pipa harus sama dengan massa fluida yang keluar di ujung lainnya. Jika fluida memiliki massa tertentu, masuk pada pipa yang diameternya besar, maka fluida tersebut akan keluar
pada pipa yang diameternya kecil dengan massa yang tetap.
Sekarang, perhatikan kembali gambar pipa di atas. Kita tinjau bagian pipa yang diameternya besar dan bagian pipa yang diameternya kecil.
Selama selang waktu tertentu, sejumlah fluida mengalir melalui bagian pipa yang diameternya besar A
1
sejauh L
1
L
1
= V
1
t . Volume fluida yang mengalir adalah
V
1
= A
1
L
1
= A
1
V
1
t
Selama selang waktu yang sama, sejumlah fluida yang lain mengalir melalui bagian pipa yang diameternya kecil A
2
sejauh L
2
= V
2
t . Volume fluida yang mengalir adalah
V
2
= A
2
L
2
= A
2
V
2
t
1. Persamaan Kontinuitas untuk Fluida Tak-termampatkan incompressible
Pada fluida tak-termampatkan incompressible, kerapatan atau massa jenis fluida tersebut selalu sama di setiap titik yang dilaluinya.
Massa fluida yang mengalir dalam pipa yang memiliki luas penampang A
1
diameter pipa yang besar selama selang waktu tertentu adalah :
m
1
= ρ A
1
v
1
t Demikian juga, massa fluida yang mengalir dalam pipa yang memiliki luas penampang A
2
diameter pipa yang kecil selama selang waktu tertentu adalah :
m
2
= ρ A
2
v
2
t
Mengingat bahwa dalam aliran tunak, massa fluida yang masuk sama dengan massa fluida yang keluar, maka :
m
1
= m
2
ρ A
1
v
1
t=ρ A
2
v
2
t
A
1
v
1
= A
2
v
2
Catatan : massa jenis fluida dan selang waktu sama sehingga dilenyapkan. Jadi, pada fluida tak-termampatkan, berlaku persamaan kontinuitas :
A
1
v
1
= A
2
v
2
Di mana : A
1
= luas penampang 1 A
2
= luas penampang 2 v
1
= laju aliran fluida pada penampang 1
v
2
= laju aliran fluida pada penampang 2 Persamaan diatas menunjukkan bahwa laju aliran volume atau debit selalu sama pada
setiap titik sepanjang pipatabung aliran. Ketika penampang pipa mengecil, maka laju aliran fluida meningkat, sebaliknya ketika penampang pipa menjadi besar, laju aliran fluida menjadi
kecil.
Pada bagian pengantar diatas sudah dibahas tentang kran air ketika sebagian mulut kran kita sumbat, aliran air menjadi lebih deras dibandingkan ketika sebagian mulut kran
tidak kita tutup. Hal itu disebabkan karena luas penampang kran menjadi kecil ketika sebagian mulut kran kita tutup, sehingga laju aliran air bertambah fluida mengalir deras.
Demikian juga pada kasus selang. Namun perlu diketahui bahwa debit atau laju aliran volume selalu sama pada setiap tempat sepanjang aliran air, baik ketika sebagian mulut kran kita
tutup maupun tidak. Jadi yang berubah adalah laju aliran fluida tersebut.
2. Persamaan Kontinuitas untuk Fluida Termampatkan compressible
Untuk kasus fluida yang termampatkan, massa jenis fluida tidak selalu sama. Dengan kata lain, massa jenis fluida berubah ketika dimampatkan. Jika pada fluida Tak-termampatkan
massa jenis fluida tersebut kita hilangkan dari persamaan, maka pada kasus ini massa jenis fluida tetap disertakan. Dengan menggunakan persamaan yang telah diturunkan sebelumnya,
mari kita turunkan persamaan untuk fluida termampatkan.
Mengingat bahwa dalam aliran tunak, massa fluida yang masuk sama dengan massa fluida yang keluar, maka :
m
1
= m
2
ρ A
1
v
1
t=ρ A
2
v
2
t
Selang waktu t aliran fluida sama, sehingga persamaannya menjadi : ρ A
1
v
1
= ρ A
2
v
2
Persamaan diatas adalah persamaan untuk kasus fluida termampatkan. Bedanya hanya terletak pada massa jenis fluida. Apabila fluida termampatkan, maka massa jenisnya berubah.
Sebaliknya, apabila fluida tak termampatkan, massa jenisnya selalu sama.
HUKUM BERNOULLI
Fluida mengalir pada pipa dari ujung 1 ke ujung
2 Kecepatan pada ujung 1 = v
1
, ujung 2 = v
2
Ujung 1 berada pada ketinggian h
1
, ujung 2 = h
2
Tekanan pada ujung 1 = P
1
, ujung 2 = P
2
.
Hukum Bernoulli untuk fluida yang mengalir pada suatu tempat maka jumlah usaha, energi
kinetik, energi potensial fluida persatuan
volume fluida tersebut mempunyai nilai yang
Gambar 7. Hukum Bernoulli
tetap pada setiap titik. Jadi jumlah dari tekanan, energi kinetik persatuan volume, dan energi potensial persatuan volume mempunyai nilai yang sama pada setiap titik sepanjang suatu
garis arus.
Pada pembahasan mengenai Persamaan Kontinuitas, kita sudah belajar bahwa laju aliran fluida juga dapat berubah-ubah tergantung luas penampang tabung alir. Berdasarkan
prinsip Bernoulli yang dijelaskan di atas, tekanan fluida juga bisa berubah-ubah tergantung laju aliran fluida tersebut. Selain itu, dalam pembahasan mengenai Tekanan Pada Fluida
Fluida Statis, kita juga belajar bahwa tekanan fluida juga bisa berubah-ubah tergantung pada ketinggian fluida tersebut. Nah, hubungan penting antara tekanan, laju aliran dan
ketinggian aliran bisa kita peroleh dalam persamaan Bernoulli. Persamaan bernoulli ini sangat penting karena bisa digunakan untuk menganalisis penerbangan pesawat, pembangkit
listrik tenaga air, sistem perpipaan, dan lainnya. Agar persamaan Bernoulli yang akan kita turunkan berlaku secara umum, maka kita anggap fluida mengalir melalui tabung alir dengan
luas penampang yang tidak sama dan ketinggiannya juga berbeda lihat gambar di bawah. Untuk menurunkan persamaan Bernoulli, kita terapkan teorema usaha dan energi pada fluida
dalam daerah tabung alir ingat kembali pembahasan mengenai usaha dan energi. Selanjutnya, kita akan memperhitungkan banyaknya fluida dan usaha yang dilakukan untuk
memindahkan fluida tersebut.
Gambar 8. Hukum Bernoulli 2
Warna buram dalam tabung alir pada gambar menunjukkan aliran fluida sedangkan warna putih menunjukkan tidak ada fluida.
Fluida pada luas penampang 1 bagian kiri mengalir sejauh L
1
dan memaksa fluida pada penampang 2 bagian kanan untuk berpindah sejauh L
2
. Karena luas penampang 2 di bagian kanan lebih kecil, maka laju aliran fluida pada bagian kanan tabung alir lebih besar Ingat
persamaan kontinuitas. Hal ini menyebabkan perbedaan tekanan antara penampang 2 bagian kanan tabung alir dan penampang 1 bagian kiri tabung alir – Ingat prinsip
Bernoulli. Fluida yang berada di sebelah kiri penampang 1 memberikan tekanan P
1
pada fluida di sebelah kanannya dan melakukan usaha sebesar :
Pada penampang 2 bagian kanan tabung alir, usaha yang dilakukan pada fluida adalah : W
1
= – p
2
A
2
L
2
Tanda negatif menunjukkan bahwa gaya yang diberikan berlawanan dengan arah gerak. Jadi fluida melakukan usaha di sebelah kanan penampang 2.
Di samping itu, gaya gravitasi juga melakukan usaha pada fluida. Pada kasus di atas, sejumlah massa fluida dipindahkan dari penampang 1 sejauh L
1
ke penampang 2 sejauh L
2
, di mana volume fluida pada penampang 1 A
1
L
1
= volume fluida pada penampang 2 A
2
L
2
. Usaha yang dilakukan oleh gravitasi adalah :
W
3
= – mg h
2
– h
1
W
3
= – mgh
2
+ mgh
1
W
3
= mgh
1
– mgh
2
Tanda negatif disebabkan karena fluida mengalir ke atas, berlawanan dengan arah gaya gravitasi. Dengan demikian, usaha total yang dilakukan pada fluida sesuai dengan gambar di
atas adalah :
W = W
1
+ W
2
+ W
3
W = P
1
A
1
L
1
– P
2
A
2
L
2
+ mgh
1
– mgh
2
Teorema usaha-energi menyatakan bahwa usaha total yang dilakukan pada suatu sistem sama dengan perubahan energi kinetiknya. Dengan demikian, kita bisa menggantikan Usaha W
dengan perubahan energi kinetik EK
2
– EK
1
. Persamaan di atas bisa kita tulis lagi menjadi : W = P
1
A
1
L
1
– P
2
A
2
L
2
+ mgh
1
– mgh
2
EK
2
- EK
1
= P
1
A
1
L
1
– P
2
A
2
L
2
+ mgh
1
– mgh
2
½ mv
2 2
– ½ mv
1 2
= P
1
A
1
L
1
– P
2
A
2
L
2
+ mgh
1
– mgh
2
Ingat bahwa massa fluida yang mengalir sejauh L
1
pada penampang A
1
= massa fluida yang mengalir sejauh L
2
penampang A
2
. Sejumlah massa fluida itu, sebut saja m, mempunyai volume sebesar A
1
L
1
dan A
2
L
2
, di mana A
1
L
1
= A
2
L
2
L
2
lebih panjang dari L
1
.
Sekarang kita subtitusikan alias kita gantikan m pada persamaan di atas :
Persamaan ini bisa juga ditulis dalam bentuk seperti ini :
Ini adalah persamaan Bernoulli. Persamaan om Bernoulli ini kita turunkan berdasarkan prinsip usaha-energi, sehingga merupakan suatu bentuk Hukum Kekekalan Energi
Keterangan :
Ruas kiri dan ruas kanan pada persamaan Bernoulli di atas bisa mengacu pada dua titik di mana saja sepanjang tabung aliran sehingga kita bisa menulis kembali persamaan di atas
menjadi :
Persamaan ini menyatakan bahwa jumlah total antara besaran-besaran dalam persamaan mempunyai nilai yang sama sepanjang tabung alir.
PENERAPAN PRINSIP HUKUM BERNOULLI
Persamaan Bernoulli dapat digunakan untuk menentukan kecepatan zat cair yang keluar pada dinding tabung.
Gambar 10. Tabung berlubang
Kita terapkan persamaan Bernoulli pada titik 1 permukaan wadah dan titik 2 permukaan lubang. Karena diameter kranlubang pada dasar wadah jauh lebih kecil
dari diameter wadah, maka kecepatan zat cair di permukaan wadah dianggap nol v
1
= 0. Permukaan wadah dan permukaan lubangkran terbuka sehingga tekanannya sama
dengan tekanan atmosfir P
1
= P
2
. Dengan demikian, persamaan Bernoulli untuk kasus ini adalah :
Jika kita ingin menghitung kecepatan aliran zat cair pada lubang di dasar wadah, maka persamaan ini kita oprek lagi menjadi :
Berdasarkan persamaan ini, tampak bahwa laju aliran air pada lubang yang berjarak h dari permukaan wadah sama dengan laju aliran air yang jatuh bebas sejauh h
bandingkan Gerak jatuh Bebas.
v =
√
2 g h Dinyatakan sebagai Teorema Torricelli yang menyatakan bahwa kecepatan aliran zat
cair pada lubang sama dengan kecepatan benda yang jatuh bebas dari ketinggian yang sama.
Gambar 11. Lintasan fluida
air pada wadah berlubang
Jika air keluar dari lubang B dengan kelajuan v yang jatuh di titik D, maka terlihat lintasan air dari titik B ke titik D berbentuk parabola. Berdasarkan analisis gerak
parabola, kecepatan awal fluida pada arah mendatar sebesar v
BX
= v=
√
2 g h . Sedangkan kecepatan awal pada saat jatuh sumbu Y merupakan gerak lurus berubah
beraturan GLBB dengan percepatan ay = g. Berdasarkan persamaan jarak
Y =v
0 y
t + 1
2 a
y
t
2
dengan Y = H –h, v0y = 0, dan ay = g
maka Anda peroleh persamaan untuk menghitung waktu yang diperlukan air dari titik B ke titik D sebagai berikut.
Gerak air fluida pada sumbu X merupakan gerak lurus beraturan GLB sehingga berlaku persamaan:
X =v
0 X
t
1. Efek Venturi
