25
Masalah LAP
MemaksimumkanMeminimumkan Z = ∑ ∑
� �
�
�= L
2.27 terhadap kendala
∑ ∑
� �
�
�= L
, =, b , i = , , … , m 2.28a
∑
�
�
�=
= 2.28b
�
untuk � = , , , … , ;
� 2.28c
dan terdapat paling sedikit satu
�
tidak nol atau paling banyak dua
�
,
�+
tidak nol dan berdampingan. Dari fungsi tujuan dan fungsi kendala linear yang diperoleh pada Persamaan
2.27-2.28d yang disebut sebagai masalah LAP, maka masalah LAP dapat diselesaikan dengan menggunakan simpleks biasa. Selanjutnya akan dibahas
mengenai contoh penyelesaian masalah separable programming menggunakan fungsi linear sepotong-sepotong sebagai hampiran fungsi nonlinear dengan
formulasi delta dan formulasi lambda. Pada skripsi ini penyelesaian menggunakan metode simpleks biasa akan dilakukan dengan bantuan software WinQSB.
Selanjutnya akan dibahas mengenai software WinQSB.
3. WinQSB
WinQSB merupakan perangkat lunak untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan optimasi maupun sistem produksi. Program WinQSB
memiliki 19 modul yang sudah sangat populer di dalam dunia matematika dan manajemen, sehingga saat ini merupakan program pendukung keputusan decision
support systems paling lengkap yang tersedia disini. Beberapa modul tersebut di
26 antaranya adalah linear programming dengan berbagai variasinya mulai dari
yang linear dan nonlinear, hingga yang integer dan kuadratik, analisis jaringan ada network modeling, dynamic programming, PERTCPM, teori antrian
queuing analysis dan queuing system simulation, teori persediaan termasuk MRP atau material requirements planning, penjadwalan produksi, hingga ke
penentuan lokasi bangunan atau departemen yang optimal, sehingga tidak timbul pemborosan Enty Nur Hayati, 2012.
4. Contoh Separable Programming
Diberikan separable programming sebagai berikut:
Min ̅ =
− +
− −
dengan ̅ =
+ +
− ̅ =
− −
, , Penyelesaian:
Masalah pemrograman nonlinear separable separable nonlinear programming problem didefinisikan sebagai masalah P adalah sebagai berikut
Min ∑
=
= −
+ −
− dengan
∑
=
= +
+ −
∑
=
= −
− ; , ,
Fungsi separable dari pemrograman tersebut adalah =
−
27 =
− = −
dengan kendala = ,
= , =
= ,
= − , =
, , ; = , ,
Sebelumnya akan dicari nilai model tersebut dengan software WinQSB sebagai berikut
Gambar 2.6 Penyelesaian dengan software WinQSB Pada kasus ini akan diselesaikan dengan menggunakan dua cara menformulasikan
hampiran, yaitu formulasi delta atau formulasi lambda. Perhatikan bahwa L={3}, oleh karena itu titik kisi tidak digunakan untuk
. Dari kendala-kendala dapat diketahui bahwa
, dan terletak pada interval [ , ]. Maka titik-titik kisi yang digunakan adalah 0, 2, 4, 5.
a. Formulasi delta
Berdasarkan titik kisi yang dipilih, sehingga = ,
= , = ,
= = , ∆
=
−
, ∆ = , ∆
= = , ∆
,
= , ∆
,
= , ∆
,
= = ,
= , = ,
=
28 = , ∆
=
−
, ∆ =
−
, ∆ =
= , ∆
,
= , ∆
,
= , ∆
,
= Masalah AP yang merupakan hampiran dari masalah P berdasarkan Persamaan
2.13-2.14b dapat dituliskan sebagai berikut ̂
= + ∑
�
�
�
� �=
̂ =
+ ∑ �
�
�
� �=
dengan kendala ̂
= + ∑ �
,�
�
� �=
̂ =
+ ∑ �
,�
�
� �=
�
�
, �
�
untuk � = , ,
dengan yang diperoleh berdasarkan pada Persamaan 2.15 yaitu = + [ � + � + � ]
= + [ � + � + � ] Berdasarkan persamaan 2.16, fungsi tujuan masalah LAP dapat dituliskan
sebagai berikut ∑ ∑
̂
� �=
L
= [
−
� + � + � ] + [
−
� − � + � ] −
Berdasarkan Persamaan 2.17a, fungsi kendala Masalah LAP dapat dituliskan sebagai berikut
∑ ∑ ̂
� �=
L
= [ + � + � + � ] + [ + � + � + � ] +
29 ∑ ∑
̂
� �=
L
= [ + � + � + � ] − [ + � + � + � ]
Jadi diperoleh pemrograman linear sebagai berikut Min
∑ ∑ ̂
� �=
L
= [ − � + � + � ] + [ − � − � + � ] −
dengan kendala ∑ ∑
̂
� �=
L
= [ + � + � + � ] + [ + � + � + � ] +
∑ ∑ ̂
� �=
L
= [ + � + � + � ] − [ + � + � + � ]
�
�
1 untuk � = , , dan = , ,
Masalah ini diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks biasa dengan bantuan software WinQSB, sehingga diperoleh solusi optimal adalah
Berdasarkan output diperoleh nilai dari � = dan � = , sehingga diperoleh
30 = + [
+ +
] = = + [
+ +
] = =
dan nilai hampiran fungsi tujuannya adalah ∑
=
= −
+ −
− = −
b. Formulasi lambda
Berdasarkan titik kisi yang dipilih, sehingga = ,
= , = ,
= = ,
= , = ,
= Masalah AP yang merupakan hampiran dari masalah P berdasarkan Persamaan
2.22-2.23c dapat dituliskan sebagai berikut ̂
= ∑
� �
�=
̂ = ∑
� �
�=
dengan kendala ̂
= ∑
� �
�=
̂ = ∑
� �
�=
+ +
+ =
+ +
+ =
�
,
�
untuk � = , , ,
dengan yang diperoleh berdasarkan pada Persamaan 2.24 yaitu = [
+ +
+ ]
= [ +
+ +
]
31 Berdasarkan persamaan 2.25, fungsi tujuan masalah LAP dapat dituliskan
sebagai berikut ∑ ∑
̂
� �=
L
= [ −
− −
] + [ −
− −
] − Berdasarkan Persamaan 2.26a, fungsi kendala masalah LAP dapat dituliskan
sebagai berikut ∑ ∑
̂
� �=
L
= [ +
+ +
] + [ +
+ +
] + ∑ ∑
̂
� �=
L
= [ +
+ +
] − [ +
+ +
] Jadi diperoleh pemrograman linear sebagai berikut
Min ∑ ∑
̂
� �=
L
= [ −
− −
] + [ −
− ] −
dengan kendala ∑ ∑
̂
� �=
L
= [ +
+ +
] + [ +
+ +
] + ∑ ∑
̂
� �=
L
= [ +
+ +
] − [ +
+ +
] +
+ +
= +
+ +
=
�
,
�
untuk � = , , ,
32 Masalah ini diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks biasa dengan
bantuan software WinQSB, sehingga diperoleh solusi optimal adalah
Berdasarkan output diperoleh nilai dari = ,
= , , = , , sehingga
diperoleh = [
+ +
+ ] =
= [ +
, + , +
] = =
dan nilai hampiran fungsi tujuannya adalah ∑
=
= −
+ −
− = −
Berdasarkan Gambar 2.6, penyelesaian model nonlinear menggunakan WinQSB diperoleh
= , ,
= , dan
= dengan nilai fungsi tujuan adalah -23,0193.
33
5. Analisis Regresi
Analisis regresi merupakan analisis statistika yang memanfaatkan hubungan antara dua atau lebih peubah kuantitatif sehingga salah satu peubah dapat
diramalkan dari peubah lainnya Kutner, 2005:2. Analisis regresi bertujuan untuk mencari model regresi nonlinear. Analisis
regresi yang digunakan dalam skripsi ini yaitu analisis regresi dengan menggunakan software GeoGebra. Selanjutnya akan dibahas mengenai software
GeoGebra.
6. GeoGebra
GeoGebra http:www.geogebra.org merupakan perangkat lunak gratis untuk mendukung komunitas lingkungan pembelajar matematika yang
memadukan berbagai representasi dinamis, bermacam-macam domain daerah asal matematika, dan berbagai alat hitung untuk pemodelan dan simulasi Bu,
2011:1.
34
BAB III PEMBAHASAN
Pada bab ini, dibahas mengenai langkah menyelesaiakan masalah pemrograman nonlinear dan penerapannya dalam penetapan jumlah produksi
optimal bakpia pada biaya produksi perbulan bakpia di bulan Februari sampai Juli 2014 di Bakpia Eny dengan pendekatan separable programming menggunakan
formulasi delta dan formulasi lambda produksi optimal.
A. Penyelesaian Masalah Nonlinear Menggunakan Pendekatan Separable
Programming
Separable programming merupakan suatu pendekatan yang digunakan dalam masalah pemrograman nonlinear dengan mentransformasi bentuk nonlinear
menjadi bentuk linear yang hanya memuat satu variabel. Separable programming berkaitan dengan penjumlahan fungsi yang berbentuk nonlinear, yang selanjutnya
dipisahkan menjadi fungsi dengan satu variabel. Metode-metode untuk menyelesaikan fungsi tersebut antara lain dengan metode cutting plane,
pemrograman dinamik, hampiran fungsi linear sepotong-sepotong dan lain-lain. Ada dua cara untuk menformulasikan hampiran fungsi linear sepotong-sepotong,
yaitu dengan formulasi lambda dan formulasi delta. Perbedaan antara formulasi lambda dan formulasi delta berada pada penentuan titik kisi. Formulasi lambda
didefinisikan untuk setiap titik kisi, sedangkan formulasi delta didefinisikan untuk setiap interval di antara titik kisi. Selanjutnya diselesaikan
dengan menggunakan metode simpleks. Selain itu dapat juga diselesaikan dengan menggunakan software WinQSB, excel solver dan lain-lain.
