis sensitivitas dengan metode Hungarian.

2. Analisis sensitivitas dengan metode Hungarian hanya dapat dipakai untuk penyelesaian kasus penugasan saja dan hanya terbatas pada analisis koefisien fungsi tujuan, sedangkan metode simplex dapat digunakan untuk masalah program linier selain assignment problem dan dapat menganalisis parameter – parameter dalam program linier tersebut.

(40)

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Assigment Problem

Pada umumnya assignment problem memiliki karakreistik atau kriteria bahwa cacah baris sama dengan cacah kolom pada tabel assignment (m = n),karena assignment problem

mensyaratkan bahwa banyaknya fasilitas sama dengan banyaknya tugas. Penetapan pekerjaan dilakukan dengan tujuan agar penyelesaian semua pekerjaan minimum atau maksimumkan profit dari pekerjaan-pekerjaan tersebut.

Telah diketahui bahwa matriks assignment harus berbentuk bujur sangkar yaitu cacah pekerja sama dengan cacah pekerjaannya. Adapun bentuk menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan menggunakan langkah-langkah atau prosedur metode Hungarian. Untuk memudahkan pemahaman penyelesaian assignment problem dibawah ini diberikan contoh kasus padaassignment problem.

3.2 Contoh kasus dan Penyelesaiannya

Sebuah perusahaan ban ‘Blackstone’ mempunyai 4 tempat produksi ban yang berlainan lokasinya. Perusahaan tersebut harus mengirimkan satu container ban untuk masing-masing tempat produksi keempat tempat pemasaran yang berlainan sehingga terjadi pemerataan pemasaran untuk masing-masing tempat produksi. Jarak dalam mil diantara berbagai tempat produksi dan tempat pemasaran diberikan dalam tabel berikut:

(41)

xxxviii

Tempat Produksi

Tempat Pemasaran

1 2 3 4

1 15 20 18 22

2 14 16 21 17

3 25 20 23 20

4 17 18 18 16

Bagaimanakah seharusnya perusahaan tersebut mengirimkan ban dari keempat tempat produksi ketempat pemasaran untuk meminimumkan jarak yang ditempuh?

Penyelesaian:

a) Model Matematika Program Linear

Untuk membuat model matematika program linear masalah ini, disusun dahulu tabel penetapan standar sebagai berikut:

Tabel 3.2.2 Penetapan Standar

Tempat Produksi

Tempat Pemasaran Pemasokan

1 2 3 4 1

1 15 X11 20 X12 18 X13 22X14 1

2 14 X21 16 X22 21 X23 17 X24 1

3 25 X31 20 X32 23 X33 20 X34 1

4 17 X41 18 X42 18 X43 16 X44 1

Permintaan 1 1 1 1 4

Dengan demikian, model matematika program linear untuk masalah diatas adalah:

Minimalkan Z = 15 X11 + 20 X12 + 18 X13 + 22 X14 + 14 X21 + 16 X22 + 21 X23 +

17 X24 + 25 X31 + 20 X32 + 23 X33 + 20 X34 + 17 X41 + 18 X42 + 18

X43 + 16 X44

Kendala: 1. Pemasokan:

X11 + X12 + X13 + X14 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 = 1

2. Permintaan:

X11 + X21 + X31 + X41 = 1

(42)

X13 + X23 + X33 + X43 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 = 1

Xij = 0 atau Xij = 1

b) Penyelesaian Optimal Dengan Metode Hungarian Matriks biaya untuk masalah di atas adalah:

15 20 18 22

14 16 21 17

25 20 23 20

17 18 18 16

i. Susunan Biaya Opportunity

Dari matriks dapat diidentifikasi nilai sel terkecil masing-masing baris dan kolom. Biaya Opportunity masing-masing baris dan kolom diperlihatkan pada tabel 3.2.3 sampai dengan tabel 3.2.10:

Tabel 3.2.3 Biaya Opportunity Baris 1

Sel Nilai Sel - Nilai baris terkecil =

Biaya Opportunity

(1,1) 15 - 15 = 0

(1,2) 20 - 15 = 5

(1,3) 18 - 15 = 3

(1,4) 22 - 15 = 7

Tabel 3.2.4 Biaya Opportunity Baris 2

Sel Nilai Sel - Nilai baris terkecil =

Biaya Opportunity

(2,1) 14 - 14 = 0

(2,2) 16 - 14 = 2

(2,3) 21 - 14 = 7

(2,4) 17 - 14 = 3

Tabel 3.2.5 Biaya Opportunity Baris 3

Sel Nilai Sel - Nilai baris terkecil =

Biaya Opportunity

(3,1) 25 - 20 = 5

(3,2) 20 - 20 = 0

(3,3) 23 - 20 = 3

(3,4) 20 - 20 = 0

(43)

Sel Nilai Sel - Nilai baris terkecil =

Biaya Opportunity

(4,1) 17 - 16 = 1

(4,2) 18 - 16 = 2

(4,3) 18 - 16 = 2

(4,4) 16 - 16 = 0

Dengan demikian susunan biaya opportunity barisnya adalah:

0 5 3 7

0 2 7 3

5 0 3 0

1 2 2 0

Tabel 3.2.7 Biaya Opportunity Kolom 1

Sel Nilai Sel - Nilai baris terkecil =

Biaya Opportunity

(1,1) 0 - 0 = 0

(2,1) 0 - 0 = 0

(3,1) 5 - 0 = 5

(4,1) 1 - 0 = 1

Tabel 3.2.8 Biaya Opportunity Kolom 2

Sel Nilai Sel - Nilai baris terkecil =

Biaya Opportunity

(1,2) 5 - 0 = 5

(2,2) 2 - 0 = 2

(3,2) 0 - 0 = 0

(4,2) 2 - 0 = 2

Tabel 3.2.9 Biaya Opportunity Kolom 3

Sel Nilai Sel - Nilai baris terkecil =

Biaya Opportunity

(1,3) 3 - 2 = 1

(2,3) 7 - 2 = 5

(3,3) 3 - 2 = 1

(4,3) 2 - 2 = 0

(44)

Sel Nilai Sel - Nilai baris terkecil = Biaya Opportunity

(1,4) 7 - 0 = 7

(2,4) 3 - 0 = 3

(3,4) 0 - 0 = 0

(4,4) 0 - 0 = 0

Dengan demikian susunan biaya opportunity baris dan kolom adalah:

0 5 1 7

0 2 5 3

5 0 1 0

1 2 0 0

ii. Analisis Kelayakan Biaya Opportunity Keseluruhan

Dari matriks dapat ditarik garis horizontal pada baris tiga dan baris empat, serta garis vertical pada kolom satu (karena memiliki sel dengan biaya opportunity = 0)

0 5 1 7

0 2 5 3

5 0 1 0

1 2 0 0

Ternyata pada matriks cacah garis yang dapat ditarik minimal ada tiga buah. Ini berarti penyelesaian optimal belum tercapai. Dengan demikian, proses selanjutnya adalah mengidentifikasi sel yang terletak pada titik potong kedua garis dan nilai sel terkecil yang terletak di luar garis tersebut.

iii. Penyusunan Matriks Biaya Opportunity Baru

Berdasarkan matriks diatas tampak bahwa sel (3,1) = 5 dan sel (4,1) = 1 merupakan titik potong kedua garis tersebut dan sel (1,3) = 1 merupakan nilai sel terkecil yang terletak di luar ketiga garis tersebut. Selanjutnya nilai sel (1,3) = 1 ditambah kedalam sel (3,1) dan (4,1) serta dikurangkan terhadap sel-sel lain yang terletak di luar garis-garis tersebut yaitu sel-sel (1,2), sel-sel (1,3), sel-sel (1,4), sel (2,2), sel (2,3), dan sel (2,4). Ini berarti sel (1,3) menjadi nol. Dengan demikian susunan biaya opportunnity yang baru adalah:

0 4 0 6

0 1 4 2

6 0 1 0

(45)

xlii

iv. Analisis Kelayakan Matriks Biaya Opportunity Keseluruhan

0 4 0 6

0 1 4 2

6 0 1 0

2 2 0 0

Dari matriks tampak bahwa cacah garis yang dapat ditarik ada empat buah. Dengan demikian penyelesaian optimal telah tercapai dengan susunan penetapan sebagai berikut:

Tabel 3.2.11 Penyelesaian Optimal

Tempat Produksi Tempat Pemasaran

Jarak yang ditempuh

1 3 18 mil

2 1 14 mil

3 2 20 mil

4 4 16 mil

Total jarak yang

ditempuh 68 mil

3.3 Penerapan Analisis Sensitivitas pada Metode Hungarian

Untuk menggambarkan perubahan ini akan dianalisis matriks biaya opportunity optimal dari contoh kasus di atas:

0 4 0 6

0 1 4 2

6 0 1 0

2 2 0 0

pada matriks biaya opportunity optimal, dapat ditunjukkan bahwa variabel yang memiliki koefisien 0 merupakan variabel basis. Sedangkan koefisien yang tidak bernilai 0 merupakan variabel non basis. Berdasarkan matriks opportunity optimal diketahui bahwa variabel basisnya adalah: X11, X13,X21, X32, X34, X43, X44. Varibel

non basisnya adalah: X12, X14, X22, X23, X24, X31, X33, X41, X42. 3.3.1 Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Variabel Non Basis

Variabel non basis dalam pengertian assignment problem adalah semua variabel yang memiliki biaya yang terlalu tinggi sehingg tidak cukup ekonomis apabila harus dipilih.

(46)

Misalkan untuk variabel non basis X12 yang memiliki nilai sebesar 20 yakni pekerja 1

mengerjakan pekerjaan 2. Apabila koefisien X12 dinaikkan berapapun, X12 tetap tidak

ekonomis untuk dikerjakan, yang berarti bahwa batas atas dari X12 adalah . Sebaliknya jika

X12 diturunkan sampai jumlah tertentu, ada kemungkinan X12 cukup ekonomis untuk

dikerjakan.

Batas bawah X12 adalah:

X12 = X12(tabel awal) – X12(tabel akhir)

= 20 – 4 = 16

Syarat matriks opportunity optimal tetap optimal jika X12(tabel akhir) 16. Jadi range nilai X12

optimal adalah16 .

Dapat disimpulkan bahwa selama 16 , X12tidak ekonomis untuk diproduksi dan

karenanya tidak akan merubah solusi optimal. Sebaliknya jika X12 diturunkan kurang dari 16,

akan menguntungkan untuk diproduksi, yang berarti solusi tidak optimal lagi. Hal ini berlaku untuk mencari range koefisien variabel non basis yang lainnya.

Tabel 3.3.1.1 Range Variabel Koefisien Non Basis

Variabel Non Basis Koefisien Tujuan Awal Koefisien Tujuan Akhir Batas Bawah Batas Atas Range

X12 20 4 16 16

X14 22 6 16 16

X22 16 1 15 15

X23 21 4 17 17

X24 17 2 15 15

X31 25 6 19 19

X33 23 1 22 22

X41 17 2 15 15

X42 18 2 16 16

3.3.2 Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Variabel Basis

Variabel-variabel basis adalah X11, X13,X21, X32, X34, X43, X44 dengan koefisien fungsi tujuan

masing-masing adalah 15, 18, 14, 20, 20, 17, 18, 16. Langkah 1: Menentukan dari matriks optimal:

(47)

xliv

0 4 0 6

0 1 4 2

6 0 1 0

2 2 0 0

Nilai terkecil dari koefisien non basis pada matriks optimal adalah 1. Sehingga didapat = 1.

Langkah 2: Menentukan range dari penambahan .

Tabel 3.3.2.1 Range Variabel Koefisien Basis

Variabel Basis

Batas Bawah Range Bb Xij = CijXij –

Batas Atas Range Ba Xij = CijXij

Range Variabel Basis (CijXij – ) Cij Xij (Cij

Xij + )

X11 15 – 1 = 14 15 +1=16 14 X11 16

X13 18 – 1 = 17 18+1=19 17 X13 19

X21 14 – 1 = 13 14+1=15 13 X21 15

X32 20 – 1 = 19 20+1= 21 19 X32 21

X34 20 – 1 = 19 20+1= 21 19 X34 21

X43 18 – 1 = 17 18+1 = 19 17 X43 19

X44 16 – 1 = 15 16+1 =17 15 X44 17

Langkah 3: Periksa kelayakan range basis pada langkah ke 2.

Setiap range yang telah diperoleh pada langkah ke 2 sebenarnya telah memenuhi tabel optimal sebelumnya. Artinya apabila terjadi perubahan koefisien fungsi tujuan sebesar range yang telah didapat pada langkah ke 2 hal tersebut tidak mengubah solusi optimal sebelumnya. Namun ada beberapa perubahan range yang masih tetap layak dan tidak mengubah formula optimal sebelumnya.

a. Variabel X11

Setelah membandingkan nilai-nilai koefisien fungsi tujuan pada variabel yang sebaris dan sekolom dengan variabel X11, ternyata batas atas range X11 masih bisa dinaikkan

sampai 17. Hal ini tidak akan mengubah nilai optimal karena koefisien terbesar setelah variabel X11 pada kolom pertama adalah 17 dan pada baris pertama 18. Jadi

(48)

X11akan tetap menjadi variabel basis dan tidak mengganggu formula solusi optimal

sebelumnya.

Range X11berubah menjadi 14 X11 17.

b. Variabel X13

Setelah membandingkan nilai-nilai koefisien fungsi tujuan pada variabel yang sebaris dan sekolom dengan variabel X13, ternyata batas bawah range X13 masih bisa

diturunkan sampai 16. Hal ini tidak akan mengubah nilai optimal karena koefisien terkecil setelah variabel X13 pada baris pertama adalah 15 dan pada kolom ketiga

adalah 18. Jadi X13akan tetap menjadi variabel basis dan tidak mengganggu formula

solusi optimal sebelumnya.

c. Variabel X21

Setelah membandingkan nilai-nilai koefisien fungsi tujuan pada variabel yang sebaris dan sekolom dengan variabel X21, ternyata batas bawah range X21 masih bisa

diturunkan sampai . Hal ini tidak akan mengubah nilai optimal karena koefisien terkecil pada baris kedua dan kolom pertama adalah variabel X21sendiri. Jadi apabila

nilai koefisien X21 diturunkan sampai , X21tetap akan jadi variabel basis bahkan

besar biaya pada solusi optimal bisa ditekan.

d. Variabel X32

Setelah membandingkan variabel X32 dengan variabel yang sebaris dengan nya tidak

ada variabel lain yang nilai koefisien nya lebih kecil dari X32. Dan bila dibandingkan

dengan variabel yang sekolom dengan X32 maka akan didapat variabel X22yang nilai

koefisien nya lebih kecil yaitu sebesar 16. Namun karena variabel X22 tidak

merupakan variabel basis tetap saja X32 yang dipilih. Sehingga apabila nilai koefisien

X32 diturunkan sampai , X32tetap akan jadi variabel basis bahkan besar biaya pada

solusi optimal bisa ditekan.

e. Variabel X44

Setelah membandingkan nilai-nilai koefisien fungsi tujuan pada variabel yang sebaris dan sekolom dengan variabel X44, ternyata batas bawah range X44 masih bisa

diturunkan sampai . Hal ini tidak akan mengubah nilai optimal karena koefisien terkecil pada baris keempat dan kolom keempat adalah variabel X44 sendiri. Jadi

(49)

xlvi apabila niali koefisien X44 diturunkan sampai , X44tetap akan jadi variabel basis

bahkan besar biaya pada solusi optimal bisa ditekan. Dari langkah 3 didapat range variabel basis yang baru yaitu:

Tabel 3.3.2.2 Range Variabel Koefisien Basis Baru

Range Variabel Basis (CijXij – ) Cij Xij (Cij

Xij + )

14 X11 17

16 X13 19

X21 15

X32 21

19 X34 21

17 X43 19

(50)

BAB IV

KESIMPULAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan dari hasil pembahasan yang dilakukan maka dapat diambil kesimpulan yaitu: 1. Untuk menyelesaikan assignment problem dengan menggunakan prosedur metode

Hungarian terdiri dari tiga tahap, yaitu penyusunan matriks biaya opportunity, analisis kelayakanassignment problem,dan penyusunan ulang matriks biaya opportunity. 2. Setelah didapat hasil range sementara perlu dilakukan pengecekan kelayakan pada

variabel basis.

3. Pengerjaan analisis sensitivitas dengan menggunakan metode Hungarian lebih sederhana dibandingkan dengan metode Simpleks yang memiliki prosedur pengerjaan dengan tabel yang masih terlalu panjang.

4. Dalam pengerjaan dengan metode Hungarian didapat kelemahan yaitu masih kurang akuratnya hasil range yang diperoleh sehingga masih dilakukan pengecekan dengan

software QM sedangkan dalam pengerjaan dengan metode Simpleks tidak demikian.

4.2 Saran

1. Untuk memakaisoftware Program Linier seperti QM dan QS sebagai alat bantu dalam menyelesaikan masalah analisis sensitivitas pada optimalisasi assignment problem

dengan metode Hungarian.

2. Adanya kelemahan analisis sensitivitas pada metode Hungarian yang hanya dapat menganalisis koefisien fungsi tujuan sehingga penulis berharap agar dikemudian hari dapat ditemukan cara untuk menganalisis parameter – parameter lainnya.

(51)

xlviii

DAFTAR PUSTAKA

Alamsyah. Zulkifli. 2008.Pemodelan dalam Riset Operasi. Bandung: Institut Teknologi Bandung.

Anton, Howard. 1987.Aljabar Linier Elementer.Jakarta: Erlangga.

Rao, S.S. 1987.Optimization Theory and Application. San Diego, USA: Dept. of Mechanical Engg.

Taha, Hamdy A. 1996.Operation Research. Fayetteville: University of Arkansas.

Thie, Paul R.1983. An Introduction to Linear Programming and Game Theory. Canada : Department of Mathematics Boston College.

W. Trio Sungkowo Andi. 2004. Metode Hungarian dan Aplikasinya pada Kasus Minimasi. Diakses pada http//:www.docstoc.com pada tanggal 28 Januari 2010.

(52)

(53)

l LAM PIRAN B : RANGE VARIABEL BASIS

(1)

X11akan tetap menjadi variabel basis dan tidak mengganggu formula solusi optimal sebelumnya.

Range X11berubah menjadi 14 X11 17.

b. Variabel X13

Setelah membandingkan nilai-nilai koefisien fungsi tujuan pada variabel yang sebaris dan sekolom dengan variabel X13, ternyata batas bawah range X13 masih bisa diturunkan sampai 16. Hal ini tidak akan mengubah nilai optimal karena koefisien terkecil setelah variabel X13 pada baris pertama adalah 15 dan pada kolom ketiga adalah 18. Jadi X13akan tetap menjadi variabel basis dan tidak mengganggu formula solusi optimal sebelumnya.

c. Variabel X21

Setelah membandingkan nilai-nilai koefisien fungsi tujuan pada variabel yang sebaris dan sekolom dengan variabel X21, ternyata batas bawah range X21 masih bisa diturunkan sampai . Hal ini tidak akan mengubah nilai optimal karena koefisien terkecil pada baris kedua dan kolom pertama adalah variabel X21sendiri. Jadi apabila nilai koefisien X21 diturunkan sampai , X21tetap akan jadi variabel basis bahkan besar biaya pada solusi optimal bisa ditekan.

d. Variabel X32

Setelah membandingkan variabel X32 dengan variabel yang sebaris dengan nya tidak ada variabel lain yang nilai koefisien nya lebih kecil dari X32. Dan bila dibandingkan dengan variabel yang sekolom dengan X32 maka akan didapat variabel X22yang nilai koefisien nya lebih kecil yaitu sebesar 16. Namun karena variabel X22 tidak merupakan variabel basis tetap saja X32 yang dipilih. Sehingga apabila nilai koefisien X32 diturunkan sampai , X32tetap akan jadi variabel basis bahkan besar biaya pada solusi optimal bisa ditekan.

e. Variabel X44

Setelah membandingkan nilai-nilai koefisien fungsi tujuan pada variabel yang sebaris dan sekolom dengan variabel X44, ternyata batas bawah range X44 masih bisa diturunkan sampai . Hal ini tidak akan mengubah nilai optimal karena koefisien terkecil pada baris keempat dan kolom keempat adalah variabel X44 sendiri. Jadi

(2)

xlvi apabila niali koefisien X44 diturunkan sampai , X44tetap akan jadi variabel basis bahkan besar biaya pada solusi optimal bisa ditekan.

Dari langkah 3 didapat range variabel basis yang baru yaitu:

Tabel 3.3.2.2 Range Variabel Koefisien Basis Baru Range Variabel Basis

(CijXij – ) Cij Xij (Cij Xij + )

14 X11 17 16 X13 19 X21 15 X32 21 19 X34 21 17 X43 19 X44 17

(3)

BAB IV

KESIMPULAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan dari hasil pembahasan yang dilakukan maka dapat diambil kesimpulan yaitu: 1. Untuk menyelesaikan assignment problem dengan menggunakan prosedur metode

variabel basis.

3. Pengerjaan analisis sensitivitas dengan menggunakan metode Hungarian lebih sederhana dibandingkan dengan metode Simpleks yang memiliki prosedur pengerjaan dengan tabel yang masih terlalu panjang.

4. Dalam pengerjaan dengan metode Hungarian didapat kelemahan yaitu masih kurang akuratnya hasil range yang diperoleh sehingga masih dilakukan pengecekan dengan software QM sedangkan dalam pengerjaan dengan metode Simpleks tidak demikian.

4.2 Saran

1. Untuk memakaisoftware Program Linier seperti QM dan QS sebagai alat bantu dalam menyelesaikan masalah analisis sensitivitas pada optimalisasi assignment problem dengan metode Hungarian.

(4)

xlviii DAFTAR PUSTAKA

Alamsyah. Zulkifli. 2008.Pemodelan dalam Riset Operasi. Bandung: Institut Teknologi Bandung.

Anton, Howard. 1987.Aljabar Linier Elementer.Jakarta: Erlangga.

Rao, S.S. 1987.Optimization Theory and Application. San Diego, USA: Dept. of Mechanical Engg.

Taha, Hamdy A. 1996.Operation Research. Fayetteville: University of Arkansas.

Thie, Paul R.1983. An Introduction to Linear Programming and Game Theory. Canada : Department of Mathematics Boston College.

W. Trio Sungkowo Andi. 2004. Metode Hungarian dan Aplikasinya pada Kasus Minimasi. Diakses pada http//:www.docstoc.com pada tanggal 28 Januari 2010.

(5)

LAM PIRAN A : RAN GE VARIABEL BASIS

(6)

Analisis Sensitivitas Pada Optimalisasi Assignment Problem Dengan Metode Hungarian