Konstruksi Ke dalam Bentuk Ekuivalen Eksistensi dan Ketunggalan Kontrol Optimal

Teorema 5.1 Jika ܣ ∈ ℝ ௠×௡ , maka terdapat matriks orthogonal U ∈ ℝ ௠×௠ , ܸ ∈ ℝ ௡×௡ dan suatu matriks orthogonal Σ ∈ ℝ ௠×௡ sedemikian sehingga ܣ = ܷ ቀΣ ૙ ૙ ૙ቁ ܸ dimana Σ = diag σ ଵ , ߪ ଶ , … , ߪ ௣ dengan σ ଵ ≥ ߪ ଶ ≥ … ≥ ߪ ௣ ≥ 0. Bilangan σ ଵ , ߪ ଶ , … , ߪ ௣ bersama-sama dengan ߪ ௣ାଵ = 0, … , ߪ ௡ = 0 disebut nilai singular dari matriks A yang merupakan akar positif dari nilai eigen matriks ܣ ܣ. Definisi 5.2 Dua sistem ܧ, ܣ, ܤ, ܥ, ܦ dan ܧത, ܣ̅, ܤത, ܥ̅, ܦ dikatakan sistem ekuivalen terbatas, ditulis ܧ, ܣ, ܤ, ܥ, ܦ~ܧത, ܣ̅, ܤത, ܥ̅, ܦ, jika ada matriks nonsingular ܯ ∈ ℝ ௠×௠ dan ܰ ∈ ℝ ௡×௡ sedemikian sehingga ܯܧܰ = ܧത, ܯܣܰ = ܣ̅, ܯܤ = ܤത, ݀ܽ݊ ܥܰ = ܥ̅. Definisi 5.3 Dua masalah kontrol optimal dikatakan ekuivalen jika ada suatu bijeksi antara himpunan pasangan kontrol-keadaan admisibel dari kedua masalah , dan biaya dari kedua masalah kontrol optimal bernilai sama. Definisi 5.3 memperlihatkan sifat refleksif, simetri dan transitif dari suatu relasi ekuivalen, sehingga dua masalah kontrol optimal akan mempunyai penyelesaian, ketunggalan penyelesaian dan biaya optimal yang sama. Sifat ini memperlihatkan bahwa untuk menyelesaiakan suatu masalah kontrol optimal dapat dilakukan dengan menyelesaikan masalah kontrol optimal yang ekivalen terbatas dengannya.

5.1 Konstruksi Ke dalam Bentuk Ekuivalen

Misalkan ݎܽ݊݇ ܧ = ݌ = min{݉, ݊}, maka menurut teorema SVD 5.1 ada matriks nonsingular ܯ ∈ ℝ ௠×௠ dan ܰ ∈ ℝ ௡×௡ sedemikian sehingga ܯܧܰ = ൬ܫ ௣ ૙ ૙ ૙ ൰ 6 Selanjutnya misalkan ܯܣܰ = ൬ܣ ଵଵ ܣ ଵଶ ܣ ଶଵ ܣ ଶଶ ൰ , ܯܤ = ൬ܤ ଵ ܤ ଶ ൰ , ܥܰ = ܥ ଵ ܥ ଵ dan ܰ ିଵ ݔ = ቀ ݔ ଵ ݔ ଶ ቁ 7 dimana ܣ ଵଵ ∈ ℝ ௣×௣ , ܣ ଵଶ ∈ ℝ ௣×௡ି௣ , ܣ ଶଵ ∈ ℝ ௡ି௣×௣ , ܣ ଶଶ ∈ ℝ ௡ି௣×௡ି௣ , ܤ ଵ ∈ ℝ ௣×௥ , ܤ ଶ ∈ ℝ ௡ି௣×௥ , ܥ ଵ ∈ ℝ ௤×௣ , ܥ ଶ ∈ ℝ ௤×௡ି௣ , ݔ ଵ ∈ ℝ ௣ dan ݔ ଶ ∈ ℝ ௡ି௣ . Oleh karena itu, untuk suatu keadaan awal admisibel ݔ ଴ ∈ ℝ ௡ , sistem 3 ekuivalen terbatas dengan sistem berikut ini: ݔ̇ ଵ ݐ = ܣ ଵଵ ݔ ଵ ݐ + ܣ ଵଶ ݔ ଶ ݐ + ܤ ଵ ݑݐ, ݔ ଵ 0 = ݔ ଵ଴ ∈ ℝ ௣ 0 = ܣ ଶଵ ݔ ଵ ݐ + ܣ ଶଶ ݔ ଶ ݐ + ܤ ଶ ݑݐ 8 ݕݐ = ܥ ଵ ݔ ଵ ݐ + ܥ ଶ ݔ ଶ ݐ + ܦݑݐ dimana ݔ ଵ଴ = ܫ ௣ ૙ܯݔ ଴ . Dengan asumsi bahwa matriks ܣ ଶଶ punya invers, maka persamaan kedua dari persamaan 10 dapat ditulis menjadi ݔ ଶ ݐ = −ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ ݔ ଵ ݐ − ܣ ଶଶ ିଵ ܤ ଶ ݑݐ. 9 Dengan mensubtitusikan ݔ ଶ ݐ kedalam persamaan pertama dan ketiga dari persamaan 10, maka diperoleh suatu masalah kontrol kuadratik linier standar sebagai berikut: minimum ݑ,ݔ 1 ܬ 1 ݔ , ݑ kendala ݔ ̇ 1 ݐ = ܣ ഥ ݔ 1 ݐ + ܤ ഥ ݑ ݐ , ݔ 1 = ݔ 10 ∈ ℝ ݌ ݕ ݐ = ܥ ത ݔ 1 ݐ + ܦ ഥ ݑݐ d imana ܬ ଵ ݔ ଴ , ݑ = න ൬ ݔ ଵ ݐ ݑݐ ൰ ஶ ଴ ൬ ܳ ଵଵ ܳ ଵଶ ܳ ଵଶ ் ܳ ଶଶ ൰ ൬ ݔ ଵ ݐ ݑݐ ൰ ݀ݐ , ܣ̅ = ܣ ଵଵ − ܣ ଵଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ , ܤത = ܤ ଵ − ܣ ଵଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܤ ଶ ܥ̅ = ܥ ଵ − ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ ܦഥ = ܦ − ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܤ ଶ ܳ ଵଵ = ܥ ଵ − ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ ܥ ଵ − ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ ܳ ଵଶ = ܥ ଵ − ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ ܦ − ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܤ ଶ ܳ ଶଶ = ܦ − ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ ܦ − ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܤ ଶ Selanjutnya definisikan himpunan pasangan kontrol-keadaan dari masalah Ω ଵ sebagai berikut: ࣛ ௔ௗ ଵ = ൛ݑ, ݔ ଵ | ݑ ∈ ܥ ୮ ା [ ℝ ௥ ], ݔ ଵ ∈ ܥ ୮ ା [ ℝ ௣ ] memenuhi 11 dan ܬ ଵ ݑ. , ݔ ଵ଴ ∞} Berdasarkan definisi 5.2 dengan mudah dapat dibuktikan bahwa Ω ଵ ekuivalen terbatas dengan Ω. Ω ଵ : 10 11

5.2 Eksistensi dan Ketunggalan Kontrol Optimal

Dalam bagian 5.1 telah dikonstruksi suatu masalah kontrol kuadratik linier yang ekuivalen dengan masalah kontrol kuadratik linier semula. Oleh karena itu untuk mengkonstruksi syarat eksistensi dan ketunggalan kontrol optimal masalah Ω, cukup menggunakan syarat eksistensi dan ketunggalan kontrol optimal masalah Ω ଵ seperti yang diberikan dalam bagian 2.2, yaitu jika ܳ ଶଶ 0, pasangan ൫ܳ ଵଵ − ܳ ଵଶ ܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ , ܣ̅ − ܤതܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ൯ terdeteksi dan pasangan ܣ̅, ܤത stabil asimtotik, maka Ω ଵ mempunyai kontrol optimal tunggal ݑ ∗ yang diberikan oleh ݑ ∗ = −ܮݔ ଵ ∗ , 12 dimana keadaan ݔ ଵ ∗ adalah solusi persamaan diferensial ݔ̇ ଵ ݐ = ܣ̅ − ܤതܮݔ ଵ ݐ, ݔ ଵ 0 = ݔ ଵ଴ 13 dengan ܮ = ܳ ଶଶ ିଵ ൫ܳ ଵଶ + ܤത ܲ൯, dan ܲ adalah solusi semidefinit positif tunggal dari persamaan aljabar Riccati ܣ̅ ܲ + ܲܣ̅ + ܳ ଵଵ − ܲܤത + ܳ ଵଶ ܳ ଶଶ ିଵ ܲܤത + ܳ ଵଶ = 0 14 dimana ܴ݁ ߣ 0 untuk setiap nilai eigen ߣ dari matriks ܣ̅ − ܤതܮ. Tetapi mungkin ܳ ଶଶ ≥ 0, jadi perlu dibuat syarat perlu dan cukup yang menjamin agar ܳ ଶଶ 0. Selain itu, diperlukan juga membuat syarat perlu dan cukup agar pasangan ܣ̅, ܤത stabil asimtotik dan pasangan ൫ܣ̅ − ܤതܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ , ܳ ଵଵ − ܳ ଵଶ ܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ൯ terdeteksi. Teorema 5.4 Pernyataan berikut ekuivalen: i. ܳ ଶଶ ii. ݎܽ݊݇ ൬ܣ ଶଶ ܤ ଶ ܥ ଶ ܦ ൰ = ݌ + ݎ iii. ݎܽ݊݇ ൭ ૙ ܧ ૙ ܧ ܣ ܤ ૙ ܥ ܦ ൱ = 3݌ + ݎ 15 Bukti: i ⇔ ii Karena ܳ ଶଶ = ܦ − ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ ܦ − ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܤ ଶ ∈ ℝ ௥×௥ , maka ܳ ଶଶ ⇔ rank ܦ − ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ = ݎ Karena matriks ൬ܣ ଶଶ ିଵ ૙ ૙ ܫ ௥ ൰ non singular, maka ݎܽ݊݇ ൬ܣ ଶଶ ܤ ଶ ܥ ଶ ܦ ൰ = ݎܽ݊݇ ൤൬ܣ ଶଶ ܤ ଶ ܥ ଶ ܦ ൰ ൬ ܣ ଶଶ ିଵ ૙ ૙ ܫ ௥ ൰൨ = ݎܽ݊݇ ൬ ܫ ௣ ܤ ଶ ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܦ ൰ = ݎܽ݊݇ ൬ ܫ ௣ ૙ ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܦ − ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܤ ଶ ൰ = ݎܽ݊݇ ൬ ܫ ௣ ૙ ૙ ܦ − ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܤ ଶ ൰ = ݌ + ݎܽ݊݇ ܦ − ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܤ ଶ = ݌ + ݎ. ii ⇔ iii Dengan mudah dapat diperiksa bahwa ݎܽ݊݇ ൭ ૙ ܧ ૙ ܧ ܣ ܤ ૙ ܥ ܦ ൱ = ݎܽ݊݇ ൥൭ ܯ ૙ ૙ ૙ ܯ ૙ ૙ ૙ ܫ ௥ ൱ ൭ ૙ ܧ ૙ ܧ ܣ ܤ ૙ ܥ ܦ ൱ ൭ ܰ ૙ ૙ ૙ ܰ ૙ ૙ ૙ ܫ ௥ ൱൩ = ݎܽ݊݇ ൥൭ ૙ ܯܧ ૙ ܯܧ ܯܣ ܯܤ ૙ ܥ ܦ ൱ ൭ ܰ ૙ ૙ ૙ ܰ ૙ ૙ ૙ ܫ ௥ ൱൩ = ݎܽ݊݇ ൭ ૙ ܯܧܰ ૙ ܯܧܰ ܯܣܰ ܯܤ ૙ ܥܰ ܦ ൱ = ݎܽ݊݇ ⎝ ⎜ ⎛ ૙ ૙ ܫ ௣ ૙ ૙ ૙ ૙ ૙ ૙ ૙ ܫ ௣ ૙ ܣ ଵଵ ܣ ଶଵ ܥ ଵ ૙ ૙ ܣ ଵଶ ܣ ଶଶ ܥ ଶ ૙ ૙ ܤ ଵ ܤ ଶ ܦ ⎠ ⎟ ⎞ = ݎܽ݊݇ ⎝ ⎜ ⎛ ૙ ૙ ܫ ௣ ૙ ૙ ૙ ૙ ૙ ૙ ૙ ܫ ௣ ૙ ૙ ૙ ૙ ૙ ૙ ૙ ܣ ଶଶ ܥ ଶ ૙ ૙ ૙ ܤ ଶ ܦ ⎠ ⎟ ⎞ = 2 ݌ + ݎܽ݊݇ ൬ܣ ଶଶ ܤ ଶ ܥ ଶ ܦ ൰ = 3 ݌ + ݎ. ∎ Teorema 5.5 Pasangan ܣ̅, ܤത dapat distabilkan jika dan hanya jika ݎܽ݊݇ ܣ − ߣܧ ܤ = ݊, 16 untuk setiap ߣ dengan ܴ݁ ߣ ≥ 0. Bukti: Dalam Anderson dan Moore 1990 disebutkan bahwa pasangan ܣ̅ ܤത stabil simtotik jika dan hanya jika ݎܽ݊݇ ൫ܣ̅ − ߣܫ ௣ ܤത൯ = ݌. Akibatnya ݎܽ݊݇ ܣ − ߣܧ ܤ = ݎܽ݊݇ ൤ܯܣ − ߣܧ ܤ ൬ܰ ૙ ૙ ܫ ௥ ൰൨ = ݎܽ݊݇ ܯܣܰ − ߣܯܧܰ ܯܤ = ݎܽ݊݇ ൬ ܣ ଵଵ − ߣܫ ௣ ܣ ଵଶ ܤ ଵ ܣ ଶଵ ܣ ଶଶ ܤ ଶ ൰ = ݎܽ݊݇ ቆ ܣ ଵଵ − ܣ ଵଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ − ߣܫ ௣ ܣ ଵଶ ܤ ଵ − ܣ ଵଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ ܣ ଶଵ − ܣ ଶଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ ܣ ଶଶ ܤ ଶ − ܣ ଶଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ ቇ = ݎܽ݊݇ ቆ ܣ̅ − ߣܫ ௣ ܣ ଵଶ ܤത ૙ ܣ ଶଶ ܤ ଶ − ܣ ଶଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ ቇ = ݎܽ݊݇ ቆ ܣ̅ − ߣܫ ௣ ܤത ܣ ଵଶ ૙ ܤ ଶ − ܣ ଶଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ ܣ ଶଶ ቇ = ݎܽ݊݇ ൫ܣ̅ − ߣܫ ௣ ܤത൯ + ݎܽ݊݇ܣ ଶଶ = ݌ + ݊ − ݌ = ݊. ∎ Teorema 5.6 Pasangan ൫ܣ̅ − ܤതܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ , ܳ ଵଵ − ܳ ଵଶ ܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ൯ terdeteksi jika dan hanya jika ݎܽ݊݇ ቀܣ − ߣܧ ܤ ܥ ܦቁ = ݊ + ݎ, 17 untuk setiap ߣ dengan ܴ݁ ߣ ≥ 0. Bukti: Dalam Anderson dan Moore 1990 disebutkan bahwa pasangan ൫ܣ̅ − ܤതܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ , ܳ ଵଵ − ܳ ଵଶ ܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ൯ terdeteksi jika dan hanya jika ݎܽ݊݇ ቆ ܣ̅ − ܤതܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ − ߣܫ ௣ ܳ ଵଵ − ܳ ଵଶ ܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ቇ = ݌, untuk semua ߣ dengan ܴ݁ ߣ ≥ 0. Akibatnya ݎܽ݊݇ ቀܣ − ߣܧ ܤ ܥ ܦቁ = ݎܽ݊݇ ൬ ܯ ૙ ૙ ܫ ௤ ൰ ቀܣ − ߣܧ ܤ ܥ ܦቁ ൬ ܰ ૙ ૙ ܫ ௥ ൰ = ݎܽ݊݇ ቀܯܣܰ − ߣܯܧܰ ܯܤ ܥܰ ܦ ቁ = ݎܽ݊݇ ቌ ܣ ଵଵ − ߣܫ ௣ ܣ ଵଶ ܤ ଵ ܣ ଶଵ ܣ ଶଶ ܤ ଶ ܥ ଵ ܥ ଶ ܦ ቍ = ݎܽ݊݇ ቌ ܣ ଵଵ − ߣܫ ௣ ܣ ଵଶ ܤ ଵ ܣ ଶଵ ܣ ଶଶ ܤ ଶ ܥ ଵ ܥ ଶ ܦ ቍ = ݎܽ݊݇ ቌ ܣ ଵଵ − ܣ ଵଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ − ߣܫ ௣ ܣ ଵଶ ܤ ଵ − ܣ ଵଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܤ ଶ ܣ ଶଵ − ܣ ଶଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ ܣ ଶଶ ܤ ଶ − ܣ ଶଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܤ ଶ ܥ ଵ − ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ ܥ ଶ ܦ − ܥ ଶ ܣ ଶଶ ିଵ ܣ ଶଵ ቍ = ݎܽ݊݇ ቌ ܣ̅ − ߣܫ ௣ ܣ ଵଶ ܤത ૙ ܣ ଶଶ ૙ ܥ̅ ܥ ଶ ܦഥ ቍ = ݎܽ݊݇ ቌ ܣ̅ − ߣܫ ௣ ܣ ଵଶ ܤത ܥ̅ ܥ ଶ ܦഥ ૙ ܣ ଶଶ ૙ ቍ = ݎܽ݊݇ ቌ ܣ̅ − ܤതܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ᇱ − ߣܫ ௣ ܣ ଵଶ ܤത ܥ̅ − ܦഥܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ᇱ ܥ ଶ ܦഥ ૙ ܣ ଶଶ ૙ ቍ = ݎܽ݊݇ ൮ ܫ ௣ ૙ ૙ ૙ ૙ ܥ̅ ܦഥ ૙ ૙ ૙ ૙ ܫ ௣ ൲ ቌ ܣ̅ − ܤതܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ᇱ − ߣܫ ௣ ܣ ଵଶ ܤത ܥ̅ − ܦഥܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ᇱ ܥ ଶ ܦഥ ૙ ܣ ଶଶ ૙ ቍ = ݎܽ݊݇ ⎝ ⎛ ܣ̅ − ܤതܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ᇱ − ߣܫ ௣ ܥ̅ܥ̅ − ܥ̅ܦഥܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ᇱ ܦ ഥ ܥ̅ − ܦഥܦഥܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ᇱ ૙ ܣ ଵଶ ܥ̅ܥ ଶ ܦഥܥ ଶ ܣ ଶଶ ܤത ܥ̅ܦഥ ܦ ഥ ܦഥ ૙ ⎠ ⎞ = ݎܽ݊݇ ⎝ ⎛ ܣ̅ − ܤതܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ᇱ − ߣܫ ௣ ܳ ଵଵ − ܳ ଵଶ ܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ᇱ ܳ ଵଶ − ܳ ଶଶ ܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ᇱ ૙ ܣ ଵଶ ܥ̅ܥ ଶ ܦഥܥ ଶ ܣ ଶଶ ܤത ܥ̅ܦഥ ܦ ഥ ܦഥ ૙ ⎠ ⎞ = ݎܽ݊݇ ⎝ ⎛ ܣ̅ − ܤതܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ᇱ − ߣܫ ௣ ܳ ଵଵ − ܳ ଵଶ ܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ᇱ ૙ ૙ ܣ ଵଶ ܥ̅ܥ ଶ ܦഥܥ ଶ ܣ ଶଶ ܤത ܳ ଵଶ ܳ ଶଶ ૙ ⎠ ⎞ = ݎܽ݊݇ ൮ ܣ̅ − ܤതܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ᇱ − ߣܫ ௣ ܳ ଵଵ − ܳ ଵଶ ܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ᇱ ૙ ૙ ૙ ૙ ૙ ܣ ଶଶ ૙ ૙ ܳ ଶଶ ૙ ൲ = ݎܽ݊݇ ቆ ܣ̅ − ܤതܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ᇱ − ߣܫ ௣ ܳ ଵଵ − ܳ ଵଶ ܳ ଶଶ ିଵ ܳ ଵଶ ᇱ ቇ + ݎܽ݊݇ܳ ଶଶ + ݎܽ݊݇ܣ ଶଶ = ݌ + ݎ + ݊ − ݌ = ݊ + ݎ. ∎ Teorema 5.7 Jika sistem singular [ ܧ, ܣ, ܤ, ܥ, ܦ] dalam 3 terkontrol impuls dan memenuhi 15, 16 dan 17, maka Ω mempunyai kontrol optimal tunggal. Bukti: Misalkan hipotesis teorema 5.7 berlaku. Maka berdasarkan syarat eksistensi dan ketunggalan kontrol optimal masalah Ω ଵ seperti yang diberikan dalam bagian 2.2, Ω ଶ mempunyai kontrol optimal tunggal ݑ ∗ , dimana ݑ ∗ memenuhi persamaan 15, 16 dan 17. Dari transformasi 7 dan relasi 9 diperoleh ൬ݔ ∗ ݐ ݑ ∗ ݐ൰ = ൬ܰ ૙ ૙ ܫ ௥ ൰ ቌ ݔ 1 ∗ ݐ ݔ 2 ∗ ݐ ݑ ∗ ݐ ቍ = ൬ܰ ૙ ૙ ܫ ௥ ൰ ቌ ݔ 1 ∗ ݐ −ܣ 22 −1 ܣ 21 ݔ 1 ∗ ݐ − ܣ 22 −1 ܤ 2 ݑ ∗ ݐ ݑ ∗ ݐ ቍ = ൬ܰ ૙ ૙ ܫ ௥ ൰ ቌ ܫ ݌ ૙ −ܣ 22 −1 ܣ 21 −ܣ 22 −1 ܤ 2 ૙ ܫ ௥ ቍ ൬ ݔ 1 ∗ ݐ −ܮ ݔ 1 ∗ ݐ ൰ = ൬ܰ ૙ ૙ ܫ ௥ ൰ ൮ ܫ ݌ −ܣ 22 −1 ܣ 21 + ܣ 22 −1 ܤ 2 ܮ ____________________ −ܮ ൲ ݔ 1 ∗ ݐ. ∎

VI. MATLAB CODE