Construction directe Mod `eles d’Oukili

Fibrations `a la Ganea 349 D´ emonstration de la proposition 6.4 : La condition 3 de la d´efinition 6.1 implique l’existence d’un complexe de chaˆınes, Z , δ, contractile et d’une application de complexes de chaˆınes Z , δ → L, ∂ telle que ρ ′ : LW ⊕ Z , δ → L, ∂ soit surjective. En d´efinissant W ′ = W ⊕ Z , W ′ i = W i , pour i ≥ 1, on obtient un nouveau mod`ele filtr´e pour lequel les applications LW ′ ≤i , δ → L, ∂ sont des fibrations dans Lie. De plus, les injections LW i , δ → LW ′ i , δ sont des ´equivalences faibles. La proposition 2.2 implique le r´esultat pour n = 0. Remarquons ´egalement que, modulo un changement de g´en´erateurs nous pouvons supposer que ρ ′ W ′ i = 0, i 0. La fibre homotopique de ρ ′ : LW ′ ≤i , δ → L, ∂ ´etant le noyau donc stable `a la diff´erentielle, on constate que LW ′ ≤i+1 , δ s’obtient `a partir de LW ′ ≤i , δ en attachant des cellules `a la fibre homotopique. Le th´eor`eme 1 implique alors le r´esultat pour tout n ≥ 1. D´ emonstration de la proposition 6.3 : Comme dans la preuve pr´ec´edente, modifions LW , δ pour que ρ : LW , δ → L, ∂ soit surjective et v´erifie ρW ≥1 = 0. Remarquons que ceci ne modifie pas le terme E 1 de la suite spectrale consid´er´ee. Soit Ker j le noyau de LW ≤j , δ → L, ∂, la suite spectrale E i , d i Ker j , induite sur ce noyau, d´eg´en`ere pour i = 2. Utilisons maintenant un raisonnement par r´ecurrence pour conclure : Supposons que Ker j a le type d’homotopie d’un bouquet de sph`eres Q-locales. D’apr`es le Lemme 6.5, E 2 Ker j est une alg`ebre de Lie libre engendr´ee par des ´el´ements de degr´e filtrant j dans LW . L’application induite en homologie, H ∗ Ker j → H ∗ LW ≤j+1 , δ, est ainsi nulle et donc homotopiquement triviale dans ce cas particulier. Le lemme 4.7 implique alors que Ker j +1 a aussi le type d’homotopie d’un bouquet de sph`eres Q-locales. 7 Constructions de mod `eles filtr ´es `a la Ganea

7.1 Construction directe

La proposition 5.1 permet de construire directement un mod`ele filtr´e `a la Ganea : A chaque ´etape, ˜ F n → ˜ E n X → X, il suffit de choisir les nouvelles cellules `a attacher, A → ˜ E n X, de sorte que l’application induite par l’application d’holonomie, ΩX × AΩX → ˜ F n , soit surjective en homologie. Pour cela, on a besoin de savoir d´eterminer l’application d’holonomie dans Lie. Soit L ′′ → L ′ → L une fibration d’alg`ebres de Lie diff´erentielles cofibrantes, admettant une section τ : L → L ′ de complexes de chaˆınes. On sait que, `a une suspension pr`es, la fl`eche H ∗ Q : H ∗ M → H ∗ QM s’identifie `a l’homomorphisme de Hurewicz de l’espace repr´esent´e par M ∈ Lie. Proposition 7.1 : Si L ′′ est une suspension, l’application induite en homologie par UL ⊗ QL ′′ → QL ′′ , x ⊗ l 7→ Q[τ x, l], x ∈ L, l ∈ L ′′ , co¨ıncide avec celle induite par l’holonomie. D´emonstration : Un calcul montre que l’application d´ecrite dans l’´enonc´e est compatible avec la diff´erentielle et ne d´epend pas du choix de τ . L’homologie de l’espace associ´ee 350 H. Scheerer – D. Tanr´e `a L ′′ ´etant sph´erique et H ∗ UL ´etant sph´eriquement engendr´ee, il suffit d’appliquer le th´eor`eme 2. Remarque : On peut raisonnablement conjecturer que ce r´esultat est vrai sans l’hypoth`ese “L ′′ est une suspension”. Nous n’aurons pas besoin de cette g´en´eralisa- tion. Il existe ´egalement deux constructions particuli`eres de mod`eles filtr´es `a la Ganea que nous rappelons ci-dessous. Elles correspondent aux th´eor`emes de F´elix-Halperin, [3], et Lemaire, [12].

7.2 Mod `eles d’Oukili

Dans [17], Oukili construit un mod`ele filtr´e `a partir d’un classique proc´ed´e de perturbation appliqu´e `a une r´esolution en alg`ebres de Lie libres, appel´ee mod`ele bigradu´e. Soit L, 0 ∈ Lie, le mod`ele bigradu´e d’Oukili, ρ L : LW , δ → L, 0, v´erifie les conditions de la d´efinition 6.2, et W = ⊕ i ≥0 W i est construit de fa¸con inductive. On d´efinit W = L[L, L] et on choisit une application surjective LW ։ L, de noyau not´e F . On pose ensuite : s −1 W 1,∗ := QF [L, QF ] et s −1 W n, ∗ := H n, ∗ [L, H n, ∗ ], pour n ≥ 2 o` u H n, ∗ = H n, ∗ LW n , δ la d´esuspension op`ere sur le degr´e compl´ementaire. Soit M, d un objet quelconque de Lie. Le mod`ele filtr´e d’Oukili est un mod`ele filtr´e ρ M : LW , ∂ → M, d de M, d, obtenu en perturbant le mod`ele bigradu´e ρ H ∗ M,d : LW , δ → H ∗ M, d, 0. Avec l’´eclairage du th´eor`eme 3 et plus particuli`erement de son corollaire 4.3 et l’explicitation de l’application d’holonomie dans ce cas particulier Proposition 7.1, la construction de W n apparaˆıt comme la recherche d’un syst`eme de g´en´erateurs de H ∗ ˜ F n comme H ∗ UL-module. Elle est donc bien ad hoc pour la d´efinition de la cat´egorie de Lusternik-Schnirelmann. Illustrons cette m´ethode avec l’exemple de Lemaire-Sigrist, [14] ; on ´etudie : X = S 4 ∨ S 4 ∪ ϕ 1 e 8 ∪ ϕ 2 e 15 , de mod`ele de Quillen : L, ∂ = Lx, y, z, w, ∂ ; |x| = |y| = 3, |z| = 7, |w| = 14, ∂x = ∂y = 0 , ∂z = [y, y] , ∂w = [x, [y, z]] . Nous construisons le mod`ele filtr´e de L, ∂ en ne faisant apparaˆıtre que les g´e- n´erateurs de degr´e ≤ 15, suffisants pour le probl`eme d’existence d’une section homotopique. Un calcul donne ρ : LW , δ → L, ∂, avec : W = ˆ x, ˆ y, α , ρˆ x = x , ρˆ y = y , ρα = [y, z] , W 1 = ˆ z, ˆ w, ˆ w ′ , δ ˆ z = [ˆ y, ˆ y] , ρˆ z = z ; δ ˆ w = [ˆ x, α] , ρ ˆ w = w ; δ ˆ w ′ = [ˆ y, α] , ρ ˆ w ′ = 14 [z, z] , β ∈ W 2 , δβ = [ˆ x, [ˆ y, ˆ z]] , ρβ = w . Fibrations `a la Ganea 351 Il est facile de constater qu’il n’existe pas de section homotopique σ : L, ∂ → LW ⊕ W 1 , δ ; un tel σ enverrait x 7→ ˆ x, y 7→ ˆ y, z 7→ ˆ z, pour des raisons de degr´e. Ainsi, [x, [y, z]], serait envoy´e sur un cycle non trivial, [ˆ x, [ˆ y, ˆ z]], ce qui interdit d’´etendre σ `a w. Par contre, σ : L, ∂ → LW ⊕ W 1 ⊕ W 2 , δ existe, d’o` u cat X = 3. On pouvait ´egalement d´eduire ce dernier point de 2 cat X ≤ cat X ≤ 3, [22]. Notons que HQρ : W ⊕ W 1 → QL est surjectif par construction, donc l’invariant de Toomer eX vaut 2. Enfin, remarquons que cet exemple est minimal car la recherche d’un CW- complexe v´erifiant eY = 2 et cat Y = 3 n´ecessite plus de 3 cellules. Il est en effet facile de constater que le seul type d’homotopie rationnelle, de cat´egorie ´egale `a 3, admettant une repr´esentation sous forme de CW-complexes `a 3 cellules Q- locales est CP 3 , cf [19] pour une extension au cadre R-local.

7.3 Le mod `ele