97
Matematika
Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat 0, 0 dan berjari-jari 3 adalah 2x – 9 = 0
b. Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat P a, b dan berjari-jari r
Masalah-9.8
Gambar 9.19 : Yoyo menyinggung dinding
Seorang anak tampak asyik bermain yoyo bersama teman-temannya yang lain. Mainan Yoyo tersebut dimainkan sambil sesekali berjalan dan bergesekan
dengan lantai, kadang-kadang juga dengan lihainya anak-anak tersebut melemparkannya sambil sesekali berjalan dan bersinggungan dengan tembok.
Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa dinding yang disinggung yoyo selalu menyinggung di titik Ax
1
, y
1
. Garis di dinding yang dilalui yoyo dapat disebut garis singgung dan titik yang bersinggungan antara yoyo dan dinding disebut titik
singgung. Perhatikan bahwa jari-jari yang melalui titik singgung Ax
1
, y
1
tegak lurus dengan dinding. Misalkan titik P adalah titik pusat lingkaran di a, b. Berdasarkan
keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g tersebut
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan titik Ax
1
, y
1
terletak pada lingkaranx – a
2
+ y – b
2
= r
2
. Perhatikan gambar 9.20.
Gradien garis PA adalah m y
b x
a
PA
= −
−
1 1
.
Di unduh dari : Bukupaket.com
98
Kelas XI SMAMASMKMAK
Garis singgung g tegak lurus garis PA, sehingga gradien garis singgung g adalah
m m
x a
y b
g PA
= − = −
− −
1
1 1
Persamaan garis singgung g adalah y – y
1
m
g
x – x
1
⇔ y y x
a y
b x
x −
= − −
− −
1 1
1 1
⇔ y – y
1
y1 – b = – x
1
– ax – x
1
⇔ yy
1
– yb – y
1 2
+ y
1
b = –x
1
x – x
1 2
– ax + ax
1
⇔ yy
1
– yb – y
1 2
+ yb = –x
1
x + x
1 2
+ ax – ax
1
⇔ xx
1
– xa + x
1
a + yy
1
– yb + y
1
b = x
1 2
– y
1 2
Karena Ax
1
, y
1
terletak pada lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
, maka diperoleh x
1
– a
2
+ y
1
– b
2
= r
2
⇔ x
1 2
– 2x
1
a + a
2
+ y
1 2
– 2y
1
b + b
2
= r
2
⇔ x
1 2
+ y
1 2
= r
2
+ 2x
1
– a
2
+ a
2
+ 2y
1
b – b
2
Substitusikan x
1 2
+ y
1 2
= r
2
+ 2x
1
– a
2
+ a
2
+ 2y
1
b – b
2
ke persamaan garis singgung di atas, diperoleh
xx
1
– xa + x
1
a + yy
1
– yb + y
1
b = r
2
+ 2x
1
a – a
2
+ 2
1
yb – b
2
⇔ xx
1
– xa + x
1
a + a
2
+ yy
1
– yb + y
1
b + b
2
= r
2
⇔ x – ax
1
– a+ y – by
1
– b = r
2
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik Pa, b dan berjari- jari r yang melalui titik Ax
1
, y
1
pada lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
adalah x – ax
1
– a + y – by
1
– b = r
2
Gambar 9.20 : Lingkaran dilalui titik Ax
1
, y
1
Di unduh dari : Bukupaket.com
99
Matematika
Sifat 9.6
Persamaan garis singgung yang melalui titik x
1
, y
1
pada lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
adalah x – ax
1
– q + y
1
– b = r
2
Contoh 9.12
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik 2, 4 dengan persamaan lingkarannya adalah x – 1
2
+ y – 2
2
= 5.
Alternatif Penyelesaian:
Persamaan garis singgung lingkaran x – 1
2
+ y – 2
2
= 5 yang melalui titik 2, 4 adalah
x – ax
1
– a + y – by
1
– b = r
2
⇔ x – 1x
1
– 1 + y – 2y
1
– 2 = 5 ⇔ x – 12 – 1 + y – 24 –2 = 5
⇔ x – 11 + y – 22 = 5 ⇔ x – 1 + 2y – 4 = 5
⇔ x + 2y = 0
Jadi persamaan garis singgung lingkaran x – 1
2
+ y – 2
2
= 5 adalah x + 2y = 0
Latihan 9.7
1. Misalkan titik Ax
1
, y
1
terletak pada lingkaran x
2
+ y
2
+ ax + by + c = 0. Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x
2
+ y
2
+ ax + by + c = 0 yang melalui titik Ax
1
, y
1
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x
2
+ y
2
+ 10x – 12y + 25 = 0 di titik a. 5, 12
b. 1, 6 c. –5, 0
Di unduh dari : Bukupaket.com
100
Kelas XI SMAMASMKMAK
c. Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran
