Perhitungan Nilai Eigen Terkecil dari Matriks Toeplitz Simetrik Real dan Definit-Positif dengan Metode Single Newton
PERHITUNGAN NILAI EIGEN TERKECIL DARI MATRIKS
TOEPLITZ SIMETRIK REAL DAN DEFINIT-POSITIF
DENGAN METODE SINGLE NEWTON
NURUL DWI HARDINI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perhitungan Nilai
Eigen Terkecil dari Matriks Toeplitz Simetrik Real dan Definit-Positif dengan
Metode Single Newton adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2015
Nurul Dwi Hardini
NIM G54100073
ABSTRAK
NURUL DWI HARDINI. Perhitungan Nilai Eigen Terkecil dari Matriks Toeplitz
Real dan Definit-Positif dengan Metode Single Newton. Dibimbing oleh NUR
ALIATININGTYAS dan MUHAMMAD ILYAS.
Suatu metode yang paling luas digunakan untuk mencari hampiran akar dari
suatu fungsi adalah metode Newton. Tujuan dari karya ilmiah ini adalah
menghitung nilai eigen terkecil dari matriks Toeplitz simetrik real dan definitpositif dengan menggunakan metode single Newton. Polinomial karakteristik dan
turunan polinomial karakteristik sangat dibutuhkan dalam melakukan iterasi pada
metode ini. Untuk menunjukkan kebenaran dari rumus-rumus yang digunakan
dalam metode Newton seperti nilai eigen, polinomial karakteristik, dan turunan
polinomial karakteristik, maka diberikan ilustrasi serta metode analitik untuk
matriks yang berorde 2 dan 3. Hasil perhitungan nilai eigen terkecil dari suatu
matriks, dalam hal ini matriks Toeplitz simetrik real dan definit-positif, yang
ditentukan dengan menggunakan metode single Newton sesuai dengan metode
analitik.
Kata kunci: matriks definit-positif Toeplitz, metode Newton, nilai eigen
ABSTRACT
NURUL DWI HARDINI. Computing the Minimum Eigenvalue of a Real
Symetric Positive-Definite Toeplitz Matrix by Single Newton Method. Supervised
by NUR ALIATININGTYAS and MUHAMMAD ILYAS.
One of the most widely used method for finding approximation of the roots
of a function is Newton’s method. The study is aimed to compute the minimum
eigenvalue of a real symetric positive-definite Toeplitz matrix by single Newton
method. The characteristic polynomial and its derivative are required in
conducting iteration in this method. To evaluate the formula used in Newton
method, such as eigenvalue, characteristic polynomial and its derivative,
illustrations and analytical method for matrices of order 2 and order 3 are given.
The result of computing eigenvalue from minimum eigenvalue of a real symetric
positive-definite Toeplitz matrix that determined by using single Newton method
gives the same result as analytical method.
Keywords: eigenvalue, Newton’s method, positive-definite Toeplitz matrix
PERHITUNGAN NILAI EIGEN TERKECIL DARI MATRIKS
TOEPLITZ SIMETRIK REAL DAN DEFINIT-POSITIF
DENGAN METODE SINGLE NEWTON
NURUL DWI HARDINI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi : Perhitungan Nilai Eigen Terkecil dari Matriks Toeplitz Simetrik
Real dan Definit-Positif dengan Metode Single Newton
Nama
: Nurul Dwi Hardini
NIM
: G54100073
Disetujui oleh
Dra Nur Aliatiningtyas, MSi
Pembimbing I
Muhammad Ilyas, MSi, MSc
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah yang berjudul Perhitungan Nilai Eigen Terkecil dari
Matriks Toeplitz Simetrik Real dan Definit-Positif dengan Metode Single Newton
dapat diselesaikan dengan baik. Bidang yang dipilih oleh penulis dalam karya
ilmiah ini adalah matematika murni dan mulai dikerjakan sejak bulan Maret 2014.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dra Nur Aliatiningtyas, MSi
dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku dosen pembimbing, serta Ibu Elis
Khatizah, SSi, MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran.
Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada ayah, ibu, kakak dan
seluruh keluarga besar atas segala doa, dukungan dan kasih sayangnya. Di
samping itu, terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika
atas segala bantuan yang diberikan selama masa perkuliahan. Tak lupa ucapan
terima kasih untuk sahabat Matematika 47, kakak dan adik kelas, teman kos
Wisma Bintang, teman kos Taman Dramaga Permai 2 serta seluruh pihak yang
telah membantu dan mendoakan penulis dalam penyusunan karya ilmiah ini
hingga terselesaikan dengan baik. Mohon maaf karena penulis tidak dapat
menyebutkannya satu per satu.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Januari 2015
Nurul Dwi Hardini
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
1
HASIL DAN PEMBAHASAN
4
SIMPULAN DAN SARAN
22
Simpulan
22
Saran
22
DAFTAR PUSTAKA
23
LAMPIRAN
24
RIWAYAT HIDUP
29
DAFTAR TABEL
1 Hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software
MATLAB R2008b pada matriks
2 Hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software
MATLAB R2008b pada matriks
16
20
DAFTAR GAMBAR
1 Grafik Metode Newton
4
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Algoritma metode Newton dalam fungsi RapS ( )
Hasil Perhitungan Numerik pada matriks
Hasil Perolehan Nilai Eigen pada matriks
Hasil Perhitungan Numerik pada matriks
24
25
26
27
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu cabang ilmu matematika adalah aljabar, diantaranya mempelajari
teori matriks. Matriks adalah himpunan skalar yang dijajarkan secara empat
persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom. Dalam teori matriks
terdapat berbagai jenis matriks, salah satunya adalah matriks Toeplitz yang
mempunyai struktur dan sifat yang khusus (Isro 2005).
Nilai eigen suatu matriks banyak digunakan untuk mendapatkan solusi di
berbagai bidang ilmu, diantaranya untuk analisis sinyal suara, gerak harmonik,
getaran suatu bangunan, rekontruksi wajah (eigen face), dan lainnya. Karena
permasalahan nilai eigen cukup penting kegunaannya, maka berbagai metode
yang digunakan untuk menentukan nilai eigen menjadi penting untuk dipelajari.
Pada teori matriks terdapat permasalahan menentukan nilai eigen dengan
ordo atau dimensi yang kecil sampai yang besar dan mencari nilai eigen dari suatu
matriks erat hubungannya dengan polinomial karakteristik. Dalam bahasa yang
lebih mudah, nilai eigen merupakan suatu nilai yang menunjukkan seberapa besar
pengaruh suatu variabel terhadap pembentukan karakteristik sebuah matriks.
Salah satu metode numerik yang memberikan suatu cara alternatif untuk
menentukan nilai eigen dari suatu matriks adalah metode Newton. Permasalahan
yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini adalah mengenai perhitungan nilai
eigen terkecil dari matriks Toeplitz simetrik real dan definit-positif
dengan
menggunakan metode Newton. Metode ini melakukan dua tipe iterasi, yaitu
single dan double. Namun yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini hanya
metode single Newton. Metode Newton merupakan metode pendekatan yang
menggunakan satu titik awal dan digunakan untuk mencari hampiran suatu akar.
Kelebihan dari metode Newton, diantaranya yaitu sederhana secara konseptual,
mempunyai konvergensi yang cepat, dan mampu menentukan nilai eigen dengan
ordo atau dimensi yang besar. Karya ilmiah ini merupakan rekontruksi tulisan
Wolfgang Mackens dan Heinrich Voss (2000) yang berjudul Computing the
Minimum Eigenvalue of a Symmetric Positive Definite Toeplitz Matrix by NewtonType Methods.
Tujuan
Penelitian ini bertujuan untuk menghitung nilai eigen terkecil dari matriks
Toeplitz simetrik real dan definit-positif dengan menggunakan metode single
Newton.
TINJAUAN PUSTAKA
Bab ini akan menjelaskan mengenai definisi dan teorema yang akan
digunakan pada bab hasil dan pembahasan.
2
Definisi 1 (Matriks)
Matriks merupakan susunan bilangan-bilangan berbentuk persegi atau
persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom tertentu. Matriks
dinotasikan dengan huruf kapital. Jika adalah banyaknya baris dari matriks
dan adalah banyaknya kolom dari matriks maka matriks mempunyai ordo
atau ditulis
(Sholihin 2011).
Definisi 2 (Matriks Singular)
Suatu matriks
berorde
adalah singular jika dan hanya jika
(Leon 2001).
Definisi 3 (Polinomial Karakteristik)
ke-
Misalkan adalah suatu matriks berordo
dalam peubah
Polinomial ini disebut polinomial karakteristik
Suatu polinomial berderajat
(Leon 2001).
Definisi 4 (Nilai Eigen)
Misalkan adalah suatu matriks berordo
. Skalar disebut sebagai
suatu nilai eigen atau nilai karakteristik dari jika terdapat suatu vektor taknol
sehingga
. Vektor disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari
.
Persamaan
dapat dituliskan dalam bentuk:
x= .
Jadi, adalah nilai eigen dari jika dan hanya jika persamaan di atas memiliki
suatu penyelesaian taktrivial. Persamaan tersebut akan mempunyai penyelesaian
taktrivial jika dan hanya jika
singular, atau secara ekivalen
(Leon 2001).
3
Definisi 5 (Matriks Simetrik)
Suatu matriks berorde
disebut matriks simetrik jika
adalah matriks transpos dari matriks (Leon 2001).
dan
Definisi 6 (Matriks Definit-Positif)
Suatu matriks simetrik berorde
adalah definit-positif jika
untuk semua vektor taknol dalam
(Leon 2001).
Teorema 1
Misalkan adalah matriks simetrik real berorde
. Maka adalah
definit-positif jika dan hanya jika semua nilai-nilai eigennya adalah positif (Leon
2001).
Definisi 7 (Matriks Toeplitz)
Matriks Toeplitz adalah matriks simetris yang sirkulan, dengan setiap
unsur pada diagonal utamanya adalah sama dan setiap unsur pada superdiagonal
yang bersesuaian dengan diagonal utamanya juga sama.
(
(Isro 2005).
(
)
Definisi 8 (Metode Newton)
Metode Newton merupakan suatu metode pendekatan yang menggunakan
satu titik awal dan digunakan untuk mencari hampiran suatu akar. Metode Newton
sering digunakan karena sederhana secara konseptual. Nilai tebakan awal dalam
metode ini sangat diperlukan. Rumus pencarian akar yang paling luas digunakan
adalah:
.
Rumus di atas diperoleh dari definisi turunan pada suatu titik yang merupakan
kemiringan garis singgung pada titik tersebut, yaitu:
.
Ilustrasi geometri untuk metode Newton dapat diperlihatkan dalam Gambar 1 di
bawah ini.
4
Gambar 1 Grafik Metode Newton
Suatu galat hampiran untuk iterasi Newton dapat dilakukan dengan cara
sebagai berikut. Untuk metode numerik, nilai eksak hanya akan diketahui jika
fungsi yang ditangani dapat diselesaikan secara eksak, dalam hal ini fungsinya
adalah polinomial karakteristik. Jika tidak demikian, maka alternatifnya adalah
menormalkan galat dengan menggunakan hampiran terbaik yang tersedia dari
nilai eksak, yaitu terhadap hampiran itu sendiri, seperti yang dirumuskan oleh:
dengan subskrip
menunjukkan bahwa galat dinormalkan terhadap nilai
hampiran (Nugroho 2009).
HASIL DAN PEMBAHASAN
Misalkan diberikan matriks Toeplitz simetrik real dan definit-postif yang
dinotasikan sebagai
dengan
adalah entri-entri yang terletak dibaris ke- dan
kolom ke- sebagai berikut:
5
Misalkan diberikan matriks
dengan
sebagai berikut:
dengan
merupakan submatriks dari
Misalkan
merupakan kolom
pertama dari
dan menghilangkan entri diagonal
sehingga dapat dituliskan
dalam bentuk sebagai berikut:
(
Berikut merupakan contoh untuk matriks di atas dengan
dan .
Jika
maka diperoleh matriks
seperti di bawah ini:
Jika
maka diperoleh matriks
seperti di bawah ini:
Jika
maka diperoleh matriks
seperti di bawah ini:
(
Berikut merupakan contoh memperoleh
dengan
Jika
maka diperoleh
seperti di bawah ini:
Jika
maka diperoleh
seperti di bawah ini:
dan
.
(
Menurut Mackens dan Voss (2000), jika diberikan matriks Toeplitz simetrik
real dan definit-positif, maka nilai eigen, polinomial karakteristik, dan turunan
polinomial karakteristik ditunjukkan oleh rumus-rumus di bawah ini.
6
Jika
(
(
(
(
(
(
merupakan nilai eigen dari
Jika bukan merupakan nilai eigen dari
maka
(
(
(
merupakan solusi kedengan
diperoleh dari persamaan berikut ini:
maka
(1)
dari sistem Yule-Walker yang
(
(2)
(
Polinomial karakteristik
yang berulang atau rekursif seperti berikut ini:
(
(
memenuhi hubungan
(3)
Turunan polinomial karakteristik dari
atau rekursif seperti berikut ini:
Polinomial karakteristik
dalam ketaksamaan berikut ini:
dari
∏
memenuhi hubungan yang berulang
‖
(
dan
‖
(4)
dari
diperlihatkan
(5)
Polinomial karakteristik
merupakan fungsi konveks dan menurun secara
. Fungsi konveks merupakan fungsi yang cekung ke
monoton untuk
atas dan mempunyai nilai minimum. Metode Newton akan konvergen menuju ke
nilai eigen terkecil dari untuk setiap nilai awal
Berikut ini akan ditunjukkan kebenaran dari rumus-rumus di atas untuk kasus
dan
.
1 Nilai Eigen
Akan ditunjukkan benar untuk persamaan 1:
7
(
(
(
Sebelumnya diketahui:
a
,
(
b
c
(
d
(6)
(
e
Jika
(7)
maka diperoleh:
(
(
(
(
(
(
(
(
Berdasarkan persamaan (2) diperoleh
(
sama dengan persamaan (6).
, akibatnya
8
Jadi, persamaan (1) dengan kasus
Jika
adalah benar.
maka diperoleh:
(
(
(
(
(
Misalkan:
dapat diuraikan menjadi:
(
dengan mengingat
(
maka diperoleh:
(
sehingga
Akibatnya:
(
sama dengan persamaan (7).
9
Jadi, persamaan (1) dengan kasus
adalah benar.
2 Polinomial Karakteristik
Akan ditunjukkan benar untuk persamaan 3:
(
Jika
(
maka diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut:
(
(
(
(
(8)
Akibatnya, persamaan (8) sama dengan persamaan (11). Jadi, persamaan (3)
dengan kasus
adalah benar.
Jika
maka diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut:
(
(
(
(
Misalkan:
(
(
(
(
(
dapat dituliskan kembali bahwa:
(
10
(
(
(
(9)
Akibatnya, persamaan (9) sama dengan persamaan (12). Jadi, persamaan (3)
dengan kasus
adalah benar.
Polinomial karakteristik yang memenuhi persamaan rekursif pada persamaan (3)
adalah:
(
Jika
maka diperoleh polinomial karakteristik:
|
Jika
(10)
maka diperoleh polinomial karakteristik:
|
Jika
|
|
maka diperoleh polinomial karakteristik:
(11)
11
|
|
]
[
[
]
3 Turunan Polinomial Karakteristik
(12)
Akan ditunjukkan benar untuk persamaan 4:
‖
dengan
(
Jika
‖
(
(
‖
(
‖
maka diperoleh turunan polinomial karakteristik sebagai berikut:
(
‖
(
‖
‖
(
(
(
‖
(
(
(
(
(13)
Akibatnya, persamaan (13) sama dengan persamaan (16). Jadi, persamaan (4)
dengan kasus
adalah benar.
12
Jika
maka diperoleh turunan polinomial karakteristik sebagai berikut.
Terlebih dahulu dicari:
(
(
(
(
(
)
Sehingga diperoleh:
(
(
(
13
Akibatnya:
‖
(
‖
(
(
(
(
(
(
(
(
]
14
(
[
]
[
]
(14)
Akibatnya, persamaan (14) sama dengan persamaan (17). Jadi, persamaan (4)
dengan kasus
adalah benar.
Turunan polinomial karakteristik yang memenuhi persamaan rekursif pada
persamaan (4) adalah:
(15)
(16)
(17)
4 Contoh Aplikasi
Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi dari matriks Toeplitz
simetrik real dan definit-positif yaitu mencari nilai eigen terkecil dengan
menggunakan metode single Newton yang diperoleh dari nilai tebakan awal
yang telah diketahui, polinomial karakteristik, dan turunan dari polinomial
karakteristiknya.
Misalkan diberikan matriks
dengan
sebagai berikut:
15
dan turunan
Terlebih dahulu akan dicari polinomial karakteristik
polinomial karakteristik
dari secara analitik seperti di bawah ini.
|
|
|
|
(18)
(19)
Sehingga diperoleh nilai eigen dari persamaan (18) dengan menggunakan rumus
abc sebagai berikut:
√
√
√
Jika penyelesaian yang dilakukan dengan konsep metode Newton maka akan
diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut:
(
(
(
16
(
(20)
Akibatnya, persamaan (20) sama dengan persamaan (19).
Jika penyelesaian dilakukan dengan konsep metode Newton akan diperoleh
turunan polinomial karakteristik sebagai berikut:
(
‖
(
‖
‖
‖
(
(
(
(
(21)
Akibatnya, persamaan (21) sama dengan persamaan (20).
Berdasarkan Teorema 1, nilai eigen dari matriks Toeplitz simetrik real dan definitpositif adalah semuanya bernilai positif, sehingga untuk mencari akar dengan
menggunakan metode single Newton, iterasi dapat dilakukan dengan
menggunakan nilai tebakan awal
dan toleransi keakuratan
. Nilai
tebakan awal
dipilih karena berdasarkan Teorema 1.
Karena
akarnya sebagai berikut:
dan
rumus pencarian
17
Iterasi 1:
Iterasi 2:
Iterasi 3:
Iterasi 4:
Iterasi 5:
|
|
|
|
|
|
|
|
18
|
|
Jadi pada iterasi ke-5 diperoleh akar hampiran
Berikut ini diberikan tabel
hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software MATLAB R2008b
pada matriks yang terlampir pada Lampiran 2.
Tabel 1
Hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software
MATLAB R2008b pada matriks
Galat (%)
Misal diberikan matriks
dengan
sebagai berikut:
(
Maka dengan cara yang sama seperti pada matriks
diperoleh polinomial
karakteristik dan turunan polinomial karakteristik sebagai berikut:
|
|
|
|
(
(22)
(23)
Sehingga diperoleh nilai eigen dari persamaan (22) dengan bantuan software
MATLAB R2008b sebagai berikut:
19
dengan proses perhitungan yang terlampir pada Lampiran 3.
Jika penyelesaian yang dilakukan dengan konsep metode Newton maka akan
diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut:
(
(
(
(
Misalkan :
(
dapat dituliskan kembali bahwa:
(
(
(
20
(
(24)
Akibatnya, persamaan (24) sama dengan persamaan (22).
Jika penyelesaian yang dilakukan dengan konsep metode Newton maka akan
diperoleh turunan polinomial karakteristik sebagai berikut:
‖
‖
(25)
Akibatnya, persamaan (25) sama dengan persamaan (23).
Selanjutnya dengan cara yang sama akan dilakukan iterasi untuk mencari akar
dengan menggunakan metode single Newton seperti di bawah ini.
Karena
pencarian akarnya sebagai berikut:
Iterasi 1:
dan
rumus
21
Iterasi 2:
Iterasi 3:
Iterasi 4:
|
|
|
|
|
|
|
|
22
Iterasi 5:
|
|
Jadi pada iterasi ke-5 diperoleh akar hampiran
Berikut ini
diberikan tabel hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software
MATLAB R2008b pada matriks yang terlampir pada Lampiran 4.
Tabel 2
Hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software
MATLAB R2008b pada matriks
Galat (%)
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya, dapat
disimpulkan bahwa perhitungan nilai eigen terkecil dari suatu matriks, dalam hal
ini matriks Toeplitz simetrik real dan definit-positif dapat ditentukan dengan
menggunakan metode single Newton. Hasil perhitungan secara analitik dan secara
numerik adalah sama. Polinomial karakteristik dan turunan polinomial
karakteristik sangat dibutuhkan untuk melakukan iterasi pada metode ini.
Saran
Bagi yang berminat untuk memperluas tema dari karya ilmiah ini, penulis
menyarankan untuk melanjutkan pembahasan mengenai perhitungan nilai eigen
terkecil dari matriks Toeplitz simetrik real dan definit-positif dengan
menggunakan metode double Newton. Karena penulis hanya membahas mengenai
ilustrasi kebenaran untuk polinomial karakteristik
dan turunan polinomial
karakteristik
dengan kasus
dan
maka disarankan pula untuk
23
membahas mengenai pembuktian secara umum untuk polinomial karakteristik
dan turunan polinomial karakteristik
dengan kasus
DAFTAR PUSTAKA
Mackens W, Voss H. 2000. Computing the minimum eigenvalue of a symmetric
positive definite toeplitz matrix by newton-type methods. Siam J Sci Comput.
21:1650-1656.
Nugroho BD. 2009. Diktat Kuliah Metode Numerik. Salatiga: Program Studi
Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah.
Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications.
Isro DR. 2005. Kajian matriks toeplitz. [terhubung berkala]. http://studentresearch.umm.ac.id/index.php/dept_of_mathematics/article/view/7806. [21
April 2014].
Sholihin.
2011.
Kajian
matriks
toeplitz.
[terhubung
berkala].
http://dumatika.com/invers-dan-determinan-matriks. [22 April 2014].
24
Lampiran 1 Algoritma metode Newton dalam fungsi RapS ( )
function M = RapS(f, f1, x0, N, tol )
% Input : f = fungsi dari x, gunakan fungsi inline(’ekspresi’, ’x’)
%
f1= turunan pertama dari f(x), gunakan fungsi inline(’ekspresi’,’x’)
%
x0 = tebakan awal
%
N = maksimum iterasi
%
tol = toleransi keakuratan
%
% Output : x = akar hampiran yang memenuhi kriteria
%
galat = persen galat relatif
% PERHITUNGAN INTI :
syms L;
if nargin < 5, tol = 1e-3; end
if nargin < 4, N=100; end
n = 1; galat = 1;
while ( n tol)
x = x0-(subs(f,L,x0)/subs(f1,L,x0));
galat = abs ( (x-x0)/x)*100;
x0 = x;
M = [M ; n x galat];
n = n+1;
end
25
Lampiran 2 Hasil Perhitungan Numerik pada matriks
26
Lampiran 3 Hasil Perolehan Nilai Eigen dari matriks
27
Lampiran 4 Hasil Perhitungan Numerik dari matriks
28
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Pemalang pada tanggal 26 Mei 1992. Penulis
merupakan putri kedua dari dua bersaudara dari Bapak Edy Susanto Putro dan Ibu
Witarti. Lulus dari SMA Negeri 1 Pemalang tahun 2010 dan pada tahun yang
sama penulis diterima sebagai mahasiswi Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui
jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis tercatat sebagai mahasiswi
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
(FMIPA).
Selama menjadi mahasiswi dan mengikuti perkuliahan, penulis aktif di
berbagai kegiatan organisasi dan kepanitiaan. Pada masa Tingkat Persiapan
Bersama (TPB) yaitu tahun 2010, penulis tercatat sebagai anggota UKM Lawalata
IPB dan UKM Futsal Putri IPB. Penulis juga aktif tergabung dalam kepengurusan
Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) selama dua periode, yaitu 2012 dan
2013. Selama dua tahun tersebut, penulis diamanahi sebagai staf divisi Math
Event. Selain itu, penulis juga aktif dalam kepengurusan Serambi Ruhiyah
Mahasiswa MIPA (Serum G) selama satu periode yaitu tahun 2012 dan diamanahi
sebagai staf divisi Class Rohis Management (CRM).
Kegiatan kepanitiaan yang pernah diikuti oleh penulis diantaranya yaitu
menjadi salah satu anggota divisi Publikasi, Dekorasi, dan Dokumentasi dari
kegiatan Festival Ilmuan Muslim (FIM) tahun 2012, anggota divisi Dekorasi dan
Dokumentasi (DDD) dari G5-League 2012, anggota divisi Acara dari Masa
Perkenalan Departemen Matematika (MPD) tahun 2012, anggota divisi Hubungan
Masyarakat (Humas) dari Matematika Ria yang merupakan bagian dari kegiatan
Pesta Sains Nasional 2012, anggota divisi Logistik dan Transportasi (Logstran)
dari Math Camp 2012, kepala divisi Hubungan Masyarakat (Humas) dari G5League dan Masa Perkenalan Departemen Matematika (MPD) tahun 2013,
anggota divisi Acara dari IPB Mathematics Challenge 2013, anggota divisi Dana
Usaha (Danus) dari Matematika Ria 2013, kepala divisi Acara dari Ramah Tamah
Civitas (Rataci) tahun 2012 dan 2013.
30
31
TOEPLITZ SIMETRIK REAL DAN DEFINIT-POSITIF
DENGAN METODE SINGLE NEWTON
NURUL DWI HARDINI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perhitungan Nilai
Eigen Terkecil dari Matriks Toeplitz Simetrik Real dan Definit-Positif dengan
Metode Single Newton adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2015
Nurul Dwi Hardini
NIM G54100073
ABSTRAK
NURUL DWI HARDINI. Perhitungan Nilai Eigen Terkecil dari Matriks Toeplitz
Real dan Definit-Positif dengan Metode Single Newton. Dibimbing oleh NUR
ALIATININGTYAS dan MUHAMMAD ILYAS.
Suatu metode yang paling luas digunakan untuk mencari hampiran akar dari
suatu fungsi adalah metode Newton. Tujuan dari karya ilmiah ini adalah
menghitung nilai eigen terkecil dari matriks Toeplitz simetrik real dan definitpositif dengan menggunakan metode single Newton. Polinomial karakteristik dan
turunan polinomial karakteristik sangat dibutuhkan dalam melakukan iterasi pada
metode ini. Untuk menunjukkan kebenaran dari rumus-rumus yang digunakan
dalam metode Newton seperti nilai eigen, polinomial karakteristik, dan turunan
polinomial karakteristik, maka diberikan ilustrasi serta metode analitik untuk
matriks yang berorde 2 dan 3. Hasil perhitungan nilai eigen terkecil dari suatu
matriks, dalam hal ini matriks Toeplitz simetrik real dan definit-positif, yang
ditentukan dengan menggunakan metode single Newton sesuai dengan metode
analitik.
Kata kunci: matriks definit-positif Toeplitz, metode Newton, nilai eigen
ABSTRACT
NURUL DWI HARDINI. Computing the Minimum Eigenvalue of a Real
Symetric Positive-Definite Toeplitz Matrix by Single Newton Method. Supervised
by NUR ALIATININGTYAS and MUHAMMAD ILYAS.
One of the most widely used method for finding approximation of the roots
of a function is Newton’s method. The study is aimed to compute the minimum
eigenvalue of a real symetric positive-definite Toeplitz matrix by single Newton
method. The characteristic polynomial and its derivative are required in
conducting iteration in this method. To evaluate the formula used in Newton
method, such as eigenvalue, characteristic polynomial and its derivative,
illustrations and analytical method for matrices of order 2 and order 3 are given.
The result of computing eigenvalue from minimum eigenvalue of a real symetric
positive-definite Toeplitz matrix that determined by using single Newton method
gives the same result as analytical method.
Keywords: eigenvalue, Newton’s method, positive-definite Toeplitz matrix
PERHITUNGAN NILAI EIGEN TERKECIL DARI MATRIKS
TOEPLITZ SIMETRIK REAL DAN DEFINIT-POSITIF
DENGAN METODE SINGLE NEWTON
NURUL DWI HARDINI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi : Perhitungan Nilai Eigen Terkecil dari Matriks Toeplitz Simetrik
Real dan Definit-Positif dengan Metode Single Newton
Nama
: Nurul Dwi Hardini
NIM
: G54100073
Disetujui oleh
Dra Nur Aliatiningtyas, MSi
Pembimbing I
Muhammad Ilyas, MSi, MSc
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah yang berjudul Perhitungan Nilai Eigen Terkecil dari
Matriks Toeplitz Simetrik Real dan Definit-Positif dengan Metode Single Newton
dapat diselesaikan dengan baik. Bidang yang dipilih oleh penulis dalam karya
ilmiah ini adalah matematika murni dan mulai dikerjakan sejak bulan Maret 2014.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dra Nur Aliatiningtyas, MSi
dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku dosen pembimbing, serta Ibu Elis
Khatizah, SSi, MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran.
Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada ayah, ibu, kakak dan
seluruh keluarga besar atas segala doa, dukungan dan kasih sayangnya. Di
samping itu, terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika
atas segala bantuan yang diberikan selama masa perkuliahan. Tak lupa ucapan
terima kasih untuk sahabat Matematika 47, kakak dan adik kelas, teman kos
Wisma Bintang, teman kos Taman Dramaga Permai 2 serta seluruh pihak yang
telah membantu dan mendoakan penulis dalam penyusunan karya ilmiah ini
hingga terselesaikan dengan baik. Mohon maaf karena penulis tidak dapat
menyebutkannya satu per satu.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Januari 2015
Nurul Dwi Hardini
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
1
HASIL DAN PEMBAHASAN
4
SIMPULAN DAN SARAN
22
Simpulan
22
Saran
22
DAFTAR PUSTAKA
23
LAMPIRAN
24
RIWAYAT HIDUP
29
DAFTAR TABEL
1 Hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software
MATLAB R2008b pada matriks
2 Hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software
MATLAB R2008b pada matriks
16
20
DAFTAR GAMBAR
1 Grafik Metode Newton
4
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Algoritma metode Newton dalam fungsi RapS ( )
Hasil Perhitungan Numerik pada matriks
Hasil Perolehan Nilai Eigen pada matriks
Hasil Perhitungan Numerik pada matriks
24
25
26
27
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu cabang ilmu matematika adalah aljabar, diantaranya mempelajari
teori matriks. Matriks adalah himpunan skalar yang dijajarkan secara empat
persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom. Dalam teori matriks
terdapat berbagai jenis matriks, salah satunya adalah matriks Toeplitz yang
mempunyai struktur dan sifat yang khusus (Isro 2005).
Nilai eigen suatu matriks banyak digunakan untuk mendapatkan solusi di
berbagai bidang ilmu, diantaranya untuk analisis sinyal suara, gerak harmonik,
getaran suatu bangunan, rekontruksi wajah (eigen face), dan lainnya. Karena
permasalahan nilai eigen cukup penting kegunaannya, maka berbagai metode
yang digunakan untuk menentukan nilai eigen menjadi penting untuk dipelajari.
Pada teori matriks terdapat permasalahan menentukan nilai eigen dengan
ordo atau dimensi yang kecil sampai yang besar dan mencari nilai eigen dari suatu
matriks erat hubungannya dengan polinomial karakteristik. Dalam bahasa yang
lebih mudah, nilai eigen merupakan suatu nilai yang menunjukkan seberapa besar
pengaruh suatu variabel terhadap pembentukan karakteristik sebuah matriks.
Salah satu metode numerik yang memberikan suatu cara alternatif untuk
menentukan nilai eigen dari suatu matriks adalah metode Newton. Permasalahan
yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini adalah mengenai perhitungan nilai
eigen terkecil dari matriks Toeplitz simetrik real dan definit-positif
dengan
menggunakan metode Newton. Metode ini melakukan dua tipe iterasi, yaitu
single dan double. Namun yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini hanya
metode single Newton. Metode Newton merupakan metode pendekatan yang
menggunakan satu titik awal dan digunakan untuk mencari hampiran suatu akar.
Kelebihan dari metode Newton, diantaranya yaitu sederhana secara konseptual,
mempunyai konvergensi yang cepat, dan mampu menentukan nilai eigen dengan
ordo atau dimensi yang besar. Karya ilmiah ini merupakan rekontruksi tulisan
Wolfgang Mackens dan Heinrich Voss (2000) yang berjudul Computing the
Minimum Eigenvalue of a Symmetric Positive Definite Toeplitz Matrix by NewtonType Methods.
Tujuan
Penelitian ini bertujuan untuk menghitung nilai eigen terkecil dari matriks
Toeplitz simetrik real dan definit-positif dengan menggunakan metode single
Newton.
TINJAUAN PUSTAKA
Bab ini akan menjelaskan mengenai definisi dan teorema yang akan
digunakan pada bab hasil dan pembahasan.
2
Definisi 1 (Matriks)
Matriks merupakan susunan bilangan-bilangan berbentuk persegi atau
persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom tertentu. Matriks
dinotasikan dengan huruf kapital. Jika adalah banyaknya baris dari matriks
dan adalah banyaknya kolom dari matriks maka matriks mempunyai ordo
atau ditulis
(Sholihin 2011).
Definisi 2 (Matriks Singular)
Suatu matriks
berorde
adalah singular jika dan hanya jika
(Leon 2001).
Definisi 3 (Polinomial Karakteristik)
ke-
Misalkan adalah suatu matriks berordo
dalam peubah
Polinomial ini disebut polinomial karakteristik
Suatu polinomial berderajat
(Leon 2001).
Definisi 4 (Nilai Eigen)
Misalkan adalah suatu matriks berordo
. Skalar disebut sebagai
suatu nilai eigen atau nilai karakteristik dari jika terdapat suatu vektor taknol
sehingga
. Vektor disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari
.
Persamaan
dapat dituliskan dalam bentuk:
x= .
Jadi, adalah nilai eigen dari jika dan hanya jika persamaan di atas memiliki
suatu penyelesaian taktrivial. Persamaan tersebut akan mempunyai penyelesaian
taktrivial jika dan hanya jika
singular, atau secara ekivalen
(Leon 2001).
3
Definisi 5 (Matriks Simetrik)
Suatu matriks berorde
disebut matriks simetrik jika
adalah matriks transpos dari matriks (Leon 2001).
dan
Definisi 6 (Matriks Definit-Positif)
Suatu matriks simetrik berorde
adalah definit-positif jika
untuk semua vektor taknol dalam
(Leon 2001).
Teorema 1
Misalkan adalah matriks simetrik real berorde
. Maka adalah
definit-positif jika dan hanya jika semua nilai-nilai eigennya adalah positif (Leon
2001).
Definisi 7 (Matriks Toeplitz)
Matriks Toeplitz adalah matriks simetris yang sirkulan, dengan setiap
unsur pada diagonal utamanya adalah sama dan setiap unsur pada superdiagonal
yang bersesuaian dengan diagonal utamanya juga sama.
(
(Isro 2005).
(
)
Definisi 8 (Metode Newton)
Metode Newton merupakan suatu metode pendekatan yang menggunakan
satu titik awal dan digunakan untuk mencari hampiran suatu akar. Metode Newton
sering digunakan karena sederhana secara konseptual. Nilai tebakan awal dalam
metode ini sangat diperlukan. Rumus pencarian akar yang paling luas digunakan
adalah:
.
Rumus di atas diperoleh dari definisi turunan pada suatu titik yang merupakan
kemiringan garis singgung pada titik tersebut, yaitu:
.
Ilustrasi geometri untuk metode Newton dapat diperlihatkan dalam Gambar 1 di
bawah ini.
4
Gambar 1 Grafik Metode Newton
Suatu galat hampiran untuk iterasi Newton dapat dilakukan dengan cara
sebagai berikut. Untuk metode numerik, nilai eksak hanya akan diketahui jika
fungsi yang ditangani dapat diselesaikan secara eksak, dalam hal ini fungsinya
adalah polinomial karakteristik. Jika tidak demikian, maka alternatifnya adalah
menormalkan galat dengan menggunakan hampiran terbaik yang tersedia dari
nilai eksak, yaitu terhadap hampiran itu sendiri, seperti yang dirumuskan oleh:
dengan subskrip
menunjukkan bahwa galat dinormalkan terhadap nilai
hampiran (Nugroho 2009).
HASIL DAN PEMBAHASAN
Misalkan diberikan matriks Toeplitz simetrik real dan definit-postif yang
dinotasikan sebagai
dengan
adalah entri-entri yang terletak dibaris ke- dan
kolom ke- sebagai berikut:
5
Misalkan diberikan matriks
dengan
sebagai berikut:
dengan
merupakan submatriks dari
Misalkan
merupakan kolom
pertama dari
dan menghilangkan entri diagonal
sehingga dapat dituliskan
dalam bentuk sebagai berikut:
(
Berikut merupakan contoh untuk matriks di atas dengan
dan .
Jika
maka diperoleh matriks
seperti di bawah ini:
Jika
maka diperoleh matriks
seperti di bawah ini:
Jika
maka diperoleh matriks
seperti di bawah ini:
(
Berikut merupakan contoh memperoleh
dengan
Jika
maka diperoleh
seperti di bawah ini:
Jika
maka diperoleh
seperti di bawah ini:
dan
.
(
Menurut Mackens dan Voss (2000), jika diberikan matriks Toeplitz simetrik
real dan definit-positif, maka nilai eigen, polinomial karakteristik, dan turunan
polinomial karakteristik ditunjukkan oleh rumus-rumus di bawah ini.
6
Jika
(
(
(
(
(
(
merupakan nilai eigen dari
Jika bukan merupakan nilai eigen dari
maka
(
(
(
merupakan solusi kedengan
diperoleh dari persamaan berikut ini:
maka
(1)
dari sistem Yule-Walker yang
(
(2)
(
Polinomial karakteristik
yang berulang atau rekursif seperti berikut ini:
(
(
memenuhi hubungan
(3)
Turunan polinomial karakteristik dari
atau rekursif seperti berikut ini:
Polinomial karakteristik
dalam ketaksamaan berikut ini:
dari
∏
memenuhi hubungan yang berulang
‖
(
dan
‖
(4)
dari
diperlihatkan
(5)
Polinomial karakteristik
merupakan fungsi konveks dan menurun secara
. Fungsi konveks merupakan fungsi yang cekung ke
monoton untuk
atas dan mempunyai nilai minimum. Metode Newton akan konvergen menuju ke
nilai eigen terkecil dari untuk setiap nilai awal
Berikut ini akan ditunjukkan kebenaran dari rumus-rumus di atas untuk kasus
dan
.
1 Nilai Eigen
Akan ditunjukkan benar untuk persamaan 1:
7
(
(
(
Sebelumnya diketahui:
a
,
(
b
c
(
d
(6)
(
e
Jika
(7)
maka diperoleh:
(
(
(
(
(
(
(
(
Berdasarkan persamaan (2) diperoleh
(
sama dengan persamaan (6).
, akibatnya
8
Jadi, persamaan (1) dengan kasus
Jika
adalah benar.
maka diperoleh:
(
(
(
(
(
Misalkan:
dapat diuraikan menjadi:
(
dengan mengingat
(
maka diperoleh:
(
sehingga
Akibatnya:
(
sama dengan persamaan (7).
9
Jadi, persamaan (1) dengan kasus
adalah benar.
2 Polinomial Karakteristik
Akan ditunjukkan benar untuk persamaan 3:
(
Jika
(
maka diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut:
(
(
(
(
(8)
Akibatnya, persamaan (8) sama dengan persamaan (11). Jadi, persamaan (3)
dengan kasus
adalah benar.
Jika
maka diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut:
(
(
(
(
Misalkan:
(
(
(
(
(
dapat dituliskan kembali bahwa:
(
10
(
(
(
(9)
Akibatnya, persamaan (9) sama dengan persamaan (12). Jadi, persamaan (3)
dengan kasus
adalah benar.
Polinomial karakteristik yang memenuhi persamaan rekursif pada persamaan (3)
adalah:
(
Jika
maka diperoleh polinomial karakteristik:
|
Jika
(10)
maka diperoleh polinomial karakteristik:
|
Jika
|
|
maka diperoleh polinomial karakteristik:
(11)
11
|
|
]
[
[
]
3 Turunan Polinomial Karakteristik
(12)
Akan ditunjukkan benar untuk persamaan 4:
‖
dengan
(
Jika
‖
(
(
‖
(
‖
maka diperoleh turunan polinomial karakteristik sebagai berikut:
(
‖
(
‖
‖
(
(
(
‖
(
(
(
(
(13)
Akibatnya, persamaan (13) sama dengan persamaan (16). Jadi, persamaan (4)
dengan kasus
adalah benar.
12
Jika
maka diperoleh turunan polinomial karakteristik sebagai berikut.
Terlebih dahulu dicari:
(
(
(
(
(
)
Sehingga diperoleh:
(
(
(
13
Akibatnya:
‖
(
‖
(
(
(
(
(
(
(
(
]
14
(
[
]
[
]
(14)
Akibatnya, persamaan (14) sama dengan persamaan (17). Jadi, persamaan (4)
dengan kasus
adalah benar.
Turunan polinomial karakteristik yang memenuhi persamaan rekursif pada
persamaan (4) adalah:
(15)
(16)
(17)
4 Contoh Aplikasi
Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi dari matriks Toeplitz
simetrik real dan definit-positif yaitu mencari nilai eigen terkecil dengan
menggunakan metode single Newton yang diperoleh dari nilai tebakan awal
yang telah diketahui, polinomial karakteristik, dan turunan dari polinomial
karakteristiknya.
Misalkan diberikan matriks
dengan
sebagai berikut:
15
dan turunan
Terlebih dahulu akan dicari polinomial karakteristik
polinomial karakteristik
dari secara analitik seperti di bawah ini.
|
|
|
|
(18)
(19)
Sehingga diperoleh nilai eigen dari persamaan (18) dengan menggunakan rumus
abc sebagai berikut:
√
√
√
Jika penyelesaian yang dilakukan dengan konsep metode Newton maka akan
diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut:
(
(
(
16
(
(20)
Akibatnya, persamaan (20) sama dengan persamaan (19).
Jika penyelesaian dilakukan dengan konsep metode Newton akan diperoleh
turunan polinomial karakteristik sebagai berikut:
(
‖
(
‖
‖
‖
(
(
(
(
(21)
Akibatnya, persamaan (21) sama dengan persamaan (20).
Berdasarkan Teorema 1, nilai eigen dari matriks Toeplitz simetrik real dan definitpositif adalah semuanya bernilai positif, sehingga untuk mencari akar dengan
menggunakan metode single Newton, iterasi dapat dilakukan dengan
menggunakan nilai tebakan awal
dan toleransi keakuratan
. Nilai
tebakan awal
dipilih karena berdasarkan Teorema 1.
Karena
akarnya sebagai berikut:
dan
rumus pencarian
17
Iterasi 1:
Iterasi 2:
Iterasi 3:
Iterasi 4:
Iterasi 5:
|
|
|
|
|
|
|
|
18
|
|
Jadi pada iterasi ke-5 diperoleh akar hampiran
Berikut ini diberikan tabel
hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software MATLAB R2008b
pada matriks yang terlampir pada Lampiran 2.
Tabel 1
Hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software
MATLAB R2008b pada matriks
Galat (%)
Misal diberikan matriks
dengan
sebagai berikut:
(
Maka dengan cara yang sama seperti pada matriks
diperoleh polinomial
karakteristik dan turunan polinomial karakteristik sebagai berikut:
|
|
|
|
(
(22)
(23)
Sehingga diperoleh nilai eigen dari persamaan (22) dengan bantuan software
MATLAB R2008b sebagai berikut:
19
dengan proses perhitungan yang terlampir pada Lampiran 3.
Jika penyelesaian yang dilakukan dengan konsep metode Newton maka akan
diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut:
(
(
(
(
Misalkan :
(
dapat dituliskan kembali bahwa:
(
(
(
20
(
(24)
Akibatnya, persamaan (24) sama dengan persamaan (22).
Jika penyelesaian yang dilakukan dengan konsep metode Newton maka akan
diperoleh turunan polinomial karakteristik sebagai berikut:
‖
‖
(25)
Akibatnya, persamaan (25) sama dengan persamaan (23).
Selanjutnya dengan cara yang sama akan dilakukan iterasi untuk mencari akar
dengan menggunakan metode single Newton seperti di bawah ini.
Karena
pencarian akarnya sebagai berikut:
Iterasi 1:
dan
rumus
21
Iterasi 2:
Iterasi 3:
Iterasi 4:
|
|
|
|
|
|
|
|
22
Iterasi 5:
|
|
Jadi pada iterasi ke-5 diperoleh akar hampiran
Berikut ini
diberikan tabel hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software
MATLAB R2008b pada matriks yang terlampir pada Lampiran 4.
Tabel 2
Hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software
MATLAB R2008b pada matriks
Galat (%)
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya, dapat
disimpulkan bahwa perhitungan nilai eigen terkecil dari suatu matriks, dalam hal
ini matriks Toeplitz simetrik real dan definit-positif dapat ditentukan dengan
menggunakan metode single Newton. Hasil perhitungan secara analitik dan secara
numerik adalah sama. Polinomial karakteristik dan turunan polinomial
karakteristik sangat dibutuhkan untuk melakukan iterasi pada metode ini.
Saran
Bagi yang berminat untuk memperluas tema dari karya ilmiah ini, penulis
menyarankan untuk melanjutkan pembahasan mengenai perhitungan nilai eigen
terkecil dari matriks Toeplitz simetrik real dan definit-positif dengan
menggunakan metode double Newton. Karena penulis hanya membahas mengenai
ilustrasi kebenaran untuk polinomial karakteristik
dan turunan polinomial
karakteristik
dengan kasus
dan
maka disarankan pula untuk
23
membahas mengenai pembuktian secara umum untuk polinomial karakteristik
dan turunan polinomial karakteristik
dengan kasus
DAFTAR PUSTAKA
Mackens W, Voss H. 2000. Computing the minimum eigenvalue of a symmetric
positive definite toeplitz matrix by newton-type methods. Siam J Sci Comput.
21:1650-1656.
Nugroho BD. 2009. Diktat Kuliah Metode Numerik. Salatiga: Program Studi
Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah.
Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications.
Isro DR. 2005. Kajian matriks toeplitz. [terhubung berkala]. http://studentresearch.umm.ac.id/index.php/dept_of_mathematics/article/view/7806. [21
April 2014].
Sholihin.
2011.
Kajian
matriks
toeplitz.
[terhubung
berkala].
http://dumatika.com/invers-dan-determinan-matriks. [22 April 2014].
24
Lampiran 1 Algoritma metode Newton dalam fungsi RapS ( )
function M = RapS(f, f1, x0, N, tol )
% Input : f = fungsi dari x, gunakan fungsi inline(’ekspresi’, ’x’)
%
f1= turunan pertama dari f(x), gunakan fungsi inline(’ekspresi’,’x’)
%
x0 = tebakan awal
%
N = maksimum iterasi
%
tol = toleransi keakuratan
%
% Output : x = akar hampiran yang memenuhi kriteria
%
galat = persen galat relatif
% PERHITUNGAN INTI :
syms L;
if nargin < 5, tol = 1e-3; end
if nargin < 4, N=100; end
n = 1; galat = 1;
while ( n tol)
x = x0-(subs(f,L,x0)/subs(f1,L,x0));
galat = abs ( (x-x0)/x)*100;
x0 = x;
M = [M ; n x galat];
n = n+1;
end
25
Lampiran 2 Hasil Perhitungan Numerik pada matriks
26
Lampiran 3 Hasil Perolehan Nilai Eigen dari matriks
27
Lampiran 4 Hasil Perhitungan Numerik dari matriks
28
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Pemalang pada tanggal 26 Mei 1992. Penulis
merupakan putri kedua dari dua bersaudara dari Bapak Edy Susanto Putro dan Ibu
Witarti. Lulus dari SMA Negeri 1 Pemalang tahun 2010 dan pada tahun yang
sama penulis diterima sebagai mahasiswi Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui
jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis tercatat sebagai mahasiswi
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
(FMIPA).
Selama menjadi mahasiswi dan mengikuti perkuliahan, penulis aktif di
berbagai kegiatan organisasi dan kepanitiaan. Pada masa Tingkat Persiapan
Bersama (TPB) yaitu tahun 2010, penulis tercatat sebagai anggota UKM Lawalata
IPB dan UKM Futsal Putri IPB. Penulis juga aktif tergabung dalam kepengurusan
Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) selama dua periode, yaitu 2012 dan
2013. Selama dua tahun tersebut, penulis diamanahi sebagai staf divisi Math
Event. Selain itu, penulis juga aktif dalam kepengurusan Serambi Ruhiyah
Mahasiswa MIPA (Serum G) selama satu periode yaitu tahun 2012 dan diamanahi
sebagai staf divisi Class Rohis Management (CRM).
Kegiatan kepanitiaan yang pernah diikuti oleh penulis diantaranya yaitu
menjadi salah satu anggota divisi Publikasi, Dekorasi, dan Dokumentasi dari
kegiatan Festival Ilmuan Muslim (FIM) tahun 2012, anggota divisi Dekorasi dan
Dokumentasi (DDD) dari G5-League 2012, anggota divisi Acara dari Masa
Perkenalan Departemen Matematika (MPD) tahun 2012, anggota divisi Hubungan
Masyarakat (Humas) dari Matematika Ria yang merupakan bagian dari kegiatan
Pesta Sains Nasional 2012, anggota divisi Logistik dan Transportasi (Logstran)
dari Math Camp 2012, kepala divisi Hubungan Masyarakat (Humas) dari G5League dan Masa Perkenalan Departemen Matematika (MPD) tahun 2013,
anggota divisi Acara dari IPB Mathematics Challenge 2013, anggota divisi Dana
Usaha (Danus) dari Matematika Ria 2013, kepala divisi Acara dari Ramah Tamah
Civitas (Rataci) tahun 2012 dan 2013.
30
31