87
Matematika
3. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
Masalah-9.4
Masih ingatkah kamu masalah gunung Sinabung. Jika disajikan letak beberapa desa di koordinat kartesius dengan menganggap gunung Sinabung
berada pada titik P0, 0 dan berjari jari 5 satuan. Tentukan kedudukan titik
desa Sigaranggarang di titik 0, 5, desa Sukatepu di titik 5, 4, dan desa Bekerah di titik 2, –1 terhadap lingkaran yang dengan pusat 0, 0 dan jari-
jari 5 satuan. Apakah penduduk desa-desa tersebut perlu mengungsi?
Alternatif Penyelesaian:
Berdasarkan permasalahan di atas maka persamaan lingkarannya adalah x
2
+ y
2
= 25
Untuk desa Sigaranggarang dengan titik 0, 5
Substitusikan titik 0, 5 pada persamaan lingkaran x
2
+ y
2
= 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan
apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.
Untuk desa Sukatepu dengan titik 5, 4
Substitusikan titik 5, 4 pada persamaan lingkaran x
2
+ y
2
= 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan
apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.
Untuk desa Bekerah dengan titik 2, –1
Substitusikan titik 2, –1 pada persamaan lingkaran x
2
+ y
2
= 25 kemudian periksa apakah
titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu
simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.
Alternatif penyelesaian lainnya adalah dengan menggambar
titik-titik letak desa di koordinat kartesius.
Gambar 9.7 Lingkaran dengan Pusat 0, 0 dan r = 5
Di unduh dari : Bukupaket.com
88
Kelas XI SMAMASMKMAK
Deinisi 9.2
1. Suatu titik Av, w terletak di dalam lingkaran yang berpusat di P0, 0 dan
berjari-jari r jika v
2
+ w
2
r
2
. 2. Suatu titik Av, w terletak pada lingkaran yang berpusat di
P0, 0 dan berjari- jari
r jika v
2
+ w
2
= r
2
. 3. Suatu titik Av, w terletak di luar lingkaran yang berpusat di
P0, 0 dan berjari- jari
r jika v
2
+ w
2
r
2
.
Masalah-9.5
Misalkan Gambar 9.8 berikut menyajikan letak beberapa desa dengan menganggap gunung Sinabung berada pada titik
P3, 2 dan berjari-jari 5 satuan. Tentukan kedudukan titik desa Sigaranggarang, desa Sukatepu, dan
desa bekerah berdasarkan gambar di samping. Apakah penduduk desa-desa tersebut perlu mengungsi?
Gambar 9.8 : Lingkaran dengan Pusat P3, 2 dan r = 5
Alternatif Penyelesaian:
Berdasarkan permasalahan di atas maka persamaan lingkarannya adalah x – 3
2
+ y – 2
2
= 25
Untuk desa Sukameriah dengan titik 0, –2
Substitusikan titik 0, 5 pada persamaan lingkaran x – 3
2
+ y – 2
2
= 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu
simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.
Di unduh dari : Bukupaket.com
89
Matematika
Untuk desa Simacem dengan titik 6, 3
Substitusikan titik 6, 3 pada persamaan lingkaran x – 3
2
+ y – 2
2
= 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu
simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.
Untuk desa Ndeskati dengan titik 9, 7
Substitusikan titik 9, 7 pada persamaan lingkaran x – 3
2
+ y – 2
2
= 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu
simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.
Deinisi 9.3
1. Suatu titik A v, w terletak di dalam lingkaran yang berpusat di Pa, b dan
berjari-jari r jika v – a
2
+ w– b
2
r
2
. 2. Suatu titik A
v, w terletak pada lingkaran yang berpusat di Pa, b dan berjari- jari
r jika v – a
2
+ w– b
2
= r
2
. 3. Suatu titik A
v, w terletak di luar lingkaran yang berpusat di Pa, b dan berjari- jari
r jika v – a
2
+ w– b
2
r
2
.
Contoh 9.7
Apakah titik-titik berikut terletak di luar, di dalam, atau pada lingkaran x
2
+ y
2
– 8x + 6y + 20 = 0 ?
a. Q–1, –1
c. S0, 5
b. R2, –3 d.
T–4, 0
Alternatif Penyelesaian:
Persamaan lingkaran x
2
+ y
2
– 8x + 6y + 20 = 0 diubah menjadi bentuk baku
persamaan kuadrat menjadi x – 4
2
+ y + 3
2
= 5 a. Q–1, –1 disubstitusikan ke
persamaan x – 4
2
+ y + 3
2
= 5 diperoleh
–1 – 4
2
+ –1 + 3
2
= –5
2
+ 2
2
= 29 5
Titik Q–1, –1 berada di luar
lingkaran x – 4
2
+ y + 3
2
= 5
Gambar 9.9 : Titik-titik yang terletak di luar, di dalam, atau pada lingkaran x
2
+ y
2
– 8x + 6y + 20 = 0
Di unduh dari : Bukupaket.com
90
Kelas XI SMAMASMKMAK
b. R2, –3 disubstitusikan ke persamaan x – 4
2
+ y + 3
2
= 5 diperoleh 2 – 4
2
+ –3 + 3
2
= –2
2
+ 0 = 4 5 Titik
R2, –3 berada di dalam lingkaran x – 4
2
+ y + 3
2
= 5 c. S4, –3 disubstitusikan ke persamaan x – 4
2
+ y + 3
2
= 5 diperoleh 4 – 4
2
+ –3 + 3
2
= 0 + 0 = 0 5 Titik
S4, –3 berada di dalam lingkaran x – 4
2
+ y + 3
2
= 5 d. T2, –4 disubstitusikan ke persamaan x – 4
2
+ y + 3
2
= 5 diperoleh 2 – 4
2
+ –4 + 3
2
= –2
2
+ –1
2
= 4 + 1 = 5 = 5 Titik
T2, –4 berada pada lingkaran x – 4
2
+ y + 3
2
= 5
Pertanyaan Kritis
Mengapa pada contoh 9.7 untuk menentukan suatu titik terletak di luar, di dalam, atau pada lingkaran, persamaan lingkaran harus kita ubah ke bentuk baku persamaan
lingkaran?
4. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran
Kategori