9
BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI
2.1. Teori Graf
1. Pengertian Graf
Definisi 2.1.1 Goodaire dan Parmenter, 1998:329 Graf adalah himpunan pasangan terurut
� = �, � di mana �� himpunan tak kosong dan
�� adalah himpunan pasangan elemen yang berbeda di
��. Elemen �� disebut titik vertex dan elemen �� disebut sisi edge. Jadi, jika
∈ ��, maka e merupakan himpunan pasangan
= , , di mana
≠ , , ∈ ��. Selanjutnya, dan
disebut titik ujung dari e, atau dengan kata lain = ,
menghubungkan titik dan . Selanjutnya sisi = ,
dinotasikan dengan
,
di mana sisi tersebut merupakan sisi yang sama dengan sisi = ,
yang dinotasikan dengan
,
. Banyaknya unsur di
�� disebut order dari G dilambangkan dengan
�� dan banyaknya unsur di �� disebut ukuran size dari � dilambangkan dengan �� . Secara geometris graf dapat
digambarkan sebagai sekumpulan titik pada bidang dimensi dua yang dihubungkan dengan sekumpulan sisi Chartrand dan Oellermann,
1993:3.
Contoh:
Gambar 2.1 Graf Pada Gambar 2.1 gambar a merupakan graf dengan
�� = 7 dan �� = 8, sedangkan gambar b merupakan graf dengan �� = 6
dan �� = 0.
Gambar 2.2 Bukan Graf Gambar 2.2 bukan merupakan graf karena tidak memenuhi definisi 2.1.1
yaitu � � = ∅.
2. Beberapa Istilah dalam Graf
Berikut diberikan definisi berdekatan adjacent yang digunakan untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf lengkap complete
graph .
a b
Definisi 2.1.2 Munir, 2001:191 Misal terdapat dua titik
dan pada graf G, dua titik tersebut
dikatakan berdekatan adjacent bila terdapat sebuah sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut. Dapat ditulis dengan notasi
= , ∈ �� di mana ≠ .
Berikut diberikan definisi bersisian incident yang digunakan untuk menjelaskan derajat sebuah titik, graf sikel dan graf planar, pelabelan
total ajaib sisi, serta sifat pada graf sikel dengan tambahan � anting.
Definisi 2.1.3 Munir, 2001:191 Diberikan graf G dan
, ∈ � � , jika terdapat sebuah sisi yang
menghubungkan dengan
, dinotasikan = ,
∈ �� maka dikatakan bahwa e bersisian incident dengan titik dan .
Berikut diberikan definisi derajat degree sebuah titik yang digunakan untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf teratur.
Definisi 2.1.4 Chartrand dan Oellermann, 1993:6 Derajat degree sebuah titik
pada graf G yang dituliskan dengan deg
menyatakan banyak sisi yang bersisian dengan , dengan kata
lain banyak sisi yang memuat sebagai titik ujung. Titik dengan derajat nol disebut titik terisolasi isolated vertex.
Berikut diberikan definisi sisi ganda multiple edge yang digunakan untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf sederhana dan graf
tak sederhana. Definisi 2.1.5 Munir, 2001:181
Jika terdapat beberapa sisi berbeda pada graf yang menghubungkan pasangan titik yang sama maka graf tersebut dikatakan mempunyai sisi
ganda multiple edge. Berikut diberikan definisi sisi ganda multiple edge yang digunakan
untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf sederhana dan graf tak sederhana.
Definisi 2.1.6 Munir, 2001:181 Jika terdapat sebuah sisi pada graf yang berawal dan berakhir pada satu
titik maka graf tersebut dikatakan memiliki gelang loop. Berikut diberikan contoh untuk memperjelas Definisi 2.1.2, 2.1.3,
2.1.4, 2.1.5, dan 2.1.6. Contoh :
Gambar 2.3 Graf �
1
1 2
3
4 7
5 6
1
9 3
5 2
6 8
4
7
Graf �
1
memuat himpunan titik � �
1
= {
1
,
2
,
3
,
4
,
5, 6
,
7
} dan himpunan sisi
� �
1
=
1
,
2
,
3
,
4
,
5, 6
,
7
,
8
,
9
. i
Pada graf �
1
, pasangan titik
2
dan
3
serta titik
2
dan
5
merupakan titik-titik yang adjacent karena terhubung langsung oleh sebuah sisi yaitu sisi
2
dan sisi
8
, sedangkan titik
2
dan
4
bukan merupakan titik-titik yang adjacent karena tidak terdapat sisi yang menghubungkan
2
dan
4
. ii
Pada graf �
1
, sisi
1
incident dengan titik
1
dan
2
karena
1
menghubungkan
1
dan
2
, tetapi tidak terdapat sisi yang incident dengan titik
1
dan
3
karena tidak ada sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut.
iii Pada graf �
1
, deg
3
= 4, deg
5
= 4, deg
1
= 2,
7
disebut isolated vertex
karena deg
7
= 0. iv
Graf �
1
memuat multiple edge yaitu sisi
6
dan
7
karena dua sisi tersebut menghubungkan pasangan titik yang sama yaitu
5
dan
6
, serta memuat loop yaitu
3
,
3
,
3
dimana sisi
3
berawal dan berakhir di satu titik yaitu titik
3
.
3. Jenis-jenis Graf
Graf dikelompokkan berdasarkan sifat-sifatnya, antara lain berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda, berdasarkan banyaknya
titik, serta berdasarkan orientasi arah pada sisinya.
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, graf dikelompokkan menjadi dua jenis Munir, 2001:182, yaitu:
a. Graf Sederhana Simple Graph
Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda.
Contoh:
Gambar 2.4 Graf Sederhana b.
Graf Tak Sederhana Unsimple Graph Graf tak sederhana adalah graf yang mengandung sisi ganda atau
gelang atau keduanya. Graf tak sederhana dibagi menjadi dua macam, yaitu graf ganda multigraph dan graf semu pseudograph.
Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. Graf semu adalah graf yang mengandung sisi ganda dan gelang.
Contoh :
Gambar 2.5 Graf Tak Sederhana Pada Gambar 2.5, a merupakan graf ganda karena memiliki sisi
ganda, sedangkan b merupakan graf semu karena selain memiliki sisi ganda juga memiliki gelang.
Berdasarkan banyak titik pada suatu graf, maka secara umum graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis Munir, 2001:183, yaitu :
a. Graf Berhingga Finite Graph
Graf berhingga adalah graf yang banyak titiknya berhingga. Contoh:
Gambar 2.6 Graf Berhingga b.
Graf Tak Berhingga Infinite Graph Graf tak berhingga adalah graf yang banyak titiknya tidak berhingga.
a b
Contoh :
Gambar 2.7 Graf Tak Berhingga Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf
dikelompokkan menjadi dua jenis Munir, 2001:183, yaitu : a.
Graf Tak Berarah Undirected Graph Graf tak berarah adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi
arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan titik yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi
, dan ,
adalah sisi yang sama.
Contoh:
Gambar 2.8 Graf Tak Berarah b.
Graf Berarah Directed GraphDiagraph Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah.
Pada graf berarah ,
dan , menyatakan dua sisi yang
berbeda ,
≠ , . Pada sisi , titik dinamakan titik asal initial vertex dan titik
dinamakan titik terminal terminal vertex, sedangkan pada sisi
, titik
dinamakan titik asal initial vertex dan titik
dinamakan titik terminal terminal vertex.
Contoh :
Gambar 2.9 Graf Berarah
�
�
� �
�
� �
� �
� �
�
� �
�
� �
� �
�
Terdapat beberapa jenis graf sederhana khusus Munir, 2001:205 antara lain:
a. Graf Lengkap Complete Graph
Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap titiknya berdekatan atau terhubung langsung oleh satu sisi. Graf lengkap dengan n buah
titik dilambangkan dengan K
n
. Banyak sisi pada sebuah graf lengkap yang terdiri dari n buah titik adalah
�� − 12. Contoh :
Gambar 2.10 Graf Lengkap Gambar 2.12 menunjukkan graf lengkap
1
,
2
,
3
,
4
dan
5
dengan banyak titik masing-masing 1, 2, 3, 4, dan 5. b.
Graf Sikel Cycle Graph Graf sikel merupakan graf sederhana yang setiap titiknya
mempunyai dua sisi yang bersisian. Graf sikel dengan n titik dilambangkan dengan
�
�
.
Contoh:
Gambar 2.11 Graf Sikel Gambar 2.11 menunjukkan graf sikel
�
3
, �
4
, �
5
dan �
6
dengan banyak titik masing-masing 3, 4, 5, dan 6.
c. Graf Roda Wheels Graph
Graf roda merupakan graf yang diperoleh dengan cara menambahkan satu titik pada graf sikel
�
�
, dan menghubungkan titik baru tersebut dengan semua titik pada graf sikel tersebut.
Contoh:
Gambar 2.12 Graf Roda d.
Graf Teratur Regular Graph Graf teratur merupakan graf yang setiap titiknya mempunyai derajat
yang sama. Apabila derajat setiap titik pada graf teratur adalah r, maka graf tersebut dinamakan graf teratur berderajat r. Banyak sisi
pada graf teratur dengan n titik adalah
1 2
�� sisi.
Contoh :
Gambar 2.13 Graf Teratur Gambar 2.13 menunjukkan graf teratur dengan
� = 2 dan � = 3. e.
Graf Planar Planar Graph dan Graf Bidang Plane Graph Suatu graf disebut graf planar jika graf tersebut dapat digambarkan
pada bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi-sisinya yang berpotongan kecuali di titik di mana keduanya bersisian. Namun,
suatu graf mungkin saja planar meskipun biasanya digambarkan dengan sisi yang saling berpotongan, karena graf tersebut dapat
digambarkan dengan cara berbeda di mana sisi-sisinya tidak saling berpotongan. Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang
tidak saling berpotongan disebut graf bidang. Contoh:
Gambar 2.14 Graf Lengkap
4
merupakan Graf Planar
Gambar 2.15 Graf Lengkap
5
merupakan Graf Tak Planar
Gambar 2.16 Semua Graf Sikel dan Graf Lengkap
1
,
2
,
3
merupakan Graf Bidang f.
Graf Bipartit Bipartite Graph Suatu graf sederhana G disebut bipartit jika mempunyai himpunan
titik V yang dapat dipartisi menjadi dua himpunan tak kosong yang tak beririsan
�
1
dan �
2
sedemikian hingga setiap sisi hubung dalam graf menghubungkan suatu titik di
�
1
dengan titik di �
2
, atau tak ada sisi hubung di dalam G yang menghubungkan dua titik di
�
1
maupun di
�
2
.
Contoh:
Gambar 2.17 Graf Bipartit Dari Gambar 2.17 kedua graf
adalah graf bipartit karena setiap sisinya menghubungkan dua titik dari himpunan yang berbeda.
2.2. Pelabelan Graf Graf Labeling
Kategori