Ax= =Bx
B
+Nx
N
=b. 2 Karena B adalah matriks taksingular, maka B
memiliki invers, sehingga dari 2 x
B
dapat
dinyatakan sebagai: x
B
=B
−1
b − B
−1
Nx
N
3 Definisi 2 Solusi basis
Solusi dari suatu LP disebut solusi basis jika:
1. solusi tersebut memenuhi kendala pada
LP, 2.
kolom-kolom dari matriks koefisien yang berpadanan dengan komponen taknol
adalah bebas linear.
Nash Sofer 1996
Definisi 3 Solusi basis fisibel
Vektor x disebut solusi basis fisibel jika x merupakan solusi basis dan x
. Salah satu cara menentukan solusi basis fisibel awal
adalah dengan membuat x
N
. Nash Sofer 1996
Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel dapat dilihat dalam contoh berikut:
Contoh 1 Misalkan diberikan linear programming
berikut: Minimumkan z=
− 2x
1
− 3x
2
terhadap − 2x
1
+ x
2
+ x
3
= 4 − x
1
+ 2x
2
+ x
4
=11 x
1
+ x
5
= 5 x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
4 Dari LP tersebut didapatkan:
A= , b=
. Misalkan dipilih
x
B
=x
3
x
4
x
5
T
dan x
N
=x
1
x
2
T
maka matriks basisnya adalah
B= .
Dengan menggunakan mariks basis tersebut diperoleh:
x
N
=0 0
T
, x
B
=B
−1
b=4 11 5
T
5
Solusi 5 merupakan solusi basis, karena solusi tersebut memenuhi kendala LP 4 dan
kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari 5,
yaitu B adalah bebas linear, yaitu kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom
yang lain. Solusi 5 juga merupakan solusi basis fisibel, karena nilai-nilai variabelnya
lebih dari atau sama dengan nol. Definisi 4 Daerah fisibel
Daerah fisibel suatu LP adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan
pembatasan tanda pada LP tersebut.
Winston 2004 Definisi 5 Solusi optimal
Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal suatu LP adalah suatu titik dalam
daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Untuk masalah minimisasi, solusi
optimal suatu LP adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif
terkecil.
Winston 2004
2.2 Integer Programming
Integer programming IP adalah suatu model linear programming dengan variabel
yang digunakan berupa bilangan bulat integer. Jika semua variabel harus berupa
integer, maka masalah tersebut disebut pure integer programming. Jika hanya sebagian
yang yang harus integer maka disebut mixed integer programming. IP dengan semua
variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0
−1 IP.
Garfinkel Nemhauser 1972
Definisi 6 Linear programming relaksasi
LP-relaksasi merupakan masalah linear programming yang diperoleh dari suatu IP
dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 0
−1 pada setiap variabelnya. Winston 1995
Untuk masalah maksimisasi, nilai fungsi objektif yang optimal di LP-relaksasi lebih
besar atau sama dengan nilai fungsi objektif optimal dari IP, sedangkan untuk masalah
minimisasi nilai fungsi objektif yang optimal di LP-relaksasi lebih kecil atau sama dengan
nilai optimal fungsi objektif IP.
2.3 Metode Branch and Bound
Masalah integer programming dapat dipecahkan dengan metode branch and bound.
Prinsip dasar metode branch and bound adalah
membagi daerah fisibel dari masalah LP- relaksasi dengan cara membuat subproblem-
subproblem baru sehingga masalah integer programming terpecahkan. Daerah fisibel
suatu linear programming adalah daerah yang memuat titik-titik yang memenuhi kendala
linear masalah linear programming.
Berikut ini adalah langkah-langkah dalam penyelesaian metode branch and bound untuk
masalah maksimisasi: • Langkah 0
Didefinisikan z sebagai batas bawah dari solusi IP yang optimum. Pada awalnya
tetapkan z =
−∞ dan i = 0.
• Langkah 1 Subproblem LP
i
dipilih sebagai bagian masalah berikutnya untuk diteliti. Subproblem
LP
i
diselesaikan dan diukur dengan kondisi yang sesuai.
1. Jika LP
i
terukur, batas bawah z diperbarui jika solusi IP yang lebih baik ditemukan.
Jika tidak, bagian masalah subproblem baru i dipilih dan langkah 1 diulangi. Jika
semua subproblem telah diteliti, maka proses dihentikan.
2. Jika LP
i
tidak terukur, lanjutkan ke Langkah 2 untuk melakukan pencabangan
LP
i
. Menurut Winston 2004 LP
i
dikatakan terukur jika terdapat kondisi sebagai berikut:
1. Subproblem menghasilkan solusi takfisibel,
sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimal bagi IP
2. Subproblem tersebut menghasilkan suatu
solusi optimal dengan semua variabelnya bernilai integer. Jika solusi optimal ini
mempunyai nilai fungsi objektif yang lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh
sebelumnya, maka solusi ini menjadi kandidat solusi optimal dan nilai fungsi
objektifnya menjadi batas bawah nilai fungsi objektif optimal bagi masalah IP pada saat
itu. Bisa jadi subproblem menghasilkan solusi optimal untuk masalah IP.
3. Nilai fungsi objektif optimal untuk
subproblem tersebut tidak melebihi untuk masalah maksimisasi batas bawah saat itu,
maka subproblem ini dapat dieliminasi.
• Langkah 2 Pilih satu variabel x
j
yang nilai optimumnya, yaitu x
j
, tidak memenuhi batasan integer dalam solusi LP
i
. Singkirkan bidang [x
j
] x
j
[x
j
]+1 dengan membuat dua bagian masalah LP yang berkaitan menjadi
dua batasan yang tidak dapat dipenuhi secara bersamaan yaitu:
x
j
≤ [x
j
] dan x
j
≥ [x
j
]+1 dengan [x
j
] didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan
x
j
. Kembali ke Langkah 1. Taha 1996
Untuk memudahkan pemahaman mengenai metode branch and bound diberikan
contoh sebagai berikut: Contoh 1:
Misalkan diberikan IP sebagai berikut: Maksimumkan z = 5x
1
+ 4x
2
terhadap x
1
+ x
2
≤ 5 10x
1
+ 6x
2
≤ 45 6 x
1
, x
2
≥ 0 dan integer Solusi optimal PL-relaksasi dari masalah IP
6 adalah x
1
=3.75, x
2
=1.25, dan z =23.75 lihat Lampiran 1. Jadi batas atas nilai optimal
fungsi objektif masalah IP 6 adalah z= 23.75. Daerah fisibel PL-relaksasi masalah 6
ditunjukkan pada Gambar 1 daerah yang diarsir sedangkan titik-titik merupakan solusi
fisibel masalah IP 6.
Gambar 1 Daerah fisibel untuk PL-relaksasi dari IP 6.
Langkah berikutnya adalah memartisi daerah fisibel PL-relaksasi menjadi dua bagian
berdasarkan variabel yang bernilai pecahan noninteger. Karena x
1
= 3.75 dan x
2
=1.25 variabel bernilai pecahan maka dipilih salah
satu variabel, misalkan x
1
, sebagai dasar pencabangan. Jika masalah PL-relaksasi dari
IP 6 diberi nama Subproblem 1 dan Subproblem 1 dicabangkan atas x
1
, maka pencabangan tersebut menghasilkan 2
subproblem, yaitu: • Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah
kendala x
1
≤ 3 • Subproblem 3: Subproblem 1 ditambah
kendala x
1
≥ 4.
x
2
x
1
Daerah fisibel untuk kedua subproblem di atas diilustrasikan secara grafis pada Gambar 2.
x
2
Gambar 2 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 x1
≤ 3 dan Subproblem 3 x1≥4. Setiap titik solusi fisibel dari IP 6
termuat dalam daerah fisibel Subproblem 2 atau Subproblem 3. Setiap subproblem ini
saling lepas. Sekarang dipilih subproblem yang belum diselesaikan, misalkan dipilih
Subproblem 3. Solusi optimal untuk Subproblem 3 ini adalah x
1
= 4, x
2
= 0.8333 dan z = 23.333, lihat Lampiran 1 bagian
Subproblem 3. Karena solusi optimal yang dihasilkan Subproblem 3 bukan solusi integer,
maka Subproblem 3 dicabangkan atas x
2
sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yakni:
• Subproblem 4: Subproblem 3 ditambah kendala x
2
≥ 1; • Subproblem 5: Subproblem 3 ditambah
kendala x
2
≤ 0. Saat ini subproblem yang belum
diselesaikan adalah Subproblem 2, 4 dan 5. Salah satu subproblem dipilih, misalnya
dengan aturan LIFO last in first out. Dengan aturan ini berarti dipilih Subproblem 4 atau
Subproblem 5. Subproblem 4 takfisibel lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 4 maka
subproblem ini tidak dapat menghasilkan solusi optimal, yang tersisa adalah Subproblem
2 dan Subproblem 5. Karena aturan LIFO, dipilih Subproblem 5,
yang kemudian menghasilkan solusi optimal x
1
=4.5, x
2
=0 dan z=22.5 lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 5.
Karena x
1
=4.5 bukan integer, maka dilakukan kembali pencabangan
atas x
1
, sehingga diperoleh: • Subproblem 6: Subproblem 5 ditambah
kendala x
1
≥5 ;
• Subproblem 7: Subproblem 5 ditambah kendala x
1
≤4. Misalkan dipilih Subproblem 6. Ternyata
Subproblem 6 ini juga takfisibel lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 6, sehingga
tidak dapat menghasilkan solusi optimal. Dengan demikian subproblem-subproblem
yang belum diselesaikan adalah Subproblem 2 dan Subproblem 7. Karena aturan LIFO,
dipilih Subproblem 7. Subproblem ini kemudian menghasilkan solusi opimal x
1
=4, x
2
= 0, dan z= 20 lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 7. Dapat dilihat bahwa solusi
optimal subproblem ini semuanya berupa integer, sehingga merupakan kandidat solusi
untuk IP 6. Nilai z pada kandidat solusi ini merupakan batas bawah bagi nilai optimal IP.
Penyelesaian Subproblem 2 menghasilkan solusi optimal x
1
= 3, x
2
= 2 dan z= 23 lihat Lampiran 1 bagian 2. Batas bawah yang
ditetapkan dari solusi optimal Subproblem 7 tidak lebih baik dari nilai solusi optimal yang
dihasilkan Subproblem 2. Dengan demikian, nilai solusi optimal Subproblem 2, yakni z = 23
menjadi batas bawah yang baru. Semua solusi optimal telah berupa integer dan tidak perlu
dilakukan pencabangan kembali, sehingga solusi optimal dari Subproblem 2 merupakan
solusi optimal IP 6, yakni x
1
= 3, x
2
= 2 dan z= 23. Pohon pencabangan yang menunjukkan
proses penyelesaian masalah IP 6 secara keseluruhan ditunjukkan pada Gambar 3.
x
1
Subproblem 2
Subproblem 3
Gambar 3 Pencabangan yang dilakukan metode branch and bound untuk menentukan solusi IP dengan t menyatakan urutan penyelesaian subproblem.
2.4 Graf Definisi 7 Graf
