Metode Linearisasi Persamaan Integral Taklinear dalam Model Pemanenan

METODE LINEARISASI PERSAMAAN INTEGRAL TAKLINEAR
DALAM MODEL PEMANENAN

RENI NURAENI

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008

METODE LINEARISASI PERSAMAAN INTEGRAL TAKLINEAR
DALAM MODEL PEMANENAN

RENI NURAENI
G54104041

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR

2008

METODE LINEARISASI PERSAMAAN INTEGRAL TAKLINEAR
DALAM MODEL PEMANENAN

Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

Oleh :
RENI NURAENI
G54104041

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008

ABSTRAK
RENI NURAENI. Metode Linearisasi Persamaan Integral Taklinear dalam Model Pemanenan.
Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan JAHARUDDIN
Mayoritas penduduk di negara maritim memperoleh pendapatan dari sektor perikanan. Secara
tidak langsung, hal tersebut dapat menyebabkan tereksploitasinya biologis perairan.
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk mengembangkan model jumlah kelahiran dan model
jumlah populasi yang melibatkan persamaan integral tak linear. Setelah itu, model tersebut
digunakan untuk mempelajari pola pertumbuhan populasi ikan sebelum dan setelah pemanenan.
Untuk menyelesaikan persamaan integral tak linear dalam model tersebut digunakan metode
linearisasi. Metode tersebut menggunakan pendekatan deret taylor. Selanjutnya, dengan model
tersebut diberikan ilustrasi yang terdiri dari dua kasus. Kasus pertama diasumsikan bahwa tingkat
kelahiran dan kematian individu adalah konstan. Kasus kedua diasumsikan bahwa tingkat
kelahiran dan tingkat kematian individu hanya tergantung pada waktu. Waktu pemanenan terbaik
dipilih berdasarkan nilai dari rasio pemanenan yang akan menyebabkan populasi setelah
pemanenan relatif konstan.

ABSTRACT

RENI NURAENI. Linearization Method of Nonlinear Integral Equation in Harvesting Model.
Supervised by HADI SUMARNO and JAHARUDDIN

Most of citizens in maritime countries live from fishery sector. Indirectly, it exploits the
biological population in ocean as well as in freshwater.
The aim of this study is to develop models of number of birth and number of population, which
involve nonlinear integral equation. The models are used to study the pattern of population growth
of fish, before and after harvesting. To solve the nonlinear integral equation in the model, a
linearization method is used. The method implements truncation of taylor series. Two cases are
given for illustration. First case assumes that fertility and mortality rate are constant. Second case
assumes that fertility and mortality rate are time dependent. The best harvesting time is determined
based on the value of harvesting ratio, such that the population after harvesting will be relatively
constant.

Judul
Nama
NRP

:
:
:

Metode Linearisasi Persamaan Integral Taklinear dalam Model Pemanenan

Reni Nuraeni
G54104041

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr.Ir. Hadi Sumarno, MS.
NIP 131 430 804

Dr. Jaharuddin, M.Si.
NIP 132 045 530

Mengetahui:
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasim, DEA

NIP. 131 578 806

Tanggal Lulus:

KATA PENGANTAR
Teriring salam dan do’a semoga Allah SWT senantiasa melimpahkan taufiq dan hidayah-Nya
kepada kita semua dalam menjalankan aktivitas sehari-hari. Amin.. Shalawat serta salam
senantiasa tercurah kepada junjungan kita nabi besar Muhammad SAW yang telah memberikan
suri tauladan tak henti-hentinya kepada umatnya hingga akhir jaman.
Karya ilmiah ini merupakan permasalahan yang ditemukan dalam kehidupan bermasyarakat
sehari-hari yang pengelolaannya belum bisa di sebut optimal. Pengaplikasiannya di Indonesia
maupun di Negara lain menjadi suatu rutinitas khususnya di daerah yang berpotensial dalam
bidang perikanan. Penulis melakukan pencarian referensi dalam bidang ini. Pada akhirnya penulis
berhasil menyusun karya ilmiah ini sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana
sains.
Berbagai permasalahan dan kendala muncul selama penulisan karya ilmiah ini. Oleh karena itu,
dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Dr.Ir. Hadi Sumarno selaku Pembimbing I dan Dr. Jaharudin, M.Si. selaku Pembimbing II
yang telah meluangkan waktu, tenaga dan pikirannya untuk membimbing, memberikan
dorongan dan pengarahan kepada penulis hingga penulisan karya ilmiah ini selesai. Terima

kasih juga kepada Drs. Ali Kusnanto,M.Si. selaku dosen penguji atas saran dan masukan yang
telah diberikan.
2. Mamah, Bapak, mimih, Kakak tercinta dan kakak ipar atas segala usaha, doa restu dan kasih
sayang yang telah diberikan hingga sekarang, serta dukungan semangat dengan sepenuh hati.
Seluruh keluarga besar di Yogyakarta dan Maniis Purwakarta yang telah memberikan
semangat dan dukungan hingga penulisan ini selesai.
3. Heri Sanjaya Putra yang telah memberikan motivasi, pengertian, kesabaran dan limpahan kisah
kasih manis.
4. Seluruh dosen dan staf di Departemen Matematika, atas ilmu yang telah diberikan.
5. Kawan-kawan seperjuangan di HMI Cabang Bogor, KOHATI Cabang Bogor serta komisariat
MIPA. Yakin usaha sampai.
6. Romce, Kecrit, Fitrong, More, Kesha, Dinste, Boytse, Penoy, GuRite, uwie, dodol, Windha,
Lulu dan Ichu, atas perhatian, masukan, kritikan, bantuan, dorongan serta kebersamaan.
7. Pak jarwoto, ibu Sri dan keluarga besar dan Koi atas doa dan kebersamaan yang selalu menjadi
orang tua dan keluarga besar keduaku, serta mengenang teh Nio.
8. T-SHIRT (The Six Smart Girls) Che2, Kempez, Lie, Beduz, Milly, Ziviet and me atas
kebersamaan kita, dan Esa sobat tercintaku yang tak cukup dengan kata terima kasih yang
diberikan.
9. Teman-teman Matematika 41, Selamat Berjuang kawan, karena hidup adalah perjuangan.
10. Kakak kelas kamith, Blobo, matematika 40, 39, juga adik-adik kelas matematika 42, 43, dan

44 keep for fighting.
11. Para ITB’ers, JuPenty arigato gozaimasu dan TIN’ers and to aLL crew ITB. Tak lupa pula
untuk sekretariat IPMM yang telah menjadi tempat kost keduaku.
12. Semua pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Penulisan karya ilmiah ini tidak mungkin luput dari kekurangan, oleh karena itu kritik dan
saran dari semua pihak akan sangat membantu demi kesempurnaan penulisan ini. Harapan penulis
semoga karya ilmiah ini akan memberikan manfaat bagi para pembacanya.

Bogor, Agustus 2008

Reni Nuraeni

RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Purwakarta pada tanggal 9 Agustus 1986 dan merupakan anak kedua dari
pasangan bapak Toyiban dan Ibu Neneng Mulyati.
Awal pendidikan penulis dimulai dari Sekolah Dasar Negeri Citamiang 1 Kabupaten
Purwakarta pada tahun 1992 – 1998. Kemudian melanjutkan pendidikan ke SLTP Negeri I Maniis
Kabupaten Purwakarta pada tahun 1998 – 2001. Pada tahun 2001 penulis melanjutkan pendidikan
ke SMU Negeri 1 Cianjur Jawa Barat hingga tahun 2004. Pada tahun 2004 penulis melanjutkan
pendidikan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI dengan memilih Departemen

Metematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti kegiatan perkuliahan penulis aktif dalam keanggotaan himpunan mahasiswa
Departemen Matematika (GUMATIKA). Periode 2005 - 2006 penulis aktif sebagai staf bidang
kesekretariatan GUMATIKA. Selama masa kepengurusan di GUMATIKA, penulis menjadi
panitia berbagai kegiatan seperti Matematika Ria 2006, Musyawarah Wilayah III IKAHIMATIKA
2006. Penulis juga pernah mengikuti seminar LEMM ( Lets Make Money ) yang diadakan oleh
BEM FMIPA IPB.
Selain aktif di internal kampus penulis pun aktif di eksternal kampus. Pada periode 2006 - 2007
penulis aktif sebagai Bendahara Umum HMI Cabang Bogor Komisariat FMIPA IPB, dan di
departemen Eksternal Korps HMI-WATI (KOHATI) HMI Cabang Bogor. Pada periode 2007 2008 penulis juga aktif menjadi Sekretaris Umum KOHATI HMI Cabang Bogor. Selama di HMI,
penulis telah mengikuti Basic Training (Latihan Kader I) pada tahun 2006, Intermediate Training
(Latihan Kader II) pada tahun 2007, Latihan Khusus KOHATI (LKK) pada tahun 2007 dan
Senior Course (SC) pada tahun 2008.

DAFTAR ISI

Halaman
DAFTAR TABEL ............................................................................................................................ vii
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................................................... viii
DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................................................... ix

PENDAHULUAN ............................................................................................................................ 1
Latar Belakang ............................................................................................................................ 1
Tujuan ......................................................................................................................................... 1
Sistematika Penulisan ................................................................................................................. 1
LANDASAN TEORI .......................................................................................................................
Pelinearan Persamaan Integral Tak Linear ................................................................................

1
2

MODEL PEMANENAN .................................................................................................................
Jumlah Kelahiran (
) ............................................................................................................
Jumlah Kelahiran
yang Dipanen pada Semua Umur ........................................................
Jumlah Populasi (
) .............................................................................................................
Jumlah Populasi
yang Dipanen pada Semua Umur .........................................................

4
4
4
5
5

PEMBAHASAN ..............................................................................................................................
Kasus 1........................................................................................................................................
Linearisasi Model .......................................................................................................................
Kasus 2........................................................................................................................................

6
6
6
9

KESIMPULAN ................................................................................................................................ 12
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................................................... 13

vi

DAFTAR TABEL
Halaman
1

Jumlah Kelahiran sebelum pemanenan pada kasus 1 ......................................................

6

2

Jumlah Populasi N(t) sebelum pemanenan pada kasus 1 ...............................................

7

3

Nilai X(t) setelah pemanenan pada kasus 1 .....................................................................

7

4

Nilai N(t) setelah pemanenan pada kasus 1 .....................................................................

8

5

Kelahiran sebelum pemanenan pada kasus 2 ...................................................................

9

6

N(t) sebelum pemanenan pada kasus 2 ............................................................................ 10

7

X(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.01 – 0.10....................................................... 10

8

N(t) setelah pemanenan pada kasus 2 dengan nilai H=0.01 – 0.10 ................................. 11

vii

DAFTAR GAMBAR
Halaman
1

Grafik X(t) sebelum pemanenan pada kasus 1.................................................................

6

2

Grafik N(t) sebelum pemanenan pada kasus 1.................................................................

7

3

Grafik X(t) setelah pemanenan pada kasus 1 dengan nilai H=0.03,0.04 dan 0.05 .........

8

4

Grafik N(t) setelah pemanenan pada kasus 1 dengan nilai H=0.03,0.04 dan 0.05 ........

8

5

Grafik X(t) sebelum pemanenan pada kasus 2.................................................................

9

6

Grafik N(t) sebelum pemanenan pada kasus 2................................................................. 10

7

Grafik X(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.01 – 0.10 ........................................... 11

8

Grafik N(t) setelah pemanenan pada kasus 2 dengan nilai H=0.01 – 0.10 .................... 11

viii

DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1

Uraian Tabel Jumlah Kelahiran sebelum pemanenan pada kasus 1 ................................ 15

2

Uraian Tabel Jumlah Individu N(t) sebelum pemanenan pada kasus 1 ......................... 15

3

Uraian Tabel X(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.03, 0.04, 0.05 ......................... 16

4

Uraian Tabel N(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.03,0.04 dan 0.05 .................... 17

5

Uraian Tabel Jumlah Kelahiran sebelum pemanenan pada kasus 2 ............................... 18

6

Uraian Tabel N(t) sebelum pemanenan pada kasus 2 ...................................................... 18

7

Uraian Tabel X(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.01 – 0.10 ................................ 19

8

Uraian Tabel N(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.01 – 0.10 ................................ 23

ix

1 
 

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Eksploitasi terhadap populasi biologis dan
ekosistem di perairan sering terjadi saat ini.
Salah satunya di dunia perikanan, baik di
wilayah daratan maupun perairan. Hal ini
disebabkan adanya sifat
egosentris dan
ketidakfahaman manusia itu sendiri. Banyak
sektor perikanan mengalami kerugian yang
disebabkan kurangnya manajemen dalam
pengelolaannya. Sehingga berpengaruh pula
pada sektor lain, diantaranya sektor ekonomi.
Perekonomian akan semakin terpuruk apabila
sektor-sektor
penunjangnya
mengalami
degradasi dan berpengaruh pula pada
kesejahteraan para peternak ikan yang akan
semakin menurun. Untuk mencegah hal
tersebut para pengusaha ikan harus dapat
mempertimbangkan
seberapa
banyak
komposisi yang harus dipelihara dan yang
harus dipanen. Pada proses pemanenan ikan
juga harus diperhatikan berapa tingkat
kelahiran dan tingkat kematiannya. Hal
tersebut dilakukan agar dapat memaksimalkan
keuntungan pada saat pemanenan ikan.
Berdasarkan hal tersebut dapat dibuat suatu
model
yang
dapat
mengaplikasikan
perkembangan atau pertumbuhan populasi
ikan.
Dengan adanya model tersebut, maka
dapat dilakukan simulasi untuk menentukan
berapa bagian yang seharusnya dipanen, agar
jumlah individu setelah pemanenan tidak
terlalu menurun bahkan punah.
Namun demikian, seringkali tidak mudah
untuk mendapatkan solusi dari model
pertumbuhan
tersebut,
terutama
jika
melibatkan persamaan integral tak linear,

sehingga pada model pertumbuhan ini
digunakan
metode
linearisasi
dalam
penyelesaiannya.
Tujuan
Berdasarkan uraian di atas, tujuan dari
penulisan ini adalah :
1. Merumuskan model pertumbuhan
populasi ikan dan mengkaji kasus
tingkat pemanenan yang mungkin.
2. Menggunakan metode linearisasi
pada model yang berupa persamaan
integral taklinear.
Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri atas lima bab. Bab
pertama merupakan uraian mengenai latar
belakang permasalahan dan tujuan penulisan.
Bab kedua berupa landasan teori, berisi
beberapa istilah dan metode linearisasi untuk
menyelesaikan persamaan integral tak linear
yang digunakan dalam pembahasan. Bab
ketiga berupa model pemanenan, berisi
persamaan
jumlah
kelahiran,
jumlah
keseluruhan individu sebelum pemanenan dan
setelah pemanenan yang ditinjau pada semua
umur. Bab keempat berupa pembahasan
mengenai ilustrasi model pemanenan dan
aplikasi dari persamaan yang didapat dengan
asumsi tingkat kelahiran dan kematiannya
konstan dan hanya tergantung pada waktu.
Selain itu, diperlihatkan pula beberapa grafik
persamaan tersebut. Bab terakhir pada tulisan
ini berisi kesimpulan dari keseluruhan
penulisan.

LANDASAN TEORI
Untuk memahami pembahasan yang akan
diberikan pada bagian selanjutnya, maka
berikut ini akan diberikan beberapa istilah,
yaitu :
1. Perikanan ( Fishery ) adalah semua
yang
berhubungan
dengan
pengelolaan
dan
pemanfaatan
sumberdaya ikan dan lingkungannya
mulai dari pra produksi, produksi,
pengolahan, sampai pemasaran yang
dilaksanakan dalam suatu sistem
bisnis perikanan.

2.

3.

(Soewardi, K. 2007)
Tingkat Kelahiran ( Fertility Rates )
adalah jumlah dari individu baru
yang rata-rata akan dimiliki induk
individu semasa hidupnya.
(http://id.wikipedia.org/wiki/Tingkat
kelahiran , 10 April 2008)
Tingkat Kematian ( Mortality Rates )
adalah jumlah dari individu yang
rata-rata akan mengalami kematian
pada waktu tertentu.

2 
 
(http://id.wikipedia.org/wiki/Tingkat
kematian, 10 April 2008)
4. Ekosistem adalah komunitas dan
lingkungan abiotik yang berfungsi
bersama.
(Suyasa,1997)
5. Populasi adalah kumpulan individuindividu yang sejenis.
(Suyasa,1997)
Selanjutnya, untuk memahami konsep
matematika yang muncul pada bagian
berikutnya, maka berikut ini akan diberikan
uraian metode yang digunakan. Metode
tersebut adalah metode linearisasi untuk
menyelesaikan persamaan integral tak linear.

,

, ,

Pelinearan Persamaan Integral Tak Linear
Tinjau persamaan integral berikut :
, ,

dimana
adalah fungsi yang tidak
diketahui,
adalah konstanta real,
dan
, ,
berturut-turut merupakan fungsi
pada
dan
. Fungsi
, ,
adalah
fungsi tak linear yang memiliki turunan
dengan pendekatan nilai K di ( , ,
dinyatakan dalam deret Taylor berikut :

,

,

,

,

,

,

,

,

. ..

Jika persamaan (2) disubstitusikan ke
dalam persamaan (1), maka diperoleh

,
dengan

, dan

,

,

,

,

(4)

,

,

,

,

,

.

Persamaan (3) dapat ditulis
,
atau

3 
 

.
Jika kedua ruas persamaan (7) diturunkan
terhadap , maka diperoleh
.
Persamaan (8) merupakan persamaan
diferensial biasa yang linear, dengan solusi
dalam bentuk

exp

exp

exp

9

Persamaan (9) dapat dituliskan sebagai berikut

exp

exp

exp

Persamaan (10) dan persamaan
(4)
digunakan untuk menyelesaikan persamaan
. Dengan asumsi
(1) dengan asumsi

ini, solusi persamaan (1) di
, , , … adalah

, untuk

4 
 

exp
dengan
∆
Untuk ∆

∆

∆

dengan

exp

exp

dan
, , ,…

.

∆

,
,

dan
menjadi

maka persamaan (11)

exp

exp

.

exp
Penurunan lengkap dapat dilihat pada pustaka [Darania,2005].

MODEL PEMANENAN
Untuk memahami masalah pemanenan,
akan dibahas terlebih dahulu masalah
kelahiran. Setelah itu, menentukan berapa
jumlah
populasi
yang
ada
dengan
menggunakan persamaan jumlah kelahiran
yang telah didapat terlebih dahulu, baik
sebelum proses pemanenan maupun setelah
pemanenan.
Jumlah Kelahiran (
Jumlah kelahiran individu pada waktu t,
t ∈ [t0,∞) dengan asumsi kompetisi diabaikan
dapat dirumuskan sebagai berikut :
,
dengan T adalah umur maksimal individu
dalam populasi,
dan
berturut-turut
adalah tingkat kelahiran dan kematian pada
umur ,
. Fungsi
dan

diasumsikan selalu positif dan merupakan
fungsi kontinu pada ∈ , .
Berdasarkan persamaan (13), jumlah
kelahiran individu pada waktu
sampai
adalah jumlah dari tingkat kematian individu
dikalikan dengan tingkat kelahiran individu.
Untuk menuju ke proses pemanenan, perlu
adanya
identifikasi
mengenai
jumlah
keseluruhan individu yang akan dipanen agar
banyaknya bagian individu yang dipanen
dapat ditentukan.
Jumlah Kelahiran
yang Dipanen pada
Semua Umur
Bentuk
pada persamaan
akan
dimodifikasi untuk menentukan persamaan
dengan asumsi pemanenan dilakukan
pada semua umur. Misalkan rasio pemanenan
dari individu pada semua umur dinyatakan
oleh konstanta
dengan 0
. Rasio
pemanenan tersebut dipanen pada waktu .
Kemudian diasumsikan pula bahwa
bagian dari populasi akan hidup hingga mati

5 
 
secara alami. Sehingga persamaan
menjadi

.
Dengan demikian, persamaan untuk
menentukan kelahiran setelah pemanenan
pada semua umur adalah

.

Jumlah Populasi (
)
Proses pemanenan dilakukan pada jumlah
populasi yang ada. Jumlah total individu
tersebut didapat dari perkalian antara tingkat
kematian individu dikalikan dengan kelahiran
individu. Sehingga N(t) dapat diformulasikan
sebagai berikut
.
Persamaan (16) menunjukkan bahwa tiap
perubahan waktu individu yang ditanam akan
ada proses kematian dan kelahiran. Bentuk
menunjukkan jumlah keseluruhan
individu pada waktu
sampai setelah
mengalami kematian dan kelahiran.
Jumlah Populasi
yang Dipanen pada
Semua Umur
Bentuk
pada persamaan
akan
dimodifikasi untuk menentukan persamaan
untuk
dengan asumsi pemanenan
dilakukan pada semua umur. Misalkan rasio
pemanenan dari individu pada semua umur

dinyatakan oleh konstanta dengan 0
. Rasio pemanenan tersebut dipanen pada
waktu . Kemudian diasumsikan pula bahwa
bagian dari populasi akan hidup
hingga mati secara alami. Sehingga
yang
dipanen adalah
.
dan nilai

yang tidak dipanen adalah :
.

Dengan demikian, persamaan untuk
menentukan kelahiran setelah pemanenan
pada semua umur adalah persamaan (18).
Untuk menentukan jumlah populasi
yang memenuhi persamaan (18), maka
diperlukan nilai
. Nilai
dan
masing-masing ditentukan dari persamaan
(15) dan (18) dengan cara linearisasi pada
kedua persamaan tersebut.

6 
 

PEMBAHASAN
Dalam pembahasan ini akan dikaji bentuk
yaitu jumlah kelahiran individu dan
bentuk
yaitu jumlah populasi. Dalam hal
ini akan di tinjau dua kasus, yaitu kasus
dimana tingkat kelahiran dan kematian yang
ditinjau konstan dan dimana tingkat kelahiran
dan kematiannya hanya bergantung pada
waktu . Selain itu, akan dibahas pula perilaku
fungsi
dan
terhadap perubahan
nilai , yaitu rasio pemanenan populasi ikan
sesudah pemanenan.
Kasus 1
Pada kasus ini, diasumsikan tingkat
kelahiran dan kematian pada populasi ikan
adalah konstan, misalkan
. ,
. .

9

Berdasarkan persamaan (19), maka
diperoleh jumlah kelahiran
dan jumlah
populasi
baik sebelum maupun setelah
pemanenan. Berikut akan dibahas terlebih
dahulu bentuk
dan
sebelum
pemanenan.
Berdasarkan
yang dinyatakan oleh
persamaan (13) dengan nilai-nilai pada
persamaan (19) diperoleh
.

.
.

.

Misalkan
pada selang waktu
dan
pada selang waktu ,
maka dari persamaan (24), diperoleh
.

.
.

.

pada selang waktu
Misalkan
dan
pada selang waktu ,
maka dari persamaan (27) diperoleh
,

,

,

.

Linearisasi Model
Berdasarkan persamaan (12), dengan nilai
linearisasi persamaan (13) dan (16)
berturut-turut dinyatakan sebagai berikut

.

exp

exp

.

Selanjutnya, persamaan
yang
dinyatakan oleh persamaan (16) dengan nilainilai pada persamaan (19) diperoleh

— .
.

.

, ,
,

.

.

7 
 
Dengan menggunakan bentuk linear yang
diberikan oleh persamaan (24) dengan nilai
dan
. (tanda negatif digunakan
agar nilai
positif), maka dari persamaan
(21), (4) dan (5) diperoleh :
=
=
=
=
=

.

exp

.

.

exp

. .

Dengan menggunakan bentuk linear yang
diberikan oleh persamaan (25) dengan nilai
dan
. (tanda negatif digunakan
agar nilai
positif), maka dari persamaan
(23), (4) dan (5) diperoleh :
=
=
=
=
=

Sehingga dari persamaan (24) dengan
nilai-nilai pada persamaan (26) akan diperoleh
, yaitu kelahiran sebelum pemanenan
disajikan dalam Tabel 1. Berdasarkan Tabel 1,
dibuat Grafik
sebelum pemanenan
seperti disajikan pada Gambar 1.
Tabel 1 Jumlah Kelahiran sebelum
pemanenan pada kasus 1

exp
exp

.
.

.

= (26)

Sehingga dari persamaan (25) dengan
nilai-nilai pada persamaan (27) diperoleh
bentuk
, yaitu jumlah populasi sebelum
pemanenan seperti disajikan dalam Tabel 2.
Berdasarkan Tabel 2, dibuat Grafik
sebelum pemanenan, dan disajikan pada
Gambar 2.
Tabel 2 Jumlah Populasi
sebelum
pemanenan pada kasus 1

tn

X(tn+1)

0

51.72487411

tn

N(tn+1)

1

53.44974822

0

51.12819066

2

55.17462233

1

52.85306477

3

56.89949643

2

54.57793888

4

58.62437054

3

56.30281299

5

60.34924465

4

58.0276871

5

59.75256121

x 
N

62
60
58
56
54
52
50

t 
0

5

10

Gambar1 Grafik
sebelum pemanenan
pada kasus 1
Dengan asumsi bahwa tingkat kelahiran
dan kematian populasi ikan adalah konstan,
serta tingkat kelahiran lebih besar dari tingkat
kematiannya, maka pada grafik yang
diberikan dalam Gambar 1 diperoleh bahwa
jumlah kelahiran populasi ikan tersebut adalah
meningkat.

62
60
58
56
54
52
50

t 
0

5

10

Gambar 2 Grafik
sebelum pemanenan
pada kasus 1
Grafik pada Gambar 2 memperlihatkan
meningkatnya jumlah individu yang ada,
sehingga dapat dilakukan proses pemanenan.
Setelah itu, akan dilakukan proses pemanenan
dengan berbagai nilai rasio pemanenan
pada semua umur.

8 
 
Berdasarkan persamaan (12), dengan nilai
, linearisasi persamaan (15) dan (18)
berturut-turut dinyatakan sebagai berikut

exp

exp

9

Berdasarkan nilai
yang dinyatakan
oleh persamaan (15) dan bentuk linearnya
pada persamaan (28), dengan nilai-nilai pada
persamaan
(19)
dan
nilai
. , . , . , .
dan
. ,
maka diperoleh
, yaitu kelahiran setelah
pemanenan yang disajikan oleh Tabel 3.
Berdasarkan tabel 3 dibuat grafik
setelah
pemanenan yang disajikan pada Gambar 3.

Tabel 3 Nilai X(t) setelah pemanenan pada
kasus 1
H
0.04
0.03
0.05
tn
0

49.655879

50.173127

49.138630

1

49.325523

50.341061

48.320329

2

49.008381

50.503957

47.542943

3

48.703925

50.661967

46.80442

4

48.411647

50.815235

46.10283

5

48.131060

50.963906

45.43632

X 
70
60
50
40

(H=0.04)

30

(H=0.03)

20

(H=0.05)

10
0

t 
0

Gambar 3 Grafik

1

2

3

4

5

setelah pemanenan pada kasus 1 dengan nilai

Grafik pada Gambar 3 memperlihatkan
empat kurva dengan rasio pemanenan yang
berbeda. Semakin besar nilai , maka jumlah
kelahiran akan semakin kecil, karena individu
yang ada akan semakin sedikit.

6

.

, .

dan .

Berdasarkan nilai
yang dinyatakan
oleh persamaan (18) dan bentuk linearnya
pada persamaan (29), dengan nilai-nilai pada
persamaan
(23)
dan
nilai
. , . , . , .
dan
. ,

9 
 
maka diperoleh
, yaitu jumlah populasi
setelah pemanenan yang disajikan oleh Tabel
4. Berdasarkan tabel 4 dibuat grafik
setelah pemanenan yang disajikan pada
Gambar 4.

Tabel 4 Nilai N(t) setelah pemanenan pada
kasus 1
H
0.05
0.04
0.03
tn
0

51.1281

51.1281

51.1281

1

50.2668

50.7840

51.3013

2

49.4485

50.4537

51.4692

3

48.6711

50.1365

51.6321

4

47.9326

49.8321

51.7901

5

47.2310

49.5398

51.9434

N 
70
60
50
40

(H=0.05)

30

(H=0.04)
(H=0.03)

20
10

t 

0
0

Gambar 4 Grafik

1

2

3

4

5

setelah pemanenan pada kasus 1 dengan nilai

Dari grafik
pada Gambar 4, dapat
ditentukan berapa bagian dari jumlah
keseluruhan individu yang akan dipanen. Dari
Gambar 4 terlihat bahwa nilai
. dapat
menghasilkan jumlah individu yang relatif
konstan, sehingga pada kasus ini dipilih
. .
Kasus 2
Pada kasus ini, diasumsikan tingkat
kelahiran dan kematian pada populasi ikan
hanya tergantung pada waktu . Misalkan

(30)
Berdasarkan persamaan (30) diperoleh
jumlah kelahiran
dan jumlah populasi
baik sebelum maupun setelah
pemanenan. Berikut ini akan dibahas terlebih
dahulu
dan
sebelum pemanenan.

6

.

, .

dan .

Berdasarkan
yang dinyatakan oleh
persamaan (13) dengan nilai-nilai pada
persamaan (30) diperoleh
.
Misalkan
pada selang waktu ,
dan
pada waktu ,
, maka dari
persamaan (31) diperoleh
.
Berdasarkan bentuk linear yang diberikan
oleh persamaan (24) dan pemilihan nilai
. (tanda negatif digunakan agar nilai
positif), maka diperoleh
, yaitu
jumlah kelahiran sebelum pemanenan yang
disajikan dalam Tabel 5. Nilai
tersebut

10 
 
didapatkan dengan proses yang sama pada
kasus 1. Berdasarkan Tabel 5, dibuat Grafik
sebelum pemanenan, yang disajikan
pada Gambar 5.
Tabel 5 Kelahiran sebelum
pemanenan pada kasus 2
tn

Xn+1

0

35

1

37.67225756

2

40.08121

3

41.62028569

4

42.46487893

5

42.88974963

Berdasarkan bentuk linear yang diberikan
oleh persamaan (25), dan memilih nilai
. (tanda negatif digunakan agar nilai
positif), maka diperoleh
, yaitu
jumlah populasi sebelum pemanenan yang
disajikan dalam Tabel 6. Nilai
tersebut
didapatkan dengan proses yang sama pada
kasus 1. Berdasarkan Tabel 6, dibuat Grafik
sebelum pemanenan, yang disajikan
pada Gambar 6.
Tabel 6 N(t) sebelum pemanenan
pada kasus 2

X 

tn

Nn+1

0

31.00317156

1

33.48220634

2

37.01381798

3

39.80251416

44

4

41.5060427

42

5

42.41911385

40

N

38
44

36

42

34

40

t 

32
0

2

4

6

Gambar 5 Grafik
sebelum pemanenan
pada kasus 2
Pada kasus ini, diasumsikan bahwa tingkat
kelahiran dan kematian hanya tergantung pada
waktu . Pada Gambar 5, memperlihatkan
perilaku
kurva yang nilainya meningkat
secara eksponen.
Berdasarkan N(t) yang dinyatakan oleh
persamaan (16) dengan nilai-nilai pada
persamaan (30), diperoleh
.
Misalkan nilai
,
dan
,
, maka
diperoleh

pada selang waktu
pada selang waktu
dari persamaan (33)

.

38
36
34
32

t

30
0

2

4

6

Gambar 6 Grafik
sebelum pemanenan
pada kasus 2
Pada Gambar 6, grafik
sebelum
pemanenan didapat kurva yang nilainya
meningkat. Ini berarti populasi tersebut dapat
dipanen.
Dalam proses pemanenan akan dikaji
untuk berbagai nilai rasio pemanenan pada
semua umur.
Berdasarkan nilai
yang dinyatakan
oleh persamaan (15) dan persamaan (28), serta
nilai-nilai pada persamaan (30) dengan nilai
.
.
dan
. , maka
diperoleh
yaitu kelahiran setelah
pemanenan yang disajikan oleh Tabel 7. Nilai
tersebut didapatkan dengan proses yang
sama pada kasus 1. Berdasarkan Tabel 7-

11 
 
dibuat Grafik
setelah pemanenan, yang
disajikan pada Gambar 7.
Tabel 7 X(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.01 – 0.10
H
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
tn

0.08

0.09

0.10

0

34.65

34.3

33.95

33.6

33.25

32.9

32.55

32.2

31.85

31.5

1

36.92

35.67

35.44

34.72

33.99

33.29

32.58

31.88

31.19

30.51

2

38.89

36.61

36.58

35.46

34.37

33.29

32.24

31.21

30.20

29.21

3

39.98

36.82

36.84

35.35

33.89

32.49

31.13

29.82

28.54

27.30

4

40.38

36.55

36.46

34.62

32.86

31.16

29.54

27.99

26.49

25.07

5

40.38

36.03

35.73

33.57

31.53

29.59

27.75

26.01

24.35

22.79

X 
45

H=0.01

40

H=0.02

35

H=0.03

30

H=0.04

25
20

H=0.05

15

H=0.06

10

H=0.07

5

H=0.08

0

t
0

1

Gambar 7 Grafik

2

3

4

5

setelah pemanenan dengan nilai

Grafik pada Gambar 7 memperlihatkan
kurva dengan rasio pemanenan yang berbeda.
Semakin besar nilai
, maka jumlah
kelahiran akan semakin kecil, karena individu
yang ada semakin sedikit.
Berdasarkan nilai
yang dinyatakan
oleh persamaan (18) dan persamaan (29),
serta nilai-nilai pada persamaan (30), dengan

.

H=0.09

6

– .

nilai
.
.
dan
. maka
diperoleh
yaitu jumlah populasi setelah
pemanenan yang disajikan oleh Tabel 8. Nilai
tersebut didapatkan dengan proses yang
sama pada kasus 1. Berdasarkan Tabel 8
digunakan Grafik
setelah pemanenan.

Tabel 8 N(t) setelah pemanenan pada kasus 2 dengan nilai H=0.01 – 0.10
H
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
tn

0.09

0.1

0

31.01

31.01

31.01

31.01

31.01

31.01

31.01

31.01

31.01

31.01

1

33.15

32.82

32.48

32.14

31.81

31.47

31.14

30.80

30.47

30.13

2

36.28

35.05

34.83

34.12

33.41

32.71

32.01

31.33

30.65

29.98

3

38.63

36.36

36.33

35.21

34.13

33.06

32.02

30.99

29.99

29.02

4

39.87

36.72

36.74

35.25

33.81

32.41

31.05

29.73

28.46

27.23

5

40.34

36.51

36.43

34.59

32.82

31.13

29.51

27.96

26.47

25.05

12 
 

N 
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0

t 
0

1

2

3

4

5

6

(H=0.01)
(H=0.02)
(H=0.03)
(H=0.04)
(H=0.05)
(H=0.06)
(H=0.07)
(H=0.08)
(H=0.09)
(H=0.10)

Gambar 8 Grafik N(t) setelah pemanenan pada kasus 2 dengan nilai H=0.01 – 0.10
Dari Grafik
pada Gambar 8, dapat
ditentukan besarnya bagian dari jumlah
keseluruhan individu yang akan dipanen. Dari
Gambar 8 terlihat bahwa nilai
.
dan

.
dapat menghasilkan jumlah
individu yang relatif konstan, sehingga pada
kasus ini dipilih
.
atau
. .

KESIMPULAN
Pola pertumbuhan populasi dipengaruhi
oleh tingkat kelahiran dan tingkat kematian
individu. Model pertumbuhan dengan
persamaan integral tak linear dapat digunakan
untuk menentukan jumlah kelahiran dan
jumlah populasi ikan dengan berbagai
alternatif rasio pemanenan.
Dari model yang digunakan, jika tingkat
kelahiran dan kematian individu konstan dan
tingkat kelahiran lebih besar dari tingkat
kematian individu, maka diperoleh grafik
jumlah populasi berbentuk linear yang terus
meningkat, baik sebelum maupun setelah

pemanenan. Jika tingkat kelahiran dan
kematian individu hanya tergantung pada
waktu, maka grafik jumlah populasi berbentuk
tidak linear. Pada berbagai variasi pemanenan
dengan berbagai nilai rasio pemanenan,
diperoleh kurva yang nilainya meningkat pada
waktu tertentu dan kemudian menurun.
Dengan metode linearisasi, diperoleh
solusi yang dapat memperlihatkan berapa
banyak bagian dari jumlah keseluruhan
individu yang dapat dipanen. Sehingga,
jumlah individu yang tidak dipanen tidak
mengalami penurunan atau kepunahan.

13 
 

DAFTAR PUSTAKA

Darania, A.Ebadian and Oskoi. 2005.
Linearization Method For Solving
Nonlinear Integral Equation. Mathematical
Problems in Engineering. 2006 : 1-10.

integro-differential equations,. Website
EqWorld — The World of Mathematical
Equations,_http://eqworld.ipmnet.ru/en/m
ethods/ie/ie-meth3.htm. 25 April 2008.

Farlow, Stanley. 1994. An Introduction to
Differential
Equations
and
Their
Applications.University of Maine. Maine.

Rockafeller, Tyrell. 1970. Convex Analysis.
Princeton University Press, Princeton.

Hritonenko, N dan Yatsenko, Y. 2006.
Optimization of Harvesting Return from
Age-Structured Population. Journal of
Bioeconomics.8:167-179.
Integral_equation._http://en.wikipedia.org/w
iki/Integral_equation. 25April 2008. 
Polyanin, AD dan Zhurov, A.I. 2007. A
solution method for some classes of
nonlinear integral, integro-functional, and

Soewardi, K. 2007. Pengelolaan Keragaman
Genetik Sumberdaya Perikanan dan
Kelautan. Intramedia, Bogor.
Suyasa, I N. 1997. Ekologi Perairan. Sekolah
Tinggi Perikanan Jakarta. Jakarta.
Wikipedia._http://id.wikipedia.org/wiki/Ting
kat kelahiran,tingkat kematian, example
problem of integral non linear , 10 April
2008).

14 
 

LAMPIRAN

15 
 

Lampiran 1 Uraian Tabel Jumlah Kelahiran sebelum pemanenan pada kasus 1
.
.
. 9
n

tn

0

0

50

-2.9484797

-16.9579

1.034497482

1

1

51.72487411

-2.9484797

-17.5429

1.034497482

2

2

53.44974822

-2.9484797

-18.1279

1.034497482

3

3

55.17462233

-2.9484797

-18.7129

4

4

56.89949643

-2.9484797

-19.2979

5

5

58.62437054

-2.9484797

-19.8829

Xn

1/Zn

Kn

exp(Znh)

exp(Znh)*(1/Zn*Kn)

X(tn+1)

50

51.72487411

51.72487411

51.7249

53.50925203

53.44974822

53.4497

55.29362995

55.17462233

1.034497482

55.1746

57.07800788

56.89949643

1.034497482

56.8995

58.8623858

58.62437054

1.034497482

58.6244

60.64676372

60.34924465

1/Zn*Kn

Lampiran 2 Uraian Tabel Jumlah Individu N(t) sebelum pemanenan pada kasus 1
.
.
n

tn

0

.

.

Xn

1/Zn

Kn

exp(Znh)

1/Zn*Kn

exp(Znh)*(1/Zn*Kn)

N(tn+1)

0

50

-4.48168907

-11.15650801

1.022563813

50

51.12819066

51.12819066

1

1

51.72487411

-4.48168907

-11.54137944

1.022563813

51.72487411

52.89198451

52.85306477

2

2

53.44974822

-4.48168907

-11.92625088

1.022563813

53.44974822

54.65577835

54.57793888

3

3

55.17462233

-4.48168907

-12.31112232

1.022563813

55.17462233

56.4195722

56.30281299

4

4

56.89949643

-4.48168907

-12.69599375

1.022563813

56.89949643

58.18336605

58.0276871

5

5

58.62437054

-4.48168907

-13.08086519

1.022563813

58.62437054

59.94715989

59.75256121

Lampiran 3 Uraian Tabel X(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.03, 0.04, 0.05
.
.
.

.

9

.

, .

, .

16 
 

n

tn

Xn

1/Zn

Kn

exp(Znh)

1/Zn*Kn

exp(Znh)*(1/Zn*Kn)

X(tn+1)

(1-H)

X(tn+1)*(1-H)

0

0

50

-2.948479652

-16.95789217

1.034497482

50

51.72487411

51.72487411

0.97

50.17312789

1

1

50.17312789

-2.948479652

-17.01660985

1.034497482

50.17312789

51.90397447

51.89800199

0.97

50.34106193

2

2

50.34106193

-2.948479652

-17.073566

1.034497482

50.34106193

52.07770182

52.06593604

0.97

50.50395796

3

3

50.50395796

-2.948479652

-17.12881347

1.034497482

50.50395796

52.24621735

52.22883207

0.97

50.66196711

4

4

50.66196711

-2.948479652

-17.18240351

1.034497482

50.66196711

52.40967742

52.38684122

0.97

50.81523598

5

5

50.81523598

-2.948479652

-17.23438585

1.034497482

50.81523598

52.56823368

52.54011009

0.97

50.96390679

n

tn

Xn

1/Zn

Kn

exp(Znh)

1/Zn*Kn

exp(Znh)*(1/Zn*Kn)

X(tn+1)

(1-H)

X(tn+1)*(1-H)

0

0

50

-2.948479652

-16.95789217

1.034497482

50

51.72487411

51.72487411

0.96

49.65587914

1

1

49.65587914

-2.948479652

-16.84118088

1.034497482

49.65587914

51.36888195

51.38075325

0.96

49.32552312

2

2

49.32552312

-2.948479652

-16.72913805

1.034497482

49.32552312

51.02712948

51.05039723

0.96

49.00838134

3

3

49.00838134

-2.948479652

-16.62157693

1.034497482

49.00838134

50.6990471

50.73325545

0.96

48.70392523

4

4

48.70392523

-2.948479652

-16.51831825

1.034497482

48.70392523

50.38408803

50.42879934

0.96

48.41164737

5

5

48.41164737

-2.948479652

-16.41918992

1.034497482

48.41164737

50.08172731

50.13652148

0.96

48.13106062

n

tn

Xn

1/Zn

Kn

exp(Znh)

1/Zn*Kn

exp(Znh)*(1/Zn*Kn)

X(tn+1)

(1-H)

X(tn+1)*(1-H)

0

0

50

-2.948479652

-16.95789217

1.034497482

50

51.72487411

51.72487411

0.95

49.1386304

1

1

49.1386304

-2.948479652

-16.66575192

1.034497482

49.1386304

50.83378943

50.86350451

0.95

48.32032929

2

2

48.32032929

-2.948479652

-16.38821867

1.034497482

48.32032929

49.98725898

50.0452034

0.95

47.54294323

3

3

47.54294323

-2.948479652

-16.12456209

1.034497482

47.54294323

49.18305506

49.26781733

0.95

46.80442647

4

4

46.80442647

-2.948479652

-15.87408834

1.034497482

46.80442647

48.41906134

48.52930058

0.95

46.10283555

5

5

46.10283555

-2.948479652

-15.63613828

1.034497482

46.10283555

47.69326729

47.82770966

0.95

45.43632417

17 
 

Lampiran 4 Uraian Tabel N(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.03,0.04 dan 0.05
.
.

.

n

tn

Xn

1/Zn

Kn

exp(Znh)

1/Zn*Kn

exp(Znh)*(1/Zn*Kn)

N(tn+1)

0

0

50

-4.48168907

-11.15650801

1.022563813

50

51.12819066

51.12819066

1

1

50.17312789

-4.48168907

-11.19513806

1.022563813

50.17312789

51.30522497

51.30131855

2

2

50.34106193

-4.48168907

-11.23260921

1.022563813

50.34106193

51.47694825

51.4692526

3

3

50.50395796

-4.48168907

-11.26895623

1.022563813

50.50395796

51.64351984

51.63214862

4

4

50.66196711

-4.48168907

-11.30421283

1.022563813

50.66196711

51.80509427

51.79015777

5

5

50.81523598

-4.48168907

-11.33841174

1.022563813

50.81523598

51.96182147

51.94342664

n

tn

Xn

1/Zn

Kn

exp(Znh)

1/Zn*Kn

exp(Znh)*(1/Zn*Kn)

N(tn+1)

0

0

50

-4.48168907

-11.15650801

1.022563813

50

51.12819066

51.12819066

1

1

49.65587914

-4.48168907

-11.07972427

1.022563813

49.65587914

50.77630513

50.78406981

2

2

49.32552312

-4.48168907

-11.00601187

1.022563813

49.32552312

50.43849501

50.45371378

3

3

49.00838134

-4.48168907

-10.93524798

1.022563813

49.00838134

50.11419731

50.136572

4

4

48.70392523

-4.48168907

-10.86731464

1.022563813

48.70392523

49.80287151

49.83211589

5

5

48.41164737

-4.48168907

-10.80209863

1.022563813

48.41164737

49.50399874

49.53983803

n

tn

Xn

1/Zn

Kn

exp(Znh)

1/Zn*Kn

exp(Znh)*(1/Zn*Kn)

N(tn+1)

0

0

50

-4.48168907

-11.15650801

1.022563813

50

51.12819066

51.12819066

1

1

49.1386304

-4.48168907

-10.96431047

1.022563813

49.1386304

50.24738528

50.26682106

2

2

48.32032929

-4.48168907

-10.78172281

1.022563813

48.32032929

49.41062017

49.44851995

3

3

47.54294323

-4.48168907

-10.60826454

1.022563813

47.54294323

48.61569332

48.67113389

4

4

46.80442647

-4.48168907

-10.44347917

1.022563813

46.80442647

47.8605128

47.93261713

5

5

46.10283555

-4.48168907

-10.28693308

1.022563813

46.10283555

47.14309132

47.23102621

18 
 

Lampiran 5 Uraian Tabel Jumlah Kelahiran sebelum pemanenan pada kasus 2
.

n

tn

Xn

Zn

Kn

(n+2)h+2/Zn

Jn

0

0

35

0

0

-0.2

-70

1

1

35

-0.735758882

-25.75156088

-3.018281828

0

2

2

37.67225756

-0.541341133

-20.39354259

-4.094528049

10.19677129

3

3

40.08121

-0.29872241

-11.97315566

-7.195178974

7.982103771

4

4

41.62028569

-0.146525111

-6.098416986

-14.24953751

4.573812739

5

5

42.46487893

-0.06737947

-2.861261035

-30.38263182

2.289008828

Lampiran 6 Uraian Tabel N(t) sebelum pemanenan pada kasus 2
.

exp(Znh)

1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn)

Xn+1

1

0

35

1.076350216

35

37.67225756

1.055626166

111.0300894

40.08121

1.030322893

226.998035

41.62028569

1.014760385

480.1796094

42.46487893

1.006760698

1067.826324

42.88974963

n

tn

Xn

Zn

Kn

(n+2)h+2/Zn

Jn

exp(Znh)

1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn)

Nn+1

0

0

35

1

35

-0.2

-35

0.904837418

42

31.00317156

1

1

35

0.367879441

12.87578044

5.136563657

-12.87578044

0.96388051

-151.779728

33.48220634

2

2

37.67225756

0.135335283

5.098385647

14.3781122

-5.098385647

0.986557638

-511.5181398

37.01381798

3

3

40.08121

0.049787068

1.995525943

39.67107385

-1.995525943

0.995033666

-1557.999674

39.80251416

4

4

41.62028569

0.018315639

0.762302123

108.5963001

-0.762302123

0.998170112

-4486.512805

41.5060427

5

5

42.46487893

0.006737947

0.286126104

296.1263182

-0.286126104

0.999326432

-12540.99635

42.41911385

19 
 

Lampiran 7 Uraian Tabel X(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.01 – 0.10
n

tn

Zn

0

Xn
35

0
1

Kn

(n+2)h+2/Zn

Jn

0

1

34.65

-0.735758

2

2

36.92257963

-0.541341

-19.987711

-4.0945280

3

3

38.89075799

-0.298722

-11.61754

-7.1951789

4

4

39.98028037

-0.146525

-5.8581150

-14.249537

5

5

40.38367733

-0.067379

-2.7210307

n

tn

Xn

Zn

0

0

35

1

1

2

exp(Znh)

0

-0.2

-70

1

-25.494045

-3.0182818

0

1.076350216

9.993855544

1.055626166

7.745027307

1.030322893

4.393586268

-30.382631

2.17682462

Kn

(n+2)h+2/Zn

Jn

exp(Znh)

0

0

0

-70

34.3

-0.7357588

-25.2365296

-3.01828182

2

35.670295

-0.5413411

-19.3097983

3

3

36.610607

-0.2987224

4

4

36.821454

5

5

n

.

1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn)

Xn+1

(1-H)

X(n+1)*(1-H)

0

35

0.99

34.65

34.65

37.29553498

0.99

36.92257963

108.8205906

39.28359393

0.99

38.89075799

220.2559664

40.38412159

0.99

39.98028037

1.014760385

461.2586169

40.79159326

0.99

40.38367733

1.006760698

1015.492209

40.78772514

0.99

40.37984789

1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn)

Xn+1

(1-H)

X(n+1)*(1-H)

1

0

35

0.98

34.3

-25.2365296

1.076350216

-62.36706672

36.39826099

0.98

35.67029577

-4.09452804

-9.65489916

1.055626166

-33.78918794

37.35776237

0.98

36.61060712

-10.936408

-7.19517897

-3.64546959

1.030322893

-48.75530927

37.57291226

0.98

36.82145401

-0.1465251

-5.39526764

-14.2495375

-1.34881691

1.014760385

-92.5096458

37.29704869

0.98

36.55110771

36.551107

-0.0673794

-2.46279426

-30.3826318

-0.49255885

1.006760698

-184.0906176

36.76857095

0.98

36.03319953

tn

Xn

Zn

Kn

(n+2)h+2/Zn

Jn

exp(Znh)

1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn)

Xn+1

(1-H)

X(n+1)*(1-H)

0

0

35

0

0

0

-70

1

0

35

0.97

33.95

1

1

33.95

-0.735758

-24.979014

-3.01828182

0

1.076350216

33.95

36.54208983

0.97

35.44582713

2

2

35.445827

-0.541341

-19.188284

-4.09452804

9.59414211

1.055626166

104.4682111

37.71241049

0.97

36.58103818

3

3

36.581038

-0.298722

-10.927575

-7.19517897

7.285050595

1.030322893

207.1749776

37.985711

0.97

36.84613967

4

4

36.846139

-0.146525

-5.398884

-14.2495375

4.049163532

1.014760385

425.0995557

37.59385199

0.97

36.46603643

5

5

36.466036

-0.067379

-2.4570622

-30.3826318

1.965649766

1.006760698

916.9787977

36.83088736

0.97

35.72596074

20 
 

n

tn

Xn

Zn

Kn

(n+2)h+2/Zn

Jn

exp(Znh)

1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn)

Xn+1

(1-H)

X(n+1)*(1-H)

0

0

35

0

0

0

-70

1

0

35

0.96

33.6

1

1

33.6

-0.73575

-24.72149

-3.0182818

0

1.076350216

33.6

36.16536725

0.96

34.71875256

2

2

34.718752

-0.54134

-18.79468

-4.0945280

9.397344424

1.055626166

102.3253304

36.93884314

0.96

35.46128941

3

3

35.461289

-0.29872

-10.59308

-7.1951789

7.062054562

1.030322893

200.8333335

36.82296508

0.96

35.35004648

4

4

35.350046

-0.14652

-5.179669

-14.249537

3.884752116

1.014760385

407.8388994

36.06739884

0.96

34.62470288

5

5

34.624702

-0.06737

-2.332994

-30.382631

1.866395303

1.006760698

870.6764301

34.97113085

0.96

33.57228562

n

tn

Xn

Zn

Kn

(n+2)h+2/Zn

Jn

exp(Znh)

1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn)

Xn+1

(1-H)

X(n+1)*(1-H)

0

0

35

0

0

0

-70

1

0

35

0.95

33.25

1

1

33.25

-0.73575

-24.463982

-3.0182818

0

1.076350216

33.25

35.78864468

0.95

33.99921244

2

2

33.99921244

-0.54134

-18.405172

-4.0945280

9.202586092

1.055626166

100.2046557

36.17329203

0.95

34.36462743

3

3

34.36462743

-0.29872

-10.265484

-7.1951789

6.843656221

1.030322893

194.6224403

35.68419245

0.95

33.89998282

4

4

33.89998282

-0.14652

-4.967198

-14.249537

3.725399062

1.014760385

391.109293

34.58790929

0.95

32.85851383

5

5

32.85851383

-0.06737

-2.2139892

-30.382631

1.771191397

1.006760698

826.2636538

33.18727067

0.95

31.52790714

n

tn

Xn

Zn

Kn

(n+2)h+2/Zn

Jn

exp(Znh)

1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn)

Xn+1

(1-H)

X(n+1)*(1-H)

0

0

35

0

0

-0.2

-70

1

0

35

0.94

32.9

1

1

32.9

-0.73575

-24.2064

-3.018281828

0

1.076350216

32.9

35.4119221

0.94

33.287206

2

2

33.287206

-0.54134

-18.0197

-4.094528049

9.00986711

1.055626166

98.10618702

35.41575716

0.94

33.290811

3

3

33.290811

-0.29872

-9.94471

-7.195178974

6.62980767

1.030322893

188.5409359

34.56914337

0.94

32.494994

4

4

32.494994

-0.14652

-4.76133

-14.24953751

3.57099953

1.014760385

374.8997307

33.15441006

0.94

31.165145

5

5

31.165145

-0.06737

-2.09989

-30.38263182

1.67991278

1.006760698

783.6820342

31.47695977

0.94

29.588342

21 
 

n
0
1
2

tn
0
1
2

Xn
35
32.55
32.58273

Zn
0
-0.73575
-0.54134

Kn
0
-23.9489
-17.6383

(n+2)h+2/Zn
-0.2
-3.018281828
-4.094528049

Jn
-70
0
8.819187491

exp(Znh)
1
1.076350216
1.055626166

1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn)
0
32.55
96.02992434

Xn+1
35
35.03519953
34.66623853

(1-H)
0.93
0.93
0.93

X(n+1)*(1-H)
32.55
32.582735
32.239601

3
4
5

3
4
5

32.23960
31.13413
29.54232

-0.29872
-0.14652
-0.06737

-9.63069
-4.56193
-1.99054

-7.195178974
-14.24953751
-30.38263182

6.420461043
3.421449813
1.592436819

1.030322893
1.014760385
1.006760698

182.5874584
359.199322
742.8743538

33.47756814
31.76593804
29.83789998

0.93
0.93
0.93

31.134138
29.542322
27.74924698

n

tn

Xn

Zn

Kn

(n+2)h+2/Zn

Jn

exp(Znh)

1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn)

Xn+1

(1-H)

X(n+1)*(1-H)

0

0

35

0

0

-0.2

-70

1

0

35

0.92

32.2

1

1

32.2

-0.73575

-23.6914

-3.01828182

0

1.076350216

32.2

34.65847695

0.92

31.8857988

2

2

31.88579

-0.54134

-17.2610

-4.09452804

8.630547222

1.055626166

93.97586769

33.92473615

0.92

31.21075726

3

3

31.210757

-0.29872

-9.32335

-7.19517897

6.215568421

1.030322893

176.7606459

32.40921703

0.92

29.81647966

4

4

29.816479

-0.14652

-4.36886

-14.2495375

3.276647247

1.014760385

343.9972917

30.42154031

0.92

27.98781709

5

5

27.987817

-0.06737

-1.88580

-30.3826318

1.508643425

1.006760698

703.7845999

28.26784151

0.92

26.00641419

n

tn

Xn

Zn

Kn

(n+2)h+2/Zn

Jn

exp(Znh)

1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn)

Xn+1

(1-H)

X(n+1)*(1-H)

0

0

35

0

0

-0.2

-70

1

0

35

0.91

31.85

1

1

31.85

-0.735758

-23.43392

-3.0182818

0

1.076350216

31.85

34.28175438

0.91

31.19639

2

2

31.1963

-0.541341

-16.88789

-4.0945280

8.443946308

1.055626166

91.94401705

33.19125

0.91

30.2040

3

3

30.2040

-0.298722

-9.022622

-7.1951789

6.015081921

1.030322893

171.0591362

31.36384031

0.91

28.5410

4

4

28.5410

-0.146525

-4.181987

-14.249537

3.136490302

1.014760385

329.2829799

29.12027416

0.91

26.4994

5

5

26.4994

-0.067379

-1.785518

-30.382631

1.428415089

1.006760698

666.3579514

26.76458246

0.91

24.3557

22 
 

n

tn

Xn

Zn

Kn

(n+2)h+2/Zn

Jn

exp(Znh)

1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn)

Xn+1

(1-H)

X(n+1)*(1-H)

0

0

35

0

0

-0.2

-70

1

0

35

0.9

31.5

1

1

31.5

-0.735758

-23.17640

-3.018281

0

1.07635021

31.5

33.9050318

0.9

30.51452862

2

2

30.51452

-0.541341

-16.51876

-4.094528

8.2593847

1.05562616

89.93437243

32.4657801

0.9

29.21920209

3

3

29.21920

-0.298722

-8.728430

-7.1951789

5.8189536

1.03032289

165.4815675

30.34118827

0.9

27.30706944

4

4

27.30706

-0.146525

-4.001171

-14.249537

3.0008785

1.01476038

315.0458417

27.86120706

0.9

25.07508636

5

5

25.07508

-0.067379

-1.689546

-30.382631

1.3516368

1.00676069

630.5407659

25.32596826

0.9

22.79337143

Lampiran 8 Uraian Tabel N(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.01 – 0.10
.
n

tn

Xn

Zn

Kn

(n+2)h+2/Zn

Jn

exp(Znh)

1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn)

Nn+1

0

0

35

1

35

-0.2

-35

0.904837418

42

31.00317156

1

1

34.65

0.367879441

12.74702264

5.136563657

-12.74702264

0.96388051

-150.2619307

33.14738427

2

2

36.92257963

0.135335283

4.996927772

14.3781122

-4.996927772

0.986557638

-501.3389289

36.277243

3

3

38.89075799

0.049787068

1.936256827

39.67107385

-1.936256827

0.995033666

-1511.725526

38.62033969

4

4

39.98028037

0.018315639

0.732264378

108.5963001

-0.732264378

0.998170112

-4309.7263

39.87053901

5

5

40.38367733

0.006737947

0.272103077

296.1263182

-0.272103077

0.999326432

-11926.36274

40.3401552

23 
 

n

tn

Xn

Zn

Kn

(n+2)h+2/Zn

Jn

exp(Znh)

1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn)

Nn+1

0

0

35

1

35

-0.2

-35

0.904837418

42

31.00317156

1

1

34.3

0.367879441

12.61826483

5.136563657

-12.61826483

0.96388051

-148.7441334

32.81256221

2

2

35.67029577

0.135335283

4.827449581

14.3781122

-4.827449581

0.986557638

-484.3352781

35.04684669

3

3

36.61060712

0.049787068

1.8227348

39.67107385

-1.8227348

0.995033666

-1423.093613

36.35604335

4

4

36.82145401

0.018315639

0.674408455

108.5963001

-0.674408455

0.998170112

-3969.216505

36.72038327

5

5

36.55110771

0.006737947

0.246279427

2