31
Matematika
b. Graik Fungsi Kuadrat
Dari hasil pemecahan Masalah 7.8, kita telah memperoleh persamaan fungsi kuadrat yang menyatakan debit air yang mengalir dari sebuah pipa adalah qd =
ANGA
=
4 20
x
d
2
, d ∈ R, d ≥ 0. Misalkan diameter pipa adalah x dan debit
air yang mengalir adalah y. Berarti y dapat dinyatakan dalam x, yaitu y = fx =
ANGA
=
4 20
x
x
2
, x ∈ R, x ≥ 0.
Temukan graik fungsi kuadrat y = fx = x
2
, x
∈
R dari graik fungsi
π
20 4
kuadrat y = fx = x
2
, x
∈
R, x
≥
0.
π
20 4
Beberapa pertanyaan arahan yang perlu kamu cermati untuk memperoleh graik fungsi
N SISW
y = fx = -
4 20
x
2
, x R da
dari graik fungsi kuadrat fx =
ANGA
=
4 20
x
255
20
20
x
2
, x R, x 0.
1 Pikirkan apa saja yang kamu butuhkan untuk menggambar grafik fungsi
fx =
ANGA
=
4 20
x
.
255
20
20
x
2
, x R, x 0.
dan ingat kembali baaimana menggambar graik kuadrat di SMP.
2 Apa perbedaan fungsi kuadrat fx =
ANGA
=
4 20
x
.
255
20
20
x
2
, x R, x 0.
dan fungsi kuadrat
N SISW
y = fx = -
4 20
x
2
, x R da
3 Apa kaitan konsep pencerminan dengan masalah ini? 4 Bagaimana komponen-komponen graik fungsi setelah dicerminkan?
5 Dapatkah kamu memberikan perbedaan kedua graik fungsi kuadrat tersebut? 6 Bilamana graik memotong sumbu x dan memotong sumbu y?
♦ Ingat kembali, bagaimana menggambarkan graik kuadrat dan memanfaatkan sifat pencerminan untuk memperoleh graik fungsi kuadrat yang baru.
Di unduh dari : Bukupaket.com
32
Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Perhatikan fungsi kuadrat
drat y = fx =
4 20
x
2
, x R, x 0, ya
1 2
3 4
0 3,51 14,04 31,6 56,17
10 20
30 40
50 60
70
yang menyatakan debit air yang mengalir dari pipa. Debit air yang mengalir dari pipa bergantung pada
diameter x pipa. Jika x = 0, maka debit air adalah y = fx = f0 = 0. Untuk beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilai y = fx seperti disajikan dalam tabel berikut.
x 1
2 3
4 y = fx
3,51 14,04
31,6 56,17
Grafik persamaan fungsi kuadrat
drat y = fx =
4 20
x
2
, x R, x 0 da
10 20
30 40
50 60
70
dapat digambarkan sebagai berikut.
Gambar 7.12 Graik Fungsi
Dengan mencerminkan grafik persamaan fungsi kuadrat
drat y = fx =
4 20
x
2
, x
1 2
3 4
0 3,51 14,04 31,6 56,17
0 1 2 3 4 5 6 10
20 30
40 50
60 70
x ∈R,
x ≥ 0 terhadap sumbu-y, maka diperoleh sebuah parabola berikut.
10 -1
1 2
3 4
5 6
-2 -3
-4 -5
-6 20
30 40
50 60
70
D D
y
C C
B B
A A
256
–
fx =
4
20 x
2
, x R
10 20
30 40
50 60
70
1
’ ’
’ ’
→
x
Gambar 7.13 Graik Fungsi f x
= x =
4 20
x
2
, x R,
10 20
30 40
50 60
70
Di unduh dari : Bukupaket.com
33
Matematika
Ciri-ciri fungsi kuadrat
drat y = fx =
4 20
x
2
, x R da
–
yang berupa parabola di atas adalah sebagai berikut.
• Koeisien x
2
adalah
dalah a =
4 20
–
• Kurva terbuka ke atas • Memiliki titik puncak titik balik minimum di titik O 0, 0
• Memiliki sumbu simetri yang membagi dua kurva sama besar, yaitu garis x = 0
dan nilai minimum y = f0 = 0 • Nilai diskriminan, D = b
2
– 4ac = 0 • Kurva menyinggung sumbu x di titik O0, 0
• Cerminkan grafik fungsi kuadrat
drat y = fx =
4 20
x
2
, x R da
–
’ ’
’ ’
terhadap sumbu-x
dan selidiki sifat-sifat graik fungsi kuadrat yang ditemukan. Kita cerminkan grafik fungsi kuadrat
drat y = fx =
4 20
x
2
, x R da
–
’ ’
’ ’
terhadap sumbu-x atau garis y = 0. Dengan mengingat kembali sifat-sifat pencerminan bahwa arah
benda dengan bayangannya selalu berlawanan arah. Sehingga nilai fungsi kuadrat y = fx =
ANGA ,
4 20
2
x
x R b
–
’ ’
’ ’
berubah dari bernilai positif menjadi negatif. Perubahan tersebut diikuti perubahan fungsinya dari y = fx =
ANGA
=
4 20
x
. x
2
, x ∈ R menjadi
258
njadi y = fx = -
4 20
x
2
, x
–
1 2 3 4 5 6 10
20 30
40 50
60 70
2 -1
’ ’
’ ’
R . Secara lengkap bayangan graik persamaan fungsi kuadrat y
= fx setelah dicerminkan terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut.
Di unduh dari : Bukupaket.com
34
Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Gambar 7.14 Graik Fungsi x dan graik pencerminan fx
Ciri-ciri fungsi kuadrat
258
njadi y = fx = -
4 20
x
2
, x
–
1 2 3 4 5 6 10
20 30
40 50
60 70
2 -1
’ ’
’ ’
R dan parabola hasil pencer-
minan terhadap sumbu-x Gambar-7.14 adalah sebagai berikut. • Koeisien x
2
adalah a = –
lah a = -
4 20
–
’ ’
’ ’
• Kurva terbuka ke bawah • Memiliki titik puncak titik balik maksimum di titik O 0, 0
• Memiliki sumbu simetri yang membagi dua kurva sama besar, yaitu garis y = 0
dan nilai minimum f0 = 0 • Nilai diskriminan, D = b
2
– 4ac = 0 • Kurva menyinggung sumbu x di titik O0, 0
Apa kesimpulan dari hasil pencerminan tersebut?
Kesimpulan
Misalkan gx = ax
2
, x ∈ R
. Jika graik g dicerminkan terhadap sumbu-x maka diperoleh gx = -ax
2
, x ∈ R dengan sumbu simetri adalah sumbu-y dan
memiliki titik puncak O 0, 0.
Di unduh dari : Bukupaket.com
35
Matematika
Untuk memecahkan masalah di atas, cermati beberapa graik fungsi kuadrat yang telah digambar sebelumnya dan beberapa pertanyaan berikut:
1 Apa yang dimaksud dengan graik fungsi kuadrat? 2 Apa yang dimaksud dengan persamaan garis sumbu simetri graik fungsi
kuadrat? 3 Apa yang dimaksud dengan titik puncak graik fungsi kuadrat?
4 Bagaimana menemukan aturan penentuan persamaan garis simetri dan titik puncak graik fungsi kuadrat?
5 Apa yang dimaksud dengan transformasi geser? 6 Apa kaitan transformasi geser dan sifat-sifatnya untuk memperoleh sebarang
graik fungsi kuadrat dari graik fungsi kuadrat gx = ax
2
, x ∈ R, dan a
≠ 0? 7 Temukan arah pergeseran graik fungsi kuadrat gx = ax
2
, x ∈ R untuk
mend apatkan graik fungsi
ungsi
a
D a
b x
g x
f 4
2 da
t apa saja yang kamu sim
≠ 0 berkaitan
≠ 0. ≠ 0
b c
≠ 0
b ≠ 0
b
≠ 0
b
≠ 0
≠ 0
D
≠ 0
dan syarat-syarat yang diperlukan
8 Sifat-sifat apa saja yang kamu simpulkan dari graik fungsi kuadrat
A
a
D a
b x
a x
f 4
2
2
, de ≠ 0 berkaitan
≠ 0. ≠ 0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
D
≠ 0
dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0
berkaitan dengan nilai koeisien a dan titik puncak graik fungsi? 9 Dapatkah kamu memberi beberapa kemungkinan gambaran graik fungsi kuadrat
terkait nilai koeisien a, nilai diskriminan, titik potong terhadap sumbu-x, nilai fungsinya.
Masalah-7.8
Diberikan fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real
dan a ≠ 0. a. Temukan persamaan garis simetri sumbu simetri dan titik puncak graik
fungsi kuadrat tersebut. b. Temukan graik fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, c adalah
bilangan real dan a ≠ 0 dari graik fungsi kuadrat gx = ax
2
, x
∈
R, a ≠ 0.
c. Temukan titik potong graik dengan sumbu x dan sumbu y. d. Temukan sifat-sifat graik fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b,
c adalah bilangan real dan a ≠ 0 terkait nilai koeisien a dan titik puncak parabola.
Di unduh dari : Bukupaket.com
36
Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Berdasarkan Deinisi 7.2, rumus umum fungsi kuadrat adalah fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a
≠ 0. fx
, a ≠ 0
Graik fungsi fx = gx –
- 2
a b
+
a D
4
a
b
≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat
b
≠ 0. Misal –
+ bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0, b
b
D
adalah graik fungsi kuadrat gx = ax
2
, x
∈ R yang digeser sejauh satuan kearah Sumbu-x dan digeser sejauh satuan ke arah Sumbu-y.
Sifat-4
Graik fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, c bilangan real dan a ≠
0, memiliki a. Persamaan sumbu simetri x =
dan b. Titik puncak
, .
2 4
− − b
D P
a a
Di unduh dari : Bukupaket.com
37
Matematika
Dari beberapa sajian graik fungsi kuadrat sebelumnya turunkan sifat-sifat graik fungsi kuadrat dan sajikan beberapa kemungkinan kondisi graik tersebut terkait
dengan koeisien x
2
, nilai diskriminan dan nilai fungsi tersebut. Dari fungsi kuadrat
kuadrat fx = ax - 2
a b
2
+ a
D 4
, de
≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat
b
D
b
≠ 0. Misal –
dengan a, b, c adalah bilangan real dan a
≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat.
Sifat-5
Jika a 0, maka graik fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, dan c bilangan real a
≠ 0 terbuka ke atas dan memiliki titik balik minimum
≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat
um P
a b
2
, a
D 4
.
b
D
≠ 0. Misal –
Sifat-6
Jika a 0, maka graik fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, dan c bilangan real a
≠ 0 terbuka ke bawah dan memiliki titik puncak maksimum
, .
2 4
− − b
D P
a a
Sifat-7
Diberikan fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, c bilangan real dan a ≠
0, misalkan D = b
2
– 4ac D adalah diskriminan a. Jika
D 0, maka graik y = fx memotong sumbu-x di dua titik berbeda
b. Jika D
= 0, maka graik y = fx menyinggung sumbu-x di satu titik c. Jika
D 0, maka graik y = fx tidak memotong sumbu-x
Pada gambar berikut diperlihatkan berbagai kemungkinan letak parabola terhadap sumbu-x
y = fx x
∈
R y = fx
x
∈
R y
y
Graik tidak memotong Sb-x, a 0, D 0, dan fx 0,
A
x ∈R
Graik menyinggung Sb-x, a 0, D = 0, dan fx
≥ 0,
A
x ∈R
x x
x
1
= x
2
Di unduh dari : Bukupaket.com
38
Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
y = fx x
∈
R y
Graik memotong Sb-x, pada titik, a 0, D 0, dan fx
1
= fx
2
= 0 x
x
1
x
2
y = fx x
∈
R y
Graik menyinggung Sb-x, pada dua titik, a 0, D 0, dan fx
1
= fx
2
= 0 x
x
1
x
2
y = fx x
∈
R y
Graik tidak memotong Sb-x, a 0, D 0, dan fx 0,
A
x ∈D
f
x y = fx
x
∈
R y
Graik menyinggung Sb-x pada dua titik, a 0, D = 0, dan fx
≤ 0,
A
x ∈D
f
x x
1
c. Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat
Kategori