Diktat Kuliah Sistem Kendali Elektrik

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

Materi
II

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

TRANFORMASI
DAN
INVERS LAPLACE

Didalam perancangan dan analisa sistem pengaturan akan banyak dijumpai persamaanpersamaan diferensial dimana ia merupakan pemodelan dari suatu sistem. Untuk
mengetahui sifat-sifat dari suatu sistem, persamaan-persamaan tersebut harus
dipecahkan, dan salah satu teknik untuk memecahkan persamaan diferensial adalah
menggunakan metode transformasi Laplace.
Teknik pengalih bentuk yang menghubungkan fungsi-fungsi waktu ke fungsi-fungsi
tergantung frekuensi dari suatu variabel kompleks. Teknik ini disebut Transformasi
Laplace atau alih bentuk Laplace.
Dalam bab ini akan dibahas tentang metode transformasi Laplace, dan transformasi
baliknya.
Tujuan Instruksional khusus:

 Mahasiswa mendapat pengetahuan tentang dasar matematis yang diperlukan dalam
sistem kendali.
 Mahasiswa dapat menggunakan metode transformasi Laplace untuk menyelesaikan
persamaan sistem kendali.
 Mahasiswa dapat menggunakan tabel transformasi Laplace untuk menyelesaikan
persamaan sistem kendali.

Transformasi dan Invers Laplace

II-1

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

2.1. TRANSFORMASI LAPLACE
Transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat
digunakan secara mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. Dengan
menggunakan transformasi Laplace, dapat diubah beberapa fungsi umum seperti

fungsi sinusoida, fungsi sinusoida teredam, dan fungsi eksponensial menjadi fungsifungsi aljabar variabel kompleks s . Bila persamaan aljabar dalam s dipecahkan,
maka penyelesaian dari persamaan diferensial (transformasi Laplace balik dari
variabel tidak bebas) dapat diperoleh dengan menggunakan tabel transformasi
Laplace.
Secara sederhana prosedur dasar pemecahan menggunakan metode
transformasi Laplace adalah:
 Persamaan diferensial yang berada dalam kawasan waktu (t), ditransformasikan
ke kawasan frekuensi (s) dengan transformasi Laplace. Untuk mempermudah
proses transformasi dapat digunakan Tabel 2-1.
 Persamaan yang diperoleh dalam kawasan s tersebut adalah persamaan aljabar
dari variabel s yang merupakan operator Laplace.
 Penyelesaian yang diperoleh kemudian ditransformasi-balikkan ke dalam kawasan
waktu.
 Hasil transformasi balik ini menghasilkan penyelesaian persamaan dalam kawasan
waktu.

Persamaan diferensial
variabel x(t).

Kawasan

waktu (t)

Penyelesaian Langsung
(analitik)

Transformasi Laplace
Kawasan
frekuensi (s)
Persamaan Aljabar
operator s

Penyelesaian x(t).

Transformasi Balik

Laplace
Perhitungan

Aljabar

Penyelesaian Aljabar
X(s)

Gambar 2.1 Prosedur penyelesaian persamaan diferensial
menggunakan metode transformasi Laplace.

Transformasi dan Invers Laplace

II-2

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

1.

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

Definisi transformasi Laplace
L [ f (t )]  F ( s ) 





0

e  st dt[ f (t )]   f (t )e  st dt


(2-1)

0

f (t ) = fungsi waktu t sedemikian rupa sehingga f (t )  0
= variabel kompleks (operator Laplace)
s
L

untuk t  0

=  + j (dengan j = satuan imajiner)

= simbol operasional yang menunjukkan bahwa besaran yang didahuluinya
ditransformasikan dengan integral Laplace

F (s) = tranformasi Laplace dari f (t )





0

e  st dt

2.2. TRANSFORMASI LAPLACE BALIK (INVERS-LAPLACE)
dari transformasi
Proses kebalikan dari penemuan fungsi waktu f (t )
Laplace F (s) dinamakan transformasi balik Laplace. Notasi untuk transformasi
balik Laplace adalah L-1. Jadi
L-1 [ F ( s )]  f (t )

(2-2)

Pada bab ini tidak akan dibahas secara mendetail penyelesaian transformasi
Laplace, akan tetapi di lebih ditekankan pada penggunaan tabel transformasi
Laplace untuk menyelesaikan persamaan fungsi yang sering ditemui dalam teknik
kendali, untuk selanjutnya digunakan Tabel 2-1 untuk memperoleh pasangan
transformasi Laplace.

Transformasi dan Invers Laplace

II-3

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

Tabel 2-1 Transformasi Laplace
f(t)
1.

Impuls satuan δ(t)

2.

Langkah satuan 1(t)

3.

t

4.

t n1
( n = 1, 2, 3, . . . )
(n  1)!

5.

tn ( n = 1, 2, 3, . . . )

6.

e-at

7.

te-at

8.

1
t n1e at ( n = 1, 2, 3, . . . )
(n  1)!

9.

tne-at ( n = 1, 2, 3, . . . )

10.

sin ωt

11.

cos ωt

12.

sinh ωt

13.

cosh ωt

14.

1
(1  e at )
a

15.
16.
17.
18.

1
(e at  e bt )
ba
1
(be bt  ae at )
ba
1 
1

1
(be at  ae bt )


ab  a  b

1
(1  e at  ate at )
a2

Transformasi dan Invers Laplace

F(s)
1

1
s
1
s2
1
sn
n!
s n1
1
sa
1
( s  a) 2
1
( s  a) n
n!
( s  a) n1

2
s 2
s
2
s 2

2
s  2
s
2
s  2
1
s( s  a)
1
( s  a )(s  b)
s
( s  a )(s  b)
1
s ( s  a )(s  b)
1
s( s  a) 2

II-4

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

f(t)

1
(at  1  e at )
2
a

19.
20.

e  at sin t

21.

e  at cos t

n

22.


23.

1
24.

1 2

n

1
n

1

2

e  nt sin  n 1   2 t

e  nt sin( n 1   2 t   )

  tan
2

1

1 2


e  nt sin( n 1   2 t   )

  tan

1

1 2


25.

1 - cos ωt

26.

ωt - sin ωt

27.

sin ωt - ωt cos ωt

28.

1
t sin t
2

29.

t cos ωt

30.

1
(cos 1t  cos  2 t ) ( 12   22 )
2
  1

31.

2
2

1
(sin t  t cos t )
2

Transformasi dan Invers Laplace

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

F(s)

1
s ( s  a)

(s  a) 2   2
sa
(s  a) 2   2
2

 n2
s 2  2 n s   n2

s
s  2 n s   n2
2

 n2
s ( s 2  2 n s   n2 )
2
s(s 2   2 )

3
s 2 (s 2   2 )
2 3
(s 2   2 ) 2
s
2
(s   2 ) 2

s2  2
(s 2   2 ) 2
s
2
2
( s   1 )(s 2   22 )
s2
(s 2   2 ) 2

II-5

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

Sekarang akan dibahas beberapa sifat dari transformasi Laplace
 Perkalian dengan konstanta
L  Af (t ) 





Af (t )e  st dt  A f (t )e  st dt


 AF (s)
0

0

(2-3)

 Penjumlahan dan pengurangan
L  f 1 (t )  f 2 (t ) 
(2-4)
 Diferensiasi

d



L  f (t ) 

 dt









[ f1 (t )  f 2 (t )]e  st dt   f1 (t )e  st dt   f 2 (t )e  st dt

 F1 ( s )  F2 ( s )
0





0

0


 st
d
 st 
 st
f
(
t
)
e
dt

[
f
(
t
)
e
]

0
0 f (t )(se )dt

 dt

 0  f (0)  s  f (t )e  st dt  sF ( s )  f (0)
0



0

(2-5)

f (t ) diperoleh

Mirip dengan itu, untuk turunan ke-n dari

( n2)
( n 1)
.

dn
n
n 1
n2
f
(
t
)

s
F
(
s
)

s
f
(
0
)

s
f
(
0
)

...

s
f
(
0
)

f (0)

n

 dt

L 

 s n F ( s )   s nr f (0)
( r 1)

n

r 1

 Integrasi

 

L

t

t0

f ( )d   
 0





t

f ( )de st dt

(2-6)


t
   f ( )d ( 1s e  st )   f (t )( 1s e  st )dt
 t0
 0
0
t0



    1s f ( )d  1s  f (t )e  st dt


0

 1s F ( s )  1s  f ( )d
t0

0

0

t0

(2-7)

 Diferensiasi dan Integrasi pada kawasan s

d
F (s)
ds



 d
d 
f (t )e  st dt  
f (t )e  st dt

0
0
ds
ds

Transformasi dan Invers Laplace

II-6

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

   tf (t )e st dt = L[-t f(t)] = -L[tf(t)]




0



s

F ( s)ds  



s







0

f (t )e  st dtds  

   1t f (t )e  st


s




s

 Perubahan skala waktu



0







s

f (t )e  st dsdt

dt   0  1t f (t )e  st


0




s

dt  L1t f (t )

  t 
  t 
 st
  0 f  e dt


 
  

L f

Dengan mengganti

(2-8)

(2-9)

t /   t1 ; sehingga t  t1 , dan dt  dt1 , diperoleh


  t 
 s t
  0 f (t1 )e 1 1 d (t1 )
   

L f

   f (t1 )e s1t1 dt1


 F (s )

(2-10)

lim f (t )  lim sF ( s )

(2-11)

0

 Harga awal
t 0

s 

Untuk interval waktu 0  t   , jika
mendekati nol.

s

mendekati tak hingga,

 d

lim   f (t )e  st dt  limsF ( s )  (0)  lim sF ( s )  f (0)  0
s  0
s 
s 

 dt

e  st

atau

lim sF ( s )  f (0)
s 

karena f (0)  lim f (t ) maka

lim sF ( s )  lim f (t )
t0

s 

t 0

(2-12)

 Harga akhir

lim f (t )  lim sF ( s )
t 

s 0

Transformasi dan Invers Laplace

(2-13)

II-7

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

Untuk membuktikan teorema ini, ambil s mendekati nol pada persamaan
transformasi Laplace untuk turunan fungsi f (t ) atau
 d

lim   f (t )e  st dt  limsF ( s )  (0)
s 0 0
s 0

 dt

(2-14)

Karena lim e  st  1 , diperoleh
s 0





0



d
 dt f (t )dt  f (t ) 0  f ()  f (0)

 lim sF ( s )  f (0)
s 0

sehingga

f ()  lim f ((t )  lim sF ( s )
t 

(2-15)

s 0

 Translasi pada kawasan t
L  f (t  t 0 ) 





0

f (t  t 0 )e  st dt

dimana f (t )  0 untuk t  0 , dan t 0  0

misal t1  t  t 0 , maka t  t1  t 0 dan dt = dt1, maka





0

f (t  t 0 )e st dt   f (t1 )e  s (t1 t0 ) dt1


e

0

 st0





f (t1 )e  st1 dt1

 e  st0 F ( s )
0

(2-16)

 Translasi pada kawasan s



 

L e at f (t ) 



e at f (t )e  st dt

  f (t )e ( s  a )t dt
0



 F ( s  a)
0

(2-17)

 Konvolusi
Tinjau transformasi Laplace berikut:



t

0

f1 (t   ) f 2 ( )d

(2-18)

Integrasi ini sering ditulis

Transformasi dan Invers Laplace

II-8

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

f1 (t )  f 2 (t )
Operasi matematik f 1 (t )  f 2 (t ) disebut konvolusi. Jika dinyatakan
maka



t

0

t    ,

f1 (t   ) f 2 ( )d    f1 ( ) f 2 (t   )d
0

t

  f1 ( ) f 2 (t   )d
t

Oleh karena itu

0

 f (t   ) f ( )d
  f ( ) f (t   )d

f 1 (t )  f 2 (t ) 

t

0

1

2

t

1

2

 f 2 (t )  f 1 (t )
0

(2-19)

Bila f 1 (t ) dan f 2 (t ) adalah kontinyu sepotong-sepotong (piecewise) dan
mempunyai orde eksponensial, maka

 

L 

Dengan

t

0

f1 (t   ) f 2 ( )d   F1 ( s ) F2 ( s )


(2-20)

F1 ( s)   f1 (t )e st dt  L  f1 (t )


F2 ( s)   f 2 (t )e st dt  L  f 2 (t )

(2-21)

0



0

(2-22)

Untuk membuktikan persamaan (3-9), perhatikan bahwa f 1 (t   )1(t   )  0
untuk   t . Oleh karena itu



t

0

f1 (t   ) f 2 ( )d   f1 (t   )1(t   ) f 2 ( )d


0

(2-23)

Selanjutnya

 

L 

t

0


f1 (t   ) f 2 ( )d   L   f1 (t   )1(t   ) f 2 ( )d 

 0


Transformasi dan Invers Laplace

II-9

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang


  e st   f1 (t   )1(t   ) f 2 ( )d  dt
 0

0

(2-24)

Dengan substitusi t     dalam persamaan terakhir ini dengan mengubah
urutan integrasi, yang diperbolehkan dalam kasus ini karena f 1 (t ) dan f 2 (t )
dapat ditransformasi dengan integral Laplace, diperoleh

 

L 

t

0

f1 (t   ) f 2 ( )d  






f1 (t   )1(t   )e  st dt  f 2 ( )d


  f1 ( )e  s (   ) d  f 2 ( )d
0





0

  f1 ( )e  s d  f 2 ( )e  s d
0


 F1 ( s ) F2 ( s )
0



0

0

(2-25)

Persamaan terakhir ini memberi transformasi Laplace dari integral konvolusi.
Sebaliknya, jika transformasi Laplace dari suatu fungsi diberikan oleh perkalian
dua fungsi transformasi Laplace, F1 ( s ) F2 ( s ) , maka fungsi waktu yang
berkaitan (transformasi Laplace balik) diberikan oleh integral konvolusi
f1 (t )  f 2 (t ) .

Transformasi dan Invers Laplace

II-10

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

Tabel 3-2. Sifat-sifat Transformasi Laplace
1.

L [Af(t)] = AF(s)

L [f1(t)  f2(t)] = F1(s)  F2(s)

2.
3.
4.
5.

L





dn
dt n

L

L

8.

L

f (t ) = s2F(s) – sf (0) – f (0)

s
n

nk

( k 1)

f (0  )

dengan





( k 1)

f (t ) 

d k 1
dt k 1

 f (t )dt  = F s(s) +  f (t )sdt 
  f (t )dtdt  = Fs(s) +  f (ts)dt  +   f (t )sdtdt 
k 1

 ... f (t )(dt )  = Fs(s) +
n



10.

0

11.

 0

L 



t

n

t 0

2

s
n

k 1

f (t )dt  =






 ... f (t )(dt ) 
k

t 0

t 0 

F (s)
s

f (t )dt = lim F ( s) jika
s0

1

n  k 1





0

f (t )dt ada

 at
L e f (t ) = F(s + a)

L  f (t   )1(t   ) = e-s F(s)

12.

f (t )

t 0

2

9.

15.



f (t ) = sF(s) – f(0)

L

7.

14.

d2
dt 2

f (t ) = snF(s) –

6.

13.



dtd

L

L tf (t )  = 

0

dF ( s )
ds
2
d
2
L t f (t ) =
F (s)
ds 2
dn
n
L t f (t ) = (1) n n F ( s ) n = 1, 2, 3, . . .
ds

16.
17.

Transformasi dan Invers Laplace







L



1t f (t ) = 0 F (s)ds
L  f ( at ) = aF(as)


II-11

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

1.

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

Metode ekspansi pecahan parsial untuk memperoleh transformasi
Laplace balik
Masalah dalam analisis sistem kendali, F (s) , transformasi Laplace dari
sering dijumpai dalam bentuk

F (s) 

B( s)
A( s )

f (t ) lebih

(2-26)

Dengan A(s ) dan B (s ) adalah polinomial dalam s dan derajat B (s ) lebih kecil
dari A(s ) . Bila F (s) dipotong dalam komponen

F ( s )  F1 ( s )  F2 ( s )  ...  Fn ( s )

(2-27)

Dan bila transformasi Laplace balik dari F1 ( s ), F2 ( s ),..., Fn ( s ) memungkinkan, maka
L

-1

F (s) 

L

-1

F1 ( s) 

L

-1

F2 ( s)  . . . + L -1 Fn (s)

 f1 (t )  f 2 (t )  ...  f n (t )

(2-28)

f1 (t ), f 2 (t ),..., f n (t )
adalah
transformasi
Laplace
balik
dari
F1 ( s ), F2 ( s ),..., Fn ( s ) . Transformasi Laplace balik F (s) diperoleh secara unik kecuali

Dengan

mungkin pada titik-titik dengan fungsi waktu tak kontinyu. Apabila fungsi waktu
f (t ) dan transformasi Laplace baliknya F (s)
kontinyu, maka fungsi waktu
mempunyai hubungan korespondensi satu-satu.
Keuntungan dari pendekatan ekspansi pecahan parsial adalah masing-masing suku
dari F (s) akibat dari ekspansi dalam bentuk pecahan parsial, merupakan fungsi
dalam s yang sangat sederhana, sehingga tidak diperlukan tabel transformasi
Laplace lagi bila kita ingat beberapa pasangan transformasi Laplace sederhana.
Harus diperhatikan bahwa menerapkan teknik ekspansi pecahan parsial dalam
mencari transformasi Laplace balik dari F ( s )  B ( s ) / A( s ) akar dari penyebut
A(s ) harus diketahui. Jadi metode ini tidak dapat diterapkan bila
polinomial
polinomial penyebut telah difaktorkan.
ke dalam bentuk pecahan parsial, penting
Dalam ekspansi F ( s )  B ( s ) / A( s )
bahwa pangkat tertinggi s dalam A(s ) lebih besar daripada pangkat tertinggi s
dalam B (s ) . Bila hal ini tidak dipenuhi maka pembilang B (s ) harus dibagi
penyebut A(s ) untuk memperoleh polinomial dalam s ditambah sisa (yaitu rasio
polinomial dalam s dengan pembilang mempunyai derajat yang lebih kecil daripada
penyebutnya).

Transformasi dan Invers Laplace

II-12

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

2.

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

F (s) hanya melibatkan kutub-kutub
Ekspansi pecahan parsial bila
(pole).
Perhatikan fungsi F (s) yang ditulis dalam bentuk faktor
F (s) 

B( s ) K ( s  z1 )(s  z 2 )...(s  z m )

A( s ) ( s  p1 )(s  p 2 )...(s  p n )

( m  n)

(2-29)

Dengan p1, p2, . . ., pn dan z1, z2, . . ., zm masing-masing besaran real atau
kompleks, tetapi untuk masing-masing bilangan kompleks p i atau zi mempunyai
konjugat kompleks p i dan zi . Jika F (s) hanya terdiri dari kutub-kutub (pole)
maka dapat diekspansikan dalam jumlah pecahan parsial sederhana sebagai
berikut:

F (s) 

an
a1
a2
B( s)


 ... 
A( s ) s  p1 s  p 2
s  pn

(2-30)

ak (k = 1, 2, . . .,n ) adalah konstanta, koefisien ak disebut residu
pada kutub di s   p k . Nilai ak dapat diperoleh dengan mengalikan kedua sisi
persamaan (2-30) dengan ( s  p k ) dan mengganti s   p k yang memberikan

Dengan

 a

a2
B( s) 
(s  pk )  . . .
  1 (s  pk ) 
( s  p k ) A( s ) 
s  p2

 s  pk  s  p1



an
ak
( s  p k )
(s  pk )  . . . 
s  pn
s  pk
 s   pk

= ak

(2-31)

Dapat dilihat bahwa semua suku ekspansi dapat dihilangkan kecuali yang
mengandung ak, sehingga residu ak diperoleh


B( s) 
a k  ( s  p k )
A( s )  s  pk


(2-32)

Perhatikan bahwa f (t ) adalah fungsi real dari waktu, bila p1 dan p2 konjugat
kompleks, maka residu a1 dan a2 juga konjugat kompleks. Hanya satu dari
konjugat a1 atau a2 yang diperlukan karena yang lain dapat diketahui dengan
sendirinya.
Karena
L

-1

 ak 
 pk t

  ak e
 s  pk 

Transformasi dan Invers Laplace

II-13

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

f (t ) Diperoleh sebagai

f (t ) = L -1 F ( s )  a1e  p1t  a 2 e  p2t  ...  a n e  pnt

(t  0)

(2-33)

Contoh
Tentukan transformasi Laplace balik dari

s3
( s  1)(s  2)

F(s) =

Ekspansi pecahan parsial dari F(s) adalah

s3
a1
a
=
 2
( s  1)(s  2)
s 1 s  2

F(s) =

Dengan a1 dan a2 diperoleh dari persamaan di atas
a1 = s  1




a2 = s  1



Jadi,



f(t) = L
=L

-1

-1


s3
 s  3
2


( s  1)(s  2)  s 1  s  2  s 1

s3
 s  3
 1


( s  1)(s  2)  s 2  s  1  s 2

[F(s)]

 2 
 s  1 + L

-1

= 2e-t – e-2t (t  0)
3.

 1 
 s  2 

Ekspansi pecahan parsial bila F (s) melibatkan banyak kutub.
Berikut ini ditampilkan contoh untuk menunjukkan bagaimana mendapatkan
ekspansi pecahan parsial dari F (s) .
Contoh :
Perhatikan persamaan berikut:

s 2  2s  3
F (s) 
( s  1) 3

Transformasi dan Invers Laplace

II-14

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

Ekspansi pecahan parsial dari F (s) ini melibatkan 3 bagian,

F (s) 

b3
b2
b
B( s)


 1
3
2
A( s ) ( s  1)
s 1
( s  1)

Dengan b3, b2 dan b1 ditentukan sebagai berikut. Dengan mengalikan kedua sisi
dari persamaan terakhir ini dengan (s + 1)3 , diperoleh

( s  1) 3

B( s)
 b3  b2 ( s  1)  b1 ( s  1) 2
A( s )

Dengan menjadikan s = –1 , persamaan menjadi


3 B(s) 
 b3
( s  1) A( s ) 

 s 1
Juga, diferensiasi kedua sisi dan dengan mengacu pada s dihasilkan

d 
B( s) 
( s  1) 3
 b2  2b1 ( s  1)

ds 
A( s ) 
Jika s = –1 , maka

B(s) 
d 
 b2
( s  1) 3

A( s )  s 1
ds 
Dengan mendeferensiasi kedua sisi dan dengan mengacu pada s, hasilnya adalah

d2
ds 2


3 B( s) 
( s  1) A( s )   2b1



Dari analisis sebelum ini terlihat bahwa nilai b1, b2
sistem sebagai berikut

dan b3

ditemukan secara


B(s) 
b3  ( s  1) 3
A( s )  s 1


 ( s 2  2 s  3) s 1
2

Transformasi dan Invers Laplace

II-15

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

B( s)  
d 
b2   ( s  1) 3

A( s )   s 1
 ds 

d
  ( s 2  2 s  3)
 s 1
 ds

 (2 s  2) s 1
0

b1 


1  d2 
3 B( s) 

 2 ( s  1)

2!  ds 
A( s )   s 1






1  d2 2
 2 ( s  2s  3)
2!  ds
 s 1

1
(2)  1
2

Selanjutnya, diperoleh

f (t )  L
=L

-1

-1

F (s)

 2 
 L

3
 ( s  1) 

 t 2 e t  0  e t

 (t 2  1)e t

Transformasi dan Invers Laplace

-1

 0 
 1 
 L -1 

2 
 s  1
 ( s  1) 

(t  0)

II-16

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

Transformasi Laplace menggunakan MATLAB
• Transformasi Laplace F (s) dari suatu fungsi f (t) adalah cukup sederhana dalam
Matlab. Pertama perlu menentukan variabel simbolis t dan s menggunakan
perintah
>> syms t s
• Selanjutnya menentukan fungsi f (t) dengan perintah
>> F=laplace(f,t,s)
Contoh :
Untuk membuat ekspresi lebih enak dibaca menggunakan perintah, simplify dan pretty.
di sini diberikan contoh untuk fungsi f (t),

Invers Transformasi Laplace menggunakan Matlab
• Perintah Transformasi Laplace balik (invers) menggunakan perintah
>> F=ilaplace(f,t,s)
Contoh :

Transformasi dan Invers Laplace

II-17

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

2.3. Ringkasan
Suatu kelebihan metode transformasi Laplace adalah bahwa metode ini
memungkinkan penggunaan teknik grafis untuk meramal kinerja sistem tanpa
menyelesaikan

persamaan

differensial

sistem.

Kelebihan

lain

metode

transformasi Laplace adalah diperbolehnya secara serentak baik komponen
transien maupun komponen keadaan tunak sebagai jawaban persamaan pada
waktu menyelesaikan persamaan differensial.

Transformasi dan Invers Laplace

II-18

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik

Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

SOAL-SOAL
1. Dapatkan Transformasi Laplace fungsi yang didefinisikan oleh
(t  0)
a. f 1 (t )  0
b.

f1 (t )  3 sin ( 5t  45  )
f 2 (t )  0
f 2 (t )  0.03( 1  cos 2t)

(t  0)
(t  0)
(t  0)

2. Bagaimana Transformasi Laplace, fungsi f(t) pada gambar berikut :

f(t)
b

0

a

a+b

6s  3
s2
5s  2
b. F2 ( s ) 
( s  1)(s  2) 2

t

3. Tentukan Transformasi Laplace balik dari fungsi berikut:
a.

F1 ( s) 

4. Sederhanakan diagram blok yang ditunjukkan dalam gambar di bawah dan
dapatkan fungsi alih loop tertutup C(s)/ R(s).

G1

R(s)
+_

G2
_+

+
+

C(s)

G3
G4

5. Andaikan sistem yang diberikan oleh

 x1   4  1  x1  1
 x    3  1  x   1u
 2   
 2 
x 
y  1 0  1 
 x2 

Dapatkan fungsi alih sistem

Transformasi dan Invers Laplace

II-19